Baixe Noções de geometria euclidiana e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Projeto: Apostilas Reunidas. Noções de Geometria Euclidiana Araújo, Pedro Miranda. e-mail: igf23@yahoo.com.br 1 Um pouco sobre Euclides Euclides de Alexandria (360 a.c.–295 a.c.) foi um professor, matemático platonico e escritor possivelmente grego, muitas vezes referido como o “Pai da Geometria”. Ele era ativo em Alexandria durante o reinado de Ptolomeu I (323–283 a.C.). Sua obra Os Elementos é uma das mais influentes na história da matemática, servindo como o principal livro para o ensino de matemática (especialmente geometria) desde a data da sua publicação até o fim do século XIX ou ińıcio do século XX. Nessa obra, os prinćıpios do que é hoje chamado de geometria euclidiana foram deduzidos a partir de um pequeno conjunto de axiomas. Euclides também escreveu obras sobre perspectivas, seções cônicas, geometria esférica, teoria dos números e rigor. Fonte: Wikipédia. 2 Notação O leitor pode ver abaixo as principais notações. As demais serão apresentadas e explicadas no decorrer do assunto. (a) Os pontos são representados por letras maiúsculas. Ex.: A, B, C, D, E, . . . (b) As retas são representadas por letras minúsculas. Ex.: a, b, c, d, e, . . . (c) Os planos são representados por letras gregas minúsculas. Ex.: β, γ, θ, ψ, . . . 3 Conceitos Importantes (a) Definição: É a nomeação de objeto(s)1 que possue(m) a mesma propriedade2. “Pro- gressão Aritmética é uma seqüência de números reais, onde cada número, a partir do segundo, é a soma do anterior com um mesmo número real, denominado razão”. No exemplo temos como objeto uma sequência de números reais e como propriedade a situação onde cada número, a partir do segundo, é a soma do anterior com um mesmo número real, denominado razão. 1Ou conteúdo da definição. 2O mesmo que caracteŕıstica, particularidade. 1 4 Axiomas de Incidência (b) Proposição: São afirmações3 que podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas. Dividem- se em três tipos: • Tautologia: É verdade sobre qualquer circunstância. • Contradição: É falsa sobre qualquer circunstância. • Condicional ou sentença Aberta: É verdade sobre algumas circunstâncias (ex.: x+ 1 > 2). (c) Axioma: É uma proposição admitida como verdade (aparentemente evidente) e que não necessita de justificativa, ou seja, é uma tautologia. Postulado é uma variação de axioma onde a “verdade” admitida não é evidente. (d) Teorema: É uma proposição condicional com justificativa fundamentada em outras pro- posições. Faz uso de prova (ou demonstração). Divide-se em duas partes: • Hipótese: conjunto de uma ou mais proposições que fundamentam um teorema; • Tese: Afirmação que pode ser provada através da hipótese. Ainda no que diz respeito a Teorema temos a seguinte classificação. • Lema: Teorema usado para provar a existência de outro Teorema. • Corolário: Teorema obtido através de outro Teorema. • Propriedade: Teorema que é a consequência de uma Definição. Pode-se dizer que ocorre quando a definição se baseia em uma hipótese. 4 Axiomas de Incidência Axiomas 4.1. Para qualquer que seja a reta r no plano existem pontos que pertencem e pontos que não pertencem à reta r. Axiomas 4.2. Uma única reta contém dois pontos distintos em um plano. Axiomas 4.3. Em um plano existem infinitos pontos. Observação 4.1. Considere as seguintes definições: (a) Pontos coplanares são pontos que pertencem ao mesmo plano. (b) Pontos colineares são pontos que pertencem a mesma reta. (c) Figura plana é como um conjunto de pontos que pertencem ao mesmo plano. 3Entenda afirmação como um ente intuitivo com valor lógico verdadeiro, falso e indeciso. 2 6 Partes de uma Reta 3) O ângulo plano divide o plano em duas partes: interior e exterior. A parte que contém o segmento de reta AB é dito parte interior. Definição 6.4 (Ângulos Opostos pelo Vértice). São ângulos opostos resultantes da interseção de duas retas em um único ponto. Imagem 6: Ângulos opostos pelo vértice Os ângulos4 opostos da Imagem 6 são AP̂B ∼ DP̂C e AP̂C ∼ BP̂D. 1) Dois ângulos são suplementares quando juntos formam um ângulo raso. No caso, AP̂C e AP̂B são ângulos suplementares. 2) As retas r e s serão perpendiculares se um dos ângulos for reto (igual a 90o). Teorema 6.1. Se dois ângulos são opostos pelo vértice então possuem a mesma medida. Prova. Imagine que queremos mostrar que AP̂B = CP̂D (ver Imagem 6). Note que AP̂C é suplemento de AP̂B e CP̂D. AP̂C + AP̂B = 180o e CP̂D + AP̂C = 180o Então, AP̂C + AP̂B = CP̂D + AP̂C =⇒ AP̂B = CP̂D. Teorema 6.2. Por qualquer ponto P de uma reta r, existe uma única reta s, perpendicular a r. Prova. Observe a Imagem 7. Imagine que as semi-retas SPA e SPB formam um ângulo raso (180 o) e que existe uma reta s com semi-reta SPQ perpendicular a r no ponto P . Isso mostra que a situação é posśıvel faltando apenas provar a sua unicidade. O primeiro passo da demonstração da unicidade é a escolha de duas retas. Diremos que ambas são perpendiculares a r no ponto P . Veja a Imagem 8. 5 7 Ponto e Coordenada Imagem 7: Retas concorrentes no ponto P Imagem 8: Retas r, s e m Se for verdade teremos AP̂C = DP̂B = 90o e AP̂C + CP̂D +DP̂B = 180o. Logo, 90o + CP̂D + 90o = 180o =⇒ CP̂D = 0o. Conclui-se que as retas s e m são coincidentes. A unicidade fica provada. 7 Ponto e Coordenada Axiomas 7.1. A todo par de pontos do plano corresponde um número maior ou igual a zero. Este número é zero se, e somente se, os pontos são coincidentes. Observação 7.1. A ideia de número citada pelo Axioma 7.1 é a de distância, medida ou com- primento entre os pontos. 4Ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. 6 Referências Bibliográficas Axiomas 7.2. Os pontos de uma reta podem ser colocados em uma correspondência biuńıvoca5 com os números reais, de modo que a diferença entre os números meça a distância entre os pontos correspondentes, ou seja, AB = |b − a| onde a e b são as coordenadas do segmento no plano dos reais. Axiomas 7.3. Se um ponto C encontra-se entre A e B, então AC + CB = AB. Imagem 9: Segmentos de reta AC e CB Considere A, B e C pontos colineares. Através da Observação 7.2 percebe-se a desigualdade a < c < b resultante da ordenação dos reais. Observação 7.2. Dados dois números reais distintos, um deles é sempre menor (ou maior) que o outro (ordenação). Observe. 1) O número a é menor que o número b =⇒ a < b. 2) O número b é maior que o número a =⇒ b > a. Teorema 7.1. Se, em uma semi-reta SAB, considerarmos um segmento AC, com AC < AB então o ponto C estará entre A e B. Prova. O ponto A não pode estar entre B e C, pois deu origem a semi-reta SAB. Resta como uma das possibilidades o ponto B entre A e C, se for verdade teremos pelo Axioma 7.3 AB + BC = AC que implica em AB < AC. Isso é uma contradição, pois AC < AB. Conclui-se, portanto, que o ponto C está entre A e B. Referências Bibliográficas [1] DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Plana. 7o edição. Editora Atual - 1997. [2] ARAÚJO, Pedro Miranda. Tutorial sobre LATEX 2ε. Dispońıvel em http://portalcien- exatas.blogspot.com. 5Diz-se de relação ou correspondência entre dois conjuntos, em que cada elemento do primeiro corresponde a apenas um elemento do segundo, e vice-versa. 7