Edp Problema da corda vibrante

Edp Problema da corda vibrante

U(x,t=0)=U(x)=f(x) A função f(x) é.

Lxxxf xxxf xLh x

A equação de onda para o problema é;

txu vx usando o méto das separação de variáveis, tomemos como hipótese que a sulução que satifaça a equação de onda acima seja da forma u(x,t)=A(x)B(t), o produlto de duas função na viáveis x e t. Já qua esta é uma solução para esta wquação, vamos subtistuilá na equação acima, equação (1).

tBd xA

vdx xAd tB tBxA vx tBxA

Dividimos por um fator u(x,t)=A(x)B(t), afim de colocarmos em uma forma que dependa das variavéis x e t separa das.

tBd

tBxA xA vdx xAd tB tBxA assim

tBd vtBdx xAd xA tBd vtBdx xAd

xkA dx xAd k xAd

(2)

1 vtkB tBd k tBd

(3)

vtB

Vamos agora partir para o problema de achar as condições de contorno do problema (Atenção, essa condiçães de contorno são semehante para o problema da corda vibrante.)

Vemos que as duas extremidade da corda estão fixas, assim, u(x=0,t)=u(x=L,t)=0 para quaisquer instante de tempo, elas sempre permanece fixo. No instante de temo t=0 temos que u(x,t=0)=u(x)=f(x) ou seja uma função, como está demostrado assima. Nesse mesmo instante de tempo t=0 a velócidade igual a zero ou seja a deriada de u(x,t=0) nesse instante de tempo e

dx txdu (Atenção, essa condiçães nem sempre são assim podem haver condições em que a derivada de u no instante de tempo t=0 tenha um valo nesse instante de tempo.). Assim as condições de contorno são.

txv dx txdu xfxutxu tLxu txu

Aplicando as condições de contorno acima na solução, que estamos supondo ser u(x,t)=A(x)B(t), temos.

diferente de zero, sendo agora B(L)=0. Aplicando a terciera e análisar u no instante de tempo t=0. U(x,t=0)=f(x). A quarta e análisar a velicidade nesse mesmo instante de tempo t=0, que nesse problema estamos supondo ser igual a zero. Reunido tudo teremos.

dx txdu xfxu LA A

Agora vamos resolver as edo separadas nas suas repectivas variáveis.

A primeira é.

xkA dx xAd , vamos supor que sua solução seja da forma mxexA )(, aplicando essa soposta solução, que claro e uma solução, teremos.

kmkmkmekemem ed mxmxmxmx

2 , duas soluções, asiim a solução total e a soma das duas, principio da solução.

tBd , e análoga a primeira assim, supomo novamente a mesma solução, e veremos que a mesma solução obita para A, mas m será igual a, m=kv.

ktvktv totaleaeatB 10)(, navariável t.

Assim a solução será.

Vamos aplicar as condições de contorno obtidos em (5), mas podemos usar a (4), ambas produzirão as mesmo resultados, faça o teste, use a (4) em vez da (5).

kxkx total kxkx total kxkx total kxkx total kxkx total k total e kxakxxA a e xAaaa e xAaeexA eaeaxAaaaaaaeaeaA

Assim teremos.

ktvktvktvktv eaeakxtxuaaa aaaeaaeaakxtxueaeaakxtxu

Assim teremos.

Aplicando a segunda condição em (9), ou aplicando (4) em (10), teremos. 0)( LA (ou, 0),( tLxu se vc aplica a segunda condição de (4) em (10)).

0)sin()(0 akLLxAtotal, observe que 0a tem que obbrigatória mente diferente de zero, pois se admitirmos 0a igua a zero teremos como solução final para u, uma solução trivial, de que ele teria que ser obrigatóriamente zero, ou seja, u=0. Assim para que isso não ocorra teremos que escolher , 0)sin( kL, quando isso acontecer significa que kLtem ser nescessáriamente multiplo inteiro de .

Assim teremos, em (10).

tv L n tv

Ln eaeax n txu

Como u depende agora de um inteiro n qualquer, teremos uma gama de solução para esse problema, assim a solução total, e álgo muito conhecido dos físicos, o príncipio da superposição, a soma do todas as soluções.

tv L n tv

n eaeax L n txutxu você notará que partimos do indice n=0, porque temos apesá de ser muito óbvio a solução trivial u ser nescessáriamente sero, por conveniência decedi para do n=0, mas pode paratir do n=1, dai vc tira essa solução trivial.

tv L n tv

n eaeax L n txutxu

Vamos agora deriavar essa equação a (1.a) em relação a tempo.

tv L n tv tv L n tv n n tv L n tv n n tv L n tv n n e L vn ae vn ax

Lndt txdu e L vn ae vn ax

Lndt txdudt txdu e dt d ae d ax

Lndt txdudt txdu eaea dt d x

Lndt txdudt txdu vn eaeax

Lndt txdu n tv L n tv

Aplicando a quarta condição de (4) em (12).

vn aax n in vn aax vn aax

LnL vn eaeax

Lndt xdu v L n v

Assim temos.

n n tv L n tv tv L n tv tv L n tv n n a e x n txu aeex L n eaeax n txutxu

E por que de na, bom são n ),(txun que satisfaz a edp de onda e só agora descobrimos que

10aa , e tudo agora fica em termos de uma única constante que o chamado na, olha no somatório, n funções tem que ser constante multiplicando essas n funções.

Assim fica.

n n tv L n tv n n tv L n tv at L vn x n txu vtneea e x n txu

Assim encontrarmos deois de aplicar três das quatro condições de contorno.

n a L vn x

(12)

Aplicando a quarta e última, que é a terceira condição de (5) em (12), teremos. )()0,(xfxu

n n n n ax L n xu vn x n xuat vn x txu

Assim temos. Mas não sabemos quem são esse na, essa etapa agora e justamente para encontrá-lós. Multiplicando anbos os lados da equação (13) por )sin(x L temos, e integramos no intervalo de .0Lx n n n n n n ax L m x n dxdxxux m ax m x n xux ax L n x m xux m xfax n xu

n n dxxfx L m ax m x n dxdxxux dxax L m x n dxxfx n n

Mas dxaL dxxfx m dxx m x nmn n

nmn n aL dxxfx

A delta filtara a soma, como , somente os termos que tem indice iguais passam, m=n.

nmmmmm mmmmmmmmnmnn nmnn nmnn aaaLaLaLaLaL mnquando por exemplo

1aaaaaaaaaaam

a delta mas ou menos que age como uma espécia de filtro que só deixpassar os valor onde m=n.

aL dxxfx

Assim.

L n dxxfx

Lm L

Assim que encontarmos os na, agora vamos calculalos ultilizando a f(x) do problema.

Lm xL xLh dxx

Lmxhx L dxxfx

Lm L

dxx L m x dxx

Lm xL hL dxx m x hL adxx

Lm xL xLh dxx

Lmxhx L

L x

Lx xn Lx x n

A integral :

m kdxkxxdxx

c kkxk kxx dxx

c k kx dxkxdxx

dxkxx xL h dxkx hL dxkxx hL a dxx L m x h dxx

Lm xL hL dxx m x hL a

LxLx x n

LxLx x n kkxk kxkxkkLk kLL xL h kkxk kL xLhLkkxk kxxx hL a k kxk kxx xL hk kx xLhLkkxk kxxx an n kkxk kxxkkLk kLL xL h kkxk kL xLhLkkxk kxxx hL an kkxk kxxkkLk kLL xL h kkxk kL xLhL kx kxh kx kxhxL an

nkLlembrando xLxk kxhsen xLhL xL hL kL xL x xL Lk hkxL a kkxk kxxkkLk kLL xL h kkxk kL xLhL kx kxh kx kxhxL an n n k xLx Lk kxhsenL a xLx Lk kxhsen kL k hkxL a xLx xLxk kxhsen xL xLk hkxL a n n

L x n h xLx Ln

L x

Assim encontramos os a n.

L x

Após encontarmos os a n, e só colocarmos na solução que já encontarmos, que e dada pela expressão em (12).

n a L vn x

L x

Assim;

L x n h vn x n txu

Solução do problema é.

x LnL vn x

Ln nxLx hL txu

Assim para este problema (15) e sua solução.

Roteiro

Roteiro para resolver problemas da mesma forma Problema da corda com condições de contornosão dadas por.

Condições de comteorno; xGtxv dx txdu xfxutxu tLxu txu

Solução da Edp da Onda, já separada, para as condições acima; tv L n tv

n aeex L

Os a n são;

L n dxxfx

Lm L

Obs: Nas condições de contorno o (1) e (2) significa que as extremidade das cordas estão sempre fixas, e portando com o passar do tem t, elas não semovem.

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