Baixe Anton Rorres - Álgebra Linear - 8ª Edição [Respostas] e outras Exercícios em PDF para Engenharia de Alimentos, somente na Docsity! Respostas dos Exercícios CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 1.1 [página 30] À (0), (0), (0) 2 (a), (b), (e) 3 (a) x=Í+ãr (bx =ás-dt+i x =lr-istir>l v=Eg-&r+is-ár v=1 b=s = w=g x, =t M= x=r Ag y=s Z=t 3 -2 + Sh Mn l 1 on: 1 4 la) já 5 3 (b)|3 -1 4 7 ()/0 3 1 0 + RR GL ES 6 L -1 0 O Roso 5. (9) 2x, =Q (b) 3x, -2x= 5 (0) Tx +22 + w,—-3x,=5 3x, -41,=0 Tx, + s+dr,=-3 x + 2x + dx, =:] = -W+ = 7 6. (a)x-2y=5 (b) Tome x =1; então r-2y=5. Resolvendoem ydáy= Lr-á. 10. k= 6: infinitas soluções k & 6: nenhuma solução Nenhum valor de k dá solução única 11. (a) As retas não têm ponto de interseção. (b) As retas cortam-se em exatamente um ponto. (0) As três retas coincidem. CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 1.2 [página 37] 1 (a), Cb), (e), Cd), Ch), (1), G) 3. (a) Ambas (d) Escalonada por linhas 2. (a), (b), (d), (e) (b) Nenhuma (c) Ambas (e) Nenhuma (£) Ambas 4 (0) x=-3,24,=0,m=7 (b)x=1+8.m=34+2,m=-+-5,x=! (0) x,=65-31-2,m=s0=44+7,x=51+8,4,=! (d) Inconsistente 5. (a) x,=-37,1=-8,1,=5 (b) x,=131-10,0,=13-5.x,=+4+2,4,=! (O) x=-s+H4-1w=sm=53-41x,=-4+9,x,=t (d) Inconsistente 2 1 503 504 e e « Álgebra Linear com Aplicações 6. (a) x ds kom l;xs = 2 (b) xi bm =i-Sem=t (Jx=i-ly=2s,2=s,w=! (d) Inconsistente MD 10. ()xn=2=-128m=5-2t,43=t (b) Inconsistente (Ju=-2s8-3t-6v=swu=-t-—2,x= 13. (4) x4=0,72=0,1;=0 b)x=-smn=--sa cds! (O u=ix=-,y=1,71=0 15. (a)==1.,=0.6=1,4=2. (b)Z=-s-.Z=sZ=-1Z,=02Z=1 16. (0) x=ia-iby=-la+ib (b)x=a- 17. a=- 4, nenhuma; a + + 4, exatamente uma; a = 19 E e Ea são respostas possíveis. oi Br spostas possíveis. 23. Seh=l.então = =5,11=0 SeA=2,então m=-18,0=0,213=s 25. a=1,b=-6,c=2,d=W0 26. a=1l,b=-2,c=-d,d=-29 30. 31. (a)Falsa (bh) Verdadeira (c) Falsa (d) Falsa B. (a) Inconsistente (bj) x=-4,1%=2,1%4=7 (0) x,=3+2,m=t (dDr=i-R-isy=ptHit-mai=siu=s 12. (a), (c).(d) t+Iy=t 14. (a) Somente a solução trivial (bu=7s-5S,v=-6s +duwu=2,Ãx=2 (e) Somente a solução trivial dem =a-lbun=-a+ib+ric 4, infinitas 20. a=m2,B=m,y=0 ps A A=4,1=2 24. x=—13/7,y=91/54,2=—91/8 (b) As três retas são idênticas. (d) Falsa (a) Pelo menos duas das três retas são distintas. 32. (a) Falsa (bjFalsa (ec) Falsa CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 1.3 [página 46] 1. (a) Não-definida (b) 4x2 (c) Não-definida (d) Não-definida (0)5x5 (5x2 (g) Não-definida (h) 5x2 Za=5,b=-3,c=4,d=1 [765 -5 4 + 15 0 -7 —-28 -—I4 : : 3. (0)]|-2 13) 6) 0 -1 -1|] (c0)]-5 10] (d) [Ex — Es (e) Não-definida 7 3] -1 0 1/1 55 . [22 -6 8 -39 —-2] —24 0 0 (()|-2 4 6] (g) 9 —-6 -15] (|O 0] ()5 (j)-25 (k) 168 (1) Não-definida 10 0 4 -33 —I2 —30 o o E -s -1 -5 - md ; 0 s 0 - 4. (a) Ro (b)| 4 —] I (| 4 +] 1 (d) Não-definida El =| I Ef =] I [RE 3 a a Se 9 1 -1 9 13 0 ()| 5 0] (1) | | I-3 2 4] (M) 1 2 I 3 9 0 | —6 —Vo o —4 —6 4 4 I2 —3 42 108 75 Do 45 RO 3 45 9 5. (a)|-4 5] (b) Não-definida (9/12 3 Mbqolm = aTi(Ol cg 4.1 36 78 63 TO 17 7 17 13 Respostas dos Exercícios e e + 507 — 0 0 am 1 0 se QU 13, 4! = da 16. Não 18. C=-ATlBA! o 0 E» an da sd 0 0 E Lo -I 0 0 1 | 5 5 0/0 O 1 0/0 2 2 19. (a b Os mio da “1 0 ! 1 O 0 0 1 | | | 183 O —1 + 2 2 “2 20. (a) Umexemploé |2 1 4] (b)Umexemploé |] 0 - 22.Sim 23. A!= | —; 5 5 3 45 l I 0 Lo il 1 3 2 z ; E as fia 01 31. (a) Por exemplo, À = o o/?=lo o (b)AB + BA Il 0 0 32, (a) O mesmo que 31(a) (b) 42 —- AB+BA-— Bº 33. 0 = 0 O O i 34. (a) Se À é invertível, então A” é invertível. (b) Verdadeira 35. (a) Falsa (b) Verdadeira (e) Verdadeira (d) Falsa (às vezes são iguais) CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 1.5 [página 59] 1. (a), (c). (d), (1) 2. (a) Some três vezes a primeira linha à segunda. (b) Multiplique a terceira linha por +. (c) Permute a primeira com a quarta linha. (d) Some ; vezes a terceira linha à primeira. 0 01 001 Loo LO 0 A(O 10] DIO 1 0| (CD) 0 10] (0 10 LO 0 Loo -2 0 1 2 0:11 4. Não. pois € não pode ser obtida de B por uma única operação sobre linhas. 7 4 a o E 3 3 5. | 3 | (b) A ; (c) Não-invertível 7 3 ] | 1 E 2 5 q 7 0 -3 o 6. (a) | -] 1 1 | (b) Não-invertível (e) — i 5 (d) | —1 | ol (lo Q | + & 3 da ova) (osa 508 e e « Álgebra Linear com Aplicações o 1 0 0 0 LS q gs ao 110 0 3 3 7. (| 0 1-1] [42 2 0] (9 nda -2- 2 0 o 0 01 à qui d -— 0 00 à vo 0.0 ki | k4 k 1 0 — 00 0 0 — 0 -+ — 0 2 sm) Mo, (d) A gt Fa 0 E 4 O 7,0 O I I 1 1 1 0 0 0 — = 0 0/0 = e —s ks ki Ko Bo Rr 10 O 2. (a) Ei= E | E = bo | (b) 4! =EE, (O A=EÇ'E;! 1-4 7 2 -10 10 9 -6 01 10. (D|4 5 3] Dbi SI] (O|4 5 -3 m|1 0 2-1 0 1-4 7 | -4 7 00 16. (b) Some — | vezes a primeira linha à segunda. Some — | vezes a primeira linha à terceira. Some — | vezes a segunda linha à primeira. Some a segunda linha à terceira. 19. (a) Falsa (b) Falsa 20. (a) Verdadeira (b) Verdadeira (cv) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Verdadeira td) Falsa 21. Em geral, não. Tente b= 1.a=c=d=0. CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 1.6 [página 64] E x=31m=—1 2. x=-31=3 3. m=-lxm=4x=—7 d. x=lLm=-ll,x=16 5. xvm=l,m=5,1=—] 6 w=-6rx=ly=HMz=—1 7. 14=2b,— 5b,x =—by + Ibs 8 xm=-Bb+ib+ibsa=ib+ib- aba =5b— sb bs 9. (a) x = Ex, = — fds == — (b) x, = PE = àx3 E p (0) x=310=0,x=-4 LER ()n=Bn=+ (b) n=Hn=b 2. ()n=-80=-L,9=-4 0)u=-Ew=-Bon=-E 3 Mn=Fn=g On=Eo=E Qu=bv=-E (On= 14. (a) +j= 18, dz = -—9, 13=2 (b) | =-23, 7 = LI, 1=-2 IS ()x=-2-3,x=-5-m=t (b)x=7-%x=3-tama=t (d) Não-invertível (e) 0 Õ 0 I k OJi1 0 0[]1 0//0 1 0/10 H||-2 0 14/10 ts] tó. b=2h, 17. bpj=b;+b; 18. Nenhumarestrição 19. bp =b;+by,b; = 2b;+ by H 2: —3 EI, 26 Zi. X= | —& = 1 =18 —=17 -=15 —21 9 —38 —35 e crio bojo tojua calda = > o SS iu cndrs So = san o I nto So = ta o to So Do ai- cant > 0 do 22. (a) Somente a solução trivial x, = 1, =, =4,= O: invertível. (b) Infinitas soluções; não invertível. 27. (a)l-Aginvertível. (b)x=(1-AJ!b 28. Não. Tente A = CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 1.7 [página 69] 1 0 -1 0 0 1. (a) é | (b) Nãoinvertivel ()| 0 50 Ê 0 03 6 3 -24 —I0 12 2 (a) |4 + (b) 3 — 0 0 410 60 20 —I6 OA 10 A? Lo ade I 0 3 (a) AC = : Ecos ; = : 04 0 4 0 1-2 l o 0 4 0 0 2* 0 0 b4=|0 1 0) At=|09 0), At=]0 3% 0 00 É 0 O 16 00 & 4. (b).(c) 5. (a) 6 a=1Il,b=-9,c=-13 7 a=2,b=-1 l 0 0 + 0 0 8. (a) Não comutam (b) Comutam 10. (a) |0 —1 01 (b) O e! O 0 0 -l 0 O + an ap aun||3 0 0 li. (a) [an dm as 0 so (b) Não Ló. (b) Sim 17. Sim an ap as] [0 0 7 4 0 0 4 O 0 + 0 0 -1 0 0 19. |0 4 0],]0 4 0 O —l 0).| O 4 0], 004 0 0 — 0 0 4 00 4 = 0 0 = 0 0 4 0 0 = 0 0 0 —l 0 o 4 0 0 —l 0/0 + 0 0 0 4 0 0 + 0 0 —l o 0 —l 20. (a) Sim (b) Não (exceto sen = 1) (c) Sim (d) Não (exceto se n = 1) 23. Não 24, (a)x=2,4=1,m=-4 ()x=-81=-4,1,=3 Lo 10 n 5. A- 5 Ss 26. 34 +n) 27. Multiplique entradas diagonais correspondentes 28. A é diagonal 30, (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Falsa EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES [página 71] Lx=irxriypy=-i+êy 2. x'=xcos0+ysend,y' =-xsend + ycost 3. Uma resposta possível é + — 2x, — 1 —1=0 Ny + 5x, + 2x4 =0 4. Três moedas de 1 centavo, quatro de 5 e seis de 10. & x=4y=2,2:=3 6. Infinitassea=2 ou a=—; caso contrário, nenhuma. Respostas dos Exercícios « «e « 509 29. Sim, para matrizes não-quadradas. 512 «e Álgebra Lincar com Aplicações EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES [página 98] Ê. x = 5x + 8) = —3x + 5 2. x'=xcosg+ysen6,y' = —-x send + ycosó E Rs 2 EIA c+a —b at+bo—c 4d. 2 5 cosg=>"—D——— o eosp=>"—— 10. (b) Y Ê ac b Jab Ru 12. de(B) = (= DE ger(A) 13. (a) A i-ésima e a j-ésima colunas serão trocadas. (b) A i-ésima coluna será dividida por c. (c) — e vezes a j-ésima coluna será somada à i-ésima coluna. 15. (a) 2 +(-an — a — aa) XP + (ando + anda + dadas — apo — ada — ana) + (ay dazcizo + adora + aisanas| — antas — aaaaz — dae) t tam -2) [5 n 18. ()i=-5A=21=4;) elle] d)r=i|-tr f f t t CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 3.1 [página 105] a MPRB=CL-D o QDRB=C1-) (QRB=Q,1 (d) PB, = (a,b) —+ —+ —+ —+ (O PRB=(-5.12.-60 (OD PRPB=(-1,-) (gAPB=(a-b—) (h) PP =t(a,b.c) 4. (a) 0 (5, 10,- 8) é uma resposta possível. (b)Q (— 7,- 4, — 2) é uma resposta possível. 5. (a) P(-1,2,- 4) é uma resposta possível. (b) P (7, - 2, — 6) é uma resposta possível, 6. (a) (-2.1,-4) (b) (=10,6,4) (e) (=7.1,10) (d) (80, -20, -80) (e) (132,-24,-72) (f) (-77.8,94) n r= (-8,4,8) 8. C =2o=-l,e = 10. tj=0=0 =0 mL. (a) (G,—4,-5) O) (É,-5.5) 2. (a) x=5,9/=8 (b)x=-1,y=3 u c= 31 eai A NB e 3-1 1—-43 E 3+1 43+1 oro pr Aco apto a os Poco a CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 3.2 [página 108] LOS DA(S (DI ()I6 (1)6 2. (a) 13 (b) 2426 (e 4209 (d) 342 3 6 4 3; 83 (b 17 26 417 (d) 466 | = f)1 (a) 83 (b) V17+V26 (o) 4/17 (a) (e) (= ã =) (f) 4 3 4. t=à 6. (ii) (D(2,-48) 7.(b) (60/3+54/2,6-54/2) 8. Uma esfera de raio | centrada em (x,. Yo» Zy) 12. Sim 13. (a)a=c=0 (b) Pelo menos um dentre a e c deve ser não-nulo, ou seja, a? +c?>0 14, (a) A distância de x à origem é menor do que 1. (b)llx-x,||>1 CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 3.3 [página 113] H 3 1. — —24 o d) O Z ——>——— b) -— o d(d) 0 (a) (b) (e) (d) (a) VEZ (b) J0 (c) (d) 3. (a) Ortogonal (b) Obtuso (c) Agudo (d) Obtuso Respostas dos Exercícios » « « 513 4 (0) (0,0) (ii) (O (oO) (O (5505: 65) sD6) D(-B-B) O(EL-B (O(B-8.-8) 6. (a) É (b) a (e) a (d) Ra 8. (b) (3X, 2k ) com um escalar k qualquer. (e) (3,3), (-3,—3) 9, (a) 102 (b) 12547 (e) 170 (d) 170 10. Por exemplo, (2, —5,0),(-3,0,5),(0,3,2),(1,-5,—5),(-3,3,7) IO 3410 I 1. cosf = o cost = 13. (1/43, 1/43,- 1/43) . cos6; =0 12. O ângulo reto está em 5. 4 DI mL qg%MB gl I 6 SOLO OG 18 amos (5) b c 19. (b) cosg=— cosy =— 20. 8, = 71,6, = 61º,8; 22 36º ( ) sB Iv sy vil I a “2 183 24, (a) Não existe o produto escalar do vetor u com um escalar, (b) Um escalar está sendo somado ao vetor w. (c) Escalares não tem normas. (d) Não existe à produto escalar do escalar k com um vetor. 25. Sim; por exemplo, se a e u são ortogonais. 26. Não; a equação só diz que u é ortogonal a v — w. u v w r=0ern)— Ele rn)— + (we r)— « Teorema itá 5. 27 TPTÉ ( IvIP ( Im 28. Teorema de Pitágoras CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 3.4 [página 119] 1. (a) (32,-6,-4) (b) (-14,-20,-82) (e) (27,40,-42) (d) (0,176. -264) (e) (-44,55,-22) (1)(-8.-3,-8) 2 (a) (18.36.-18) (b)(-39,-3) 3(a) 5 (b) IO (90 374 4. (a) sega v'285 7. Por exemplo, (1,1, 1)x(2.-3,5)=(8.-3,-5) 8 o (D)-lO 2()>3 DIDI DSI DSI DO a , E 2 4 10. (a) 16 qb) 45 11. (a) Nº (b) S (c) N 2 +(0,—, =) a) ( a) Não im c) Não 1 ( ELG 6 a 4 6 3 4 12/13 13. — ; ace : p= 185:2 16. (a 61 7) ( 61 61 O (oem) 49 “26 "26 24141 3137 sa 17. (a) As (b) Cr 19. (a) E (b) Ec 21. (a) 122. (b) 0 = 4019 22. Qualquer múltiplo escalar de (2,2, 1) 23. ta)m=(0,1,0)en=(1,0,0) (b)(-1,0,0) (e) (0,0, 1) 28. (—8,0,—8) 31. (a) é (b) E 35. Db) uw£Ovew=0 36. Não, a equação é equivalente au x (v = w) = 0€ portanto, a v = w = /u para algum escalar |. XM. ux(vxw)z(ux v)x w em geral, 38. São colineares. 39, Porexemplo.ab=ba.tabjc=a(be)cab=Oimplicaa=00ub=0. Unfua 514 e e o Álgebra Linear com Aplicações CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 3.5 [página 125] (ad +D+HOo-D>-C+HD=0 db) (—-D+H9M%y—D+B—- =) (0) 22=0 (d)x+2y+4372=0 2 (Md) -x+ty-z-7=0 (bx+9y+82-42=0 (0) 22=0 ()x+2y+3y=0 3. (a) (0,0, 5) é um ponto no plano en = (— 3, 7, 2) é um vetor normal, de modo que = 3 (x -0)+7(y-0)+2 (2-5) =0 é uma forma ponto-normal: outros pontos e outras normais também dão respostas corretas. (b) (1-0) +0(y=-0)-4 (2-0)=0 é uma possibilidade. d (a) 2y-z+1=0 (b)x+9y—-572—-26=0 5. (a) Não paralelos (b) Paralelos (e) Paralelos 6. (a) Paralelos (b) Não paralelos 7. (a) Não perpendiculares (b) Perpendiculares 8. (a) Perpendiculares (b) Não perpendiculares 9. (9) x=3+2,y=-+1,2=2+% d(b)x=-2+6,y=3-6t,2=-3-2 (Jr=2y=2+1,2=6 (d)x=iy=-22=3% 10. (a) x=5+t,y=-2+M,2=4-4 (bx=H,y=-t,71=-%H HH. (M)x=-12>T,y=-4—23,2=t (bD)ax=ity=07=t MD ELAD+Ly-L2-9)=0 Db) CLAD Ly,2+5)=0 (O (LOOKS y+22-D=0 (O) (ab )-(x,5,9)=0 13, (a) Paralelos (b) Não paralelos 14, (a) Perpendiculares (b) Não perpendiculares 15. (9) pn Dd=(-1,2,D+107,=1,5) (=0<t< +) (b) (yr D= (20, D+) (—» <t < +) (0) (ey )=(2-4,1D-+40,0,-2) (== =<t< +=) (d) (rr, D=(0,0,0)+t(a,b,c) (-»x<t< +) 17. 2x+3y—52+36=0 18. (9)2=0 (by=0 ()x=0 Io. ()z-0=0 (bDx-xn=0 ()y—-m=0 20, Tx +d4y — 27 =0 21. 5x—-2y+2-34=0 2D(-E-SS) 2 y+2%2-9=0 24. x—-y-42-2=0 26 r=]t-2,y=-S+5,2=t 27. x+5y+3z— 18=0 28. «-D+HOy+D—3z2—4) II O 29, dx 4-13y=72=17=0 30. 3x + 10y+4dz —53=0 HM. Sx=p=2=2=0 32. 5x—-3y+22-5=0 33 2x4+4y3+824+13=0 36. x-4y4+42+9=0 3 ()r=b+SLy=-B-gnri=t 0r=-iry=02=1 Mid OL LM 00 OA Ê 29 "3 24/26 “6 x—3 :-2 x+2 y-3 2+3 42. (a) 3 =y+1I= 7 (b) E a 43. (a)x-2y-17=0 e x+dz-27=0é umaresposta possível. (b)x-2y=0 e —-Ty+2z= 0 é uma resposta possível. dá. (a) 06=35º (b) 8 =79º 45. 0x 75º 46. São idênticas. 47. São perpendiculares. 48. É o segmento de reta ligando Pa P.. 49, Porexemplo, x=x9+21, yY=Y9+34 z=2g+t5t e x=x,+dt, y=Ymés 2=20+21 CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 4.1 [página 135] 1. (a) (=1,9,-11,1) (b) (22,53, 19,14) (e) (13, 13,-36,-2) (d) (—90, 114,60, -36) (e) (-9,-5.-5,-3) (f) (27,29,-27,9) Respostas dos Exercícios « «- « BTT Ti 2 5. (a) Injetor: é | T' (uu) = (bw, — dust, + tu) (b) Não-injetor E z o O so gem = a ra (c) Injetor; TO (um un)=(—w,,—w) (d) Não-injetor o 0 [12 4 6. (a) Injetor: |-| 2 3]: Tu, u,) =(uw, —2u, + 4, —u, +24 — Ju, uy, +31, — 5w,) |-1 03 5 (b) Não-injetor; ia ma (c) Injetor; 1 1 ca |; “Pao ( It 2 to do do = 2 2 2 - Z 2 2 (d) Não-injetor 7. (a) Reflexão em torno do eixo x (b) Rotação pelo ângulo de —77/4 (e) Contração por um fator de + (d) Reflexão em torno do plano yz (e) Dilatação pelo fator de 5. 8. (a) Lincar (b) Não-lincar (e) Lincar (d) Linear 9, (a) Lincar (b) Não-lincar (c) Linear (d) Não-lincar 10. (a) Linear (b) Não-linear 11, (a) Linear (b) Linear 12. (a) Para uma reflexão em torno do eixo y, (e ,) = Do eTl(es)= [| Assim, "= Do | 0 Il l 0 0 I oo (b) Para uma reflexão em torno do plano xz, T(e)= |0|.Tley=|-1|eT(e)=|o|.AssimT=l|9 1 0 0 0 I o 01 ga: : l o Lo (c) Para uma projeção ortogonal sobre o eixo x, T (e ,) = a o « Assim, T= 0|: 0 000 (d) Para uma projeção ortogonal sobre o plano yz, T (e) = ; T(e))= eT(le)=|o|.AssimT=|0 1 0 l o 01 cost — send cosó —sent Pars a rotaçã ângul itivo 0, 7 = ET = . Assim, T = ; (e) Para uma rotação por um ângulo positivo (e) o | eT(e,) É a ssim pn 2 Soa k o 0 k 00 (f) Para uma dilatação por um fator k = |, T(e)=|o|. Tle)=|pleTle)=|o|-AssimT=|g EQ 0 o k 0 0 & à mrej=|T! | ertej=| "| asim t= [TO * . (ajT(e,)= 0 eTie;)= o! ssim, | = o o! e 0) I a 01 (b)T(e,)= o] eTí(e)= o] asm.1= E o) 518 e o « Álgebra Lincar com Aplicações (O) T(e)= É eT(ej)= form. T= ; o) 3 30 E 0 0 1 0/0 El ld. (a) T(e,)= O|.Tie d= SleTic,) - |O “Assim T=| 0 = 0 0 0 3 0 0 & l 0 0 b)T(e)=|0|,T(ep=|O|eT(ep=|0 0 Soo o DS l Assim, T=| 0 O - o : fit: (OTr(e)=| Dl.Tie)= eT(te)=| Ol.asimT=| 0 —1 0], 0 0 0 — -=1 3 0 15. (MT,le)=| 2|,Tilej=|I|eTite)=| 2 4 5 —3 2 (b) Taler+ e +es) = Tale) + Tales) + Tale) = [5 6 0 (0) Tu(7e)=7Ti(e)=| 14 —21 16. (a) Transformação linear Rê? > R*; injetora (b) Transformação lincar RÉ > R*; não-injetora 5) = | (e) 44 4 1d 17. (2) (1,5); db) 18. (a) A = |; jo (b) A=I; | (0) A=1; o (dl) À = 5; todos vetores em R? são autovetores el) oe] of 0 t s 0 19. (a)Ã=1;|8 A=-1:/01 qA=1:]0 A=0;|t t 0 t 0 0 (e) À = 2; todos vetores em Rº são autovetores (dÃ=1:]0 - an 2 a, dO (Sim (Sim dA (| 020) pj [1+543 3-5 sen —cos20 2 2 25. (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Falsa, pois x poderia ser O (d) Verdadeira 26. (a) A imagem de T está contida propriamente em Rº. (b) T deve levar infinitos vetores em 0. CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 5.1 [página 160) ss bo » 22. 25. 2. 28. Mo, . Sim. A lua funciona como o vetor nulo. Não é um espaço vetorial. Falha o Axioma 8. Não é um espaço vetorial, Falha o Axioma 10, Não é um espaço vetorial. Falham os Axiomas 9 e 10. O conjunto é um espaço vetorial com as operações dadas. O conjunto é um espaço vetorial com as operações dadas. Não é um espaço vetorial, Falham os Axiomas 5 e 6. O conjunto é um espaço vetorial com as operações dadas. Não é um espaço vetorial. Falham os Axiomas 7 e 8. Não é um espaço vetorial. Falham os Axiomas 1,4,5 ce 6. O conjunto é um espaço vetorial com as operações dadas. O conjunto é um espaço vetorial com as operações dadas. O conjunto é um espaço vetorial com as operações dadas. - O conjunto é um espaço vetorial com as operações dadas. O conjunto é um espaço vetorial com as operações dadas. - O conjunto é um espaço vetorial com as operações dadas. Respostas dos Exercícios » « « 519 Não é um espaço vetorial. Falha o Axioma 7. Além disto, supondo 0 = (1, 1). vale o Axioma 4 mas falha o Axioma 5. « Não. Um espaço vetorial precisa ter um elemento nulo. Não. Os Axiomas 1, de 5 vão falhar, 24. Não (1) Axioma 7 (3) Axioma 5 (6) Axioma 5 (2) Axioma 4 (7) Axioma 4 (Ij Axioma | (2) Hipótese (3) Axioma 3, depois Axioma 5 e Axioma 4 (4) Axioma 3, depois Axioma 5 e Axioma 4 Não;0, = 0, + 0, = 0, . Não; (=u); = (=u); +lu + (=u)] = [(-u) + u] + (=u); = (=u); (4) Segue da afirmação 2 (5) Axioma 3 ty-(tvt)=(U+9+(CE-DW+)=utv+tDvr+(-Du=u+0+(-Du=0 CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 5.2 [página 167] 1 (a(o 2 (bd) 3 (a, (b)(d) 4 (b)(dle) 5. (a), (b).(d) 6. (a)Reta; x=-it,y=-Sti=t (b)Reta; x=2t,y=1,2=0 (d) Origem (e Reta; x=-H,y=-2,7=t 10, 11. (a), (b), (d) (a) (—9,-7,-15) = —-2u + v— 2w (e) (0,0,0) = Ou + Ov + Ow (a) -9—7x— 15x? =-2p; + p,— 2p; (e) O = 0p; + Op; + Ops (b) (6. 11.6)=du—5v+w (d) (7.8,9)=0u — 2v +3w (b) 6+ lx + 6x7 =4p; —5p2+p3 (d) 7+8x+9x? = Op; — 2po +3ps Ca), (b), (e) (a) Os vetores geram. (c) Os vetores não geram, (b) Os vetores não geram. (d) Os vetores geram. (e) Origem (DPlano; x—3y+72=0 522 e e o Álgebra Lincar com Aplicações =3 4 ES [= 4 | —1 2 | - 4. (a)r | +8 0 (b) 4 Er +35 0 0 | [=3 O 1 [1 3] [3 SE = = 5. (a) aber (b) T|+r|-=1Ljtl-l L L O a 1 1 [— 2 = “o [2 =] = 0 1 0 0 1 0 0 (c) 0 d! +3 1 El 0 | "| | +t 0 Lo 0 0] 1] lo 0 I 5 1 1 1 1 5 5 5 5 5 1 á as: 4 na DlSl+s|ól4r] Shslól+e) é 0 | 0 | 0 0 I 0 | = [=2] [=] —2 "16 mM To x N =] | [=] |=2 0 6. (a) [19] (b) : 1| (e) o| D| 1 0 ol (9| 0 E 2] lo o E 0 1 0 | 0 0 | 0 | 2 .(r=[102,"r=[001,e=|0|,w=|]1 0 0 | —3 0 I br=[1 -30 0,m=[0 10 0,e= obe=| 0 0 0 (On=l245,rn=[01-30,r=[001-3,4=[0001] [1] 2 4 5 0 | -3 0 c=/0),0=/0|,0,= Lc =|-3 0 0 0 1 [0] 0 0 0 Dr=12-15,m=[0143,m=[001-7mu=[0001), [17 2 — 5 0 | 4 3 Cp= 0 fo = 0 q €3=— | . fa = <a E 0 0 1 8. (a) (1,—1,3),(0,1,-19) (bh) (1,0,-3) (0) (1,4,5.2),(0,1,1,5) (d) (1,4,5,6,9),(0,1,1,1,2) (e) (1,-3,2,2,1),(0,1,2,0,-13,(0,0,1,0,-5) W [-3 E [= 2 1] [4 É 0 3 9. (0) |5|.|-4] 0|4| O] 2]. 1] Do “|| leal, 7| |-6 0 -1| |3 5 : 3) |-6 —2 9 10. (a) (1,—1,3),(5.-4,-4) (Db) (2.0,-1D) (0) (1,4,5,9.(2,1,3,0) (d) (1,4,5,6,9),(3,-2,1,4,-1) (e) (1,-3,2,2,1),(0,3,6,0,-3),(2,—-3,—2,4,4) —l6 bs Do A Respostas dos Exercícios » « « 523 11. (a) (1,1, 4,3), (0,1,-5,—2),(0,0,1,—4) (b) (1,-1,2,0),(0,1,0,0), (0,0,1,—5) (0) (1,1,0,0), (0,1,1,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1) 12. (9) fre valiv=2v + vo vu =-v + db) frevil;rm=2v.u=v+Hr (o) (viva val; va =2v,— Vo, Vs =—vj + Ivo + 244 000 I4. (6/0 10 15. (a) Verdadeira (b) Verdadeira (c)Falsa — (d) Verdadeira (e) Falsa o 01 I =1 =—1 3a —Sa 16. (a) | 45 sp | Para quaisquer números reais «, b, não ambos nulos. 1. /0]+r| 1|l+5] 0 E 0 0 1 18. Os espaços-linha de 4 8 e de B são iguais pois À é um produto de matrizes clementares. CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 5.6 [página 197] 1. pos(A)=pos(A))=2 2. (a) Nulidade = 1, posto = 2:n = 3 (b) Nulidade = 2. posto = I;n=3 (c) Nulidade = 2, posto=2;n=4 (d) Nulidade = 3, posto=2:n=5 (e) Nulidade = 2, posto=3;n=5 3. (21 (Db) 1;2 (0)2;2 (d)2;3 (e) 32 4d. (a) 3;3,0,0 (b) 2;2;1;1 (e) 1,1;2;2 (d) 2:2;7,3 (9 223,7 (1) 0,0,4,4 (8) 2,2,0,4 (a) Posto = 4, nulidade = O (b) Posto = 3, nulidade = 2 (c) Posto = 3, nulidade = O posto = min (», 1), nulidade =» — min (m,n) (a) Sim, O (b) Não (c) Sim, 2 (d) Sim, 7 (e) Não (E) Sim, 4 (g) Sim, O aa um (a) Nulidade = O, número de parâmetros = O (b) Nulidade = 1, número de parâmetros = | (c) Nulidade = 2, número de parâmetros = 2 (d) Nulidade = 7, número de parâmetros = 7 (e) Nulidade = 7, número de parâmetros = 7 (f) Nulidade = 4, número de parâmetros = 4 (g) Nulidade = O, número de parâmetros = O 9 b=r,b=s,by=45—3r,b,=2r—s,bs=8s—Tr 11. Não 12. (a)pos(A)=Iset=1; pos(4)=2set=-2:; pos(A)=3ser*&1,-2 (b) pos (4)=2ser=1, 5: pos(A)=Iserzl, 5 13. Opostoé2ser=2es=1: oposto nunca él. (b) Uma reta pela origem. (ec) Um plano pela origem. Soo 1 O 16. (ay [0/1 oo (d) O espaço-nulo é uma reta pela origem e o espaço-linha é um plano pela origem. 17. (a) Falsa (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Falsa IS (DI DS DI DI ILDI DS (DI (DI 524 e e « Álgebra Linear com Aplicações EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES [página 198] 1. (a) Todo o Rº 2. Uma reta pela origem: s=— 2 (b) Plano: 2 x-3y+272=0 Um plano pela origem: s = 1 (c) Reta: x=21,y=4,7=0 Somente a origem: sá |,-2 (td) A origem: (0, 0, 0) Todo o Rº: nenhum valor de s 3 (a) (4 D+, 1,2) (Db) (a +O9G,—L D+, 4,1) (e) a(2,3,0) + b(= 1,0, + cld,—1,1) 5 (a) v=(=1+mv+(E>r)v+rvr arbitrário 6.4 deve ser invertível 7. Não 8. (a) Posto = 2, nulidade = 1 (b) Posto = 2, nulidade = 2 (c) Posto = 2, nulidade =n = 2 sen 2 2: posto = |, nulidade =0 sen = 9. (a) Posto = 2, nulidade = 1 (b) Posto = 3, nulidade = 2 (e) Posto = n + 1, nulidade = n dE BI A xt) 2. (2 bl (02 (d)3 13. 0,1,ou 2 CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 6.1 [página 206] (ad? bl (D-I3 (M)-8 (90 2 ()-2 D)6 (D-4 (DE DO F()3 (D)56 4. (a) 29 (D) IS 5. (b)29 6. (b) 42 7. (2) [ a Mm) o “a 9. (a) Não. Falha o Axioma 4. — (b) Não. Falham os Axiomas 2e 3. (e) Sim. (d) Não. Falha o Axioma 4. 10. (0) 10 (6) 42 (0545 (32 (b)3V5 (e) 3/13 (NT db 134) dO 14.342 15. (00105 (b) 97 16. (0) 8 (b-113 (0) -40 (d)3 (e) 24/53 (1) 881 17. (a) 2,146, 110. (d) 546 Fê 32 18. (a) nte =| W (d) É -2 =q 19. (u,v) = Guivi + usava 22. Falha o Axioma 4. 23. NãoemPypoisp=x(x—1)(x—1) satislazdp.p=0 27. (9) -É (DO 15 28. (a)0 d(b)l de — 32. (a) (1) Simetria (2) Homogeneidade (3) Simetria 34 a=1/25,b= 1/16 CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 6.2 [página 212] 1. (a) Sim (b) Não (c) Sim (d) Não (e) Não (f) Sim 2. Não E É = xo + xy ge É S. ()n=(,0-5,w=(013) D| E E Sli) Bm+tEN+A ção -4+ * E = axo + Teo + Sgto & DT] É dEXo — 3pJo + 2120 rá 4 10. (a) =(2.-1,4) (b) |-& + + (O) |-2w+tiym- ãzo| (d) e & 4 16 8 4 16 HW CH x 1% — ado + ão 16. (D Pois4”0=0 (2) Pois A7A é invertível, (3) Pois o espaço-nulo de A é não-nulo se, e somente se, as colunas de A são dependentes. 17. (a) ACATAJTIATD qb) (ATAJTIATD (e) b— A(ATAJTIAPDI| (dy A(ATAJTIAS CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 6.5 [página 234] do bo dê Ê 25 25 LO/ 0 55 2. (b) T(C2,3,5)= (4, à, 11) -3 2 46 5 25 25 e 0 A Dodo od Ad e has 3. (a) Jo | (b) ao (d) VE E E (e) EA so 2 2 Mi a L ds 4 “3 “3 “3 3 ó 0 6 E 3 x " 5. (a) [wls = 3 (b) Iwls = |", (O) wls=|b-a E E : 7. (a) [pls = 3 “2 6. (a) [vls = É (b) Ivls=| 0 l l 4 0 —3 (b) lpls=| 2 1 —l 8 (a) l4Js= é & 9. (a) w=(16.10.12) (b) q=3+4 (6) B o | —l 10. 13 11 o| — - Era: — 9 | Je LA e q a | =|- ce =po =|» [53 e E = Il I tt | | z E | [o =lz = LO alta El I So mI— LE am Ss I os o il tm mota LED m— ) e z = | I js 35 LS £ = ll al as LS Respostas dos Exercícios « «e o 527 13 a 15. [PI= AXAA!Y TA 528 e e e Álgebra Linear com Aplicações 2 | B 3 2 & = 2. (0); E -E| D]|-E 3. (9)]-2 -3 1] b)| & 0 ã 5 Í 5 1 6 6 =2 1 3 2 | e E MD, | Ol, | Olrb=| | Dlplr=| + 3 5 51 ã « 2 0 30 2 I SD 3) O) 4 | Olhh=| q|lhly=] > G 3 16. (a) (4,/2,-292) (db) (-542,542) 17. (0) (-1+43/3,3+443) (b) (1-43,203+1) 18. (9) (1/2,52,5) (b) (-5,/2, 2/2, —3) 19. (0) (-1-5/3,2,5-1/3) (b) (4-543,6,-5-143) 20. (a) (=1,52,-32) (b) (1,-5w2,543) cost O —senf Il 0 0 2H. (9) A=| 0 1 0 (b) A=/0 cosg | senf sent O cost O —sent cos v2 do 2 4 4 2 “3 l 3 7 1 los Rê 23. a +b=5 E 2 a A 2º “6 2 4 4 2 26. (a) Rotação (b) Rotação seguida de reflexão 27. (a) Rotação seguida de reflexão (b) Rotação 30. (a) Rotação e reflexão (b) Rotação e dilatação (c) Qualquer operador rígido preserva ângulo. Qualquer dilatação ou contração com k = 0 e k = | preserva ângulo mas não é rígida. 31. dei(A) = =] 32. a=0,b=v2/3,c=-vV1/3oua=0,b=-v2/3,c=v]1/3 EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES [página 237] 21 | 1. (a)(0,9,9.0) coma 0 b) + 0,550) é. (505) (6 raros em e (0.7 Ea 7 m=qak=1,2,..0,n 8. Não 11, (b) Gtendea - 12. (b) As diagonais de um paralelogramo são perpendiculares se, e somente se, seus lados têm o mesmo comprimento. CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 7.1 [página 243] 1 (a) A2-22-3=0 (b) 2 -82+16=0 ()A-12=0 (d) 2 +3=0 (e) = (DX-M+HI1=0 2. (0) 1A=31=-1 b)i=4 ()01=V2,1=-V12 (d) Nãotemautovalores reais ()A=0 (DA=I1 EA 10. 1. 12. Respostas dos Exercícios » « « 529 -— tal— (a) Base do auto-espaço associado a À = 3: | im ralto | : base do auto-espaço associado a À =— 1: [| (b) Base do auto-espaço associado a À = 4 | 3 3 I (c) Base do auto-espaço associado a À = + I2: 12 : base do auto-espaço associado a A = —* 12: 12 l l (d) Não há auto-espaços. (e) Base do auto-espaço associado a À = O: [o] [| (1) Base do auto-espaço associado a À = |: Lo) [1] (a) 2) - 6) +11 -6=0 (b)4)-21=0 (O) +87 +A+8=0 (d) A -4?-A-2=0 (O X-6+IZA-8=0 (1) 4-22º-151+36=0 (Md) A=1A=21=3 (b)i=01=4/2,1=-/2 (JÃi=-8 (d)A1=2 () 1=2 (Mi=-4,1=3 — | 1h = 3: base I I fest ed tlm 0 (a) A =: base poa base 0 Ê 1(15+5v2) 1115-542) (b) L = 0: base 5 2 = 2: base 1-1 + 2/0) |:à = —/Z: base i(—I — 2/2) I I I cê 3 é] (c) A=—8: base | — (d) A=2:base |4 (e) A=2base |-—4 1 | 1 Ea 5 (f) A =-4: base | S|i=3: base |-2 | (a) L-IA+rMA+D=0 (Db) (A-9(2+3)=0 (aa A=1L,A=-ZA=-1 (b)i=4 0 2 -1 -2 j 0 3 0 1 1 (a) A = 1: base e jA=—2; base 3h =—l: base (b) À = 4: base 0 1 1 1 0 I 0 0 0 0 (a) A=-1,1=5 (b)i=3A=7,â=1 ()i=-1A=1,1=1 A=1,A= 3. A=512,1=0 -—1] [> 2 ParaA$,A=1,-I:baseparah=1:| 1],| Ol:baseparaÃ=-1:|—] 0 l I 532 e e e Álgebra Lincar com Aplicações 15. Sim: tome À = o ow eus [e e] EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES [página 253] 1, «b) A transformação gira os vetores por um ângulo 8; portanto, se O < 8< 7, nenhum vetor não-nulo é transformado em um vetor de mesma direção. Lo 2. à=kcom multiplicidade 3. a) /0 21 003 I5 30 75 150 375 750 1875 3750 9 4º= , AÉ= , At= E 5 q [ 50 o 9] 625 o] 1 o —3 3 3 —8 6 10. A=|30 —8 6), At=| 6 -15 10 1. Oeu(A) é -15 10 IO —24 15 0 0 o — | 0 0 ro |l 0 0 2 is. |[-1 -1 + 16 8 (b-] O | dq 5. é cê - (0) 18 (D) O 0 1-3 Lo —5 — 17. Eles são todos O, | ou — 1. CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 8.1 [página 262] Não-lincar 4, Linear 5. Linear 6. Linear 7. Linear 8. (a) Lincar (b) Não-lincar fd 9. (a) Linear (b) Não-linear 10. (a) Não-linear (b) Linear 12. Tlxy xo) = (dx, + 5x2,x4 — 3x3); T(5, —3) = (35, 14) 13. T(x, xo) = 43x) — x2, —9xy — 4x, 51x) + 10x0); T(2, —3) = (8,4, —22) 14. TQrasa)=(-a té, dd +IETORA—D) =(15,—9,-1) 15. Tx, 42,43) = (—dlx; + 9x, + 2dx5, Idxy — 3x, — Bs); T(7, IB, DN = (2,3) 16. T(2v, — 3v, + 4v5) = (—10,-7,6) r 17. (a) Domínio; R?; contradomínio: R2; (750 T) (x, 7) = (lx 3y, 2x + 3y) (b) Domínio: R?; contradomínio: R$: (To T) (4,3) = (4x — 12y, 3x — 9y) (b) Domínio: R?; contradomínio: Rº; DGoT)Qy)=(Q+3yx- 2) (b) Domínio: R?; contradomínio: R$; (To Ty) (1.3) = (0. 27) 18. (a) Domínio: R?; contradomínio: RE: (To To T) (x,y) =(3x- 23,2) (b) Domínio: R?; contradomínio: R: (1,0 150 T) (x,y) = (4y, 6) 19. (aja +rd (b) (7º Tj) (A) não existe pois 7, (A) não é uma matriz 2 x 2. 20. (Mo (pa) = pl); (1 0 Tolp) = p(x) HM. Divy=lv 2 (TBoT)a+rax+tax)=(agrarada+(a +) +ax)o 23 4b) P,, 26. (Db) GT)x1, 22) = (6x7 — 3x2, 304 + 371) 27. (b) (+ Tola, y) = Gy, 4); (1 — Tl, 9) = (9,2%) 28. (b) Não 3 (M)x+3%k (b)senx (Qe-l Respostas dos Exercícios » « « 533 32. Sim 33. (a) Verdadeira (b) Falsa (cv) Verdadeira (d) Falsa 34. nº CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 8.2 [página 266] É (ale) 2 (a) 3 (a,(b.lc) 4 (a) 5. (b) 6. (a) 7. (a) (4.1) (b) (3.-4.1,0) (e) Não existe base. 8. (a) (1,4) (b) (4.2, 6), (1.1.0), (-3,-4,9) (0) (x, 27,00) Es — lá 0 u 10. (a) |5|.]1] (b) q (ce) pos (7)=2,nul(T)=1 (d)pos(A)= 2, nul (4)=1 Is 1 [17 3 | [o M. (9) |2] db lo Il (e) pos (T)=I,nul(T)=2 (d) pos (A)= |. nul(4)=2 [O | I 0 Ee | 7 [1] fo -1 Ê I2. (a) || 1 6) | |: j (Opos(T)=2,nul(T)=2 (d)pos(A)=2 nul(A)=2 L3A 0 | = [-1 r 0 : ; ; =) 13. (a) “a! rir 0 (b) 1. 0 (e) pos (7)=3.nul(T)=2 (d)pos(A)=3.nul(A)=2 5 á 0 0 L Wu 0 | 14. (a) Imagem: plano xz: núcleo: eixo y (b) Imagem: plano yz; núcleo: eixo x (c) Imagem: plano y=x: núcleo: aretax==t.y= 4, 2=0 15. 16. 17. 18. 21. 24. 25. Nuc (F)= (0): Im(Tj=V (a) nul(T)=2 (b)nul(T)=4 nul(T)=0. pos(T)=6 (c)nul(T)=3 (d)nul(T)=1 (a) Dimensão = nul (T)=3 (b) Não. Para A x = b ser consistente para qualquer b em é, devemos ter Im (7) = Ré. Mas Im (7) * R*, pois pos (7) = dim Im (1) =4. (adjrx=-—y=-—L,i=i—e<t<+» (b)ldy-8y-—-52=0 Nuc (D) consiste de todos os polinômios constantes. Nuc (1) consiste de todos os polinômios da forma kr. 26. 27. 28. 29. Nuc (D o D) consiste de todas as funções da forma ax + b; Nuc (D o Dc D) consiste de todas as funções da forma ax + bx + c. (b) (1, 1,1) (d) três (b) Uma reta pela origem (a) o núcico, a imagem (c) a dimensão de V (a) Um plano pela origem (a) DcDoDodD, onde D é a derivação (b)DoDo-oD(n+l vezes) CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 8.3 [página 271] 1. (a)Nuc(TP)= (0): Téinjetora. (b)Nuc(T)j= ts. DJ): T não é injetora. (e) Nuc (F)= (0): Téinjetora. (d)Nuc(F)= (0): Té injetora. (e) Nuc (1) = (KCl, 1)); Tnão é injetora. (£) Nuc (1) = [k(0,1,-1)J; T não é injetora. 534 e e e Álgebra Linear com Aplicações ao as x X — 2% x 1941 — 942 2. (a) 17 E = : ] (b) T não tem inversa. (e) 7! j = E : Xs —2x, + 544 xs sat Sm I Lo du gH + Fa = qua E: 3. (a) T não teminversa. (b) 7”! o =| intim+ia Aa Say + ia + das Xi 2 a at + ta Xi 3x +I3m — 43 Or jul=|-intimtga) DT! mnl=| -2n-2m+a Ha Ir + ixo — lx *3 —day — 5x2 + 2x3 4. (a) Não é injetora. (b) Não é injetora. (e) É injetora. 5. (a) Nuc(T)= [k(-1, 1) (b)T não é injetor pois Nuc (T ) = (0). 6. (a) Nuc (T)= [0] (bh) T é injetor pelo Teorema 8.3.2. 7. (a) Té injetora. (b) T não é injetora. (c) T não é injetora. (d) T é injetora. 8. (a) Té injetora. (b) T é injetora. 9, Não. À não é invertível. 10. (a) T não é injetor. (D) TG 2X rc In) = Que Mando Xao20 0004 X1) (0) TG as ac An) = (Mas io DS ec An) I l Il I 1. (a)a,e0parai=1,2,3...nº (0) TO da dae da) = (em —=Xa, 3, ++ 4.) é la da Um 2 6 Tr n)=Grpo- un!) =Grriyia Duo Ha) = Caro ra + Tp) E I 13. (a) TT (pl) = E T5 pl) = par — Di(Tro (po) = GP 1) IS (a (LD (MD) T/23=2+* Taio din A ARO E 17. (a) Tnão é injetor. (b) Té injetor, 7 (|: alb=p a a b d -b (c) Té injetor. 7º! = cd é a 20. Y não é injetora pois J (x) = J (x H. 21. Tnão é injetora pois, por exemplo, f(x) = x? (x — 1)? está no núcleo, 22, (a) Falsa, pois não existe 77!, (b) Verdadeira (c) Verdadeira 23. Sim: é injetora, 24. Sim: É injetor. 25. Não; não é injetor. CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 8.4 [página 277] 0 00 É a I 100 I I o 1. É 7 =a (a) 4 o 2. (a) o E 3] 3. (a) 10 l 0 0 001 00 Lo i 2 -—1 1 . 5. = 1 ; E 1 1 4. (a) | | (a) : 6. (a) I 5 z 53 O Lol Respostas dos Exercícios « e o 537 19, (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Verdadeira (d) Verdadeira 1 0 O 4 is tê ; «“dictintos 20. Por exemplo, bo | o | pois têm autovalores distintos. 21. (138 =P! AP é semelhante a A. (2) 1=PIR (3) A lei distributiva para matrizes. (4) O determinante de um produto é o produto dos determinantes, (5) A lei comutativa para multiplicação de números reais. (O de (P-DY=Itdei(P) 22, P-lx é um autovetor de B com autovalor À. 23. A escolha de uma hase apropriada pode dar um melhor entendimento do operador linear. EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES [página 287] 1 Não. T(x +x)=A(x, +x)+Ba(Ax,+B)+(Ax,s+B)=T(x)+Tix,) esecxl, então T(cmM=cAx+Bsc(Ax+B)=cT(x). cosnê —sennã 2. (b) A" = sen nt cos nf 5. (a) T(e ,) e quaisquer dois dentre (e), T(e,) ou T (e ;) formam uma base para a imagem; (= 1, 1,0,1) é uma base para o núcleo. (b) pos (T)=3,nul(T)=1. 6. (a) (1,1,-1) b-1,2Z4) ec (30,0 7 (a)pos(T)=2enul(T)=2 (b) Tnão é injetor. 1 0 0 0 o 010 1. s(T)=3,nul(T)=1. ja. pos (F) nul (1) OL O 0001 l4. (a) v, =2u,+u,,v)=-—u +u +us. vs = Ju, + du; + 2us (b) u=-2v;—2va +va, Mo =5v,+dvo—2vi, uy =—Tvi—5Svo + 3 -4 0 9 = 1 IS. dTe=) 1 0 -2) 2. [Th=|D 100 19.(b)l e x () et e es O 1/1 | 2 20. (a) | 6 (e) » 12 3 (d) 3x2 +3 -2 21. (d) Os pontos estão no gráfico. 538 e e « Álgebra Linear com Aplicações 24. 0100 0 E 6 0010 0 ER 0 0001 0 0 ;00 0 25. |0 0 14 0 0000 0000 0 000 n+1 CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 9.1 [página 294] 1. E 7. (a) p=cet-2oe" (b)y=0 2 ()p= cet Io! (Db)n= —He” “e n=ce"+ ce” »=0 y=2ee” + 23 * »= —xe” — (a) m==0,€" + ce” (b) n=e"-2e* 4 n=las ae” + ce” p= +2ge” — cel n=e—22 422% p=-ge" + cel y=20e* — cyeH 3 =-22 +28 p=-ce" + ce! y=0"+oe) By=qe+qer+ cel CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 9.2 [página 300] 11. 12. 0 — -1 0 10 O - (a) E | (b) 0 4] (e) bo |] (d) jo ] (1-2) DCD (0 (0) (0,1) [o 0 0 L 0/0 -1 00 lo 1 ol qQ)lo -1 ol()j|]o1o jo 0 1 0 0/1 0 01 (a) LD AL -LD (O) (-LID O 10 L 0 0 001 li 0 ol Gylo 0 | (loiro jo 01 Oo 10 -1 0 0 (a) Retângulo com vértices em (0,0), (1,0), (1, — 2), (0, — 2) (b) Retângulo com vértices em (0,0), (= 1,0), (= 1.2). (0, 2) (c) Retângulo com vértices em (0,0). (1. 0). (1, 3). (0. 3) (d) Quadrado com vértices em (0,0), (2, 0), (2,2). (0,2) (e) Paralelogramo com vértices em (0,0), (1,0). (7,2), (6, 2) (1) Paralelogramo com vértices em (0,0), (1, =25. (1. 0), (0, 2) Retângulo com vértices em (0,0), (-3, 0), (0,1), (-3, 1) Ao vã 4 2 “2 0 -1 -1 0 01 2 3 (a) 1 (b) Ê j o [ ' y (d) | ] e. A 20 2 Do 10 1 —2 Lo 6 0 ã (a) Expansão de fator 3 na direção x (b) Expansão de fator —5 na direção y (c) Cisalhamento de fator 4 na direção x 2 0//3 0 (a) o | ho À expansão de fator 3 na direção y , depois expansão de fator 2 na direção x. 8ls— au 2 2» É e =x Respostas dos Exercícios e « o 539 o rol[i 4 (b) | 1 | | : cisalhamento de fator 4 na direção x , depois cisalhamento de fator 2 na direção y. o alfs olfi o (e) | 0 | 0 | o | : expansão de fator — 2 na direção y, depois expansão de fator 4 na direção x. depois reflexão em torno da reta vo olfi ol[i -3 (d) 4 | | É | cisalhamento de fator — 3 na direção x. depois expansão de fator 18 na direção y, depois cisalhamento de fator 4 na direção y. o | * ol Lol CT ul. o A ”, “los 25 [100 o 2|-603+3 6+3/3 16. l6y— 1lx—-3=0 17. (9) y = êx db) y=x (0) 7y= ix (d) y=—2x 18. E É 19. (b) Não. Anão é invertível. 10 0 0 0] o 1 0 22. (9) |0 O 1) Db) |O LO (OIL OO 0 10] 100 o 01 10 k] IL kO 100 23. (a) |0 1 E (b) Nadireçãoxz:/0 1 0]: nadireçãovz: |k 1/0 O 0/1 O kl k 01 24. (a) Ap=1: E iho=-l: || (b) Aj= 1: [fem jo Mm=I: No mil | qa | g=t |O (e) Ap=1: pa 1 (d) = (e) A=1: 1 ( (8 um múltiplo inteiro ímpar de x) À = = 1: (1.0). (0, 1) (8 um múltiplo inteiro par de 7) A= 1: (1,0), (0,1) (8 não múltiplo inteiro de x) não há autovalores reais. CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 9.3 [página 305] Ly=ikix o Ly=Ítiro o 3Sy=2+54-3 0 4 y=-5+3x-4 +02 da tato 8 y=4-(02)x+(0,2)x":; sex= 12, então y = 30,4 (R$ 30.400) CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 9.4 [página 308] sen 21 sen 32 senna 1. (a) (1+7)-2senx—senZ2x (b) tm) -2[sena 4 + O orar ad n a 4 2. (a) am? +4cosx + cos2x + 2 cos 3x — 4m senx — 27 sen2x o sen 3x ” k * senk (b) dm? +45) COSkX = x k=1 k=1 E k I Lo, 1 LG sto Ds 3-€ G- ee — 19) REfo 55 4 (9) 4e-10)+8-6x (b) 5 5. (a) às (b) 1-5 8. 5 É senta) kml 542 e e « Álgebra Linear com Aplicações o] Em = te Er Pes mm l k l rafa . Ls Je aliJe=o om alo Jos of]-o-: 32 - a|p y 2 DP é 0 5 É 4 dE ce E Me ve fi SJ asi lo ] [em -afi]=s=0 o 1||y > 6. (a) Elipse (b) Elipse (ce) Hipérhole (d) Hipérbole (e) Circulo (É) Parábola (2) Parábola (h) Parábola (1) Parábola () Círculo 7. (a) 9x? + 4yº = 36, elipse (b) x? — 163? = 16, hipérbole (0) y” = 8x, parábola (d) 22 + yº = 16, círculo (e) 187 — 12x? = 419, hipérbole (= — ix? parábola 8. (a) Hipérbole; equações possíveis são 3x? — ue +8=0, no +39? +8=0 (b) Elipse; equações possíveis são 7x" + 3y? =9,3 2 + 7" =9 (c) Hipérbole; equações possíveis são a? -yº=3,4y2-xº =3 9. 2x" + x = 6,clipse 10. 13y"” —-g =81, hipérbole H. 2x — 3yt? = 24, hipérbole 12. 6x" + 1y? = 66. elipse 13: dy? -x2=0, hipérbole 14. 29x? — 3y = 0), parábola 15. (a) Duas retas que se cortam, y= x cy=-x (b) Não hágráfico. (c) O gráfico é o único ponto (0,0). (d)O0 gráficoéaretay=a (e) O gráfico consiste de duas retas pardlélda; == + Es =+2. (1) O gráfico é o único ponto (1, 2). 130 313 CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 9.7 [página 321] L()ax+2y]) oz rary—sy (b)I3+T+y—Ixztdyz (O) xytrztyz (Dx ry—z (e) 377 + 3xz (1) 227) +2x2 +93? 1 2.0 Ss = [0 34 1 0 0 0 0 5 o 01 2. (a) |2 E RR Ro 0 -É 4 ado 7 Ligo 0 0 +] 2 03 1 0 2 3 2 L5 & 7 o dr E a (dx val? 2 -5 Es +70 2]|y|-3=0 E dal a [3 1 SF e Gl ya) ai O 2|Iy|+I-5 0 0]|y|-4=0 [5 2 7] E ”, Lol O 5 5 x I 0 Ol |x (Ol yalli o Sllyl-1=0 (Dk sy ajo 1º 0||y|-7=0 1 4 0 z o o —l z [0 O &][x x (lx x alo o o||y|+I0 -14 0]]y]+9=0 é o alle 0 oa x x Ol solo 1 ollyil+2 -13]|y|=0 E O SIE z 4. (a) Elipsóide (b) Hiperbolóide de uma folha (c) Hiperbolóide de duas folhas (e) Parabolóide elíptico (1) Parabolóide hiperbólico (g) Esfera 5. (a) 9x? 4+36yº + 47” = 36, elipsóide (bh) 6x7 4+3y7 — 27º = 18, hiperbolóide de uma folha 2 (0) 3x? — 3y? — 70 =3, hiperbolóide de duas folhas (d) dx? + 9y? -72=0, cone elíptico (e) x? + 167º — 167 = 0, parabolóide elíptico () 7x7 —3yº? +73 =, parabolóide hiperbólico (g) x? Ly? +72? = 25, esfera 6. (a) 25xº — 3yº — 507” — 150 = 0, hiperbolóide de duas folhas (e) 9x”? +4y” — 367º = 0, parabolóide elíptico 7 x 4+y” — 22", hiperbolóide de duas folhas 8 404974227 =4, elipsóide 9 x? -y" 47! =0, parabolóide hiperbólico 10. 6x7 4 3y'? — 8/27" = 0. parabolóide elíptico CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 9.8 [página 325] à. Multiplicações: mpn; adições: mp (mn — 1) 2. Multiplicações: (k — 1) nº; adições: (k— 1) (nº — nº) (b) 2x'? +2y” NE go? Fm (d) x? = 3º +27! = 0, parabolóide hiperbólico 3. n=5 n=10 n = 10 a = MM00O Resolver Ax = b por eliminação de +: 50) +: 3975 | +: 383250 | +: 333.832.500 Gauss-Jordan x: 65) x: 430 | x: 343300 | x: 334,333,000 . = Fa E +: 50) +: 375 | +: 383250 | +: 333.832,500 Resolver Ax=b poreliminação gaussiana |. (5 | 4. 430 | x: 343300 | x: 334333000 - a -n| +: 80) +: 810 | +: 980100 | +: 998.001.000 Encontrar A” por redução de [Alfa [47] (. 555 | x: 1000 | x: 1.000.000 | x: 1.000.000.000 E sa +: 100 | +: 900 | +: 990000 | +: — 999.000,000 RRonlo ta Soho Aa x: 150 | x: 1100 | x: 1010000 | x: 1.001.000.000 : +: 30) +: 285) +: 328350 | +: 332.833.500 Encontrar det(A) através de redução porlinhas) 4, |. 339 | x: 333399 | x: 233333999 = +: 180] +:3135 | +:33.163350 | +:33,316.633 x 10º Resolver Ax = b pela regra de Cramer x:264 | x:3729 | »: 33673399 | x: 33,366733x 10º d. n=5 n=10 R=100 = 1000 Tempo de Tempo de Tempo de Tempo de Execução Execução Execução Execução (segundos) (segundos) (segundos) (segundos) Resolver Ax = por eliminação de -4 -3 Care 1,55 x 10 105 x 10 0,878 836 Resolver Ax = b por eliminação gaussiana 1,55x 107º | 1,05x 107º 0,878 836 Encontrar A”! por redução de [Ala [HA] | 284x 107? | 241 x 107º 2,49 2499 Resolver 4x = b como x = Alb 3,50x 107! | 2,65x 107º 2,52 2502 Encontrar det(A) através de redução por linhas| 1,03x 107? | 821 x 107º 0,831 833 Resolver Ax= b pela regra de Cramer 6,18x 1074 | 90,3x 107% 83,9 834 x 10º Respostas dos Exercícios » «e « 543 (d) Cone elíptico 5 =0, elipsóide 544 e o « Álgebra Lincar com Aplicações CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 9.9 [página 330) 1 xn=2,m=1 2. mn=-ZL,%m= dxmn=4xw=o-l 5 m=-l,x ço x=-—1,x=1,x3=0 8. + = 9, X| =-3,x, =— L,x3 = 2,24 = l Las =-3 3. xwn=3xmw=-—| =1,13=0 —lax=1l,x34= l 10. Xj= 2,x3 =-l,x3= 0,xs =0 200 a WM. (a A=LU=|-2 1 0|lq 0 1 Z E 4 0 0 0 1 0 0][2 0 O|[t 4 — b Aa=LDU=|-1 1 0|lo 1 o0llo 01 | O 001 o o 0 1 O 0)]2 | -1 ()A=Lb=|-1 1 0llo 0 1 Lida 0 O 0 a b l o a b 13. =|c —be 3. (b) a ea 0 ad — be a a SA 14. Adições: 373 E : multiplicações: 3 3 | emjsogo|* = * 18 A=PLU=|/0 0 1]|0 2 0]]0 l 1 1 0 3 01 0 0 | CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 10.1 [página 336] 1. (a-d) 2 (0) (2,3) (b) (4,0) 3. (d)x=-2,y=03 (b)x=2,y=1 4 (9)5+3% (b)-3-7% (4-8 (d)-4-5i (e) 194 14i 5 (0)2+% (b)-l-2Z (e) -2+9% 6 xn=l,mw==2, x3=1 (e) (-3, —2) (0 4 (d) (0, —5) Respostas dos Exercícios « « « 547 7. (a) 120º I = as [as E stray. sm) E pla - f YR [cos (7) +isen(5) | 2 eos ( E ) isen( 3 )| 1. +2,+2i 12. As soluções são =(2!4 + 2145), +(2/4 — 2147) ca fatoração Ez! + 8= (2º — 24; +22). (2º 4 2502 4.233), 13. Girar z por 90º no sentido horário. Id. (a) 16 (b) a 15. (a) Re(z) = -3, Im(2) = 0 (b) Re(z) = -3, Im(z) = 0 (ce) Retz)=0, Im(z)=-42 (d) Re(z)=-3, Im(7)=0 20. cos26 = cos? 6 — sen? 6,sen26 = 2 sent cost cos 34 = cos? 8 — 3sen” & cos 6, sen 34 = 3senfcos? 6 — sen” O CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 10.4 [página 348] L. (a) Gi,-i,—2— 1,4) (b) 3+2,-1-2;,-3+5i,-i) ()(-1-2,2U,2-1-D) (D)(-3+9%,3-3,-3—6,12+3) (e) (=3+21,3,-3-31,0) ()(=1=5i,3i,4,-5) 2 Q+4+1.0-3+1,-4) SR cg=-2-Lo=00=2-1 5. (2) 2 (b) 243 (e) dO (d) 37 6. (2) 4/43 (b) 10+4/29 (e) /10+ 10: (d) 699 (e) (e) (191 8. Todos k tais que lk| = É 9.(a)3 (b)2-27% (5-0 10. O conjunto é um espaço vetorial sob as operações dadas. 548 e e » Álgebra Linear com Aplicações 11. Não é um espaço vetorial. O Axioma 6 falha; ou seja, o conjunto não é fechado na multiplicação por escalar. (Multiplique por f. por exemplo.) 12. (a) 13.0 núcleo de T é todos os múltiplos de (1 + 3i,. 1 +?,-2): nul(F)=1. 14. (b) 15. (a), (d) L6. (a), (b), (dy 17. (a) (=3-=20u + (3 = 0)v + (1 + 2ijw bQ+Du+(-I+dv+(c-l-=iw (c) Ou + Ov + Ow (d) (-5 — diju + (5 — 2i)y + (2 + diw 18. (a) Sim (b) Não (c) Sim (d) Não 19. (a), (b). (c) 20. (abus=iu, (b) Três vetores em um espaço bidimensional. (e) A é um múltiplo escalar de B. 21. (b). (0) 22.1-3g-3h=0 23. (a) Três vetores em um espaço bidimensional. (b) Dois vetores em um espaço tridimensional. 24. (a), (b) 25. (a), (b), (c), (dl) 26. (— 1,- à, 1); dimensão = 1 27. (1, 1 = ii); dimensão = 1 28.(3+6i,-31.1); dimensão = | 29. (Si, —5. 1,0), (—5, 21,0, 1); dimensão = 2 CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 10.5 [página 352] ZM DO DD L-4+5 DO (4-4 (A) 5. (a) Falha o Axioma 4. (b) Falha o Axioma 4. (ce) Falham os Axiomas 2 e 3. (d) Falham os Axiomas 1 e 4. (e) Isto é um produto interno, 6 -9-5i 7. Não. Os Axiomas le 4 falham. 8. Não.FalhaoAxioma4. 9. (a) 2 (b) VTO (0) TO (dO 10. (0) ÃO b2 (045 (DO IV] DUWI DS (DO 12. (0) 3NTO (bd) TS 13. (a) TO (b) 245 14. ()2 (D) 247 15. (9) 2/3 (b)2/2 16. (a) 7/2 (b) 203 17. (a) =; (b) Nenhum 18. (a (b.(c) 20. (b) 21. (b).(c) 2 (00,5). (20.5, 2): (5 3 2i a) (-5 ZM di 2) AM Ar 6 6 46) Àv2i' 21 21 va) TNT TNT i 3 Ii i : = E 24. (a) vi = (= -—). vo = (= 3) (b) vi = (1,0),v = (0,-t) a ones dae Spco) med 0 53 má Ss WU ECT O em=(->,-=,>,> | m=[=,—,—,-— e gq 224" ra aa 0) =) (9 d4i 3 36. u=—,3i u v3ivi + a Respostas dos Exercícios « «e « 549 CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 10.6 [página 358] . ; —2é 4 =Ê = àn dn Lo) * Sagas sa al o)o | ala a l+i 3-7 0 aci! a e =| -i i l 3 djs dm 2 (bldlo) Mk=3+5Sil=im=2-4 4 (a),(b) 3 4 o hi 5 5 3 2 5. == El qm (a) A 1 3 | OA O ai ii NA 2 l—i ao 3-i i i 2 3 24/15 —=(43-) —=(1-3) 3 vs 4.| W2 2/2 E I I 4-—3i OA ea A O4M=|-7 A WE mm (E) + — = (— 3 — ao + sat ) | i Si 2 OS NB P=1+io d-i go E 3 6 3 0 “2 2 40 7, P= à el = = É =1 = El 2| PiAP= | 8 P id PHAP=| 1 vã “6 2º 42 Pat: lã 2 3 e 6 3 nes O «| qa 435 map [55 O Gg pe a Pp aro ] MPS ss spp Para 6 vã Via 4/35 O 1/0 = q des | 0 HW. P= “6 3 |; PiAP= 0 5 0 2 qd 0 E “6 3 EE o sia 2 "2 100 mp=|->- >= =Elsp-lape lo 20 2 É : 003 I 1 | Em: 3 o Oi 13. A= 215; não, pois A tem entradas complexas. 14, | y é uma possibilidade. EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES [página 360] -i 1 3. 1/.10| é uma possibilidade. Ss A=Lw wo (=D) o] |1 CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 11.1 [página 366] 1 (a y=3x-4 db) y=-2x+] 2 (dx +y-dr-6y+4=00ux-2P+(y- 32 =9 (bjx +y)+2x-dy—-20=00u(6 +) +(y—-22=25 552 e e e Álgebra Lincar com Aplicações 3 0,7 0,23 0,273 9 26 1 2. (1) x = |02], x2= 0,52], x = [0,396 3. (a) . (b) j (o |& 0,1 0,25 0,331 7 35 B I 22 a (b) P é regular pois todas as entradas de P são positivas: q = = tal— O (3) I oo 0 (b) P" = | | | com n crescente, de modo que P'x! —> 1 | para qualquer x'º! com n crescente. d. (a) P"= «n=1,2..... Assim, nenhuma potência inteira de P tem todas as entradas positivas. O] io (c) As entradas do vetor limite [| não são todas positivas. = 7 I= tem todas entradas positivas; q = E tá Bio aj tój— el= tól= Ei= ni EI— EI— Sebo Soda tos] oa 8. 547% na região 1, 165% na região 2e 291% na região 3 CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 11.7 [página 403] o 1010 0 0001 Moss 100000 1011 Geo bi LO EO rig Bl COILO MA mo ma oo 1 0 0 0000 00100 0000 0 1 0010 10 2 (a) ? PB (b) £ P (e) À B E P, P, P; B, Pa P; Bs 3. (a) P (b) Del passo: PP, (e) De 1 passo: PSP, De2 passos: PS PSP, De2 passos: P5PSP, PS PSP, De3passos: P5SPBSPSP, De3passos: PS PSP, >P, PS5PSPSP, e PS5BSPSP, é Pj— PB, P=—P, P, BP, 4. (a) (PPP) (bh) [PB PP) (e (Bs, PPP clPs Ps E) 5. (a) Nenhuma (b) (Ps, Py, Po) Respostas dos Exercícios « e « 553 1 | Potência de R = 5 O | Potência de & = 3 7. Primeiro, A; segundo, B e E (empate): quarto, C; quinto, D. 1 | Potência de R = 4 0 Potênciade P, = 2 ooo o — — o — ES ooo CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 11.8 [página 409] 1 (9) -5/8 (DIO 10) (QILOO O” 2. Por exemplo, tome 4 = | |] ] l 3 ()p'=I0 1] e=[5] v=3 (bp'=|0 10) += o) v=2 .v=2 (d)p'=10 10 0] q'= CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 11.9 [página 415] 2 6 78 1. (a) 5] (b) |5 (e) | 54 6 79 2. (a) Usco Corolário 11.9.4: todas as somas de linha são menores do que 1. 3. E* tem todas entradas positivas. (b) Use o Corotário 11.9.5: todas as somas de coluna são menores do que 1. 2 1,9 (c) Use o Teorema 11,9.3, com x= [1] = Cx=|0,9]. l 0,9 4. Preço dos tomates, R$ 120,00; preço do milho, R$ 100,00; preço da alface, R$ 106,67. 5. R$ 1256 parao EC, R$ 1448 para o EE, R$ 1556 para o EM. CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 11.10 [página 420] 1. A segunda classe; $ 15.000 2. $ 223 3.1:1,90:3,02:4,24: 5,00 5. slgrl +g! ++ gi) 6. 1:2:3::-::n-—1] 554 e e e Álgebra Lincar com Aplicações CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 11.11 [página 425] O 110 0330 Lt jo o Laila ]o o db 0000 0000 o eo cel ma O 0,866 1,366 0,500 (O) l-l —l o 0 (d) 10 —0,500 0,366 0,866 3 3 3 3 | 0 0 0 o 2. (b) (0,0,0), (1,0,0), (14,1,0) e (3,1,0) Ed (0) (0,0,0), (1:0,6;0), (1;1,6:0), (0,1,0) LZ l 0 0 -1 0 0 Il 0 o a (lo - ol G<|0 10 AM lo 1/0 o 0 l 001 1 W 0 0 -I [100 ld 4 Lo 0 a ()M=|/02 0) M=/)0 0 0), M;=|0 cos20º —senZ0º |, 00d 00 0 O senZ0º — cos20º " cos(-45) O sen(-45º) O - 0 Mi= 0 | q »M=ll 0 O | —sen(-45") 0 cos(-45º) 0 0 I (b) P'= MMiMâAM,P + Ms) 'o3 0 0 I 0 0 La I 5. (a) M,=/0 05 0], M,=|0 cosdSº —send5], M;=/0 0 0|, [é + O seng5º cos 45º 00 0 cos35º O sen3sº cos(—45º) —sen(=45") O My = 0 I 0 » Ms = |sen(—45º) cos(—45º) 0], |—sen35º 0 cos3s 0 0 Il o 0 0] [200 Ma=|0 0 O), M;=/0 1 0 oca] 9 01 (b) PO= MAMMAM MP + My) + Mg) cosB O senf] [cosa —sena O cost O seng 6. Ri= 0 I O |, Ry=Iseno cosa Ol, Ry= 0 l 0 —senB O cos 8 | h o 0 l —seng O cosá cosa sena O] cos8 O —senÊ Rs=|-seng cosa Ol, Rs= 0 Il 0 0 0 | [| sen 8 o cos 8 Respostas dos Exercícios «- « «e 55T 4. (c) As cinco primeiras iteradas de (ir. 0) são (ir. or). (ro or). (re mr). (o DE) e (o DD. ã 2 SR 6. (b) As matrizes de automorfismos de Anosov são | | e | ] (c) A transformação produz uma rotação de $ por um ângulo de 90º no sentido horário. 9. (0.0) (121) (1) (0,0) (12,0) (1,0) a 0 a 0 a mil a —1 egião |: = : na região II: = : eião TH: = ; na região IV; = : Na região I | | na região II [o - ] na região IH | [E] na região 1 N [5] 12. (5 3) e ER 3) formam um 2-ciclo e (E, 1) e (E, E) formam um outro 2-cielo. CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 11.16 [página 471] 1. (a) GIYUOKEVBH (b) SEINEFZWIJH 2 7 Las fas b) Não invertív » =) os 2. (a) À [5 á (b) Não invertível (C)A a à (d) Não invertível (e) Não invertível df) A! = E a 3. WELOVE MATH 5 d. Matriz decodificadora = fe pra codificadora = E E] tm . THEY SPLIT THEATOM 6. 1HAVE COME TO BURY CAESAR 7. A é invertivel módulo 29 se, e somente se, det (A) + O (mod 29). CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 11.17 [página 478] + Eq Esjo —— = ' = o | Ss & = p= md 2 bi=5 n=1,2, bi=+| quandon > = n=1-(3)" (a9- 0) > 5 2 Il Rec ai BE cmi Au = 5 + suar (Zug — bo — dica) E a é o(a (Edo — Do — co) l 3. l l n=0,1,2 bm =— n=1,2 ” bas == — d puiidog ia dm 1& Pn =5— gap (2a — by — 4co) 2 l l en =0 Cm = — gran (200 — bo — deco) 558 e e e Álgebra Lincar com Aplicações 5. 12 gerações: 0.006 % E I E 3 + ama ll3 = SIA VS 4 (34 5) — 5 pt I San e q nt l I 0 d+ 54-57] E 6. xl) me 2 . et) edge I Ê 0 sal oSP + 5] à sal NS 5) 1 I Il n+1 n+1 3 + 5mall3= ADI + St! + (3 + SA — St CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 11.18 [página 484] l L()A=2 x= : a 100 175 250 382 s70 (1) = DD — (3) — (di) f$) hj asd | | a =| E] se | a am Ds) io [5 857 853 6 = pd = (im 3 td = (ce) x Ex e) x AX Ei 7 2,375 8. 1,49611 CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 11.19 [página 489] I 1. (a) Rendimento = 33 1% da população; x, = : E l (b) Rendimento = 45.8 % da população: x, = k : é colhida 57,9 % da faixa mais jovem. 8 1,000] [2,090 7 0,845 0,845 0,824 0,824 0,795 0,795 0,755 0,755 0,699 0,699 1,089 +0,418 z. a + Ex = + => = 0,19 “= gas) PAS am 7.584 Deda 0,532 0,532 0 0,418 0 0 0 O Lo 0] L 0] quando n — co 8. oo = sos 9295 -—“929S Respostas dos Exercícios « « « 559 4. hi=(R— DMasbibo---bra + +anbibace: ba) o at aby ++ (asabibaee-by-a) — 1 . ebyda : “br os +as-byho ve Byoa 5. hy CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 11.20 [página 493] E 4 1. T + dcost+cos2t + 5 cos 3t à e Ep I E 1 Ba i Eua 7º 24) E a! 6m,,] Sm, Ea (o 2 33 08 7 2 (sen 5 en 3 Sen 75 3 = À sent E cos 2r E cos dr “x 2 37 15 4/] l 1 l l 4 —|--—— cost— — c0s2 — —— cos3l— «..— ———————>— cos nt x (> LE GO s7* rar cost) 5 T 8T/I SgE 2mt E I ço mt l co 1Omt ER l sã 2nxt 5 —-=[([= — +— cos ; .. g 4 mi2 T 6 T 102 T (20)? E CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 11.21 [página 499] 1, (a) Sim: v= (e) Sim; v= Gvi + iva + Oy; (d) Sim: v= vi + Eva + vs > - vi Eva vs (b) Não; v= vi + é — qr tres 2. m= número de triângulos = 7, n = número de pontos de vértice = 7. k = número de pontos de vértice na fronteira = 5; a Equação (7) €7=2(7)-2-5. 3a w=Mv+b=Mtevrow+rov)+te+e-+e)b=c(Mv+b)+e(Mv+b) + ctMva+b)=ciwj+cw+caw: 4 (a) vi * (db) % “a EE a pa NX Va * Ya Y O ou=o iJo=[5] com-[ Ja-[1] 7. (a) Dois dos corficientes são zero. (b) Pelo menos um dos coeficientes É zero. (c) Nenhum dos coeficientes é zero. Lo x E in 19 tot- 8. Vi + iva + av3