Método do mínimo quadrado, Notas de estudo de Matemática

Baixe Método do mínimo quadrado e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Cálculo Numérico Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista/BA Método do Mínimo Quadrado Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 04/03/2016 - Atualizado em 24/11/2017 O que é? O método do mínimo quadrado é uma forma de encontrar um polinômio p() = 0 + 1 + 22 + · · · + pp que passe o mais próximo possível de um conjunto de pontos {(0), y0), · · · , (n, yn)}. Para tanto usa-se a fórmula:   0 ... p   = MT × M
−1 MT × y Onde M =     1 1 (1)2 · · · (1)p 1 2 (2)2 · · · (2)p ... ... ... ... ... 1 n (n)2 · · · (n)n     ; y =     y0 y1 ... yn     e "p" o grau do polinômio. Exemplo 1: Dados os pontos (0; 0), (1; 1), (2; 2) e (-2; 2) determine um polinômio de grau 2 usando o método do minimo quadrado. Solução: Como o polinômio que desejamos é de grau 2 então M será uma matriz 3 × 3. Se desejássemos um polinômio de grau 3 então M seria uma matriz 4 × 4 e assim por diante. Pela fórmula o nosso M então seria: M =     1 0 02 1 1 12 1 2 22 1 −2 −22     1 Cálculo Numérico Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista/BA ⇒ M =    1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 −2 4    Já a matriz "y" é a seguinte: y =    0 1 2 2    Com esses dados finalmente aplicamos a fórmula para o mínimo quadrado1.   0 1 2   = MT × M
−1 MT × y   0 1 2   =        1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 −2 4    T ×    1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 −2 4        −1    1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 −2 4    T ·    0 1 2 2    ⇒   0 1 2   =   0.232 0.0262 0.458   Portanto a função quadrática é: y() = 0.232+ 0.0363+ 0.4582 representada no gráfico a seguir. (-2,0) (-1,0) (0,0) (2,0) (-1,1) (-2,2) (0,2) (2,2) Fig.1: Gráfico da função y = 0.232 + 0.0363 + 0.4582 1MT é a matriz transposta de M e M−1 a sua inversa. 2