J T Sielawa - Teoria Cinetica Gases

J T Sielawa - Teoria Cinetica Gases

(Parte 1 de 4)

(Curso AER-26E) (RevisSo (eitaem 1978 Para o <urso AEs-2ll)

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Apcsttla de lnstltuto 'recnol6gt co ite AeronSutlca 56o Josd dos campos, sP/ 197L vFrya$ ?ll1r4u i,q_,+-q!E 3,'! j IFNg

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1,1,1 - Io4rup !E I r,/EAqr ; LllDllI (rEr.rsrEl bE ,,"EfutA r,r.!- ITAEIDTA M Lv{Dlc'{ !E trEltc,i t,f . ] - hAro !c l/-Rdr /F}[rrs c i' 6(MrrcN)

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F0alto MA I fttclAL r,1 l' F0t!t,la MAtA lcl{L DA }lA blc4 DE I vELcln

1,1.2 - F,r!\.| MA'f ft bE 'qolrtsrt't bE ,!E,tcl eM lot'\)o lI; tJr{ EttP i r, j.l - ro* r..{AJ Flct.t! DE f Ru !r' 1os bG I r'rEt\'r^

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1.1 - t'EtLo(lME'rIO bg FIU .!F REFPRE '(l.|.- iri- bETLDCAME| o ba il'\br!A )€ rNEfrLr^ s,t,z- rt- !o \tJ{Erro be '"'rEAu\ (rE9^ta 2'r'l - RELar& Errtr FRo tr., Or DE u'JEFur c0'\' REJPtlro

D,TIFII ,qDto ba! r,{ I r' r,,t.l, ca(c! ul4rtts bg crrlrllfto i F|!!p E BAf:frr, EA REI At, Cr'

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2,1.\- bEcLuoore"to DE rqc tJToi bE lNERcr^ ;tS' E(EAP\or bD lEt LoCAE,IO ba t{AtA)) bts

'IJEACIAi'2- RcrA(Au bE co0FbE [.lA!..! \tJM ]r0 F(r0 2.,1 i- MUbA.pca DA AAIf4l Z D€ /^lEAL"l

2{,2 - EI EMtsto c

r.1- n"t,u,b noa - ):i- i :;60H.'€ LAIE >E Abirlrlbol< DF DlAblc sE /,lrlci'A 2.1,2- AllrlvlbA!€ bo A0)r6pr0 L bri ffroDUro of lr')eAcrr

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El{o! FRrNc\FA15 }G lNEhcr 3.i' DEFtNrqAo e PR0PRTEbAT'Ei l l,I- Du:FlNtgAo b{q /}U'rDtJ\loJlEi l: At,.''{Eto&( a.r.r-i'io"otl.l"opf te rtrw'r'c as j E A\J r''$El D(t'c N' t'{1',' bE blA!lc-^J !,,1- rrroc Ff|lNctPAls bE >lbl4 bE rlEtqr

3.1.{, bE '\FAREu..r.r,r' ':r,ls FRo}urol }€ 'NEAcll crlr'o cor')Lrgio.ltgolf |j:

I,i,S - El(o! rtrN{jPqs DE dr ltl!4 f lllErtclA Al'{t o bEJ tucA'acr'lO l.'ilo- grroi fftrNctPAls bE uA hEt6'^lt^d\0 .

-:.,.t"- ;il; ie'rc,tr,,s lI 'nl ritor'Gt"tite!o c0A tE(ao dlltrrrlaA ' N0M

3.2 - ELIP9OIDE b€ | tJEt\Clr

1.2.1- Cc$elAUlrio DO EL'fsorDF Dti ''tfRc'{t ].Z- E-Ll?90itf, clRctjrat Itrotrur:;vtrt') t.1.1- E LlPSC]rbc E tF!krco

.}',1,\ - F0 Cog l.l '. g$HE)ns l.;.1- | lYr! Dc c,,\ElR'1' fi'r* f'.s$glo r!tAg ^c srtttEtalo! W cci\P0 E i' bo n"tRs"tut bG /NE(c'r

,..]i- ""ttnf hE6lrs tlue alv'r! b' fter '-'14'17'u' DE s'l'{FTRT{ ].3,9' €1F-Pl-o bt= AfLlcSritl !g fR'Ntllio bE irAEra'l if r'utino* Ju"rpo a"Urlrt,w r"lovrn' A!6.)taF 6 PRE!s( E r:lrtr Pf\rN'rilr'

{bEl}o - AU}0!AL0EEt E: ,}tJi0tErotE! Dk' }^[ir'lZEi l- - TABELs )r tp€Rqa iE 'JAGro5 coRPot

5 ,,|ct A, r-r, E tuFlclF.t4d

.rdRrrca

1, NOCOES INTRODUTORIAS

1.1 - NOCots BAslcAS DA TE0RIA l'loLECUtA! qlliAs:5

- De'l'i n i qdo de rnol6culas

Admitimos que a ntat6ria ndo seja continua e sjtll conlposta de un nimero enorme, mas finito, de pequenos ob.ietos, charnadosde nlol6cu

1as, cuja subsequente divisdo alteraria a compo:;icao quinrica da nrat6ria enl questao. As mol6culas podem sen da mesma espilcie ou de diversas esp6 cies; enr gerral , por6nr, o nlnrero de nrol6culas nutn sistema anal isaclo e nruito najor do que o nfinrero de esp6cies. Entendr:mos corno nlol6culas tanl b6m ltonros (ou nrol6culas) ionizados e/ou eletrons l ivres.

- Mov inrento de nrol6cul as

Adnritinros ainda que nos gases e plasntas (sontente estes serdo de nosso interesse no presente trabalho) as mol6culas movenl-se coln

velocidades varidveis de uma ntaneira mais ou ntettos ca6tica. Adentajs, as diversas partes dasnrol6culas (por exentplo, 6tonros) podent ter utn ntov jtren to interno como, por exenrplo, de rotaqdo mitua e de vibragdo,

- Interag6es entre nrol6j!l as

As ntol6culas inter agem entre si <:om as forcas chamadas internroleculares, as quais decaenr rapidamente cotn a distdncia (por exenr p1o, do tipo r-s). Assim nio hi praticamente nenhuma jnLeraqio entre as nrol6culas cuja distincia nt[tua for t]tuito ntaiclr do que os seus tattranhos

(a ndo ser nos Inomentos quando se aproximam instantdneantente ulllas das outras), Este 6 o caso, por exenlplo' do ar atmolf6rjco nas condiq6es

"normais" (isto 6, conr a pressao p = laUreateirperaturaT=00C) e de todos os outros gases cu.ja densidade_ 6 definida cotno "ltloderada" ou "bai xa". Unra possivel excegdo 6 constituida por pla:;tnas, nos quais as for cas, internioleculares sao do tipo c.l6trjco e nio decaem t6o rapidamente com a dist6ncia.

- Col is6es entre mol6culas

No.caso de gases de densidade moderada ou baixa' as mol6 culas em movimento influenciam untas es outras apenas nos momentos nos quais ficanr separadas pelas distincias comparlveis com os tamanhos mole culares. Estes eventos sdo chanrados de "encontros" ou' seguindo a nomen clatura primitiva da Teoria Cin6tica dos Gases - de "colis6es" (confor me as id6ias originais, mol6culas seriam particulas rigidas'possivelmen te esf6ricas, cuja Inica interacdo dar-se-ia aLr?v6s de intpactos mituos).

- Percurso I ivre m6dio

Entre as colis6es sucessivas, as IolAculas percorrem dis tincias chatnadas de "percurso I ivre". A m6dia aritm6tjca de percursos livres de todas as mol6culas nultl certo volume 6 chamada de "percurso li vre m6dio" (:'PLM,,). 0 PLM 6 uma das caracteristicas mais relevantes no estudo da teoria Cin6tica dos Gases. Nos gases de nosso interesse (isto

6, de densidade moderada ou baixa), o PLM 6 muito maion do que as dimen s6es das nrol6culas que contpdent o gas enl questdo'

- 0rderl de grarrdeza do nintero de ntol6culas

Para ter uma id6ia da ordem de grandeza do nlmero de nlo l6culas, notemos que nas condicdes normais de pressio e de temperatura

(p = 1at, T,= goc), I rnol-granra de qualquer gas cont6m ap rox i nladamente 6,025 x l0r!' nrol6culas (o que, no caso de gases perfeitos corresponde a

2,687 x 1022 ntol6culas ent 1 dcm3 de volunte)

1.2 - ESPACOS p Er de nrol6culas no espaco fisico e no espaco de fase na t6nri ca denaoas

Para determinar a posiqdo instantinea de uma mol6cula mo e suas caracteristicas dininricas, precisamos conhecer as cool" (por exemplo, cartesianas) clo vetor-posiqio da mol6cula:

X1' X21 X3' e as componentes da velocidade da mesnta:

V1, V21 V3; sendo que estas Ultjmas podem ser substituidas pelas componentes da quan tidade de mov imento:

Pr' Pz' Pg.

E claro que para especificar o estado dinimico de nrol6cu 'las poliat6rnicas (onde podem ocorrer' por exemplo, vibracoes e rotac6es) , preci sariamos de nra is parametros.

Em nosso trabalho I idaremos, principalmente, com as mol6 culas monat6micas.

Se as componentes cartesianas do vetor-posigao de utna mo l6cul a esti verem contidas entre:

f t B Xr+dxr IiXz I X2+dX2

I Xs I X3 + OX3

(isto 6, entre *i e xr +dx' i=1,2'3)' dizemos abreviadanente que a mol6cula esti situada entre

(t.l) i e i+di (1.1") ou,entao, que est6 dentro do volume elementar d3i = dsxi = dx, dxz dxr(1 .2) junto ao ponto i (vide fig. 1 .1).

vi d i zemos ou entio tl0TA l: 0b se rvemo s sent ido s imb5l ico lxn

17r --?(l Itll xt 'l--,

Fig. 1.1 - Posicionamento da mol6cula dentro do volume elementar d3f = dtx. = dxr dxz dxr

Analogamente, se as componentes cartesianas da velocida de da mol6cula estiverem contidas entre:

que a notagEo d3i = dlxi - isto 6, o lado esquerdo deve ser entend i da ndo 6 um vetor.

l' I

Vr € Vs + V2 I V2 +

V3 € V3 + enf,re e v, + dv' abrevi adamente que e v+ov

, que estt dentro dvr oVzdvs (1.3)

= 1,2,3) (1.3') velocidade da mol6cula este contida entre (l.3") do vol ume e I emen ta r:

dxr dxz d3i - dtui = dvr dvz dv:(1.4) juntovelocidade i (vio. a fig. 1.2) r:J - t

'L-.-:/ 4"t I du,.

Fig. 1.2 - Posicjonamento da velocidade dentro do volume elementar d3i = d3v., = dvr dvz dv:

Chamaremos o espaco determinado pelas coordenadas Xrr

Xz, X: - de [espago fisico"; o determinado pelas coordenadas V1; V2, V3 - de Iespago de velocidades".

0 espaco de 6 dimensdes com as vz,vg 6 chamado de espago u (u de mol6cula)' se". Quando a ntol6cula, num certo instante t, e tiver a velocidade entre i e i+di, isto cionada rlntre coordenadas xr, x2, x3'vl' ou entio, de "espaqo de fa .-+_r.+estiver entre r er+dr

6, quando es ti ver posi

[ *' . Xr +

I "' " Xz +

I Xa e Xg +oXE l tlrl

e com as di zemos , conti da componentes Ce velocidade entre

Vr€ Vl+dvr Vz€ V2+dV2

Vs € V3 + dV3 para abreviar a apresentaqao da id6ia acima: "a mol6cula este no volume el ementar:

d6o = d3x. d?v.t

(subentende-se "no espago u, iunto ao ponto i, Xr, Xz, X:, Vr, Vz, v:, no instante t). A ffase sentido, no resto do presente trabalho'

d6,

= oxr d3i = d3xi d3pi dxz dxs dp1 dp, dP3 il.5) t, cujas coordenadas sdo acima seri usada, neste

N0TA 2: Se em vez das componentes de velocidade forem usadas as componentes Pr, Pz, p3 da quantidade de movimento' o espago u se rd defjnido pelas coordenadas x1, Xzr Xr' Pt, Pz, Ps €n "posigdo" de nrol6cula serd representada pelo volu le elenlentar

0 estado de gas contendo N mol6culas monat6micas idEnti cas 6 deterninado' conhecendo-se as posig6es:

(xL xl, x]), (xi, x!, xi),..' t*T, *f, tfl

(vl, vl, vi), tu1' v7, v3),(uf, v!, vf)

e as vel oc i dades :

de todas as mol6culas, em um determinado instanl:e' Notemos que os indl ces superiores nas express6es acima denotam o ilmero atribuido a cada mol6cul a.

0 espago hipot6tico determinado pelas 6N coordenadas,x|, N,N..., Xg, vi, ..,, vr - 6 chamado de "espago r" (t de gas) ou de "esPg qo de fase de N nrol6cu.las", Observemos que um Enlg no espago determi na completanrente o estado do gas monat6mico.

Da nesma maneira que especificamos a posigio de uma [n1 ca mol6cula dentro de um volume elementar d6ur, o estado do gas pode ser especificado tamb6nr dentro de um volume elementar do espago y. A saber' se no instante t, a mol6cula n[ntero 1 estiver entre i1 e ir + di1 ' com a velocidade entre i. e V, * di1, se a mol6cula nlmero 2 estiver entre i, e i, * di2, conr a velocidade entre i2 e i, * diz, eto.etc., dizg mos que o estado do gas estd dentro do volune elementar:

d'ui) = "l, o'*i o'ui

junto ao ponto il,, iN, ir, ..., in, no(1.6)

i nstante t.

vi, fr'D lugar da expressEo aci(,l.6')

N0TA 3: Se recorremos a p', enr vez de ma, teremos

.6N N d A= nc=l r 3.,cl .r3qt i t Pi

Observemos que o estado instantdneo do gas inteiro 6 de terminado por nreio de um lnico ponto no espaqo y. Como as coordenadas das mol6culas e suas velocidades tem que variar com o tempo (a neo ser que nenhuma das mol6culas se mova), o ponto que representa o estado do gas no espago y estA tanrb6m enl constante movjmento (continuo).

- Definicao Prel iminar

Para definir a chantada funqlo de distribuicio f(f 'V't)' relembremos primeiro como 6 definida a densidade+(i,t) de massa' Sendo

M = massa, V = volume, definimos p por meio da equagio:

dM = p(i,t) dv(1.7) onde se admite que p 6 uma funqio de i e t mas nio do volume elementar' dV. Obser"vemcs que a definiqio acima equiva.le i exist6ncia de proporcio nalidade num ponto genbrico, i, e num instante gen6rico, t, entre o vo lume elementar, dV, e a quantidade de massa, dM, contida no mesmo - sen do que p 6 o pr6prio fator de proporcionalidade'

Analogamente defininros a funqio de distribuiqao' f' por meio da equacdo:

ouu = r(i,i,t) a" onde d6N 6 o nlmero total de mol6culas contidas rro volume elementar d6r,r no espago u (no sentido exposto na secio 1.1, isto 6, posicionadas entre xi e xi + dx' com as componentes da velocidade entre vi e vi * dvi)'

Notemos que, assim, a funcdo f pode ser considerada como

"densidade do n[mero de mol6culas"' no espago u. Observamos que f 6 uma funcdo de i, i e t, por6m n6o do volume elementar d6' = d3xi d'vi'

Escrevemos a equacdo (1.8) na forma:

aGn = r(i,i,t) d3x., d3v.,(1 .B' ) venns que para obter o nimero de nrol6culas posic'ionadas entre xt e xt + dx' com as componenLes da velocidade entre vi e vi + dvr, onde i = 1'2.-

3 basta nrultiplicar a expressio d6,]r = oxr dxz dx:r dvr dv2 dv3 pelo va lor da funcdo f que corresponde a- posigio i, a- vtrlocidade i e ao instan te t.

8 1.3 - FUNCAo DE DISTRIBUIgA0 f(i,i,t)

NOTA 1: A definiCdo (1.8) foi adotada, por exemplo, por Chapman

& Cowlling, Huang, Tanenbaum, etc. Alguns autores, como por exem p1o Kennard, definem a funcdo de distribuigdo, f, pela relacio

$ = rti,v,t) d., = r(F,v,t) d3x, d3v., onde N 6 o nlnrero tota] de mol6culas contidas no sistenra analisado.

De acordo conr (1.9), se se multiplicar t(i,i,t) por d6o,nio se ob ten o nlmero das nrol6culas contidas em d5o mas sim a fracdo das mesmas em relacio ao n[nrero total das mo]6culas do sistema em ques tio. E claro que, multipl icando-se (,l.9) por N, vem:, a'il = u.r1i,i,t) d6,,r(t.s'1

Conparando-se (1,9,)com (l.B) vernos que as duas defini 96es divergem apenas de um nrilltiplo. podemos dizer que a funcio de distribuigao da funcdo (1.9) e a fungdo de distribuigio (l.B) not nral izada, sendo N o fator de normalizacio.

Conto frequentemente 6 usado o ntesnro simbolo para denotar as duas func6es, o leitor ao examinar qualquer livro da Teoria Ci n6tica dos Gases, deve certjficar-se qual das duas defjnic6es 6 usaoa.

- !"ntiao proOaUitist distribuicio

Anal isando a definiqdo da funcio f (i,i,t) peta equagdo(1.8) venros que o valor de d6r,r tem que ser muito pequeno em relacdo a*s dimens6es macrosc6picas do sistema anal isado (isto 6, para que d6u, po:

sa ser considerado como um ',ponto,,), por6m, ao mesmo tempo tem que ser suficientemente grande para conter um nlmero elevado de rnol6culas. De fato,6 ficil ver" que se o volume elementar d6o for demasiadamente pg queno, a funqdo f(i,i,t), definida pela equaq6o (1.8), poderi passar a depender do prSprio volunre elenrentar d6,, para ilustrar a afirmacdo aci ma, considerentos um volume d6, tio pequeno que esl:e contenha apenas uma ilnjca mol6cula, Assim, da equaEio (1.8) resulta qLre fi.e) 9 l-o f(f,i,t) = 1/d6t, Se cons iderarnlos agoraduas metades do volume original:

l{o',)" =}a', ' fr' = t/{a',)' = t/(+6e,) = 2/d6ur fr" = orto',)' = ol(+ d6r,r) = o ao passo que, se considerarmos o volume original ' r(i,ri,t) = l/d6r,r.

en geral , a molEcula em questio encontrar-se-d apenas em uma das metq des - digamos, em (d6,,,)r. Assim a funcdo f seria, nas duas metades:

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