Fisica General Alvarenga Maximo, Notas de estudo de Engenharia Física

Baixe Fisica General Alvarenga Maximo e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Física, somente na Docsity! DEVUELVA estelibro antes dela última fecha anotada. Con Experimentos Sendcilos fuerta edición Asmiômnio Máximo Ribeiro da Luz Departamento de Física, Universidad Federal de Minas Gerais, Brasil. Beatriz Alvarenga Álvares Departamento de Física, Universidad Federal de Minas Gerais, Brasil. OXFORD UNIVERSITY PRESS  vilã CONTENIDO 134 13.5 13.6 13.7 Tesbajo en una variación de volumen 524 Primera ley de la termodinâmica 327 Aplicaciones de la primera ley de la termodinâmica 529 Un tema especial Máquinas têrmicas—la segunda ley de la termodinâmica 535 Repaso 540 Seis experimentos sencillos 541 Preguntas y problemas 543 Cuestionario 547 Respuestas 551 ApéndiceC 554 ci C2 Transferencia de calor: estudio cuantitativo 554 Máquinas térmicas: información adi- cional 560 Problemas complemertarios 569 Respuestas 572 + 14.1 14.2 14.3 Há 14.5 146 Repaso 4. Cambios de fase 574 Sólidos, líquidos y gases 575 Fusión y solidificación 581 Vaporización y condensación 584 Influencia de la presión 587 Sublimación: diagrama de fases 590 Un tema especial Comportamienio de un gas real 593 596 Cinco experimentos sencillos 597 Preguntas y problemas 598 Cuestionario 602 Problemas complementarios 604 Respuestas 606 UNIDAD VI! ÓPTICA Y ONDAS 609 115. Reflexión dela luz 641 1541 Introducción 612 Reflexión de ka luz 617 Espejo plano 620 Espejos esféricos 623 Imagen de un objeto grande 629 15.6 157 Ecuación de los espejos esféricos 633 Un tema especial La velocidad de la luz 636 Repaso 642 Ocho experimentos sen éllos 642 Preguntas y problemas 646 Cuestionario 652 Problemas complementarios 654 Respuestas 656 18. Refracción de la luz 680 16.1 162 Refracción de la juz 661 Alganos fenómenos relacionados con ta refracción 666 Descomposición dela luz 672 Lentes esféricas 677 Formación de imágenes en las tentes 684 Instrumentos ópticos 688 Un tema especial Las ideas de Newton sobre la naruraleza de la luz y los colores de lós cuerpos 692 Repaso 697 Ocho experimentos sencillos 698 Preguntas y problemas 701 Cuestionario 706 Problemas complementarios 710 Respuestas 713 17. Movimiento ondulatorio — acústica 717 171 172 173 174 5 17.6 17.7 17.8 Repaso Movimiento armónico simple 718 Ondas en una cuerda 723 Ondas en la superficie de un líquido 729 Difracción 733 Interfesencia Interferencia con ta luz 740 Ondas sonoras-acústica 744 Un tema especial El efecto Doppler 753 756 Cuatro experimentos sencillos 758 Preguntas y problemas 760 Cuestionanio 766 Respuestas 770 Apêndice D 774 D.i Tas ecuaciones del movimiento amónico simple 774 D2 Cuerdas vibrantes y tubos sonoros 770 D3 Las ecuaciones del efecio Doppler 785 ELECTROSTÁTICA — CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS 793 UNIDAD vt 18. Carga eléctrica 795 18.1 Elecrrización 796 18.2 Conductores y aislanses 802 183 Indueción y polarización 804 18.4 Electroscopios “806 18.5 Ley de Coulomb 809 186 Un tema especial Los primeros descubrimientos en el campo de la eleciricidad 815 Repaso 821 Cinco experimentos sencillos 821 Preguntas y problemas 823 Cuestionario 827 Problemas complementarios 829 Respuestas 831 18. Campo elécírico 834 19,1 Concepro de campo eléctrico 835 19.2 Campo eléctrico originado por cargas puntuaies 839 19.3 Lineas de fuerza 843 19.4 Comportamento de un conductor electrizado 848 19.5 Un tema especial Rigidez dieléctrica-— Poder de las puntas 852 Repaso 858 Dos experimentos sencillos 859 Preguntas y problemas 860 Cuestionario 864 Problemas complementarios 867 Respuestas 869 20. Potencial eléctrico 872 20.1 Diforencia de potencial eléctrico. “Tensión o voltaje 873 Contenido ix 20.2 Tensión eléctrica er un campo uniforme. Potencial en un punto 876 20.3 Tensión eléctrica en el campo de unã carga puntual 880 2.4 Superficies eguiporenciales 884 20.5 Un tema especial EI Generador de Van: de Graajy 888 Répaso 895 Dos experimentos sencilios 895 Preguntas y problemas 897 Cuestionaro 902 Problemas complementarios 906 Respuestas S08 ELECTROCINÉTICA — CORRIENTE Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS (CC) 913 UNIDAD IX 21. Corriente eléctrica 915 21.4 Corrente eléctrica (continua y alterna) 916 Circuitos simples de CC 920 Resistencia eléctrica 924 Ia ley de Ohm 931 Conexión de resistores (o resistencias) 933 21.6 Instrumentos eléctricos de medición 939 21.7 Potencia en un elemento del circuito 942 218 Un tema especial Variación de la resistencia con la temperatura 949 Repaso 955 Nueve experimentos sencillos 956 Preguntas y problemas 959 Cuestionario S65 Problemas complementarios 969 Respuestas 972 22. Fuerza elestromotriz — ecuaciones decircuito 976 221 Fuerza eleciromotriz (o electromotancia) 977 2 Ecuación del circuito 984 .3. Tensión terminal de un generador 989 nm BB 3 CONTENIDO 22.4 Un tema especial Ef Tubo Electrónico vel Transistor 992 Repaso 1001 Cinco experimentos sencíllos 1002 Preguntas y problemas 1004 Cuestionario 1010 Problemas complementarios 1014 Respuestas 1917 UNIDADX — ELECTROMAGNETISMO — CAMPOS — INDUCCIÓN — SISTEMAS DE CA 1021 23. Campo magnético — 1 1023 23.1 Magnetismo 1024 23.2 Electromagnetismo 1027 23.3 Campo magnético 1030 23.4 Movimiento circular en un campo magnético 1037 Fuerza magnética sobre un conductor 1040 236 Un tema especial Elciclotróôn 1046 Repaso 1053 Cinco experimentos sencillos 1053 Preguntas y problemas 1055 Cuestionario 1062 Problemas complementarios 1065 Respuestas 1068 2 24, Campo magnético >-H 4074 24.1 Campo magnético de un conductor rectilíneo 1072 24.2 Campo magnético en cl centro de una espira circular 1076 24.3 Campo magnético de un solenoide 1077 24.4 Influencia del medio en el valor dei campo magnético 1081 24.5 Un tema especial El descubrimíiento del electróôn 1087 Repaso 1094 Cinco experimentos sencillos 1094 Preguntas y problemas 1096 Cuestionario 1103 Respuestas 1106 Apéndice E 1108 El laley de BiorSavart 1108 E2 Aplicaciones de ta ley de Biot-Savart 1110 Problemas complementarios 1114 Respuestas 1118 25. Inducción elactromagnética — ondas y sistemas de CA 1120 25.1 Fuerza electromoniz inducida 1121 25.2 Ley de Faraday tias 25.3 Ley de Lenz 1130 25.4 El transformador 1133 25.5 Ondas electromagnéticas 1136 25.6 Espectro electromagnético 1142 25.7 Un tema especial Trasmisión y distribución de la energia eléctrica 150 Repaso 1156 Cuatro experimentos sencillos 1157 Preguntas y problemas 1159 Cuestionario 1165 Preguntas de interpretación de textos 170 Respuestas 1176 ApéndiceF 1179 F1 Una visión panorâmica 1179 F2 El mundo de lo muy pequeão — Cuáles son las partículas elementales 1180 F3 El mundo de los muy grandes 1183 El mundo de tas estructuras complejas 1185 ma Apêndice G 1190 G1 Capacitores 1190 G.2 Conexión de capacitores 1195 G3 Energia en un capacitor 1199 En tos últimos afios la docencia del bachillerato se ha modificado y, evidentemente, la en- sefianza de la Física también. A partir de nues- tras observaciones, por comunicación directa con un gran número de profesores y escuelas, o mediante investigaciones estadísticas, fue fácil detecrar algunos aspectos de dichos cambios, los cuales dificultan el trabajo docente del pro- fesor y e! aprendizaje La diversidad en el número de horas dedi- cadas a la ensenanza de la Física en cada escuela, hace que el profesor se enfrente à programas de contenido muy diverso, no sólo en diferentes planteles, sino, à veces, en una misma escuela. En tales circunstancias, la elec- cién de un texto que se adapte a estas diversi- ficaciones, se vuelve muy difícil Los textos de Física de esta colección se escribieron con el propósito de levar los con- ceptos fundamentales de la Física a todos los estudiantes. Estamos convencidos de que, in- cluso aqueltos que no apticarán los conocimien- tos de esta ciencia en sus profesiones, deben estudiarla porque en el mundo actual la Física y sus aplicaciones tecnológicas están presentes en la vida cotidiana de cualquier persona. De acuerdo con los aspectos ya serialados, este Hibro se disefió con las siguientes características * Procuramos destacar, en cada tema estu- diado, la Física presente en las actividades cotidianas de las personas; por tanto, ilustra- mos fenómenos interesantes y útiles, para que los estudiantes se sientan enciivados à conocer y entender los principios de las leyes físicas que intervienen. é Nos preocupamos por poner de relieve las leyes generales, reduciendo considerable- mente la información de carácter específico. Para ello, utilizamos un lenguaje sencillo y una redacción concisa, a fin de hacer más accesible fa esposición y no cansar al alumno. * El contenido de cada sección se presenta dividido en "bloques” con la finalidad de “Facilitar su lectura y hacerla más amena. El útulo de cada “bloque” indica su contenido, ALPROFESOR y la simple lectura de los títulos podrá servir como guia para que el profesor elabore au plan de irabajo en el aula Siempre que se consideró importante ua <corcepto, un resultado O una conchusión. se destacó en un cuadro con fondo gis. Estos encuacires ayuciar al esudiante a reconocer los aspectos fundamentales de cada tema, y muchas veces, constiluyen una sintesis de la sección. Prácticamente en todas ias secciones se in- ciuyen ejemplos con base en pregurtas o sroblemas resueltos cetaliadamente, com el En de concretas las ideas bá: ent Los efercicios v los problemas se presentan en un número bastante ake y en diferentes niveles, desde ios más sencillos —pasando por tos ejercicios de revisión, preguntas y problemas hasta los más complicados ipreblemas complementarios). Esto permite al profesor planear iácilmente las actividades de análisis y la ciscusión de los ejercicios de acuerdo cor ta realidad de su escuela y de sus alumnos. tim tema especial, que se incluye al final de cada capítulo, complementa o amplia ei con- tenido, ya sea presentando aspectos históri- cos u otros relacionados con el capítulo, o inctuso mestrando aplicaciones curiosas de la Física. En la mayoria de los casos este tipo de lecturas es agradable pari ei estudiante. por el interés que los temas suscitan, por su tenguaje sencillo y por ser fácil de entender Una de las preocupaciones de los edu- cadores dedicados a la ensefianza de la cien- cia es la falta casi total de trabajos experimentales. Conociendo la realidad de nuestras escueias, sabemos que es muy difícil carabias tal situación, ya que por lo general no se dispone de laboratorios adecuados, e! mantenimiento del equipo es muy difícil, y sobre tado, los profesores carecen de tempo y estímulos para preparar clases prácticas. En esta abra procuramos salvar esas clificultades y para ello sugerimos que se realicen experi- mentos sencillos en los que se empleen casi exclusivamente materiales de uso común, de manera que casi todo estudiante pueda rea- lizarlos en casa Debido a que el número de horas destinadas a los cursos de Física varia mucho de una escuela a otra, sugerimos que el profescr estudie y seleccione previamente las actividades com- patibies con la duración y el contenido de su asignatura. En algunas escuelas, donde e] níimero de horas es meuy reducido, la peograma- ción de cada capítulo podrá hacerse de modo que su desarrollo no exceca de las preguntas de repaso, Si acaso se dispone de un poco más ce dempo, las lecturas y [os experimentos podríaa incluirse en el programa. Poc último, en las escuelas donde cuenten con mayor número de horas, ei profesor tendrá ia aportanidad de co- mentar con sus alumnos tas preguntas y los problemas, y astmismo, aígunos de los probie- mas complementarios En respuesta a las soiiciludes de un 4 rúmero de profesores, inciuimos en forma de apéndices, algunos temas que consideramos no son esenciales para un primer curso de Física de 2º grado. Queda a criterio del docente la inclusión de estos apéndices en e) curso, de acuerdo con el tempo disponible y cor la importancia que él le auibuya a! estudio de dichos tema LOS AUTORES Una de nuestras preocupaciones al escribir este texto, lue volver interesante y agradabie un cur- so básico de Fisica general, con la intención de evitar que se ie considere como una más de las pesadas obligaciones escolares. Creemos que podrá entusiasmar tanto a las lectores que pre- tenda continuar sus estudios en una carrera ligada con las ciencias exactas, como a quienes nunca volverén a tener contacto con ef estudio de la Fís El conocimiento de jas leyes y los fenómenos Esicos constinye un complemento indisponsa- ble er ta formación cultural det hombre mo- demo, no sólo en virtud del notable avance científico y tecnológico actual, sino porque el mundo de la Física está presente en muchísimos aspectos de nuestra vida diaria: en el hogar, en ca. ei auto, en um elevador, en cl cine, en un campo deponivo, eteétera. sí, con la orientación de su profesor, si lee atentamente los textos de cada capítiio, los comenta con sus companeros y realiza las ac- tividades sugeridas, al final dle este curso habrá podido entender las leyes fundarentales de ta Física, y observar que representan la armanf y organización características de Ia naturaleza. Esta nueva visión, posiblemente, hará su:gir en usted e! amor y e! cespeto hacia las cosas y dos hechos físicos del mundo en que vivi. mos Ai mismo tempo, entre sus sentimientos nacerá, casi seguramente, la adeisación y ce peta hacia los notables científicos que, después de arducs esfuerzos, <rearon esta imporante rama del conocimiento humano LOS AUTORES meeill COMOUTILIZAR ESTA OBRA e El repaso que se incluye al final de cada capítlo es una especie de sesión de estudio dirigido, propuesto para que ei lector ob- tenga una visión global del tema, después de haber estudiado cada sección por separado, AJ terminar esta actividad rendrá a mano un resumen del capítulo, al cual podrá recucrir cuando desee hacer una recapitulación rápida & Otra actividad importante para facilitar la comprensión y el aprendizaje de los temas expuestos en un capítulo son los experimen- tos que se proponen al final de cada uno de ellos. Escogimos experimentos muy sencilios que. en general, requieren materia) dis- ponible en casa, lo que permite que se reaiicen como tarea. No deije de hacer estos experimentos y llevartos a la escuela para comentartos con su profesor y sus com- paferos. Estamos convencidos de que estas actividades le proporcionaráo momentos de placer y le permitirn tener una visión más clara y concreta de los fenômenos en estudio, Los problemas, utilizados en nuestros cursos de Física para que los estudiantes pruehen y apliquen sus conocimientos, se presentan en tres secciones en nuestro sexto: preguntas y pro- blemas, problemas complementarios y cues- tionario, Por ser numerosos estos problemas, el esmudianie quizá no tendrá tiempo para resolverlos todos. Corresponde, entonces, al proiesor seleccionar los más significativos para su curso y para su propio contexto. Al resolverlos, el estudianie subirá algunos peldafos más en su formación científica. LOS AUTORES  Fotografia de ta galaxia Andrômeda, situada a dos milones de afios-tuz de la Tierra. Las leyes de la Física que estudiaremos en este curso describen correctamente los fenómenos que se producen aquí en la Tierra. y en regiones tan lejanas como esta galaxia. B Unida: INTROCUCCIÔN ncia, al abajar con magnitudes físicas no hay necesi- ad O interés en conocer, con precisión, el valor de ia magnitad. En esos casos, basta conocer la potencia de 10 que mês se aproxima a su valor. Esta potencia se denomina ordem de magnitud dei número que expresa, es decir: orden de magnitud de 'un, núméro es. la potencia de 10 más próxima à este número. Entonces, el orden de magnitud de 92 es 19? porque 92 está comprendido entre 10 y 100, pero está más próximo a 10? De la misma manera, el orden de magnitud es 0.00022 = 2.2 x 10"fes10é Per tanto, si se conocen los órcenes de magnitud de diversas medidas, es fácil compa- sarlos y podemos rápidamente distinguir la menor o la mayor entre ellas y las que son aproxima- damente iguales. Además, cón frecuencia estamos en condi- ción de obtener et orden de magaitud sin cálcu- los laboriosos, inclusive si no tenemos el valor ce la magaitd medida, como veremos en el jemplo 2 que se incluye a continuación. Ea las tablas 1-1, 1-2 y 1-3 presentamos úrdenes de rmagnitud de distancias, intervalos y masas, en un dominio de intervalo muy amplio . TABLA 1-1 Órdenes de magnitud de distancias (en centimetros) 1055 — Distancia a la galaxia mãs alejada = Radio de nuestra golexia 1 — Unafoluz 10º — Tamaro del Sistema Solar Distancia de la Tierra al Sci mo Padiodel Sal 107 — Radio de la Tierra 5 Altura del monte Everest 10º — 1 Klómetro 5 Ameto 10º 4 centímetro Espesor de un pelo 5 Longitud de la onda de luz 10 o T Tamaro de las moléculas orgânicas 10 — Diâmetro dei núcieo da uranio tos -, Plêmetro de una panicula elemental TABLA 1-2 Órdenes de magnitud del tiempo (en segundos) Tiempo desde las primeras manifestaciones de vida en la Tierra 10!8 Edad de la raza humana Vida media del plutonio 1910 Vida media de! hombre 1 afio 108 — 1dia Vida media de un neutrén libre 1 segundo - tiempo entre dos 10º — latidos del corazón 103 — Tiempo para que ia cuerda de un violin efectús una vibración 4071? — Tiempo medio para que un átomo se mantenga. en excitación antes de emitir luz Tiempo para que un electrón gire en torno al 16715 — protón en el átoma de hidrógeno 102 — Tiempo para que un protón gire dentro del núcleo TABLA 153 Orden de magnitudes de masa (en gramos) Eisol 10% La Tierra La Luna 10% 10º — Untrasatlântico Un kilogtamo 10º — Ungramo Ala de um mosquito 101º — Gota de aceite de un atomizador 1029 — Átomo de uranio Protón 19 — Electrón é EJEMPLO 1 Sean dadas las siguientes medidas de longitud: 3x10m 4x102m 7x10%m 4) &uál es el orden de magnitud de cada una-de elas? Considereraos la recta siguiente, que representa el conjunto de los números racionales, en el cual sei A t t 1 1 axé Si se localizaa en esta recta las medicas indicadas, es fácil observar cuál es la potencia de 10 mãs próxima a cada una, Vemos, entonces, que 7 x 107 está comprendida entre 103 y 107, pero está más pró; maa 1gÊ Por tanto, ei orden de magnitud de 7 x 107 es 197) De manera semejante, tenemos el'orden de magnitudl de 3 x 1072 es 16 es 102 el orden de magnitud de é x 1 Obsérvese que esos resultados pueden obrenerse con rapidez (sin preocuparse por localizar las medi das en la tecta) de la siguiente maner. En ia medida 7 x 1979 considerando solamente el algorimo 7, se sabe que et orden de magnimd es 10. Por tante, el ordea de magritud de 7 x 107º será 10x 10 = 107º Podemos proceder de ia misma manera para deserminar et orden de imagaitud de otras medidas: 3x 1085 1x 10% = 102 dx 102 1x 1 = 10? à) Cuál es et orden creciente de las medidas proporcionadas? * Observe que el dibujo de la recta no se hizo en escala fineal, * No debemos preocupamos por esmblecer criterios rigurosos para determinar la potencia de 10 más próxima al número, puesto que el concepio de orden de magnitud, por su propia naturaleza, es una evaluación aprosimada, en fa cual no cabe ninguna preocunació cor rigor matemático. Por esa misma razén, cuando el número esté aproximaciamente en medio entre dos petencias de 19, será indistinto escoger una u cira para representar el erden de magnitud de aquei número. Capitulo 1 7 Cifras sigriicath farãos les punlos que representan aigunas potencias Ge Dr 4x 102 Es evidente, si se observa el orden de magnitud de cada una, que tenemos, 7x i0f<3x15< 4x 10 & EJEMPLO 2 Determine el ordem de magnitudl del número de gotas de agua que ceben en usa tina de Dano. Debemos, inicialmente, deerminar el onden de magnitud del volumen de una tina comán. Evidk temente, la longitud de la tin” estará comprendida entre im y 10 q, es decir, ente las siguientes potencias de 10: 10º m y 10! m. Es fácil percibir, lamibién, que esa longitud está mãs próxima a 1 m. Por tanto, el orden de magnitud del largo de la lina estimo 19ºm. Con semejante razonamiento, Itega- mes 4 la conchusidn de que las medidas, tanto de ancho como de fondo de la tina, están más próximas a 1 m, es decir, el orden de mageitud de ambas es de lmo 1Gºm. Por tanto, el orden de magnitud del votumen de la tina es imx1lmx im Para determi ar el tamanio del volumen de la gota de agua se pucde imaginar que tiene Forma cúbica. Una axista cel cubo está comprendida entre 1 mm (19 m)y 1 em (107? em). Pero es evidente que para una gota comúr, dicha artista será más próxima a i um. Por tanto, el orden del tama a gom es: to del volumen de 10êm x 102m x 197“m = um? El ordon de magrâud del númexe de gotas que cabea en la tina será, entonces: es decir, ;1 mil millones de gotas!  46 — Unidad | /INTRODUCCIÓN EJERCICIOS Antes de pasar al estudio de la próxima sección, resuelva las preguntas siguientes, consultando el texto siempre que sea necesario. 2. Mencione dos ventajas de la escritura de Jos números con la notación de potencias de 10. sa . Complete las igualdades siguientes, de acuerdo con el modelo. . “Modelo: cien = 100 = 10º «) mi= d)un centésimo b cien mil 8) un diezmilésimo = O unmilón= 4) un millonésimo = 4. Complete las igualdades sigutentes, de acuerdo con el modelo. Modelo: 3.4 x 10) = 340 000 2x 13= 9 75x102= tb) 12x 106= a Bx105= 5. Empleando la regia práctica sugerida en eltexto, escriba los números siguíentes en notación de potencias de 10, o 382 = o 0042- &) 21200 = o 075= O 62000000= 7) 0000069 = 6.) Dados los números 3 x 109 y 7 x 197, ecuál es mayor? 5) Coloque las expresiones siguientes en poten- cias de 10 4x10"32x102y8x 107 en orden creciente de sus valores. 7, Efectãe las operaciones que se indican: O 10x 10 = 48x 103 :L2x 10!= +) 105 x 10 = ue O axlotxáxiols (axo 100 10i = » IGx TOS à 108.10 = Eq Realice las operaciones que se indican: a SIxig t+ 24x101= » 64x10 -81x10'= e Para sumar O restar dos números que estên expresados en potencias de 10 y cuyos exponen- tes son distintos, aqué debe hacerse antes de efectuar la operación del caso? 20. Elecaúe les operaciones que se indican: a 28x 10 44x 102 = B 754X 08 -37x 107 = 13. La masa de la Tierra es: 5 980 000 000 000 000 000 000000 eg. à) Escriba ese número con la anotación de po- tencia 10. 5) cual será el orden de magnitud de tu masa de fa Tierra? 12. El índice de lecnura en Brasil es solamente de 2 libros por persona, por ado, mientras que en otros países desarrollados ese índice llega a 15 libros. «) «Cuál és el orden de magnitud del número de libros leídos, por aho, en Brasil? 5) ECuál será el orden de magnimwd cuando se logre el índice de los países desarrollados? 15. Una persona utiliza en promedio, por dia, apro ximadamente 200 litros de agua à) eCual debería ser el orden de magnimd, en meuos cúbicos, del volumen de un depósito capaz de suministrar agua para la población de cualquiera de lus ciudades más grandes dei mundo, durante 1 dia, sin reabasteci- miento? aCuáles son los órdenes de magnitud, en me- tros, de cada una de las dimensiones (longitud, anchura y profundidad) que usted proponcria para ese depósito? » 1.3 €lfiras significativas & Cifras correctas y cifras aproximadas. Imagine que rcaliza una medición, como sería, por ejemplo, la de la longitud de una barra (Fig. 1-6). Considere que la menor división de 1a regla utilizada es de 1 mm. Al intentar expre- sar ei resultado de esta medida, se da cuenta de que está comprendido entre 14.3 cm y 14.4 em. Ia fracción de milímetro que deberá de aumen- tarse a 14,3 tendrá que ser aproximada, pues la regla no presenta divisiones inferiores a 1 mm. Para efectuar esta aproximación, deberá ima- ginar el intervalo entre 143 em y 144 em FIGURA 1-6 Al efectuar una medición obtenemos ci- tras correctas y una cifra aproximada. subdividido en 10 partes iguales, y, con ello, la fracción de milímetro que debe aumentarse a 143 cm se podrá obtener con una estimación razonable, En la Figura 1-6 podemos apreciar que la fracción mencionada es de 5 décimos de milímerro, y el resultado de la medición se podrá expresar como 14.35 em Observe que se está seguro respecto de fas cifras 1, 4y 3, porque se obtuvieron gracias a las divisiones sefaladas en la cegla, es decir, son cifras correctas. Por otra parte, el número 5 fue aproximado, esto es, no podemos, estar bien seguros de su valor, por ejemplo, otra persona podría apreciar la cifra como 4 o 6, Por ello, este número estimativo, se conoce también como cifra dudosa o incieria. Capitulo 1 7 Ciras significativas 21 Es claro que no tendría sentido tratar de ver qué número deberia escribirse para la medida después dei número 5. Para ello, sería necesario imaginar el intervalo de 1 mm subdividido men- talmente en 100 partes iguales, lo cual es obvia- mente imposible. Por tanto, si el resultado de la medida se escribiera como 14.357 cm, por ejemplo, podíamos afirmar que la aproxima- ción del número 7 (segunda cifra aproximada) no tiene significado, y por elo, no debe apare- cer en el resultado. *& Cifras significativas. Por lo ya visto, en el resultado de una medición sólo deben aparecer los números correctos y el primer número apro- ximado. Esta forma de proceder es adoptada convencionalmente entre los físicos, los quími- cos, y en general, por todas las personas que efectúan mediciones. Estos números (las cifras correctas y Ia primera dudosa) se denominan cifras significativas. Por tanto, cifras: significativas: de “una, medida son los, númieros “correctos y el" primer fúmero «dirdgsos. ni Pie | De este modo, aí realizar una medición debe- mos hacer aparecer en el resultado únicamente las cifras significativas. El resultado de la medi- ción indicada en la Figura 1-6 debe, entonces, expresarse como 14.35 cm. * Comentarios, 1) Si cada división de 1 mm de la regla de la Figura 1-6 realmente estuviera subdividida en 10 partes iguales, al efectuar la tectura de la longitud de la barra (por ejemplo, empleando un microscopio), el número 5 pasa- ria à ser una cifra correcia pues corresponderia à una división entera de la regla (Fig. 1-7). En este caso, el número siguiente sería el primero aproximado y pasaría a ser, por tanto, la última cifra significativa. Si a] aproximar se encontrara, por ejemplo, el número 7, el resultado de la me- dida podria esenibitse como 14.357 em, siendo significativos todos los guarismos. Por otro lado, sita regia de la Figura 1-6 no mviese las divisiones de milímeiros (Fig. 1-8), únicamento los núme- ros 1 y 4 serían correctos. La cifra 3 sería el primer guarismo aproximado y el resultado de 3Z Unidad!/ INTRODUCGÓN FIGURA 1-7 Con estaregia, el numeso 5 pasaria aser una cifra correcta. ta medida se expresaria por 14.3 em, cem sólo tres cifras significativas. Vemos, entonces, que el número de guarismos significativos que se cbuenen en et resultado de la medición de una magnitud determinada, dependerá del aparato o instrumento empleado para tal fin. 2) La convención de enunciar el resultado de una medida únicamente con las cifras signífica- tivas cs adoptada de manera general, no sólo en la megición de longitudes, sino también en la de masas, temperauras, fuerzas, etc. Esta con- vención también es empleada al expresar los 15 FIGURA 1-8 Si se empleara esia regia, e! resultado de la medición de la fongitud deberê aparecer con sólo tros cifras. resultados de cálculos en que interviene la medición de las magnitudes. Cuando una per sona le informe, por ejemplo, que al medir (o calcular) la temperatura de un objeto cbuvo 37.82ºC, deberá entender que la mecida (o el cálculo) se hizo de tal mastera que los números 7 y 8 son correctos, y el último número, en este caso 2, siempre es incierto. 3) A parir de este momento podrá compren- derse que dos medidas expresadas, por ejem- plo, como 42 em y 42.0 em no sepresentan exactamente la misma cosa. En la primera, el número 2 se calculó en forma aproximada y no hay certeza acerca de su valor. Ea la segunda, el guarismo 2 es corecto, siendo el cero el número dudoso. De la misma manera, resulta- dos como 7.55 kg y 7.67 kg, por ejemplo, no sor. fundamentalmente distintos, pues sólo di- exen en e] número estimativo. EJERCICIOS óxima secciór, ultando el texto Antes de pasar al estudio de la resuelvs las preguntas siguientes, cor siempre que sea necesario jerando la figura de este ejercicio: a) Cómo expresarta usted lu longimsd de la bar AB &) &Cuál es el número correcto de esta medida? éY cuál el número aproximado? A B EZERZREmAA em Ejercício 14 15. iCuáles son tas cifras significativas de una medida? 16. Una persona sabe que el resultado de una medi cién dehe expresorse Gnicamente con tos guaris Capitio ? / Cifras significativas 43 mos significativos, Si esta persona afirma que la velocidad de um automóvil es de 123 Em/h: d) iQué cifras observa em el velocímetro (núme- ros correctos 8) «Cuál fue el número que sc apreció en forma aproximada (número dudoso? 47. Ta temperatura de una persona se mídio con e! empleo de dos termómesros distintos, sieado los resultados 36.8ºC y 36.80º€. ” “) ;Cuál es el número dudoso de la pri medición? 8) En la segrada medida, je! número 8 es corree- 100 dudoso? 13 1.4 Gperaciones com cifras significativas + De acuerdo con lo expresado, los resultados de cálculos en que intervienen mediciones so- lamente deben tener números significativos. Al resolver ejercicios de física, química, ete., iene- sos que realizar operaciones en que interven- gan medidas, y los resultados de ios ejercícios también deben expresarse únicamente con gu: rismos signilicativos. Para elo será necesário observar las reglas que prescntamos a cortinua- ción. St no se hiciera así, tas respuestas podrían tener números que no fucran significativos. *» Adición y susrracción. Supóngase que se desean sumas las siguientes cantidades: 28075 0.0648 83.645 525.35 Para que el resultado de la adición sólo presente números significativos, deberá observar, pri- mero, cuál (o cuáles) cantidadies) tene(n) el menor mtimero de cifras decimales. En nuestro ejemplo, tal valor es 2 807,5, iene solamente una cifia clecimal. Dicha cantidad sc maíntendrá tal como está. Las Cemás deberár. modiicarse ds modo que queden con el mismo número de cifras decimales que la primera que se eligis eliminândose de cllas tantos guasismos como sca necesario 1, en la expresión 0.0648 debemos omitir los números 6, 4y 8 Al eliminar los guarismos de una cantidad, el último número conserva- do deber entarse en una unidad si el número eliminado contiguo era superior a 5 (regia del :edondeo). Entorces, la cantided mencionada (0.0648) debe escribirse como 0.1 En la exprsión 83,545 Hay que eliminar los números 4 y 5. Cuando el peimer número eliminado sea inferior a 5, el último número con- servado permanecerá invariable; así pues, la cantidad 82.645 queda reducida a 83.6. Por último, en la expresión 525.35 debemos elirainar ci número 5. Cuando el pimer núme- ro eliminado sea exactamente igual à 5, será indiferente aumentar o no una unidad a! último número restante, De cualquier modo, las res- puestas sóio diferirán generalmente cn el último número, y esto carece de importancia, pues se a de una cifra incierta. Entonces, la expresión. 525.35 puede escribirse como 5253, o bien, como 525.4 Veamos pues, como efecar anterior: amos ia adición pennanece invaria quedará como se reduce a se escsibe coco 48 Unidad; 7 INTRCDUCCÓN acmalizada (en este curso de física usaremos casi exclusivamente las unidades ds este siste- ma). En la actualidad, el Sistema, Internacional de Unidades es aceptado universalmente, inciu- ss en los países de habla inglesa (donde hasta ahora se utilizan aún las unidades denominadas libra, pie, pulgada, etc.), pero se realiza en tales países un “gran esluerzo para su adopeión, no sóio en los trabajos científicos, sino también por la población en general. EJERCICIOS Antes de pasar al estudio de la próxima seccióm, resuelva jas preguntas sigutentes, constiltando el texto siempre que sea necesario, 24. Cite por lo menos dos unidades utilizadas con fecuencia en su vida diaria, para medir las si guientes magnitudes «) Longitud má & Volumes d) Tiempo 25. Consulte una enciclopedia, ua diecionarto u otra juenie y trate de expresar en cm et unlor de las unidadas inglesas que se indican em ja Figura 1.9 26. à) Considere las siguientes unidades de tiempo: Bora (h), minutolmin) y segundo(s). iConsti- tuyen éstas un sistema decimal? Explique. Para que usted note que un sistema no decimal dificulta considerablemente la realización de operaciones matemáticas, conteste la pregun- 1a siguiente: souál es la duración de un partido de votiol en ef cual cada set dura ter, ser-50min32s ado. ser- 49 mind5s Jer set-30 min 355 Presente su sespuesta en horas, minutos y segundos. 27. à Suponga que la durmeión de un evento haya sido 3.5 h (observe que estamos utilizando la nexacién decimal) jCree usted que ese inter- valo es mayor, menor o igual a à à 30 mi b) Considere un intervalo de 8.7 h. Expresc ese tiempo en Ja notación no decimal (horas y minutos), à Exprese en la noración decimal, utilizando la hora como unidad, un intervalo de 5 18 min. 28, à) El establecimiento dei Sistema Métrico Deci- mal en Francia se dió a partir de propuestas surgidas durante un acontecimiento histórico de repercusión mundial. ;Cuál fue? &) «Quién era empesador de Francia cuando se hizo obfigatoria la ensefianza del Sistema Mé- srico Decimal en fas escuelas de ese país? 29. «) Un país occidental importante no participó en la Conferencia del Metro, celebrada en Francia en 1875. «Cuál fue? &) Cuál fue la consecuencia de ese hecho? 30. 4) Cómo se denomina el sistema de unidades, estublecido en 1960, utilizado mundialmente que tiene como base al antiguo Sistema Métfi: co Decimal &) «Qué está ocurtiendo en relación con ese sistema en los países de lengua ingles: 31. 4) Considere ía definición del metro (rácse Figu- sa LD) y determine la fongimd de la línea det ecuador. Dé su respuesta en metros y em kiió- metros. En e! tablero de un automóvil se indica que ya “recorrió” 120000 km. aCuánias vueltes alvededor de la Tierra, a lo largo del ecuador, podria ese auto haber efectuado? s Las pregumtas sigudentes so elaboram pora que repase Jospuntos más importantes abordados en este capínio. AÍ resolvertas, acudia ai texto stempre duda, tenga una 1. Explique cómo se pueden escribir de manera treve números my grandes o muy pequeãos. Dé ejemplos. E Recordando sus conocimientos de matemáricas, diga qué debe hacerse para: «) Mulgplicar potencias de una misma base. 8) Dividir potencias de una misma base. &) Elevar una potencia a otra, d) Extraer la raíz cuadrada de una potencia é) Sumar O restar potenci 3. En el caso de una medición explique: à) Qué son las cifras correctas. Capítulo 7 Cifras significativas EP b) Qué es un guarismo aproximado. €) Cuáles son las cifras significativas. 4. Describa el procedimiento para que en el resul tado de una adición (o una sustracción) sólo aparezcan guasismos significativos. 5. escriba el procedimiento para que en el resul fado de una multiplicación (o una división) sólo aparezean números significativos, PRIMER EAPERIMENTO Usted ya debe saber que el número 7 és una constan- te, y que se obtiene dividiendo la longitud de una ciicunferencia cualquiera entre su dimeiro. Para abrener experimentalmente el valor de esta constante, baga lo siguiente: 1. Con ayuda de un cordel mida la longitud de ta circunferencia de cualquier objeto redondo (por ejera- plo, un disco, una botella, una lata, etc.). Ancxe la nãe- dlida sólo con sus cifras significativas. 2. Mida el diâmetro del objeto. 3. Con base en sus mediciones calcule el valor de x (observe las cifras significativas), y compare su resul- tado con el valor teórico que ya conoce er: matemá- ticas, à, Repita el experimento usando objetos de dife- rente diámet: , SEGUNDO EXPERIMENTO. Podemos medir fácilmente la longitud de une hoja de un libro o Ce un cuaderno, pero, por otra parte, tendríamos dificultades en medir su espesor. 1. Trate de obtener la medida, usando una regia de milímetros, del espesor de una hoja de un libro. «Logratia obrener alguna cifra significativa en esta medición? 2. Un auco sencilio permite resolver satistactoria- mente este problema: mida el espesor de una pila de hojas (un núsmero grande, digamos, de 100 hojas) Can base ea el valor encontrado, calcule el espesor de una de eltas. ;Cuástas cifcas significativas hay en su respuesta? 3. Con un procedimiento semejante intente deter- minar la masa de um grano de frijol y el volumen de fa gota de agua que sale de un cuentagotas | TERGER EXPERMEITO En su curso de Matemáticas usted aprendió algunas fórmulas que permiten calcufar el volumen de cuer- pos con formas geométricas sencillas (esfera, cilindro, cubo, etc.). Sin embargo, no es pesible encontrar una fórmula que permita determinar el volumen de un cuerpo de forma irregular, por ejemplo, una piedra. Eso, no obstante, puede hacerse experimentalmente con bastante tacilidad, de Ia siguiente manera: 1. Tome un objeto cuyo volumen quiera determi- nar (una piedra u otro objeto sólido y macizo cual- quiera). Procure obtener um recipiente graduado (en unidades de volumen) y ponga cierto volumen agua dentro de él. anote ei valor del volumen. 2, Introduzca el objeto en el recipiente, El objeto debe quedar totalmente sumergido en el agua. Haga 1a lecrara del volumen correspondiente al nuevo nivel del agua (volumes del agua + volsmen del objeto) 3, Con base en sus medidas, determine el volumen del objeto irregular (observo los algoritmos significa- tivos). Observaciones: 4) Si quisiera obtener un resultado más preciso, use un recipiente en ef cual el nível del agua sufra un cambio apreciable cuando el objeto se introduzca en él baga las lecturas de esos niveles con bastante cuidado. é) Si no consigue un recipiente graduado, podrá utilizar una jeringa para inyectar con e! propósito de medir el volumen del agua cuando el cuerpo se in- troduce en el recipiente (busque, usted mismo, entra de medir ese volumen utilizando la jeringa). Unided | / INTRODUCCION Ê PRI a | PIRES SEP INTE PERNAS A 1 nm w » w e = Mediante la nois ción en potencias de 10 exprese: a) Un área de 2 km? eo cm 5) Un volumen de 5 em? en m' «3 Va volumen de á litros en mm”, “) Una masa de 8 gramos en kg. nientes potencias de 10 10% 1915 191º 408 ao! escoja la que a su parecer representa con mayor exactiuá a) la población de su país. 8) la población del mundo. Determine cl resultado de la expresión siguiente: 105 x 102 x v1gé tuoty . à) Suponiendo que ei protón tenga forma cúbica, » y cuya arisea sea de 107 em, calcule su volumen &) Considerando que la masa de un protér es de 197% gramos, determine su densida (a den- sidad de un cuergo se obriene al dividir su masa entre su volumen), Al colocar con mucho cuidado sobre una super- fcie Sibre de un recipiente con agua, una gota de aceite cuyo volumen es V=6 x 177 crê, la misma se dispersa y forma una capa mey fina cuya área es 4=2x 10! em? Calcule el cspesor de esta lâmina de aceite, Observe los aparatos que se muestran en la jtustración de este problema. «) &Cuál es la forma adecuada de expresar la iectura del velocimenro? Cuál es el número incierto o aproximado? 5) iCuál es la mejor manera de expresar la lectura de la báscula? ;Cuântos números significativos hay en esta !ectura? Para probar su capacidad de percepeión de valo- res de algunas magnitudes, conteste las siguientes preguntas: 6) Trate de colocar sus manos separadas per una distancia que usted considere igual a 1 m. Enseguida, pida a un compafero que mída esa distancia. ;Logró usted calcular rezonabiemen- te bien la distancia de 1 mê Observe la fotografia de la Figura 1-11. Sin ayuda de aigão instrumento para medir, calcule el área do csa fotografa en cm?. En seguida, s Problema & smidiendo las dimensiones de Ja foto, calcute su área, (Es tazonable el cálculo que usted hizo? é Ponga en su mano un objeto cualquiera (este “bre, por ejemelo) y procure calcular su masa (en gramos o en kilógramos). Ahora, pese el objeto en upa báscula y verifique si su cálculo fue aproximado al valor indicado por el ins- tumento. Obseruación: Las actividades propuestas en (3), (b) y (6) de este problema puede cealizadas vo grupo de alumnos como si fuera un juego, para determinar quién efecnia cálculos más acertados, 8. En cada una de las figuras de este problema se presentan siluaciones en las cuales la persona está cometiendo um error. Tate de ideatificarios. 9, En cada una de !as figuras de este problema hay estores en las intespretaciones de ias lecruras de los aparatas mostrados. Trate de idenrificaros. 19. à) Mida el tiempo necesario para que el corazón cfectúe 160 latidos. Use un cronémetro o un Capítuio ? / Cifras significanvas 2% er Iveramens 17orê, de 7066820 gm te) Problemas amas Despuês “ETobjsto pesq 5 Nº ta seloj con segundero y exprese ei resultado con un número adecuado de guarismos sigaifica- tivos, 5 Con base. en el valor obrenido en (a), deter mine el intervalo entre dos latidos consecuti- vos (observe los guarismos significarivos) 11, Un tren viaja registrando los siguientes intervalos de tiempo entre ias diversas estaciones de su ruta: de 4a B:262h de ga C82h de Ga D:0873h de Da &3h «Cómo exprosaria usted correctamente e! tempo que taçdó: &) en ir de la estación Aa la estación G? 9 enirde Ba DX À en recorrer toda la rum? 12. Reafice las operaciones que se indican a conti nuación de modo que e! resultado solamente tenga cifras significativas. a 82x 108 +54 x 10! B 372x 104.265 x 1072 Sega A q v "La cortonta es de p.32 4! 13, Antes de efecmas las sigulentes operaciones, ex “El votaj es de 0.24 tb) to) Problema 9 prese los números en notación de potencias de 19. Calcule el resultado recordando lo referente a los números significativos 700 0.052 x Q.0084 20025 2” q à Tá. KCuáles de las igualdades siguientos presentas el resultado expresado adecuadamente. en relación con los guarismos significativos? (No es necesario efectuar operaciones, ya que numéricamente tos resultados son correctos.) a) 150x 12x 20x 101 = 3x 190º o 34lx WB 52x 02=341x 0º O 1701 x 2.00x 17% = 34x 1073 dj 92x 105:30x 102 =3.1x 10 15. Ai trutas de construir un modelo à escala del sistema solar, un estudiânte sepresentó al Sol por medio de un balón o pelota, enyo radio es igual a 10 em. Él sabe que el cadio selar tiene un valor aproximado de 10º m. 22 Unidads/ INTRODUCCIÓN: 4) Sicl radio de ta Tierra es casi 107 m, couál debe ser el cadio de la esfera que ja representaçá en ei modelo a escala? 8) Si se considera que la distancia de lu erra al soles 10! m, ;a qué distancia del balón deberá colecar el estudiante la bola que represente | Tierra? EG, EI ario-hez es una unidad de longitud que se emplea para medir distancias de objetos muy lejanos a nosotros (como las estrellas, por ejemplo). à) Realice una investigación para saber cuál es el valor de 1 afio-luz y exprese dicha cantidad en kum, asilizando la notación en potencias de 10. |) Trate de saber cuál es, en afios-tuz, la distancia de ia estrella más cercana. Exprese en km la magnitud de tal distancia. 17. La escala de una báscula está marcada sólo en kilogramos (no indica gramos). à icon cuántas cifras significativas obtendria usted su peso en este aparato? |) ACuál seria su respuesta a la pregunta anterior si usted pesara más de 100 lifos? à Si en dicha báscula colocara un paquete de mantequilla (de casi 200 gramos), cómo ex- presaria la lectura? dd Las sigutentes preguntas se seleccionaron de pnicbas de concurso para ingreso a Universidades y Paculta- des. Su objetivo es trasmitir al aluno una idea de cómo se formulan los exâmemes de Física pera ingreso a escuelas de nível superior. 1. Considere sus conocimientos de notación de po- tencias de 10 y marque a opción incorrecta. a) 2484 = 2.434 x 10º 4) un centésimo = 1072 &) 0.00025 = 2.5 x 1074. 6) ochenta y siete mil = 87x 105 é) dos millones = 2x 10º 2. Indique el resultado de la operación siguiente: 103 x (108 x fio 10? a ot 10 aim? b) 10 DI? 3. Dadas las potencias: 8 x 10º, 6 x 195, 102,5 x 10ºy 2x 1072, es correcto llegar a fa conclusión de que: o BxÊ> 5x0! > ob >6x 195 »2x 1072 6 5x 10! >8x 108 >10º >2x 172 > 6x 107? 95x10! >8x10 >6x10)>2x 1072 > 102 A 8x 10º >6x 105 »5x 10/>2x 102 > 10º é 6x105 > 5x 10) > 8x 102>2x 108 > 10º 4. De las siguientes igualdades, indique la que no es correcta: e 10 + 107 = 108 » 10-19! = 19 o sob + tolb=2x EEE RAN à, A) 34x 10 3x 106 = 31x 107 à 18x 107 = 10! 5. Si agregumos L7á x 10º em? de agua con 2.3 x 162 cmê de este mismo líquido, el volume tom obtenido se expresará mejor por (recuérdese ios algoritmos significanivos): ad 197 x 10) crê » 97x 10 em” o 197x 10 a) 1761 cm? 9 1.76 x 10 em? 6. 1a distancia media del Sol a la Tierra es de 1.496 x 19º km y de la Tierra a la Luna de 3.84 x 10º km. Cuando estos tres astros están alineados y lx Tierra en medio de los dos, Ia distancia del Soi a la Luna será: a) 5.336 x 10º km b) 5.336x 10º km é 1500 x 108 km dy 5.34 x 10º km 8 5,34X 10 km 7. Queremos expresar 234 m” en emê, sin dejar dudas en cuantos a los algoritmos significativos. Indique la opción adecuada: a) 2.34 mº = 254 cm? 5) 2.34 mê = 2340 em? à 234 m a)234 m? o 2341 8. ta medida de 47 kg se obtuvo para la masa de un cuerpo. Una manera correcta de expresar esa medida, en gramos, considerando los algoritmos significagivos, es: a 4700 g Dx g 0.047 5 atzx103g o dixits 9 La frecuencia, +, del fotón emitido por un átomo a suíris una transición, en la cual su energia cambia de & para £, está dada por ta fórmula: fe 81 b 4x 10fev 14x 10 Bev-s el valor de u, que puede calcularse con el número correcto de afgorimos significativos, es: a) 34x 10851 , a q34x ig isd o 3382x 1018 gd 4) 0.3382 x 10257" à 0358 x 107H so] 10, La aceleración de !a gravedad puede caleularse por la fórmula Me SS, donde Ri M=5.98x 10% kg G = 5.67 x 107U Nmi/kg? Ry= 6.34 x 10ºm El valor de g que puede calcularse con los datos proporcionados, con el número correcto de algo- ritmos significativos, es: a) 1.00x 10 m/s? Do x IPs O 1x 10m/s? d)01x 10 m/s é) 0.001 x 10 m/st Las Preguntas 11, 12 y 13 se refieren solamente al enunciado siguiente: Cálculos razonables muestran que el océano con- tiene un total aproximado de 1.5 x 101? kg de sodio. Además de eso, se estima que los rios Capítulo i/Cirassignifcativas 23 levan a! océano safes que aumentan la masa total de sodio en el agua dei océano 1.5 x 10! kg por afo. 11. Con base en los datos antes indicados, puede llegarse a ta conclusión de que ta edad def océano es del orden de: « 1017 aãos + 10Bafios à 1088 aros a) 10º aãos e io aios 12. fa masa total de sodio en el océano padria determinarse si se Conoce la concentración de sudio en el agua del océano y ademis: à) Etárea totul de la superfície de! océano. &) Elvolumea total de agua es el océano. O Ta diferencia entre la densidad del agua pura y del agua del océano. «f) Ta densidad del agua en el océsno é) la densidad del agua pura, 13. La determinación de la edad de las rocas más antiguas de la Tierra, mediante procesos radiacti- vos, indica una edad de casi 5 x 10º anios, y por obsexvaciones astronómicas, la edad del Universo se estima en 5 x 10? aos, Si se comparan estos resultados con los obrenidos por el método del sodio en ef océano, es correcto llegar a fa conclu- sión de que: a) La determinación de la ecad de Ja Tierra y del océano son necesariamente incorrectas. 9) a Tierça cs, em eealidad, más vicia que el océano. O La determinacién de la edad de! océano es incorzecta “) 1a determinación, por el método radiactivo, de ja edad de la Tierra es incorecta. É é) Las condiusiones antes senuladas no podrian obtenerse por la comparación de los datos proporcionados. Ejercicios Ze acione 3.01 1 8) 100 000 = 105 o 1000000 = 106 d) 0,01 = 152 compacta y tacilita Ia realización de ope- & 0.000 1 = 10-1 2 0.600 001 = 1058 4. ci) 2600 4) 1.200 000 a 0075 dy 0.000 08 5. a) 382 x 105 alas ot o 62x197 A) 42x 102 o 75x 17 O 69x195 £8 Unidaa 7 INTRODUCCIÓN o ta Tracemos dos rectas perpendiculares como en la Figura 2-1 (el empico de papel cuadricu- lado facilita esto trabajo). Sobre una de eltas situaremos los valores de volumen enlistados (y será cl eje de los volúmenes), y, sobre la ota, jos valores de masa (eje de las masas). Para ello, debemos escoger escalas apropiadas, es decir, elegir cierta longivad sobre un eje pasa representar un valor dado de la imagaitud, Por ejemplo, en e! eje de los volúmenes se tomará la siguiente escala: un segmento de 1.5 cm para representar 1 em”, Con esta escala ser mos en la Pigura 2-1, tas divisiones correspor- dientes 2 1 er”, 2 cm”, etc. En el eje de las masas M (gramos) emplearemos una escala distinta: 1 cm para representar 4 g. Obsérvense en la Figura 2-1, las divisiones correspondientes a 4 g, 8 g, 12 g, eicétera. Una vez elegidas las escalas de los ejes, procedemos a situar los puntos de la gráfica. cada par de valores de la tabla mostrada corres- ponderá un punto del gráfico. Por ejemplo, el punto 4, en la Figura 2-1, se obtuvo con los va- lores V=1 em” y M=8 g; el punto 2, con los valores V=2 cmi y M= 16 g, ec. Una vez locatizados los puntos 4, B, Cy D y compro- bado que se encuentran alineados, podemos unirios con una recta y obrener así el gráfico de Men función de V. Obsérvess que la recta pasa por el origen O, o sea, cuando V'= O tenemos tarsbién M = 0. Esto sucederá siempre que tengamos dos mageimdes ligadas por una pro- porción directa: 3 4 Va tomê) FIGURA 2.1 Esta grática representa la relación entre ia masa y el volumes de un trozo ce ferto & Pendiente de la gráfica. Ya vimos, en ja ecuación M = KV, que la constante de proper cionalidad K'es una característica importante de la proporcign directa. Veamos cómo obtener sz valor por medio del gráfico 'de una [unciên. En la Figura 2-2, que es una reproducción de la Figura 2-1, consideremos dos puntos ceales- quiera, como, por ejemplo, 4y C. El punto corresponde al volumen V4=1 cm? ya la masa Ma=8 g. Para el punto C, teremos Vo = 3 em? y Mec= 2á g. Por tanto, en el gráfico, al pasar de Aa Cobservamos una rariaciór en el volumes m tgramos) 28 24 20 fo 2 / Funciones y as 2% y una correspondiente varia nen la masa. La variación dol volumen será representacia por AV (la tetra griega 4, delta mayúscula siempre se utiliza delante del simbolo de una magaitud para representar su variación). Así, AV = Vo — Va. De la misma manera, AM representa la variación de la M= Me MA variaciones 4 V'y asa, es decir, in Ja Figura 2-2 se indican AM. 1a peneiienie (o snctinación) de la recta se define por ta siguiente celacióa: . AM pendiente de ja recta ar Comprobamos que cuanto mayor és el cociente AMA Y para la recta dada, tanto ma- yor será el ângulo que [ema con el eje de los volúmeres, et cual se denomina ângulo a á V. iomê FIGURA 2-2 La pendiente o indlinación de Ia recia se define como alga v, BG Unidad 17 INTRODUCAON M . v FIGURA 2-3 Cuanto mayor sea ei ânguio que una recta forma can et eje horizontal, tanio mayor será el valor de su pendiente o inclinación. de inctinación de la recta. Por ejemplo, en la Figura 2-3, que muestra la gráfica MxV para el Fe y para el Hg, observamos que la recta del Hg tiene una mayor inclinación que la del-Fe. Volviendo a la Figura 2-2 calculemos el valor de la pendiente de la recta. Al observar en Iz figura que AV= Vo- Vi =3emP tem obien, 4V=20 AM= Mç-Ma=24g-8g o bien, AM= 16 g vemos que . AM 168 pendiente de la recta « q; = a o que ta inclinación de la recta es 8 g/em”. Como ya vimos, la constante de proporcio- nalidad Kde la ecuación M = KV, también vale K = 8 g/cm?. Esto sucederá siempre que tratemos con una proporción directa; es decir, la inclinación o pendiente de la recta da el valor de la constante de proporcionalidad. Por tanto, » Generalización. Acabamos de estudiar un ejemplo de dos magnitudes que varan en pro- pocción directa: la masa y ci volumen. Existen muchos otros ejemplos de magnitudes ligadas por una proporción directa. Consideremos dos magnitudes cualesquiera, a las que designare- mos de modo general por Y y X (podrían ser, por ejemplo, la masa y el volumen, o la pre- sión y la temperatura de un gas, o bien, ta distancia recorrida y la velocidad de un auto- móvil, etcétera). LEA la gráfica de una; vaiiación proporciórial & EJEMPLOS3 En el Ejempla 1 obtuvimos los siguientes valores para el volemen de agua, V. recogido diante un tempo £ RA d s|10 | 30 Prue (as [3 [00] a Teazar ha grálica V x é En la Figura 2-5 escogemos las siguientes escafas para los ejes: 1 cm representa 5 segundos (5) 1 em representa 10 fitros (E) A continuación, empleando los valores oblenidos en esta tabla, se sitúan los puntos indicados cn la figura. AL unir los tres puntos obtenemos una recra que pasa por cl origen, como era de esperarse, pues Capítuto 2/7 Furcionesy gráficas 3% ea el Ejemplo 1 ya habiamos visto que las dos magnitudes estân relacionadas gor una proporción directa. 5) Cateutar Ja inclinación de la gráfica V x 1 Inicialmente elegimos dos puntos cualesquiera de fa recta, como, por ejemplo, los Ay E que se muestran enla Figura 2-5. De ésaa obtenemos, =90L-30Lo bien, tp-t4=305-10 50 bien, ar=205 1a pendiente será Av So 41º205 "A Observe que éste es el valor de la constante de proporcionalidad, el cual ya s plo 1 a a 20 25 30 tis) FIGURA 2-4 En el caso de una proparción directa v = aXla gráfica Yx X es una recta que pasa por el origen, y cuya pendiente es igual al valor de a. 32 Unidad | /INTRODUCCÓN EJERCICIOS Antes de pasar al estudio de la próxima secetón, resuelva las preguntas siguientes, consultando el texto siempre que sea necesario. 1. Cuando una persona compra una tela (de anchu- ra constante) paga por ella un precio P que depende de la longitud £ adquirida, Suponga que 1 m de cierto género cuesta 8 50.00. à) Complete la tabla de este ejercício con los valores de P correspondientes a los valores de E que se indican. &) Una vez terminada la tabla, al duplicar el valor de £ (por ejemplo, de 1 a 2 qm), jse duplica también el valor de £? à) 4% al triplicar el valor de £? é Entonces, «qué tipo de relación existe ente £ vi? 2. Considere la tabla del cjercicio anterior. a) Divida cada valor de P entre el valor de £ correspondiente ;El cociente EL vaia o es constante? Ea a (at NPoR | Pipósos). 1150 2 | 3 i 4 | Ejercteto 1 &) «Cuál es el valor de la constante de proporcio- naiidad K entre Py 2? é iCómo podemos expresar matemáticamente ha relación entre 2 y 2? 3. Como se sabe, el volumen W de una pelota de goma (o hule) es mayor, cuanto mayor sea su radio R Al medir los valores de Vy £ para diversas pelotas, encontramos que cuando &= 10 cm, V= 42 litros cuando R= 20 em, V'= 33.4 lios cuando R = 30 cm, V= 413 litros à) Si el radio de una pelota se duplica, gambién se duplica sy volumen? é) Y si el radio se triplica, cel volumen también se iriplicarát é) Entonces, ;podemos decir que V= R? 4 Un salón de clases míde & m de longitud y 6 m de ancho. Usando uma escala en la que 1em = 2m cescala 1 om = 2.m= 1/200): 4) Realice un dibujo que represeme ese salón de clases (planta de la sala). b) 4 parir dei ângulo inferior ixquierdo de su dibajo indique, sobre los lados, los puntes correspondientes a cada m de distancia. «) Un pedazo de gis se encuentra en el sueto de una sala, en una posición situada a ias siguien- tes distancias del ângulo inferior izquierdo. 6 m de longimd 4 m de ancho sefiale ea su planta, fa posición del peckizo de ais En: el diagrama mostrado en la figum de este ejercicio se representan los valores de Py 1 obtenidos es el Ejercicio 1 à) Sitúe en dicho diagrama, tos puntos cones pondientes a cada par de valores de Py £ b) Una tales puntos. ;Cuál es la forma de la gráfica obtenida? O Espemba usted este resultado? ;Por que? P (pesos) 200 w 150 100 + 12 3 4 Lim Ejorcicio 5 6. Empleando el gráfico que tazó en es ejercício anterior, diga: «) Qué precio debe pagaise por 3.5 m de tele? 8) cuêntos meiros de rela se podrian comprar con 5 75.00 7. En la figura de este cjercicio reproducimos et gráfico Px Ly seialamos es é dos puntos, Ay E a) Trace, en el diagrama, el segmento 41 que indica a diferencia entre las longitudes corres- pondientes à los puntos Ay 3. p ipesos) 209 156 8 ge 1 2:03 4 Lim Elercício 7 8) Trace, además, el segmento que representa la variación 4P para dichos puntos. Capítulo 2 / Funcionesy gráficas 33 «Cuáles son estos valores de AZ y à? 4) Empleando los vafores obtenidos en (c), calcu- e Ja inclinación de la recta, & Compare este valor de ia inclinació con el valor de X obtenido en el Ejercicio 2. &. Una persona comprobó que entes des magni- des X y Yexiste la siguiente relación matemática: à) iPodemos decir que Pe X? 8) Si ei valor de Xpasara de X=2a X=10(0 sea, el valor de X se multiplicara por 5), ;por qué factor quedaria multiplicado el valor de Y é eCuát es et valor ce la constante de propereio- nalidad q em a) iCuát es la forma del gráfico Yx x? “Cuál es el valor de ta pendiente de la gráfica? & E.2 Variación lineai *& Ya vimos que en ka variación proporcional directa, cuya ecuacién es = «X, cuando X= senemos V=(), y así, la gráfica Y'x Xes una recta que pasa por el oigen. Por ctra parte, hay casos en que esto no sucede, es decir, cuando X'= 0 teremos Y = 0, como veremos en el ejemplo siguiente y (a) tb) FIGURA 2-6 Lalongitud £ ce un resorte es funcién de la masa AM colocada en su extremo, * Expesimento con un resorte, Consi- ceremos un resorte heliccidal como el de la Figura 2-6a, cuya longiud es de 6 cm. Al colocar en su extremo una masa 44 su longitud £ aumenta (Fig. 2-6b). La tabla siguiente muesira Ios valores de 1 para diversos valores de M, obrenidos en el mismo experimento o 106 | 200 | 300 | 400 6 of 12) 15 | 18] Con estos datos construitnos et gráfico de ia Figura 2-7. Obsérvese que cuando M= 0, enton- ces L= 6 cm, y así la gráfica LX M es una recta que no pasa por el origen. En consecuencia, la relación entre 1. y M no es una proporcién directa Qué es una variación lineal. Siempre que representemos gráficamente los valores de dos variables y obtengamos una gráfica reclilinea que no pase por cl origen, diremos que ambas variables estân relacionadas por una variación lineal. Ast, en el ejémplo del resorte podemos decir que L varia Iimeabmente con M. BB Unigad |/ INTRODUCCIÓN mos la longitud de la arista o lado £ de una vasija cúbica de agua, por ejemplo, el volumen de dicho recipiente se vuelve 8 veces mayor (Pig. 213). Si trazamos la gráfica de Ven función de £, obtendremos la curva mostrada en la Figura 2-14. Esta curva es semejante al gráfico de la variación con el cuadrado (Fig, 2-12), pero debe observarse que no es una simple parábola, pues muestra upa inclinación más pronunciada conforme se incrementa Z, é EJEMPLO 2 Otra ejemplo de variación con el cubo se encuentra en la relación entre el volumen. W de una esfera y su radio R. Como ya sabemos, A qrê Va aR 3 Siendo (4/3)m una constante, vemos que Ve: Rê. Así, af duplicar Rel valor de V'se vuelve 8 veces mayor altriplicar Rel valor de Vse vuelve 27 veces mayor, etcétera. Esta vaciación con el cubo se observa siempre que estemos trabajando con volúmenés; al amplificar un ) 1 2.8 4 Ltm FIGURA 2/14. Este gráfico muestra cómo el volumen de un cubo varia cuando se incrementa la longitude suarista. cuerpo, és decir, al multiplicar todas sus líneas por un factor dado, comprobamos que el volumen de dicho cuerpo queda multiplicado por el cubo de ese factor. EJERCICIOS Antes de pasar al estudio de la proxima sección, resuelva las preguntas siguientes, consultando el texto siempre que sea necesario. 14. 4) Complete la tabia de este ejercicio con los valores de las áreas de los cuadrados, cuyos lados se indican en fa misma. Ejescicio 13 b) Duplicando 1 (por ejemplo, de 2 m a 4 m), apor qué factor queda multiplicada el área A O Y al triplicar E (por ejemplo, de 2 ma 6 m), ecuantas veces se vuelve mayor el área 42 «> iQué tipo de relación existe entre dy 15. 4) Si duplicamos el radio de un disco circular, icuântas veces se yuelve mayor su área? b) Entonces, si el área de un disco es 30 cmi, icuál será el área de otro disco cuyo radio es das veces mayor? 46. La celación matemática entre dos magnitudes Xy Yes Y=2X, «) iCuál es el valor de la constante de proporcio- nalidad a entre Yy 2 Si el valor de X se multiplicara por 5, ;cuántas veces se volveria mayor el valor de Y? s 47. 6) Considerando la relación matemática cel ejer- cicia anterior, complete la tabla de éste. o 1 2 3 4 Elerclcio 17 Y 35 3 8 20 15 10 5 12 3 Ejercicio 17 &) Empleando los ejes mostrados en la figura de este ejercicio y los valores de ls tabla, trace el gráfico x X & «Cómo se denomitia a curva que obruve? 18. 4) «Qué tipo de relación existe entre ci volumen Ve una esfera y su sadio R? 8) Si uriplicamos et cadio de una esfera, ;cuântas veces se vuelve mayor su volumen é) Entonces, si una esfera dene un volumen igual a 5.0 emê, ccuál será e volumen de otra esfera euyo radio es tres veces mayos? Capítulo 2 / Funcionesy gráficas 39 9, Suponga que entre dos magnitudes X y Yexiste ta siguiente relación matemática: Y = 0.1Xº. à) Si el valor de X fuese multiplicado por cierto número, spor cuál factor quedasia multiplica- do el valor de 7? 4 Ejercicia 14 Ejercicio 18 8) Considerando esta ecuación, complete la tabla de este ejercício. O Con los valores de esta tabla, trace el gráfico Yx Xen los ejes que se muestran ea la figura de este ejercicio. 4) La curva que obtuvo, jes una parábola? 2. Relaciones inversas *& En el estudio de la proporción directa y de las variaciones con el cuadrado (o cuadrática) y con el cubo (o cúbica), vimos que la magnitud Y se incrementa a medica que X aumenta. Por otra parte, tiay casos de relación entre dos variables donde el aumento de una, ocasiona la reducción de la otra. En otras palabras cuando X aumenta, Y disminuye. Vamos a estudiar dos casos en que esto sucede. 40 unidas 17 INTRODUCCIÓN * Proporción inversa. Consideremos dos magnitudes, Xy Y, tales que al duplicar X el vaior de Y quede dividido entre 2 al ttplicar X el valor de Y resulte dividido entre 3 al cuadruplicar Xcl valor de Y quede dividi- do entre é, ercétera. Cuando esio ocusre decimos que “Yes inversamente proporci o bien, “yes proporcional al inverso de X” Por sa o, podemos escribir x, al irtroducir la constante de proporcionalidad a, tenemos que a iobiwn r=£ 1X) X Y=a & EJEMPLO 1 Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil con una distancia Ce 180 km entre una ciudad y otra. Sea X la velocidad dei auto y Y ct epa transcurrido en e! viaje, Es fácil concluir que siX= 30 km/h —s 6h siX=60 km h— Y=3h siX=90 knvh— Y=2h, eteétera. Vemes que al duplicar X el valor de Pqueda zecucido a la mitad; el triplicar X, cl valor de Y queda divitido entre 3, ele. Por tanto, podemos decir que “el tempo del viajo entre las dos ciudades es inversamente proporcional a ta velwcidad desarro- Vaca”. Si trazamos ei gráfico Yx X con los datos obreni- dos, resultará la curva de la Figura 2-15. Siempre que represenremos gráficamente la relación Y= 4/%, en contraremos una curva de este tipo, [a cual se conoce como bipérboia. * Variación con ei inverso del cuadrado. Veamos ahora una situación en ia cual, cuando X aumenta, Y disminuve en una proporción õ 30 60 so 120 X FIGURA 2:15 Guarcio Y es inversamente proporcio- nata X tenemos Y = a/X la gráfica YxX es una bipérboia. mayor que e! caso que acabamos de estudiar. Supongamos que ai duplicar X el valor de Y'se vuelve 4 veces menor al iriplicar X cl valor de Y se yuelve 9 veces menor al cuadruplicar X el valor veces menor, etcétera ie Y'se vuelve 16 Cuando esto sucede decimos que “Yes inversamente proporcional al cuadrado de x o bien, “yes proporei de x”, al al inverso dei cr do Así pues, podemos escribir y, al introducir fa constante de proporcionalidad a, 1) a Y=al=|obier, Y=>5 KR x é EJEMPLO 2 Imaginemos un foco O lámpara eléctrica que emite luz en todas direcciones. AL interceptar un haz lumi- nose por medio de una hoja de papel colocada a ema distancia d del foco, tendremos sobre la heja na cierra FIGURA 2:18 La intensidad luminosa sobre una pan- talla es inversamente preporcionas e] cuadrado de su distancia a la fuente luminosa. intensiciad inminosa 1 (Fig, 2-6). Este efecto lumino- so se puede medir por medio de un fotómero. Al atejar de la lâmpara la hoja observamos una disminu- ción en la intensidad de iluminación, indicada por el rento determinado, al colo s distancias d del toco, se obtuvieron con el aparato de mecición las siguien» tes lecturas para cada caso: fotômetro. En un experi para d=10cm —s I= 72 para d=20 an —=» T= 18 par d= 30 cm 7 para d'= 40 cm ——s f= 4,5 escétera Ai observar esta tabla comprobamos que al cuplicar d'cl valor de fquedo dividido entre : triplicar d el valor de F tesultó diviclido entre 5 ai cuadruplicar del valor de Tqued dividido entre 16, ercétera, Por tanto, concluimos que ln intensidad de Ja ilemi aación sobre la hoja de papel cs inversamente pro- porcional al cuadrado de su distancia del foco luminoso, y así podesnos esenibir:* * N. dei B. Ia constante a de proporcionalidad es la irntensidad luminosa de la se simboliza gor 4 sente de tuz, y en la práctica Capíuio 2 4 Furciones 72 1 20 mw 4 € tem) FIGURA 217 Este gráfico se elaboró con los valoras de !y d que se obtuvieron al alejar la pantalla del ioca luminoso, Figura 2-16 1 8 1x “50 bien, [=-É (a = constante) d a? Si trazamos el grálico 7x a, obtendremos la curva de la Figura 2-17, que es parecida a la hipérbola Fig. 215), Pero en la variacién hiperbólica (propor es igua! al ntímero entre e cuai se divide Y, mientras que en ia variaciór, con el inverso del cuadra tag res de Y disminuyen según q razón mayor que en la proporción inversa Existen muchas otras relaciones entre dos magnitudes, además de las que presentamos en este capítulo. Por otra parte, lo que se ha visto bastará para estar en condiciones de analizar y entender en forma práctica la casi toralidad de los fenómenos físicos que estudiaremos en nues- tro curso EJERCICIOS Antes do pasar al ostudio de la próxima sección, Testtolira das preguntas sizuiontes, consultando el sento siempre que sea necesario. 20, Observando la tabla de este ejercicio, diga: à) Cuando se duplica el valor de X(de = 1a X= 2), sente cuvínta queda dividido el valor de Y? Y cuando se rriplica el com el valor de 4º E) ator de X, «qué sucede €2 Unidad |/INTRODUCGÓN 2 15 3 10 4 5 Ejerciclo 20 & Entonces, qué tipo de relación existe entre Y yX «) Con base en la respues rior, complete ta tabla. a ka pregunta ante 21. 4) Con los dutos de la tabla del ejercício anterior, trace el gráfico YxX empleando los ejes mostrados en la figura de este ejercício. b) «Cómo se lama la curva que obtuvo? 22. Sabemos que entre dos magnitudes Xy Yexiste ta siguiente relación matemática: 14 Ca à) Considerando la expresión anterior, complete la tabla de este ejercicio. RES 2 4 [o Ejercicio 22 &) Cuando se duplica el valor de X (de X- 2a X= 4), jenece cuánto queda dividida Y? O Y cuando el valor de X'se triplica, qué sucede con el valor de Y? e) «Qué tipo de relación existe entre Yy X? é) Si trazáramos ei gráfico Px X, sobtendriamos una hipérbola? Ejercicio 21 2.8 Un tema especial fpara aprender más] Cambio de escalas “> Figuras y objetos semejantes, Listed ya tiene idea de lo que son las figuras semejantes, como es &l caso de los triângulos semejantes es- tudiados en su curso de Matemáticas. En la Figura 2-18a, por ejemplo, se muestran dos triângulos, sales que los lados del mayor se obtuvieron al multiplicar câda lado menor por un mismo número (y se mantuvo invariable el valor de cada ângulo interior). Es justamente ese hecho lo que hace semejantes a dichos trián- gulos. De esta manera, cuando las dimensionas lineales de un objeto (por ejemplo, la longitud, el ancho y la altura de una caja) son alteradas en ta misma proporcién, obtenemos un objeto semejante al original. Por ota parte, las propie- dades de este nuevo objeto, cserían iguales a las del original? La experiencia nos enseia que cuando una estructura cualquiera (el cuerpo de un animal, la armazón de un edificio, un modelo de avión, etc.) es ampliada o reducida, visual mente es igual que la original, pero sus propie- dades pueden sufrir enormes modificaciones. “Por qué sucede esto? Tratemos de dar una explicación * Fesistencia de una columna. Llamemos resistencia (R) de una columna al peso máximo que puede soportar sin caerse. Podemos com- probar fácilmente que esta resistencia R es pro- porcional al área de la sección transversal de la columna (Fig. 2-18b), es decir, cuanto más gruesa sea, tanto mayor será su resistencia. Pero elárea de la columna es proporcional al cuadra- ru c A c FIGURA 2-182 E! triângulo 4 B' CG se obtuvo aí multiplicarse ios lados del triângulo ABC por un mismo número, Capitulo 2 /Furcionesy gráficas 43 FIGURA 2-185 ta resistencia de una columna es proporcional al área de su sección transversal, do de sus dimensiones lineales (1). Asi pues, tenemos: Res AycomoAcI? entonces Rel? Por ejemplo, en la Figura 2-18b, la columoa más gruesa, del mismo material que la más delgada, y cuya sección transversal tiene unas dimensio. nes lineales dos veces mayores, tendrá una resistencia é veces más grande. Es fácil observar que la sección de la columna más gruesa corres ponde a 4 áreas iguales y la columna más deigada y cada uno de esos cuadrados, de área A, puede soportar la misma carga de una colum- na más delgada * Variación del peso de un objeto con sus dimensiones, Por otra parte, el peso (P) de un cuerpo es proporcional a su volumen (V). Pero el volumen del mismo es proporcional al cubo de sus dimensiones lineales (L). Por tanto: Pe Yycomo Vs Ià resulta que Pajê Así, la botella de la Figura 2-19b, que tiene dimensiones lineales dos veces mayores que las de la botella de la Figura 2-19a, tendrá un peso 8 veces mayor que el de esta última. Lo mismo ocurre con cualquier otro objeto, como una esta- tua y su miniatura, hechas con et mismo mate- rial, o un árbol y una especie suya miniaturizada 48 Unidad | /INTRODUCCIÔN se triplica? Cuando se cuadruplica? Entonces, qué tino de relación debe existir entre 4 y 4? b) Empleando los valores tabulados, trace ta gráfica 4x A. ECómo se llama ta curva que obtiene? & Usando el gráfico obtenido, intente deser- minar cugl sería el tiempo de escursimiento si el orifício tuviese un área À = 2.54. Haga lo mismo para un orifício de área A = 0.54. pr E : ii 1. Ea tabla de este problema muestra las distancias recorridas por un autsmóvil y el consumo de gasolina correspondiense a cada recortido. «à Empleando los valores tabulados, trace el gráfico dx G. &) «Qué tipo de relación existe entre dy G? & Calcule la pendiente de Is gráfica. 4) Enterprete cd significado de lá inclina Ra Ma AE o 20 25 40 so sao 75 t 80 10. Problema 1 2. La figura de este problema qmuestra ta gráfica de la distancia recorrida, d, en función det consumo de gasolina, G, para dos autos 4 y 8. Con base em su respuesta a la pregunta (d) del problema anterior, diga: qué auto es más económico? Problema 2 3. Usted sabe que la longitud, C, de una circunfe- rencia de radio R está dada por C= 27R. a) «Qué tipo de relación existe entre Cy R? &) «Cómo seria el gráfico Cx R? é) ECuál es el valor de la pendiente de Ia gráfica? 4. Sefiale, entre las afinmaciones sigutentes, las que corresponden a una relación de proporeióa di- recta entre dos magnitudes Yy X a) Al multiplicar X por un facior, Y queda multi- plicada por el mismo. 8 El producto Xx Y permanece constante. à Elgráfico Px Xesura recta que pasa porelorigen. à) Conforme X crece, Y disminuye. à El cociente WA permanece constante. 5. Considere el gráfico Yx X mostrado en la figura de este problema. a) Empleando los puntos By €, calente la pen- diente de la recta. &) Repita el cálculo de la inclinación utilizando ahora otros pantos (por ejemplo, 4 y D). à Compare las respuestas de (a) y (b) y deduzea una conelusión. 6. En un servicio de taxi en cierta ciudad deben pagarse $10.00 de “banderazo! y $4.00 pos kilé- merso. Sea d la distância recorrida por el taxi, y Fel importe por pagar. Problema 6 < — isa Capítulo 2/ Funcionesyoráfica 49 Problema 5 à» Complete la tabia de este problema 8) Usando los valores tabulados, trace la gráfica Pxd. 0) Por medio del gráfico, determine el precio de un servicio de 35 km. o ál es et tipo de relación entre Py d? e) Escriba la expresión matemática que relaciona Pyd 7. Considere dos magnitudes X y Fiales que el valor de Ypemmanezer constante, mientras que el valor de X aumenta. Haga un dibujo que muestre la forma del gráfico Yx X 8. Un carpintero fabrica discos de madera con diá- metros de 10 cm y de 20 cm, ambos con el mismo grosor. Siendo $10.C0 el precio de los discos más chicos, scuânto deben costar los grandes? 9» AI dejar caer un cuerpo desde cierra altura, du. tante un tiempo trecorre una distancia d La Tabla Re em 1 50 2 20 3 4s 4 so Problema 9 de este problema muestra los valores de ; y d obtenídos en un experimento. Analice la tabla y escoja, entre las opelones siguientes, la que ex- presa correctamente Ia relación entre cy é «) det ) &) civaria linealmente con 1 q dei a de 9 def? u 5 . Suponga que la cisterna del abasto de agua de una casa es cúbica y tiene un volumen de 2 700 liros. Si el depósito fuesc sustituido por ctro, también cúbico, cen una atista tres veces más chica, entonces: à) Cuúntas veces menor será el volumen de la nueva cisterna? 3) eCuântos livros de agua se podrian almacenar? 1 . Us medicamento debe administrarse a un enfer- mo, cn dosis de 8 gotas à la vez, empleando un cuentagotas. Como no se dispone de él, se usa otro que deja salir gotas con «en diâmetro dos veces mayor. En este caso, «cuántas gotis debern administrarse al paciente? 1 B . Se sabe que el volumen de un gas, af cial se le mantiene à una temperatura constante, es inver- samente proporcianal à fa presión ejercida sobre é. Considere 100 cer de va gas sometido à Una presión determinada. A] mantener su tem- peratura constante y hacer que la presión sobre el gas se vuelva cuatro veces mayor, iqué volu- men ocupará? EO Unidad i/ INTRODUCCIÓN Fà n i m R ! T Problema 15 13. Dos magnitudes, X y Y, varfan de tal modo que su producto permanece constante. Senale, entre las opciones siguientes, la que describe correcta mente la telación antre ambas: Yes directamente proporcional a X &) Yvaria lineaimente con X. à) Yes proporcional al cuadrado de x. d) Yes inversamente proporciona! a X. é) Yes inversamente proporcional al cuadrado de XxX 14. Los experimentos dermuestran que la fuerza de atraceión entre un imán y un clavo es inversamen- te proporcional al cuadrado de la distancia que media entre ambos. Suponga que un imán, situa doa 2.0 cm de un ciavo, ejerce sobre éluna fuerza de atracción de 27 unidades, aCuál será el vaior de la fuerza si la distancia entre el objeto y elimán se aumentara a 6.0 em? 35. Una persona, al hacer mediciones en um labora- torio, comprobó que cierta magnitud Fes fuación de otras tres: m, Ry T Sus medicioçes le permi- tieron trazar los gráficos mestrados en kz figura &e este problema. Observando dichas represen- taciones, seitale, entre las siguientes relaciones, la que puede descnibir correctamente el resultado de los experimentos. 9 Pe b) Fo E 2qa mt T à pe Fe mRT 16. Escriba la relación matemática ene Y'y X para el gráfico (cg de la figura de este problema. Haga lo mismo para el gráfico (b). 1 . Al adquirir un terreno llano, una persona examina un dibujo o plano de dicha extensiõa, construido a una escala de 100:1. é iCuál es la distancia entre dos puntos de terreno que, en el plano, corresponde a una do 0.20 m? Cuál es el área dei terreno, si sabemos que el rea en el dibujo es de 0.20 m?? 2) 18. El alcance 4 de uma estación de televisión está relacionado con lx altura bde la antena de la emisora, por una ecuación cuya forma aproximada es: A= dx IG (con A y b medidos en metros) tb) Problema 15 29, En Congonhas do Campo é Cuando la altura de una antena se duplica, scuântas veces se vuelve mayor el alcance de ta emisora? by &asântas veces mãs alra deberia estar la antena para que el alcance de Ia estación se duplicara? à Usando la relación matemática entre 4 y b, complete la tabla de este problema y trace el gráfico A x b (observe que así traza la gráfica de una magnitud que vasía proporcionalnente con la raíz cuadrada de olra magnitud). + 16 25 Problema 13 t9. Un nião sale de su casa, camina por la calle hasta una ienda donde toma un refresco, y en seguida, regresa a su hogar. En la figura de este problema, 4 representa el tiempo transcurrido desde el ins- tante en que salió de casa, y d la distancia hasta su domicilio en cada instunte. Trate de interpretar el grálico que describe el movimiento del nifo y conteste: a) Qué distancia hay de la casa del nião à la tienda y cuánto tarda en llegar a ella? &) iCuánio tiempo permanece ahi iCuânto tardó para volver a casa? ras Gerais, Brasil), conde se encuentran unas célebres estatuas de dim) 200 so 19 Problema 18 15 Capitulo 2/7 Funcionesygráscas 51 Problema 20. Estatua de una de los proietas escuipida por Aleijadinho. os profetas esculpidas por Aleijadinho, los artis- tas modernos realizam miniaturas de estas obras en et mismo tipo de piedra-jabón que empleó el farnoso escultor. Una de estas miniaturas, con 20 em de altura pesa cerca de 2 kilos. Sabiendo que la estatua original tiene 2 m de altura, ccuát debe ser, aproximadamente, el peso de dicha estara? 20 25 t Eminutos) 52 Unidad t/ INTRODUCCIÓN 21. Considere una perscna que mide 1.6 m y pesa 80 litos, capaz de transporrar en su espalda, una carga no mayor de 100 kilos. à) Si todas las dimensiones lineales de esa pessona se multiplicaran por dos, scuál es la carga máxima que ese gigante seria capaz de tiansporta? dHasta qué altura seria posible amplificar a esa persona, sin que el gigante así obtenido se cayera debido a su propio peso? s 22. Elnotable físico italiano Galileo Galilei, en el siglo xt se interesó en cl estudio de los efectos producidos por alteraciones en las dimensiones de los objetos, como vimos en la Sección 2.5 (Cambio de escalas). En uno de sus trabajos imaginó a dos animales semejantes, tales que uno tuviera sus dimensiones lineales tres veces más grandes que ctro. Analizando este cambio de escata, Ilegó a la conclustón que el animal mayor deberta tener los diâmerros de sus huesos smucee teces mayor que el del animal menor para que ambos tuvieran la misma agilidad. Hay un error en la conclusión de Galilei. Por quê? z 8 . Un problema experimental, La tabla de este pro blema presenta las masas de diversas colecciones de monedas, Todas son iguales. 4) Trace un gráfico masa (m) x número de mo- nedas (N) y descarte alguna medición dudosa. b) Debe ese gráfico pasar por el origes? Por quê Utilice el gráfico para determinar la masa de 20 monedas. 4) iuántas monedas tendrán una masa total de 127 gramos? (utilice el gráfico). Determine la inclinación del gráfico. «Qué representa dicha inclinación? £) Escriba la relación matemática entre m y N. & g 17 sa 22 108 25 127 1 e 137 s 152 3 | 18 E 38 187 Problema 23 LAS sigudentes preguntas se seleccionaron de pruebas de concurso para tngreso a Universidades y Fecuita- des. Su objetivo es trasnuitir al alummo una idea de cómo se formulan los exâmenes de Física pera ingreso a escuelas de nivel superior. 1. Sugonga que una persona le dice que una niag- nimacl Yes directamente proporcional a otra magnitud K Las opciones sigujentes presentan conclusio- nes que usted podrá obtener de esta información Indique la incorrecta: 4) Si se duplica X, el valor de Y'se duplica, El gráfico Y x Xesuna recta que pasa por elorigen. à Elcociente Y/ X es constante. «) La relación entre Yy Xes de la forma Y= ai é) Los valores de Y son siempre iguales a los valores de X 2, Sca L lu longiud de un resone suspendido verti- calmente y M el valor de una masa colgada en su extremo. En la tabla siguiente se muestran los valores de Ly M obtenidos en un experimento: fg 0.50 10 15 20 ton] 12 14 18 18 Todas tas conclusiones siguientes están correctas, excepto: a) L varia iinealmente con 4 d) El gráfico £ x 4 es rectilíneo. à) La inclinación del gráfico Lx A vale 40 cam/kg. & La relación matemática entre Ly Mes L=40 M +10. & Cuando 4 = 0, debemos tener £ 3. Dos magnitudes fisicas estân relacionadas de acuerdo con fa siguiente expresión: y=7:2+ 31x. De los gráficos cartesianos siguientes, el que mejor representa esta relación es: m mp p Pregunta 3 4. Para vaciar una alberca, se utiliza una bomba de desagãe con fluja constante, sCuál de los gráficos cartesianos siguicntes representa la masa de agua en ta alherca im, en función del agua que se saca (me)? ” ta me to) Me Me Me te) Pregunta 4 5. Enun experimento, la interdependencia ente tes magnitudes X, Yy Zse investigó de la siguien- te manera: se astgnaron arbitrariamente valores a Capímlo2/Furcicnesygráicas E3 pasa Y y se midieron los valores correspondientes de X con lo que se obtuvo el gráfico (1). & continuación, se asignaron valores arbitrarios a Z, se milleron los velores correspondentes de Y y se obruvo el gráfico (23. Cuando Z vale 1.5 el valer de X sesãr ou 3 917 DIB & Diferente de los valores presentados en las alternativas agieriores, Durante un periodo de 30 dias se registra la diferencia £f, — 9) entre las horas que indican dos relojes, 1 y 2. Los tesultados se muestran en el gráfico cartesiano de abajo. En relación con este periodo de 30 días, cuál de las siguientes alter nativas es cocrecaa, segén ios datos del gráfico? a) Al finai de los , un roloj estaba adelan- tado é minuios en celación con ei ciro ») Durante 3 'diss, el mayor axaso de un reloj en relación con el otro fue de 1 minuto, O Uno de tos relojes siempre estuvo adeiantado o à tiempo en relación con el otro, 4) Por lo menos tres veces fos relojes ind: ta misma hora, é Durante aproximadamente una semana, uno de los relojes estuvo adelaneade en relación con el otro. ron Ty — Ta (min) E A vias PreguntaG 58 18, 19. . 2 0GQ kilos 14. d Unidad | / !NTRODUCCIÓN rh 24. «) 80 kilos 8 405m 22, la relación entre los diámerros de los huesos de los animales deberia ser 27 = 5.2 Guestionario Le s Ze 3a x 4a Respuesta Problema 7 sb se 7.b b) 2.000 m? Be a) Lá veces 9d 5) 4 veces 19.e a) 200 my 5.0 minutos il.a 6) 10 minutos 12. d & 10 minutos 13.d  Fotografia estroboscópica de un "golpe" en el golf. La Cinemática trata de describir movimientos como los de ta foto. GB Unidad 7 CINEMÁTICA 3.1 Imniroducciêm Hasta ahora, en los capítulos anteriores, hemos estudiado los ternas introductorios necesarios para el desarrollo de nuestro curso. En este capítulo comentaremos nuestro curso de Física propia- mente dicho, y daremos los primeros pasos hacia el estudio de la mecânica, comenzando con la Cinemética. & Qué se estudia en Cinemática, Cuando estudiamos esta disciplina tratamos de describir los movimientos sin preocupamnos de sus cau- sas. Por ejemplo, ai analizar el desplazamiento de un automóyil, diremos que sc mueve en forma recta, que su velocidad es de 60 km/h y que luego aumenta a 50 km/h, que describe una curva, etc, pero no tratamos de explicar las causas de cada uno de estos hechos. Esto se realizará, à partir del Capítulo 5, donde estudia- semos tas leyes de Newton. “+ Qué es una partícula. Es muy común al estudiar el movimiento de un cuerpo cualquiera, que lo irateros como una partícula. Decimos que un cuerpo es una partícula cuando sus dimen- siones son muy pequeiias en compatación con las demás dimensiones que participan en el fenômeno. Por ejemplo, si un automóvil de 3.0 m de longimd, se desplaza 15 m, no podrá consi- derarse como una partícula; pero, st el mismo autemévil viaja de una ciudad a otra que dista unos 200 km, la longitud del automóvil sí será despreciable en relación con esta distancia, y en este caso, el automóvil podrá ser considerado como una partícula (Fig. 3-1). Cuando un cuerpo se puede considerar como una partícula, el estudio de su movimiento se simplifica bastante. Por este motivo, siempre que hablamos del movimiento de un objeto cualquiera (a menos que se indique lo contra rio), lo estaremos considerando como si fuese una partícula. Efmovimiento es relativo. Suponga que un avión, al volar horizontalmente, deja caer una bomba (Fig. 3-2), Si observara la caída de dicha bomba estando dentro de la aeronave, observaría que cue segun una línea vertical. Por otra parte, si se estuviera de pie sobre la super- FIGURA 3-1. Decimos que un cuerpo es una partícula cuando sus dimensiones son despreciables en compa- ración con las demés dimensiones en el problema. FIGURA 3-2 Ei observador A dentro del avión, ve que ia bomba cas verticalmente. Para et observador 8, su trayectoria es curvilínea. ficie de la Tierra (en B) observando ta caída de la bomba, se advertiria que al caer describe una trayecioria curva, como se muestra en la Figura 3-2 En el primer caso, decimos que el movimiento de la bomba estaba siendo observado tomando como punto de referencia a! avión y, em el segundo caso, desde una referencia en ia Tierra Este ejemplo nos demuestra que idiana, se encuentean varios ejemplos de esta dependencia del movimiento en relación con el punto de referencia. Exami- nemos el caso de la Figura 3-3: el observador 8, sentado en un4 focomotora que se desplaza sobre una ví4, y el observador 4, de pie en tierra, observan una lámpara fijada al techo de la cabinz. Para el observador A, la lâmpara y el observador 8 se encuentran en movimiento, junto con la máquina. Por otra parte, desde el punto de vista del observador 2, la lâmpara y la locomotora se hallan en reposo, mientras que el observador A se desplaza en sentido contrario al del movimiento del vehículo. En otras palabras, B se despluza hacia la derecha con respecto al observador 4, y A lo hace hacia la izquierda en relación con el obseruador 5. Otro ejemplo importante de la dependencia del movimiento en relación con el punto de referencia, és cuando se afirma que la Tierra gira alrededor del Sol. Esto es verdad si el punto de referencia es el Sol, es decis, si el observador se imagina situado en ese lugar, viendo cómo se mueve nuestro planeta. Por ota parte, para un Capituio 3 / Movimiento cectilneo 63 FIGURA 3-3 La lámpara está inmóvil en relación con el observador 8, pero se encuentra en movimiento en. relación con el A, observador en este último (punto de referencia enla Tierra), el Sol es el que gira à su alrededor. Así, lo mismo es decir que la Tierra gira alrede- dor del Sol, o viceversa, siempre y cuando se indique correctamente cuál es el punto de refe- rencia de la observación. El asirónomo Copér- nico (siglo xvD y el físico Galileo (siglo md tenan una visión clara de estas ideas, pero la mayoria de sus contemporáneos no podían comprendestas, y por tal causa Galileo fue vie- tima de persecuciones y obligado a comparecer ante cl Tribunal de la Inquisición, quien lo obligó a afirmar que la Tierra no podria estar gitando alrededor del Sol. Casi siempre, nuestros estudios del movi- mento se hacen tomando a la Tierra como punto de referencia (un observador inmóvil en la superficie de la Tierra). Siempre que vufili- cemos oiro punto de referencia, eilo sc indicará expresamente. EJERCICIOS Antes de pasar al estudio de la próxima sección, resuelva las preguntas sigutentes, consultando el texto sictapre que sea necesario %. La distancia de la Tierra al Sol es casi 10º veces mayor que el diâmetro de Ia Tierra. Al estudiar el movimiento de ésta altededor del Sof, idiría usted que ja podemos considerar como una partícula? 2. Un satélite antilícial, de 10 m de radio, está girando en torno de Ja Tierra à una altura de 500 km. Sabemos que el radio terrestre tiene ur valor de casi 6000 km. En el estadio de este movimiento: “) da Tierra se podria considerar como una partícula? B éX cl satélite? 68 Unidadil / CINEMÁTICA ienifica que la distancia recorrida por él haya sido de 80 km, pues no tuvo que haber partido, necesariamente, del Kilômetro cero. Corsideremos Ía gráfica de la Figura 38, donde 4 representa la posiciór de un auto en relación con el punto de partida. interpretando este diagrama, podemos decir que en el instante t=0(en el cual comenzamos a contar el tempo), el auto sc haitaba cn fa posición d'= 20 km, o sea, se encontraba en el kilômerro 20 de la casretera. Después de 1.0 h de viaje, se encontraba en el kilómetro 80, habiendo recorrido, por tanto, una distancia de 60 km. De := 10 h hasta 1=3.0 h, su posición permaneció invariable, es decir, el auto permaneció parado en el kilómesro 80. A partir del instante t= 3.0 h, el vator de dempezó a disminuir, indicando que el auto estaba regre- sendo y se aproximaba al início (punto de partida) en la carretera. En et instante t= 50h tm o 10 20 30 40 50 t(h) FIGURA 3-8 En este diagrama, d'representa la posi- ción de un aitomóvil en relación con el início de la carretera, a medida que pasa el tiempo. tenemos que d = D, o sea, que en este instante Hegó al kilómetro cero. EJERCICIOS Antes de pasar al estudio de ta próxima sección, resuelva las preguntas siguientes, consultando ei texto siempre que sea necesario. $. Una persona le informa que un cuerpo está en movimiento reciilíneo uniforme à) «Qué quicre decir con el término “rectilíneo”? B) ax qué con el término “uniforme? 6. Cuando un cuerpo está en movimiento uniforme con velocidad +; icuá] es la expresión matemática que permite calcular la distancia d que recorre después de cierto dempo +? 7. Empleando la expresión solicitada en el ejercicio anterior, calcufer 4) la distancia recorrida por un auto que se desplaza a una velocidad constante = 54 km/h, durante vn tempo t= 0.50 h. 8) Ia velocidad, que se supone constante, de un nadader (campeón mundial) que recorre en nado Vbre una distancia = 100 m en un tiempo 1=505 Bliempo que fa luz tarda pasa viajar del Sol a la Tierra (d'= 2.5 x 101 m) sabiendo que su velocidad es constante y vale v= 3.0 x GÊ m/s. 8. à) Trace el diagrama vx é para un auto que se desplaza con una veocidad constante » = 50 km/h, durante un tempo += 3.0 h. b) «Qué representa el área bajo ta gráfica que trazé? (Cuál es su valor? 9. Suponga que ei auto del ejercício anterior se ha desplazado de una ciudad A a atra ciudad By ei sentido de 4 hacia 8 se considera positivo. Si el auto regresa de B hacia A, también con veloci- dad constante, tardándose 3.0 à en el recorrido: à) Cómo se deberia expresar su velocidad en el segreso? +) Trace el diagrarea EX é para este caso. 10. Deseamos calcular la distancia que un auto, 3 una velocidad constante v= 72 km/h, recorte en un tiempo += 205. à) Qué precaución debe tomarse antes de sust- tuir estos valores en d= ui? 6) Sabiendo que 36 km/h = 4 m/s, exprese 72 km/h en m/s. & na vez hecho lo anterior, calcule la distancia buscada. at. En la expresión e = 1%, que es válida para un movimiento uniforme, dy + varían, en tanto que v permanece constante. dad instant! movimiento variado que pasó por el punto 4 à) Siende as ve 1) Dibuje la gráfica d'x É) iQué representa ja pendiente de ia línca? iqué tipo de relación hay entre 12. El gráfico de este ejercicio representa la posición de un automévil, contada a partir del ocigen cero de 1a carserera, cn función de! tiempo. à) «uál era ta posición. del auto al princípio del movimiento (= O) 8) ACuái era en el instante += 0h? 0) «Qué velocidad desarrolló eú esta primera hora de viaje? dj (En qué posición y por cuánto tempo perma- neció parado? Capítulo 3 / Movimiento recillneo &P 10 20 30 40 +th) à) iCuál es su posiciga a las 4,6 h de viaje? Ejercício 12 3 &uál es su veincidad en el viaje de regresc 3.8 Velacidad instantã y Ránea Ne y velocidad media * Velocidad instantânea. Cuando el valor de la velocidad de un cuerpo no se mantiene constante, decimos que tiene movimiento varia- do. Por ejemplo, esto sucede, con un automóvil cuyo velocimerro indica diferentes valores en cad instante, El valor que ei velocímetro indica en ua instance dado, representa la velocidad instamiáriea del auomóvil en dicho momento. YVeamos una manera de calcular una veloci- inea. Consideremos un automóvil en (tg. 3-9), en el instante 4, con una velocidad instamtánea v Qecturz del velocímetro en ese momento). Una vez transcurido un intervalo de tiempo 41, el auto estará en 8, habiendo reco- rrido una distans a Ad. Si el movimiento iuese uniforme, al calcular el cociente AGA? obten- riam de un movimiento variado, comprobamos que elvalor de Ad/At generalmente 170 coincide con fa lectura dei velocímetro en el instante é Con todo, comprobamos que si ei punto E'se tomara muy próximo a 4, de modo que el intesvalo de tempo ázse volviera muy pequeão, tendríamos un cociente Ad/ãr muy cercano a la indicaciór. 5 Ia velocidad del auto. Pero al tratarse O O FIGURA 3.9 La velocidas instantânea en A está dada por v= AciAt, tomando af, como el menor posible. del velocímetro en A, es decir, muy próximo ai vaior v de ia velocidad instantânea. El valor de Ad/As estara tanto más cercanc de v cuanto menor fsese el intervalo de tiempo At Por tanto, sir un móvimiehto variado lá velócidad ins: iafitárica está dada: pos é. E elimenor posible: Determinación gráfica de la velocidad instantânea. Consideremos el gráfico de ia Figuea 3-16, que representa la distancia recorri- 70 Unidad il / CINEMÁTICA da por un automóvil en fención del tempo. Debe observarse que ei movimiento de este auro es variado, ya que si fuera uniforme, ia gráfi d'x tsería rectilinea, Es posible, a partir de este diagrama, obtener la velocidad instantânea del automóvil en un instante cualquiera é. Para elio, debemos trazar la tangente a la gráfica en el punto de la curva correspondiente a ese instante (punto Pen la Fig. 3-10). La inclinación de esta tangente proporciona el valor de Ia velocidad enel instante considerado. De la misma manera, para obtener la velacidad cn oiro instante &, debemos determinar la inclinación de la tanger 1 a la curva en el punto P) Observemos que, en e) caso del mevimiento representado en la Figura 3-10, ta inclinación de Ja tangente en 2) es mayor que en 2, y por tanto, la velocidad instan- tânea en 4 es mayor que en £. Concluyendo, da inclitación de. Ja tdfgênte' à úria gráfica “At pró Boiciana El valar de dar vetocidad) [instintnea. mit Ss FIGURA 3-10 En ei diagrama d'x t la inclinación de la tangente proporciona el valor de la velocidad instantánea. * Velocidad media. Siun automóvil recorre una distancia de 560 km en 8.0 horas, usted y probablemente muchas otras personas dirían: “el automóvil desarrolló, en promedio, 70 kem/bº. Este resultado, que se obtuvo al dividir la distancia recorrida (560 km) entre el tempo de viaje (8.0 b) es lo que se conoce como veio- cidad media y ta representaremos por tw En- tonces, por definicién, distancia: tonal vecornda =: | Cane ESSE co bibi E neihpo gansaundo so pos Fosio Observe que, durante el movimiento, la velnei- dad del auto pudo baber suftido variaciones. En ei ejemplo citado, su valor podría haber sido unás veces mayor y owas menor que los Km/h. Por otra parte, si Gurante todo el recorrido ta velocidad se mantuviera igual a 70 km/h, el auto habria recorrido la misma distancia en ese mismo úempo. é EJEMPLO 1 Ux automóvil recorre una distancia de 150 km y desartolla, en los primeros 120 km, una velocidad imedia de 80 kmvh, en tanto que en los útrimos 30 km tiene una velocidad media de 60 km/h. à «Cuál fee el empo total de viaje? Conociendo la distancia recorrida y la velocidad media, la selación tw = d!t proporciona é = dy Entonces, en la primera parte dei recorrido el tiempo fue n=12 obi 189 n=15h En la segunda paste del recorrido tendemos obien, p=05h ei tempo totai de viaje fue :=15h+05h obien, 1=20h 8 «Cuái fue la velocidad media del automóvil en el transcurso tora? Siendo de 150 km la distancia tomt recomida, y 2.0 h el tiempo toxal de viaje, la velocidad media en este recorrido es obien, tu = 75 kmyh *» Determinación gráfica de la distancia recorrida, Cuando el movimiento de un cuer- po es uniforme, la distencia que recorre está dada por d'= 3, O por el área Dejo Ja gráfica vx é e mc. | dc “ tt FIGURAS-1! Elárea bajo fa gráfica vx t proporciona la distancia recorrida en cualquier movimiento, Pero si el movimiento fuese variado, la relación d=t ya no se puede aplicar; pero la distancia recorrida se podrá aún obtener por el área bajo la gráfica vx & es decir: Ena Figura 3-11, por ejemplo, que presenta el diagrama vx + de un movimiento variado, el área sefialada da el valor de la distancia que el cuerpo recorre, desde el instante 4 hasta el instante b. Capítulo 3 / Movimiento reciilineo 7% 9 2 4 6 8 Otis FIGURA 342 Para es Ejemplo 2, à EJEMPLO 2 Un automóvil, frete a un semáforo y luego que se enciende fa fuz verde, arranca con una velocidad que varia de acuerdo can el gráfico de ta Figura 3-12. Después de transcurridos 10 s, scuál es la distancia que habrá recorrido el auto? Como el movimiento es variado (ta vclocidad va de v=0a w=20 m/s en 10 9), fa distancia recorrida deberá calcularse por medio del área bajo la gráfica vx+ En la Figura 312, esta área es la del triângulo mostrado, cuya base corresponde al tiempo de 10 s y «uya altura corresponde a la velocidad de 20 m/s. Entonces, como en un triângulo, área = (base x altura)/2, resulta que: 230 x 20 a o bien, d=100m EJERCICIOS Antes de pasar al estudio de la próxima secciór, Tesueiva lts preguntas siguientes, consultando el texto Siempre que sea necesario. 33. Un automávil se desplaza en linea recta. Clasifi- que el movimiento del auto suponiendo que: 4) a aguja del velocimeno indica siempre el mismo valor. 8) Ia pesición de Ia aguja varía de un momento acto. 14. Una persona, al chservar el movimiento del auto de ty Figura 3-9, comprueba, después de que éste FZ Unidac l/ CINEMÁTICA pasa por el punto «4 que transcuirido At= G.10 5, lu distancia reconida fue Ad = 0.50 m, y que transcurrido Ar= 5.0 3, la distancia secorvida fue da-60m. 4) Calcule el cociente Ad/A: para cada observa ción. &) 1a velocidad instantânea del auto en A, jdebe aproximarse más a 5.0 m/s o à 12 m/s? 15. En e! movimiento, uniforme vimos que la gráfica dx es una recta que pasa por el origen, y su inclinacióe o pendiente proporciona el valor de ta velocidad, 8) En el movimiento variado, da gráfica dx tes también una secça? En, este movimiento, ;cómo se calcula, em- pleando el gráfico d'x 1, el valor de la veloci- dad en un instante determinado? 6) Enla Figura 3-10, da inclinación de iz tangente a la gráfica es mayor es 7) o en £y? Y el valor de la velocidad, ces mayor en el instante 4 o en to? b 26. Un cuerpo cae verticalmento desde una altura de 80 my tarda 4,0 s en llegar aí suelo. «Cuál es la velocidad media del cucrpo en este movimiento? 10 20 30 40 Ejercicio 17 tis 17. d) Cómo se calcula mediante ei diagrama “x 4 ia distancia recorrida por un cuerpo en movi- miento variado, desde un instante 4, ha instante à? &) 1a figura de este ejercicio muesira el vx tpara ei movimiento de un automávil. Bs uniforme este movimiento? Calcule ta distancia que recorrió desde += O hasta t= É0 6, 3.3 Movimiento rectilineo uniformemente variado & Qué es aceleración. Consideremos un automévil cuyo velocimetro indica, en cierto instante, una velocidad de 30 km/h. Si 15 después, la indicación del velocímeiro cambia a 35 km/h, podemos decir que su velocidad variG 5km/hents. En oras palabras, el auto recibióura aceleración. El concepto de aceleración siempre se relaciona con un cambio en la velocidad Para definir matemásicamente la aceleración, supongamos un cuerpo en movimiento cectili- neo, como en la Figura 3-13. Representemos por t4 el valor de su velocidad en el instante 4. Si et movimiento del cuerpo es variado, en un instante cualquiera & su velocidad tendria un valor 1», distinto de 1, es decir, durante et intervalo de tempo 4t= - 1, la velocidad sufre una variación Av = 12 — 1. Bl valor de la aceleración del cuerpo está dado por Et ida * Comentatios. Para facilitar el estudio del movimiento variado, vamos a considerar la ve- locidad siempre con valor positivo, es decir, vamos a considerar el sentido en el cual el cuerpo se mueve como si fue el sentido positivo. De esta rianera, es fácil llegar a la coneiustén de que: 1.sielvalor de la velocicad esnrviera aumen- tando con el tempo, sendríamos 2» > «1 (ã9> 0) y, entonces, Ia aceleración dei movimiento será positiva, En este caso, decimos que el movi miento es acelerado, 2. Si el valor de la velocidad disminuyera & través dei tiempo, tendré 18, 22 S (Ap < O! y entonces, ja acelesación del movimiento será negativa. En este caso, clecimos que el movi- miento es retardado. & EJEMPLO 1 En Figura 3-13 supengaros que 4, = 10 m/s, y que despsés de 12.5 (At = 125), la veloci 70 més. &Cuál es la aceleración de! cuerpo? Empleando (a ecuaciér de definición Lenemos lad es = Av JU es -10m, ar a Este resultado significa que lu velocidad del cuerpo qumertá 54 m/s en a as unidades de ta siguiente manera: da 15. Se acestumbra expr ms m 9=50C=50L obien, a=5, 5 ses Este movimiento, ex el cual a velocidad aumenta en el tiempo, se denomina movimiento acelerado. Si la vetocidad disminuyera en el tiempo, decimos que el movimiento es retardado. Por ejemy 36 ms, y después de 5.0 s cambia à 5 = 6.0 1/3, ja acelernción dei mevimiento será $.0 m/s — 36 mis s0s u=-60 m/s Esto significa que la velocidad dé cada 15, Observe que en el movimiento acelerado, el valor de la aceleración es posírivo, y en el movimiento retardado, ta aceleración es negativa (estamos consi- derando Ia velocidad siempre positiva). * Movimicato rectilíneo com aceleración Constante. Suponga que se observa el veloci- meio de un auto en movimiento reciilineo en intervalos de tiempo sucesivos de 1 s, y que obtenemos los resultados siguiente: Capínio 34 Mevimiento remllneo 73 FIGURA 3:13. Cuando la velocidag de ur cuerpo va- ría, decimos que tal cuerpo posse aceleración. 78 Unidad Il / CINEMÁTICA * Galileo y la caída de los cuerpos, Galileo es considerado el creador del método experi- mental en física, estableciendo que cualquier afirmación relacionada con algún fenómeno de- bia estar fundamentada en experimentos y en cbservaciones cuidadosas. Este método de estudio de los fenómenos de ja naturaleza no se habia adoptado basta entonces, por Lo cual varias con- clusiones de Galileo se oponían af pensamienio de Aristóteles. Al estadias la caída de los cuerpos mediante experimentos y mediciones precisas, Galileo llegó a la conclusión de que, si dl red a inisos pa stAnc SOR ariamente a lo que pensaba Aristóteles Cuentan que Galileo subió a o alto de la torre de Pisa, y para demostrar en forma experimental sus afirmaciones, dejó caer varias esferas de dis- tinto peso, las cuales Hegaron al suelo simultá- neamente (Fig. 3-7). A pesar de la evidencia proporcionada por los experimentos reatiza- Galileo Galilei (1564-1942) Vaso Seccion 3.8: Un tema especial. dos por Galileo, muchos simpatizantes del pen- samiento aristotélico no se dejaren convencer, siendo el gran físico objeto de persecuciones por propagar ideas que se consideraron revotucio- narias. Caída libre. Como yá debe haber visto muchas veces, cuando se deja caer una piedea y una pluma al mismo tiempo, la piedra cae más de prisa, como alismaba Aristóteles. Pero es posible demostrar que tal cosa sucede porque el aire produce un efecto retardante en la caída de cualquier objeto, y que dicho efecto ejerce una mayor influencia sobre el movimiento de la pluma que sobre el de la piedra. En realidad, si dejamos caer la piedsa y la pluma dentro de un tubo del cual se extrajo el aire (se hizo el vacio), comprobaremos que ambos objetos caen en forma simultânea, como afirmó Galileo (Fig. 3-18). de distinto peso desde lo alto de la torre de Pisa, compre- bando que dichos cuerpos czen en forma simuttánea. Na E) — Piedra Pluma — Máquina de vacio FIGURA S-18 Enetvacio, una pledra y una pluma caen con la misma aceleración. Por tanto, la afirmación de Galileo sólo es vátida para los cuerpos que caen en el vacio. Observamos, entretanto, que la resistencia del aire retarda notablemente ta caída de ciertos cuerpos, corno el de una pluma, un pedazo de algodón o una loja de papel, siendo desprecia- bie er: el caso de orros más pesados, como una piedra, una bola de meral, e incluso un pedazo de madera. Ast, para estos últimos, la caída en el aire se produce, prácticamente, como si los cuerpos estuvieran cayendo en el vacio; es decir, que al dejaros caer desde una misma altura y al mismo tiempo en el aíre, tates cuerpos caen simultâneamente o con fa misma acelera- ción, como aseguró Galileo. El movimiento de caída de los cuespos en et vacio o en el aire, cuando se desprecia ia resisten- cia de este último, se denomina caída dibre. * La aceleración de la gravedad. Como ya se dijo, el movimiento de caída libre es acelera- do. Con sus experimentos, Galileo logró com- probar que e! movimiento es uniformemente acelerado, es decir, durante la caída el cuerpo cae con una aceleración constante. Tal acelera ción, que recibe e! nombre de aceleración de la gravedad, suele representarse por 8, y por lo que ya vimos, puede concluirse que su vator es ei mismo para todos los cuerpos en caída libre. FIGURA 2-19 Esta fotografia muestra las posiciones su- Sesivas de qos esferas, de distinto peso, en caída libre. Observe que caen en forma simultánea, como advirtiera Calileo. Capitulo 3 / Movimiento rectlineo 7»  80 Unidad 1 / CINEMA: Tiempo Vecciad segundos tem (D es O) e : ; Õ& f i I ' ! 1 I I I ! I O FIGURA 3-20 Cuando un cuerpo desciende encaidalibre, su velocidad aumenta 8.8 més en cada intervalo de 1 5. la determinación del valor de g se puede efecruar de varias maneras. Por ejemplo, em- pleando técnicas modermas es posible obtener una fotogratía como la de la Figura 3-19. En ella se observan las posicioaes sucesivas de dos esferas de distinto peso, en caída libre. Vemos claramente que al soltarlas en el mismo instante, caen en forma simultânea, como previ6 Gatiteo. Tuesto que las posiciones sucesivas fueron fo- tografiadas a intervalos de tiempo iguales, se puede comprobar por tal medio que la acelera- ción es constante. Un cuidadoso análisis de fotografias como ésta permite obtener cl valor de la aceleración de la gravedad, et cual resulta ser, aproximadamente, g=-98 m/s? es decir, cuando un cuerpo está en caída libre, su velocidad aumenta 9.8 m/s en cada intervalo de 1 s (Fig. 3-20). Si el cuerpo es ianzado en dirección vertical hacia arriba, su velocidad dis- minuirá 9.8 m/s en cada lapso de 1 s. Ecuaciones de la caída bre, Siendo umi- formemente acelerado el movimiento de caída libre, es obvio que podemos aplicarle las ecua- ciones estudiadas en la sección anterior para este tipo de movimiento. Ast, suponiendo que pe a FIGURA 321 En el movimiento de caída libre son válidas las ecuaciones que establecimos para el movi- miento uniformemente variado, siendo a = 9. “mn cuespo es lanzado hacia abajo con une velocidad inicial w (Fig. 3-21), después de caer durante cierto tiempo é y haber recorrido una distancia d, son válidas las ecuaciones 1 v=votas d= vor za? =18+2ad siendo a= g. Estas mismas fórmulas, sc pueden emplear para el movimiento ascendente, pues basta recordar que en este caso, el movimiento es uniformemente retardado (con aceleración negativa). 6 EJEMPLO Un cuespo es fanzado verticalmente hacia amiba con una velocidad inicial vo = 30 m/s. Considerar que g= 10 m5? y se desprecia la resistencia del aire. 6) ECuál será la velocidad del cuerpo 2.0 s después del lanzamiento? ta velocidad estará dada por v= ty + ai, y como el movimiento es retardado tenemos « = -10 m/S2. Entonces v=30-10x 200 bien, v= 10 mis b) &Cuáneo tarda el cuerpo en llegar al punto más alto de su trayectoria? En el punto más elevado tenemos v = 0, y así, la ecuación v= vo + at nos da Capítulo 3 / Movimiento rectilineo 84 9=30-10t donde 1=30s O Auál es lá altura máxima alcanzada por ei cuerpo? la distancia recorrida está dada por à = wyt + (1/2)aº, Como tardó = 3,05 en llegar al punto más alto, tendremos para la altura máxima, d=30X30-Gx 10x 34 o bien, d=á5m “D A qué velocidad regresa el cuerpo al punto de tanzamiento? A! descender, el citado cuerpo parte del reposo (en el punto más elevado) y tecorrerá la misma distancia que al subir. Entonces, en la ecuación à = 28 + Zad tenemos vp Por tanto, 10 mis, Smya= eZx10x45 donde v=30m/s Como es claro, ef cuerpo regresa al punto de partida con la misma velocidad con que fue lanzado. é) ACuánto tardó en descender? Este tiempo se puedo obtener de la ecuación v = “9 + at, donde vq = O (el cuerpo parte del reposo en el punto más elevado), 4 = 30 m/s (como se obtuvo en la pregunta anterior) y e = 10 m/s*. Así pues, 30=10t donde Obiséçvese, que cuando un cuerpo es lanzado bacia ant ba, ei tiempo de descenso es igual ul tiempo de ascenso. EJERCICIOS Antes de pasar al estudio de la próxima sección, resuelva las preguntas siguiontes, consultando eltexto siempre que sea necesario. 24. Un libro pesado y una hoja de papel se dejas caer simultâneamente desde una misma altura. 9) St la caída fuera en el aire, ;cuál legará primero at suelo? 8 EX si fuera en el vacio? & ePor qué ambos experimentos proporcionan resultados distintos? 25. 4) Un cuerpo se deja caer desde cierta altura y cas en dirección vertical. ;En qué condiciones podemos considerar que al cuerpo está en caída libre? 8) cCuál és el Lipo de movimiento de um cuerpo que se mueve en caída libre? 26. Dos cuerpos, uno de los cuales es más pesado que el otro, descienden en caída libre en las proximidades de la superficie de la Tierra. 4) iCuál es el valor de la aceleración de caída para el cuerpo mês pesado? Y spara el más ligero? 5) «Cómo se denomina y cómo se representa esta aceleración de la caída de los cuerpos? 7. à) Cuando un cuerpo desciende en caída libre, «qué sucede al valor de la velocidad en cada = segundo? 8) &X si el cuerpo fuera lanzado verticalmente hacia amiba? 8% Unidad !/ CINEMÁTICA 28, Un cuerpo se deja caer (o sea, parte del reposo) desde lo alto de un edificio, y carda 3.0 s en llegar al suelo, Considere despreciable la resistencia del aire y g= 10 mv, a) iCuál es la aftuça del edificio? &) Con qué velocidad llega, el cuerpo al piso? 3.6 Um toma especial fpara aprender mãs) Galileo Galilei * Gailleo, dela MedicinaalaFísica, Elgran físico y astrónomo italiano Galileo Galilei, nació en Pisa en 1564 y era hijo de una Familia pobre de la nobleza de Florencia. A los 17 afios eljoven Galíleo fue encaminado por su padre hacia el estudio de la medicina, por tratarse de una profesión lucrativa. Pero Ja carrera médica no fue muy atractiva para Galileo, y su espíriu inquieto lo hizo interesarse en otros tipos de problemas. Cuéniase que cierta vez, mientras observaba despreocupadamente las oscilaciones de un candelabro en la catedral de Pisa, se interesó en medir el tiempo de cada oscilación comparán- dolo con el número de latidos de su pulso (en esa época todavia no se inventaban los relojes ni los cronómegos). Pudo comprobar, sorpren- dido, que aun cuando las oscilaciones fueran cada vez menores, el tiempo de cada oscilación era siempre el mismo. AI repetir el experimento en su casa, comprobó lo anterior utilizando um iQué diria Gatileo de esto! FIGURA 3-22 Gallo comprodó experimentalmente que el movimiento de un cuerpo al descender por un plano inclinado, es uniformemente acelerado. Para te- nes una idea de las dificultades que encontró, basta recordar que media el tiempo con un *reloj de aqua”, es decir, determinaba la cantidad de este líquido que caía en un recipiente mientras el cuerpo descendia por ef plano. pêndulo tuna piedra atada al extremo de una cuerda), encontrando además que el tiempo de ta oscilación dependia de fa longimd de la cuerda. Estos descubrimientos Ilevaron a Galileo a propones el uso de un pêndulo de longime patrón para medir las pulsaciones en los enfer- mos. El empleo de este aparato se volvió muy popular entre los médicos de la época Esta fue la última contribución de Galileo a la medicina, pues el estudio del pêndulo y de otros dispositivos mecânicos alteraron por com- pleto su orientacién profesional, Después de cierta discusión con su padre, cambió sus planes académicos y empezó a estudiar matemáticas y ciencias. & Elpéndulo y la caída libre, En sus expe- timentos con el péndulo, Galileo descubrió otro necho importante: el tiempo de una oscilación FIGURA 3-23 Galieo legé a conclusiones acerca de fe caída libre mientras observaba et movimiento de un pêndulo. no depende del peso del cuerpo suspendido del extremo de la cuerda, es decir, el tiempo de oscilación es el mismo tanto para un cuerpo ligero como para uno pesado. Este descubrimiento llevó a Galileo a formu- lar ef razonamiento siguiente: una piedra ligera y ora pesada, al oscilar en el extremo de una cuerda, tardan lo mismo para “caer”, es decir, para desplazarse desde Ia posición más alta a la posición más baja de la trayectoria (Fig. 3-23) Entonces, si tales piedras se soltaran en caída libre desde cierta altura, también deberán caer simultâneamente, y ambas deben tardar el mis- mo tiempo en llegar al suelo. Esta conclusión era contraria a las ensehanzas de Aristótefes (como vimos anteriormente), y para comprobarta, se cuenta que Galileo Ilevó a cabo el famoso experi- mento de la torre de Pisa (vénse Sección 3.5). algunos historiadores dudan que Galileo haya realizado verdaderamenre este experimen- to, pero no hay duda de que en efecto realizó diversos experimentos, observando distintos objetos en caída, asf como péndulos oscilantes quizás en su. propia casa. En cuas palabras, Galileo basaba sus conclusiones en cuidadosos experimentos y conclusiones, aunadas a un raciocinio lógico, Este modo de proceder cons- tituye ia base del método experimental, que €l introdujo en el estudio de los fenómenos natu- rales, por lo cual se le considera el precursor de Capítulo 3 / Movimiento recilfieo 83 la gran revotución que se levó a cabo en el campo de la Física a partir del siglo xve. * Descubrimientos ca astronomia, Ade. más de sus trabajos en ei campo de la mecânica, Galileo efecmó también importantes contabuciones para el desarrollo de la astronomía. Aprovechando su gran habilidad como experimentados, logró construir ei primer telescopio para emplearlo en las observaciones astronômicas. Con este instru- mento realizó una serie de descubrimientos, casi todos los cuales contradecían las cresncias filo- sóficas y religiosas de la época, basadas en las enserianzas de Aristóteles. Enue los descubrimientos de Galileo pode- mos destacar: 1. Se dio cuenta de que la superficie de la Luna es rugosa e irregular, y no lisa y perfecia- mente esférica como se creia. 2. Descubrió que hay cuatro satélites que giran alrededor de Júpiter, contradiciendo así la idea aristotélica de que todos los astros debian girar altededor de la Tierra. Algunos filósofos de la época se negaban a mirar a través del teles. copio, para no verse obligados a adrmitir ta reali duel, y llegaron a afizmar que las observaciones eran irreales y sólo trucos ideados por Galileo. dragoco Sur qt Jena ENE a Hs , o Can raro an? É Portada de la obra “Diálogos sobre los Dos Grandes Sistemas del Mundo", en ta cual Gafileo deftende la teoria heliocénirica. 88 Unicad 17 CINEMÁTICA 2. La velocidad de las embarcaciones generalmente se mide con una unidad denominada mudo, cuyo valor es de aproximadamente 1.8 km/h. Qué distancia recorreria una embarcación si desarro- ara una velocidad constante de 20 nudos, duran- te 10 horas? Un trem, cuya longirud es de 100 m, y que se desplaza con una velocidad constante de 15 m/s, debe atravesar un túnel de 200 m de largo. Ea un instante determinado, el ten está entrando en ef túnel. JDespués de cuánto tiempo habrá salido completamente? ma &. Suponga que una persona le informa que un automóvil se desplaza por una carretera, de tal modo que la distancia d que recorre está dada, en función del tiempo 4, por la ecuación 4=60 t, con ten horas y denkm. «Cuáles de las siguientes afirmaciones son conclu- siones corsecras que usted podrá deducis a partir de esta información? à) El movimiento es rectilineo. 8) La velocidad del automóril es v= 66 km/h ô La distancia des directamente proporcional a? tiempo £ «h La velocidad v del auto'es directamente pro- porcional al tiempo £ * ES diagrama dx? consiste en una tecia que pasa por el origen. m EI gráfico dx t de la figura de este problema se refiere al siovimiento de cierto cuerpo. à) Podemos afirmar que et movimiento es uni forme? 8) Es postble decir que és rectilíneo? d Problema & 6. Observe la figura de este problema y diga cuát es ia velocidad dei cuerpo: a) En el caso representado ea el gráfico (a) &) En el caso representado en el grálico (b). 7. El movimiento de vm auto en una carretera se representa en la figura de este problema. Entre Aos (kem/hy a te Problema Ga t(h) d (km) 40 DO ana o a ablema 6-b t(h) Problema 6 tas afirmaciones siguientes, relativas al movimien- to, sefiale la que está equivocada, o) De:=02ha = 04 h, el auto permanece parado. 8) La distancia total recorrida por cl vehículo fue de 80 km. O En el instante + = 0,6 , el auto estaba de tegreso a Ja posición inicial «) Elauto recorrió 4.0 km en un sentido y 40 km en sentido contrario. à En el instante += Q el automóvil se hallaba en el kilómerro 20 y en el instante += 0.6 h, cn et kilómetro -20. v mt) 26, 0. ——— 02 04 08h) i i i | i ! -20 is Problema 7 8. Trace a gráfica de la posición en función del iempo (dx &) para el movimiento que se describe en seguida: un automóvil parte del kilómetro cero «de una carretera, desarrollando 100 km/h durante 1.0 h: se deilene por completo durante 0.5 h; regresa a S0 km/% durante LO h; vuelve a dere- nerse duranto 0.5 4, y finalmente, vuelve al punto de partida a 50 kan/h. . Dos automóviles, A y B, se van por una misma casretera. En la figura de este problema se indica en función del tiempo la posición de cada uno en relación con e] comienzo de Ia cartetera. analice las afinmaciones siguientes, relacionadas con el movimiento de estos autos y sefiale las que sen correctas, En el instante = 0, 4 se halla en el kilémerro cero y 3 en éá kilómeiro 60. &) Ambos autos se desplazan con un movimiento o uniforme, O Det=0a4=20h, Arecorió 120km y 2,60 km. a) Ia velocidad de 4 es 60 km/h y la de 8, 30 km/h. 2 Aalcanza a Ben el instante (= pos la seital del kilômetro 120. 1) h al pasar 3.0 tíh) Problema 9 JO. Los autos Ay Evan por una misma carretera de acuerdo cun el gráfico de la figura de este probie- ma. Er: +=), ambos se encuestran en el kilémerro v d erre pe Ea [E [A te) te) tel Capítulo 3 4 Movimiento rectilineo 89 í 1 i 1 i ' eg 1.0 20 ao t(h) Peoblema 16 cero, Analice us afirmaciones siguientes relacio- nadas con el movimiento de tales astomóviles y sefiale las que son correctas. à) En t= 0, tenemos que v4= 0 y ey= 60 km/h. 4) Ambos auras se deplazan con so movimiento uniformemente acelesado. O Det=04:=20h, À teconió 120 km, y B, +80 km, «) Ay B tienen velocidades constantes, siendo O em/h, y vp = 30 any. 9 Salcanza a Beuando (= 20h. 1 « Analice los diagramas siguientos e indique el no puede corresponder a un movimiento recrilr deo uniforme, z » Ena figura de este problema se tiene el diagrama pasición-tiempo para un cuerpo con movimiento variado. à) da velocidad del cuerpo en el instante 14 es mayor, menor o igual que la velocidad en cl instante ia? &) cQuál es su velocidad en el instante &ç? 13. Un auto inicia un viaje desarrallando 30 kov/h, y mantiene esta velocidad durante 4.0 h. Luego alcanza la de 80 km/h, viajando a esta velocidad derante 1.0 h, Problema 13 PO Unidad Il / CINEMÁTICA Problema 12 é) Calcule la velocidad media del auto en el recorrido total. &à Un estudiante calculó la velocidad media del auto como el promedio aritwrésico de ias dos velocidades alcanizadas. iTue comecto su cálculo? 14. tn cuerpo cuya aceleración es nula, puede estar en movimiento? Justifique su respuesta. 15. La tabla siguiente proporciona para varios instan- tes, los valores de la velocidad de un cuerpo que se desplaza en línea recta. EI T MB 10 | 20 E pot) 50 so «) iDe qué tipo es el movimiento del cuerpo? b) aCuái es cl valor de su aceleración? 2) eCuál es la velacidad del cuerpo en el instante Crefocidad inicial dy ECuál es la distancia que recorre el cuerpo desde ?= 0 hasta 2= 403 16. la figura de este problema muestra una pista hoxizental donde se probó un automóvil. AL desplazarse, el auto deja caer sobre ia pista a iatervalos de 1 s, gotas de aceite que dererminan los espacios 4, 8, €, exc., que se observan en la figura, Sabiendo que el auto se desplaza de 4 hacia 4 indique: à) Eltramo en que desarrolló la mayor velocidad. B) EL espacio en el cual desarroiló la menor velocidad. «) Los tramos en los cuales aceleró su movi- miento. d) El tramo donde se retardó o desaceleró e! movimiento del auto. é) El espacio en el cual su desplazamiento fue uniforme. 47. Un auto se mueve con una velocidad de 15 m/s «ando et conduetor aplica los frenos. EL mosi- miento pasa a ser uniformemente retardado, ha- ciendo que ef auto se detenga toralntente en 30 5. à) Calcule Ja desaceleración que los frenos im- primen al auto. 5) Trace el diagrama 1x t durante el tiempo de frenado. 18. En el problema anterior calcule ta distancia que el automóvil recorre durante el frenado: a) 4 partir del área bajo la gráfica ux 4 b) Empleando la ecuación 4 = vet + (UDa?, Compare este resultado con et que obtuvo en (a). 49. Una persona le proporciona la siguiente ecuación del inovimiento de un cuerpo que se desplaza en línea recta: à=S0:+ 252 (tensy denm). Con base en esca información, determine: a) Eltipo de movimiento del cuerpo. 8) Ta velocidad inicial del mismo. à Ja aceleración del movimiento. 28. La figura de este problema muestra un cuerpo en caída libre, el cual parti del reposo desde poca altura en relación con la superficie de la Tierra Observe, en el instante 1 = T los valores de «4, v y d para dicho cuerpo. Con base en estos datos, determine los valores de a, »y den el instante 4= 2H Problema 16 TIERRA Problema 20 21. El movimiento de caída de un cuerpo, cerca de à superfície de un astro cualquiera, es uniforme ménte variado, como sucede en la Tierra. U6 habitante de um planeta X que desea medir el valor de la aceleración de la gravedad en este planeta, deja caer un cuerpo desde una altura de 64 11, y observa que tardó 4.0 s en llegar al suelo. &) &Cuál es el valor de g en el plane X? 8) «Cuál es la velocidad a la cual legó hasta el suelo el cuerpo soltado? z 8 Un astronauta, ee la Luna, asrojó un objeto verti- calmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 8.0 m/s. El objeto tardó 5.0 s para alcanzar el punto más alto de su irayectoria. Con estos datos calcute: à) Elvalor de la aceleración de la gravedad lunar. 5) Ia altura que alcanzé el objeto. 23. Suponga que un objeto fuese lanzado vertical mente hacia arriba desde la superficie de la Tierra, con la misma velocidad inicial del groblema anterior. Calcule la altura que alcanzaria y com- párela con fa altura alcanzada en la Luna 24. Para el caso descrito en el Problema 22, determine: “i) La velocidad cen que e) objeto regresa a la mano del lanzador. b) Cuânto tiempo permanecié el objeto fuera de las manos dei mismo, Capítulo 3 / Movimiento reciiineo BD 25. Ia posición, d, de un autcmóvil en una carretera, varia con el tiempo * de acuerdo con el gráfico de la figura de este problema. a) Describa el movimiento del auto. &) Trace el diagrama ex + para este movimiento. & tkm) R ! I I í ! t 5 i í I ! ! 1 I ! t 1 Í — À o 05 40 15 20 t(h) Froblema 25 26. Una partícula se desplaza a lo largo de una recta. Su posición, , en relación con un punto Ode Ta recta, varia en elticmpo de acuerdo con el gráfico de la figura de este problema, Considerando los instantes ty ta to Y ts “) sPasa cuál de ellos, la partícula se halla más cercana a O? gy más lejos? 4) Coloque en orden creciente tos valoees de la velocidad de la partícula en dichos instantes. 27. ta figura de este problema es un gráfico “x para un automóvil al arcancar clesce frente a un semã- foro, cuando se enciende la luz verde. à) iCuál es la distancia equivalento al área de cada cuadrado de la cuadrícula? b) Calcule la distancia que recorrió el auto hasta elinstante = 5.05, mediante la estmación dei área del cuadriculado bajo ia gráfica, «Cuál fue la velocidad media del vebiculo es elintervalo de := 0a 1= 508 9 28. Los movimientos de tres autos 4, By €, en una calle, están representados en el diagrama ux te la figura de este problema. En e! instante 4 = 0, los tres coches se lxilan uns al lado dei otro, a una distancia de 140 m de una sefial que dice que “No hay paso” «) Desctiba el movimiento de cada auto. &) Empleando el gráfico, vetifique si alguno de ellos scbasó la seiial. 92 Jnidadis/ CINEMATICA dh Problema 26 - l J | i 4 ! í 4 1 1 0 10 20 80 40 59 ti) Problema 27 29. Luisa, la chica enamorada de Supermãn en esta historiera, es empujada desde lo alto de un edifi- cio de 180 m de altura y desciende ea caída libre (con vp = 0). Supermán llega a lo alto del edificio a los 4,03 después del início ce la caída ce Luisa y se janza, con velocidad constante, para salvar la. ;Cuál es el múnimo valor de la velocidad que supermán debe desarrollar para alcanzar a su admitadora antes de que choque contra el suelo? (Considere g = 10 m/s!) 30. a) El astronauta Sccrt, de ia nave Apolo 15 que flegó a ia superfície de la Luna, dejó caer desde tc tp 2 4 6 8 10 12ti8 Problema 28 una misma altura, una pluma y un martillo, yal comprobar que los objetos ilegaron juntos al suelo exclamó: “jVaya que Galileo teria razónt” «Cómo explicaria usted et hecho de que ambos objetos cayeran simultâneamente? «or qué, por lo general, en la Tierra una pluma cas con más lenttud que un martllo? Un diario de fa época, at comentar el hecho, aseguraba: “La experiencia del astronauta muestra la gran diferencia entre os valores de ia aceleración gravitatoria en la Tierra y en la Luna” Haga una crítica a este comentario. Capínio 3 / Movimiento rectiiineo FB Las stgniontes pregunta so seleccionaron de pruebas de concurso para ingreso a Universidades y Faculta- des. Su objetivo es trasmitir al alumno une idea de cómo se formutan los exâmenes de Física para imgreso a escuelas de nivel superior. 1. Suponga que un compaíero, no muy hábit en Física, al ver a sus companieros ya sentados en sus lugares, haya comenzado a recordar sus concep- os de movimiento, antes del início de esta prue- bu. De las afimmaciones siguientes, forerutadas “precipitadamente” en la mente de su compaero, fa nica corsecta es: a) Estoy en seposo en relación con mis compa- fieros, pero todos nosoisos estamos en movi- mento en relación con fa Tierra. 8) Como no hay reposo absoluto, ninguno de nosotros está en reposo, en relación con nia- gún punto de referencia, O “También para el inspector, que no deja de andar, seria posible encontrar un punto de referencia ea relación con e! cual é! estuviera en reposo. d) La trayectoria descrita por este mosquito, que no deja de molestarme, tiene una forma com- plicada, cualquiera que sea el punto de refe- tencia desde el cual se observe à Ia velocidad de todos los estudiantes que yo observo ahora, sentados en sus respectivos lugares, es nula para cualquier observador iumano. 2. Dos autos, 4% E, avanzan en el mismo sentido, en línea recta, uno al lado del otro, ambos « 80 kmyh. En relación con el conductor del auto 4, podemos afirmar que el auto Z: 3) Está detenido. 8 O Está con v= 80 km/h. à) Está con = 160 km/h. é) Está avanzando en reversa. 3. Dos autos pasan por una calle, separados 50 m, a una velocidad constante de 15 m/s. Un tercer auto pasa por la misma calle, en el mismo sentido que los dos primeres, à una velocidad de 20 m/s, «Cuál es el intervalo que separa a los dos tebases del tercer auto por el primero y el segundo, respectivamente? 0205 Dos BO my7s diWTs Sds FERIR si SS Sino Es Ê 4. Una calle GF es recta y mide 4.0 km de longitud. Un auto 4, con velocidad constante de módulo 20 m/s, parte del extremo E para ir al extremo P y Otro auto, 8, con velocidad constante de módu- lo 25 19/5, parre de & para ira £ 20 s después de la partida de A, En telación con este enunciado, podemos afirmar que los autos 4 y B se cruzam: à) dé s después de la parida de A, en un punto más cercano al extremo E. b) 80 5 después de la partida de E, en el punio medio de.la calle EF. & 2003 después de la partida de 2, en un punto más cercano al extremo £ ) 150 s después de fa pastida de 4, en un punto más cescaro al extremo E. é 89.5 después de ia partida de A. 3. Un avión se dirige de Ba €. Una persona en 4 oyc el ruido que el avión emite en 2 justo cuando el avión está en C En estas condiciones, si la velocidad del sonido vale 340 m/s, la velecidad det avión será: 4) WO nys D 340 ms o 680 m/s «) ninguna de las anteriores Pregunta 5 6. Dos trenes, uno de 120 m de ionginud y arro de 90 m, avanzan en sentidos contrarios en vias secas y paralelas a velocidades de módulos cons- tantes e iguales a 20 m/s y 10 m/s, tespectivamen- te. Ef tempo necesario para que un tren pase totalmente al otro es: a2is D90s o TOs D60s o 4Oos  98 — Unidadf / CINEMÁTICA con ta Tiera ve pasar al vagón. Sean 1 y Um, sospecávamente, los valores de la velocidad de a esfera, en relación con cada observador, en el mo- mento en que la esfera alcanea el punto más alto de su trayectoria. AOuáles son los valores de sy de tg? e La sefial luminosa ea la pantalia de un oscilosco- pio describe un segmento de recia horizontal, de 5.0 cm de longitud, à partir del punto O, situado a la izquierda del segmento. Ef gráfico posiciár x siemmpo de ese movimiento está representado en 1a figura de este problema. à) iQué tipo de movimiento o seiial luminosa describe entre Q y 20 ms? Clms = 1025) 6) iCuál es, en em/5, la magnitud de la velocidad de la sefaP é iCuáles la posición de la serial en el momento t= 4 ms? «) «Qué acontece con la setal después del mo- mento t= 20 ms? O) :Cuál es ia posición de Ja seia] en el instante 1=30 mg 9 20 40 ums) Problema Complementario 4 5. La figura de este problema muestra el grático posiciór X tiempo para varios automóviles que avanzan a lo rgo de una carretera. Las posiciones se cuentan a partir del kilómetro cero de la carretera. Poslclón e L a S Tiempo Problema Complementario 5 à) iOuáles autos se apartan siempre del inicio de la carretera? «Cuál auto desarrolta una velocidad constante de mayor mangnitudz <) «Cuáles autos tienen la misma velocidad? «b &Cuál auto permanece detenido? é) eCuál auto fue acelerado, a partir del reposo, y alcanzó una velocidad constante? b a . Los fabricantes de buenos automóviles anuncian que en un “arrancón" sus autos pueden alcanzar 100 km/h (a partir del reposo) cn 10 s. La magnitud de acelerción de ese vehículo (se supone constante), ses mayor o menor que la magnitud de aceleración de la gravedad? ;Cuántas veces? = Un tren expreso pasa por cierta estación a 20 m/s. a siguiente estación está a 2.0 km de distancia y el tren pasa por efla 1.0 minuto después. à) :8e modificó la velocidad del tren en el trayec- to entre las estaciones? Explique. ») Si se modificó, scuál fue la veloeidad con que eltren pasó por la segunda esraciórê Suponga constante su acelerrción durante todo el tre- cho, 8 Una partícula, que se desplaza en movimiento reciifíneo uniformemente acelerado, recorre 20 em durante el primer segundo de su movimiento y 110 cm durante el décimo segundo. Caleule, para esa partícula: a) Su aceleración. b) Su velocidad inicial. e Up Boeing 747 (Jumbo), para elevarse necesita alcanzar una velocidad de 360 km/h. Se sabe que sus reactores pueden imprimirte, en tesra, una aceleracióa máxima de 3.0 m/s? Suponiendo que elJumbo, en la pista, se desplaza con una acele- ración constante, ;cuál debe ser ia longitud méni- ma de a pista para que pueda despeg: E . Un automóvil en una carretera desarrolla 120 tan/h y rebasa a un camión cuando aparece en sentido contrario otro automóvil a 100 kmyh. os dos con- ductores renan simultâneamente, y frenan ambos autos con uma aceleración de magnivud igual a 5.0 m/5º. ;Cuáf debe ser ia distancia minima entre los autos, aí inicio de la frenada, para que no choquen entre sê 12. Un automóvil está derenido en un alto. En el momento en que la luz verde se enciende, arranca a una aceleración constante de 2.0 m/s? En ese momento un autobús, que avanza a una veloci- dad constante de 60 km/h, lo rebasa. ;A qué Era 13 Y = 15. 16. 17. distancia de su punto de partida ef auto alcanza al autobús? Un conductor pasa Irente a un motociclista de trânsito quien decide seguirto porque el timite de velocidad es de 60 km/h y elatto iba a 72 km/b. El inspector, partiendo del reposo, inicia la per- secución 10 s después de que pasó el auto, a una aceleración constante. Se sabe que el motociclista aicanza al conductor a 3.0 km de donde partió. Determine la velocidad del motociclista en ese momento. E! maquinista de un tren rápido que avanza a 30mºs, ve en la misma via, à una distancia de 100 m, un tren de carga que avanza a 10 m/s en el mismo sentido. Inmediatamente acciona ef freno con lo que imprime al tren un movimiento uniforme- mente retardado de aceteración à. Cuál debe ser el menor valor de la magnitud de a para que los trenes no choquen? Un auto, al Frenar, adquiere un movimiento uni- formemenre setardado, cuya aceleración tiene magnitad igual a 4.0 m/5?, El conductor, que iba a 72 km/h, se da cuenta de un obstáculo frente a él. Aplica ei freno y logra detencrse en un tramo de 60 m contados a partir det momento en que vio el obstáculo, ;Cuál fue el tiempo de reacción del conductor? Uh elevador está detenido de tal manera que su piso se encuentra a una distancia de:30 m del fondo del cubo. Tina persona, dentro del eleva- dor, sostiene una narenja a 2.0 m del piso del elevador. En el momento en que éste empieza a funcionar, ja persona deja caer la naranja. ;Cuânto liempo necesitasá la naranja para Ilegar al piso def elevador, suponiendo que, en ese instante: à; Bl elevador empiece a subir con aceleración de 1.0 mys> +) El cable del elevador se rompa. Una persona, en un globo que está detenido à ura altitud de 150 m, deja caer um costal de acena y empieza a subir à una velocidad de 2.0 m/s. 74, qué altura está el globo en el momento en que cl costal de arena flega al suelo? Un cohere es lanzado verticalmente hacia artiba con una aceleración constante de 8.0 m/52 y su combustble se acaba 5.0 s después del lanza- miento. Suponiendo despreciable la resistencia del aice, determine: a) ia altura máxima que alcanza cl cohete. é) iCuânto tiempo después del lanzamiento el cohete regresa al purto de partida? Capítulo 3 / Movimiento rectiineo 99 18. Un edificio mide 18 m de altura. Una persona, situada en la base del edifício, lanza una pelo verticalmente hacia arriba, con velocidad de 12 ms. En el mismo momento, otra persona, sa lo alto del edificio, deja caer, en la misma vertical, otra pelota. ;4 quê altura dei suelo las pelotas se encontrarânt 49. Una pequea esfera de acero se deja caer desde una altura de 5.0 m, amiba de un tanque de arena con superficie bien nivelada. Forma en krarena una depresión de 2.5 em de profundidad. Si se supone constante ta acelesación del retardamiento provo- caclo por la arena, calcule e! tiempo que la esfera necesita para detenerse. 20. Para saber la profundidad de un poxo, una per- song dejó caer una piedra y 3.0 s después oyó el ruido del choque contra el fondo del pozo. Se sabe que la velocidad del sonido en et aire vale 340 m/s. «) Calcule el tiempo que la piedra necesitá para flegar a! fondo def pozo. b) Determine ia profundidad del pozo. €) «Cuil sería el error cometido en et cálculo de la prolundidad si se despreciara el tiempo que ei sonido necesita para Hegar al oído de a persona? (Exprese ese error de manera por- centual) 21. Us niho, en un puente existente sobre uma calle, deja caer una piedra exactamente en el momento en que un camión empieza a pasar por abajo, EL camión mice 10 1m de longitud y la piedra se dejá caer de uma posición 3.0 m armiba del vehículo. ;Quál debe ser, en km/h, la mínima velocidad del camin para que la piedra no lo golpes? z B . Una esfera metálica se deja caer desde cierta altura sobre la superficie de una piscina, ilena, con 6.0 m de profundidad. Dentro del «gua, la esfera se mueve con movimiento uniforme, de velocidad igual a la que tenít al fegar a fa superficie de la piscina. Suponiendo que la esfera necesita 1.5 s para llegar de ia superficie al fondo, determine la altura, en relación con el agua, de ta cual se dejó caer la esfera. 8 B . Un peatón está comiendo a 60 m/s, que es a máxima velocidad que logra desarrollar. a fin de alcanzar vo autobás que está detenido. Cuando se encuentra à 25 m del autebús, maccha con una aceleración constante de 1.0 m/, Demuestre que el peatón no alcanzará al autobús y calcule la menor distancia del veículo que é logra alcanzas. 100 Unidas! 7 CINEMÁTICA 24, Ta tabia de este problema proporciena, en varios instantes, la posición d de ua biciclera respecto al kilómetro cero de la carretera por donde va. 2 29 48 40 so 199 Problema Complementario 24 «5 Eseriba la ecuación que proporciona la posi- cién d de lá bicicleta en [unción del tiempo £ 4) Suponga que el origen dei conteo de la post. ción se cambiara para la posición inicial de la 25. Una partícula se despla bicicleta y que el sentido en que avanza se consicterara positivo. Escriba, para ese caso, ia ecuación que indica la posición d en función det a sobre una ecra, par- siendo de un punto 9 con una velocided constante de 3 m/s, Después de 6 s, al pasar por un punto E, adquiere ua movimiento uniformemente ace- lerado, coa una aceleración de 4 m/s?, Escriba ia ecuación que proporciona la posición d'de la partícula, en fención del tiempo 4 para tos siguientes casos: à Etorigen de destá en Oy se toma += O cuando a partícula pasa por E b) Elorigen de destá en P y se toma £=0 cuando la partícula pasa por ese punto. o) En cuál de los casos considerados el valor que proporciona la pesición de Ja partícula coin cide con la distancia recorrida por ella? E ETA a as Tas PT A E Ejercicios 1.5 20) np os 3.0) so B) detenido 4, à) recta vertical 5) cura, como la descrita por tu bomba de la Figura 352 e) la trayectoria es una recta 5) es consante el valor de la velocidad d=-w à «o véase figura bi distancia recorrida = 150 km u b) 20 ms o 5005 FRA da tem/h) 50/———>—»+ | 1 | RR) Respuesta Ejercicio 8 npbdaãa SA os t(h) Respuesta Ejercício 9 50km/h &) uéaetigua fcon la misma unidad de tiempo à 40 m ») 20 m/s 33. 4) proporción direca by véase figura «) el valor de la velocidad v 12. à) &ilómeiro SO») kilómerro 120 é) 70 kmvh à) kilómetro 120, durante 1.0 h à) lilómeiro cero = 60 km/h 13. 4) movimiento rectilíneo uniforme b) movimiento sectilineo variado 1£.0) S0misyl2ms bi de50m/s Respuesta Ejercicio 11 15.4) no ) por la inclinación de la tunges el punto correspondiente a ese instante 9 enPrenh 16. 20 m/s 17.9) porel ea bajo la gráfica, desde 1, hasta &, d disminuye D no, la veloci 9 20m t=30sydet=50sat=80s à velecidad aumenta 2.0 qns cn: cada interva- lodeis 2.0) I2ms Dm O rézseligum à) el valor de la aceleración 21. 6) téase figura 5 &&m +24 80mfs 3. 2) des proporcional a 4º 8 véase figura 8o t(s) 0] ao Respuesta Ejercicio 20 Capítulo 37 Mewmiento recilineo 194 velocidad tiempo Respuesta Ejercício 21 à el libro é llegan juntos porque ta resistencia del aire produce us efec- to rerardante mayor sobre la hoja de papel 25. à) en el vacio o en el aire, cuando la resistencia sea despreciable id movimiento recilíneo uniformemente acele- rado 26. 4) 98 mv? para ambos 8) aceleración de la gravedad, & 27. 4) aumenta 9.8 ny's en cada intesvaio de 15 d) disminuye 9.8 m/s es cada lapso de 13 28. «) áSm 8 30 mis 29. Pisa y Florencia 30. q) ei Hempo de oscilación no depende cel “ta- maho de la oscilación” (amplinad) b) la longitud dei pêndulo . a) su pulso 5) cn lu medición de las pulsaciones de pacientes ala caí 3 Respuesta Ejesciolo 23 192 Unidadil / CINEMÁTICA 32. a) igual é) cuerpos de masas diferentes, soltados de una misma altura, czen simultâneamente 33. cerca de 3s Fá.a A mc aB SD Preguntas y problemas 1.61), (Oy 2. 360 km 3.20s 20,07 sa sí 8) no b) cero 6.0) 40 km/h T.(e) 8. véase figura d (ken) 120 q 10 20 32 48 Th) Respuesta Problema & 9, todas son correctas 26. (a), (b) y (e) 30 (5) 10 20 Respuesta Problema 17 42 (dy 12. 6) mayor 5 cero 13.0) km/h » no 14 sí, si el movimiento fuess rectilineo uniforme 15. 6) movimiento rectilíneo uniformemente acele- rado 5 30 m/s? d20ms 9 32m 16. DH DL OdedaCyderam & deHal O decaf 17.0) -50m b) véaseligua 18.9) 25m 8) 225 m (como era de esperar) 19. 4) uniformemente acelerado d) 60 mis a 50 mis? 20.4=g v=2V, d=4D 21.0) g=80m/S bd 32m/s 22, à) 16 m/s? 5 Om 23.32m 24, 4) 80 nvs bos 25. 1) vêase figura 26. à) en ta ente 2.9 50m b) ua< eco ups ta b) cerca de 88 m | v (emp) 80 jm ; | 0.50 -80 -1e0 E memo 200 tth) | Respuesta Probtema 25 o casi 18 m/s 28. 6) sólo el auto B . 90 m/s 30. ) como no hay atmósfera en la Luna, no hay resistencia alguna a la caída de ambos objetos. b) ta aceleraciáo. gravitacional en la Luna es menor que en la Tierra, pero ei simple hecho de que los objetos cayeran en forma simul- tânea no aclara esto. cuestionario Le tá a 2 15. a 3d 16. c 4.b 17 a sa 18. c fc 19. « 7b 20. todas son correctas 8b 21. 9.€ 22. € 10,e 2. e u. 24. d za 2. d 13.c 26. e Problemas complementarios 1.óf2m ep sm . 6) 180m . 68 m . 50x 1025 . 9) 285 . 36 km/h . 0.80 m .70m . 0) d= 200108 contensydenm 5. &) Capitulo 3 / Movimiento reciilneo 103 v4=0y to= 10m/s à) rectilineo uniforme 9 10 9 25m 9GHI BE E: 9D 3.7 veces menor a á D 46mfs & 10 cm/st b) 15 em/s 167 km 187m ») 25x 10 em/s à) tegresa al punto O QGel b2ss Bs Bm o 15% bd &= 10: contensy deam 18+3t+2R contensy denm s 3t+28, contensy dem o en el caso de (b) 108 Unidadll/ GNEMÁTICA Cuando sélo nos referimos a la magnitud de un vector no se coloca la flecha sobre la tetra que lo represera, y simplemente escribimos: d, 2, E ete. Por tanto, nl representa íntegramente al vecior (en mag- aizud, dirección y sendo) d «epresenta solamente Ja magnitud del vector. EJERCICIOS Antes de pasar al esudio de ia próxima sección, resuelue las preguntas sigurientes, consultando el texto siempre que sea necesario 1. £n cada una de las frases siguientes, diga si la pulabra en cursivas corresponde a una cantidad escalar o vectorial. a) E] solumen de un depósito de agua es de 500 Erros. ») Un nião tira de una cuerda con una fuerza horizontal bacia fa derecha. o) Un avión vuela con una velocidad de 500 km/h, de este a oeste. « la temperatura en el salón de clase es de 25º, Ejercicio 2 2. En la figura de este ejercício, los vectores SÃO LUIZ Ty Ea De y Do tepresentan fas velocidades de algunos automóviles que se despiazan cerca Ay def cruce de tas calles. f 4 SOBRAD «) dos vectores 7 y 5; tienen la misma — N e EN FORTALEZA divección o dirección diferente? é ; & Los vectores 7 y Ft, fienen la misma MAR, tANHÃO é A dirección? ;Y el mismo o distinto sentido? , CEAR Rô rece ESA o e N é MOSSO! c) Los vectores 7 y 7b aienen la misma ATEREZINA) dirección? /Y el mismo o diferente sentidos Un avto viajó por todo et ltora!, desde fa ciudad de Salvador basta a de Fortaleza, en Brasil. a) Trace en la figura de este ejercício, el vector d que representa el desplazamien- to del auto. b) Observe la escala def mapa y determine à, es decir, la magnitud del vector à O «uál es la dirección del vecior 4? &) àY cuál es su sentido? 1a figura de este ejercicio muesira una pe Jota en caída libre en un momento determi- sado, en el cual su velocidad es de 8.0 mi/s, su dirección vertical y su sentido de arriba dacia abajo. Empleando una escala donde 1 em represente una velocidad de 2 m/s, race en la figura el vector velocidad de la ESCALA Ecesr-tem 1em = 135km pelora en dlicho instante. Ejercicio 3 Capítulo 4 / Vectores -mevimiento curilceo 109 Ejercicio 4 48 Adiciôn de vectores * Es seguro que ya debe estar acostu a à cabajar con las cantidades escalar prado s, y per to, sabe que se suman conforme a las reglas comunes del álgebra. Por ejemplo: si um tanque contiene-2.m? de agua, al aumentarde 5 mê quedará con un total de 7 1 de agua, pues mi+Smi=7m Stuna persona tiene un terreno cu 1000 mê, y vende una paste de mente le quedará una porción de 4 área es de mê, obvia- 100 m? — 400 m2 = 600 m? Como veremos a continuación, la fo teafizar operaciones c: tiales, es muy distiz a de m las cantidades vecto- * Resultante de dos vectores. Imaginemos un automóvil que se desplaza de 4a 8, y luego de Ba Cí (Fig, 45). Estos esp lazamientos, en la Figura 45, están representados por los veciores ày D Bl efecto final de esos s desplazamica- tos combinados consiste en levar el auto de 4 ac Evidentemente, elvecror à trazado de Aa O (Fig. 4.5), representa un cesplazamiento equivalente al efecto de 2 y b, Decimos entorces FIGURA 45 Elvecior &' resa y E es decir, É es ta resultante de los vecto- +8  419 UridadIt/ CINEMÁTICA que el vector Pes la suma o resuliante de los vectores 2 y B, y escribimos d=2+5 Esta forma de sumar dos desplazamientos es válida para cualquier cantidad vectorial. Obser- vemos que estas cantidades se suman de dis- tinta manera en comparación con las escalares, y que las palabras “adición”, “suma” y el signo *+* tienen aquí un significado especial Así, para evitar confusiones, acostumbeamos utilizar ia expresión adición veciorial cuando sumamos vectores. Por tanto, mediante la Figura 4-5, es claro que para enicontrar ta resultante, E dedos vecto: res d'y.b, traíaimos BL yettor Pdé iibdo que su-origen (o punto Initial) coincida cora êxtreimidad to punito: final) del vector Al unir el rigen del vector. corr lá estemidad del vector » se obs la resultante-Z. *% Rega del paralelogramo. Otra forma de obtener la resultante É de dos vectores, Z y õ se muestra en la Figura 4-6. Dichos vectores se trazan de manera que sus orígenes coincidan (por ejemplo: 7 y & pueden cepresentar dos fuerzas aplicadas en el punto 0) Sitrazamos va paralelogramo que tenga 2y b como lados, la resultante ? estará dada por la diagonal de este paralelogramo, que parte del origen común de los dos vectores. Suele denominarse regia der paralelogramo a este método. Obviamente, am- bos procesos que acabamos de presentar (Figs. 4-5 y 4-6) para la determinación de la resultante de dos vectores, son equivalentes y producen resultados idénticos. *» Resultante de varios vectores. Para en- contras la resultante de varios vectores, usare- mos un procedimiento semejante al que corresponde a dos vecrores. Consideremos, por ejemplo, que se hayan dado los vectores de desplazamiento 7, 7, ZÉ, Y E, Elegica una escala apropiada, trazamos los vectores de modo que FIGURA 4-6 Laresutanto de dos vectores tamúien se puede obtener por la “regla del paratelogramo”. 1a extremidad del primero coincida con elorigen del siguiente, como se indica en la Figuea Obviamente, e! desplazamiento resultante, o sea, el cespfazamiento capaz de sustiruir los desplazamientos sucesivos combinados, será el vector Y, que une e! origen del primer vector con ia exiremidad ce! último. Por tanto, en la Figura 4-7 tenemos VETA. <k FIGURA 4-7 El diagrama muestra la resultante de varios vectores, obtenida aí unir el origen del primer vector can la extremidad del último. & EJEMPLO 1 Consideremos dos desplazamientos, d y db, de mag- nitudes dy = 4 my do = 3 m, Detecmine la resultante D de tales desplazamientos en los siguientes casos: “> Th y do úenen la misma dirección y el mismo sentido Siguieado Ia indicación establecida en el temo, «sazasnos los vectores de manera que el origen de dy coincida con la extremidad de d; (Fig. 482). El despluzamiesto resultante D, que se gbtiene al unir elorigen de d, con la extremidad de à, tendrá, como indica la Figura 4-8, la magaitud D=719, y la misma treceiga y sentido que los vectores dades, 1 a1y à, tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos (Fig. 48h) Usando el mismo procedimento obtenemos cl desplazamiento resultante D que sc muestra cn fa Figura 480. Obsérvese que su magaitud es D = 1 m, su direcciér es la misima que la de los vectores dados, y su sentido, es el del vector de mayor magritud (sentido de ão à À es perpendicular a , como indica la Figura Obtenemos la resultante Dal unir el origen de À, con ja extremidad de 4», Vemos que esta resultante es la hipotenusa de un triângulo rectângulo cuyos catetos son di y dh Ta magnitud de D se podrá obtener en forma algebraica empleando el teorema de Pitágoras. Es decir, 2 , Rr DPe-d+m obtem, Di=qi+3 donde D=5m 2.4.3 Observe que D = À + d) (suma vectorial), pero la magnitad de D es diferente de ta suma de fas magni audes de dyd Sa4 3. 8 y dy forman ua ângulo de 120º, como se indica en la Figura 48d. Para este caso, en el cual los vectores no están en Ia misma dirección y forman un ánguio disinto de 90º, aum cuando podemos determinar algebraica- mente la resultante, será más simple y práctico em- plear e! método gráfico. Para ello, trazamos los vectores à tina escala adecuada. En la Figura 48d, Slegimos teptesentar cada 1 m por 1 cm (escala de 1: 190), y poe tas representamos à por un vector de tem, y dh por uno de 3 cm AI unir el origen del vector à, son la extremidad de Z); obtenemos la fesultiate D, indicada en magrilud, dirección y sen- Capitulo 4 / Vectores — mowmiento curvigneo FIGURA 4-8 Para el Ejemplo 1. 111  112 Unidad!/ CINEMÁTICA sido en la Figura 4-Bd Su imagnitad se obtencrá midiem- do, con usa regha, la longinud del segmento que sepresenta D. Haga esto y obtendr, en Figura 48d, una medida de 61 em. Por tanto, de acuerdo con a escala del dibujo, la magninsd de D será D=6.im. Como ya se expresó, este valor no.esiguat a la suma de las magnitudes de y dr *% Componentes de un vector. Conside- remos el vector representado en la Figura 4-9. Tracemos a partir del origen O del vector, los ejes perpendiculares OXy OY. Desde la extre- midad de 7, se traza una normal à OX. Es decir, se proyectu el vector v sobre el eje Y obrenemos así cl vectgr Ta mostrado en Ja Figura 49. Este vector c denomina compo- mento del vector Y en lu dirección X (o del eje O. Por tanto, TIETE : : ia Coripoliéme 'dêlan. vector en una eloa aireación: és la: proveúciót Córtogonal) del! vector: sobre laitécta que sline jicquelia idiréerona Cem e la misma manera podemos obtener la componente de T según el eje OY, proyectân- Y dolo sobre este eje. Esta componente, Vi am- bién se observa en la Figura 4-9, De este modo, cy Yyse denominan componentes rectangula- res del vector > - Observemos que Ves la resultante de Fry - V Crecuérdese regia del paralelogeamo), y por tanto, el vector Y se podrá sustituir por sus com- ponentes reciangulares. Así, êuatdo, deteriiinaçidé tas s componentes tee- guto dp VET, E “óbtienen dos = Vectores, A Suistituir at, Vector: z ue em cam Júnia. Púéder Para evaluar matemáticamente estas compo- nertes, volvamos a la Figura 4-9, recordando que para un triângulo rectángulo se tienen las relaciones FIGURA 4-9 Los veciores Vey Vy son ias companen- tes rectangulares del vector V. cateto opuesto a sen 6 = TESE Dipotenusa cateio adyacente a O cos8= z hipotenusa senciremos, para el triângulo O4B de la Figu- ra à: Ve senb=-D donde Vsen 8 Ve cos 6= ç% donde fy= Voos 6 Estas relaciones permitem catcular os valores de las componentes Vs y Vycuando conocemos la magnitud dei vector V y el ángulo que foema com ebeje OX. Por ata parte, si sc conocen las valores de las componentes Vry la magnima del vector se podrá obtener por el teorema de P En realidad, en el triângulo 04B de la Figura á-9, tenemos itágoras. é EJEMPLO 2 imagineimos un cuespo que experimena ur despla- amiento D de 190 km, segús un ângulo de 30 con ia dirección este-geste, como se observa en ia Figura 10 Considerando el eje OX disigido hacia el este, y el je OYlitigido hacia el norte, calcular las componen- tes De y Dyde tal despla siento. FIGURA 410 Para el Fjemplo 2. AL proyecene el vector D sobre OXy OYencontrare- mos tas componentes É y Dy (Fig, 4:10), Los valores ce estas componentes se obrendrá por lus relaciones D= Decos dy D,=Dsen8 Capítulo 4/ vectores - mevimiento curvitreo 383 donde 8 = 30º y D= 100 km. Consultando la tabia de funciones trigonométricas que aparece al final de! tibro, resulta (tomando sólo dos cifras significativas): cos 30º = 0.87 y sen 30º = 9.50 Así pues, Dy=160x087 donde Dy=87km Dy= 80x 0.50 donde D,=S0 km Obsérvese que cuando el cuerpo sufre el desplaza- miento considerado, so aleja de 9, desplazândose un tanto hacia el este y un tanto hacia el norte. Las componentes indican estas cantidades. En conse. cuucia, los cesultados = 87 km y My = 50 km indican que, en virtud del desplazamiento D, el cuerpo se desplaza 87 km hacia el este y 50 km hacia el none, EJERCICIOS Antes de pasar al estudio de la próxima sección resueleta las pregunta sigusientos, consualtemeto el texto siempre que sec necesario. 5. Ta figura de este ejercivio muestra elvector ? que es la resultante de los vectores 2'y &. «) indique este hecho por medio de una expre- sión matemática &) sSerfa correcto indicar lo anterior escribiendo que c=a+b? Ejercicio 8 6. £os vectores dy y 2, mostrados en la figura de este cjercício, representan desplazamientos cuyas magnitudes son 4 = 5 cm y do = 2 em. “) En la figura (1), trace la resultante D de esos vectores y determine su magnitud, 6) Haga lo mismo en el cuso de la figura (b). do do à à à, ta) toi te Ejercicio 3 318 Unidadil/ CINEMÁTICA Movimiento circular unitorme & Introducción. Decimos que una partícula se encuentra en movimiento circularcuando su trayectoria es una circunferencia, como, per ejemplo, la trayectoria descrita por una piedra que se hace girar atada al exiremo de una Guexia (Fig, 4-14%. Si además ce eso, et valor de la ve- iocidad permanece constante, el movimiento circular recibe también ei calilicativo de tnifo: me. Entonces, en este movimiento el vector velocidad tiene magnitud constante, pero su direecda varia en forma coninua. El tiempo que la partícula tarda en car una vuelta completa se denomina periado del mos miento, y se le representa por Y El espacio secorido per la partícula durante un pedodo, és ja longitud de la ciscunferencia que, como se sabe, tiene por valor 214 (siendo R el radio de ia irayectoria). Por tanto, como el movimiento es uniforme, el valor de la velocidad estará dado por distancia recorrida tiempo de recorrido FIGURA 4-14 Una partícula que gira atada al extremo de una cuerda, se encuentra sn movimiento circul Frecuencia dei movimiento circular. sugonga que, al observar la piedra mostrada en fa Figura 4-14, comprobáramos que efectia 30 vueltas completas en un tiempo iguala 108. La Fecuencia f de ese movimiento es, por defini- ción, el cociente entre el número de ueitas y el tiempo necesario para efectuarlas. Pos tanto, la frecuencia de la piedra ser O vueltas . BU vueltas f 105 f= 30 vueltas/s Observe que ese resulindo significa que la pie. dra efeciué 3.0 yuelias en cada segundo. La uni dad de Frecuencia, 1 vuelta/s, se denomina à benz, en homenaje al científico alemão H. Hertz (1857-1894). Por tanto, podemos sefalar: do apresenta a aero: a a BO dinidad de di [nego PER Ro El concepro de frecuencia puede aplicarse en otras tipos de movimientos, como se verá en et Capítulo 17. 1a &ecuencia y ei periodo de un movimiento están relacionados. Para relacionar fy 7; basta observar que esas magaitades son inversament proporeionales y, así podemos estabiecer la siguiente proporció; en el tiempo T(un periodo) se efectúa una vuelta en la unidad de tempo se efectuarán f vueltas ifrecuencia) o, esquemáticamente 7—1 If Entonces donde Por tanto, la Frecuencia es igual al inverso det periodo y reciprocamente. Per ejemplo, si el pe- siodo de un movimiento circulares T= 0.5, su frecuencia ser: f= 2 vueltas/s = 2 herta & Velocidad angular. Consideremos una partícula en movimiento circular, que pasa por ja posición P; mostrada en la Figura 4-15. Des- pués de un intervalo de tiempo At, la partícula estará pasando por la posición ?y En dicho intervalo At, el radio que sigue 2 la partícula ea su movimiento describe un ánguio 46 Fig. 415). ta relación entre el ângulo descrito por la partícula y el intervalo de tiempo necesario para describirlo, se denomina velocidad angular de la partícula. Representando per q» fa velocidad angular tenemos La velocicad definida por Ia relación v= Ad/A4 gue ya conocemos, suele recibir el nombre de velocidad limeal, para distinguirla de la veloci- dad angular que acabamos de definir. Observe FIGURA 415 Si una partícula desoribe un ângulo 46 en un intervalo de tiempo 4, su velacidad angular está dada por a = dot Caphtuio 4 / Vectores - movimiento curiirneo 14% que fas definiciones de +'y «o son semejantes la velocidad lineal se refere a ia distancia recorrida en la unidad de tempo, en tanto que la veloci- dad angular se refiere al ângulo descrito en dicha unidad de tiempo. 1a velocidad angular proporciona informa- ción acerca de la rapidez con la cual gira un cuerpo. En realidad cuanto mayor sea la veloci- «ad angular de un cuerpo, tanto mayor será el átgulo que describe por unidad de tiempo, es dacis, estará girando cor emás rapidez Recordando que los ângulos se pueden me- en grados o en radianes (como se aprendiá en matemáticas; véase Tabla 4-1), concluímos que q se podrá medir en grados por segundo £º75) o en radianes por segundo (rad/s) TABLA 4.1 | Se =Orrad Poems rd Po 90 =x rad : 60 =msrad 45º = m/4 rad 30º = x/6 rad Otra manera de evaluar la velocidad angular consiste en considerar que la panícula realiza una vuelta completa o reroluctos. En este caso, el ângulo descrito será AB = 2x rad (Tabia 4-1) y el intervalo de tiempo será de un pesiodo, o sea, At= 7, Asf, . neal se puede obtener por la refacién 2mR o bjen, 129 Uridad lt 7 CINEMÁTICA Como 2n/T es la velocidad angular, conciuimos que E posar Lo Esta eúuacién permite calcular la velocidad li- nes! y cuando conocemos la velocidad angular & y el radio R de la trayectoria. Observe que sólo sevá válida si los ângulos están medidos en radianes. *» aAceleración centrípeta. En el movimien- to eircular uniforme, la magnitud de la velocidad de la partícula permanece constante, y por tarto, la partícula no poses aceleración tangencial Pero como la dirección del vector velocidad sta continuamente, la partícula sí posec ace- leración centrípeta 2. En la Figura 416 se psesertan los vectores 7 y 2, en cuatro posicio- nes distintas de la partícula. Observe que ei vector à. tiene la dirección del radio y siempre apunta hacia el centro de la ciscunfesencia. podermos deducir, matemáticamente, que el valor de la aceleración centrípeta en el movi- miento circular, está dado por «+ ) “4 : / 4 FIGURA 448 La figura musstra los vectores Vy d- de una partícula en movimiento circular uniiorme, en algu- nos puros de su trayectaria. Y Observe que la magninsd de à es proporcio- ! a E nal at cuadrado de la velocidad, e inversamente proporcional at radio de la circunferencia. Por tanto, si un automóvil toma u (con & pequeão) a gran veloc curva “cerrada” dad, sendrá ana aceleración centrípela enorme. Más tarde veremos que estos hechos se relacionen con lu posibilidad de que el auto pueda o no tomar ia curva é EJEMPLO Una barra gira cor movimiento uniforme, alrededor de un eje que pasa por el punto O (Fig. d-17), efecruando des revoluciones por segundo. Para los puntos Ay E de la barra, situados a las distuncias Ry= 20my Rg=30 m del eje de rotación, calcule: 4 el periodo de movimiento de cada uso. Obyiamene, cada punto de fa barra tiene movi- nto circular uniforme airededor de 6 (Fig, 417), siendo el periodo de rotación el mismo para todos esos puntos. Como lu baura efecúa 2 revoluciones por segundo, es evidente que para realizar una vuela tardará 0.50 5. Así, todos ios puntos de la barra están gitando con un periodo T= 0.50 s. t9 las velocidades angulares 6, y 6. Sabemos que w =2x/T Como 4y B gian cen et mismo periodo, también tendrán lu misma velocidad anguiar (ambos cescriben el mismo ángulo ce 2x cud en el mismo dempo de 0.56 5). Entonces, mi 2m = obien, qu = gm dx rad/s 550 aids s velocidades lineafes sy 15 18 e. O 4 Ra / í i º : f À Í , í ; vos i ro f Vos tod ' FIGURA 417 Para el Ejempio de la Sección 4,4. Olserve en ia Figura 417, que jos puntos 4y E tecorsen distaneias diferentes en un mismo invervalo de sempo. Por ianto, aus cuando poseen iu misma velocidad angular, Yenes distinca velocidad lineal. En o, como 2! = 08, tendremos sie = af =árx20 obiea =wstp=ánx30 obien debe haber advertido, fa velocidad de ue la de À as, como Bes mayor q Capitulo 4 / Vecrores - movimieneo curcilines ERA «3 las aceleraciones centrípetas cics y dog La aceleración radial o centíper: está dada por « v2+R Tuego entonces: obien aa= 32x 10 mis? vR 38? 4 35 obiea, ag sl EJERCICIOS Auses de pasar ei estudio de la próxima secciõn, resuclea las preguntas siguientes, consultando el texto sicenpre que sea necesario. 47. Va auto s€ encuentia en movimiento circular uniforme en la pista horizontal que se represente É ea la figura de este ejercicio, El senrido del movimiento cs de Alacia 8. «ip “ence, en la figura, el vector velocidad def auto en cada una de las posiciones 4, E € Dy E que se muescran. ty iTiene el auto acelesación tangencial ipeta? «) Trace, en lx figura, el vector delas posiciores 4, R, para cada una 7, Dy E que se indi 18. Suponga que la pista del ejercício anterior tiene un índio R = 100 m, y que el auto le da 2 vueltas en cada minuto. Ejercício 17 “à «Cuíi es, en segundos, el periodo del mov miento del auto? &) icuál es, en hertz, la frecuencia de este iniento? é Cuál es la distancia que recorre en revolucién (perimeso de la circunferenc: “ Qué valor tiene la veloci hícuto? ta lincal del ve. ô «Qué espresión nos permite calcular ia aoele- ración cenripera? Úsela para calcular e! valor de 7 del amorméril 19, Para c! movimiento considerado en el anterior; determir: id 5; E a aproximadamente 45 m. Se dice que desde lo alte ce esta torre, Galiieo realizó su célebre experimen- ia acerca de la caída de los cuerpos. dad 114 CINEMÁTICA 123 Ui à) El valoe del ângulo (en grados y ea radianes) que ei auto deseribe durante un periodo, &; Ia velocidad angalar del vehícuio (en tad/s y en grados/s). 20. «) «Cómo se define la velocidad angular de un cuerpo en movimienta circular uniforme y que describe un ângulo A6 durante er tempo di? Usando esta expresión, calcule Ia velocidad angular de un cuerpo para et cual 49 = 1/2 cad y 4t=050 5 5) eCuál es la ecuación que relaciona 6 y T? Uuitícela para calcular el pesiodo del movi- mento del cuerpo citado es (a). «) Calcule la frecuencia de este cuerpo. ch) Supenga que la trayectoria del cuerpo citada en (a! tiene un radio R = 10 cm. Use la sela e 1,0 y Rpara calcular !a velocidad lineal de este cuerpo. aPocria utilizar fa expresión que se pidió en (6) con el valor de « dado en grados por segundo? Ejersicio 21 23, Dos autos se desplazan a una misma velocidad en ias pistas Pi y £3, que se muestraz: en ta figura de este ejercicio. à) «Cuál de as dos pistas tiene un radio mayor? b) sPara cuái de los dos autos es mayor la acelc- tación centripeta? £.5 Composiviôn de velocidades Tmrroducción. Consideremos un avión que eia a cierta velocidad sobre un lugar donde el aire está quieto, sin correntes. St comenzara a hacer viento, el avión se haltaría animado de dos movimientos: el que úene en relación con el aire, proporcionado por sus motores, y el movimiento cel aire mismo (en relación con la Tierra), el cual también hace desplazar al avión. Siaciones como ésta, en que un cuerpo poses simultâneamente dos o más velocidades em relación o con cespecio a un observador, surgen a menudo. Por ejemplo, un barco que se mueve en un do cuandá es arrastrado por la corrente; una persona que camina en e! interior de un vehículo, cuando éste se encuentra en movimiento, etoétera «Cuál sería la velocidad con la que un obser vador veria moverse ur cuerpo animado de varias velocidades? Recordando que la veloci- dad es ana cantidad vectorial, podemos conciuir que iz velocidad observada para ct cuerpo será ta resultante de las velocidades que pose. Por ano, el avión citado se desplazará con una velocidad igual a la suma vectorial de la veloci- dad del avión en el aire con Ia velocidad del aire con respecto a la Tierca. é EJEMPLO 1 Consideremos una lancha o bote cuya velocidad en relación con e! agua (pcoporcionada por sus motores) es = 6.0 m/s. La esmbareación se desplaza en un rio cuya corriente tiene una velocidad 1.= 4.0 qv's. «) ;A qué velocidad se desplaza rio abajo? 1a lancha está animada simultâneamente por dos velocidades, Per tanto, se desplazará (con respecto à la Tierra) com una velocidad total Pque es fa resultante de dp y E En este caso, à y Pe son vectores con lx misma dirección y el mismo sentido (Fig. 4-180). Entonces, e=vstiç=60+400 bien, v= 10 m/s Vemes que el valor de la velocidad resultante está dado por ia suma aigebraica de tas magnitudes de y así, el bote se despla que si no existisse la corrente. con más rap é vel DAR idad se desplaza rio arriba? Ex este caso, los veclcres 7 y E, tiener: la misma dieeción pero sentido contrario (Fig. 4-18b), y el valor de ha veiocidad resultante será v=tg-10= 60-40 o bien, Obsiamente, en virtud del menor valor de 1at veloci- dad resultante, fa lancha rar rio axriba que rio abajo. 0) Si la velocidad 7 se orientase perpendics mence en relación cen las márgenes dei rio (Pig ), ca qué velocidad se desplazaria por las aguas á más en despiaz jo, E Y E no possen la misma dirección. ta velocidad resultante 7 se podrá obtener por ka regla del pasatelogtamo. como indica la Figura 14-18c. En consecvencia, ia tancha se deslizará a lo largo de la arayectoria AB que se muestia en la figura Como 7) es perpendicular a Te, la magoitud de ta velocidad resultante 7 será Eneste v=VErã= donde 72m's & Independencia de las velocidades. Si examinamos la Figura 4-18c, notamos que las velocidades 7), (velocidad de la embarcación) y 7, (velocidad de la corriente), son perpe: laves entre st Elio significa que 7% no tiene componente en la dirección de tj, y por tanto, Ia cortiente no ejercerá ninguna influencia en el tiempo que la lancha tarda en cruzar et ro. En consecuencia, haya 9 no corriente, el tiempo de travesta será el mismo, pues el efecto de fa corrente consiste únicamente en desplazasa rio abajo. De la misma manera, siendo nula fa compo- nente de 7) en la dirección de la corriente, la velocidad del bote no ejercerá influencia alguna em su movimiento corrente abajo, Luego las volociclades 7 y 7): son independientes, Er otras paiabras: dicu- Capitulo 4 / Vectores - movimiento curareo IE Trayecteria de ta lancha FIGURA 448 En cualquisra de los casos indicados, tavelocidad Vde la lancha en relación con la deta Tierra, está lada por la resultante de Va y vc. Capítulo 4 / Vecores — movimiento o. úneo 429 128 Uridad li é CINEMÁTICA determinada? Dé ejemplos de cantidades vec- a del vector ? que, obligadamen- anotaciones en un pastido de Fútbol. E! experi- En resumen, afirma que posiblemente existe oetates e está cambiandos mento fue un éxito tecnológico y un fracas po- el sentir generalizado de que gran paris det 6) iCuál cs la diferencia que advierte entre las . pular, pues los aficionados se negaron a aceptar encanto del depore, se halia en el azar y en la notaciones À y d? - a) JCuá! es Ja dixoucián y el sentido del vector una medición que ni ellos ni et juez podían per. inceaidumbre de los resultados de las pruebas aceleración tangencial 22 cibi o compelicicnes Ê 2. En el testo se presentacon dos procedimíentos 5) Si una partícula pose Z, :qué característica para la determinaciõa de ta resultanie ? de dos dei vector 7 está cambiando necesariamenso? ace veciores 2 y À Describa cada uno de esos prog; 1) AQué es el período de um cuerpo en mov É cesos. miento circulas uniforme? EJERCICIOS E 5, ie é entiende b) Si un cuerpo está en movimient e : 3. 6) Explique qué enticnde por componente de un Si un cuerpo a. movimiento circular EN uniforme, ;cômo se define su velocidad angu- Antes de pasar at estudio de la próxima sección figura de ese ejercicio. En estas condiciones, en ; iouê Vsegún un eje 0X : a ta? id Costtesto das preguntas siguientes, consultando el seo elta diem : ata aleanzó 5) eQué som componentes rectangulares de un - conteste las preguntas sigudontes, comsultamlo el sexto | faneamieçto de a baia alcanzó el mes é Exprese esta velocidad angular en fsnción dei siempre que sea necesario suelo en el punto 4. - pesado 7 4 4) Siendo 9 un ângulo agudo de un triángulo 26. Un auto Fórmula 1, durante una cama de tiem - rectângulo, defina sen 8 y cos 9. 9: cb AQué expresiõa relaciona 1, 4 y Ren un ara delicia posteioa de amanque, elocmé una Í à) Xuáiles son las expreslones matemáricas que movimiento circular unilorme? vustta comple a la pista y sus aparaos de A : permitea calcular las componentes rectangu- 8) «Cuêles ka expresión que proporciona ei vaior medica egistraron los sigulentes valores: ASUS, : duros de ta vector? de 2, en ei movimiento circular uniforme. — distancia recorrida = 4 546.4 : S : à Si conocemos los valores de las componentes )s N elocid: é tempo de recorrido = 82.642 s Ejercicio 25 à Sic ba te las comp 36. 4) Siua avión posee una velocidad 7 en relación Despuês, una emisora de ejevistõn anuncis que recangulares de un vector Y, ;eómo podemos con el aire, y si éste so mueve coú uma canzó, ea esa po usa veloci . 5 calcular su magnitue? velecidad 7, e dera oem el piloto alsanzó, ea esa pruebo, una velocicdad é Muestte, en la figura, la posición aproximada g “elocidad Te, con respecto a la Tier, ceúmo de 211 u Bovh sea em lá cual ta bala alcanzaria cl suelo si éste É 4. Vimos que la velocidad de una partícula en uq debemos proceder para encontrar la veloci- sCres usted que, en témminos de algoriimos unter nivelado, f instante determinado, se representa por un vector dad, T, del avión con respecto a la Tierra? 8) Cuando un cuerpo está animado de dos mort mientos perpendiculares entre sí, decimos que son independientes uno del omo. Explique cl significativos, la emisora de televisión presco- N 16 correctamente el valor de lu velocidad? &% Escriba el valor de esa velocidad de manera É Diga cuál es la magnitud, Ia dirección y cl sentido de ese vector. «Se perjudicó el atleta o se beneficio en ese lanzamiento? que, en la figura, el error aproximado que À : 6. a) Cuál es fa dirección y ef sentido del v ifica ynetió al determinar el alcance del larza- é eleració a 2a , jo del vector significado de esto. : aceleración ceniripeta %,? 3 Descti o , : Z7. Se sabe que la velocidad del sonido en et aire vale míenco. É no 1 centripei & j “) Describa et experimento que Galileo realizó 340 m/s. & Si una paricula posee Z,, cómo debe ser su para mostar la independencia de dos mosi- 29. Dos atletas ianzan pesos iguales, aplicando am Ê trayectoria? En estas condiciones, ;cuá] es la mientos perpendiculares. à; 44 qué distancia del revólver se encuenta un atleta, mencionado en el texto, que oye el disparo 9.04 s después del disparo? bos el mismo impuiso. Uno de los dos se encuen- tra en Quito, Ecuador, y el otro, en Rio de Janeiro. «Cuál de ellos so favorecerã, en su lanzamiento, AOwát es ti máxima distancia que pediria existir entre um atteta y el revólver para que sea por elvalor local de la acelerución de la gravedad? cohesente con la precistón (0,01 s) del dispo- Explique. ativo de medicién de tiempo mencionado en sy, “rate de verifica; si aigunos de Jos factores físicos el textue analizados en esta sección (u coros factores no PRIMER EXPERIMENTO O Ta velocicad angular 0 de fa moneda. 28. En un lanzamiento de bula, <i suelo del locat de mencionados), están presentes en deportes que o d) Su velocidad lineal 4 a prueba no estiba nivelado, como lo muestea la usted practica o que conoce é Su aceleración centrípeta e ms 1. Coloque una moneda pequeria en la ceilla delplato 24) Sila moneca se colocara en a circunferencia girarorio de um tocadiscos. Mida y anote la distancia, media del plato, de modo que el radio de su R de ja moneda al centro del! tomammesa, y ponga en irayectoria sea ahora dos veces menor (o de marcha el aparato. Usando us cronômetro (o um teloj la mitad), los valores de £ 0, uy G, para con manecilla de segundos) mida y anote el tiempo esta posición, seran mayores, menores o que tarda la moneda en dar 10 wueltas. Para mayor iguales que los valores cortespondientes a le | Seguridad, aconsejamos repetir la medida algunas anterior? É veces, Con base en sus anctaciones, determine: 8) Coloque la moneda en la posición indicada en iaspregunias siguento oclaemaron para quorepase 1.0) (Qué és una cancdnd escalas? D ejemplos S) El periodo T de rotucóm de ia mona. (a), realice las mediciones necesarias, y cateule los puntsos mas imporantes aboreladosem este capítulo. b> «Quê características deben proporcionaise número de revoluciones que realiza em 1 os valores de 7 q v y do (L05 valores putos ns inocente dado nes conto a poa bad quão Dies minuto. Compare este resultado con ja indie. obrenidos confirmam sus respuestas a la pre- checa. ción del aparato. gun de (az 486 Unidad ll/ CINEMÁTICA i SEGUNDO EXPERIMENTO Loma rir ema Como ya dijimos, la velocidad horizontal de 8 (Pig. 4-19) no afecta su: movimiento segán la vertical, y por eso 4 y B llegan simultâneamente al suelo findependencia de los movimientos). L! experimento siguiente semejante al que realizó Galileo, está desti- nado à comprobar estu independencia de dos movi- mientos perpendiculares entre sí ' Za figura presenta la forma en que debe cealizarse experimento: se debe emplear una regla apoyada parciaimente sobre una mesa, y dos monedas, dv & colocando a E sobre dicha mesa, cerca de su oríla y a un iado de la regla, y à 4 sobre esta última (por fuera de la mesa) 1. Fije fa regla con un dedo en el punto 2, de imanera que pueda gizar alrededot de ese punto. Dé un golpe rápido en el extremo libre de k regla, como indice la figura. Observe las trayecrorias de ambas monedas, y compruebe si 4 cae verticalmente (caícla tíbre), y si 2, en el mismo instante, es lanzada horizantaimente hacia ja derecha. 2. Repita el experimento, y escuchando con aren- «isn cl ruido que produzcan ai llegar al suelo, con pruebe si tardaron lo mismo en caer, 3. Repita una vez más el experimento dando un golpe más fuerte a la regla, para que Zadquiera una mayor velocidad inicial. j1as monedas 4 y E siguen cayendo simultâneamente? dDirfa usted que ha que- dado comprobada así la independencia de los dos movimientos (horizontal y vertical) de la moneda B? Segundo Experimento [= —>——— TERCER EXPERIMENTO Este experimento Je permitirá analizar 1 movimiento de un objeto lanzado horizontalmente que ese bajo ia acción de la gravedad. Para realizarlo, proceda de la siguiente manera: 1. Tome una superficie rígida, como una tabla (o inclusive um libro), 7 cúbrala con una hoja de papel blanco. Coloque la superficie, cubiera co el pa- LIBROS EN LOS QUE SE APOYALA TABLA VISTA LATERAL DELA TABLA Terces Experimento pel, apovada detal manera que permanezca inclinada. E cierio ângulo sobre ta horizontal (eéase figura (a) de este experimento) 2. En lo alto de Ia hoja, marque um punto A Créase gurt) 7 coloque una pequena pistaferma (o canale- 1 Fortzental ce modo que su extremo coincida con a punto 4, como se moesta en la figura (4), Si es Lecesario, pida ayuda a en compaiero 3, Torae una pequeiia esfera (de acero, o de vidio, etc) y pase aceite o vaselina líquida ca la superficie. oloque la estera en fa plataforma e impúlsela con cera velocidad horizontal, de modo que corra sobre a papel. Ia trayectoria de la esfera será marcada en a hoja y usted podeá cemarcaca o retocadla con la punta de un lápiz. El movimiento de esa esfera es igual al que se natizó en la Sección 4.5, mostrado en la Figura 4-20. Ei, este easo, sia embargo, la aceleración de lu caída «s menor que la de la gravedad (debido a la inclina- cióm de Ia superficie). Recuérdese que ese movimicn- «5 cuya. trayectoria se trazó es una composición de dos movimientos indepencientes: un movimiento ho- Caplurio 4 / Vectores - movimiento curitreo 039 rizontal, con velocidad consante y un mevimiento acelerado hacia abajo. 4. à partir del punto À trace, en la hoja de papel, un eje horizontal y otro perpendicular a éi, como en Figura (b) de este experimento. En el eje horizontal, sefale los puntos Pi, Pà y Py, etc, de tal modo que APS Pi ty= $35-... Como el movimiento horizontal es uniforme, esas distancias corresponden a intervalos iguales en el movimiento de la esfera. Indique, ahora, tas distancias 41, 9.0», Onf)3, efc., que correspon- den a los desplazamientos de la esfera, hacia abajo, en cada vino de aquellos intervalos iguales. Observe que esas distancias aumentan gradualmente, lo que muestra que el movimiento hacia abajo es acelerado. 5. Observe la forma de la trayectoria obtenida en el papel y vea cómo es sernejante a la de la Figura 420. Esa curva es una parábola, como la curva que describe la “variación con el cuadrado” estudiada en el Capítulo 2. 6. Tate de repetir el experimento, pero ahora varie la velocidad iniciaf de Ia bala y la inclinación de la superficie. é. Un «itomóvil, al ser probado en una pista circular de 300 m de radio, parte dei gunto 4, como se ve en la figura de este problema. <à) Trace, en la figura, el vector É que representa el desplazamiento del automévil luego ce haber efecmado media vuclra. à) «Cuál es la magnimd de este desplazamiento? «Cuái será la magnitud cel desplazaniento del auto después de haber dado una vuelta completa? Problema à . Dos desplazamientos À y &> tienen magnitudes dh=40my d=30m Se sabe que di tiene dirección horizontal y sentido de izquierda à derecha. à) «Cuál debe ser la dirección y el sentido de & para que ia resultante de esos vectores tenga una magnitud igual a 7,0 mê b) Responda la pregunta anterior considerando que la resultante debe tener una magaiud iguala LOM. é da resultante de & y d, podia tener un valor igual à 8.0 m? ;O bien, iguala 0.5 m? E En la figura de este problema, los vectores À y É representan, en magnitud, dicección y sentido, dos fuerzas que acrúan sobre un objeto apoyado en una mesa lisa. Se desca aplicar al cuerpo, una fuerza É, de modo que sea nula la resultante de tas tes fuerzas É, & y É. Escoja, ente ios vectores que se muestran a continuaciór, el que mejor represente a É, | A f A M o pé gf EB2 Unicadliy CONEMÁTICA o Ba + Eo= Eb Ny a des b=ab “tp à Ab+ Bb+ de a Firmaciones siguientes está equivo- . (Cuál de los cada? é) La magnitud de ja componente de un vecior no puede ser mayor que la el propio vector. &) Si la componente de un vector sobre un eje es —E nula, podemos concluir que la magnitud de? Bo vector también lo es. o Si um vector es perpendicular a un eje, la Problema 3 comgorente del vector sabre dicho eje es nula. «3 Si un vector es paralelo a un oje, la magnimd de la componente del vector sobre el eje es I vecror. componentes recrangulares de vector son nulas, podemos concluir que la magaitud del ventos también lo es. 4. tas figuras de este problema las dibujó tn estu Ciante cuando trataba de obtener la resultante, T de dos veclores T; y 7). Seita e tas figuras ea nte V' se obtuvo crrreciamente. tas cuales Ja resul: En la figura de este problema, los segmentos rectiineos AB, BC, (4, ete., representan vectores (AB y BA, por ejempio, son vectores de sentido w Los vectores a y Va mostiados en la ligura de este problema tienen magnitudes 4 = 20 em 7 v= 10 em «à Yrace, en a figus: contrario). En fas iguaidades siguientes se preses- tan algunas reiacioncs entre estos vectores. Indi- las componentes rectangu- a lares, Pxy Pp de À que cuál no es verdadera D) Haga lo mismo para ei vector * B e à Caleule los valores de estas componentes, y al mrem presentas los resultados, considere la siguicate convención de signos: las componentes sobre OX son positivas si están orientadas hacia la derecha, y negativas en caso contanic; las componentes sobre OY son positivas si están ' orientadas hacia arriba, y negativas en caso iocímetro de um auto que va por uma care- tera plana, según muestra la figura de este pro- biema, indica constantemente 60 kmih en et tamo 4B. En el tramo BCla in iór del ve. locítmeiro cae gradualmente a 40 km/h, y en el ente hasta 80 x U Probtama 5 O AB+BC+ C4=0 » 5b=4E+ AD tramo CD, aumenta paulatinar 5 > “a va <y sr tal tb) te) ta) tel Problema 4 x Mo-poeo io De 30? I I I 1 I Problema 7 kavt, Trace los vectores TE, (aceleraci pera) y 3; (aceieración tangencial) aníento del autcanóvil, en las posiciones que se indican en la figura Problema 3 ” . Seguro que usted sabe que fa “Tierra posec un movimiento de rotación alrededor de su eje à) (Cuá) es el periodo de este movimiento? 9) iCuál es su velocidad angular en grados por hora? 10. Una pelea 4, en rotación tiene 10 em de radio y um punto de su periferia tiene una velocidad lincal de 50 emys, Otra pelea, £, de 25 cm cle radio, gira de medo que un punto de su periferia ticne una velocidad lineal de 75 em/s, «) Calcule la velocidad angular de cada polea. 8) «Cuát de las dos poleas gira más rápicamente? z La piedra atada a una cuerda, posce un mov miento circular uniforme ce periodo T= 0.205 y tadio R = 10 cm Calcule para taí piecira: a) ta velocidad angular, en rads. 8) La velocidad linea], en m/s. O La aceleración centripera, en m/s ww e Problema iã 12. Imagine a dos personas 4 y B situadas sobre superficie de la Tierra, estando A en el ecuador & em un parilelo cel hemiserio norte y en ct mismo meridiano (tease Figrra de est blema). Usted sabe que estas personas giruzin junto con la Tierra en su movimiento de rotación Diga, cle entre las siguientes afirrmaciones selacio- cas con el movimiento de retación de «ly E; suáles son correctas y cuáles están equivocadas &) El periodo de rotación de À cs mayor que el de 8 $) La velocidad angular de A es igual que la < E. à Elradio de lx isayectoria de A es igual aí radio de la trayectoria de 2. «) La velocidad lineal de 4 es mayor que la de 8 à La aceletación tu de B, ipeta de A es menor que 13. Dos autos, 4 y B, van por una misma cura, circular de una carretera, desasrollando ambos 40 km/h à) El conducror del auto 4 aumenta la velocicad a 80 kavh ja aceleración centrípeta dei auto se volverá mayor o menor? (Cuântas veces? Elauto £, manteniendo su velocidad, entra en uma curva más “cerrada” y de radio dos veces menor. (Su aceleración centripeta se vuelve mayor o menor? «Cuántas veces? » 14, En la Figura 4-18b, ;qué sucederia al bote si: “O to= vç? bh ug<uç? 45. Dos ciudades, simadas en las márgenes de un sío, se encuentran a 100 km de distancia. Un bote que bace un recorrido entre ellas, tarda 5.0 h cuando va rio arriba, y 4.0 h cuando va sí abajo. Calcule: 188 Unidac ll! CINEMÉFICA Capítulo 4 / Vectores - mevimiento curvilneo 529 «9 20h “à Eltiempo de la travesta será mínimo siei barco . . dani se orienta de tal manera que el recorrido se afirmar que los módulos de ias velocidades de o ua realice perpendicuiarmente las 11 esse punto, en relación con lu Tierra, sado pass 99h » se: en las posiciones (E), (2), (3) y (4) de la figura. 9. 2 69h tente de su velocidad resultante, en la direc- valen ten m/s): : , ción normal a ias márgenes, podrá ser supe- » N ceto; 14. El motor de un barco fe imprime una velocidad era genes, P P w= 50; 15 = Cer0; th 3 : : ior a 1 »=5D. 09= coro o (relativa al agua) Vp= 4.0 m/s, orientada pespen- Cosan eai de= 54 = coro; o ; : a à Según la orientación delbarco, el componente m=50 m=LO q=50 «icularmente a las inárgenes de ur dio, Existe una É mes ds : á 15. 17. Un barco, con sei coriente con velecidad Vo vados súutado en la aíta verá una velocidad: a) 4) mis 20 m/s. Un obser- aí barco anzar a 30 mis a ES AT ORA Dm e) La mayor veiecidad resultante que el barco Eri Ds ci 70 m/s ' 4 nt a alcanzará, se dará cuando se oriente normal A 10 m/s y ú Ar rs meme a las márgenes. e 50 mis En 'a pregunta asterior, si se sabe qu m de ancho, podemos «decir que el Zarco esitará, pata eruzas el rio dliase de Física quiese saber ia altura de un edificio, Para ello lanza hotizontimente una pie. gra, desde lo alo de usa terxaza que está en le Oye el impacto de la piedra at sobra ef astalto «: <onclusión desgresi que la abura esa, aproximadamente: pe (VD = (DA 20m Analice das at 1es que ie hizo un colega e indique las que son correctas: mento no es correcio, porque al piedra horizoniatmente toma más tiempo para raer que si hubiera sido soitada, sin velacidad iniciel" del aire, de su velocidad resultante, en la dirección de “a corrente podrá ser mula. «) Cuando e! barco orienta su velocidad Y nor- malmente & las márgenes recorrerá cl menor camino posible en la qravesia. Considere el ecuador terrestre y sobre él montada una teste de altura &4 segun la figura. Una pai a de masa «m se deja caer de to alto de cesprecia Ia resistencia de! aire y se que no sople viento, el punto er que la partícula Nega al suclo estará en reiación com el punto £ al none As sur Sabre ei pusto £ al oeste Al este = cera: t5= 10; = cero w=30 18-70 4=30 a En algunos libros de secuncaria se acomimizra afismar que las dir postbles para una secta son las sigutentes: Horizontal, verical, e inclinada. Para que usted observe que esa atira ción es totalmente equivocada, conteste lentes preguatas: que dos (o mês) rectas acizonta tes puedes tener lu misma cireccióne 77 has rectas herizoctales tienen la mis eCree ust ción? «Cree usted que dos (o más cectas) inclinadas pueden tener la misma dirección? 4X todas las sectas inclinadas Lenen la misma direc- ción? Suponga una recra vertical en un punto del ecuador y ota en un punto cercano a uno de los polos de Ia Tierra. Cree usted que esas dos rectas verticales tienen Ia mis dirección? à) Considere varias rectas verticales en punto» diferentes de su salón de clases, Cree usted razonable considerar que esas reczas verticales tenea fa misma dirección? Explique. (2) 4 mienioa sucessivos del helicóptero b) Calcule el móduto del vector desplazamiento resultante: AD del helicóptero. «) «Cuál es el valor del ângulo de inclinación del vector Ab ea selación con la horizontal? df) Keráles son fos móduios de !as componentes hcrizontal y vertical dei vector Ab? ia Figura de este problema muestra Ja resul obxenida por medio de los vectores TÁ y o. £a geometria permite el valor de ia los médulos de a vegl dlel paralelos: olstense une fesmula para caleul resultane, cuando se conse 7, y À y el úngulo 6 formado por esos vectores. IL.“AI despseciar el tiempo que el sonido pro- Lace um par de ejes OX y OY perpendiculares ducido por el impacto ce Ia piedra contra el entre sí. Trace un vector F) del origen Oal punto Problema Complementaria 4 a lo, necesitá para llega a su cído, usted n error de casi 50% em sus cálcu cometiá los m becho de que usted haya hecho cálculos aproximados, despreciando | aire y no baya tomado en consideración la velocidad del sonido, lo levó à obrener, para lu altura de! edifício, um valor superice al verdadero”. cidad T necesita atravesar un «o cuya corriente es T. Suponga »> u Acerca de este movimiento se puede afirmar: Pregunta 18 19. Un disco, de 1.9 m de radio, situado sobre una glnraforma (téase Tigura) se pore en votación contraria a las manecifas del reloj, con una velocidad angular de 3.0 ras, en rocno de un eje que pasa por su centro. La plasiforma avanza por fas sas con una velocidad de 4.0 m/s. 5i conside- iumos un punto en la periferia del disco, podemos A, de coordenadas & = 3 = 4. En seguida, trace e! vector.) dei origen al punto 5 de cocrdenadas X, = 4y Ya = 3 Conteste: o 7 esiguala À bi avi esiguala 1? Un helicóptero, a cierta altura, parte de un gunço A, avanza 4.0 tera hasta el pucto E, manteniêndose en la misma aititad, En seguida, aún en la misma aitura, avanza 3,0 km es ângulo recto con direc- ciêa AB, hasta el punto C A partir de G sube verticalmente y recorre una distancia de 5.9 kr, Uegar al purto 2. +“) Para obtener esa fórmula, considere Jas indi- caciones siguientes: utílice las construeciones hechas en la figura y aplique cl leorema de Pitágoras a los triângulos ABD y CEP, observe que el ângulo &CD es igual a 6 y muestro qu la fécmula que se busca es: Pe Vit t+2% Vocos8 5) Dos vestores tienen módulos 14 = 10 em y v=60cm y forman um ângulo 9 la exuación cltenida ea (a) para magnitué Y de la resulunte de estos vectores. 146 Urnigad il / CINEMÁTICA 5. Para verificar que la ecuaciõe obtenida ce ta pregunta (x del problema anterior proporciona resultados que va son de su conocimicato, eptt- queta a fos siguientes casos específicos, para obte- ner cl módulo de ja resultante Tá à Ty P tienen la misma dire: in 7 sentido &) P,y Ty tienen la misma dirección y sentidos contrarios. /, es perpendicular à blema muestra seis vectores 6. 1a figura de este pr de módulos allí indicados, caca uno de ellos engulos de 66º con jos vectores adyaventes. nte de esos Forma é a; Determine ei imóduio de la resu vectores. d) eCuát es la dirección y el sentido de esa resultante, en relaciõe con el vector =? Problema Complementaric & escribe una curva, cl ceecha. come se 7. Un auto de Fórmula 1 d plazândose de izquierda a indica eo ta figusa. Si se sabe que ei piloto. en ese giomento, está frenando el veiículo, scuál de tos vectores À 8. É Bo É representa mejor su n er: ese mcmento? aceleraciá Problema Complementario 7 49. Dos discos, colo 8. Considere las manecilias de las horas (H), de los minutos (MD y de los segundos (5) de a reloj. Calcule, para cada una: a) Su veiocidad angular, ex: grados hora. &) Su irecuencia, en hertz, 9. a) Un auespo. en movimiento cireular uniforme, tiene una veiocidad angular 6 = 19 x rad/s Deteremine la frecuencia, / y el periodo, 7, de ese movimiento. b) Suponga que una parcula efectáe um movi- miento circular uniforme con frecuencia f= 0.25 henz. Calculo el periodo, Ty ta ve angutar, 0, de esa partícula. os en um anismo cie común, gian con una feecuencia, / constante (réase figura de este problems). Siendo 2, = 2%, deter mine ly relación: Problema Complementario 10 le los ds (Wo) entre des discos. 59 Ctyftsy) entre las velocidades lineales de das puntes eu ias de cada disco. o) Casas) estre las aceieraciones de los puntos mencionados ex (b) s velocidades angular à£. Dos poleas, de radics & = 10 019 y 4 = 30 em, str están acopladas por «a banda de ión no extensilie como lo muestra ia Zgura de este problema 4 Suponiendo que la Lunda no se destice sobre s poleas, jcree ustecl que Ia velocidad lineal Problema Complamentario 11 13. Un “4. de um punto en da periferia de la polea Ri, es mayor, menor o igual a la velocidad 1, de un gusto en la periferia de la polea R? si se sabe que la polea & gira con uma frecuencia A = 60 tpm (rotaciones por mine tu), determine ta frecnencia de la polea &, s 5 La tocadiscos está tocando a 33173 «pm. Ta cara él del LP, dene en radio intemo igual a 7.0 cm y el radio esterno iguala 15,00m 1a cura se toca en 2á minutos, e) iCuál es fa distancia mediz entre dos surcos consecutivos clel disco? 5) icuál es la velocidad lineai dei punto dei disco que está bajo la aguja al final de la ejecuciên de la car? automéóvil se desplaza con una velocidad constante de 72 kmyh. Si sus ruedas tienen un diâmeiro de 40 em y no deslizan, calcule et número de reracines que electúan por minuto. a “im expertinento para medir ka velocidad ce la 2, cealizado em el siglo xux, el físico francés H Fizcau utilizó una rueda dentada, como se lusira figura, puesta en rotación en torna 4 se eje. Esta rotación se ajustaba de tal modo que un luminoso, pasando por el intervalo A entro des dientes de la rueda, incidía en un espejo fjo, situado a cierta distancia siendo seflejado y regre. sando a Ia meda exactamente en el momento de pasar en el intervalo Bentre los dientes siguientes (ease Figura). Suponiendo que Ja ricda dentada 720 dientes, que su distancia al espejo fuera de 9.0 km y sabiendo que la velocidad de da luz es de 3.0 x 10 kmys, determine cuántas cotaciones por minuto delfa efectuar la rueda para que eso cenrriera. Problema Complementario 14 - Para dezerminar la veiocidad de una bala, un técnico hace incidir el proyectil en un cilindro 16. 18 Problema Complemermiarie 15 hueco (con bases de pavel frágil), pu rotacién con una frecuencia f (eêase Figura de este problema). La bala perforó una de las bases en ei punto 4, atravesó el cilindro y saliá por lk otra base en el punto B. Los meios que por ias puatos À y & de cada base formaron un ângulo 8 entro si, cómo muestra a figura. Supo- niendo que F= 1.200 spm, que la longiud de) citindro sea de 1.0 y que 9 = 72º, determine la velocidad de la bala to en En un experimento para medir el valor de acele- sación de la gravedad, un estudiante lizo girar +: disco, à 50 rpm, en tomo a un eje vertical pasanco por su centro O De dos puntos acriba del disco, a lo largo de una misma venical, dejó caes simultâneamente sobre él dos esferas, una de ellas desde una altura de 45 m y ta otra, desde 2 Alchocar con ei disco, las esferas marcaron scbre éllos puntos My N'tales que cl ângulo MON cra igual a 96º, KCuál es el valor de lu aceleracin de ja gravedad que el estudianto encontrô a partis de esos valores que obtuvo? Ef sadio del cilindro de un carrete míde 2.0 cm Una persona, en 10 5, desenrrolla uniformemente 50 cm del hilo que está en contacto con el cilindro Créase Figura de este problema). à) &uíl es el valor de la velocidad lincal de ur punto de la superficie del cilindro? &) «Cuái es ln velocidad angular del gunto P, mostrado en ta figura, situado à 4,0 em del eje de rotacián? Un barco navega rio amiba con una velocidad Th en relación con ei agua. ta corrente del cio tiene una velocidad 7>y ?representa la velocidad det barco en relación con la Tierra. Una persona afumó que las reluciones entre esos veciores y entre sus módulos debe expresarse de la siguiente manera: 142 nica a 20 ad ESC “Can da segu Fxpligu Una person: . Ei experimento se à forizonlalmente. ne, dle velocideul para ilegaral piso dela regite cuando elavcolis avan cor movimiento recrilineo unife v= 10 mys. as iCuál es el tiempo de caía de la moneda en el segundo experimento? Dj aQuál es ja distancia entre “os puntos del piso de! autobis alcanzadas por ki meneds en el primer experimento y en ei segund: Um barco se dirige aí Este a 16 lom/f, mientras un viento sopia iracia el Sur a 12 km/h. eCuál es el imóduio de a velecidad del huma que sale de la menea (desprecie la veloció; humoY a) «En relación cos el barco? findique aumente su dirección). + «Bs: relación con Ja Tier cióm). vertical el roxas % (Indique su cliree- Des barcos pequeãos, 4 y E, desarrolan las siguientes velocidades en rel renci lación cos um cefe- en la Tier 6.0 nudos, para ei Nore tg = 88 nudos, para ef Este a) “cuál es ei mócuio de ta veiccidad del arco A en tejación con el barco E? (Indique, apro- xa demente, su disecçióa en un diagramu by jCuál es el móduto de lu velocidad del barco Ben relación can el barco 4º (Indique, apt xiadamente, au dizección en ue diagrama) 22. Dos trenes avanzan, con movimicnres ueifor mes, en sentidos conirartos, a lo largo de vias parateias con velocidades, en relación con la Ticrra, de 4 lan/fa yy 32 lan/h. Ur pasajero, en ei prime: ten, observa que ei segundo mecesita 12 E por él s para pas ál es la vetoc n cen el ps a a tel ad cel segundo ten em jero mencionado? 2) sCuál es la longic del segundo zen? Ua avtomócil avanzs e» linea secta con una vslocidad de 10 :n/8. bojo ia lluvia. Se sabe que las goras caen verticalmente, en relación con el suela, 2 una velocidad de 6.0 m/s. ay Determine el módulo de la velocigac de lus gotas en relación con um guservador que está dentro det automévil Detecmine la dirección de esu velocidad, caleu- lindo el ângulo que forex la vertical (race un diagrama que ilustre su respuesta). s 24, Un uen avanza a uva velocidad constante de 59 ken. Al mismo rempo, cas uma lluvia cuyas gotas exen verticalmente en relación con ta Tierra. ja trayectoria de las gotas en los vidro ventanillas Iateraios dei tre secta que fornas un ángulo de 65º con la vertical Caleuio cé módulo de Is veincidad de las gotas en relación cor el suelo. de tas son segmentos de idad Se avienta una pequena estera con una velos horizontal desde ia asilla de una mesa. Consicere la esfera al pasar en una posición cualquiera ce | trayectoria, on la cuaí ella tiene una aceleración tangencial 7 y uma aceleración centrípe: tese, en función de É (neeieración de gravedas!), el resultado que se obtencitia 5; se caleulara lu resultante 2; + 26. Cuando dos autos avarzan uniformemente ea sentidos contraçios, em la misma cacrerera » se aproximan 9 m cada décimo de seg Cuando avanzan en el mismo sentido, con cidades de móduios iguales a aproximam 10 m cada segundo. G: ciclades cle dichos autos. 27, Se lanza usa pelora desde lo aito de urna escalera on una velocidad horizontal de módulo igual à O gv's. Los escalones miden 20 cm de altura por 35 cm de ancho, (A qué escalôn llegará ia pelcie? (Considere g = 19 m/s? 28. Ur amido que se cesplaza por una casretera seca, con una velocidad constante «de 15 m/s, es úcla por un heficópiero que vuela horizon- talmente. sobre la carretera, à ura altura de 80 mo. ta velocidad del helicóprero cs de 30 m/s y el piloto, tratando de aleanzaz «l camión, consulta fu computadora de abordo y suelta una bomba en eliustaste en que su distancia herizenral hasta mión esa de 140 m. salcanzó ia bomba al ielere 9 = 19 m/s') elca camiónê (Com 29. Un niio, situado en kt terraza de un edificio, a 21 m de altura, artoja un pequeiio floreso de porcela con una velocidad horizontal de 20 mis. Su maná, er el suelo, a usa distancia de 1.0 11 de ka base del edificio, ve lo que acurre v 0.5 5 spués (dempo de reacción) parte correndo, cor sus manos a 14) m del suelo y logra detener el Acrero. «Cuál fue ei mínimo vaior de la veloci- 3 4.4 Vecrores - mevirtento curiíneo 143 tad media desartoltada por la madre del nifioz (g=10 m/8%, 30. Un piloto quiere volar de Oeste a Este, de un no Pa um punto 9, separados por una distan- cia Dy, en seguida, regresar cel Este a! Oeste, regrosando a 2. ia selocidad del avién en e! aire es? yia velocidad dei aire en relación con el sucio es E ambas supuestas constantes. a) Stu = O ino lay viento), demuestee que el tiempo ty, de ida de vuelta, vale 4 = 2 Dt Suponga que ix velocicad del viento esté ciisi- gida hacia el Este, Demuesrro, que, en este caso, el tempo de ida y regroso será Ejercicios 1, 4) escalar b) vectoria a vecterial d) escalar 2. ai disecciones dlisintas by sí, sentidos coníruios si, mismo sentido 3. b) cerca de 860 km [a Cro ermemerseme Raspuesta Ejercicio 4 c) norte. e de sura norte ts ligur id 19cm cerca de 570 lug, dirección este-geste y sent- do dei ceste a] oste 3 cervo 197 Mm = y w= Sm 13em crando Ja diseccion de É var curva) » 90º porque Z, apunta hacia el cestro de ka cur cuando varia la imgnitud de 7 porque 2 es iangente a la trayector: cnisma dirección de i) «» sismo sentido di sentidos contrarios 16. Figura(ar Ino Z:no yecroria  primera y fescera leves de Newton dE ae ta eficiencia en os deportes modemos depende del análisis complejo de tas relaciones entre las luerzas y los movimientos. El objetivo de la Dinâmica, cuyo estudio se inicia en este capítulo, establece estas rela- ciones FEED nem — 180 Undac l/ LEVES DE NSYTON En los Capítulos 3 y 4 estudiamos los caovimien- «os sin indagar cuíies son sus causas, es se estuctié la Cinemática. En este capírulo vamos à iniciar c! estudio de la Dinâmica, procurando comsestar preguntas como: iQué es lo que pro- duce un moviniento? ;£s necesario algo espe- clico pars que se conservei sOuáles son ias giaciones observadas en un cit, causas de las va siovimiento? 1ace aproximadamente :: es siglos, cl famoso f acenásico inglés [saac Newton (Ló z nes y ias de giras cientíticos, formuis tres princípios que son farciamentales para contesta: tales preguntas resolución ce otros problemas relac: nados con los movicientos. y que reciber nombre de “Leves dei Movimienco” Estos principios constizrer: tos places de la Mecínica, y fueron enunciados cn la famosa cbra de Newion titulada Principios Matemáticos Ae la Filosofia Mattsrai, publicada en 1656. Se conocen iambién como primera, segunda y leyes de Newton, de acuerdo con el :eo er. que aparecieron en fa obra citada, E este capítulo estudiaresnos la ocimera y la tereara leyes, que ros permitirán analizar el equilibrio de ur cucspo. En el siguieme capítulo se estu diará la segunda ley de Newton. 5.4 Concepto de fuerza: Primera ley de Rewisn « Concepto de fuerza. Cuando real um esfue:zo muscular paca empujar o tirar de un comunicando una fuerza . una locometora ejerce una firerza para arrasirar los vagones de um tres (Fig. 5-2) um FIGURA 5-1 Cuando una persona tira de un objeto, o jo empuja está ejerciendo una lusrza sobre él. chono de agua ejerce una fuerza pasa hacer funcionar ana nubina (Fig. 5-3), etc. Así, todos tenemos intuitivamente la idea de ia que es una fuerza analizando tos cjemplos que acabamos de citar, es posible concluir que pam que el efecto de una fuerza quede bien definido, será nece- sario especificar su magritia, su dirección y su sentido, conforme se indicó en la Seccióa 4.1. En otras palabras, la fuerza es una magnitud veciorial y podrá, por tanto, ser representa con un vector, como se hizo ea las Figuras 5-1, 52753 Otro ejemplo de fuerza, con la cual tratamos con frecuencia, es la acción axactiva de la Ferra salte los cuespos situados cerca o en st super FIGURA 5-2 Una Iscomotora ejeres una juerza para arrastrar los vagones de su trem. Isaac Newton (1642-1727), Véaso "Un tema especial” a! iral ge este capítulo. Natismaimente, ci peso es una cartidad vec- tarial y se puede representar por an vector. Er FIGURA 5-2 El chorro de agua ejerce una lusiza sobre las paletas de la turbina. FIGURA 5-4 Ei peso ae un cuerpo es la fuerza cor. que la Tierra lo atrae. la Figura 5-4 se indica el vector Pque representa el peso del cuerpo. Obsérvese que É tiene ia dirección vertical y su sentido es hacia abajó, [a fuerza de atracción dé ia Tierra sobre um así como las fuerzas eléctricas « las magnéticas (por ejemplo, fuerza de un imin sobte um clavo) son ejercidas sin que haya ecesidad de contacto enere les cucrpos (son de cióna distancia). Se diferencian así de las luer- cadas al início de esta sección, las cuales sélo pueden ser ejercidas si existe contacto entre les cuerpos. 752 Unidad il / LEVES DE NEWTON > Medición de una fuerza. fuerza (el peso de un cuerpo u otra cualguê re el extremo de ur. tesorte, éste se deforma (Fig. 5-5). Tal hecho se evaluar fuerzas. Para medir cualquier cantidad ásica es necesario escoger una unidas de medida, En el caso de la fuerza, una unidad que se escogió convencio de ya cuerpo patrón (gl &iogramo prototipo), es ejercica — | (kgf). es et peso del | igivet- del mar Si colgamos pesos de 1 kgl, 2 kgf, 3 Kg], etc, en el extremo de un resorte, podemos graduarlo paca medir cualquier otra a. Un resorte do de esa manera cecibe e! rombre de diramómeiro. Algunas básculas son, en rea! «lael, cinamómetros. Emionces, cuando una per- sons se sube a uno de estos ap: FF FIGURA 5-5 Mediante la detormación de un resoris à cuerpo elástico podemas medir e! peso de un cuerpo o la intensidad de una iuerza cualquiera. FIGURA 5-5 El Klograma luerza |kgf) es si peso del kilegramo patrón (kg) al nivet del mar y a 45º de iatiud. efecto su peso. Sila báscuia indice, por ejemplo, &) 4ilos”, esto signífica que ei peso (fueza de ni) es de 60 kgf; es decir, que ta persona atas es atraída por ia Tierra con una fuerza de 60 gts Otra unided muy utilizada acmalmerse en la ciencia para medir fucrzas, és el neuro ist bolo: N). Postesiormente daremos su definición. Por ahora basta saber que, muy aproximada men Lkgf-99N Por tanto, uma fuerza de 1 N equivale, cercana- mente, al peso de un paquete de 100 gramos £0.1 kg), & FPuerza y movimiento: Aristóteles. Las relaciones entre ia fuerza y el movimiento siem- pee fueror objeto de estudio desce la Antigicdad. Ei filósofo Aristóteles, por eiemplo, al analizar *N, del Una balaszs común de platilios no imide «i “peso del cuerpo que se “pesa” en ela, sino más bien su masa, como se explicará en e! Capítuio 6. Capítulo 5 / Primera y cemcere leyes de Meto 253 MOVIMENTO REPOSO FIGURA 5-7 Segén Aristóteles, un cueroo sólo pocria estar en movi- miento cuando hubiese una fuerza que actuara continuamente sobre él. relacianes, creia que un cuerpo sélo pod mantenerse es movimiento cuando existiera «um firerza que aemase sobre él continuamente De sniçdo «te Si us cuerpo estuvicra en reposo e aisguea fuera actuara sobre él, permaneceria és. reposo. Cuando una fuerza se ejerciera sobre o; cuerpo, se poncifa en movimiento entonces, pero al cesar la acción de la Iuerza, el cuerpo sepeso (Fig. 5-7). Las afismaciones de Arisáteles pueden parecer cometas a primera sta, pues en m diaria exper que jos objetos, en general, sólo se encuentra en movimiento cuando estân siendo halados o emoujados. Un fibro que se impulsa sobre ur: mesa, por ejemplo, se detiene inmediatamente cuando cejamos de empujarlo. te toda ia Edad Media, las ideas de Aristóteles fueron acepiadas sin que se hiciera ua análisis más cuidadoso en relación con cias Las críticas a las teorías aristotélicas, como cl mos en el Capítulo 3, sólo surgieron con Galileo, e velveria * Fuerza y movimicnto: Galileo, Al intro dueir e! método experimental en ei estudio de los fenómenos Ésicos. Galileo realizó una serie de experimentos que lo llevaron a conclusiones diferentes de las ce Aristóteles. Estando en reposo uma esfera sobre ui: superficie horizontal, Galileo cbservó que ai emenja-la con cierta fuerza, se ponia en movi- miento, Por otra parte, ia estera seguia movién- dose y recor:iendo cierta distancia, aun después ue dejaba de empujaria (Fig. 5-8a). àsí, Galileo Compeohó que ur cuerpo podía estas en movi- miento sin lu accién permanente de una fuerza que lo emapujase, Cuando repitió el experimento usando « uma superficie horizontal más lisa, observ fora e ei cusrpo recorra usa dis de cesar ta acción de ia fuerza (E Baséndosc ca una serie de experi jantes, Gaíllo concluyó que el cuero se cete- ventos seme- ardar su movimiento. De medo que si frese ible eliminar totalmente fa acción de coza miento, el esecpo continuaria moviéndose en forma indefinida, sin uu , es decir, ex movimiento rectilíieo uniforme (Fig. 5-8c). AI generalizar sus conclusiones, Galileo Ilegó al resultado siguiente. guria cciardacio Portada de la obra de Galileo: Dos nuevas ciencias, en la cus! descartó as ideas de Aristóteles acerca del movimiento de los cuerpos. pgs sema Uridas 4 é EYES DE NEXTON 158 FIGURA5-15 Las luerzos que actuan enuna partícuia se pueden sustituir por sus componentes sobre los ejos 0Xy0Y. ner fichas fuerzas según los ejes 0X y 0%, como estudamos en la Sección 4.2, obtenemo: sobre 04 Fix Pis Pim 10. sobre 0% Ay Fry Lay etc. si la resultente de las componentes según 0X fuera nula (ZE, = 0) y la de !as componentes segúes O Y también lo fuera (EP, = 0), obviamen- te la vesultarse R de las fuezzas que actúan sobre Ia partícula será también nula, Por consigaiente, en estas condiciones la partícuta estará en equi- brio. Por ejemplo, en la Figura 5-15 tendemos: según 0X Efe = O significa que + By tBe-0 Bam Be = 0; es dec, la componente Fe debe anularse o considerando las magnitudes, Fis — con By Ph A SP, ” según Ou XÊ, = O significa que Ay + By + o considerando las magnimdes, A, Ey— Fr |; es decir, ias componentes Ay y Fay deben anularse con Así, considerando los ejes 0X y 0%, podemos decie que la-condición para queninia paráchla Está ef | |esniinão es que EA = 05% = Dr Estas | | ecuacicnes son equiválentes a la ecuación S 2 K EE é EJEMPLO à imagínese un automóvii desplazândose en una carte- tera horizontal, con movimiento rectilíneo uniforme. ucrza de proput. EI motor proporciona al auto una sign E= 1500 N (Fig. 5-16). “ Acuál es el valor de la resultante ce jas fuerzas aciúan sobre el autemávi? qu Como cl movimiento es rectilíneo uniforne, el auto está en equitbrio, y por tanto, la resultante de las fueszas que actúam en €1 debe ser nula. 8) cCuál es ei valor total de las tuerzas de selarda- ciên que tiendea a actuar en sentico contrario al «movimiento del auto? las fuerzas que tenden a ejercese ea sentido oguesto al movimiento del auto, es deck, las de resistencia del aire, las que existen entre ln plezas ánicas del auto, etc, están representadas por ia fuerza f de la Figura 3-6. Como la resuitante de h ? detberã tener la misma magnirad, la misma dirección fueszas que actóan sobre el automévil es nula, y sentido contrasio a É. Por tanto, debes f= 2500 FIGURA 5-16 Para si Ejemplo 1. so” FIGURA 517 Para e Ejemplo 2. é EJEMPLO 2 vo esfera de acero, cuyo peso es P= 50.0 kgf esti endida de una cuerda atada a un poste, Una. persona, al ejercer sobre la esfera una fuerza P borizonal, la despiaza lateralmente, manteniéndoia ea equilíbrio en la posición que se muesira en la Figuca 5-17a. En esta figura, €l vector T representa le tensión de la cuceda, o sea, la fuerza que ejerce sobre 'a esfera en esa posición. 4) Calcular el valor de la sensión Ten ia cuerda “Bala Figura 5-17b, trtzumos las fueczas 7; É y ? que actian en la esfera, y dos ejes CX y 0. En seguida, sustituimos la tensión Y por sus componentes Teos E(sobre 9X) y Tsen 8 fscbre 07). Como la esfera está en equilibrio, sabemos que L&, = 0 y £A,= 1) Usando esta última ecuación, tendremos: . Capínulo 5 / Primera y tercera loyes se Iêuito 15» Z&=0 obiea, Tsen0-P=0 donde Pora Figura 5-7 es fácil concluir que = 50.0 kg£, obtenemos 30º y como donde T=1C0 kg? “Cuái es e! valor de la fuerza É que la persona está ejerciendo? Usando la ecuación ZZ = 0 veremos que: —-TcosB=0 do = 200 x cos 30º 100 x 0.866 obien, F= 86. Tcos & EJERCICIOS Antes de pasar aí estudio de ie próxima se resueiva las preguntas siga siempre que sea necesario, cióm, intes, consultando el texto as a 7. Sobre un bioque colocado en una mesa lisa actían los fijerzas mostradas en la figura de este ejercíio. “5 ACuál és ef valor de Is resultante de tales fuerzas? Da 1 Dloque está en equilibrio? à) EF cuespo puede estas en movimiento? ;De quê tipo? . E a ae 2 N Ro N ae? md Z Ejercicio 7 358 Uricas ll LEVES DE NEXTON Ejercício 8 &. Un arado se desplaza ea movimiento rea uniforme, tirado por dos caballos que ejetcen sohre 64 las fuerzas À 3º É que se indicaa en a Giu de este ejercicio. Cada una de esas fucrzas vale 100 kg, y fes la fuerza tora! de resistencia que dende à impedir el movimiento dei arado. a) +Ei arado se halla en equilibrio? 5) ;Cuál es el valor de la cesultante de ias fserzas que actúan sobre é! o) Use ei teorema de Pitágoras y caicule la resui- tune de Ry 5 As gonál es e! valor de la fuerza ? 9. Suponga que ia partícula mostrada ea la Figa- ma -15 se encuentra en equilibri 3.8 Tercera ley de Newiom En sus estodios de Dinâmica, Newton: se dio Serzas siempre aparecen come vesultado de ia inseracción de dos cu pos. En oras palabras, la acoión de una fuerza sobee un cuerno no se puede manifestar sia que hiaya oiro cuerpo que la provoque. además, Newton pudo comprobar que, en la isterze de dos cuerpo, las fuerzas siempre aparecen en pares: para caca aceiór de un cuerpo sobre otro siempre exisiicá una reaceióa igual y contraria cuenta de que ias eción Ejercicio 10 sy Considere la magaitud de Pre igual = 10 N, y ba de Fsciguala 7 N. iCuál es el vaior de 54 bi Considere la magaima de A iguai a 15 N,y da de Es, igual a 6 N. Cuânio vale E 40, Unbloque, cuyo peso es de 50 kg, está sostenido poe dos cuerdas ver uóase figura de este ejercicio), Cada una de esas cuerdas es capaz de sa tensión hasta de 60 legf, sin que se rempa =) sCuãl es el valor de ta tensión Zen cada cuerdas 43 fe podia usar ama de ellas sin que se sompa, para s ja esfera de 50 kyf de la Fig sa 5-17, en la posición mostrada? ;Podréa ser esrpleada por ia persona para cirar laceralmen- te de la esfera? de éste & Newton se de su tercera ley, ley de ta acciór y la restco: je e! primero. Tales cbservaciones de ueder sinterizar en ei enunciado TERCERA LEY DE NEWTON de de ta acesóm ya seaceish) Cuando Us cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo E, éste reacetona-sóbre 4 ton unã tusrzg de la mistia magnitud; misma dic: + ción y de: sentido contrario: que ambién se conoce como * & Comentarios. Las dos fueczas mencione- das en da tercera ley de Newton, y que aparecer, es) la interacción de dos cuerpos, se denomina acción y reacción. Cualquiera de elias podrá, stintamente, ser considerada como acción o cora ceaceiór. Obsesvemos que la accién es aplicada a uno cão los cuerpos y la reacción acnúa en el cuerpo que ejerce lu acción, es decir, están aplicad: ea cueipos diferentes. Por consiguiente, la ciên y la reaeeión no se pueden equilibrar aulunmente, porque para elio seria necesario que esuuviesen aplicadas sobre un raismo cuer- 2a, lo cuai nunca sucede & EJEMPLOS En ios siguientes ejemplo analizaremos alguna mecienes entre des cuerpos, según ei purto de vista udio de tiles intecneciones ayudazá a comprender mejor la serceru e, y à identificar las fucizas de accién y de reacción. à. Imagine que una gersona empo «on ura fuerza É, (acciôo), La de lx tercera ley de Newton. El e: una mesa es reacciona y exepuja a a perscaa com una fuerza E; (rea: tôn) igual y contraria a sobre uma superficie lisa (Fig. 35-18), observamos que tanto lá mesa como la persona se pondrias en movi- miepto. cada una en sentido contrario a la otra. 2 Unclavoy ur son colocados sobre una , Como indica la Figura 519. Sabemos que et issta atrae al ciavo con una fuerza À, Por la teccera ley de Nenton, el clavo ceacciona y atras al imão ces una fuerza Ph, de igual magninud v direccióo, pero de sentido contrario a À. la mesa y ta persona estuvieran Como se dijo, 4 y É; sc ejercen en cuerpos distntes, y por tanto, no se puedes equilibrar mugia- RO FIGURA 519, Capitulo 5 / Primera y era eyes de Newton 263 MOVIMIENTO MOVIMIENTO FIGURA 8-1 Síuna persona ompuja unia mesa, ésta empujará a la perscna con una fuerza igual y contraria. ACCION Y =| REACCIÓN Siur irán atras un clavo, éste arraerá al imár cor una iuerza igual y contraria ! | | | press A6B Uridad dl/ LEYES DE NEMTON aocióRY REACEÓN Ei movimiento de un cohete (o de un axtôn de propulsión a charro) es producico por ta fuerza de reacción que los gases expulsados ejercen sobr él. mete. En realidad. si a mesa fuera Jo basta lisa, observarianos que sento et clavo somo el imán se despiazartan uso Hacia el oue Un bloque de peso É, apo horizontal, eerce sobre ella uma compresión Nº, oexpendicuios a la superficie (Fig, 520). La superfice reatciona sobre el bloque, ejerrienda en é una reuccióo nomal X Evidentemente, Ny 5º denea da misma magra, fa misma diseeción y sersídos contravios En ei caso mostrado em la Figura 5-2), las única en el bloque son su peso Py la ado sobre ana super fei , | accion Y REACCIÓN FIGUSA 5-20 Si un objeto comprime una mesa, esa reacciona sobre el cljeto con una fuerza igual y contraria. reacciór normal X. Corro el cuerpo está en equilibrio, resulta obvio que debermos tener N'= P. Pera existen casos en los que la reseción nocmal no es igual al peso. Por ejemplo, en la Figura 5-21 presentamos ei niseno bloque de la Figura 5-20, comprimido por ur Si se aumenta ta compresión del objeto FIGURA 5-21 sobre 1 mesa, la reacción de ásia sobre e objeto tar bién aumentará. HÉLICE spltuio S 7 Primera sercera jeyes de Newton. 163 ACCIÔN Y REACCIÓN Agra, 1a hélice des bote empuja el agua hacia atrás, El agua rezociona y ampuja la hélice hacia adelante, naciendo quê ia lencha se mueva. persona mediante una fuerax vertical. En este caso, fa campresión del bloque sobe la superlicis, Nº, será mayor que el pesa del cuerpo. De modo que ia superficie reacciona sobre el bloque cor: una fuerza % igual y contraria a 2º, yº por consiguiente tendee- eos que N > 2 Usted podrá ahora imaginar una situnción en la que se tenga N< 2 4, Consideremos un bioque colocado sobre una superficie plana en dective (piano inclinado), como t situación, vamos a sustituir el peso É del bloque, por se ve en la Figura 5-22. Para Iueilicar cl análisis ce lu sus componentes By (normal al plano inclinado) y B; alefa a dicho plano). La componente Pptiende a cesplazar et bloque pasalolamente componente Py hace que ei cuerpo ejerza sobre ei a superficie. La plano una compresiór normal À”, Debido a es compresián, el plano reacciora sobre el bloque ACCIÓN Y FIGURA 522 Cuando ur objeto está apoyado en un plana inclinado, la compresién sobre st plano es menor que el peso de ctjeto. eee 468 Unidad!ll /LEVES DE NEVTON 2,70 el valor del y esigida lucia abajo. Siendo He = e cción estática entre el plano y e! jente de bloque, ipara qué valor de É comenzacá el cuerpo à descender par el plano? Cuando et movimiento «le! cuerpo sea inminente, ja tuceza de frieción sobre ei bloque fabrí a su valor máximo. Sabemos que = 0,70x87 Sour HelV, y entonces f, dende Sen 61 of En esta situación, como ei cuerpo, todavia está en equilibrio, fa está equilipranco a Bry à la luerza ? ejerciea por la persona, Por consiguiente Ffau= Pr + obien, 61=50+F dende F tkgt Ast, cualquicr valor de E superior a 11 kgf hará que e! blogue empicce a descender por el plano. EJERCICIOS mtos de pasar at estudio de la próxima secciór, resueiva las preguntas sigeientes, consultando ei testo siempre que sea necesario. 47. Una mesa es empujada por ura persona con una fuerza É horizontal, como muestra la Bgura de este eiescicio. Suponiendo que E = 3.5 gl y que la mesa no se mueve: 3) “Utace, en la figues, Ja fuerza de f À que acta sobre ia mes ieción estárica nes el valor de? 70 kgfy ia scuál serta E) Cuál es en tales condici Si el vator de £ aumenta ses É = imesa todavia estuviera inmóvil, entonces el valor de &? Ejercicio 17 48, Considere que la mesa de! ejercicio anterior tiene un peso £2= 15 kgí. Entonces, à) Kuánto vale a tencción normal É que el sucla ejerco sobre ta mesa? &) Si sabemos que ia pesa empleza a moveise cuando el valer de ? se melve ligerunente superior a 9.0 kg, ccuál es el valor ce la máxima herza de fricción estática, ficiente de Friccióa « scuál és ei valor dei estática pe entre ja mesa y el suclo? 49. Considere la mesa mencionada en los Ejervicios 18, ahora er movimiento, que la persona aún empatia en dieccióa horizontal ay Si el coeficiente de fricción cinética entre ka mesa y el suelo és pro = 2.40, jcuái es el vator de ia fuerza do sozemicnto cinético, % que acta sobre la mesa? b) Para que el cuerpo se desplace en movimiento soctifíneo unifonme, da fuerza f ejercida por la persona debe ser mayor, menor o igual à 50 kgft 20, Un blogue, cava peso es P= 200 N, se cocuenta en reposo sobre un plano inclinado, como mues- Ejercicio 20 é? Trace, en la Bigura, la sesceiga noemal Ry la fuerza de Sricción estática ja. ejercidas por el plano sobre el bfoque. 8) Trace, sobre los cjes que se muestras en la figura, las componentes rectangutires Py y r de! peso de! blogue & «cual és elvelor del ângulo « que se observa en tu figura? Caleute los valores de By y Pr 8 Capítro 8 /Primera y tescera feyes ce Nestor 16% 25. Supenga que el blaque de! ejerci está a punto de destiza-se, jo anterior no «Qué valor tiene DE: asál es e! valo ce la rcaceion normal * “ El coeficiente de fricción está bloque y el giano, epodrín calcularse dividien- do el resultado que se obtuvo en (a) c3 que se cbtuvo cn (bR «Por que? s8 Um fema cspocial (para aprender mãs) Isaac Newton “ Infancia y adolescencia. En la Navidad de 1642, aRo de la muerte de Galileo, en una seguenia ciudad de Trglatera nació Isaac New- tom, ol gran fisico y matemático que fommulá básicas de la Mecánica. Su madre, viuci Grebano que mueswa al joven Nenton cuando era estudante de! Trinity College. Su vestimenta se usa todavia como uniforme escolar en esa insttución. su hijo sóio tenfa dos aãos, y al lraslaciarse a otra ciudad, dejó Ia educación del pequeão Newton a cargo de su abuela. Esta falta de cuidado erno durante sa infancia apareniemente influyó en la persoralidad de Newton y fse responsabie del temperamento úmido, intros- pectivo, y hasta cierto punto, intolerante, que lo cuando acdulro, Se cuenia que durante su infancia É. traído, a la manera úpica de los bjos de hacendacos, que gustaba de construir y ju =on pequerios aparatos mecánicos. además, parecia mostrar una tendencia especial haciz las matemáticas Al morir su padrasio, su madre pidiá a Newton, quien aún era muy joven, que se encargara de ja acminisisación de los bienes de ta familia. Demosuó muy poco ínierés ca e! desempeão de su cargo; sus biógrafos dic pasaba la mayor parte de! tempo en fo los ârbeles, absono en lecturas y div Así, su ads do lracasc. Entonces, en 1461, cuando tenia 18 apos y con la ayuda económica de un tio, Newton fue enviado al Trinity College de la Universidad de Cambridge (cerca de Londres) paca continuar sus estudios. Alií se decicó inicialmente ai estu- dio de las matemáticas (aplicadas « la astroio- gfal), sevelândose como un alumne excelente y leno de entusiasmo. En 1564, a los 21 anos de edad, escribfa en forma de apuntes & notas su primer libro (que no fue publicado) y que tiluló Aigunas cuessones filosóficas. caracteriz Je un nião E tugas mm 379 UsidadlIl /LEYES DE NERTOS & Un periodo de brillantes ideas. En 1665 Londres fe asolada por la peste bubônica que ciezmé gun paris de su población, ocasionan- do una paralización casi coral de la ciudad y el cierre de oficinas públicas, escuelas, etc. Como consecuencia de esta caiásirofe, Newton segresó a su cindad natal, refugiêndose ea la tranquila Finca de su família, donde permaneció durante 18 meses, hasta que fueron eli caãos de la peste, peraitiendo su regreso a Cambridge. Este tempo que vivió en el ambiente sereno y tranquilo de! campo tue —segár palabras del propio Newion-- el más importante de su vida, A! entcgasse toralmente al estudio y a la reflc- x:6n cuando sólo tenfa de 23 a 24 aãos, logeó en esa época realizar elaborando prácticamente las bases de toda su obra. Entre los trabajos que elaboró en su refu- gio podermos citar dese imientos, 1. Desarroilo de un binomio en series de potencias, que suelc ensetarse en las escuelas | nombre de “binemio de Newton” lewton para la potencia de un actuales cor el o “teorema de 5 binomio” 2. Grescióri y desarrolio de ias bases cel cálculo infinitestnal (o diferencial e integrab, una poderosa herramienta para el estucio de los ferómenos físicos que él mismo utilizó por primera vez. 3, Estudio de algunos fenómenos Ópticos que culminaron con la formufación de una ieora acerca de los tolores de tos cuerpos, 4. Concepción de la primera y segunda leyes Je! movimiento (primera y segunda leyes de Newton"), estubleciendo así las bases de la Mecânica. staboración de las primeras ideas relativas a la Gravitacién Universal (que estudiaremos en el Capítulo 7). Liay que observar que um trabajo tan extenso y profundo, realizado en tan poco tiempo poruna persona aún muy joven, sólo pudo ses fruto de ura mente genial *& Newton publica su gran obra: 2hilo- sopbise Naturalis Principia Mathematica. alvolver a Cambridge (1467), Newton se dedicó a cesarrollar las ideas que habia concebido durante el tiempo que permansciá lejos de la Universidad. Se iniciaba ast su brillante carrera, siendo invitado a imypartir 'a cétedra de matemá- ticas en la propia Universidad de Cambridge, y más tarde, a los 30 aãos, fue designado miembro de la Real Academia de Ciencias de Londres, el más alto título honorífico otorgable a científicos en Inglaterra. Enesta época, además de presentar en la Reai Academia varios tsabajos de investigación, pu- blicó su iibro Tboria de la Luiz y de los Colores. ias ideas que propugnaba en esta obra fueron refutadas por erros científicos, invofucrando a Newton em una gran polémica, principalmente con los fisicas Robert Hooke y Cheistian Huyg- bens. Estas discusiones afecraror tan profun mente al revaíio científico, que decidié volver a publicar jamás los resuítados de ningu- na de sus insestigaciones. Sus biógrafos comen- que la Umidez de Newton y su aver las polémicas eran tan grandes, que si hubiese terido que afrontar el hostl ambiente ea «x vivió Galileo, posiblemente no habita publicado una soia línea de su vasta obra. Doce anos después de estas controversias (en 1684), Newton recibió la visita de su amigo da. Portada de ta célebre cbra de Newton: Principios mate máticos de la flosoiia natural, Edmend Halley (el astrónomo que determino la órbita dei cometa que Leva su nombre), quien fe pidió orientación en asurtos relativos a pro- blemas de Mecánica. Halley compobó, con sorpresa, que Newton pudo aclafar todas sus dadas, y además tenfa ya en sus manos, com- pletamente estructurado, un tratado sobre Me- cânica y Gravitación Universal. A pesar de sus propósitos de no publicar estos trabajos, Haltey lográ persuadiclo, animáa- dolo y comprometiéndose, inclusive, a costcar su peblicación. Después de dos aãos de intensa actividad, em 1686, Newton presentaba à mprenta, la primera edición de su tamo: Principios Matemáticos de la Filosofia Natural. temo cedia con las obras de los grandes pensadores de la época, ei libro-de Neon esabe escrito en latin y le dio el título de josophide Naturalis Principia Mathematica. Ia publicaciõn de los Principia (como suele abreviarse el nombre ce ia obra) en poco tiempo consagrô a Newton como uno de los mayores genios de ta histori ) *» Newion también ccnpó cargos politi- cos y administrativos. Aigunos afios después de la publicación de los Principia, Newton sufriá una crisis nerviosa, de la cual logró recuperarso. Pero, a partir do emtonces, no voleió a elaborar ningún trabajo científico im- ponante. Comenzó a inlecesarse es estudios religiosos y à escribir trabajos sobre temas de eologia, concentrándose cada vez más en tales ideas. Aí mismo tiempo recibia honores de tod especie y de diversos orígenes, como conse- cuencia Ge los logros científicos que haba rea lizado. A los 50 afios de edad, Newion abanconó la carrera universitaria en busca de una ocupación más lucrativa. En esta ocasión, al ofrecérsele elcargo de director de una escuela frecuentada por da aristocracia britânica, rechazó la ofema por considerar que la retribución no satisfacia sus aspiraciones econômicas. Tn 1699 fue nom- bradlo dlirector de la Casa de Meneda de Ton- des, por to cual recibió ya emolumentos muy Cagítuie5 Primera y iercera eyes de Newton UF Cormis ormio perseverare in statir suo quiescendi ve] move Unitotmiterin directum nisiquatenus àvinbus impressis dogitur statum ilum mútare. text Alutationeimimotus propórtionatem esse vimotrice impressa et fiari secunidum fineam tectam qua vis il imprimitur: Lex : | j / ' Actioni contiariam semper et aequálsm ossê rê- actionem: sive corporum duortim actones in se muto semper esse acquales et in partes conira- rias clrigl. Las tres leyes de Newton, escritas en latin, tal como fueron enunciadas por él en su abra ariginal. elevados, que lo convirtieron en un hombre rico, En este cargo desempeiiá brillantemente su misión, logrando cestaurar las finanzas del país, que entonces se haliaban en mai estudo. Fue «aiembro del Padamento inglês, y en 1705, a los 62 afios, fue nombrado “Caballero de ta reina de Tnglatezee”, lo que je daba condi. ción de nobleza y le conferia el título do Sir, por -ual empezó à ser tratado como Sir fsaae Neuton. Desde 1703 hasta su muerte ex Jos 84 afios de edad, Newton persmaneció presicencia de la Reat Academia de Ciencias de Londres. la grer: su obra no te impicio reconocer el mérito de los trabajos de los ci tíficos que le aniecedieron, como Galileo, Ke- ples, Copérnico, Descartes, ec. Car la modests copia cle muchos sabies, Newton afirmaba que Iogró mirar más lejos que muchos de sus colegas porque se aporó en “hombros de gigantes”, o en sus propias palabas: $f 7 bave seen further tam others itwas by stemeling upon tbesboulders of giants.  D: 472 umidad il LEVE EJERCISIOS quáio de la próxima seccióm, Jianco et texto Antes de pasar a! ssuelura ato Preguntas sigustenntes, cons siennpre que sea necesario. 22. 6) *ouál es el notable fisico, citado en cl tex cque fafieció el alo en que nació Newton” ») scuáles son las dos características ce la persor alidad de Nevston, mencionadas ex ci texto, Asbuidas 4 problemas de la educación ue bió en su infancia? ses 25. En el texto has un pasaje que smuestca cómo, en da una distinción ; cleseas creencias la época de Neon, ro hai muy clasa entee la ciencia y descartadas de carácter científico. tadique e! pasaje. acuía fo e! hecho que ocusió en 1665, que Áevô a Nesston a atejarss de la universidad v lo bizo reg: la hacienda úlia, 0. donde permaneció mucho tiempo? » Cie por lo menos dos grandes ideas que nieston tuvo en ese período que pasó en el campo. es sa e sehó en 25.0) Kuél ta disciplina que Newton p] da Universidad de Cambridge, sl principio de su carrera universitaria? New ») «Quê gran cistinción honoríica necibi ron a los 30 aos de edad? 26. 4) acuál libro escrito por Nexton lo Ilevó a um polémica cor otras fisicos de la época? &) ;Quiénes fueron esos fisicos? é Qué decisión drástica tomó Newron dei esa polémica? ido a 47. c ué cenífico convencióa Newton a publicar da más famosa obra: Principios Matomáricos de ia Filosofia Natural? £) Kcuál es el cuerpo coleste que tecibió cl À nombre de ese científico? o En qué idioma se escribió originalmente iz “sora mencionada e la pregunta GO? 28. 6) Trite de descubdr en qué aho se publicó k estición de los Principia, caya portada se seproduce en esta sección (ecase figura) +) Analice el enunciado original, ex latio, de lis leyes de Newton y tate de uaducir e! mayor número cosibie de paínbras por su semeia com el es cado de cada u a de tas leyes? 29. ouát fue la famosa frase de Nesvton con la uai estaca la importancia que tuvo, para é etirabajo de los científicos que lo precedieront Les preguntas siguelentos so elaboraron para que epo as mis importantes abordartos em este capítulo. «. acuidia dl resto siempre que tengo una dos pur As resoiveri duda. Lila fuerza es una magnitad escalas o vectocaP Jusifique su respuesta. 2.) Qué es el peso de un cuerpo? ») sousl es la dirección y ei sentido del vecior que tepresenta ei peso de u a cuerpo? 3. à iQué unidades de fuerza se citaron em este capiniio? +) Diga qu g: amo fuerza y dé su relación con el newton. 4. <) Desenba, a grandes rasgos, las ideas do ás tíxeles acerca de a reiación e movimiento. » Cute um ejemplo que à primera v estar de acuerdo con tales conespros z e 8 iucas acerca de la relación entre fa fuera: movimiento. Examine: e interprete as Figuras 59 y 10 áiciendo poraué 6. 6) JQué ertiende usted por irereia de um ui Sea Proporcione ejomplos que ilusiven ciche & E ley de Newton. oi. qPuede percibir así el sigrilr É Describa, a grandes rasgos, los experimensos de Galileo que lo hicieron descubrir nuevss * Ja ya confirenan las ideas de Galieo. É ea reposo o inmóvil está en by aJe pa en equilibrio puede estas en Sovimiento? jDe qué tipo? é) Pasa que una partícula esté en equilibrio, qué condición debe cumplir ia resultante, Rdeias fueczas que asian sobre ia pa expresaria usted esta condición, en fencióa de imponentes cectangulares de las fuerzas ejes 0XY 07 cula? Cómo Ia sobe K &. a) Enuncie la tercora ley de Newton jm Dé ejermpios de interaeción entre dos cueepos. mostrando lus fuerzas de acc indique en qué cuerpos están aplicad: à Explique por qué las fuemzas de a Fenecsón na se equilibras mutuamente, Capítulo 5 / Primera y tercera | asdeNemos 173 e é ont à je fr 8. 5) iQué entende por.fiterza de friceión estárica fot by JEs fijo o variabe e! valor de «3 iQué se enticade por fuerza máxima do fric- ción estática Ja? ds «Qué expresión matemática permite calcular Jr 10. 4) Qué es fuerza de friccton cinética fe? db) aQué exprostón matemática permite caicular fá €) Para dos superfícies dadas, fes mayor, me- nor o igual que faaé dY Re es mayor, menor o igual que Hg PRIMER EXPERIMENTO | a de este experimento euuestra sn dispositivo ebservar um movi la simple, con el cuai usted podrá alento oxdeticameme sin Iricción. Tome una pequena Lao en cuyo centro dele hacer um orificio pequehio. Jalando un globo de goma, fije luego su boquilla a 4 egurada del orifício, usando un tuisito para facilitar ién. AÍ dejar escapas lentamente el aire ente el ozo de madera y ta superficie sobre la cuai se aport por cjetaplo, um suelo liso), se forma un “colclón de aixe*, corno indica Ia Bigura. Debido a elo, el trozo de madesi se podtá deslizar con suavidad sobre la upericie, prácricanente sin frieción, con Primer Experimento sEfiiENTOS FEnCELLOS Es ulso al aparato y observe su movimiento sobre de Borizontal. ;Cuái es, pefeticamente, el nltarve de !as fuerzas que acrúan em ele ndo e! globa lleno de aire, dé un pequeno una superf vajor Ge ta re sQuê po de movimiento describe? pena SEGUNDO EXPERIMENTO | Cuando usted se encuentre precuse efectuar Bordo de um au el experimento aiguient e que cl autontis so desplaza en línea eocia con una velocidad más o meres constante, lance un objeto per ejeraplo, un lavero; verticalmente hacia seriba. El objeto, ai caer, pyuelve à su mano? jPor qué no cues ea oxto sitio? Esnplee sus conocinientos acerca ce le inercia para explicar el resullado de la prusba | TERCER EXPEAMEN ro | Esando unos patnes, colóquese cerca de una mesa ua que cenga ruedas em las pal sransportar víveres, por ejemplo, o para omo jos de los supermercados). Dé un empujón a la mesa (o dé cartito). Se muese la mesué Usted se desplaza? (Ea qué sentido? Entonces, cuando usted aplica uma fue za sobre lu mesa, 4 solbre usted? «Que ey físic: se Cemuestra con este experimente? a camibién ojerce una fvesza estudiada en este canííulo |