Integrais de Superficies

Integrais de Superficies

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Cardoso Daniel

Constantino Henriques

Dahabo Ibraimo Gulamo

Filomena Jorge de Almeida

Sérgio Muacuveia A. M. Pastola

Sifa Daniel Motontone

Tropical José Carlos Mahele

Integrais de Superfícies

Universidade pedagógica

Nampula

2016

Cardoso Daniel

Constantino Henriques

Dahabo Ibraimo Gulamo

Filomena Jorge de Almeida

Sérgio Muacuveia A. M. Pastola

Sifa Daniel Motontone

Tropical José Carlos Mahele

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Integrais de Superfícies

Trabalho de carácter avaliativo, referente a cadeira de Calculo Integral em Rn, curso de Licenciatura em Ensino de Matemática, leccionado pelo docente: Dr. Alberto Hermenegildo António Tépulo.

Universidade pedagógica

Nampula

2016

Índice

ii

Introdução

O presente trabalho de carácter avaliativo tem como tema: Integrais de Superfícies. Para percebermos melhor, temos que trabalhar com teorema de Ostrogradsky Gauss e teorema de Stokes, que facilitam as definições de superfícies de um campo escalar, integrais de superfície de um campo vectorial, também chamada de fluxo de campo através de superfícies.

Para além desses dois campos, salientar que integrais de superfícies é um pouco vasto, porem ressaltamos sobre a representação de uma superfície, integrais parametrizadas, curvas coordenadas, integrais de superfícies suaves e orientadas, área de uma superfícies, centro de massa e momentos de inércia e, plano tangente a reta normal, o que corresponde a sua aplicação.

Para melhor facilitar ao leitor, a compreender facilmente as abordagens deste trabalho, usei aqui a seguinte estrutura:

  • Introdução;

  • Desenvolvimento;

  • Conclusão; e

  • Bibliografia.

O método usado para s compilação e realização deste trabalho, foi a de consultas bibliográficas, que constitui leitura e análise das informações de algumas obras que debruçam sobre o tema acima citado, cujos autores estão citadas na bibliografia.

Integrais de superfície

Como sabemos, que, superfície é uma extensão em duas dimensões, isto é, extensão de uma área limitada, portanto, para percebermos melhor este tema de integrais de superfície, iniciaremos em representações dessas superfícies e, sua respectiva parametrização.

    1. Representação de Superfícies

Segundo GONCALVES & FLEMMING, 1999: 289, diz que uma superfície S em pode ser descrita como um conjunto de pontos (x, y, z), que satisfazem uma equação de forma:

f(x, y, z) = 0 onde f é uma função continua.

A equação acima é chamada de uma representação implícita de S. se for possível de resolver a equação para uma das variáveis em função das outras, obteremos uma representação explicita S ou da área de S.

Exemplo

A equação + + = é uma representação implícita da esfera de centro na origem e raio igual a a.

- Se resolvermos esta equação para z em função se x e y, obteremos duas soluções:

+ + = =

e

Cada uma destas equações encontradas, constituem uma representação explícita da parte da esfera. A primeira equação (negativa), representa o hemisfério inferior e a segunda equação (positiva) representa o hemisfério superior.

- Se resolvermos ainda a equação primeira, para x em função se y e z, obteremos duas soluções:

+ + = =

e

Cada uma destas equações encontradas, constituem uma outra representação explícita da parte da esfera. A primeira equação (negativa), representa o hemisfério de trás e, a segunda equação (positiva) representa o hemisfério de frente.

- Analogamente, se resolvermos a equação principal para y em função se x e z, obteremos duas soluções:

+ + = =

e

Cada uma destas equações encontradas, constituem uma representação explícita de uma outra parte da esfera. Neste caso, a primeira equação (negativa) representa o hemisfério à esquerda e, a segunda equação (positiva) representa o hemisfério à direita.

    1. Superfícies parametrizadas

Definição

Uma superfície parametrizada de é uma função , definida num domínio U de , a valores em , que, a cada (u, v) U, associa o ponto de , = onde são funções de classe de U em . O vector = é o vector posição do ponto (CARRARA & SALVITTI, 1996: 338)

A imagem ou traço de superfície parametrizada é o subconjunto S de formado pelos pontos com U.

Usando também a notação

Para uma superfície parametrizada de . As funções são chamadas equações paramétricas de , e o conjunto S é dito parametrizado por

Representações paramétricas de algumas superfícies

Veremos parametrizações de algumas superfícies como exemplares, pois existem varias superfícies.

      1. Parametrização de um cilindro

Consideremos um cilindro vertical .

Seja P(x, y, z) um ponto qualquer sobre o cilindro. Devemos introduzir dois parâmetros u e v e obter as coordenadas de P como funções de u e v. o parâmetro u é o mesmo que em coordenadas polares e v coincide com z.

Podemos dizer que: .

Portanto, uma parametrização do cilindro é dada por

, onde .

Exemplo

Obter a parametrização da parte do cilindro , delimitados pelos semi-planos y = x e y = 2x, com x 0.

Resolução

Como dizemos anteriormente que z = v, então temos . Precisamos dos valores correspondentes a u e v, para tal, dos ângulos u1 e u2. Usando a equação do semi-plano x = y, x 0 e as equacoes paramétricas x = 2cosu, y = 2senu, vem que

2cosu1 = 2senu1 tg u1 = 1 u1 = .

De forma análoga, para y = 2x, x 0, vemque

2cosu2 = 4senu2 tg u2 = 2 u2 = arc tg 2.

Portanto, , onde .

1.2.1. Parametrização de um parabolóide

Dado o parabolóide . Este parabolóide pode ser parametrizado fazendo-se

x = u, y = v e .

Neste caso a equação vectorial será dado por

, para u, v

Observamos que, muitas vezes, as próprias variáveis x e y, são usadas como parâmetros. E como x = u e y = v, podemos reescrever a equação como:

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