Baixe Apostila de Mecanica Quantica e Relatividade-Prof.Lindemberg e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Apostila de Noções Básicas de Mecânica Quântica e Relatividade Prof. Lindemberg de Sousa Oliveira A falta de material ou a sua existência de referência sobre o as- sunto, foi o motivador para elaboração desta apostila voltada ao ensino médio. Foi omitido a matemática diferencial e integral ou de maneira tímida se apresenta nesta apostila. E Bom Estudo! Maranguape-Ce 2013 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg 1 Introdução A Física é um ramo da ciência que se preza pela sua consistência de sua teoria. Uma Lei da física é algo que deve ser seguida independentemente da situação em que esteja sendo analisada. No início do século XIX a física parecia já ter mapeado grande parte dos fenômenos naturais com suas leis. Até o momento grandes nomes já haviam sido consagrados com suas teorias explicando fenômenos como o movimento de corpos (mecânica newtoniana e gravitação), movimento da luz (óptica), máquinas térmicas, eletromagnetismo... Foi exatamente então que começaram surgir furos na teoria clássica; furos esses que só seriam explicados com teorias completamente inovadoras e bem diferentes das tendências estudadas até então. Apresentaremos agora alguns fenômenos (esses furos) que foram analisados, e que consequentemente deram inicio à Mecânica Quântica. 2 A Catástrofe do Ultravioleta A teoria clássica da física apresentava um dos seus primeiros furos ao se estudar a emissão de um corpo negro. Corpo negro é qualquer corpo que absorve totalmente a energia emitida sobre ele. Um corpo negro ao ser incidido com certa energia emitirá energia na forma de energia eletromagnética (produzindo luz e calor). Natural- mente, deveria existir uma lei matemática que nos dá a dependência da intensidade emitida com a temperatura e a freqüência emitida. Os conhecimentos da Física Clás- sica nos davam a seguinte expressão (elaborada pelo trabalho de Rayleigh-Jeans e Boltzmann): I = 8πkT λ4 O gráco da intensidade em função do comprimento de onda é decrescente com o aumento do comprimento de onda. Isso gera o absurdo em questão. Para freqüências no espectro do ultravioleta teríamos uma intensidade tendendo a innito, o que viola a lei da conservação de energia. Os grácos experimentais mostravam que a 2 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg Fica como exercício para o leitor mostrar que essa função possui um maximo global (usando noções básicas de derivada). A gura abaixo mostra o gráco dessa função. Encontrando o máximo da função teremos que: λImax = b T Tal expressão é conhecida como lei do deslocamento de Wien, e a constante de Wien é dada por: b ≈ 2, 89.10−3m.K Exercício contextualizado Sabemos que a temperatura média da superfície da estrela polar é de 8300K. Qual das opções propostas pode melhor representar o comprimento de onda relativo a radiação espectral máximo? (a) 3500 Angstrons (b) 2100 Angstrons (c) 4500 Angstrons (d) 1500 Angstrons (e) 5000 Angstrons Solução: 5 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg A expressão que nos dá o comprimento de onda para o pico de intensidade para uma dada temperatura é a Lei de Deslocamento de Wien. Para obter a expressão, como foi visto anteriormente, bastaria derivar a expressão de Planck para I em função de lambda e T. O resultado nos diz que: λImax = 0, 00289 T ⇒ λImax = 0, 00289 8300 ≈ 3500.10−10m Resposta: Item a 6 Voltando ao problema: Efeito Fotoelétrico O fato que causava problema na compreensão de a intensidade da luz incidida não ser fator no arrancamento dos elétrons podia ser agora explicada pela teoria de Planck. A energia emitida é meramente função da freqüência. Discutimos que para que o elétron seja libertado é preciso que receba uma freqüência mínima, chamada de freqüência de corte. Recebendo uma energia correspondente a uma freqüência maior ou igual à de corte há liberação de elétrons (obrigatoriamente deverá ser no mínimo o valor da de corte). Incidindo uma energia h.f numa placa metálica (maior que a energia de corte) parte da energia será usada para superar o corte e o restante dará energia para os elétrons (a menos que haja uma força dissipativa, essa energia será transformada em cinética). A conservação de energia, ou equação de Einstein para o efeito fotoelétrico é dada por: hf = h.f0 + Emax OBS: A energia de corte (h. fo) é também denominada de função trabalho. Sendo essa energia máxima transferida totalmente à energia cinética, temos: 1 2 .m.V 2 = h.(f − f0) Sabendo que a energia de corte pode ser dada em função de um potencial (pela denição física Energia = Potencial x Carga), temos: 6 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg V0 = E0 e Segue que: V0 = h e .(f − f0) Isto é, o potencial de corte é uma reta em função da freqüência de luz incidente. Um experimento de laboratório interessante é determinar a constante de planck utilizando dados experimentais (é só lembrar que o coeciente angular da reta re- sultante será h/e). É importante então concluir que o potencial de corte depende do material porém seu coeciente angular h/e é constante para todos os materiais. Podemos inclusive fazer uma análise de como é o comportamento do gráco da cor- rente de elétrons liberados em função da voltagem estabelecida. Para uma dada intensidade de luz incidida temos um aumento de corrente com o aumento da voltagem. Notar que basta aplicar uma ddp com a voltagem de corte negativa para zerar a corrente. Tal ddp que zera a corrente é a mesma independente da intensidade do feixe incidido, porém a corrente de saturação não é (veja a gura acima). Exercício contextualizado resolvido Sobre um circuito de efeito fotoelétrico são incididos radiações de duas frequências diferentes, de comprimentos λ1 e λ2 (maiores que a frequência de corte do material). Os elétrons liberados por cada incidência têm velocidades V1 e V2 tais que a razão 7 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg da freqüência emitida com o número dos níveis do qual o elétron estaria saltando. O trabalho de Balmer foi semelhante porém menos geral que o de Rydberg (incorpo- rando apenas alguns níveis). Vale ressaltar que o trabalho de Rydberg foi encontrar uma função de dados encontrados experimentalmente, e daí a complexidade de tal trabalho. 1 λ = RH . ( 1 n12 − 1 n22 ) Onde HR é a constante de Rydberg, obtida experimentalmente. 8 Modelo de Niels Bohr O cientista dinamarquês Niels Bohr, no inicio do século XX se propôs a explicar a tese de Rydberg, criando um modelo atomístico diferente do que já se conhecia na época. Os experimentos até então, realizados por Rutherford mostravam que o átomo consistia de uma nuvem eletricamente carregada em torno de um centro, denso, e positivamente carregado chamado núcleo. Tal proposta de Rutherford leva ao mundo da física propor o modelo planetário para os elétrons, onde o núcleo es- taria agindo como o Sol e os elétrons em volta do núcleo como planetas em órbita. Importante! O modelo planetário tinha uma falha muito aparente, talvez uma das questões mais interessantes a surgir na física moderna. Naquela época, os trabalhos de eletromag- netismo desenvolvidos pelo modelo de Maxwell explicavam toda e qualquer mani- festação eletromagnética conhecida. Uma das leis de Maxwell dizia que uma carga acelerada, obrigatoriamente, emite radiação eletromagnética. Ora, um elétron em volta de um núcleo está acelerado (aceleração centrípeta)! Se esse elétron emitir onda eletromagnética, ele estará perdendo energia, e com isso sua órbita deveria diminuir gradativamente até chegar ao núcleo, gerando uma colisão catastróca. Sabemos que isso não é verdade, e não poderia ser, uma vez que a estabilidade da matéria é algo concreto. 10 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg Uma esperança de explicação Experimentos da época de descarga elétrica em tubos de gás a baixa pressão mos- travam que a emissão de luz ocorre (a emissão eletromagnética), mas apenas em freqüências discretas. Baseado nisso e nas recém descobertas de Max Planck de quantização, no início do século Bohr propôs um modelo que explicaria tais impas- ses. O modelo de Bohr foi apresentado em 1913 por meio de postulados (regras não demonstradas matematicamente, mas que explicariam o comportamento obser- vado). A seguir, estão os postulados de Bohr. - O elétron se move numa órbita circular em torno de um núcleo sob ação da força elétrica como força centrípeta. - As órbitas do elétron são restritas, isto é, nem todas órbitas são permitidas em qualquer situação. A restrição é que o momento angular do elétron é necessariamente quantizado: m~v × ~r = n. h 2π = n.~ - Os elétrons em órbita NÃO emitem energia eletromagnética enquanto na órbita, e com isso não perdem energia. A emissão de energia (ou absorção) só ocorre na passagem de níveis (quando um elétron muda de um nível para outro). - Cada órbita tem uma energia associada, e a diferença de energia entre dois níveis é igual à energia emitida/absorvida na mudança. 9 A Matemática do Modelo de Bohr Sabemos dos postulados de Bohr que a interação eletrostática núcleo/elétron atua como força centrípeta no movimento circular. Sendo e a carga do elétron, a carga do núcleo será Z.e onde Z é o numero atômico do átomo: m.v2 r = Z. k.e2 r2 ⇒ m.v2 = Z 4πε0 . e2 r A energia total do elétron no átomo de Bohr é dada pela soma de sua energia cinética e energia potencial: 11 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg Etotal = Ecinetica + Epotencial = 1 2 .m.v21 + (− k.Z.e2 r ) = 1 2 .m.v21 − Z 4πε0 . e2 r = 1 2 . ( Z 4πε0 . e2 r ) − Z 4πε0 . e2 r = −Z.e 2 8πε0 . 1 r Esse resultado é muito importante, e nele concluímos que a energia da órbita é uma função do seu Raio de órbita. Etotal ∝ − 1 r Exercício contextualizado Mostre que o momento linear do elétron no átomo de hidrogêneo é dado por: √ m.e2 4πε0r Solução: Vamos tentar expressar o raio da órbita em função do n. Do postulado: mvr = n. h 2π ⇒ v2 = h 2 4.m2.r2.π2 .n2 Lembrando que: mv2 = Z 4πε0 e2 r m. h2 4.m2.r2.π2 = Z 4πε0 e2 r ε0.h 2 m.e2.Z.π .n2 = r Ou seja, o raio da órbita é uma função do numero n do nível: 12 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg Segue que: h. c λmin = ∆Emax = 10, 2eV ∴ λmin = 10, 2 hc Unidades de Comprimento Exercícios Propostos: 1. (ITA 99) A tabela abaixo mostra os níveis de energia de um átomo do elemento X que se encontra no estado gasoso. E0 0 E1 7,0eV E2 13,0eV E3 17,4eV Ionização 21,4eV Dentro as possibilidades abaixo, a energia que poderia restar a um elétron com energia de 15eV, após colidir com um átomo de X seria de: a) 0 eV b) 4,4 eV c) 16,0 eV d) 2,0 eV e) 14,0 eV 2. (ITA 2006) O átomo de hidrogênio no modelo de Boh é constituído de um elétron de carga e e massa m, que se move em órbitas circulares de raio r em torno do próton, sob a inuência da atração coulombiana. Sendo a o raio de Bohr, determine o período orbital para o nível n, envolvendo a permissividade do vácuo. 3. Suponha que o átomo de hidrogênio emita energia quando seu elétron sofre uma transição entre os estados inicial n=4, e nal n=1. Qual é a energia do fóton emitido? Qual é a freqüência da radiação emitida (Constante de Planck = 6, 63.10−34 J.s) 4. (ITA 2002) Sabendo que um fóton de energia 10,19 eV excitou o átomo de hidrogênio do estado fundamental (n=1) até o estado p, qual deve ser o valor 15 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg de p? Justique. 5. (ITA 2003) Utilizando o modelo de Bohr para o átomo, calcule o número apro- ximado de revoluções efetuadas por um elétron no primeiro estado excitado do átomo de hidrogênio, se o tempo de vida do elétron, nesse estado excitado, é de 10−8 s. São dados: o raio da órbita do estado fundamental é de 5, 3.10−11 m e a velocidade do elétron nessa órbita é de 2, 2.106 m/s 6. Determine a expressão para a velocidade do elétron na órbita em função do numero n do nível. Gabarito: 1. d 2. T = 4.π.ε0.n 3. √ π.ε0.m.a e 3. E= 12,75 eV f = 3, 07.1015Hz 4. p=1 . A energia não é suciente para levar ao nível 2 . A energia necessária seria no mínimo 10,2 eV 5. Aproximadamente 8 milhões de revoluções 6. v(n) = ( e2 2.ε0.h ) . 1 n ∴ v(n) ∝ 1 n Observação A resposta à dúvida do caráter ora ondulatório e ora de partícula das emissões eletro- magnética pôde ser analisada com o experimento do efeito fotoelétrico de Einstein. O choque de uma emissão eletromagnética contra uma placa arrancava elétrons da mesma, evidenciando sob certas condições (como vimos, a freqüência para o fenô- meno é restrita) o caráter de partícula por parte de ondas. Estudaremos a seguir um segundo fenômeno que corroborou a tese de Einstein. 10 Efeito Compton O fenômeno descoberto pelo físico Arthur Holly Compton em 1923, chamado Efeito Compton, analisa a diminuição de energia de um fóton quando esse colide com ma- 16 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg téria. A diminuição de energia ocorre com a mudança no comprimento de onda (aumenta). Tal mudança nos evidencia que a luz, por exemplo, não tem caráter puramente ondulatório (assim como Einstein já havia evidenciado em seu experi- mento do efeito fotoelétrico). Usaremos um resultado do Eletromagnetismo de que radiações eletromagnéticas carregam momento linear (p) : E eletromagnetismo︷︸︸︷ = p.c =︸︷︷︸ Planck h.f ∴ p = hf c A situação descrita no efeito Compton está ilustrada abaixo. Deduziremos agora uma expressão para o aumento no comprimento de onda do fóton após o choque. É importante deixar claro que algumas passagens da dedução parecerão compli- cadas a primeira vista, pois utilizaremos resultados da Física relativística. Pedimos que mesmo que o conceito ainda não esteja completamente claro ainda (veremos mais isso mais a frente nesse curso de Física Moderna), que o leitor acredite nos resultados que estaremos usando. Tais resultados são: Energia associada à matéria (energia de repouso): E = mc2 Energia associada a matéria com velocidade: E = √ (mc2)2 + (p.c)2 Voltando ao problema, considerando uma colisão entre o fóton e um elétron em repouso (veja gura), temos da conservação de energia: Erepouso particula + Efoton inicial = Evelocidade particula + Efoton inicial m.c2 + hf1 = √ (mc2)2 + (pe.c)2 + hf2 ∴ (mc2 + hf1 − hf2)2 = (mc2)2 + (pe.c)2 p2 = (mc2 + hf1 − hf2)2 − (mc2)2 c2 17 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg construtiva e um reforço seja perceptível Analisando os ângulos nos quais isso aconteciam para o Raio X e os ângulos nos quais isso aconteciam para os elétrons, percebeu-se que nessas situações os elétrons possuíam o exato comprimento de onda proposto por De Broglie. Ora, então De Broglie estava certo! A interferência construtiva observada nos cristais NUNCA ocorreria de acordo com a teoria corpuscular do elétron. 12 Conseqüências da hipótese de De Broglie pro átomo de Bohr Uma das mais importantes conseqüências da teoria de De Broglie é que a mesma justicava os antes indemonstráveis postulados de Bohr (ver pp. 9-11). De Broglie explicou que cada elétron do átomo de Bohr é acompanhado de uma onda estacionária associada guiando seu movimento, dessa maneira a aceleração não estaria contribuindo para a emissão de energia eletromagnética. Para que uma onda estacionária se ajustasse à órbita circular do elétron, devemos ter que o com- primento da órbita circular equivalha a um número inteiro de comprimento de ondas do elétron. Ou seja: 2πr = nλ n Z Da hipótese de De Broglie: λ = h mv 2πr = n. h mv n Z ∴ mvr = n. h 2π n Z A expressão acima já é conhecida! É mais de uns previamente indemonstráveis pos- 20 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg tulados de Bohr. Concluímos que a teoria de De Broglie foi bastante razoável e apresentava total consistência com a teoria de Bohr! A expressão acima já é conhe- cida! É mais de uns previamente indemonstráveis postulados de Bohr. Concluímos que a teoria de De Broglie foi bastante razoável e apresentava total consistência com a teoria de Bohr! Exercício Contextualizado Resolvido 1. Um elétron em movimento manifesta uma onda de matéria com comprimento de onda de De Broglie igual a 10-10 m . Sendo a massa do elétron igual a 9, 1.10−31 kg, sua carga é 1, 6.10−19 C e a constante de Planck igual a 6, 63.10−34 J.s, qual a DDP necessária para acelera-lo do repouso até a velocidade necessária? Solução: Da Hipótese de De Broglie, segue: λ = h mv ⇒ v = h mλ = 6, 63.10−34 9, 1.10−31.10−10 ∼= 7, 28.106ms Utilizando o Teorema do Trabalho e Energia Cinética, desconsiderando o efeito relativístico do elétron: Wcampo eletrico = ∆Ecinetica ⇒ U.q = 1 2 .mv2 − 0 ⇒ U = mv 2 2q = 9, 1.10−31.7, 282.1012 2.1, 6.10−19 = 150, 7V A DDP necessária é de aproximadamente 150,7 V. 13 Princípio de Incerteza de Heisenberg Conforme foi dito na introdução desse artigo, muitos dos conceitos aqui apresenta- dos carecem de demonstrações rigorosas. Isso é compreensível se formos pensar que 21 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg a teoria que estamos estudando levou a criação da Mecânica Quântica, um ramo da física que envolve muita teoria e matemática pesada (fugindo então dos propósitos desse curso). É importante que entendamos os conceitos extraídos dos resultados desses cientistas, e sabermos como aplica-los (principalmente nos exercícios do ITA, como o curso se propõe a fazer). Werner Heisenberg é um cientista alemão que se propôs a mostrar, ou exprimir ma- tematicamente, sua tese de que a posição e velocidade do elétron em torno do núcleo do átomo são impossíveis de precisar simultaneamente. Para medir experimental- mente a posição do elétron precisamos de instrumentos de medidas (um dos métodos conhecidos na época consistia de incidir um tipo de radiação sobre o mesmo). Os instrumentos de medida, por sua vez possuem incertezas de medição. Quanto menor a incerteza, mais precisa é a localização do elétron. Com base na base da teoria da mecânica quântica já desenvolvida, Heisenberg enun- ciou que o produto da incerteza da posição pela incerteza do momento linear de um elétron não pode ser inferior (em ordem de grandeza) à metade da constante de Planck reduzida. Ou seja: ∆p.∆x ≥ ~ 2 = h 4π A conclusão é que o elétron não está bem denido na sua órbita do átomo. Quanto mais preciso soubermos sua posição, menos preciso para nós será sua velocidade, tornando assim impossível descrever o elétron em cada instante. Esse enunciado é conhecido como Princípio da Incerteza de Heisenberg. Exercícios Propostos de Revisão 1. Um arma dispara um projétil de 20 g a uma velocidade de 500 m/s . Determine o comprimento de onda de De Broglie associado ao projétil e explique por que o caráter ondulatório não é aparente nessa situação. 22 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg Galileu que dizia que um fenômeno mantinha sua natureza independente do referen- cial. Tal teoria era válida para a física Newtoniana, porém precisaria ser reavaliada para incluir os conceitos do eletromagnetismo. 14.3 A nova idéia de Simultaneidade Antes de enunciarmos os dois postulados que regem a teoria da relatividade, vamos descrever um fenômeno que nos dará uma noção da diferença do conceito de Galileu para o conceito novo proposto por Einstein. Imagine um trem passando por uma estação com velocidade constante. No mo- mento exato em que o trem está passando, duas pessoas (uma em cada extremidade do trem) enviam um sinal luminoso para uma pessoa localizada no centro do trem. Para alguém fora do trem o sinal deve chegar ao centro simultaneamente, é claro. Agora imagine o ponto de vista dessa pessoa que está fora do trem. Para ela o ob- servador do centro do trem está se aproximando na direção do ponto de partida de um dos raios luminosos, e se afastando do ponto de partida de outro raio luminoso. Obviamente, então, para o referencial inercial o sinal luminoso de um chegará ao observador central antes do outro. Isso é um absurdo de acordo com a teoria da relatividade de Galileu. Para Galileu o tempo é único independente do referencial (o tempo passa independentemente para todos, simultaneamente). Então, como dois raios luminosos, emitidos ao mesmo tempo, percorrendo a mesma distância, teriam tempos de chegadas diferentes? 14.4 A Transformação de Lorentz - Dilatação do Tempo Em 1913, Einstein publicou um texto explicando como poderiam ser aplicadas trans- formações conhecidas como transformações de Lorentz, para descrever a diferença 25 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg na simultaneidade de eventos de acordo com o seu sistema referencial. Imagine dois espelhos paralelos, separados de uma distância d, no qual um deles manda um raio luminoso retilíneo para o outro. O espelho receptor passa a se mover com velocidade v para um lado. Vamos considerar essa situação em dois referenciais distintos. (i) Para um referencial xo ao espelho receptor (Receptor II). Nesse caso o sinal continua sendo vertical. O tempo de percurso nesse referencial é ta que: t2.c = d (ii) Para um referencial xo ao espelho emissor (Referencial I) Nesse caso o sinal é oblíquo em relação a vertical. Para o observador xo ao espelho em movimento, o sinal ainda será vertical. De tal forma que podemos tirar a seguinte relação de Pitágoras. (t1.c) 2 = d2 + (vt1) 2 Das duas observações, eliminando o parâmetro d: t21.(c 2 − v2) = t22.c2 t1. √ (c2 − v2) c2 = t2 ∴ t2 = t1. √ 1− (v 2) c2 Devido a esse resultado, comumente encontramos em materiais didáticos a expressão fator de Lorentz , que é dado por: γ = 1√ 1− v 2 c2 26 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg Ou seja, para um referencial com velocidade v em relação ao outro referencial, o tempo é dividido pelo fator de Lorentz. t1 = t0.γ Nesse caso t0 = t2 é o tempo de travessia do raio sem o movimento de referencial. Mostraremos com mais detalhes mais a frente que a velocidade de um corpo não pode exceder a velocidade da luz, o que está coerente com nossa expressão uma vez que o radicando deverá ser positivo. Vale notar que para quanto maior for a relação v2/c2 mais inuente ca o fator de Lorentz (que é sempre um número maior que 1). É comum ouvir-se falar de um objeto como sendo relativístico ou não-relativístico. O objeto será relativístico quanto mais próximo de 1 for a razão v/c. No caso da velocidade entre dois referenciais, temos que o tempo é dilatado para o observador do referencial I. O observador I vê o tempo dilatado em relação ao tempo medido no referencial II. A esse fenômeno denominamos Dilatação do Tempo. O tempo passa mais lentamente para o referencial em movimento 14.5 Contração do Espaço Semelhantemente ao que zemos para deduzir a expressão de Lorentz para a dila- tação do tempo, poderíamos ter percebido uma alteração no espaço para os dois referenciais. Considere o seguinte problema: Uma pessoa A se encontra numa plataforma de trem de tamanho natural L0. Um trem com uma velocidade v muito alta passa pela estação. A pessoa A mede o tempo de travessia do trem (tempo entre o instante em que a frente do trem passou pelo começo da plataforma e o instante em que a frente do trem passou pelo nal 27 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg no nível do mar. O tempo de queda da sua origem (cerca de 2km acima do nível do mar) até o nível do mar seria maior do que seu tempo de vida, e portanto seria um absurdo ter abundância dessas partículas a nível do mar. Vamos ver que, com a teoria de Einstein, o fato evidenciado torna-se possível. A velocidade em que viaja o múon é de aproximadamente 0,9952c. O tempo de vida do múon, considerando a dilatação do tempo (para o referencial terra é): tvida = 2.2µs√ 1− (v c )2 = 2.2µs√ 1− (0, 9952)2 ∼= 22, 5µs A distância que o múon pode percorrer a essa velocidade antes de desintegrar é: ∆S = 0, 9952.c.tvida ∼= 6, 712m Como a distância permitida é maior que a distância que o múon teria que percorrer para chegar ao lugar onde foi observado (devido à contração de espaço), a observação torna-se possível. 14.9 Paradoxo dos Gêmeos Vamos analisar a seguinte situação. Dois gêmeos idênticos A e B são tais que A passará por uma viajem numa nave espacial sob uma velocidade muito próxima da velocidade da luz, enquanto que B permanecerá parado na Terra. Sabemos que para o gêmeo B, que está na Terra, a nave está se movendo, então, segundo a teoria que vimos, ele arma que o tempo para o seu irmão gêmeo dentro da nave está passando mais lentamente. Enquanto isso, o irmão A vê a Terra se afastar dele com velocidade perto de c, e arma que o tempo passa mais de vagar para o seu irmão. Qual dos dois está correto? 30 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg Na verdade, com o problema proposto, ambas as armações estão erradas. Segundo o postulado de Einstein, não é possível comparar o passar do tempo entre duas pessoas com referenciais movendo-se um em relação ao outro. O correto, sim, seria dizer que o tempo passa mais devagar para B quando medido no referencial de A, e vice-versa. Porém, se analisarmos um problema segundo o referencial inercial Terra, existe uma resposta para qual dos dois irmãos está mais envelhecido? . O gêmeo viajante A mudou de referencial inercial ao sair da Terra, passando a um referencial com velocidade constante próxima a da luz, e mais tarde, ao retornar voltou ao referencial da Terra. Ou seja, como a comparação nal é feita no referencial da Terra, conclui-se que B está mais envelhecido que A, devido à dilatação do seu tempo em relação ao referencial. 14.10 Massa de Repouso Podemos denir massa pela segunda Lei de newton, como sendo: m = ~F( d~v dt ) Note que aumentando a força indenidamente estaríamos aumentando indenida- mente sua velocidade. Ora, mas sabemos que a velocidade tem um limite (velocidade da luz no vácuo c). Portanto é de se esperar que haja uma alteração no valor da massa para velocidades próximas da luz. A partir da 2a lei de Newton e da Lei da conservação do Impulso é possível demons- trar que: m = m0√ 1− (v c )2 = m0γ Onde m0 é a massa do objeto em repouso. 31 Noção de Mecânica Quântica e Relatividade Ensino Médio Prof. Lindemberg 14.11 Energia Relativística Junto com seu trabalho matemático sobre relatividade, Einstein mostrou que a ex- pressão relativística precisa para a energia de uma massa de repouso mo e momento linear p é: E = √ (m0.c2) 2 + (pc)2 Devemos então notar a consistência, para os casos: - Objeto de massa de repouso não-nula, com velocidade nula: p = 0 ⇒ E = m0.c2 - (Famosa Relação de Einstein para energia de repouso) - Objeto de massa de repouso nula: m = 0 ⇒ E = pc - (Consistência com o resultado do eletromagnetismo) Método Mnemônico de lembrar a expressão da energia O Triângulo ao lado resume as expressões de energia: E = E0 + Ecinetica ⇔ E = m0c2 + Ecinetica Onde: E é a energia relativística e E0 é a energia de repouso. Do teorema de Pitágoras: E2 = E20 + (pc) 2 ∴ E = √ (m0c2)2 + (pc)2 Exercícios Propostos 1. Uma régua move-se com a velocidade v=0,6c na direção do observador e pa- ralelamente ao seu comprimento. a) Calcular o comprimento da régua, medida pelo observador, se ela possui um metro no seu próprio referencial b) Qual o intervalo de tempo necessário para a régua passar pelo observador? 2. A vida média própria dos mésons é π = 2, 6.10−8 s. Imagine um feixe destas 32