Baixe Fisica elementar vol 3 Fisica - 1 e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Física Elementar - Volume 3 Universidade Federal do Pará - ICEN - FACFIS o O O Colegiado do Curso de Licenciatura em Física Modalidade a Distância C E D E R J 9 A U LA 2 1 M Ó D U LO 3 Universidades Consorciadas Governo do Estado do Rio de Janeiro Secretário de Estado de Ciência, Tecnologia e Inovação Governadora Wanderley de Souza Rosinha Garotinho UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO Reitor: Raimundo Braz Filho UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitor: Nival Nunes de Almeida UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitora: Malvina Tania Tuttman UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO Reitor: Ricardo Motta Miranda UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Reitor: Aloísio Teixeira UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Reitor: Cícero Mauro Fialho Rodrigues UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ SECRETARIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE FÍSICA REITOR Prof. Dr. Carlos Edilson de Almeida Maneschy VICE-REITOR Prof. Dr. Horacio Schneider PRÓ-REITORA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO Profa. Dra. Marlene Rodrigues Medeiros Freitas COORDENADOR GERAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Prof. Dr. José Miguel Veloso DIRETOR DO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS Prof. Dr. Mauro de Lima Santos COORDENADORA DO CURSO DE FÍSICA À DISTÂNCIA Profa. Dra. Fátima Nazaré Baraúna Magno Este material foi gentilmente cedido pelo Consórcio CEDERJ,para o uso restrito da Licenciatura em Física na modalidade a distância sem ônus para a UFPA. C E D E R J 9 A U LA 2 1 M Ó D U LO 3 Aula 7 – A fl utuação dos corpos .............................................................................................169 Prática 2 .......................................................................................................................169 E para terminar... .................................................................................................................177 Complementos Complemento 1 – O centro de massa .........................................................................179 Complemento 2 – Propagação de erros .......................................................................181 Complemento 3 – Construção de um gráfi co ...............................................................185 Referências Bibliográfi cas ..............................................................................................187 Agradecimentos ...................................................................................................................189 C E D E R J 9 A U LA 2 1 M Ó D U LO 3 Recomeçando... As medidas experimentais e as observações terrestres Você está recebendo agora o material referente ao terceiro módulo da nossa disciplina. No Módulo 2, tentamos entender de forma qualitativa e descritiva fenômenos associados aos corpos celestes do Sistema Solar. Aprendemos que todos os planetas giram em torno do Sol em órbitas elípticas, que a inclinação do eixo da Terra em relação à sua órbita em torno do Sol é a responsável pelas estações do ano; que as fases da Lua estão associadas ao seu movimento em torno do Terra; que as marés dependem das posições da Lua (em maior escala) e do Sol (em menor escala) em relação à Terra; que o sistema solar surgiu de um colapso gravitacional de uma nuvem de gás e poeira em rotação etc. Neste módulo, estamos interessados em descrever quantitativamente os movimentos de sistemas simples e entender as suas causas. Nele, iniciaremos o estudo da teoria denominada Mecânica da Partícula. A escolha dos conceitos relevantes para a descrição dos movimentos e o estabelecimento das leis que explicam suas causas constituem um exemplo belíssimo de modelagem da Natureza construída por cientistas brilhantes como Kepler, Galileu, Newton etc. As Leis da Mecânica da Partícula foram apresentadas por Newton no seu livro Philosophiae naturalis principia mathematica. As aulas deste módulo devem ser complementadas por leituras e exercícios dos livros de Antonio Máximo e Beatriz Alvarenga: Física – volume único, e do Gref: Física 1. Este módulo foi programado para ter duração média de três semanas e meia. É constituído de sete aulas, é iniciado por este texto, Recomeçando...(que você está lendo agora) e acaba no E para terminar... As aulas são: 1. A descrição dos movimentos 2. Os vetores e suas bases 3. Cinemática vetorial 4. O que muda o movimento 5. Leis de Newton 6. Outros tipos de movimento 7. A fl utuação dos corpos Ao fi nal do módulo, você encontrará também um complemento sobre o centro de massa, outro complemento sobre incertezas experimentais e a bibliografi a. A descrição do movimentoINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 12 O que sei sobre partículas, trajetórias e os vetores deslocamentos? As questões apresentadas a seguir têm como fi nalidade investigar e organizar os seus conhecimentos e idéias prévias sobre partículas, trajetórias e vetores. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas às questões. Não consulte livros ou notas de aulas, mas não deixe de respondê-las. A comparação entre suas idéias e conhecimentos sobre partículas, trajetórias e vetores antes e depois de trabalhar esta aula é importante para o seu aprendizado. Questionário 1 1. O que é uma partícula? 2. Quando um corpo pode ser tratado como partícula? Dê exemplos. 3. O que é a trajetória de uma partícula? 4. O que é um referencial? 5. O que é um observador? 6. O que são coordenadas cartesianas planas? 7. O que são coordenadas cartesianas tridimensionais? 8. Qual a defi nição do vetor deslocamento? 9. Qual é a regra para somar vetores? 10. Qual é a regra para multiplicar um vetor por um número real? 11. Quais as propriedades da soma de vetores e da multiplicação de um vetor por um número real? A descrição do movimento C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 1 13 Todo movimento é relativo, isto é, depende de quem observa. A escolha do ponto de observação é muito importante na descrição dos movimentos dos corpos. Por exemplo, em um parque de diversões, a carrocinha (objeto de estudo) do pipoqueiro está em repouso para a criança (observador 1) que espera pacientemente a sua pipoca, está se deslocando em linha reta para a mãe (observador 2) que acompanha o fi lho no passeio do trenzinho e está girando em alta velocidade para o adolescente (observador 3) que está no círculo da morte. Partículas e suas trajetórias Na Aula 2 do Módulo 2 foram apresentadas as teorias de Ptolomeu e Copérnico sobre o Sistema Solar. A Teoria de Ptolomeu afi rma que o Sol e todos os planetas giram em torno da Terra e a Teoria de Copérnico diz que são os planetas que giram em torno do Sol. Uma pessoa com pouca cultura científi ca ao ser questionada se é a Terra que gira em torno do Sol ou se é o Sol que gira em torno da Terra responderá que é o Sol que gira em torno da Terra. Todos os dias, todos observam o Sol se deslocar no céu do Leste para o Oeste. Afi nal de contas, é a Terra que gira em torno do Sol ou é o Sol que gira em torno da Terra? As duas respostas estão corretas, porque a pergunta está incompleta. Para se descrever o movimento de um corpo é necessário se defi nir o que (objeto de estudo) está se observando e quem (observador) está observando. Na pergunta anterior, o observador não foi especifi cado. Para um observador fi xo na Terra, é o Sol que gira em torno da Terra. Todavia, para um observador fi xo no Sol é a Terra que gira em torno do Sol. O que é incorreto é dizer que todos os planetas e o Sol giram em círculos em torno da Terra. Na Aula 1 do Módulo 2, foi apresentado o argumento utilizado por Galileu para demonstrar que a órbita de Vênus em torno da Terra não podia ser circular. A descrição do movimentoINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 14 Portanto, podemos concluir que a descrição de um movimento é diferente para diferentes observadores, isto é, todo movimento é relativo a um observador. Além disso, existem pontos de observação onde a descrição do movimento é mais simples. No caso do nosso exemplo, ele é mais simples para o menino que está esperando a pipoca. Por isso, quando for possível, escolheremos o ponto de observação que permita a descrição mais simples do movimento. Do ponto de vista prático, nem sempre é possível analisar o movimento de um ponto de observação onde a sua descrição é a mais simples. Por exemplo, na ocasião em que foram feitos os estudos para descobrir qual era o movimento dos planetas, as observações só eram possíveis da Terra. No entanto, a descrição do movimento dos planetas é mais simples com o ponto de observação no Sol. Um corpo pode ter um movimento simples, como no caso de um pequeno pedaço de giz que é arremessado por um estudante para atingir o seu colega de classe, ou um movimento mais complicado, como um atleta de saltos ornamentais que se encolhe após pular de um trampolim. O giz se desloca no espaço sem girar e sem se deformar e o atleta se desloca no espaço girando e deformando. Figura 1 – Movimento de translação. Figura 2 – Movimento de translação e rotação. PARTÍCULA TRAJETÓRIA A B A B Nesta aula, defi niremos os conceitos relevantes para a descrição dos movimentos de corpos que se deslocam no espaço sem girar e sem deformar (Figura 1). Neste caso, o conhecimento da forma do corpo e do movimento de um dos seus pontos (por exemplo, do ponto A) permite a descrição completa do seu movimento (Figura 1). Dizemos nesse caso que o corpo pode ser tratado como uma partícula. PARTÍCULA é um modelo utilizado na descrição do movimento de um corpo em que se supõe que toda a massa do corpo está em um ponto. A linha gerada pelo deslocamento de uma partícula é denominada de TRAJETÓRIA. A descrição do movimento de corpos que transladam e giram (Figura 2) só será apresentada na disciplina de Física I. Em algumas ocasiões, quando estamos interessados em descrever parcialmente o movimento de um corpo, podemos tratar sistemas que giram e deformam como partículas. A A B B A descrição do movimento C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 1 17 OBSERVADOROBSERVADOR: é um agente físico em um referencial capaz de realizar medições. Ele pode ser uma pessoa ou aparelho programado para medir. P4 – O que são COORDENADAS CARTESIANAS PLANAS? P5 – O que são COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS? P6 – O que é UM REFERENCIAL? P7 – O que é UM OBSERVADOR? Leituras e exercícios 1 Leitura Leia sobre os assuntos Conceito do movimento na seção 2.1 do Capítulo 2 do livro de Antonio Máximo e Beatriz Alvarenga, Física - volume único. Dessa mesma seção resolva os exercícios de fi xação de números de 1 até 6. Figura 6 – Carrinho em um trilho de ar. Exercício 1 A Figura 6 é uma cópia da foto estroboscópica de carrinho que se desloca em um trilho de ar da esquerda para a direita. 1. Neste movimento, o carrinho pode ser tratado como partícula? Justifi que a sua resposta. 2. Escolha um dos pontos do carrinho (A) e desenhe a sua trajetória para o referencial S fi xo no trilho e com os eixos coordenados OXY desenhados na Figura 6. 3. Meça na Figura 6 a coordenada x do ponto A para o sistema de referência S representado pelos eixos coordenados OXY desenhados na Figura 6. 4. Faça um gráfi co de x versus t para o carrinho. O intervalo de tempo entre as fotografi as é o mesmo. Considere este intervalo como unitário. Utilize papel milimetrado. 5. Repita os itens de 2 até 3 para o ponto A e para o referencial S´ fi xo na Terra com eixos O´X´Y´. Veja o Complemento 3 “Construção de um gráfico”. A descrição do movimentoINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 18 Exercício 2 A Figura 7 é uma cópia da foto estro- boscópica de uma esfera em queda livre. 1. Neste movimento, a esfera pode ser tratada como partícula? Justifi que a sua resposta. 2. Escolha um dos pontos da esfera (A) e desenhe a sua trajetória para o referencial S fi xo na Terra e com os eixos coordenados OXY desenhados na Figura 7. 3. Meça na Figura 7 a coordenada y do ponto A para o sistema de eixos coordenados OXY desenhado na fi gura. 4. Faça um gráfi co de y versus t da esfera em função do tempo. O intervalo de tempo entre as fotografi as é o mesmo. Considere este intervalo como unitário. Utilize papel milimetrado. 5. Repita os itens de 2 até 3 para o ponto A e para o referencial S´ fi xo no trilho com eixos O´X´Y´. Figura 7 – Queda livre de uma esfera. Figura 8 – Esfera arremessada. Exercício 3 A Figura 8 é uma cópia da foto estroboscópica de uma esfera que foi arremessada de uma plataforma de madeira. A descrição do movimento C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 1 19 1. Neste movimento, a esfera pode ser tratada como partícula? Justifi que a sua resposta. 2. Escolha um dos pontos da esfera e desenhe a sua trajetória para o referencial S fi xo na Terra e representado pelos eixos coordenados OXY desenhados na fi gura 8. 3. Meça na Figura 8 as coordenadas (x,y) do ponto A para o referencial S. Faça os gráfi cos x versus t e y versus t para a esfera. O intervalo de tempo entre as fotografi as é o mesmo. Considere este intervalo como unitário. Utilize papel milimetrado. 4. Repita os itens de 2 até 3 para o ponto A e para o referencial S´ fi xo na plataforma com eixos O´X´Y´. Vetores Vetor deslocamento Iniciaremos a nossa discussão sobre vetores analisando deslocamentos entre dois pontos. A B Figura 10- O menor caminho entre dois pontos em uma superfície esférica. A B Figura 9 – Menor caminho entre dois pontos de um plano. Em um plano, o menor caminho entre dois pontos é uma linha reta. Na Figura 9 representamos o menor caminho entre os pontos A e B localizados em um plano. Em um espaço curvo, o menor caminho entre dois pontos não é uma reta. Por exemplo, em uma superfície esférica o menor caminho entre dois pontos é um arco de círculo. A Figura 10 mostra o menor caminho entre os pontos A e B de uma superfície esférica. A descrição do movimentoINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 22 Consideraremos iguais os deslocamentos com a mesma direção, o mesmo módulo (tamanho) e o mesmo sentido, independente do fato de eles serem aplicados em pontos diferentes (pontos A e B da Figura 14). Figura 14 – Deslocamentos iguais. Figura 15 – Deslocamentos. Figura 16 – Soma de deslocamentos. Apesar de o menor caminho entre dois pontos ser uma reta, nem sempre na vida prática é possível se deslocar em linha reta entre dois pontos. Por exemplo, o muro que cerca o terreno representado da Figura 15 impede o deslocamento retilíneo de uma pessoa entre os pontos C e D. Nesse caso, o menor caminho entre os pontos C e D é constituído por dois deslocamentos retilíneos. O primeiro deslocamento é um segmento reta orientado que vai de C para E com tamanho e o segundo é um segmento de reta orientado que vai de E para D e tem tamanho (Figura 16). Dizemos que se deslocar de C para E a seguir se deslocar de E para D é equivalente a se deslocar diretamente de C para D. Na Figura 16 está representado o segmento de reta orientado associado ao deslocamento de C para D ( ). A descrição do movimento C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 1 23 Na realidade, podemos pensar que os deslocamentos foram “somados”, onde somar dois deslocamentos signifi ca encontrar um deslocamento que permita sair diretamente do ponto de origem (C) até o ponto de chegada (D). Na prática, isto signifi ca fazer as seguintes operações: 1. Ligar o fi nal do segmento de reta orientado que representa o primeiro deslocamento (parte com a seta) com o início do segmento de reta orientado que representa o segundo deslocamento (parte sem a seta na Figura 17-a); 2. Ligar o início do segmento de reta orientado que representa o primeiro deslocamento (parte sem a seta) com o fi nal do segmento de reta orientado que representa o segundo deslocamento (parte com a seta). Figura 17-b – Soma de deslocamentos. Na Figura 17-b estão representados os deslocamentos sucessivos e e a sua soma, que é o deslocamento . A representação simbólica da operação descrita acima é . Atividade 1: Transforme os quatro metros de pedreiro da sua “Caixa de experimentos” em segmentos de reta orientados da seguinte forma: corte três triângulos de papelão. Cole-os em uma das extremidades do metro de pedreiro. O fi nal do segmento de reta orientado vai coincidir a ponta da seta. A ponta da seta deve coincidir com uma das extremidades do metro de pedreiro. O início do segmento de reta orientado pode ser marcado com um palito. Figura 18 – Metro de pedreiro transformado em segmento de reta orientado. A descrição do movimentoINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 24 Atividade 2: Faça com os metros de pedreiro já transformados em segmentos de reta orientados as seguintes somas de deslocamentos: . Lembre-se de que somar deslocamentos é repetir as operações 1 e 2 defi nidas anteriormente e representadas nas Figuras 17-a e 17-b. Os deslocamentos estão representados na Figura 19. A unidade de medida defi nida pelo quadriculado da Figura 19 vale 20cm. Figura 19 – Atividade 2. A Figura 20 mostra que a aplicação sucessiva dos deslocamentos e ao ponto A produz o mesmo ponto D, independentemente da ordem em que os deslocamentos ocorrem. Figura 20 – Regra do paralelogramo. Podemos deslocar com até B e com até D ou com até C e até D. Isto é, a soma de dois deslocamentos é comutativa. A Figura 20 mostra que o desenho que descreve as somas e é um paralelogramo; dizemos que os deslocamentos se somam pela regra do paralelogramo. P8 – QUAIS SÃO AS INFORMAÇÕES NECESSÁRIAS PARA CARACTERIZAR COMPLETAMENTE UM deslocamento? P9 – COMO SE SOMAM DOIS DESLOCAMENTOS? A descrição do movimento C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 1 27 São estas propriedades que permitem uma manipulação algébrica simples dos números reais. Com elas podemos inverter a ordem dos fatores na soma e na multiplicação, associar e desassociar elementos de uma soma, fatorar expressões colocando os termos comuns em evidência, distribuir o produto sobre a soma de números reais, trocar de lados elementos de uma igualdade e de uma desigualdade etc. A operação de soma e a multiplicação de um vetor por um número real apresentam algumas das propriedades da soma e da multiplicação dos números reais. Listamos algumas destas propriedades a seguir. . A comutatividade da soma de vetores já foi demonstrada. Ela permite trocar a ordem dos vetores em uma soma. . O vetor é o elemento neutro da soma de vetores. Ele é um vetor com módulo zero. . A aplicação da regra do paralelogramo aos vetores e mostra que o elemento simétrico de um vetor é o vetor . -a a Figura 24-a – Elemento simétrico. Soma de um vetor com o vetor simétrico do vetor defi ne a subtração de vetores. Ela é denotada de forma simplifi cada como . Para realizá-la é sufi ciente aplicar a regra do paralelogramo aos vetores e . Figura 24-b – Subtração de vetores. A descrição do movimentoINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 28 Atividade 6: Utilize os deslocamentos representados na Figura 19 para fazer com os metros de pedreiro a subtração de deslocamentos . . A propriedade de associatividade da soma de vetores é facilmente observada na Figura 25. Figura 25 – Associatividade da soma de vetores. As propriedades 1 e 4 permitem escrever a soma de vetores sem os parênteses, uma vez que a ordem em que os vetores são acionados não altera o resultado, isto é, . . A verifi cação da propriedade 5 é imediata, uma vez que: O vetor tem a direção do vetor e o módulo . Se o sentido de é igual ao de , e se for negativo o sentido é contrário. O vetor tem a direção do vetor , que é a mesma do vetor , e módulo . O sentido de será igual ao sentido de se , e contrário se . Por exemplo, suponha que e , neste caso o vetor tem o sentido contrário ao do vetor e o vetor tem o sentido contrário ao do vetor , sendo o seu sentido igual ao sentido do vetor . No caso em que e tem o sentido contrário ao sentido do vetor e o vetor tem o mesmo sentido do vetor , sendo o seu sentido contrário ao sentido do vetor . O vetor tem a direção do vetor e o módulo igual a . O seu sentido será igual ao sentido de se , e contrário se . A comparação entre os módulos, as direções e os sentidos dos vetores e mostram que eles são iguais. A descrição do movimento C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 1 29 A propriedade 6, que permite distribuir o produto de um número real sobre a soma de vetores, é fácil de demonstrar utilizando-se propriedades de triângulos semelhantes. Vamos supor inicialmente que . Figura 27 – Desigualdade triangular. Figura 26 – Distribuindo o produto sobre a soma de vetores. A Figura 26 mostra o triângulo 123 construído com vetores , e com o vetor . O triângulo 146 foi construído prolongando-se os lados e e passando pelo ponto 4, que dista do ponto 1, uma reta paralela ao vetor . Ele é semelhante ao triângulo 123, uma vez que todos os seus ângulos são iguais aos ângulos do triângulo 123. A semelhança entre os triângulos permite escrever as relações: Por isso, o segmento de reta orientado é o vetor , o segmento orientado é o vetor e o segmento orientado é o vetor . O triângulo 146 defi ne a soma dos vetores e tem como resultado o vetor , isto é, . A propriedade 6 está demonstrada para . A demonstração para é análoga e não será apresentada. P11 – POR QUE OS ÂNGULOS DO TRIÂNGULO 123 E 146 SÃO IGUAIS? . A propriedade 7 é uma conseqüência imediata da regra que defi ne a soma de vetores e das propriedades geométricas de um triângulo. A Figura 27 mostra o triângulo construído com os vetores , e . A descrição do movimentoINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 32 Exercícios programados 5 Exercício 1 Projete o ponto na direção da reta a seguir: Exercício 2 Projete o ponto A na direção dos eixos OXY e encontre as coordenadas do ponto. A A Y O X O Exercício 3 Represente os pontos alcançados por três partículas que sofrem deslo- camentos retilíneos a partir da origem indicada a seguir. a. A primeira se desloca 2cm da origem. Onde ela está? b. A segunda se desloca 2cm da origem na direção da reta representada ao lado. Onde ela está? c. A terceira se desloca 2cm da origem na direção da reta representada ao lado, de baixo para cima do papel. Onde ela está? Conclusão: Para se determinar univocamente um deslocamento é necessário fornecer: _____________________, __________________________ e ___________ ____________. Exercício 4 Assista à minipalestra A descrição do movimento. Ela está disponível no site: http://tv.ufrj.br/ladif. A descrição do movimento C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 1 33 A Reta ao longo da qual desejamos projetar o ponto A Projeção do ponto A Ay A Ax x y Gabarito Exercício 1 Projete o ponto na direção da reta a seguir: Projetar um ponto na direção de uma dada reta é traçar uma reta perpen- dicular a essa reta, que passe pelo ponto que se deseja projetar. O ponto onde ocorre a interseção entre as duas retas é a projeção do ponto A: Exercício 2 Projete o ponto A da direção dos eixos OXY e encontre as coordenadas do ponto. Da mesma forma que no exercício anterior, as projeções do ponto A são obtidas traçando retas perpendiculares aos eixos x e y, que passam pelo ponto A. As projeções do ponto A são os pontos de interseção dessas retas com os eixos coordenados: As coordenadas do ponto A são as distâncias entre a origem e as projeções do ponto. Por exemplo, se o ponto projetado estiver na parte negativa do eixo a coordenada será negativa. Se as unidades dos eixos estiverem em centímetros, basta medir com uma régua as coordenadas do ponto: A descrição do movimentoINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 34 O Ay Ax A x y O A Ay OAx x y Coordenadas do ponto A no primeiro quadrante: xA = (1,2 ± 0,1)cm yA = (1,0 ± 0,1)cm Coordenadas do ponto A no segundo quadrante: xA = (-1,2 ± 0,1)cm yA = (1,0 ± 0,1)cm Exercício 3 Represente os pontos alcançados por três partículas que sofrem deslo- camentos retilíneos a partir da origem indicada a seguir. a. A primeira se desloca 2cm da origem. Onde ela está? Como só foi informado o tamanho do deslocamento da partícula, ela pode estar em qualquer ponto de uma circunferência com 2 cm de raio centrada na origem: b. A segunda se desloca 2cm da origem na direção da reta representada abaixo. Onde ela está? Agora sabemos o tamanho do deslocamento e também a direção ao longo da qual se dá esse deslocamento. Mas ainda assim a partícula pode ter se deslocado 2 cm para cima ou 2 cm para baixo. Portanto ela pode estar em dois pontos, como mostrado na fi gura abaixo: Os vetores e suas bases C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 2 37 Os vetores e suas bases Objetivo Representar os vetores de um plano utilizando bases ortogonais. Introdução Na Aula 1 iniciamos a discussão do movimento dos corpos. Concluímos que a escolha do ponto de observação é muito importante na descrição dos movimentos dos corpos. Descrevemos o movimento de alguns corpos (carrinho em um trilho de ar, esferas etc.) tratando-os como partículas. Falamos sobre trajetórias e deslocamentos. Nesta aula vamos defi nir os conceitos do vetor posição. Serão discutidas também a decomposição de vetores em bases ortogonais. Esta aula é composta por três partes: O que sei sobre a decomposição de vetores em bases ortogonais? é um questionário que tem como fi nalidade levantar as suas idéias prévias sobre estes assuntos. Decomposição de vetores em bases ortogonais é um texto no qual o assunto é discutido. Exercícios 3 são exercícios propostos sobre vetores. Os vetores e suas basesINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 38 O que sei sobre a decomposição de vetores em bases ortogonais? As questões apresentadas a seguir têm como fi nalidade investigar e organizar os seus conhecimentos e idéias prévias sobre a decomposição de vetores em bases ortogonais. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas às questões. Não consulte livros ou notas de aulas, mas não deixe de respondê- las. A comparação entre suas idéias e conhecimentos sobre a decomposição de vetores em bases ortogonais e o vetor posição antes e depois de trabalhar esta aula é importante para o seu aprendizado. Questionário 2 1.O que é um vetor unitário? 2.Como se projeta um vetor na direção de um vetor unitário ? Dê exemplos. 3.O que é uma base de vetores ortogonais? Dê exemplos. 4.O que são componentes de um vetor em uma base ortogonal? Dê exemplos. 5.Enuncie a regra para somar vetores utilizando as suas componentes. Os vetores e suas bases C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 2 39 Decomposição de vetores Projeção de vetores As regras para somar vetores e multiplicar vetores por números reais apresentadas na aula 1 são geométricas. Elas têm o inconveniente de dependerem da qualidade dos desenhos elaborados. Nesta aula, vamos transformar essas regras em soma e multiplicação de números reais. Com esta fi nalidade vamos representar os vetores em bases apropriadas. Tal representação aparece naturalmente quando tentamos responder às seguintes perguntas: 1. Quantos vetores existem em um plano? 2. Será que eles estão relacionados? O número de vetores em um plano é infi nito. Todavia, eles estão relacionados. Mostraremos a seguir que qualquer vetor de um plano pode ser representado como a combinação linear de dois vetores com direções diferentes. Na Figura 28, vemos que o vetor pode ser escrito como a soma de dois vetores paralelos aos vetores e , isto é, O vetor tem a mesma direção do vetor e o vetor tem a mesma direção do vetor . Portanto, podemos escrever e . Conseqüentemente, temos que α −→ d2 + β −→ d3 . Dizemos que é a projeção do vetor na direção do vetor e que é a projeção do vetor na direção do vetor . A soma α −→ d2 + β −→ d3 é denominada combinação linear dos vetores e . Figura 28 – Decomposição de vetores em uma base oblíqua. d1 d2 d12 d3d13 Por uma questão de simplicidade, escolhe-se representar todos os vetores de um plano em termos de dois vetores unitários perpendiculares. Vetores unitários são aqueles que têm módulo um. São representados por uma letra com um acento circunfl exo em cima, por exemplo, ı̂ . Dizemos, nesse caso, que os vetores unitários formam uma base ortogonal para os vetores do plano. Os vetores unitários mais utilizados são aqueles que têm a direção e o sentido dos eixos. No caso dos eixos OX e OY eles são denominados comumente por ı̂ e ̂ . BASE DE VETORES ORTOGONAIS Os vetores e suas basesINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 42 Para projetar o vetor deslocamento na direção do vetor unitário ̂ é necessário levantar duas retas perpendiculares à direção do vetor unitário ̂ a partir do eixo OY que passem pelo início e pelo fi nal de (Figura 32- b). O vetor projetado é aquele que tem a direção do vetor unitário ̂ , e o módulo igual à distância entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor (Figura 32-b). Figura 32-b – Decomposição do vetor deslocamento. c. A componente é o número pelo qual se deve multiplicar o vetor unitário ı̂ para se obter o vetor projetado . O módulo da componente é igual ao módulo do vetor projetado. O módulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que . Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitário ı̂ , a componente é positiva e igual a . A componente é o número pelo qual se deve multiplicar o vetor unitário ̂ para se obter o vetor projetado . O módulo da componente é igual ao módulo do vetor projetado. O módulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que . Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitário ̂ , a componente é positiva e igual a . d. Os vetores projetados escritos em função dos unitários ı̂ e ̂ são: −→ dx = 40 √ 2 ı̂ (km) e −→ dy = 40 √ 2 ̂ (km) Os vetores e suas bases C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 2 43 Resolução: a. O vetor deslocamento do carro vai de A até B e está desenhado na Figura 34 a. 45° d A B 135° S Y O ^ ^ Figura 34-a – Vetor deslocamdno do carro. Exemplo 2: A fi gura 33 mostra um carro que parte do ponto A e se desloca até um ponto B que dista 80km de A. A reta que une os pontos A e B faz um ângulo de 135o com o eixo OX. Desenhe o vetor deslocamento do carro. a. Desenhe os vetores projetados e . b. Calcule as componentes e do vetor deslocamento do carro nas direções dos vetores unitários associados aos eixos representados na fi gura 33. c. Escreva os vetores projetados e em função dos vetores unitários ı̂ e ̂ . Figura 33 – Exemplo 3. b. Para projetar o vetor deslocamento na direção do vetor unitário ı̂ é necessário levantar duas retas perpendiculares à direção do vetor unitário ı̂ a partir do eixo OX que passem pelo início e pelo fi nal de (Figura 34-b). O vetor projetad é aquele que tem a direção do vetor unitário ı̂ , com o módulo igual à distância entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor (Figura 34-b). Os vetores e suas basesINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 44 c. A componente é o número pelo qual se deve multiplicar o vetor unitário ı̂ para se obter o vetor projetado . O módulo da componente é módulo do vetor projetado. O módulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que . Como o vetor tem o sentido contrário ao do vetor unitário ı̂ a componente é negativa e igual a . A componente é o número pelo qual se deve multiplicar o vetor unitário ̂ para se obter o vetor projetado . O módulo da componente é igual ao módulo do vetor projetado. O módulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que . Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitário ̂ , a componente é positiva e igual a +40 √ 2 km . d. Os vetores projetados escritos em função dos unitários ı̂ e ̂ são: e 45° d A B 135° S Y O ^ ^ dy dx Para projetar o vetor deslocamento na direção do vetor unitário ̂ é necessário levantar duas retas perpendiculares à direção do vetor unitário ̂ a partir do eixo OY que passem pelo início e pelo fi nal de (Figura 34-b). O vetor projetado é aquele tem a direção do vetor unitário ̂ , com o módulo igual à distância entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor (Figura 34-b). Figura 34-b – Decomposição do vetor deslocamento. Os vetores e suas bases C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 2 47 Na Figura 38-b, estão representados os vetores e . Os módulos das componentes do vetor são: e . As componentes e são positivas, uma vez que os vetores projetados e têm os mesmos sentidos dos vetores unitários ı̂ e ̂ . Portanto, temos: . c. As componentes do vetor deslocamento são: d3x = d1x + d2x = (80 + 20 √ 3) km ∼= 115 km e . Portanto, temos . d. O módulo do vetor é O ângulo que o vetor faz com o eixo OX pode ser obtido da seguinte forma: . A decomposição de vetores do espaço tridimensional requer três bases. Uma das bases mais utilizadas é aquela que utiliza os vetores unitários ı̂ , ̂ e nas direções dos eixos OX, OY e OZ. A Figura 39 mostra as projeções do vetor nas direções desses unitários. Figura 39 – Base tridimensional. A B 30o C d2d3 Y S XO ^ ^ d1 d1x= d2y d2x Figura 38-b – Decomposição do vetor deslocamento resultante. Nessa base, o vetor é representado por , onde , e são as componentes do vetor. Os vetores e suas basesINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 48 P18 – VERIFIQUE A VERACIDADE DA DECOMPOSIÇÃO ANTERIOR. Existem grandezas que têm módulo, direção e sentido e não são vetores. Por exemplo, as rotações em torno de um eixo. Toda rotação tem um eixo de rotação, um ângulo de rotação e um sentido (horário ou anti-horário). No entanto, você aprenderá na disciplina Física I que duas rotações não se somam segundo a regra do paralelogramo. Várias grandezas físicas são vetores. Na aula 3 alguns desses vetores serão discutidos. Exercícios 3 Exercício 6 Na Figura 19 repetida a seguir estão representados alguns vetores. Calcule componentes dos seguintes vetores: Considere o tamanho do quadriculado como unidade. Os vetores e suas bases C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 2 49 Exercício 7 Uma motocicleta se desloca 40km para o Norte, 60km na direção Nordeste e 20km na direção Oeste. a. Desenhe os vetores deslocamentos da motocicleta. Não esqueça de desenhar o deslocamento resultante. b. Represente todos os deslocamentos utilizando os seguintes vetores unitários: • vetor unitário que tem direção Leste-Oeste e aponta para o Leste ( ı̂ ) ; • vetor unitário que tem direção Norte-Sul e aponta para o Norte ( ̂ ) . c. Calcule o módulo do deslocamento resultante e o ângulo que ele faz com a direção Leste-Oeste. Questionário: Responda novamente ao questionário 2. Os vetores e suas basesINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 52 Gabarito Exercício 1 Projete as retas AB, CD e EF representadas na Figura 1, na direção do eixo OX. Com uma régua meça o tamanho da reta projetada. Y 1,0 cm 1,4 cm 1,4 cm 2,0 cm X E F D C BA Projete as retas AB, CD e EF na direção do eixo OY. Com uma régua meça o tamanho da reta projetada. As linhas pontilhadas delimitam o tamanho das projeções sobre os eixos OX e OY de cada um dos segmentos de reta. • O tamanho da projeção da reta AB no eixo OX é:( 1,4 ± 0,1) cm • O tamanho da projeção da reta AB no eixo OY é: (0,0 ± 0,1) cm (ponto) • O tamanho da projeção da reta CD no eixo OX é:( 2,0 ± 0,1) cm • O tamanho da projeção da reta CD no eixo OY é: (1,0 ± 0,1) cm • O tamanho da projeção da reta EF no eixo OY é: (1,4 ± 0,1) cm • O tamanho da projeção da reta EF no eixo OX é:( 0,0 ± 0,1) cm (ponto) Exercício 2 1. Projete os vetores d d d1 2 3, e representados na Figura 2, na direção do eixo OX. Desenhe os vetores projetados na direção OX. 2. Projete os vetores d d d1 2 3, e representados na Figura 2, na direção do eixo OY. Desenhe os vetores projetados na direção OY. Denominaremos d d dx x x1 2 3, e as projeções dos vetores d d d1 2 3, e na direção OX. Denominaremos d d dy y y1 2 3, e as projeções dos vetores d d d1 2 3, e na direção OY. Os vetores e suas bases C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 2 53 Y X E F D BA C d1 d x1 d2 d x2 1. Vetor d3 projetado em OY Vetor d2 projetado em OY d1 d3d y3 d y1 0= Y X E F D BA C 2. d y2 d2 Exercício 3 1. Escreva as componentes ( d d dx x x1 2 3, e ) e ( d d dy y y1 2 3, e ) dos vetores d d d1 2 3, e representados na Figura 3. • As componentes dos vetores d1 são: d1x =( –1,4 ± 0,1)cm d1y = (0,0 ± 0,1)cm • As componentes dos vetores d2 são: d2x =( 2,0 ± 0,1)cm d2y = (1,0 ± 0,1)cm d x3 0= d3 Os vetores e suas basesINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 54 • As componentes dos vetores d3 são: d3x = (0,0 ± 0,1)cm d3y =( -1,4 ± 0,1)cm 2. Escreva os vetores projetados ( d d dx x x1 2 3, e ) e ( d d dy y y1 2 3, e ) como múltiplos dos vetores unitários representados na fi gura 3. Os vetores projetados, escritos como múltiplos dos vetores unitários, são obtidos multiplicando-se as componentes pelos vetores unitários correspondente aos eixos. d cm d cm d cm d x y x y 1 1 2 2 1 4 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 0 = − ± = ± = ± = ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , ± = − ± 0 1 1 4 0 13 3 , ) ( , , ) cm d c= ±0 0(0 )1 m d cmx y Exercício 4 Individual. Cinemática vetorial 57 C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 3 57 Introdução A trajetória de uma partícula é uma curva no espaço. Já vimos que é possível representar a trajetória de uma partícula fornecendo as coordenadas cartesianas dos seus pontos. Por exemplo, na fi gura 40 a reta AB representa a trajetória de um carro no sistema de referência S fi xo à Terra. Figura 40 – Equação da trajetória no sistema de eixos coordenados OXY: y=0. No sistema de coordenadas OXY, a equação da trajetória do carro é y=0. Por outro lado, se tivéssemos utilizado um outro sistema de referência S´ fi xo na Terra com o sistema de eixos coordenados O`X`Y` a equação seria diferente, isto é, y’=x’/ 2 (ver Figura 41). Y O S X carro B 1m 2m Y’ A X’ Figura 41 – Equação da trajetória do carro no sistema de referência S’ com os eixos de coordenadas O´X´Y´: y’=x’/ 2 . Visivelmente, a forma da trajetória de uma partícula não depende do sistema de eixos coordenados escolhidos. Será que existe uma outra representação para a trajetória “mais essencial”, isto é, uma que não dependa do sistema de eixos coordenados? Existe, é a representação vetorial da trajetória, que será estudada a seguir. Cinemática vetorial 58 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 58 Vetor deslocamento Na aula 1 aprendemos o vetor deslocamento. O vetor deslocamento não coincide com a trajetória da partícula (ver Figura 42). Figura 44 – Poligonal construída com vários pequenos deslocamentos sucessivos entre os pontos A e B. Figura 43 – Vetor deslocamento entre os pontos A e B associado a duas trajetórias C1 e C2 diferentes. Figura 42 – Vetor deslocamento. O d1 Existem várias trajetórias possíveis entre as extremidades do vetor deslocamento. Um grande número de vetores deslocamento sucessivos entre os pontos A e B fornece uma linha poligonal que é parecida com a trajetória (ver Figura 44). Conseqüentemente, é fácil concluir que qualquer trajetória pode ser aproximada por um número muito grande de vetores deslocamento sucessivos. Cinemática vetorial 59 C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 3 59 Vetor posição Podemos caracterizar a trajetória de uma partícula utilizando o vetor posição. O vetor posição de um ponto é o vetor deslocamento da origem O até o ponto (ver fi gura 45-a). vetor posição Figura 45-a – Vetor posição. P1 – O que é o VETOR POSIÇÃO? A trajetória fi ca completamente defi nida quando se conhece o vetor posição da partícula em todos os instantes do tempo. Quando o movimento ocorre no plano, podemos expressar o vetor posição em função dos vetores unitários ı̂ e ̂ associados ao sistema de eixos coordenados OXY. A fi gura 45-b mostra que as componentes e do vetor posição coincidem com as coordenadas e do ponto onde a partícula se encontra, isto é, e . A rA X Y yA xAO ^ ^ Figura 45-b – Vetor posição do ponto A. Por isso é comum se representar o vetor posição da seguinte forma: −→r = x̂ı + ŷ . Cinemática vetorial 62 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 62 VELOCIDADE MÉDIA Vetor velocidade Na vida prática é importante conhecer os deslocamentos associados a um corpo e a rapidez com que esses deslocamentos ocorrem. Por exemplo, é comum se dizer que alguém se deslocou do Rio para São Paulo em seis horas. A grandeza que está associada à rapidez com que um deslocamento ocorre é a velocidade. O vetor velocidade média é defi nido da seguinte forma: −→v m(t1, t2) = −→ d (t2 − t1) = −→ d (∆t) . A velocidade média é um vetor porque é o resultado da multiplicação do vetor deslocamento pelo número real positivo . Ela tem a direção do deslocamento, isto é, a direção da reta secante à trajetória. Na Figura 47 estão representados o vetor deslocamento da partícula entre os instantes t1 t2 e o vetor velocidade média entre esses instantes. Figura 47 – Vetores deslocamento e velocidade média. A fi gura 47 mostra que o vetor deslocamento é a diferença entre os vetores posição nos instantes t1 e t2 , uma vez que −→r (t2) = −→r (t1) + −→d ⇒ −→d = −→r (t2) −−→r (t1) vetor deslocamento entre os pontos A e B. O vetor deslocamento é dado por −→ d1 = 80 ı̂ (km) . A diferença entre os vetores posição dos pontos A e B é . Portanto, o vetor deslocamento do ponto A para o ponto B é a diferença entre os vetores posição dos pontos B e A. É habitual denominar o vetor deslocamento por Não adotaremos essa notação nesta aula para não sobrecarregar as expressões. Cinemática vetorial 63 C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 3 63 P2 – O QUE É O VETOR VELOCIDADE MÉDIA? Exemplo 2: O carro do Exemplo 1 parte do ponto A e leva uma hora para se deslocar do ponto A até o ponto B e meia hora para se deslocar do ponto B até o ponto C. Calcule o vetor velocidade média do carro associada ao deslocamento de A até C. Resolução: A velocidade média é . O conhecimento da velocidade média entre dois instantes permite calcular o deslocamento entre esses instantes, isto é, −→ d = −→v m(t1, t2)(t2 − t1). A velocidade média associada a intervalos de tempo pequenos conduz ao conceito de velocidade instantânea. Os matemáticos têm uma operação que se adapta perfeitamente à defi nição de velocidade instantânea, é a operação de limite. Na Figura 48 está representada grafi camente a operação matemática de limite utilizada na defi nição da velocidade instantânea. Velocidade Instantânea Figura 48 – Representação gráfica do processo limite aplicado à velocidade média. Cinemática vetorial 64 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 64 À medida que o intervalo de tempo diminui, a velocidade média se aproxima da velocidade instantânea. A velocidade média está mais próxima da velocidade instantânea que a velocidade média . Portanto, podemos dizer que quanto menor o intervalo de tempo melhor será a seguinte aproximação: −→v m(t1, t1 + ∆t) ∼= −→v (t1). . A Figura 48 mostra que, à medida que o intervalo de tempo diminui, a direção da velocidade média se aproxima da direção da reta tangente à trajetória. Conseqüentemente, podemos intuir que a direção da velocidade instantânea é igual à direção da reta tangente à trajetória. P3 – O que é o vetor VELOCIDADE INSTANTÂNEA? A trajetória de uma partícula fi ca completamente determinada quando se conhece o vetor posição em todos os instantes de tempo. A Figura 49 mostra que, se conhecermos o vetor posição em um instante e o vetor deslocamento entre os instantes e , é possível obter o vetor posição em um instante . Figura 49 – Soma do vetor posição com o vetor deslocamento. Quando o intervalo de tempo é pequeno, o vetor deslocamento−→ d = −→v m(t0, t0 + ∆t) ∆t pode ser obtido de forma aproximada com o vetor velocidade instantânea, isto é, Exemplo 3: A Figura 50 mostra o vetor posição e o vetor velocidade instantânea de uma partícula no tempo t=1s. Desenhe o vetor posição aproximado no instante de tempo t=1,1s . Cinemática vetorial 67 C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 3 67 Vetor aceleração Outra informação importante associada a uma trajetória é a rapidez com que a velocidade instantânea muda. Nesse caso, temos a aceleração média e a aceleração instantânea. Figura 53 – A aceleração média. A aceleração média (Figura 53) entre dois instantes e tem a seguinte defi nição: Exemplo 4: O carro do Exemplo 1 se desloca entre os pontos A e B com uma velocidade com módulo igual a 40km/h e de B para C com uma velocidade com módulo igual a 40km/h. O primeiro deslocamento se dá em duas horas e o segundo em uma hora. Qual o vetor aceleração média do carro? Resolução: A fi gura anterior mostra as velocidades do carro. As componentes dos vetores velocidades e são: ACELERAÇÃO MÉDIA Cinemática vetorial 68 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 68 O cálculo das componentes da segunda velocidade é realizado de maneira análoga ao do Exemplo 1 e utiliza o triângulo BC1. As componentes da aceleração média são: a v v km h a v v mx x x my y y 0 3 3 35 40 3 5 3 0 3 3 0 20 3 2 1 2 2 1 , / , ( ) = − ≅ − = − ( ) = − = − = − 20 3 2km h/ O vetor aceleração média é dado por: a i j Km hm 0 3 1 7 6 7 2, , , /( ) ≅ − +( ) velocidade instantânea em um intervalo de tempo ∆t , isto é, A aceleração instantânea é a aceleração média tomada em intervalos de tempo muito pequenos e é defi nida pela operação de limite. , onde e . Em intervalos de tempo pequenos, temos que a aceleração média é aproximadamente igual à aceleração instantânea. . Quando o intervalo de tempo é pequeno, a variação de velocidade pode ser obtida de forma aproximada com o vetor aceleração e instantânea, isto é, a aceleração instantânea são muito diferentes e a aproximação utilizada anteriormente para calcular a variação de velocidade não pode ser utilizada. Nesse caso, é necessário obter a variação de velocidade somando variações de velocidades sucessivas (ver Figura-54,com n=6) associadas a n intervalos de tempos pequenos . ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA Cinemática vetorial 69 C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 3 69 As pequenas variações de velocidade podem ser obtidas aproximadamente com as acelerações instantâneas, isto é, , onde . A variação de velocidade pode ser escrita como uma boa aproximação da seguinte forma: ∆−→v ∼= −→a (t0) ∆t n + −→a (t1) ∆t n + . . . + −→a (tn−1) ∆t n . . A aproximação anterior se transforma em uma identidade quando o número de intervalos n tende para infi nito, isto é, . Conseqüentemente, podemos concluir que o conhecimento do vetor velocidade inicial de uma partícula e da sua aceleração instantânea em toda a trajetória permite obter o vetor velocidade em um instante de tempo t = t0 + ∆t , uma vez que . Como o intervalo de tempo foi escolhido arbitrariamente, podemos concluir que é possível conhecer o vetor velocidade em todo instante de tempo a partir do conhecimento do vetor velocidade inicial de uma partícula e da sua aceleração instantânea em toda a trajetória. A Mecânica da Partícula tem como objetivo encontrar a trajetória da partícula a partir das suas leis. Veremos na aula 5 que as Leis de Newton fornecem a aceleração instantânea da partícula. Portanto, se conhecermos a posição inicial, a velocidade inicial da partícula e a sua aceleração instantânea já sabemos como construir grafi camente a sua trajetória. P5 – Defina ACELERAÇÃO MÉDIA. P6 – Defina ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA. Figura 54 – Soma de variações sucessivas de velocidades em intervalos de tempos iguais a . Cinemática vetorial 72 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 72 Neste caso, a aceleração média e a aceleração instantânea são nulas. Quando o gráfi co de não é uma reta, o cálculo da velocidade instantânea tem que ser feito com a defi nição exata de limite que é ensinada na disciplina Cálculo I. Todavia, é possível obter uma estimativa numérica da velocidade instantânea calculando a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores e verifi cando para que valor a velocidade média está tendendo. Exemplo 5: Uma partícula se desloca sobre o eixo OX em uma trajetória descrita pela equação horária (metros). 1. Demonstre que a velocidade média entre os instantes de tempo e é dada por 2. Calcule a velocidade média para os intervalos de tempo iguais a 0,100s, 0,025s, 0,010s, 0,0005s e 0,0001s. Dê a sua resposta com quatro alga- rismos signifi cativos, 3. Calcule a velocidade instantânea da partícula no instante t = 2,000s. 4. Para quais intervalos de tempo as velocidades médias calculadas no item 2 e a velocidade instantânea em t = 2,000s são iguais? Solução: 1. A velocidade média da partícula entre os instantes de tempo e é dada por 2. A tabela a seguir mostra os valores da velocidade média nos instantes solicitados. As velocidades médias foram expressas com quatro algarismos signifi cativos. (s) 0,1000 12,61 0,0250 12,15 0,01000 12,06 0,0005 12,00 0,0001 12,00 Cinemática vetorial 73 C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 3 73 Signifi cado geométrico da componente da aceleração No gráfico vx versus t a componente da aceleração instantânea é o coeficiente angular da reta tangente no instante considerado. Figura 59 – Significado geométrico da componente da aceleração instantânea. Figura 58 – Significado geométrico da componente da aceleração média. A aceleração média e a aceleração instantânea têm um signifi cado geométrico que é de fácil visualização quando fazemos o gráfi co de . Na Figura 58, está representada a velocidade instantânea da partícula para os instantes de tempo e . O coefi ciente angular da reta secante à curva que passa pelos pontos com coordenadas (t1, vx1 ) e (t2, vx2 ) é . Esse coefi ciente angular é, por defi nição, a aceleração média da partícula, isto é, . 3. A velocidade instantânea em t = 2s é v v t t t m sm2 2 2 12 6 12 2( ) = +( ) = + +( ) =→ →lim limt 0 t 0∆ ∆∆ ∆ ∆, / . 4. As velocidades médias associadas aos intervalos de tempo 0,010s, 0,005s e 0,001s são iguais à velocidade instantânea em t = 2,000s Cinemática vetorial 74 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 74 Na Figura 59 foram desenhadas várias retas secantes associadas às acelerações médias em intervalos de tempos cada vez menores. Neles, o instante que defi ne a aceleração média fi ca cada vez mais próximo do instante de tempo . Observe que à medida que o intervalo de tempo tende a zero, a reta secante se aproxima da reta tangente. Portanto, a aceleração instantânea é representada geometricamente pelo coefi ciente angular da reta tangente à curva no gráfi co de no ponto da curva com coordenadas (t1, vx1 ). Figura 60 – Movimento uniformemente acelerado. A Figura 60 mostra que, no caso em que o gráfi co de vx versus t é uma reta, a aceleração média é o coefi ciente angular da reta, sendo portanto constante. A reta tangente em cada ponto da reta coincide com a própria reta. Como a aceleração instantânea é o coefi ciente da reta tangente, ela é também constante e igual à aceleração média. Problema inverso Vimos anteriormente que o objetivo da Mecânica da Partícula é encontrar o vetor posição da partícula como função do tempo. No caso de um movimento unidimensional no eixo OX, o vetor posição da partícula fi ca completamente determinado quando conhecemos x(t). Como as Leis da Mecânica da Partícula fornecem a aceleração instantânea da partícula, nosso problema se reduz a encontrar x(t) a partir do conhecimento de ax(t). Esse problema é denominado de problema inverso. Ele será resolvido de forma qualitativa e geométrica apenas para o movimento retilíneo uniforme (ax=0) e o para o movimento uniformemente acelerado . A solução rigorosa desse problema e de problemas com acelerações variáveis será deixada para a disciplina de Física I. As acelerações médias e instantâneas são iguais quando elas são constantes. Cinemática vetorial 77 C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 3 77 • Na Figura 63 dividimos o movimento em 10 intervalos (N=10) e representamos a velocidade do novo movimento (linha poligonal). Este movimento e o real não são iguais. Eles têm em comum o ponto de partida, o ponto de chegada e os valores das velocidades . • O deslocamento total do movimento imaginário é dado por: onde denominamos . Observe que o deslocamento imaginário é a soma das áreas dos retângulos, isto é, . Uma análise qualitativa da Figura 63 permite intuir que, quando o número de movimentos retilíneos tender para infi nito, o deslocamento imaginário se transformará no deslocamento real e a soma das áreas dos retângulos se transformará na área sob a reta que representa a velocidade de v em função do tempo t. Ela é a área do trapézio retângulo de bases e e altura . Portanto, o deslocamento no movimento uniformemente acelerado se reduz a . No caso em que o instante e (∆t = t) o deslocamento no movimento uniformemente acelerado se reduz a . Portanto, a equação horária do movimento retilíneo uniformemente acelerado é . É fundamental que você perceba que as equações horárias obtidas anteriormente só podem ser utilizadas em movimento em que a aceleração instantânea é constante ou nula, uma vez que elas foram obtidas a partir dessas hipóteses. Cinemática vetorial 78 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 78 Leituras e exercícios 5 Leituras Leia sobre os assuntos Posição, Deslocamento, Velocidade e Aceleração e Cinemática Escalar nas seções 4.4 e 4.6 do texto Física I-Mecânica do Gref. Faça os Problemas e questões de vestibulares do capítulo 2 do livro de Antonio Máximo e Beatriz Alvarenga, Física - volume único. Exercício 1 Um homem parte do ponto A e vai até o ponto C passando pelo ponto B (ver fi gura a seguir). O módulo da sua velocidade é constante eigual a 3km/h. Os deslocamentos são retilíneos. Y O S X A BC Obtenha, em termos dos unitários ı̂ e ̂ : os vetores posição dos pontos A, B e C; os vetores deslocamento entre A e B, entre B e C e entre A e C; o vetor velocidade média associado ao deslocamento total; o vetor aceleração média associado ao deslocamento total. Considere que o lado do quadriculado corresponde a 1m. Responda novamente ao Questionário 3. Nesta aula definimos as velocidades e as acelerações e suas relações com as trajetórias. Observamos que é possível construir grafi- camente a trajetória de uma partícula a partir da sua aceleração instantânea, da posição inicial e da velocidade instantânea inicial. A discussão do movimento unidimensional permitiu obter uma solução geométrica para as trajetórias dos movimentos retilíneo uniforme e uniformemente acelerado. Cinemática vetorial 79 C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 3 79 Exercícios programados 7 1. Veja a minipalestra Cinemática Vetorial. 2. Um carro vai do ponto A até o ponto B, como ilustra a Figura 1. i. desenhe os vetores-posição dos pontos A e B. Expresse esses vetores em termos dos unitários ı̂ e ̂ . ii. desenhe os vetores-deslocamento do ponto A ao ponto B e expresse em termos dos unitários ı̂ e ̂ . iii. supondo que o deslocamento ocorreu em 2h, calcule o vetor velocidade média entre os pontos A e B. iv. As velocidades instantâneas do carro nos pontos A e B são respectivamente iguais a vA (80ı̂ + 40 ̂ )km/h e vB (80ı̂ )km/h. Calcule a aceleração vetorial média do carro entre os pontos A e B. Considere que cada quadrado vale 10km. ı̂ ̂ Figura 1 C E D E R J 9 A U LA 2 1 M Ó D U LO 3 O que muda o movimento C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 4 83 O que muda o movimento Prática 1 – Mesa de Forças Experimento - Equilíbrio de três forças coplanares concorrentes decomposição em componentes; obtenção da resultante de um dos pares; equilíbrio do sistema. Figura 64 – Mesa de forças. ímãs transferidor de acrílico superímã Objetivo Mostrar experimentalmente que as forças são vetores. Material utilizado • painel de forças para fi xação magnética, apoiado verticalmente sobre par de tripés; • 3 dinamômetros de fi xação magnética, graduados em newtons (máx. 2N); • 3 ímãs de terras raras para fi xar os dinamômetros; • escala angular pendular, com divisões em graus; • 3 cordinhas com anéis em suas extremidades. 83 1 O que muda o movimentoINTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 84 Precauções Antes de iniciar a experiência, o aluno deve ler as instruções básicas existentes no manual do painel de forças. Aqui repetiremos apenas as que podem prevenir danos: 1. Nunca utilize o dinamômetro acima de sua capacidade (2N). 2. Nunca solte bruscamente a mola do dinamômetro quando estiver esticada. 3. Nunca puxe os ímãs sem antes incliná-los levemente. Para soltar os ímãs de terras raras, use seus manípulos (pequenos cabos) para primeiro incliná-los, diminuindo a força de retenção. 4. Antes de começar o experimento zere os dinamômetros. Informações preliminares As forças são puxões ou empurrões e podem ser representados por segmentos de retas orientados. Na Figura 65 estão representadas as forças e . Figura 65 – Soma de forças pela regra do paralelogramo. Cuidado!! O dinamômetro que mede a força F3 tem que ser zerado na posição em que ele vai ser utilizado. Vamos verifi car se o modelo que trata as forças como vetores tem comprovação experimental. A condição necessária para que as forças sejam vetores é que elas se somem pela regra do paralelogramo, isto é, que as seguintes relações sejam satisfeitas: R = √ F1 2 + F22 − 2F1F2 cos (β) e sen(β) R = sen(α) F2 . O que muda o movimento C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 4 87 Compare as componentes da soma das forças e obtidas por cálculo indireto (Tabela 2) com as componentes da força medidas diretamente (Tabela 1) e verifi que se o modelo que soma forças como vetores é comprovado por esse experimento. Conclusão: C E D E R J 9 A U LA 2 1 M Ó D U LO 3 Leis de Newton 89 C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 5 89 Leis de Newton Objetivos: Discutir o conceito de força e as Leis de Newton. Introdução Nas Aulas 1, 2 e 3 apresentamos os conceitos necessários para a descrição dos movimentos. Nesta aula vamos estudar as causas dos movimentos. Ela é composta de sete partes. O que sei sobre as leis do movimento e as forças? é um questionário que tem como fi nalidade levantar as suas idéias prévias sobre o assunto. Forças e suas características é um texto que discute as idéias intuitivas sobre forças. Leis de Newton é um texto que discute as leis que permitem entender e prever os movimentos dos corpos. Leituras e exercícios 6 são textos e exercícios sobre forças no livro Física –Volume Único (Antonio Máximo e Beatriz Alvarenga) e exercícios propostos. Leituras e exercícios 7 são textos e exercícios sobre a Primeira Lei de Newton (a lei da inércia) no livro Física – Volume Único (Antonio Máximo e Beatriz Alvarenga) e exercícios propostos. Leituras e exercícios 8 são textos e exercícios sobre a Segunda Lei de Newton no livro Física – Volume Único (Antonio Máximo e Beatriz Alvarenga) e no livro Física 1- Mecânica, do Gref, e exercícios propostos. Leituras e exercícios 9 são textos e exercícios sobre a Terceira Lei de Newton (a lei da ação e reação) no livro Física – Volume Único (Antonio Máximo e Beatriz Alvarenga). Leis de Newton 92 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 92 P-1 Qual a definição intuitiva de forças? Forças de contato Em todos os exemplos apresentados anteriormente, a força que atua sobre o corpo é exercida por outro corpo que está em contato com ele. Essas forças são denominadas forças de contato. A força que atua na bola é exercida pelo pé que está em contato com ela. A força que atua sobre o lutador de sumô que está de frente é exercida pelas mãos do outro lutador. Elas estão em contato com ele. A força que atua sobre a água está sendo exercida pelo remo que está em contato com ela. A força que puxa a corda está sendo exercida pelas mãos do homem, que estão em contato com a corda. As forças de contato surgem quando tentamos deformar, arrastar ou puxar um corpo. Figura 71-a – A cama elástica empurra o menino para cima. Figura 71-b – A mola puxa a mão quando é esticada e a empurra quando é comprimida. FORÇAS DE CONTATO A cama elástica empurra o menino para cima quando é esticada para baixo (fi gura 71-a). A mola empurra a mão quando é comprimida e a puxa quando é esticada (fi gura 71-b). Leis de Newton 93 C E D E R J MÓDULO 3 - AULA 5 93 A mão que empurra a parede na fi gura 72 deforma a superfície da parede. Nesse caso, a deformação é muito pequena , sendo imperceptível. Como a cama elástica, a parede deformada empurra a mão para fora. FORÇA NORMAL Força de atrito entre superfícies sólidas. A força que uma superfície exerce sobre um corpo na direção perpendicular a ela é denominada força normal. A resistência que encontramos quando tentamos arrastar um objeto sobre uma superfície depende do par de superfícies. A superfície de uma caixa desliza com mais facilidade sobre uma superfície de mármore do que sobre um tapete (fi gura 73). A força que difi culta o deslizamento da superfície de um corpo sobre a superfície de outro corpo é chamada força de atrito. Ela tem a direção das retas tangentes à superfície. O seu sentido é tal que ela se opõe ao movimento ou à tendência ao movimento de uma superfície em relação a outra superfície. Figura 72 – A superfície da parede empurra a mão, impedindo-a de penetrar no seu interior. Podemos entender qualitativamente o aparecimento da força de atrito com um modelo simples. Nesse modelo supomos que as superfícies apresentam pequenas irregularidades . Elas difi cultam o deslizamento de uma superfície sobre a outra. Figura 73– A superfície da caixa desliza com mais facilidade sobre um piso de mármore do que sobre um tapete. Figura 74 – As pequenas irregularidades entre as superfícies criam a força de atrito que dificulta o deslizamento da caixa. Leis de Newton 94 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1 C E D E R J 94 Dizemos que uma superfície é lisa quando as forças de atrito exercidas por outras superfícies sobre ela são desprezíveis. Quando a superfície de um corpo se movimenta no interior de uma camada de fl uido, como por exemplo de ar, o fl uido exerce uma força de atrito (resistência do ar) sobre ele. A nossa experiência diária mostra que essa resistência do ar aumenta com o tamanho da superfície do corpo e com a sua velocidade. Por exemplo, é fácil perceber que uma folha de papel aberta cai muito mais devagar do que uma folha de papel amassada. Em um dia sem vento, não sentimos a presença do ar quando caminhamos. No entanto, se estivermos em um carro com velocidade de 80km/h e colocarmos a mão para fora do carro, sentiremos nitidamente a nossa mão ser empurrada para trás pelo ar. Quando entramos em uma piscina nos sentimos mais leves. Isso ocorre porque a água nos empurra para cima com a força empuxo. Veremos na aula 7 que o módulo da força empuxo é igual ao peso do volume de água deslocado. Um objeto imerso no ar também é empurrado para cima pela força empuxo que o ar exerce sobre ele. Quando o peso do objeto é muito maior do que o peso do ar deslocado, a força empuxo pode ser desprezada. Este é o caso de objetos com densidades muito maiores do que a densidade do ar . No caso de um objeto com densidade menor do que a densidade do ar (um balão, por exemplo) a força empuxo não pode ser desprezada. P2– O que são forças de contato? P3– Descreva as características da força normal. Por que a força normal aparece? P4 – Descreva as características da força de atrito. Por que ela aparece? P5– Descreva as características da força empuxo. Por que ela aparece? P6 – Descreva as características da força de atrito com ar. Por que ela aparece? Resistência do ar Força empuxo