Baixe Pai - 1 - matemática auto instrutivo - professor e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! VINaI 8 INOIdIIS e VJNVINAIVIA SCIPIONE DI PIERRO NETTO CELIA CONTIN GOES Tim Matemática 2ºGRAU Processo Aunto-lnstrutivo SCIPIONE DI PIERRO NETTO Doutor em Educação pela Faculdade de Educação da Universi- dade de São Paulo. Professor de Prática de Ensino de Matemática da Universidade de São Paulo e da Universidade Católica de São Paulo. Professor Titular de Matemática do Ex Colégio de Aplicação da Universidade de São Paulo. Professor Efetivo de Matemática do Magistério Oficial do Estado de São Paulo. CÉLIA CONTIN GOES Mestre em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística de São Paulo. Professora Contratada do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. Professora Titular de Matemática do Ex Colégio de Aplicação da Universidade de São Paulo. Professora Efetiva de Matemática do Magistério Oficial do Estado de São Paulo. Apresentacão Aqui está um manual onde o aluno deve trabalhar muito com Matemática. Pretende-se uma auto instrução através do trabalho contínuo e gradual, a partir de exercícios sempre muito simples, porém numerosos. Pode-se perceber que a gradação permite que o principiante faça todos os exercícios, bastando apenas que trabalhe com seriedade e leia o texto. O trabalho destinado ao aluno e que convencionamos chamar-se FAÇA VOCÊ, deve permitir a interiorização do conhecimento assim como os primeiros mecanismos de fixação do aprendizado; essa fixação é reforçada por séries de EXERCÍCIOS DE REVISÃO ao final de cada capítulo. Trata-se, como se vê, de um esquema que permite o progresso do aluno, mesmo quando o número de aulas semanais é reduzido - três ou quatro por exemplo, — pois a independência do aluno em relação ao professor pode tornar-se bem maior em textos desta natureza. Neste caso, o mestre é antes um orientador de uma oficina de trabalho do que o magister a ensinar pormenores. São 93 sequências do tipo FAÇA VOCÊ e 62 seqiiências de EXERCÍCIOS DE REVISÃO. Com este trabalho espera-se proporcionar oportunidades para que o aluno atinja o mínimo de suficiência desejada a um curso de 2º grau. O FAÇA VOCÊ poderá ser feito no próprio livro quando o espaço deixado o permitir. Todavia um bom caderno é sempre melhor solução. Esperamos contribuir desta forma para que os cursos que contam com alunos de nível pouco satisfatório, possam progredir o suficiente a partir de exercícios muito simples — algumas vezes até banais — e chegar ao indispensável para um curso de 2º grau. Os autores agradecem antecipadamente pelas sugestões ou críticas constru- tivas. Os Autores CAPÍTULO 7 — A FUNÇÃO EXPONENCIAL 79 34. DEFINIÇÃO ....ili nie 79 35. GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL. ........ciiiiiiio 80 36. OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS DO TIPO am e br; a, bm, nE R .. B 37. APLICAÇÕES ......lliii 85 CAPITULO 8 — ESTUDO DOS LOGARITMOS 88 39. O CONCEITO DE LOGARITMO .........lil iii ss 40. DEFINIÇÃO: LOGARITMO DE UM REAL POSITIVO NUMA CERTA BASE . 89 41. APLICAÇÕES DA DEFINIÇÃO. .......liiiiiii 42. A FUNÇÃO LOGARÍTMICA - DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM 43. GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA. .........cciiiiiio 44. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA.. . 45. APLICAÇÕES ......ililiitiis 46. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ........iiiiiii 47. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS.........ciic 48. LOGARITMOS DECIMAIS ........iiiiiiisiiiio 49. CARACTERÍSTICA E MANTISSA DO LOGARITMO DECIMAL. . 50. TEOREMAS DA CARACTERÍSTICA ....... 51. TEOREMA DA MANTISSA............. 52. OPERAÇÕES COM LOGARITMOS ........ 53. TÁBUAS DOS LOGARITMOS DECIMAIS. ... 54. APLICAÇÕES .......ioc 121º CAPÍTULO 9 — TRIGONOMETRIA 126 56. ARCOS... ..ii iii siso 126 57. OS CONCEITOS DE SENO E COSSENO DE UM ARCO . 137 58. A FUNÇÃO SENO..............io.o 137 59. A FUNÇÃO COSSENO............... 139 60. PRIMEIRA RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA . 144 61. IDENTIDADES E EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ........iiiiiiiiiiiicicise 147 62. A FUNÇÃO TANGENTE .......lciiiiiii iii 150 63. RESOLUÇÃO GERAL DE ALGUMAS EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM TGX............... 156 64. A FUNÇÃO COTANGENTE ........iciiic 158 65. AS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS..........iciiiiiiis 161 66. AS FUNÇÕES SECANTE E COSSECANTE .......iiiiiiiiiiiiiii 163 67. AS RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA. .......iiiiiiiiiiiiiti 168 68. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DERIVADAS DAS FUNDAMENTAIS. ........ciciciiiioo 168 69. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS........iiiiiiiisiiiii iss 17 70. DUPLICAÇÃO DE ARCOS..... 175 71. BISSEÇÃO DE ARCOS ....... 175 72. OUTRAS EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ... 179 73. TRANSFORMAÇÕES EM PRODUTO. ........ 181 74. RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS ... 183 75. RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER. . 186 capítulo CONJUNTOS 1. CONJUNTOS DADOS POR UMA PROPRIEDADE 1.1. Você tem a seguir alguns conjuntos dados pelos seus elementos: A=(0,1,2,3,4,5) B=(0,2,4,6,8,10,1 Cc S que podem ser escritos através de uma propriedade característica de seus elementos; assim os representamos: A=[xIxeN e x<s5) B=(xixEN, xépare x< 2) C = (xx é vogal do alfabeto latino) n n+1 D= (xix= (1) e ne N) 1.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 1 Escreva, através de uma propriedade, os seguintes conjuntos dados por seus elementos: a A=(1,3,5,7,9) b) B= e) G= (3,10, 17,24,31, 38 G= Lx. 1.3. Também é possível o caminho inverso, ou seja, dado um conjunto por uma propriedade, escrevê-lo pelos seus elementos ou em extensão: Veja: aA=(xix=2p+3, pEN e p<s5) A=(3,5,7,9, 11, 13) 1.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 2 Escreva os seguintes conjuntos, através de seus elementos: a A=(xIxEN e x<7) A= b) B= 2p+1, PEN e p<5) pra à AD. 9 C=(xlx=(nEk e kEN) c o a D=(x|x2-9=0 e xEN) O E=(xx2-9=0 e xe 2) Ba f=2 al b)B=(xIxEZ e 2<x<4) B=(-2,-1,0,1,2,3) 9 F=(xx=2:3" e nEN) 2 G=(xlxeEn) c=la mH=(IZ En) HÁ, pat LR pi=tdia+-a-n=4 e xEZ) 1=Í. pJ=(kIxeZz e 3<x<5) Joafrnch o pidia do nda 2. UNIVERSO — SENTENÇAS NUM DADO UNIVERSO 2.1. Considere o conjunto U que será o universo ou o conjunto universal das sentenças que proporemos a seguir: U=(0,1,2,3,4,5,6,7,8) e as sentenças s,, 82, 83 e sq, onde x E U: ss: 2x-12=0 s: 2x-15=0 8: xX2-5x+6=0 se; Ra] = (url) 1) Pergunta-se: a) Todo elemento de U satisfaz s;? b) Existe algum elemento de U que satisfaz s,? c) Existe um e um só elemento de U que satisfaz s;? ou simbolicamente: a) Mx E U=>2x - 12=0? (sesignifica todo ou qualquer que seja) DIxeUlZzx-12=0? (Isignifica existe) gaxeul2x-12=07 (Ibignifica existe um único) xté o quantificador universal Jéo quantificador existencial Veja: ss: 2X-12=0 e» 2Xx=12 > x=6 e 6€U portanto, existe um único elemento de U, que satisfaz s,. ou: = IJxeul2x-12=0 6. Seja U=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10) Assinale com V ou F, cada uma das seguintes sentenças, conforme sejam verdadeiras ou falsas: DM xEU>x<10 (vw) b) 3x EU | xé primo Tao) o dlxeu | xé par CF) a) 3Ix EU | x é múltiplo de 10 (o o ÁxEU | xé ímpar cp 9IxEeu|x Eu 9 galxeu|x EU cp mIIxeu |x=2" para algum nEN(E) 2.3. Vamos escrever sentenças matemáticas em linguagem simbólica, usando os símbolos: x+: denomina-se: quantificador universal significa: qualquer que seja 3: denomina-se: quantificador existencial significa: existe A : denomina-se: negação do quantificador existencial significa: não existe dl: denomina-se: quantificador existencial particular significa: existe um único > : denomina-se: implicação simples significa: implica que DYxEU>x+1EU DYxEU>xEN WIxEU| xEU paxeulx-6= 2 malxeu ZEN DÁxEUIXEN DÁxEUIx+ISEU <=: denomina-se: dupla implicação ou equivalência lógica significa: se e somente se ou é equivalente a Dado como universo U, o conjunto Z, dos números inteiros, ou: U=Z=(...,-3,-2,-1,0,1,2,3, e) e a sentença: ss: 2x+ 10< 20 Veja: 2X +10<20 e X<.. - x<.á portanto, para sy: vo 1 4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4) ou =(xxEZ e x<5) Diremos simbolicamente: IxeUl2x+10<20 Seja agora a sentença s,, ou: s: 2x+10= Veja: 2x + 10=15 - 2x=. portanto, para s,: v=s Diremos simbolicamente: Axeulax+10= (e (69) (4) (9) (9) [64] (04) 2.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 4 Considere U = Z e escreva simbolicamente a sentença correspondente ao conjunto verdade de cada sentença: a sixt1=2xX-3 portanto: dlxeu.. bs: K+D(x-2D)=x2-x-2 xt x-% eu! x-à portanto: «A x EV alma) o sa: x2+2x+1<0 x*+ ax ti =0 4x". x vob portanto: Áxecu! OS SUBCONJUNTOS 31. e os conjuntos determinados pelas sentenças: d) sq: 2x2-7x+3=0 x « HEvAS au e x-3 04 x V= 43) » portanto: " Tx e lza e x+1>2 ss: XrLDLXE X- RX DL x< 1 V=Ã Deck portanto: A Pe LL doe Ds x=3x+1 x=Ix+im- V= LiMal.. portanto: Aim Bin Dto ds K+1-2x=x2+1 t+ Les teto dra portanto: E ate (at ' Ed REAR Moses Consideremos como universo o conjunto N dos números naturais, ou: U=N=[0,1,2,3,4, Ss: O conjunto A dos números naturais pares A = TO, 2,4, 6, seres) Ss: o conjunto B dos números naturais ímpares Bsti3os o): ss: o conjunto C das metades dos números naturais — cost lido » bm + ss: o conjunto D dos números do tipo x = 2a + 3, com a € NN. D= (3,5, bi, eus ends, cho, 15, ceeeeee) ss: o conjunto E dos números do tipo x = 2a + 1, coma E Z. Veja em E teremos: a= => x a= a= a= a=0=> x l== x 2=> x onde: Sa: ss: Vê-se que YxeEA= xEeU WxeB= xEU IxeCcixgu x ED a XEU Lizemos que r A é subconjunto de U ou A está contido em U B é subconjunto de U ou B está contido em U C não é subconjunto de U ou C não está contido em U D é subconjunto de U ou D está contido em U E não é subconjunto de U ou E não está contido em U BCU cgu DCU EZU Como: A está contido em U é equivalente a U contém A. também se representa: e pode-se então definir: Observe: La, b)=(b,a) 3.(1,2,5) =. (5,2, 1) 2. (a,a) = (a) 4. (a,b,c,c) =. (a,b, c) Portanto: a) Um mesmo elemento não se repete num mesmo conjunto. b) A ordem dos elementos num conjunto não é importante. 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS Você já conhece os conjuntos numéricos fundamentais: JN =(0,1,2,3 dos números naturais N*=(1,2,3,4, dos números naturais diferentes de zero. b) Z=(......,-3,-2,-1,0,1,2,3,........J dos números inteiros Z*=(xEZIx+0) o Q=(xix=2 com pPEZ, qEZ* e p,q primos entre si) dos números racionais 0*=[x€ QIx+0) ee pois: a) todo número natural é um número inteiro. b) todo número inteiro é um número racional, isto é: todo número inteiro pode ser escrito em forma de fração. Veja: Er == Qim 3=7; 4=-T; 0=5 De um modo geral: wa E Z, pode-se escrever: e] 5.1. PROPRIEDADE DOS NÚMEROS RACIONAIS. Entre dois números racionais, sempre existe um outro número racional. be hipótese: 4 * Q tese: (Ice Qtalque a<c<b a<b Prova: Consideremos a desigualdade a < b e adicionemos aos seus dois membros um mesmo valor; a desigualdade se conservará: a<b a<b ata<b+a a+b<b+b 22<bta a+b< 2h. b+a a+b a<s persas 10 então, podemos escrever: a< Atb <b onde a+b sP.ceo z é um número racional, isto é: logo, IcEQla<c<b, quaisquer que sejam a, bEQ e a<b. É fácil ver como consequência, que: Entre dois números racionais quaisquer, sta ueerO TeERÓNR SURG so “af 5.2. OS NÚMEROS IRRACIONAIS Num primeiro estudo, vamos mostrar que existem números que não se escrevem sob a forma 2 com pEz. qEZ* e p,q primos entre si, isto é, mdc(p, q) = 1. E O número V'2, por exemplo, é um deles. Suponhamos que 2 possa ser escrito em forma de fração, isto é: V2 = + para algum p em Z e algum q em Z*, tal que mdc(p, q) = 1 Provemos que isto é um absurdo: 2 v2 e > 2=& o p=2q)=— = p? seria um número par > p seria| par |, pois se um quadrado perfeito é par, sua raiz também é par. Então p seria da forma: p = 2m, para algum m em Z. substituindo-se em p? = 2q?, temos: Cmt = dq o. > q? seria par=> q seria | par Mas se p e q são pares > p e q não são primos entre si, o que é absurdo, pois mdc(p, q) = Logo V 2 não é um número racional, ou seja, 2 é um número irracional. São irracionais os números: 2, 3, 5, V7, etc. isto é, raízes quadradás de números que não são quadrados perfeitos, são exemplos de números irracionais. Todo número irracional, escrito sob a forma decimal, apresenta infinitas casas decimais, e que não são periódicas. 5.3. OS IRRACIONAIS E A RETA NUMERADA Você já sabe como localizar os números racionais numa reta numerada. Vamos localizar um número irracional, no caso, 2, na reta numerada: “ Basta construir um quadrado de lado unitário e sua diagonal d terá medida igual a /2, pois: Pers d=2 es d=V2 - o TERES 2 a) 4 5 Assim como o número V2,, todos os outros números irracionais podem ser representados na reta numerada. Do que se conclui!!! O conjunto que contém todos os números racionais e todos os números irracionais denomina-se conjunto dos números reais e indica-se por R. Simbolicamente: onde Q representa o conjunto dos números racionais e 1 o conjunto dos números irracionais. Você deve “aceitar” nesse nível de estudo que: 5.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 7 Coloque V ou F, conforme cada sentença seja verdadeira ou falsa: a VqE OQ >7ER (1) 89 YnEN=nEQ (f) YE O =>7EZ (F) h 3xE QIxEN (y) )VZEZ>2EN (€) DINCR (9/4) XYnENSnER (4) DRCZ (9 «(9 o) IxERIXEZ (V) WRDZ (9) q) DVYxEZ>xER (1) D NCR* () (e) 5.5. SUBCONJUNTOS DOS REAIS Vamos identificar alguns subconjuntos lineares dos números reais. São assim chamados porque sempre podem ser representados por subconjuntos da reta. 5.5.1. INTERVALOS FECHADOS: lab] cm a, bER e a<b la, b]=(xe Rla<x<b) 12 5.6. FAÇA VOCÊ: TAREFA 8 1. Represente na reta numerada cada um dos seguintes subconjuntos lineares: Disd=(xeR Is -3 & d) Ju, s]=( 9 19, 4[=( d) (cos, -2] = [ 2. Identifique os intervalos que estão representados nas retas numeradas: 15 6. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 6.1. UNIÃO OU REUNIÃO Seja U um conjunto universo e, consideremos dois subconjuntos A e B de U: U Chama-se reunião de 4 e Ba um conjunto € cujos elementos pertençam a pelo menos um dos A B dois conjuntos, isto é, os elementos pertençam a A ou a B. U Indica-se C por AU B Podemos escrever: A U B A Vejamos os exemplos: 1. A=(1,2,3,4,5,6); B=(-2,-1,0,1,2) AUB=[-2,-1,0,1,2,3,4,5,6) 2.A=(xE R|-I<x<5); B=(xE R|3<x<4) AUB=? Façamos a representação de A e B na reta numerada: A: E 4 É E -— | | Do i : i i B: b | Lo a AUB: 4 é -— AUB=[xER| 16 6.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 9 Determine A U B em cada caso: 9) A=(1,3,5,7,9% B=(0,1,2,3,4,5) AUB=40,1,2,3,4,5,1,95 DA=-(xe AUB=. Ix<10% | B xe NIx414 =[1,2,3,4) o 9A=(1,0 AUB <x<-2) B-(xezl-: Ea < NU Z= e) ZU 6.3. INTERSECÇÃO Sejam A e B subconjuntos de um mesmo universo U. » QUI pum w Eagul, =. » Is] ul, s]= m) lo, sLu [1,3] =, m [,7]U [2,5] 0) A=(1,2,3,4) AUB= pDA=(-1,0,1,2,3) AVA= A:ALO LR) 9ACB=> AUB= B. DADB= AUB= À. WAUU- U. U Chama-se intersecção dos conjuntos A e Bao conjunto C cujos elementos são comuns a 4 e B, A É isto é, pertencem a A ea B. U Indica-se C por AN B Podemos escrever: U B A Vejamos os exemplos: 1LA=(1,2,3,4,5); B=(-2,0,2,4) ANB=(2,4) 2.A=(xE RI3<x<5); ANB=? Façamos a representação de A e B na reta numerada: B=(xe Rll<x<4) 17 7. EXERCÍCIOS DE REVISÃO SEQUÊNCIA 1 1. Enumere os elementos de U e de seus subconjuntos A e B, sabendo-se que: A =(2,5,9,13, 18,20) AUB=(1,5,6,9, 13, 14) B= (2,6,18, 20) e 2. Determine os elementos de A e B, sabendo-se que: A=(feg hi) AUB=(ab,c, d,e, f) AUB= (de) 5. Sabendo-se que A =(5,6,8,9), ANB=(2,4) e AUB=(1,2,4,7,9) determine A, Be U. 6. Sendo A = (6,7,8,9,10), B=(1,2,3,9,10) e ANBe= (4,5), determine AUB. 7. Sendo A =[-1,4], B=]0,7[ eC=[1,6] determine: a) (ANB)-C bd BNQUA 8. sendo A =[-2,2[, B=[1,5[ e C=[1,3] o Cano DA-OUBNO determine: 20 3. Sendo U = [1,2,3,4,5,6); B=(1,3,5,6), determine A=(2,3,5) e ANB e A-B. 4. Determine, gráfica e simbolicamente os conjuntos: a) [3,2] 0], 4] b) [1, +00) U T-3, 4] o Cga; onde A=[-2,2[ e B=[-2,5] a) A; onde U=[2,7] e A=[3,7] 9. Mostre com diagramas que, BCÃ s ACB. 10. Sendo A=[-1,3], B=]1,5], C=[0,9] e D=[5,7[ determine B-AUDNO. SEQUÊNCIA 2. 1. Dados o universo U e o conjunto A C U, abaixo, determine, para cada caso, uma propriedade característica do (VA. a) U=IN e A=(x|x é número primo) DU=Ne A=[xlx=5kKEN) e) U = (xlx é ponto do plano) e A = [x |x é ponto de uma reta dada do plano) capítulo 8. PAR ORDENADO PRODUTO CARTESIANO 8.1. Com os algarismos do conjunto (1, 2, 3), podemos formar os seguintes números de dois algarismos: 1, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33 ou seja, podemos considerar os seguintes pares ordenados: (1, (1,2, (1, 3), 2 1), 2 A) 3) (3.1), 6, &), 8 3) 8.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 12 a) Com o conjunto dos possíveis resultados na jogada de um dado, 0,2.2. 4. podemos considerar os seguintes pares ordenados que repre- sentam os possíveis resultados para a jogada de dois dados: OD, D, LAB CELAS LA) b) Com o conjunto dos possíveis resultados do jogo de uma moeda: (cara, coroa) podemos considerar os pares ordenados que representam os possíveis resultados na jogada de duas moedas: (cara, sara) ( ( ( 8.3. A observação dos exemplos permite caracterizar um par ordenado da seguinte forma: 1) sea b, então (a, b) (b, a) ousea, (a, b)=(ba) = Q.= ID (a, b)=(cd) -& Ql=. 9. PRODUTO CARTESIANO 9.1. Dados os conjuntos A = (1,2,3,4) e B= (3,5, 7) podemos escrever o conjunto A X B, AXB=((1,3), (1,5), (1, 7, (2,3), (2, 5), (2, MD, (3, 3), (3,5), (3, 7) (4, 3), (4, 5), (4, 7) cujos elementos são os pares ordenados formados tirando o 19 elemento do conjunto A e o 2º elemento do conjunto B. 21 9.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 13 a A=(9,b,c) B=(a E . AXB= TCA, A), Ds A) (E A) b) B = (a) 9A=(1,2). B=[1,3,5) AxB= fc. 9Cc=(1,24). D=(1,3,5,7) cxD=((. Cê 9 A=(a bc B=(p ay a Eeblte) AXB= (Lan) 4) Lp) lg), 9.3. Observando: 19) a) e b) você pode concluir que: AXB.ÍLBXA 29) c) e d) você pode concluir que: DC=(a,be d) D = (p) cxD=((ap)(b A=(0,3,6) Ba (1,2,3) AxB=( £) maA=(2,4,6,8) B=(a,b) D A=(1,2) B=G AxBe »a=d B=(3,5,6) AXBO CÊ. ACC eBCD>AXB.C CXxD 39) i) e j) você pode concluir que: A=DouB=-D>AXxB= É 9.4. Podemos agora definir: Isto é, 10. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO PAR ORDENADO. 10.1. Sabemos que qualquer numero real pode ser representado sobre uma reta numerada (eixo). Nosso objetivo agora é a representação de um par (x, y) de números reais. Usaremos, então, dois eixos perpendiculares com origem comum; um para representar o primeiro elemento do par, que chamaremos abscissa, outro para representar O segundo elemento do par, que chamaremos ordenada. (sistema cartesiano ortogonal). 22 11.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 15 1) Represente graficamente os produtos cartesianos A X B, nos seguintes casos: a A=(1,2,3,4,5) B=(-2,-1,0,1,2) b) A=(:3,-2,-1,0,1,2) B = (4) B = (2) Observação: Se B é unitário, os pontos de A X B estão em uma reta paralela ao eixo .7 a A=(1) B=(2,-1,0,1,2) Observação: Se A é unitário, os pontos de A X B estão em uma reta paralela ao eixo , 2) Os seguintes gráficos representam o produto cartesiano AXB. a A=(1,25 B=(1,3) Complete você: b) d) x e) e ++ Va E va a ++ 25 11.3. Considere o gráfico Qualquer que seja o ponto P desta figura, temos y = 2 e x E [1, 4]. Então, a figura representa o conjunto (x, y) Ix€ [1,4] ey = 2) isto é, o produto cartesiano A X B onde: A=[1,4] e B=(2) 11.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 16 1) Os seguintes gráficos representam o produto cartesiano A XB. Determine os conjuntos A e B: a) Ay o -— 3 2) Represente graficamente os produtos cartesianos A X B, nos seguintes casos: a) A=[1,5] B= (2) dA =l-3,2l B= (3) Observação: O gráfico de A X B quando A é um intervalo e B é unitário é um segmento paralelo ao eixo dy as ' “al o A =[-3,+0) 1 B = (4) ! 7 | 4 > rr T|————+— 3 x Ay 9A=R é B = (4) 1 ———————— x ' hr 9 A=(1) B=[-2,2] E — 4 x 24] Ay 9 A=(3) ada B=11,4] —— E = Es nR Observação: O gráfico de A X B quando A é unitário e B é um intervalo é um, mgmente Jara lela, 4 9 A=(1) ê B = 2, nús hy d E = -2 +- hy hn A=(15 T T B=R D A=(3) B = (-09, 4[ 3) Represente graficamente o produto cartesiano A X B nos seguintes casos: hy a A=(1,2,3,4) B= (1,35) b) A = [1,4] B=[1,5] Observação: O gráfico de A X B quando A e B são intervalos é um subconjunto do [plano o A=l[1,4l B=11,5] capítulo RELAÇÕES 13. O CONCEITO DE RELAÇÃO R DE A EM B 13.1. Considere os conjuntos A =(1,2,4,6, 11) B=(2,3,7) e a sentença: p: “x é múltiplo de y”, onde x€ A e y EB. O par (4, 2) torna a sentença p verdadeira, pois 4E A, 2E B e 4 é múltiplo de 2. Este não é o único par ordenado que torna a sentença p verdadeira. Temos ainda: (6,..8) (8,3) é (AB) Então, a sentença p e os conjuntos A e B, determinaram um conjunto de pares ordenados: R = ((2, 2), (4, 2), (,20.,4843).) como, AX B= (1,2) (1, 3), £4,3),.12,2),62,3) (2,3) (4,8),(4,3) (42) (6,20... ah: temos: RCAXB O conjunto R pode ser representado pelo diagrama: onde cada flecha determina um par ordenado de R. 30 - 13.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 17 Dados os conjuntos A e B e uma sentença p, escreva o conjunto R determinado e faça o diagrama que representa R. “Considere, em cada um deles, x CA ey EB. B=[-1,0,3, 5) Diagrama: DA=(2,-1,0,1,2) B=(-1,0,1,2,3) [e RR REÉCR, CL), (0,010, (2,3) 13.3. DEFINIÇÃO: JA=(1,2,3,4); B=(2,3,4,5) prty ax RAR), 0,0 (4,20),0,93),/(4,9, (4,9) ) a 9 A=(1,0,1,2) B=(0,1,3,4) pr cy = x REL, (0,0, CDS D=< Eua 9A=(1,234,5; B=(2,3) p: “x é par” Ri DD, (4,3) Os exemplos vistos em 13.1 e 13.2, mostram que uma sentença p pode determinar uma relação. Nesse caso, a sentença p é a propriedade característica dos elementos de R. Assim considerando: A=(1,2,4,6, 11); B=(2,3,7) p: “x é múltiplo de y”, com x€E A e y E B, podemos escrever: R=((2,2), (4, 2), (6, 2), (6, 3)) ou R=((x, y)€ AX Blx é múltiplo de y) 31 13.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 18 L Escreva cada uma das seguintes relações por sua propriedade característica: a 4=(2,0,3,45) B=(1,0,3,5) é a metade de x”, com xE A e yEB. Cx 4 as, d)A=(-2,-1,0,1,2); B=(-1,0,1,2,3) : =x+1”,com xEA e yEB R=(lxg)e AxB luz ataAr 9A=(1,234) B=(2,3,4,5) <x, cm xEA e yEB ! LERAM. Ed Dx=(1,0,1,2) Y=(0,1,3,4) p:“y=Ixl”,com xEX e yEY X Lx 13 M=[1,2,3,4,5) N=(-2,3) p: “x é par”, com xEM e yEN R= ÁLMIILE MAN Lã IL. Escreva as seguintes relações, dadas por sua proprie- dade característica, enumerando seus elementos: a) A=(2,4,6,8,10); B=(-3,-2,-1,0) e R=((x,yEAXBIx+y=1) R= ÁCROA (4-3) bA=(1,2,3,4,5,6) B=(2,4,6,7) e R=((x, DA ms y (4,2) 2), (4,2) ,(5,2), 46,2) 9 C=(-1,0,1,2,3); D=(-1,0,1,2,3,4) e R=[(x,yECxDly =x?) DM=[-2,0,2,4,6,9) N=(-2,-1,0,1,2,3) e R=((x,y)EMxNIy =X) R= ALGO), (4,28) 44,8) e DR=(x,)EZxZIy=x+1) D R=(, Dez alya th (-2,5) C-1,2) (0,1) a n pR=(6NERxRIy=x+1) Neste caso, é impossível escrever o conjunto R enume- rando seus elementos. Porém, R está bem determinado uma vez que é possível saber se um par de números reais dado, pertence ou não a R: A, DER, pois 2=1+1 Tg a (7, 7) ER, pois 8 tel S DER, pois 4 (2, -1).€.R, pois pois pois 14. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA RELAÇÃO 14.1. Sejam: A=(1,2,3,4); B=(2,3,-2) e RCAXB, dado por R= ((1, 2), (3, 2), (3, -2), (4, 3)) Já sabemos como representar gráficamente o conjunto A X B, e sendo R um subconjunto de AXB, sua representação gráfica é uma parte do gráfico de AXB. Assim: onde os pontos marcados representam o produto cartesiano AXB e os pontos (assinalados), representam seu subconjunto R. 32 R=(x,y)E(o, 7] x = mR=(xyNERXRIy Rly =x) Ay =x+1) Ay DP R=(x,y)ERxRIx=2) D R=(6x,y) €EAXBIy = 2) onde A=|-3,2[eB=[0,5] hy 5 4 1 ' ' % 1 2 1 ' 1 -— = ê R 15. DOMÍNIO E CONJUNTO-IMAGEM 15.1. Considere a relação de R em R: RS, (3 1,5) 6,.9,0,D) Como (1, 5) E R, diz-se que 5 é a imagem de 1 pela relação R. ou, em símbolos: 5=R(1) que se lê: “S é igual a R de 1” ou “5 é a imagem de 1 por R”. Assim: l 1 d= R(S) porque Go 3)€ER + = R(-1) porque 2 porque porque (2,7) € R 15.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 21 Escreva simbolicamente, qual é a imagem de 2 nas seguintes relações: a Ri= (01,9, 02,3, 0, 9) RD = 3. o R3= (x, y)ENxNIy=2x) => Ra(2) = - Ya RD = 7./% . = 2) = b) R9= 11,9,6,20,0,-5,2,0) => a a R4= (x, PER RIy = -1)=> Ra(2) R(D=. e) Rs=[(x,9y) ENxNIy=vVx)=> atenção! (em uma relação, um mesmo elemento pode ter mais de “uma imagem) 15.3. Sejam A=(1,2,3,4) e B=(2,-2,3,5) Consideremos a relação de A em B: R=((1,2), (3, 2), (3, -2), (4, 3)) Podemos separar o conjunto dos elementos de A que aparecem como primeiros elementos de pares ordenados de R. Temos: (1,34) CA E o conjunto dos elementos de B que aparecem como segundos elementos de pares ordenados de R. Temos: (2,-2,3) cB Ao conjunto dos primeiros elementos chamaremos domínio da relação R e representaremos por D(R). Ao conjunto dos segundos elementos chamaremos conjunto imagem da relação R e representaremos por Im(R). Assim, para a relação: R=((1, 2), (3, 2), (3, -2), (4, 3)) temos: D(R) = (1,3,4) e Im(R) = (2, -2,3) 15.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 22 1. Determine o domínio e o conjunto imagem para cada relação: a A=(1,3,5,2) e R=(0,1,( D(R) = B=(1,2) 1, (5, D) 5 Im(R) = b)A=(1,2,3,4,5,6,7,8) e R=(x,)EAXAly=x+2) DR) = (1,2,3,4,5,6.) ImR) = (3,4,3,.4,2,8.) o) A=(-1,1,2,4,6); B=(0,1,2) e R=((x, yEAxBly>x) DR) = (iA.l2o) Imp)=(S Be) 9 A=(-2,-1,0,1,2,3) B=(-1,0,2,4,5) e R=(x,yEAxBIy=x2?) DR) = (12,0,%.) ImB)=(0,4....) 9A=(1,5,0,1,2) e R=((x,y) EAxAly= xl) DIR) = je Im(R)=(.! II. Determine o domínio e o conjunto imagem de cada relação: a R=-((xy)ENxZIy=2x) Veja: R=(0,0.3,(1,8.), 0,4.) Bu.) (4,8 Observe que Y x E N,3y E Zly = 2x, isto é, qualquer elemento de N tem imagem em Z. Portanto: D(R) = N 36 E verdade que NY y EZ,3xENIy=2X Nao. Como deve ser y E Z para que exista x EIN com y = y deverá ser um número agailigo- o é upar Portanto: IM(R) = Lo, 2,4 lap So penate b R= (o, )ENxNly= 5) Veja: R= (CO, CR) CA RD Cação cre) Observe que, por exemplo, x = 5 não tem imagem em N, porque y = 5- não é um número natural. Então 5 É DR). DR) = [.2.2,.4 Im(R)= e) d R=((xy)ENxNIy DR) = L.0,.4.,.%,.3.,.8,.5. É 07708 A h) Ra li Denny ain) Pp R=(x ye Rly = vx- DO 9) III. Represente graficamente A X B e seu subconjunto R. Em seguida determine o domínio e o conjunto imagem de cada relação R. a A=]1,5]) B=[1,10] e R=(x,yEAxBIy=2x) Gráfico: x=1 => y=2:1= 1$4 = (1, DÊÉR x=5 => y=2.5= 5 EA EB to = (5, 10) .€.R Observe, pela figura, que: xeh,s] v(x, DER=>4e y € ]2, 10] Portanto: D(R) = ]1,5] e Im(R) = ]2, 10] bA=[1,sl; B=]2,4] e R=-(x, y)EAXBly=x) Observe, pela figura, que: V(x, PER =4e Portanto, oA=li,s] B=]-4,-1] e R=((x, 9) EAXBly=x-5) D(R) 37 APLICAÇÕES capítulo OU FUNCOES 17. O CONCEITO DE APLICAÇÃO OU FUNÇÃO 17.1. Consideremos as seguintes relações, de A em B, e seus diagramas, onde: A=(1,2,3,4) e B=(3,5,6,7) a) fi =((1,3), (2,5), (3,5), (4, D)) 7 « à 4 db) £o = (01,3), (2,5), (3, 5), (1, 5), (4, 0)) A E: o) fs = ((1, 3), (2, 6), (3, 5)) Examinando o conjunto A, em cada caso, temos: a) em f,, cada elemento de A tem imagem em B e só uma. b) em f,, cada elemento de A tem imagem em B, mas o elemento 1 tem duas: 3 e 5. c) em f3, o elemento 4 não tem imagem em B. As relações de A em B que se comportam como f,, em relação ao conjunto A, são chamadas de funções de A em B. 40 17.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 28 Faça o diagrama para cada relação e verifique se se trata de uma função de A em B. a A=(1,2,4,6) B=[0,1,2,3,4,5) e f= (01,0), (2, 3), (4, 0), (6, 9) função de A em B porque <«94 elemento de À ma únca imagem bA=(-1,0,1,2) B=(-2,0,2,4) e f=[(x, 9) EAXBly=2x) a cada elemento função de A em B porque 17.3. Examinando o domínio das funções, você verifica que, sempre, tem imagem em B. 94A=(1,35,7) B=(2,4,6,8,10) e t=(0,2,(3,6, (1,9) oe não c função de A em B porque 2 é 6 mão tem emagem em 13. a A=(-1,0,1,2) B=(0,1,2,3) e t=(x,)EAxXBIy<x) ds & lem duar cmagens O A=(1,2,34) B=(3,4,5,6) e t=(,nEAxBly=5) pre função de A em B porque cacla elemento LL, D(f) = A + porque todo elemento de A No diagrama, de cada elemento de A sai uma flecha, e uma única flecha, porque cada elemento de A tem uma única imagem em B. Podemos agora, definir formalmente uma função ou aplicação de A em B: Um conjunto f é uma aplicação ou função de A em B se for uma relação de A em B, tal que todo elemento do conjunto A tem uma e somente uma imagem no conjunto B. ou seja: f é função ou aplicação de 4 em B DfCAXB (fé uma relação) e DVvyxeaA, IlyEBly = f(x) 4 17.4. VERIFICAR SE UMA RELAÇÃO DADA É FUNÇÃO Seja: f=((x,y)E NX Zly = 2x) Temos: D(f) = IN => todo elemento de IN tem imagem em Z, isto é, qualquer número natural tem seu dobro em Z. Além disso, cada número natural admite um único dobro. Assim: fc NXZ e vxEN,gIIyEeZiy=2x Logo, f é uma função de IN em Z. 7.5. FAÇA VOCÊ: TAREFA 29 Verifique se são funções: a f=[xy)ENXxNIy=x+1) D(D = ..N... . função de IN em IN porque d)f=(x)ENXxNIy=x-3) Dt=(xy)ERXRIy= E +) . Junção 4 R*em R poxque dl f=(x, )ER,xRly=Vx) D(£ função de R, em IR, porque ; 6Rs.. ds KR 17.6. Consideremos uma relação dada por seu gráfico: 42 f=(x, ER, xRly=x) £ função de R em IR porque Ls PRE AE TRA Lã. a função de R em R porque sc Bem AE, ! j f= (x,y) ERxRiIx= Iyl) DO Rs eU tem. f= (x, py els, +o)xRly=Vx-3) ) 18. A CORRESPONDÊNCIA BIUNIVOCA — FUNÇÕES INVERSAS Veja estas funções de A em B definidas pelos seus diagramas, vale dizer, pelas suas fotografias. aA=(1,2,3,4) bA=(1,2,3,4) B=(3,5,7,9) B=(3,5,7,9) E A fa B fi=((1,3), (2,7), (3,5), (4,9) fa = T(1, 3), (2, 9), (3, 5), (4, 7)) Onde se vê que: A cada elemento de A corresponde um único elemento em B e cada elemento de B é correspon- dente de um único elemento de A. Dizemos que funções desse tipo (f, ou f,) definem uma correspondência biunívoca entre os conjuntos AeB. Ora, é fácil ver que também são funções de B em A as seguintes: Is = <T A A B A B que indicaremos por f;' que indicaremos por fz! ou ou fr! = 03, 1),(5,3), (7,2), (9, 4) fr = ((3,1),(5, 3), (7, 4), (9, 2)) Veja: Veja: fhCAXB hCAXB fiCBXA !CBXA Dizemos que: fj! é uma relação chamada função inversa de f, e f;? é a função inversa de f,. 45 18.1. FAÇA VOCÊ: TAREFA 32: 1. Com os conjuntos A e B, dados em cada caso, complete dois diagramas: 19 Aquele que define a função f de A em B 29 Aquele que define a função f”! de B em A. Quando não existir a inversa diga por que. a) A fi B fi= db) LA A fo B fo= 3 d) 46 fit = 1 2 ) ) (3,9) EAR MD), 30) A B À 65! inverna de $a Sobrara” o elemento fem O A B 1 Ju nao sera. função + mas apenas uma relação de B em a 2. No exercício anterior dois exemplos admitem inversa. Complete, então num mesmo diagrama cartesiano os gráficos de cada função e sua inversa. Trace a bissetriz do 1º quadrante e tire suas conclusões. (Desenhe os pontos de f numa cor e os da inversa em outra.) 123456 A tuo E ef 3. Coloque V ou F conforme as seguintes sentenças sejam verdadeiras ou falsas: a) Toda função de A em B admite inversa de B em A (F) b) 3 fde A em B que admite ! de Bem A N c) Se f de A em B é função, então f”! de Bem A é sempre uma relação (00) d) Se entre A e B está definida uma correspondência biunívoca, então existe f de A em B.e 7! de Bem A [64 e) Toda correspondência biunívoca entre A e B define f e f! como funções inversas wm 18.2. CORRESPONDÊNCIA BIUNÍVOCA E FUNÇÕES BIJETORAS Consideremos Ae B e f:A>B conforme o diagrama seguinte: que admite a seguinte inversa: A B f=((1, 1), (2,3), (3, 7), (4,5)) FU = (1, D, (3,2), (7,3), (5, 4) Sabemos que 3 uma correspondência biunivoca entre A e B Então definimos: A aplicação f de A em B se chama bijetora. mais precisamente, diríamos: f é uma aplicação bijetora de A em B, quando e somente quando se verificam as duas seguintes condições: 19: YyEB, IxEA talque (x, y)Ef 29: Dados x, ex) € A com x, x, então f(x,) * f(x) 47 12 etapa: Verifica-se se f é bijetora a) vy ER, existe x E IR De fato em y = x - 2, para qualquer valor real de y o valor de x também será real. Dx Ex >y, £ya,pois x -2%x -2. Então f é bijetora. 22 etapa: Troca-se x por y na expressão que define a função e teremos: y=x-2 resulta x=y-2 ou y=x+2 Logo: f:R>R — fi: R>R xpy=x-2 xry=xt+2 19.2. GRÁFICO DA INVERSA Dada a função bijetora fi: A>B x» y = f(x) esuainversa fl: B>A x» y= f(x) temos: id P=(,b)ef > P-b ae f. Localizando P e P” no gráfico: P e P' são simétritos em relação à bissetriz dos 19 e 39 quadrantes, a reta AB. Isto é, PPLAB e PC=CP. 19.3. FAÇA VOCÊ: TAREFA 34 Desenhe, num mesmo sistema de coordenadas, f e f-! assinalando com um ponto os elementos de f e com uma cruz os de pa, Desenhe também a bissetriz dos 19 e 3º quadrantes. aa A=(1234) B=(3,5,7,9 e bA=(1,-2,7) B=(1,3,5) e t=(0,3,02,7, 3, 5), (4, 9) f= (e, 1), $2 5), (0,3) (4,0, 65,239, (3,4) 50 94A=(0,1,23; B=(-1,0,1,2); e f=(, peaAxBly=x-1) ( 9 A=(2,-1,0,1,2); B=(1,2,3,4,5) e Do CL, Di (0,3), 1, 5) Q, o ( D 03,00 (5 076 19.4. A observação dos gráficos do item anterior nos leva a concluir que o gráfico de f"! é simétrico ao gráfico de f, em relação à bissetriz dos ângulos dos 19 e 3º quadrantes. Assim, considere a fun- ção bijetora f, dada por seu gráfico: Temos: fr) R, fbijetora > 3f! e Para se obter o gráfico de f”! é suficiente traçar a bissetriz dos 19 e 39 quadrantes, e desenhar a figura simétrica a f. VA=(-2,0,1,3) f=[0,) EAXBI ) (0,0) B=[(0,1,4,9) e ft: R,— [-2, +00) Ay 51 19.5. FAÇA VOCÊ: TAREFA 35 Determine, por seus gráficos, as funções inversas das seguintes funções bijetoras: 20. O CRESCIMENTO DAS FUNÇÕES 20.1. Observando a função f, dada por seu gráfico e considerando dois pontos de seu domínio: X, € X2, vemos que: % >x é fx) ..d.. fl) Isto ocorre para quaisquer outros dois pontos do domínio e porisso podemos escrever: Dizemos, então, que a função f é estritamente crescente. 52 20.5. A função cujo gráfico é: não é monotônica. Neste caso, podemos examinar seu comportamento, quanto ao crescimento, dividindo seu domínio em intervalos em que ela seja monotônica. Temos: D(9) = R No intervalo (- co, +2], f é estritamente decrescente, porque Yx1, x, E (-00, +2], x, > x, > f(x1) < f(x5). No intervalo [+2, +20), f é estritamente crescente, porque Wx1, x, E [+2,+%), x, >x, =... 20.6. FAÇA VOCÊ: TAREFA 38 Examine as seguintes funções quanto ao crescimento: a) hy 2 No intervalo [-2,0), f e entarta- -2 2 o memtt crescente. mo intervalo [0,2], $ é eotucta- o Ay mente decuncente. 1d ! " q " x No umtervato (- co 4), $ e catato N mente decuncente No imtervalo J4,+%) , E untu- tamente crcocente. e) o qe catutamente eenente. 55 a) o Ay + 24. 21. EXERCÍCIOS DE REVISÃO SEQUÊNCIA 1 Dadas as seguintes relações, determine o domínio e o conjunto imagem; verifique se são funções; no caso de ser função, use a notação própria. a A=(1,35,7) B=(1,3,5,7,9) e t=(xy)eAxBly=x+2) b A=(-1,0,1,2,-2); B=R e f= (6, EAxBly= 1) 1) 2x+1 Sh 9 f=(6,yERXxRIy 9t=(gyeRrRxRIy= o t=[m pel, to)xRely=Vx-3) SEQUÊNCIA 2 Verifique se as seguintes funções são bijetoras. Determine, quando existir, a função inversa de cada uma delas. a A=(3,-1,0,2) B=(0,1,4,9) e f=((x, )EAXBly=x2) b) A=(-2,-1,0,1,2) e t=[x, 9) €AXAIy-= Ixl) o E R*>R- (1) x+4 x» y= / x Dt R> R xo y=2x+1 JER>R x y=2x+1 56 $ é cmencente. Ge estutamente crescente SEQUÊNCIA 3 Determine graficamente, quando existir, a inversa das funções (determine, em cada caso, D(f) e Im(f)). a) 4 ND” -2 b) e) e) À E) capítulo FUNÇÃO LINEAR 22. O CONCEITO DE FUNÇÃO LINEAR Consideremos a função f:IR >IR x» y=2x-1 e representemos graficamente alguns de seus pontos. Por exemplo, construindo uma tabela, temos: x|y =31| =5 A=(2,-5)Ef B=(- er FUI (1, -3) c=(0,-Ner ola D=(LDEf E=(2,3)€f 1a 213 Verificamos que os pontos representados estão em linha reta. 22.1. FAÇA VOCÊ: TAREFA 39 Construa uma tabela com alguns pontos para cada função e represente-os graficamente; tome x E (-2, -1, 0, 1, 2). ft R>R Dt R>R xo y==x+1 xo y=+3 Y x y x y tz |3 are -2 | Pi Tê RR e dea[4 o 4 DR 3 a N o 1 j 1 1 UA SEE? ai o pe E Ra e ese 57 Como dois pontos são suficientes para determinar uma reta, então será suficiente desenhar em Rx R dois pontos de cada função linear para determinar o seu gráfico. Assim, representemos y = 4x - 1: x y o|- 1]3 23.1. FAÇA VOCÊ: TAREFA 41 Usando o fato de que dois pontos determinam uma reta, d)2y=4x-1 represente graficamente as funções lineares determinadas por: (escolha xe (0,1) ou xe (o, 1). ay=3x+1 “us Jy-x+2=0 by=-x-1 el = po E D 2 +x+2=0 ' ' : I )y=5x+1 “Mt BD 3y=-0x+3 60 24. INTERPRETAÇÃO DOS COEFICIENTES DE UMA FUNÇÃO LINEAR 24.1. O COEFICIENTE b Represente graficamente cada par de funções lineares em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas: df: R>R x y hr =x+1 xo y 5 : ! 3 b: R>R x [y BRT xby==x E E E o Para estas funções, b =. bf: R>R x» y=x fg: R>R x» y=3x Para estas funções, b=. 0. df: R>R x» y=x-2 f: R>R xp y=5x-2 2 Para estas funções, b= c À. dt: R>R 3 xpy=x+> 2 f: R>R 3 x» y=3x+ Para estas funções, b = bg Generalizando-se vemos que y=ax+b x=0=» y=b. Então: 24.2. FORMA PRÁTICA DE REPRESENTAR A FUNÇÃO LINEAR Como (0, b) é o ponto em que a função linear corta o eixo das ordenadas, bastará determinar o ponto onde ela corta o eixo das abscissas, ou seja onde y = O. Assim, no exemplo y = 3x - 6 teremos: x=0 > y=6 « (0,-6)€f y=0 => 0=3x-6 «= x=2 : (2,0)€f. Assim: Como você viu, doravante chamaremos a função linear apenas através de sua lei de formação y = ax + b, omitindo, porque é óbvio, que se trata de uma aplicação de Rem R. 24.3. FAÇA VOCÊ: TAREFA 42 (1) Represente no plano cartesiano as funções seguintes, atribuindo sempre: 19) x = e depois y = 0. Observe quando f é crescente ou decrescente. ay=x+2 Dy=l-x o x=0> Ji & (2,.20).€S, x= Lo. (ones ps) A y= Y Y (ez) 49,1) (2, x (4,9) x 62 se ripos Estudo das inequações quociente: ax +b >0 ax +b Resolver: A B x-5 . DA a e ' [=x >0 equivalea (x-5).(1-x)>0 sendo que há a condição restritiva 1 - x 0, pois não se define fração com denominador nulo. E A-0 Assim: (a >0) 4 aco t-S= Ore xe 5: — A<O ] > -— 5 1-x=0 5 x=1 0 > E Su B=0 x 1 5 ? P a , - ; 4 4 ; T .. 4 | o ! . B ! 1 Dá , AIB E | , | . ui é V=(xeR e (1<x<5) 26. APÊNDICE — DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Considere os pontos A = (1,2) e B=(3,1) no plano cartesiano. Queremos calcular a distância entre eles, isto é, d = med AB Para isso, é suficiente considerar o triângulo retângulo ABC da figura e aplicar o teorema de Pitágoras: d? = (med AC)? + (med BC? Temos: medAC=2-1=1 medBC =3-1=2 logo, Ld=pP+2s |d=V5 65 De um modo geral, seja A=(x,y1) e B=(x,y2) Teorema de Pitágoras aplicado ao AACB: d? = (med BC)? + (med AC) med BC =. Uai Ms Portanto, is tata e temos a fórmula para distância entre dois pontos: 26.1. FAÇA VOCÊ: TAREFA 43 Determinar a distância entre os pontos A e B em cada caso: a) A=(0,1), B=(2,3) dº.ta-Dt, (3 Dt. u4u. 8 d: RVZ bDA=(3,2), B=(2,5) d*. (3. W)t a tast. 449-10 d: Vio oO A=(1,3), B=(3,-3) dt. IA Dl (-3-D)* & do Ri 27. EXERCICIOS DE REVISÃO 16 +36:54 SEQUÊNCIA 1 Faça o gráfico em IR X IR das funções definidas pelas seguintes equações: Ly=3-2 S.y== 2 y=1-x 6.y=x 3y= Tx 1.x42 -1=0 avy=1-5 8. 2x-3y+6=0 SEQUÊNCIA 2 Represente em RR x IR os seguintes pares de funções; determine graficamente o par (x, y) comum a ambas, quando existir: » (EST E Re VD x-3y= 2wy+6x=2 1+x=y 51 o (Ui) d) A =(4,-4), B=(0,0) dt, (yu Dt (-U.o)*. + 16:32 di udVR eJA=(-2,-3), B=(3,-1) dº, (se DL ela, DASH 4.29 do NAS, ND A=(5,1), B=(3,1) di. Cesta Cat: GU d:8 SEQUÊNCIA 3 Determine o conjunto verdade de cada uma das seguintes inequações. Faça a representação linear do conjunto solução. a) 2x-8>0 x DaS-1<o e = 1 gyu-5<*5 gx-s>H1 nS-I<õ-2 mHÉ<i D 1< *73 p 3X+D q Sx-2 ph SEQUÊNCIA 4 Determine o conjunto verdade de cada uma das seguintes inequações: a) (x+3) + (2x- 10) >0 np >o db) G+5)--5)>0 o TER <o 9 Q-)-(5-)>0 mHÉf co a) (3x-5) + 2-3) <0 p= <o x | 4X dx (7-D20 » 4-5 20 SEQUÊNCIA 5: (APÊNDICE) Determine a distância d entre os pontos A e B seguintes: a) A=(0,0), B=(3,2) bA=(1,2), B=(4,6) e (3, -2), B=(0,2) dA=(0,1), B=(1,0) eJA=(3,0, B=(0,-4) 9 A=C1,-1), B=(-2,-2) g) A=(-1,0), B=(0,0) h A=(0,2), B=(0,0) 67 29.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 45 Obtenha a forma canônica das seguintes funções quadrá- ticas: a) y=x?-4x a= portanto: y=x-gx+o d)y=x2+6x-1 arbe=pb .3=(B/.9 ; boa 2) q X46x+9-9-1 q=(x +3)-10 Jy=x+x-1 29.3. Pode ocorrer que o coeficiente a seja diferente de 1. Nesse caso basta fatorar esse coeficiente a e proceder como nos casos anteriores. Veja: y=2x - 5x, onde a = colocando-se a = 2 em evidência: portanto: y=2(x - a +. 25) y = 2l(x - 5 = ge] que são dois aspectos da forma canônica. 29.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 46 Obtenha a forma canônica das seguintes funções quadráticas: a y=3xX 9x 4530-3X) onde ale b=-3 — > bb. 3 = (js 2% z E] esbesxes. 3) +» alx-2)0. 27" jo "%- , 70 x [-p-%] d)y=22-5x+4 = alxt S x +2) . e s by. 25 tt E Tjél= de =2ix- 5 La . EO Goo LO 6 qeatS). + Jy=58-x+1 Dy=4x2+3x qestot Ro x+4) q 424) z + ate bs A => bd = [b)- Ts Us! . bah. 3 o (b)- psp ted do 4) apraro a SD UR los” 406 * 5 + ( RA Pa es +) dê =a(x+ apa RE graló-zx-3) astebt =p petop(b)c1 . qe alraxea- 5) 2 E - a 4q= 2601) + 29.5. O CASO GERAL y=ax +bx+tc colocando-se a em evidência: yeaçãs Drs), onde ay=1e dr= o b b b bj? b? hq 7º) a então: b? b? c 47 ca ta) Ss tan b? - 4ac ] 4a? yoaçãs Dx do yealos DP - ecomo b? -4c=A, vem: [esto da | e EEE estas são fórmulas que representam a forma principal ou canônica de y = ax? + bx + c. 30. RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Dada y = ax? + bx + c, deseja-se saber qual ou quais são os valores de x que tornam y = 0. Basta tomar y numa de suas formas canônicas: db? dA y=alix+ 5) - qa] b? b2 A b aii y=0sal(xt o) - Bo (+) det) ao y 7 fatorando-se o primeiro membro dessa igualdade (diferença de quadrados): bd, VA VA G+7ta Vir E -ND,20 bd, VA + -VA Xt5g + da Upa - o bd VA b+VA x+5>—-SÕ=0 o x=>D5DD 2a 2a 2a Donde: y=0 o ve ARA xa | D+VA, 2a que habitualmente aparece sob a forma: 31. FORMA FATORADA DA FUNÇÃO y = ax? +bx +c 31.1. Seja: f:R > R x» y=ax)+bx+c, com a£0 cuja forma canônica é: b2 4 y=ax+t5) “q colocando-se o fator a em evidência: Yi= aliada a) E a expressão de dentro dos colchetes é uma diferença de quadrados; fatorando-a: onde que é a forma fatorada de y = ax? + bx + c. 31.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 47 Obtenha a forma fatorada de cada função quadrática: a y=2x-8x+6 fazendo-se 2x? - 8x + 6 = 0, encontramos x'=1 e x” logo, a forma fatorada de y = 2x2- 8x +6 é: =2(x-D(-3) 72 32.3. AS COORDENADAS DOS EXTREMOS Vimos que *(x, y)€ RX IR, temos: A 7az] b2 y=alix+ 5) E O ponto máximo ou mínimo será chamado vértice ou Chamemos de V. = (xe, Ye) à esse vértice. Sabemos que a ordenada, y., do vértice é ye Calculemos a sua abscissa, xe: ye = alte + E - 4a A aa] a à Ye ==» vem: como cale + E) - A 4a aa! ja? E b e 0=(1 +) Rd Xe + Logo: . VE RE b ER 32.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 49 Determine o vértice da curva que representa a função f, em cada caso: a) y=3x2-4x f apresenta ponto b)y=2+4 Xe= f apresenta ponto mínimo : (L,-2) extremo da curva que representa a função f. d)y=-2x2+3x+1 Xes Db 8 2a "4 esizôs «dt 1 Ze E apra porto máximo : EE e y=5x+3 Xe«-b .O za -s ..-3 te f apresenta ponto mímismo : (0,-3) 75 32.5. RESUMO Dada a função f:R > R x» y=x2+7kx- 10 determinemos: a) as raízes . pasa o qo JEVB ACD 29 oa x 2 - 2-C1) 2 ou xe x=5 ou x=2 portanto: V=(2,5) b) o vértice Ve=( 555 7a) tan .1 t=-5 Xe = 9 9: =. es Je A Ye="7d O Ye =Z 1 + a<0 » ve) elinóeimo: c) Um esboço do gráfico V=(2,5) = acurva que representa f corta o eixo das abscissas, nos pontos de abscissas 2 e 5, respectivamente. Ve=(5, 5) é máximo d) os valores de x tais que y > 0 observe o gráfico e verifique que: y>D0 — 2<x<5 e) os valores de x tais que y < O observe o gráfico e verifique que: y<O0 << x<2 ou x>5 76 7-3 -2 32.6. FAÇA VOCÊ: TAREFA 50 1. Dadas as funções seguintes, determine: a) As raízes, isto é, os valores de x, tais que y = 0; b) O vértice; c) Um esboço do gráfico; d) os valores de x tais que y > 0; e) os valores de x tais que y <0. dy=x )X=X"<0 d) xe: =D ) xe 74º Ob Vecloo) e mimo 4e--0 «0 d) y>ro “e YxeR e) xeR] y<o by=n2+4 O Xx=L eX=-% Xe=-b 4 SUAS b) Xe O ssa (od) ME nimo e.-5 4 d) qro es -pexez ) YO 4 *<-2 o x72 Dy=32-6x+3 qo X=x= b) Xe= cb 4 Za 4e= 2-0 d) 450 É TER, Yx e) xeR|yco =p Ve=(10) e mínimo D)y=x2+6x+5 a) X=-5 ex'.-1 D)Xe=-b..s . ss. Es E =D Ve =(-3-4) & mínimo Tor a) yo <= X<-5 qu x>-1 e) q<e = -S<xc-t dy=32+3x-1 a fxeRis-o b) Xe=-b. Va es-A. il d) dxeriy>o SJYxeR = yeo o vh Es 77 Vejamos as razões dessas restrições. Consideremos a relação R = ((x, y) € RX Rly = aX), quando: 19) a=1 Procuremos alguns elementos de R: xl y=]! — y =| — (1, 1) ER x=2 e y=12 — y= 4 = (2,1)€R x=3 =». x=0 =» x=-|1=»+ Observe que vVxER=> y=I*=> y=1 isto é: a=1=>R é uma função constante (um caso particular de função linear) de IR em RR. Essa é a razão de se impor que a seja diferente de um. 29) a=0 Procuremos alguns elementos de R: = 2m y=02 = y=0) —- (-2, 0) ER uu = (-1, 0) ER ? o símbolo 0º não é definido! Sao = Gs y x x x-0= y=0 => y O elemento O não tem imagem em R. portanto: . a=0= R não é função de R em R. Porisso, impõe-se que a seja diferente de zero. 3º) a<0 Façâmos, por exemplo, a = -4. 7 Procuremos a imagem do elemento E R: 2 1 x-,= y=(4) + y=V4 - yéR isto é: o elemento 2 não tem imagem em RR. portanto: a<0>R não é funçãodeIRemR. Essa é a razão de se impor que a seja um número não negativo. 35. GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 35.1. a) Consideremos a função exponencial: f: R>IR xmy=2% Vamos construir uma tabela de valores x e y: 1 >y=— 8 sede yet y= so b) Consideremos a função exponencial: x= x= x " x y 3 | 18 2 | 1/4 «1 1/2 o 1 ] 2 2 4 3 8 fR>R : xo y=(5) Im y(L) me y= Ps y=27 3 ES -l= y= 0 = y= l=y= 2=y= 3 = y= x y -3 27 -2 9 -l B; 0 1 1 1/3 % 1/9 À 1/27 =, = 81 35.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 52 o p= 2 Represente graficamente as funções de IR em IR, defi- nidas por: a)y=3* x 1/4 -3 [1/37 ) -2 14/9 -1 [4/3 oli 113 2139 3 |27 Dry x x | 4 “5 [8 =2 [4 -1|2 ol1 1 [4/2 ' 2 [1/4 3 1!/8 82 36.1. FAÇA VOCÊ: TAREFA 54. Complete, aplicando as propriedades de potências: e-2.. 9 28.22.77 = » 69 estes? = (5) 9 q: V2:2=2 [37 9 e 3) 9 ente? can = 9 [ . EN - 216º Ye 1 | SOL “1000 | (0,0001)-? 8 [8] «at 9)022VavVavavao =. DG ap 10 [aaa] n 37. APLICAÇÕES Determinar o conjunto verdade das inequações: oGr>1 2 2 gl GÉ21 o GH2>G) 2 = x<0 3q<1 portanto: V=(xlxeR e x<0) b)3*<9 3E<9 es 3 <LIÉ he - 3>1 ú portanto: V=(xe Rix<2) 37.1. FAÇA VOCÊ: TAREFA 55. 1. Determine o conjunto verdade das inequações: Dn G>1 »Gr<9 x x az A oo (=) [ea Sao + el lx x 3 ql<s 4 Se ) D%>-X=>X70 hão) ue Retro 9 > 2% (5) (3) |-excancenco = RETA xs 1 927"> g 2a” o >-5 =D x<3 2>1 V= ÁLGE Ra) n 0% > 27% 2 o 2” =>-3X2Z22X =» X40 2>4 - LxeR to) ss <2 Ra =>3xcl=p x< + 2>14 3 = «Lx ER got rmdob 9a*>1, 0<a<l a >o => x<o o<a<1 Va AE Rato. 19) 6 >b?, bD>I be> br b>4 => x>2, V= Lxe Rena?) Eri 86 IL. Determine o conjunto verdade das equações: 0 Z%=32 Pio de mto S portanto: V= (5) = x=5 2 DX = 1024 = SA qo o () =2 => 2 =2 =p x=-l1o À A AriGlm "7 to 2i= Z "=p Ego xr 5) 09% =6 bl =pzx=1=0x= 1 ã Lx 9) =81 34.35" — tada HI. Determine o domínio das relações de IR em IR defi- nidas por: Dy=Vbt-1 6>D beizo sb>i=o bb >» x20 * D=R+ a Dy= 3d Bro 748 vs x+S D=lxer/x+ 3) 38. EXERCÍCIOS DE REVISÃO SEQUÊNCIA 1 Represente graficamente as funções de Rem R definidas por: ay = (6% dy Ci Dy= SEQUÊNCIA 2 am Escrever na forma a” com m, n E Z e a número primo. a) V'2048 d) 65612: VON? E | 9 1V cus a (169º: V 2197? 1. -273 O qa: [4997] D (8124/2463 SEQUÊNCIA 3 Verifique se y E R, sendo y uma das expressões seguintes: 3 2 2 a v=(487 D y=012 2 2 dDy= cas E v= (2435 3 3 o y= (BP h) y= (252 1 2 a y= (81? D y=(25) 2 a 9 v=(1" » y=028 1 Dy= 7 pr x EE -3 (4)-200egj>(4) Do xe-s DefxeR|x6-3) 9y=vs*-1 x x = 0 S-120 =55 z1i=>b5275 = X3z0 D=lxeR/x70) 94 Va 2”. 3200 =» 252 -x25 > x<5 D=(xeR|x<5) qt -27 SEQUÊNCIA 4 Determine o domínio das relações de Rem R definidas por: ay=VbXI 6>D ady=V5*-125 1 1 dDy= 12 9y= Vox 1 1 Oy= Dye [Sus V81-3* SEQUÊNCIA 5 Determine o conjunto verdade das seguintes equações: 9 Gr db p sX=sV2s d) = 64 9 GX=1 o (É = 38-93 a) (49X = 7 » sv x. A sda. 3 93 = Dq) = 75 SEQUÊNCIA 6 Determine o conjunto verdade das inequações: o GG) pr <<? DS<GÊ< DÁD>I (O<a<1) 9 e mb O<Lb<LI) d) <a pts d>1 osi<qr<s » GP 87