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Guias e Dicas
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Matemática Ensino Médio 2º ANO - Valter dos Santos Fernandes Jorge Daniel, Notas de estudo de Química

MATEMÁTICA - COLEÇÃO HORIZONTES- 2º ANO DO ENSINO MÉDIO

Tipologia: Notas de estudo

2015
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Compartilhado em 14/08/2015

Brigadeiro
Brigadeiro 🇧🇷

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Baixe Matemática Ensino Médio 2º ANO - Valter dos Santos Fernandes Jorge Daniel e outras Notas de estudo em PDF para Química, somente na Docsity! INSTITUTO BRASILEIRO DE EDIÇÕES PEDAGÓGICAS E-mail: ibep & uol.com.br CENTRAL DE ATENDIMENTO Distribuição. Promação e Vendas - LIGAÇÃO GRATUITA 0800 17 56 78 Vendas — Pax: (0XX11) 6594 5338 — Propaganda — Fax: (0XX11) 6652 0122 Rua doi 294 Te. (0XX11) 2591-2355 (PABX) CEP 03016-020 — Caixa Pestal 285 — São Paulo — Bras! SEDES REGIONAIS ACNE — Bio Branco — Rua Flaiaris Peixe, 743 — Tel: (0% ALAGOAS — Macoiá - R, Prot. Vinginio de Cempes, 206 — Tel. (1XX82) 2: Fax 236 10: AMAZONAS - Mensuis — N. entique Manths, 396 — 2º arvar — Telz (0XX92] 632 1349 — Fax: 588 Bait BAHIA — Salvador — =, Visconde ce lanorei sets Tolo (0XX71) 240 1IZI / 249 1811 — Fax 248 BRAELIA (9) — SIG/8U — Quadrr 8 Elcco O — Lea 63 — Te : (OXXAI) 8/7 1880 — Fome 4d 3 CEANÁ — Forialeza — Av Aguenamos, 16% o): (QXXE5] 226 SOCO 5 1saãa, ESZÍRITO SANTO — via Vel R. Free cento Lima, 1027 — Tot. (UXX27) 229 7:89 — Fax: 220 2072 GOIAS - Gimme - 2. 70, 647 — TelTex: (0%X09) 254 2 MABANHÃO — São Luis — Ay. Sete Vaiças, 14 — Tui: (0XX08) 232 2810 — “ax: 232 Giidt KATO G3OSSC — Cuiabá -R. Barãe do Melgaço, 789 — Foo — Tel: (OXXEC) 547 TREO — Fox. 64, a/87 MATO GNOSSC DE SUL —Sarpo cGrande — Av. Berdeirartes, 605 — Tal. (SXXB7) 784 481 max 721 790 MINAS GERAS — Foto Henzone — Au Isabe. Buero, 1024/1026 - —s1 (DXX31) da” 2886 - Fax: 48] “IES, — Tod Oloni fe Gordo Sarges, 983 Tel: (0XX35) 522 zelo — Fux. iza 2065 — Gov, Valaneres — ue Riria Holedora, 486 — Tel: (00(35) 271 2270 — =ay 271 dota — Os Fabreiuno Hu. Maria Matos, 25 -— Tel/rex losquim Gosta, 2/0 Juiz de Fofa - Rua -elfold, 716 — Centro ted FANÁ — Delém — Trav. Padre Eurico, 880 tod: ( PARAÍBA — não Pucsuu Av. 1º 08 Meio, 250 — Tal: (0XXBS) VE p7Rs Fox: 247 8005 PARANÁ — Cinta — R. Engemeiro Leco Sugras Gomes, 474 — ToL: (0XX41) 35 1551 — Pax DAS 1781 VEHNANBLCO — Necis — Rua Gervásic Pres 12b Tel [0XXB]) 423 5859 - rag: 428 Dis, PIAUÍ — Teres) a Quintino Exccaúva, 350 — SJ — TeliTex (CXXAG) 20 emo RO GRANDE DO NORTE ntotal = Fu Olnio Meira, LUIZ — Barco Varmelho — Tel/Fox: (CXXB4) 212 2122, RO GRANDE fiti SUL — Perio Alegre — Rua Emesto la Fontoura, Sz — Tol; (0XX57) 942 6300 / Pax 43 1411 RG DE JANE RO — Pio de Janeiro - Av. Loba Júmior, 14h11 - tel. (CXX21) 572 “647 > =aw: 590 Qua RONDÔNIA — Porto Vaio — Pis Joaquim Nabuco, 2816 — Tel; (0XX59) 224 5578 — Fax 22 4/21 = SeParaná — Rua —0, 30 fentre es tuas Cufiiêa é Meringá) — Baitro Nowe Brasilia (cl: (DXX60) 421 4996 | Fax RORAIMA — hoa Mott Ae. Juime Brasil, 963 — Tele: (DXXU) 204 1244 Fax 224 181 SANTA BAT AEINA — Fiorengpoils - À. Jesé Cândido ia É Iva, 282 — Ben, do Estreito — SÃO PAULO — Araçainba — R. Gavaldo Graz, “78/77 — Tel, (CXXIG) 223 2817 - Fes Tel: (0XXI4] 294 Ato” — Fox. 284 1467 Presidente Prudente — Av, Gotonel dest Ssares Ma Fax: d95 D6R9 — mibonão Proto H, Florêncio ce abr R. Gsneral Glivónis, 4254 Tel. 10XX'7) 208 9083 — va? tor 1 Ars, ) 248 BUBO | 208 ass Fox: 248 EC20, Baur — Ay. Aureleno Carca des, 1120 — 7% E2ã = fados IEL: (0XX16) 636 7715 — Fax: flo 6: [1 CONJUNTOS CONJUNTOS... = REPRESENTAÇÃO DE LM CONJUNTO ........ PERTINÊNCIA... IGUALDADE DE CONJUNTOS... CONJUNTO VAZIO CONJUNTO UNITÁRIO SUBCONJUNTOS UNIÃO DE CONJUNTOS .......... INTERSECÇÃO DF CONJUNTOS . DIFERENÇA DE CONJUNTOS CONJUNTO COMPLEMENTAR . CONJUNTOS NUMÉRICOS ARETA REAL INTERVALOS NUMÉRICOS APLICAÇÃO DA TEORIA DOS CONJUNTOS NA NA RESOLUÇÃO DI ALGUNS PROBLEMAS .. RELAÇÃO E FUNÇÃO PRODUTO CARTESIANO RELAÇÃO BINÁRIA .... FUNÇÃO Notação . Função numérica de variêvel real Determinação do domínio de uma função... Gráfico de uma função Como reconhecer se um gráfico representa au rão um função FUNÇÃO SOBREILTORA . FUNÇÃO INJETORA .... io FUNÇÃO BIETORA .. FUNÇÃO INVERSA... comete dear à Múnçad mesa de úia função. FUNÇÃO CRESCENTE . FUNÇÃO DECRESCENTE FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO CONSTANTE ... FUNÇÃO IDENTIDADE ... FUNÇÃO DO 1º GRAU .. Coeficientes a e b da função y = ex +... Raiz ou zero da função de 1º grau... Sinal da função do 1º grau... RESOLUÇÃO DE INFQLAÇÕES 34 35 36 a7 38 as 39 48 FUNÇÃO QUADRÁTICA FUNÇÃO QUADRÁTICA Gráfico da função quadrática .. Concavidade da parábola Raízes ou zeros da iunção quadrática ... Interpretação geométrica das raízes .. Vértice da parábola Imagem da iunção quadrática Variação do cinal da função quadráti RESOLUÇÃO DF INFQUAÇÕES. [= FUNÇÃO MODULAR MÓDULO FUNÇÃO MODULAR .. EQUAÇÃO MODULAR FUNÇÃO EXPONENCIAL POTENCIAÇÃO. Propriedades da potênciação Expoente inteiro negativo .... Expoente expresso por uma fração .. FUNÇÃO EXPONENCIAL EQUAÇÃO EXPONENCIAL INEQUAÇÃO EXPONENCIAL .... Resolução de inequações exponenciais ......... E LOGARITMOS LOGARITMOS Condiig Propriedades decorrentes da aefinição ..... Propriedades operatórias Mudança de base . FUNÇÃO LOGARÍTMICA .. Gráfico da função logaritmica ..... RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS des de existência do logaritmo .. PROGRESSÕES PROGRESSÕES. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS.. Fórmula do termo geral da PA, Proprisdades Fórmula da soma dos termos da PA. . PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS . Fórmula do termo geral da P. Propricdades Fórmula da soma dos termos da P.G. finita ..... 53 53 54 24 56 57 58 so 64 56 56 58 TRIGONOMETRIA RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO g 07 Tabela de razões trigonomérricas de ângulos agudos .. no CIRCUNFERÊNCIA TRI mt Arcos ” m Ângulo central... 12 Unidades de medida de arcos . Conversão de unidade Circunferência orientada Arco orientado . Ciclo trigonométrico .. Quadrante Arcos côngruos . NÚMEROS TRIGONOMÉTRICOS Seno (sen) de um arco ... Cosseno (cos) de um arcu Seno e cosseno dos arcos de Variação de sinal cio send edo Seno e casseno dos arcos múltiplos de 30º Seno e coment dos arcas múliiplos de 45º Tangente (tg) de um arco. 123 Cotangente (cota) de um arco. 1a Secante (see) de um arco. 125 Cossecante (cossec) de um arco . 125 Relações fundamentais. 126 Relações derivadas. 128 Redução ao 1º quadrant 129 Areas no 2º quadrante Areas no 3º quadrante Arcos no 4º quadrante TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. 133 Adição e subtração de arcos 133 Arco duelo 124 FUNÇÕES IRIGONOMÉTRICAS . 136 Função suno . 136 Gráfico ca função s Função cosseno -37 Gráfico ca função co FUNGO AGENTE oncreaa ncannaasa rapa 138 Gráfico ca função Outras funções lrigenométricas . 138 S TRIGONOMÉTRICAS 141 MATRIZES MATRIZES . 147 MATRIZ QUADRADA . 148 Matriz linha 148 Matriz coluna «o ts semi 140! Diagonal principal e diagonal secundária 151 IGUALDADE DE MATRIZES 151 MAIRIZ NULA MATRIZ IRANSPOSIA OPERAÇÕES COM MAIRIZES Adição de matrizes... 153 153 Matriz oposta. Sublração de matrizes 154 Multiplicação de uma matriz por um núm real E assa 154 Multiplicação de matrizes .. 155 MATRIZ IDENTIDADE... 157 MATRIZ INVERSA... DETERMINANTES CÁLCULO DO DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA 159 Cálculo do determinante de uma matriz quadrada de 3º ordem (3 x 3). 160 Cálculo co determinante de uma matriz quadrada ce ordem n (n > 3) 162 Propriedades . 163 SISTEMAS LINEARES EQUAÇÃO LINEAR 168 Solução de uma equação linear 168 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINFARFS ........... 169 Classificação dos sistemas lincarcs - 170 Sistema homogêneo .... 170 Matrizes de um sistem: 171 Sistema normal . 172 Resolução de sistema normais GEOMETRIA GEOMETRIA PLANA 176 Razão de segment 176 Segmentos proporcionais . 177 Feixe de retas paralelas . 179 Teorema de Tales . 180 Figuras semelhantes 182 Triângulos semelhantes 183 Projeção ortogonal 185 Elementos do triângulo retângulo 186 Relações métricas no triângulo retângulo 186 Aplicações do teorema de Pitágoras Relações métricas num triângulo qualquer 193 Reconhecimento da natureza de um triângulo .. 196 Lei dos senos .. 197 Lei dos cossenos .. 199 . 200 Polígenos regulares . Noções Polígono insctito a uma circunferência Polígono circunscriio a uma circunferência Elementos de um polígono regular Relações métricas nos polígonos regulares, Área cas principais figuras geométricas planas .. 205 GEOMETRIA ESPACIAL DF POSIÇÃO .......... 209 Posições relativas a duas retas Retas coplanares Retas reverses Retas oerpendiculares e retas ortogonais Posições relativas de uma reta e um plano... 214 Posições relativas de dois planos... SPACIAL MÉTRICA. 216 PROBABILIDADE a Propriedades decorrentes da definição ..... o poliedtro latura dos poliedros Probabilidade cia intersecção de eventos independentes. Probabilidade da reunião de dois eventos ...... 220 k and NUMEROS COMPLEXOS ementes de prisma Nomenclatura dos prismas NÚMEROS IMAGINÁRIOS Prisma reto e prisma oblique sent NÚMEROS COMPLEXOS Área e volume de um prisma Igualdade de dois números complexos Casos particulares de prismas quadhargulares renina Filclesipeda esped OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS .. Pirâmide ... ao sas 227 Adição e subtração Denição Mulitplicação ........ Elementos da pirâmide Potências dé à Pirmide reguler a Árca de uma oirâmide Divisão . pol rreiderura prá in PIANO DE ARGAND-GAUISS .... Ci lara - : É io ada FORMA TRIGONOMÉTRICA Dt UM NÚMERO ei É Elementos do cilindro COMPLEXO ssmcensniaso + Cilindro reto e c'lindro oblique Médulo de um número complexo. Cilindro equilárero Argumento de um número complexo Área sotal de um cilineiro reto Volume de um « lindro Cone circular Doinição Elementos do cone | GEOMETRIA ANALÍTICA Cone reto e cone oliliquo Cone equilátero O PONTO... Área tis «um cone Sistema cartesiano plano . Volume de um cone Forma trigonométrica Distância entre dois ponto: Fsfera 234 Detin Ponto que divide um segmento em uma r Volume de uma esfera dada ese Área da supenfício esférica Caso paitivulor: Ponto médio Secção du uma esfera Baricentro de um triângulo .... Condição de alinhamento de três pontos... O nIó BINÔMIO DE NEWTON A RITA es . Equação geral Losi ORIAL .. E Adr, Casos particulares da equação geral NÚMEROS BINOMIAIS .. 238 intersecção de retas TRIÂNGULO DE PASCAI BINÔMIO DE NEWTON Fórmula do termo geral Equação segmentária Equações paramétricas Coeficiente angular ou decliv Cálculo do coeicienie angular (m) Equação reduzida. ANÁLISE COMBINATÓRIA PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM . 244 ARRANJOS SIMPLES ............. PERMUTAÇÕES SIMPLES. COMBINAÇÕES SIMPLES ... Equação de uma reta, d ponto e a direção Paralelas — Condição de paralelismo ... Perpandiculares — Condição de perpendicularismo 250 Dis Área do triângulo ...... A CIRCUNFERÊNCIA Equal cia de ponto a reta... PROBABILIDADES EXPERIMENTOS ALTATÓRIOS .... ESPAÇO AMOSTRA... EVENTO... Eventos mutuamente exclusivos ... o reduzida... Fauação normal .. Posição de um ponto em relação a uma circunforência Posição de uma reta em relação a uma circunterência........... Eventos complementares... 291 292 295 296 302 303 305 306 306 307 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO - RETÂNGULO Seja a figura: m Óá a g D F >» [5>] Os triângulos retângulos ABC, ADE e AFG são semel hantes. Portanto, seus lados correspondentes são proporcionais, ou seja: EEE FG AC AE AG O valor numérico dessas razões chama-se seno do ângulo A (sen À). À - BC A = DE À - EG sen À= AÇ ºu sen À AE MU sen À AG E a —> medida do cateto oposto b a b — medida da hipotenusa q Cateto oposto 4 c = je ae o A E Geni hipotenusa b Observe: Seno de um ângulo agudo num triângulo retângulo é a razão da medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa, Copítulo 9 + Trigonometria 107 Podemos escrever também: AB SAD AF AC AE AG O valor numérico dessas razões chama-se cosseno do ângulo À (cos ÂÀ). cos À = AE ou cosÃ-AD ou cos À = AE € “e — medida do cateto adjacente bh a “b'—» medida da hipotenusa + —cateto adjacente c cos À = E —— = — A c Bs hipotenusa b Observe: Cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo é a razão da medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Temos ainda: BC DE. FG, AB AD AF O valor numérico dessas razões chama-se tangente do ângulo A (tg Â). a - BE - DE FG tgÃ= “AB outgÃ= AD UA E “a —> medida do cateto oposto “E— medida do cateto adjacente 4 — Cateto oposto a cateto adjacente € Observe: Tangente de um ângulo agudo num triângulo e é a razão da medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo 108 capítulo? + Trigonometria cê Exemplo: No triângulo retângulo ABC vamos determinar o seno, o cosseno e a tan- gente do ângulo agudo A: A=-$4 3 sen 05 A-8S 4 10 ã cos Ã=1 = + A 6/8 tgà = 574) A 8 B é EXERCÍCIOS f No triângulo retângulo ABC, determine: Cc a) sen À b) cos À ctg À d) sen É c) cos É Btg É 4 5 B 3 A 2 Dadoo triângulo retângulo LFG, determine: a) sen É b) cos É ts Ê E d) sen É e) cos É tgê 5 12 É 13 G Na página seguinte, você irá encontrar uma tabela com os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos expressos em graus. Capítulo 9 + Trigonometria 109 ÂNGULO CENTRAL É todv ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência e cujos lados são raios dessa circunferência. Nota: A medida de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central cor- respondente: m(ÁB) = m (AÓB). UNIDADES DE MEDIDA DE ARCOS Grau: Chamamos de grau o arco unitário igual a E da circunferência. 3 Note que a medida de um arco correspondente a uma circunferência com- pleta é igual a 360º. A=B med ÁB = 360º Radiano: Chamamos de radiano (rd) a medida de um arco de comprimen- to igual à medida do raio da circunferência que o contém. Sabemos que o comprimento de uma circunferência deraio R éiguala 27R. Logo, uma circunferência contém 2x vezes o seu raio. Assim, a medida em radianos de um arco correspondente a uma circunferência completa é iguala 2n rd. A=B med ÁB = 2x. 1d N2 copítulo? + Trigonometria CONVERSÃO DE UNIDADES Vimos que a medida de um arco correspondente a uma circunferência completa é igual a 360º ou 27 rd. Assim: 360º=2mrd ou 180º=7rd Como as unidades (graus e radianos) são diretamente proporcionais, para converter graus em radianos vamos utilizar uma regra de três simples: Exemplo: Converta 60º em radianos. 180 == aid Gifs sy 1 ae 60x z 180 .x= E tita, =! vd 80 -x=60m => x 80 = x 3 r 8 Assim, 60º = E rd. Para converter radianos em graus, basta substituir x rd por 180º e em se- guida efetuar as operações. Exemplo: Converta Es rd em graus. Mm qo 2180 po 8 3 Assim, 2m rd = 120º. EXERCÍCIOS 4 Converta em radianos: a) 90º c) 270º e) 300º g) 125º b) 45º d) 120º f) 330º h) 210º 5 Converta em graus: 5. NT 3. 31 do rd e) E) rd e) ao rd g) 3 rd x 5a 9x ZM. b) 6 rd d) 3 Td £) 4 «rd h) 4 rd Copítulo9 + Trigonomerio TI3 CIRCUNFERÊNCIA ORIENTADA Uma circunferência é orientad cessão de todos os seus pontos. a quando se escolhe um sentido para a su- Nota: Convenciona-se como positivo o sentido anti-horário. ARCO ORIENTADO É qualquer arco definido sobre uma circunferência orientada. arco AB (+) arco AB (—) CICLO TRIGONOMÉTRICO É uma circunferência orient cartesianos, cuja origem coincide com o centro da circu como raio a unidade de medida dos eixos. ada à qual associamos um sistema de eixos nferência, que possui Vi4 — copitulo9 + Trigonometria 0 | EXERCÍCIOS cs Determine o quadrante onde estão situadas as extremidades dos seguintes arcos: a) 80º b) 160º c) 210º d) 300º e) -40º f) =100º g) -210º x Z h) -330º 1) 780º 1020º 1) 1200º m) 1 665º m) —800º o) 510º SENO (sen) DE UM ARCO É a ordenada da extremidade desse arco no ciclo trigonométrico. o COSSENO (cos) DE UM ARCO É a abscissa da extremidade desse arco no ciclo trigonométrico. senx=OP cos x= OM p) -920º q) 1410 r) 9 rd - s) + rd t) dir rd u) =A2R pg 5 senx = (lê-se: “seno de x”) cosx = (lê-se: “cosseno de x”) Capítulo 9 + Trigonometria TZ Seno é cosseno dos arcos de 0º, 90º, 180º e 270º Vamos determinar o seno e o cosseno do arco AB nos seguintes casos: 0º oulrd 90º ou Tra B A=B A sen 0º =0 sen 90º = 1 cos 0º =1 cos 90º = O 180º ou 7 rd 270º ou SE vd B sen 180º = O sen 270º = — cos 180º = 1 cos270º = 0 Nota: O arco de 360º ou 27 rd é côngruo do arco de 0º. Logo: sen 360º=sen0º=0 cos 360º = cos 0º = 1 Variação de sinal do seno e do cosseno 1º Quadrante senx=OP>0 cosx=0M>0 VIB | copítulo? + Trigonometria 2º Quadrante senx=0OP>0 cosx=OM< 0 3º Quadrante senx=0OP<0 cosx=OM<0 4º Quadrante senx=0OP<0 cosx= OM > 0 Resumindo: Sinal do seno + É as = Sinal do cosseno + - o E: Lembrando que o ciclo trigonométrico possui raio unitário, então os valo- res do seno e do cosseno estão compreendidos entre -1 e 1. Assim: -I<senx<1 Il<cosx<1 Seno e cosseno dos arcos múltiplos de 30º Seja a figura abaixo, onde o arco AB mede 30º: sen x = sen 30º Capítulo 9 + Trigonometria TIP EXERCÍCIOS 7 Determine o valor de: a) sen 30º e de sen 210º cos 30º E cos 210º 1º quadrante | sen 60º 3º quadrante 4 sen 240' | cos 60º | cos 240º b) sen 120º d) sen 300º cos 120º cos 300º 2º quadrante | en 150º 4º quadrante à un 330º cos 150º | cos 330º Seno e cosseno dos arcos múltiplos de 45º Seja a figura abaixo, onde 0 arco AB mede 45º: sen x = sen 45º O triângulo OMB é retângulo e isósceles (OM = MB). Aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos: (OM + (MBJ= (OB) Para facilidade de cálculo, chamaremos OM e MB de y. Assim: pry=r 2y'=1 122 capítulo? + Trigonometria Racionalizando o denominador, temos: Como OM e MB representam, respectivamente, o cosseno e o seno do arco de 45º, podemos escrever: pa cos 45º — E E sen 45º — 2 2 Da mesma forma, podemos calcular o seno e o cosseno dos múltiplos do arco de 45º utilizando triângulos congruentes ao triângulo OMB. EXERCÍCIOS 8 Observe a figura dada e determine o valor de: a) sen 45º 1º quadrante cos 45º b) sen 135º E gar: 2º quadrante cos 135º e) sen 225º 3º quadrante | cos 225º d) ( sen 315º 4º quadrante ; cos 315º TANGENTE (tg) DE UM ARCO É o quociente do seno pelo cosseno desse arco: sen x cos x tgx= Exemplo: Calcule a tangente do arco de 150º. o te 1505 — SED - > tgp E tg 150º = —.- E dd 2 1 Capítulo9 + Trigonometria 123 Racionalizando o denominados, temos: gisiie-L NS. NS 3 3 3 Nata: Não é definida a tangente dos arcos de 90º, 270º e seus côngruos, pois: o Sen9Oº 1 270º — Sen 270º 600 = om q 8 = ses O EXERCÍCIOS 9 Calcule: a) tg 45º d) tg 135º g) tg 0º b) tg 30º e) tg 210º h) tg 180º c) tg 120º f) tg 300º i) tg 60º COTANGENTE (cotg) DE UM ARCO É o quociente do cosseno pelo seno desse arco: gu = (008 5X sen x Exemplo: Calcule a cotangente do arco de 30º. v3 +. cos 30º = 2 cotg 30º = ndo” cotg 30º = T 2 NB Ds cotg 30 a 4 3 1 Nota: Não é definida a cotangente dos arcos de 0º, 180º e seus côngruos, pois: au cos0! do o tos 180º. = CORO = amos or É SE 180 = an T8O SO EXERCÍCIOS ao Calcule: a) cotg 60º d) cotg 240º g) cotg 120º b) cotg 225º e) cotg 330º h) cotg 210º c) cotg 90º f) cotg 270º i) cotg 135º 124 capítulo? + Trigonometria EXERCÍCIOS as Dado cos x= Ea er<x< E (3º Q), calcule: o a) sen x c) cotg x e) cossec x b) tg x d) secx 4 Sabendo que cossec x = E e a <x<7, calcule: a) senx c) tg x e) sec x b) cosx d) cotg x “15 Dado secx=2e0<x< = calcule: a) cosx c) tg x e) cossec x b) senx d) cotg x RELAÇÕES DERIVADAS 1 secix=1+tg'x Demonstração: sen x Sabemos que tg x = —— cos x Logo: 1 ——+——— senx XY. sen? E sen? 1 2 Letgn=14[ J=1+ semíx — cosx + seníx — = secix cos x / cos!x cos'x costx IL cossecix=1 + colgix Demonstração: a cos x = Sendo cotg x = ———, então: sen x 1 — cosx Y.. 2 senêx + cos? 1+ cotgix=1+[, ) = + £osx SEMX A COSX — . cossetix À senx senêx senx sen?x Exemplo: Sabendo que tgx=-—«/3 € E <x<, calcule: secx=— Ja — secx=-2 (no 2º quadrante a secante é negativa) 128 — copítulo9 + Trigonometria b) cos x secx= cosx= = cos x sec x EXERCICIOS 16 Dado tg x= = el<x< E calcule: a) secx c) sen x b) cos x d) cossec x 17 Sabendo quecotgx=lem<x E calcule: a) cossec x e) cos x b) sen x d) secx 18 Dado cotg x= 3 en<x< E calcule: a) cossec x b) sen x REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE e) cotg x e) tg x Conhecendo os valores trigonométricos dos arcos situados no 1º quadrante, pocemos determinar os valores trigonométricos de arcos situados nos demais quadrantes. Arcos no 2º Quadrante Se x é um arco do 2º quadrante, então (180º — x) será um arco do 1º qua- drante. Ássim: sen x= sen (180º - x) cos x = cos (180º — x) Capítulo 9 + Trigonometria 129 Exemplo: sabendo-se que sen 30º — + c cos 30º , calçule: a) sen 150º tale sen 150º = sen (180º — 150º) — sem 30º = b) cos 150º cos 130º = —cos (180º — 150º) = —cos 30º = SN [3 3 Logo: [3 tg 150º = tg 30º = a EXERCÍCIOS 19 Reduzindo ao 1º quadrante, calcule o valor de: a) sen 120º c) sec 120º e) cos 135º b) cos 120º d) sen 135º f) cossec 135º Dados: sen 60º ans cos 60º = + Fa sen 45º cgi, cos 45º = te 130 capítulo + Trigonometria EXERCÍCIOS 21 Reduzindo ao 1º quadrante, calcule o valor de: a) sen 315º c) tg 315º c) cos 330º b) cos 315º d) sen 330º f) sec 330º 22 Reduza ao 12 quadrante: a) sen 100º = e) sen 340º = sen (180º - 100º) = sen 80º f) cossec 118º g) cotg 352º b) cos 140º h) sen 190º c) tg 250º i) cos 245º d) sec 215º j) tg 305º TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS Sendo a e b dois arcos quaisquer, demonstra-se que: sen(a+b)=sena-cosb+senb cosa sen(a-b)=sena-cosb-senb cosa cos (a+b)=cosa-cosb--sena -senh cos(a-b) =cosa-cosb+sena-senh Exemplos: ?. Calcule o valor do seno do arco de 75º: sen 75º = sen (45º 4 30º) — sen 45º . cos 30º + sen 30º . cos 45º = 4 + y t h ' Fa [ ro . N2. N3 1 o. d2 a b=o 2 * 7 2 ne , E Fe a , vó 2 - 4 * 4 Logo: e + 2 sen7o-N6 + 2 Capítulo + Trigonometria 133 2 3 e REY En NM a . ?. Dados sen x = Ei (o <x 7) ecosy=435 (o <y ada calcule o valor de cos (xy). cos! x + senêx = 1 2 cosx+ (8) -15 cosx=1 a = cosx= Dé & cosx=-—— “xs senty + cos'y = 1 ava BT = 101 144 2 25 JE sen?y (5) =1> seny=1- 169 7169 => seny 167 seny = E cos (x— y) = cos x -cos y + Sen x-seny supe Bo 3. 508. o 513 5 13 65 6 65 EXERCÍCIOS “23 Aplicando as fórmulas de adição e subtração de arcos, calcule o valor de: a) cos 75º d) sen 105º b) sen 15º e) cos 105º e) cos 15º enxe (0<x<E) ec = é e D), caleule: 24 Dados sen x = (Os aeis 2) ecosy=15 O<y< e ertAie a) sen (x +y) c) sen (x -y) b) cos (x+y) d) cos (x—y) ARCO DUPLO Na expressão: sen (a+b)=sena «cosb+senb-cosa fazendo-se a = b, temos: sen(a+ra)=sena -cosa+ sena cosa ou sen 2Za=2sena-cosa 134 capítulo? + Trigonometria SECANTE (sec) DE UM ARCO É o inverso do cosseno desse arco: sec x=— cos x Exemplo: Calcule a secante do arco de 150º. A sec 150º = — cos 150º Racionalizando o denominador, temos: N3. 243 VI 3 sec 150º = — “jo A Nota: Não é definida a secante dos arcos de 90º, 270º e seus côngruos, pois: 0.1 = 20º = 1 edi COD ag qe ECO = an O EXER “Ti Calcule: a) sec 60º c) sec 180º e) sec 210º b) sec 45º d) sec 120º f) sec 315º COSSECANTE (cossec) DE UM ARCO É o inverso do seno desse arco: cossec x = sen x Exemplo: Calcule a cossecante do arco de 330º. & 1 dl r 8800 330º =——— =" =1.[— ES sen 330º E Nota: Não é definida a cossecante dos arcos de 0º, 180º e seus côngruos, pois: Í E enssça nado ld alo 0º= q sen0º O sent180º O Capítulo 9 + Trigonometria 125 EXERCÍCIOS e Construa o gráfico, dê o domínio, a imagem e o período das funções: a) y=sen3x b)y=2senx FUNÇÃO COSSENO Fa função que associa a cada arco x € IR o mímero cos x E R, Gráfico da função cosseno f(x) = cosx ou V=cosx X HI] mM | 2 T | El Ee, o Domínio = IR e | Imagem=[y ERI|-1<y<1) 2% | 1 Período = 2q É fácil perceber que a função Y = cos x é decrescente nos quadrantes elle crescente nos quadrantes Ile TV. Resumindo: a 3 0 2 z 2 2x arco I l NI IV 4 crescente sinal + — = + a] qua S N a a decrescente variação gg RO Exemplo: Construa o gráfico, dê o domínio, a imagem co período da função y = cos = a E Bi = 0,0 | 1 z| Í E > | z | 0 x | 2x | À | 3 | | Domínio = IR a 187) D o 2| | Imagem =([yER|-1< y<1) 21 | 4n;l Período = 4x Copítulo 9 é Trigonometria 137 EXERCÍCIOS 2” Construa o gráfico, dê o domínio, a imagem e o período das seguintes fun- ções: a) y=cos b)y-3cosx x a FUNÇÃO TANGENTE Vamos associar ao ciclo trigonométrico um eixo passando pela origem dos arcos (ponto A) e paralelo ao eixo dos senos (y): “BAT eixo das tangentes A medida do segmento AI representa a tangente do arco AB. Vamos exemplificar, nas figuras abaixo, a variação da tangente de um arco quando este varia de 0 a 2x: Sex=0,entãotgx=0. T 2 tendendo para “mais infinito” quando x se apro- Quando x varia de0 a “,atgx é crescente, xima pela direita de E e não sendo definida, ão od : T como já vimos anteriormente, para x =. 2 Quando x se aproxima pela esquerda de E a tg x tende para “menos infinito”. Se x varia de a ax,a tg x é crescente, assumindo valores ne- gativos cada vez mais próximos de 0. Para x = 7 temos tg x=0. ã Quando x varia dera E a tg x é crescente, tendendo para “mais infinito” quando x se apro- 3 á T 4 e nã xima pela esquerda de 5 e para “menos infini- to” quando assume valores muito próximos de E pela direita. A tg E não é definida. 138 — capítulo? + Trigonometria a 3 pegê Quando x varia de sd 2n,a tg x é crescente, assumindo valores negativos cada vcz mais pró- ximos de 0. Se x — 2x, então tg x = U. Gráfico da função tangente Com as informações obtidas através das figuras anteriores, vamos esboçar o gráfico da função y=tgx: / Mi / A ; e E 0 ' 3m im x a Ad a E x O domínio dey = tg x é E ElR|x+ E] +kr,k E z| o que significa dizer que y=tgxé definida para qualquer valor real de x diferente de 90º, 270º, 450º, 630º... A imagem é o conjunto dos números reais, pois a tg x varia de “mais infinito” (+=) a “menos infinito” (-50). A função é periódica, de período igual a 1. OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Veremos, a seguir, um resumo das funções cotangente, secante e cossecante: a) y=cotgx eixo das cotangentes cotg x=CM cotg E =0 cotg 7 não é definida Eu ti =0 cotg — cotg 2x não é definida Copíulo9 é Trigonometria 139 ja 2. Resolver a equação sen q = =. po y 2 A Sendo sen E — NA então podemos escrever sen q = sen É 42 E 4 u=S5+2km ou e 7 (ke Z) [ar G-2km Logo, 5= fu. = E +2km ou a- 3 aka, ke Zi. 3. Resolver a equação seno = 1. Sendo sen E =1, então sena = sen 5 E [8=27+2m ou kEZ) E =n-Es | uUu=T 2 2kz Logo, 5= (a= E +2kn, ke 2) 2 j &. Resolver a equação sen € = -— ER 6 fu= Es +2kr ou | 6 Í z (k E Z) [o-n-E + 2 6 Logo, 5= [ZE + 2kx ou u=-D+2km, k E Z). 142 capítulo « Trigonometria 5. Resolver a equação sen 3x — sen x. 3x=x+2km [a [ox=km ] (ke z) ou = o [Se=7 x + 2kt ta RE e / Ed -nN Logo, S- pt ou x=5+ rezo) EXERCÍCIOS So Resolva as seguintes equações: a) senx=sen Es [) sen4x= sen x - 5 b) senx= 12 8) senx= e c) senx=-1 h) senx=-18 d) senx=sen O i) sen 2x = Ne 21 c) sen2x=sen j) sen 5x = sen = 2 cosqa=cosB Exemplos: s x 7. Resolver a equação cos q = cos a Se dois arcos têm o mesmo cosseno, então eles são côngruos » ou têm suas extremidades simétricas em relação ao eixo dos cossenos. Ássim, cos G — cos T o x (ke Z) a == + 2km Togo,S= fa — o +2kr,k € 4 Capitulo? + Trigonometria 143 5. Resolver a equação sen 3x = sen x. Pes ou E $ [=x x + 2km [imensa Logo, S= |x= kr ou x-E. kr rez) EXERCICIOS «30 Resolva as seguintes equações: a) senx=sen e f) sen 4x = sen x + E: A 2 b) senx=18 8) senx=—5 3 c) senx=—1 h) senx=-15 . s J2 d) senx=senO i) send sia . 27 : T e) sen2x=sen — j) sen 5x = sen 5 3 ! 2 cosa=cosp Exemplos: = z 1. Resolver a equação cos « = cos “4 Se duis arcos têm o mesmo cosseno, então eles são côngruos vu têm suas extremidades simétricas em relação ao eixo dos cossenas. Capítulo 9 é Trigonometria 143 d MATRIZES Observe os seguintes conjuntos numéricos, onde os elementos estão postos em linhas e colunas e coloc: dis- ados entre colchetes, parênteses ou barras duplas: Exemplos: 1. 8. afio j c= [3 Le| 2. To 5] 4 D-=|[2 3 -4| a a | Conjuntos desse tipo chamamos de matriz. » As filas horizontais são chamadas linhas. » Às filas verticais são chamadas colunas. Seja a matriz A: coluna 2ºcoluna 3º coluna 1º Tinha 1 0 A ] : 5 | 2º linha 8 — a 3º linha o E a A 4 linha Ê 9 YZ 3 | Ela possui 4 linhas e 3 colunas, assim é do tipo4x3 (lê-se 4 por3). Observe: Escrevemos primeiro o número de linhas e depois o número de colunas. Exemplos: t. 9 3 | | 1 : é uma matriz do tipo 4 x 2 Po a E 0 3 ] é uma matriz de ordem 1 x 4 8 Capítulo io + Matrizes 147 —8 7 ] é uma matriz 2 x 2 é uma matriz 6x 1 MATRIZ QUADRADA É aquela em que o número de linhas é igual ao de colunas. Exemplos: 7. A= [-8] matriz quadrada de ordem 1 r 2 2. 0 Es B= E matriz quadrada de ordem 2 — 1 3. 08 3| c-i 2.9 / matriz quadrada de ordem 3 MATRIZ LINHA É aquela que possui somen te uma linha. Exemplos: 1. A-[O 3 1 -71 matriz linha do tipo 1 x 4 2. B= E: 1 -3] matriz linha de ordem 1x3 748 copítulolo + Matrizes DIAGONAL PRINCIPAL E DIAGONAL SECUNDÁRIA Na matriz quadrada de ordem n abaixo: à, dj, a a à, a, a; a nt à, Asa da | a. a a ss a | ni az na mn | o conjunto D — lag, Ay Agr Ay Aos =, A, (elementos de índices iguais) chama-se diagonal principal e a outra diagonal secundária. 8 2. 4 6 8 2 C= | 0 7 —9 diagonal diagonal - ; secundária pringipail Ba. 9 diagonal diagonal secundária principal IGUALDADE DE MATRIZES Duas matrizes são iguais se e somente se são do mesmo tipo e cada ele- mento da primeira matriz é igual ao correspondente da segunda. [1 “| [8+2) 3 a 2. Dadas as matrizes: [x+1 5 3 5 Po), E Bs o 2 3y 2 12 para quais valores de xe y Ac B são iguais? Po | R |] pXxi1=3 > x=2 = => 2 3y 2 la= > y=4 Copítulo1O e Matrizes 151 EXERCÍCIOS 7 Caicule os valores de x e y nas seguintes igualdades: | 1 x—S 1 | E E P y b) Ne e) 8 N x+6 87 4 10 0) La 10 ay-12] e) | 8 | Po] 2-5 | 1 MATRIZ NULA Uma matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero. Exemplo: | 0 0 0 | 0 0 0 MATRIZ TRANSPOSTA É aquela que se obtém trocando ordenadamente suas linhas por colunas ou vice-versa. A transposta da matriz A por exemplo, é indicada por A!. 4 ETR 4 I 8 Sendo A= | 1 0 então At [5 0 | 8 7 EXERCÍCIOS 8 Escreva a matriz nula do tipo: a)2x1 b) 3x2 9 Fscreva a matriz transposta de: a) - 8 4 b) [ d —4 À = | 1 203 B=| 8 2 | L5 152 copituloio + Matrizes OPERAÇÕES COM MATRIZES ADIÇÃO DE MATRIZES Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, chama-se € = À + Ba matriz que se obtém adicionando os elementos correspondentes das matrizes A e B. Exemplos: 7. Sendo: 4 5 A = 4 2 -1 então A+B= | 2. Determine x e y tais que: (23 4+y=10 y=10-4 y=6 EXERCÍCIOS 10 Sendo: (8 A=|2 1 Calcule: aJA+B bDA+C 7 7 fo Pe ess 0 3 23 5| 4470 5+(C1) 7+10]. [1 q E 243 1263) 045] [5 4 5 E; 10) º É ;) o) 8.4 x+10=8 x =8-10 X=-2 3 1 4 [a 8 4 B=|5 3 E -4 By, so 5 3 5) JB+C DALB+C a Calcule x, y e z nas seguintes igualdades: a) [ x 3 7 y b) [x -—5 Y -1 z 0 Jo: 3- [ É 1 fa -6 + Ja g| = 2.1 [4 5 5 5 Capítulo 10 + Matrizes 153 Do Exemplos: 1. E (3 1 seheadio|2 | e p=[ 47 Sendo L., 1, L, linhas de AcC, €C, colunas de B, LG LO) aB= [LC LC. LC L&d (3.2+41:4 0 3-5+1- AB= [o 5.4 2:545-7 4.2+7:4 4.5+4+7:7 2. 3 4 8) Ty 7) f |= (9 5 2) = (1347-900 1.447:5 1 EXERCÍCIOS 15 Calcule os produtos indicados: » 13 a 1 — no e o (5 á (oa E bs “(E :) [a 8 3 o 2 156 CopituloiO + Matrizes 10 AB=|24 136 =(66 39 o o = > RE Ed A MATRIZ IDENTIDADE Amatriz quadrada de ordem n onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, chama-se matriz identidade. Exemplos: 1. 10 2. 1 0/0 h - 6 | L=|0 10 1 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada de ordem n é inversível se existir uma matriz B tal que A-B=I e B-A=T. Indica-se a matriz B por A! Se não existir a inversa de A, então À não é inversível. Exemplo: (15 6) 1 g Mostrar que a matriz inversa de A = E 7 (7.3) Rio | 3 15 6 | = 15:146 o 15 (9) +6 3 7 a) [=D 5 7 13: 7-(D2)+3.5 Lcd 3 h PM / - f [A 15 6 1 15+(-2).7 1:.6-=2:3 cc silp gs) [Ligar -Lgesos 3 3 3 / ) A 15 6 1-2 Portanto, éa inversa de > a Z 5 7 3 O | 8 EXERCÍCIOS 16 Mostrar que as duplas de matrizes abaixo são inversas: afr a ( 4 HA 9 (8 7 1-4 j . e e | 5 3) (—5 z 2 a Al: 4 E b) (5 8 -8 8 d) [3 z 12 e ê 2 q 2 -5 5 12 -5 Capítulo 10 é Matrizes Nota: A regra de Sarrus só se aplica para o cálculo de determinantes de 3º ordem. Exemplo: Dada a matriz: [4 -1 5] As|2 3 9 BB 1º 4 4 1 5 4 2. 38º 2)» Bo 1 als = 3 1 » Calcule det A: detÃ=4.3.4+4( D(2)-3+5-2:1-5.3.3.4.(9).1-(9).2.40 =48+6+10-45 +8+8=35 3 Calcule os determinantes: EXERCÍCIOS a) |2 3 1 4 2 —2 b) | nf -3 —4 | 1 2 dI2 q | s 1 | -5 6 d)|1 E ka Di li 2 à 1 | dj2 3 5] 4 3 7 Bo 1 6 ih 2.3] 4 5 6 |; 89 Capítulo TI e Determinantes 161 Lie y / . RED E Laqlaco CALCULO DO DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM n (n > 3) ay Ao a As SEA = [a A da a |» | nl dr ds da então o determinante da matriz A é o número real: A Ra A BA A RA a id RD a Rà onde: a A jr Aga mo py A são os determinantes das matrizes obtidas de A, eliminando-se a 1º linha e, respectivamente, as colunas 1,2,3, ...,n. Exemplo: Calcule o determinante: o é 3.0 4 jê 45 dj À 0: 3 . 45 3 1 2 45] 4 45 EE di 3) =2 2 0 3 + 5 39.1 4 32 41 RE SD ada, Zig An à, 1 2 5 A 4 +(3)-|2 1 8) -0 2 10 = =. 5 À 405.3 Ooo s | eds, dj Ay dy A Aplicando a regra de Sarrus nos determinantes de 3º ordem, temos: 1.53-2.(-17)-3.56-0-41=53+34-168-0--81 162 — capitulon + Determinontes EXERCÍCIOS 04) Calcule os determinantes: di Lo 7] d|5 3 00] 2 32 1/4 à TOO Bb 3 5 1 6 Po Broa 2 4 8 gl 2 E bi 0 2 q d) | 1 5 dd x 3 1 4/1 32.2 4 5 2 3 6 4 0 1 1| 4 1 3/4 L EB é | PROPRIEDADES Dentre as propriedades dos determinantes, vejamos as seguintes: P, Senuma matriz quadrada multiplicarmos os elementos de uma li- nha (ou coluna) por um número k qualquer, então o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Exemplo: a . 5008] | =2 = 6 E ge MAÇA a Logo: |9 3 -B, [3 1] 12 4 2] P, Se uma matriz quadrada possui pelo menos uma linha (ou coluna) de elementos iguais a zero, então o seu determinante é nulo. Exemplos: Tjo o 2/2 0 3 [= A 5 1 0 E) =0 4 b 8 Capítulo + Determinantes 163 " 8.3 6| O valor do determinante 4 5 9, é 8 3 6 a) 6 b) 43 c) -15 d) O a 1-3 4 2 O determinante 2 —6 8 4 vale: 5 0 0 1 |> [LL 3 q | a) & b)0 e) 12 d) 23 R coxo 9 O conjunto verdade da equação |4 =0é x a) 4, 4 b) (4) o) (41 d) (6,6) 4 2 148 O conjunto verdade da equação | 4 x 6 a) (2,2) b) (10) e) 1-2 d) 12) 166 — capitulon + Determinantes EQUAÇÃO LINEAR As equações do tipo: axtax,rax+..+ax =b são chamadas equações lineares, onde: a, à,, à, ..., à, São números denomina- dos coeficientes das incógnitas x, x, Xy ...,X, e b é o termo independente. Observe: O maior expoente das incógnitas é 1. Assim: 2x + 3y = -8e5x—y + 2z = 0 são exemplos de equações lineares. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Solução de uma equação linear é qualquer n-upla (0, x, ..., G,) cujos valo- res, substituídos em lugar de x, X, .. Xy satisfaçam a equação. Exemplos: 7. Scjaa equação:x +y =7 Resolvendo por tentativas essa equação, obteremos infinitas soluções, pois a cada valor atribuído a x teremos um correspondente valor de y. Veja: para: x= 1 => l+y=7 > y=-6 o s= 2 > 2+y=7 > y=5 x+y=7 fi= 5 E: 3+y=7 =s, y=4 x=4 = d+y= Es. y=3 As soluções são pares de números, de tal forma que o 1º elemento do par é xe 0 2º elemento é y; portanto, pares ordenados (x, y). Assim: V = ((1, 6), (2,5), (3, D, (4, 3), «ed. 168 — copitulo 2 + Sistemas Lineores MATRIZES DE UM SISTEMA À um sistema linear dem equações en incógnitas podemos associar duas matrizes: » incompleta: formada pelos coeficientes das incógnitas; so] » completa: formada pelos coeficientes das incógnitas e os termos inde- pendentes. Exemplos: 1. [ 2x +y=B 5x-y=1 Matriz incompleta: [ 2 1 | q L =] Matriz completa: [ 1 2] o í m nm o, 2. [2x- y+27=0 fé y+2z=0 . ou b (3x 5y=6 Matriz incompleta: [2 = 2 |l3 5 q Matriz completa: | 2 bs 5 q 6 EXERCÍCIOS ? Emcadaum dos sistemas abaixo, assucie as matrizes incompleta completa: XE yy = f x+3y=4 a) 4 A ) d) 4 2x-3y +27 =) lax- y=a Le y+372=-4 [3x0 =0 [ x+3y- 2=2 Daio j2x- yaBr=3 Ea fica xt 3-4 5x— y =2 c) [2% = bes 22=1 ER do | Pra Capítulo 12 + Sistemas Lineares 17] SISTEMA NORMAL Um sistema é dito normal quando o número de eq de incógnitas tm = n) e o determinante da matriz incompleta é diferente de zero. sações é igual ao número Em O ja às e Exemplos: 1 ( x+3y=5 2 equações e 2 incógnitas 1 2x—- y=3 no] É E *0 al Ze. x+ y+ 2=4 3 equações e 3 incógnitas lox- y+ 2=2 1 1 1 5x+3y -2z2=10 e 2 = 1 *0 [8 | Resolução de sistemas normais ema normal é determinado (teorema de Cramer). “Todo sist Vamos resolver um sistema normal através da regra de Cramer onde a so- lução desse sistema é obtida pelas relações: x= 2X Ay a Ar — co Sendo: » Ao determinante da matriz incompleta; » Ax, Ay, AZ, .. OS determinantes obtidos da matriz incompleta substituin- do-se a coluna dos coeficientes da incógnita procurada pela coluna dos termos independentes. Exemplos: 1. Resolva o sistema: 3x -2y=4 Láx+ y=9 |3 2] A= E 1] =11 3 Ax= É 2| » po MS Ea 4 Ay as = AY MO ay= fa | = ye =457] 2 capítulo 2 º Sistemos Lineares 2. Resolva o sistema: [ x+ y+z=1 Da H2y =0(0u3x+2y+07=0) | X- y-2=-5 1 1 i A=13 2 0 =-4 1 -1 =| q 1 1 Ax 8 Ax = Es = E o Ax 0 0 8 x A E 2 -5 -1 -1 | 1 1 A - El p= 21 Ay= vo 12 y=4=05=3 1 = = 1 1] , = = AZ 0. dz= | 3 2 0 0 AT =0 1 Ed B V=[(2,3,0) EXERCÍCIOS 8 Resolva os seguintes sistemas: . [2x+ y+ z=1 nqrarárei e)! x-3y422=1 a gi=b Lsea y- z=4 X+ y+z=6 » Es ola y+7=3 3x +2y=3 xtiy-z=6 Caphtulo 2 + Sistemas lineares 173 GEOMETRIA PLANA Da Geometria Plana, iremos estudar os assuntos que serão necessários para O desenvolvimento do nosso curso de Geometria. Alguns desses assuntos já foram abordados no curso Fundamental. RAZÃO DE SEGMENTOS Sejam os segmentos ABeCD: A 4em B c 3em D med(ÃB) = AB = 4 em med(CD) = CD =3 cm A razão dos segmentos ABcCDé cof Razão de dois segmentos é a razão entre suas medidas tomadas numa mesma unidade. Tndica-se: E o. & cn 3 EXERCÍCIOS 1 Dados: m(AB) = 5 cm m(DE)=7 em m(BC) = 15 em m(EF) = 14 em Determine: AB o AB Er a) BC 9 TE 9 DE DE DE BC n Er d) BC É AB ? Observe a figura: a 9 3 ? 5 A B c D E onde: m(AB) = m(BO) =m(TD) = m(DE) e determine: AB 4 BE 4 AB po o at: 9 DE w SE 7- > a BE. p É AE AD CE W6 —copitulo13 + Geometria SEGMENTOS PROPORCIONAIS Sejam os segmentos: Tem 3em FE a A B E R o i 6 em I 1 F 1 E D C H A razão entre os segmentos AB c TD é + ABA cD 2 A razão entre os segmentos EF e GH é cê ES GH 6 Notamos que as razões + e é são iguais: 1.3 2 6 AB EF cD GH Nessas condições, dizemos que os segmentos AB, CD, ET e CT], nessa or- dem, são proporcionais. Exemplos: t. Sendo AB, CD, EF c GH, nessa ordem, segmentos proporcionais, determi- nar AB, sabendo-se que: CD=5cm EF=4em GH=10cm AB. Er cp > GI AB A , IgABÓROA 3 to I0 AB =20 20 =É — > AB= Copítulo 13 + Geometria 177 2. Calcular as medidas de AB c BC, sabendo-se que: AB (3 = BC = CAC-28 em a b + A B S Assim: a o a o br = = e a+b=28 y | ge. dia a 3 E = Es > Ja=3:28 a 3 7a=84 4 a- "12 > a=12em > AB=I2em Substituindo a= 12 em a+b=28, temos: 12+b=28 > b=28-12=16 > b=16em — BC=16cm EXERCÍCIOS 3 Sabendo-se que AB, CD, EF e GTT são proporcionais, nessa ordem, deter- mine o valor de x nos seguintes casos: a) AB=4cm EF=12cm d) AB=15em EF=x-3 CD =x GH=9cm CD=3cem GH=lem b) AB=2m EF =x e) AB=2x+1 EF=5cem CD=x GH=8m CD=9cm GH=3cm c) AB=x EE = 16 dm f) AB=5m EF = 2x CD=4dm GH=x CD=x GH=10m “4 Calcule as medidas dos segmentos AB e BC nos seguintes casos: a ia [+ AB 2 a AÉ=9) a) Á E A BC E E em b a — ——+ + A L AB 5 bb [———>—>»>»>»—»+ À => eAC=2lem ! A B c BC 2 E E o) [———+——— AB 42 AC=30cm A B c BC WB | copítulois + Geometria EXERCÍCIOS a é 8-x 12 12x=3(8-x) 2x=24 3x 12x + 3x =24 15x = 24 - 24 -8 “q” Ms x=1,6 & Determine o valor de x nos feixes de retas paralelas: a) d) Capítulos + Geomeírio 181 ae Calcule x nos feixes de retas paralelas: FIGURAS SEMELHANTES Observe as figuras: am a mes- Essas figuras não possuem o mesmo tamanho, Porém, apresent ma “forma”. Flas são semelhantes. Em particular, se além da forma as figuras tiverem o mesmo “tamanho”, elas são congruentes. 182 — copítulo13 + Geometria TRIÂNGULOS SEMELHANTES Em dois triângulos semelhantes, os lados correspondentes são propo nais e os ângulos correspondentes são congruentes. Assim: AABC - AN'B'C (lê-se: AABC semelhante aAA'B'C) p= ÉS = = He (lados Correspondentes proporcionais)  ângulos cor espondentes congri uentes) Exemplo: Determine x e Y nos seguintes pares de triângulos semelhantes: a) A A 2em X 6 cm 12 em 3em Pe Drs AB AC BC AABC-AABC Ss ABRO dadã x 2 y/ 3 S=I2 > 6y=2.12 5 y= > y=4em 6. x J = 18 apr 203 * &X=3.6 = a > x=9em Capítulo3 + Geometria 183 ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO No triângulo retângulo ABC, temos: A a — m(BC) > hipotenusa b = m(ÃO) > cateto c o m(AB) > cateto h — m(AH) > altura relativa à hipotenusa ê T C mos projeção de AC sobre BC à IT n — projeção de AB sobre BC Observe: A hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto desse triângulo. Os outros dois lados chamam-se catetos. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Seja o triângulo retângulo ABC: A E b B e, H H————= ir A altura relativa (h) à hipotenusa divide esse triângulo cm dois outros se- melhantes. Veja: AABC - AHBA (À = À; B=8) AABC - AHAC (À = B; É = É) AHBA - ATIAC (Propriedade transitiva da semelhança de triângulos) 186 capítulo + Geometria Considerando esses triângulos dois a dois, temos as seguintes relações mé- tricas: 1º Relação: O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto das medidas da hipotenusa pela sua projeção sobre ela. A Sendo AABC — AHBA, temos: E h E 8 + [EP B H no. — dd A A e Sendo AABC -— AHAC, temos: E b | b ) Bão > bi=a-m B Ein CH Cm b — a 2º Relação: O produto das medidas da hipotenusa e da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos catetos. A A Sendo AABC - AHAC, temos: ac. in , b h +; SB h=b.c h B € ta € H H H——a——4 3º Relação: O quadrado da medida da altura relativa à hipoterusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. A A o b Sendo AHBA » AHAC, temos: h h hn > REED m h B o HH . Copítuloi3 * Geometria 187 4º Relação: Teorema de Pitágoras O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Sabemos que:b?=a-m e c=a-n Somando essas igualdades membro a membro, temos: b'=a-m c=amn pP+cd-am+an bircd-a- (m+m) b+C=ad > d=blre Exemplos: 7. Calcule a medida do elemento desconhecido: a) A c=? Cc a= n= b) m=? bi=a:-m a=10 8 =10-m b=8 64=10:m me > m=64 E o——— 188 — copítuloi3 + Geometria SP Nos triângulos retângulos abaixo, calcule os elementos desconhecidos: a) A d) A Aplicações do Teorema de Pitágoras a) Diagonal de um quadrado Seja o quadrado ABCD de lado ! e diagonal d. A t B d £ Ê D f E Aplicando o Leorema de Pitágoras no ABCD, temos: d=P+p dl=2 4º =D > d=-4/7 Capítulo 13 + Geometria 191 b) Altura de um triângulo eqiilátero Seja o triângulo equilátero ABC de lado ( e altura h. Aplicando o teorema de Pitágoras no AAHC, temos: poresf) Peh+— 3.28 4 lap a ca jaÊ - ENS h=4[ ER > h 5 EXERCÍCIOS a2 Determine as medidas das diagonais dos seguintes quadrados: | | VM 7N2 9 em as Determine as medidas das alturas dos seguintes triângulos equiláteros: a) Db) | av3 8cm 1980 egaiia a Ganmetria 4 Determine o perímetro de um triângulo retângulo cujos catetos medem 2 cme5cm. £& Calcule a medida do lado de um quadrado cuja diagonal mede 8 Y2cm. dO Calcule a medida da diagonal de um retângulo de dimensões 9 cm e 12 em. 7 Determineo perímetro de um triângulo eguilátero cuja altura éiguala 4/3 m. 18 Calcule a medida de cada cateto de um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa mede 2 1/2 cm. 19 Calcule a medida do lado de um losango cujas diagonais medem 6me8m. 20 Num losango cujo lado mede 10 cm, uma das diagonais mede 12 cm. Cal- cule a medida da outra diagonal. 21 Qual é à altura de um triângulo eguilátero de 24 m de perímetro? 22 Qual é a altura de um triângulo isósceles cuja base mede 24 em e os lados congruentes medem 13 em? RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER 1º Relação: Em qualquer triângulo, o quadrado da medida do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o duplo produto da medida de um desses lados pela medida da projeção do outro sobre ele. B c a Ã<90º A El E H —>=bo— 4 ABHC é retângulo Pitígoras ne, o ABHA é retângulo "Pitágoras 24h > h=con O g Substituindofl) em o, lemos: a-=mirc-n m=b-mn = (b-nP+cin? a=b-2bn+ni+ cn =birc-n Capítulo 13 + Geometria 193
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