Baixe Matemática Ensino Médio 2º ANO - Valter dos Santos Fernandes Jorge Daniel e outras Notas de estudo em PDF para Química, somente na Docsity!
INSTITUTO BRASILEIRO DE EDIÇÕES PEDAGÓGICAS
E-mail: ibep & uol.com.br
CENTRAL DE ATENDIMENTO
Distribuição. Promação e Vendas - LIGAÇÃO GRATUITA 0800 17 56 78
Vendas — Pax: (0XX11) 6594 5338 — Propaganda — Fax: (0XX11) 6652 0122
Rua doi 294 Te. (0XX11) 2591-2355 (PABX)
CEP 03016-020 — Caixa Pestal 285 — São Paulo — Bras!
SEDES REGIONAIS
ACNE — Bio Branco — Rua Flaiaris Peixe, 743 — Tel: (0%
ALAGOAS — Macoiá - R, Prot. Vinginio de Cempes, 206 — Tel. (1XX82) 2: Fax 236 10:
AMAZONAS - Mensuis — N. entique Manths, 396 — 2º arvar — Telz (0XX92] 632 1349 — Fax: 588 Bait
BAHIA — Salvador — =, Visconde ce lanorei sets Tolo (0XX71) 240 1IZI / 249 1811 — Fax 248
BRAELIA (9) — SIG/8U — Quadrr 8 Elcco O — Lea 63 — Te : (OXXAI) 8/7 1880 — Fome 4d 3
CEANÁ — Forialeza — Av Aguenamos, 16% o): (QXXE5] 226 SOCO 5 1saãa,
ESZÍRITO SANTO — via Vel R. Free cento Lima, 1027 — Tot. (UXX27) 229 7:89 — Fax: 220 2072
GOIAS - Gimme - 2. 70, 647 — TelTex: (0%X09) 254 2
MABANHÃO — São Luis — Ay. Sete Vaiças, 14 — Tui: (0XX08) 232 2810 — “ax: 232 Giidt
KATO G3OSSC — Cuiabá -R. Barãe do Melgaço, 789 — Foo — Tel: (OXXEC) 547 TREO — Fox. 64, a/87
MATO GNOSSC DE SUL —Sarpo cGrande — Av. Berdeirartes, 605 — Tal. (SXXB7) 784 481 max 721 790
MINAS GERAS — Foto Henzone — Au Isabe. Buero, 1024/1026 - —s1 (DXX31) da” 2886 - Fax: 48] “IES, — Tod Oloni fe Gordo Sarges, 983
Tel: (0XX35) 522 zelo — Fux. iza 2065 — Gov, Valaneres — ue Riria Holedora, 486 — Tel: (00(35) 271 2270 — =ay 271 dota
— Os Fabreiuno Hu. Maria Matos, 25 -— Tel/rex losquim Gosta, 2/0
Juiz de Fofa - Rua -elfold, 716 — Centro ted
FANÁ — Delém — Trav. Padre Eurico, 880 tod: (
PARAÍBA — não Pucsuu Av. 1º 08 Meio, 250 — Tal: (0XXBS) VE p7Rs Fox: 247 8005
PARANÁ — Cinta — R. Engemeiro Leco Sugras Gomes, 474 — ToL: (0XX41) 35 1551 — Pax DAS 1781
VEHNANBLCO — Necis — Rua Gervásic Pres 12b Tel [0XXB]) 423 5859 - rag: 428 Dis,
PIAUÍ — Teres) a Quintino Exccaúva, 350 — SJ — TeliTex (CXXAG) 20 emo
RO GRANDE DO NORTE ntotal = Fu Olnio Meira, LUIZ — Barco Varmelho — Tel/Fox: (CXXB4) 212 2122,
RO GRANDE fiti SUL — Perio Alegre — Rua Emesto la Fontoura, Sz — Tol; (0XX57) 942 6300 / Pax 43 1411
RG DE JANE RO — Pio de Janeiro - Av. Loba Júmior, 14h11 - tel. (CXX21) 572 “647 > =aw: 590 Qua
RONDÔNIA — Porto Vaio — Pis Joaquim Nabuco, 2816 — Tel; (0XX59) 224 5578 — Fax 22 4/21
= SeParaná — Rua —0, 30 fentre es tuas Cufiiêa é Meringá) — Baitro Nowe Brasilia (cl: (DXX60) 421 4996 | Fax
RORAIMA — hoa Mott Ae. Juime Brasil, 963 — Tele: (DXXU) 204 1244 Fax 224 181
SANTA BAT AEINA — Fiorengpoils - À. Jesé Cândido ia É Iva, 282 — Ben, do Estreito —
SÃO PAULO — Araçainba — R. Gavaldo Graz, “78/77 — Tel, (CXXIG) 223 2817 - Fes
Tel: (0XXI4] 294 Ato” — Fox. 284 1467 Presidente Prudente — Av, Gotonel dest Ssares Ma
Fax: d95 D6R9 — mibonão Proto H, Florêncio ce abr
R. Gsneral Glivónis, 4254 Tel. 10XX'7) 208 9083 —
va? tor
1 Ars,
) 248 BUBO | 208 ass Fox: 248 EC20,
Baur — Ay. Aureleno Carca
des, 1120 — 7%
E2ã = fados IEL: (0XX16) 636 7715 — Fax: flo 6:
[1 CONJUNTOS
CONJUNTOS... =
REPRESENTAÇÃO DE LM CONJUNTO ........
PERTINÊNCIA...
IGUALDADE DE CONJUNTOS...
CONJUNTO VAZIO
CONJUNTO UNITÁRIO
SUBCONJUNTOS
UNIÃO DE CONJUNTOS ..........
INTERSECÇÃO DF CONJUNTOS .
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
CONJUNTO COMPLEMENTAR .
CONJUNTOS NUMÉRICOS
ARETA REAL
INTERVALOS NUMÉRICOS
APLICAÇÃO DA TEORIA DOS CONJUNTOS NA
NA RESOLUÇÃO DI ALGUNS PROBLEMAS ..
RELAÇÃO E FUNÇÃO
PRODUTO CARTESIANO
RELAÇÃO BINÁRIA ....
FUNÇÃO
Notação .
Função numérica de variêvel real
Determinação do domínio de uma função...
Gráfico de uma função
Como reconhecer se um gráfico representa au rão
um função
FUNÇÃO SOBREILTORA .
FUNÇÃO INJETORA .... io
FUNÇÃO BIETORA ..
FUNÇÃO INVERSA...
comete dear à Múnçad mesa de úia
função.
FUNÇÃO CRESCENTE .
FUNÇÃO DECRESCENTE
FUNÇÃO DO 1º GRAU
FUNÇÃO CONSTANTE ...
FUNÇÃO IDENTIDADE ...
FUNÇÃO DO 1º GRAU ..
Coeficientes a e b da função y = ex +...
Raiz ou zero da função de 1º grau...
Sinal da função do 1º grau...
RESOLUÇÃO DE INFQLAÇÕES
34
35
36
a7
38
as
39
48
FUNÇÃO QUADRÁTICA
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Gráfico da função quadrática ..
Concavidade da parábola
Raízes ou zeros da iunção quadrática ...
Interpretação geométrica das raízes ..
Vértice da parábola
Imagem da iunção quadrática
Variação do cinal da função quadráti
RESOLUÇÃO DF INFQUAÇÕES.
[=
FUNÇÃO MODULAR
MÓDULO
FUNÇÃO MODULAR ..
EQUAÇÃO MODULAR
FUNÇÃO EXPONENCIAL
POTENCIAÇÃO.
Propriedades da potênciação
Expoente inteiro negativo ....
Expoente expresso por uma fração ..
FUNÇÃO EXPONENCIAL
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL ....
Resolução de inequações exponenciais .........
E LOGARITMOS
LOGARITMOS
Condiig
Propriedades decorrentes da aefinição .....
Propriedades operatórias
Mudança de base .
FUNÇÃO LOGARÍTMICA ..
Gráfico da função logaritmica .....
RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES
LOGARÍTMICAS
des de existência do logaritmo ..
PROGRESSÕES
PROGRESSÕES.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS..
Fórmula do termo geral da PA,
Proprisdades
Fórmula da soma dos termos da PA. .
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS .
Fórmula do termo geral da P.
Propricdades
Fórmula da soma dos termos da P.G. finita .....
53
53
54
24
56
57
58
so
64
56
56
58
TRIGONOMETRIA
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO g 07
Tabela de razões trigonomérricas de ângulos
agudos .. no
CIRCUNFERÊNCIA TRI mt
Arcos ” m
Ângulo central... 12
Unidades de medida de arcos .
Conversão de unidade
Circunferência orientada
Arco orientado .
Ciclo trigonométrico ..
Quadrante
Arcos côngruos .
NÚMEROS TRIGONOMÉTRICOS
Seno (sen) de um arco ...
Cosseno (cos) de um arcu
Seno e cosseno dos arcos de
Variação de sinal cio send edo
Seno e casseno dos arcos múltiplos de 30º
Seno e coment dos arcas múliiplos de 45º
Tangente (tg) de um arco. 123
Cotangente (cota) de um arco. 1a
Secante (see) de um arco. 125
Cossecante (cossec) de um arco . 125
Relações fundamentais. 126
Relações derivadas. 128
Redução ao 1º quadrant 129
Areas no 2º quadrante
Areas no 3º quadrante
Arcos no 4º quadrante
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. 133
Adição e subtração de arcos 133
Arco duelo 124
FUNÇÕES IRIGONOMÉTRICAS . 136
Função suno . 136
Gráfico ca função s
Função cosseno -37
Gráfico ca função co
FUNGO AGENTE oncreaa ncannaasa rapa 138
Gráfico ca função
Outras funções lrigenométricas . 138
S TRIGONOMÉTRICAS 141
MATRIZES
MATRIZES . 147
MATRIZ QUADRADA . 148
Matriz linha 148
Matriz coluna «o ts semi 140!
Diagonal principal e diagonal secundária 151
IGUALDADE DE MATRIZES 151
MAIRIZ NULA
MATRIZ IRANSPOSIA
OPERAÇÕES COM MAIRIZES
Adição de matrizes...
153
153
Matriz oposta.
Sublração de matrizes 154
Multiplicação de uma matriz por um núm
real E assa 154
Multiplicação de matrizes .. 155
MATRIZ IDENTIDADE... 157
MATRIZ INVERSA...
DETERMINANTES
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE UMA
MATRIZ QUADRADA 159
Cálculo do determinante de uma matriz
quadrada de 3º ordem (3 x 3). 160
Cálculo co determinante de uma matriz
quadrada ce ordem n (n > 3) 162
Propriedades . 163
SISTEMAS LINEARES
EQUAÇÃO LINEAR 168
Solução de uma equação linear 168
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINFARFS ........... 169
Classificação dos sistemas lincarcs - 170
Sistema homogêneo .... 170
Matrizes de um sistem: 171
Sistema normal . 172
Resolução de sistema normais
GEOMETRIA
GEOMETRIA PLANA 176
Razão de segment 176
Segmentos proporcionais . 177
Feixe de retas paralelas . 179
Teorema de Tales . 180
Figuras semelhantes 182
Triângulos semelhantes 183
Projeção ortogonal 185
Elementos do triângulo retângulo 186
Relações métricas no triângulo retângulo 186
Aplicações do teorema de Pitágoras
Relações métricas num triângulo qualquer 193
Reconhecimento da natureza de um triângulo .. 196
Lei dos senos .. 197
Lei dos cossenos .. 199
. 200
Polígenos regulares .
Noções
Polígono insctito a uma circunferência
Polígono circunscriio a uma circunferência
Elementos de um polígono regular
Relações métricas nos polígonos regulares,
Área cas principais figuras geométricas planas .. 205
GEOMETRIA ESPACIAL DF POSIÇÃO .......... 209
Posições relativas a duas retas
Retas coplanares
Retas reverses
Retas oerpendiculares e retas ortogonais
Posições relativas de uma reta e um plano... 214
Posições relativas de dois planos...
SPACIAL MÉTRICA. 216 PROBABILIDADE a
Propriedades decorrentes da definição .....
o poliedtro
latura dos poliedros Probabilidade cia intersecção de eventos
independentes.
Probabilidade da reunião de dois eventos ......
220 k
and NUMEROS COMPLEXOS
ementes de prisma
Nomenclatura dos prismas NÚMEROS IMAGINÁRIOS
Prisma reto e prisma oblique
sent NÚMEROS COMPLEXOS
Área e volume de um prisma Igualdade de dois números complexos
Casos particulares de prismas quadhargulares renina
Filclesipeda esped OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS ..
Pirâmide ... ao sas 227 Adição e subtração
Denição Mulitplicação ........
Elementos da pirâmide Potências dé à
Pirmide reguler a
Árca de uma oirâmide Divisão .
pol rreiderura prá in PIANO DE ARGAND-GAUISS ....
Ci lara - : É
io ada FORMA TRIGONOMÉTRICA Dt UM NÚMERO
ei É
Elementos do cilindro COMPLEXO ssmcensniaso +
Cilindro reto e c'lindro oblique Médulo de um número complexo.
Cilindro equilárero Argumento de um número complexo
Área sotal de um cilineiro reto
Volume de um « lindro
Cone circular
Doinição
Elementos do cone
| GEOMETRIA ANALÍTICA
Cone reto e cone oliliquo
Cone equilátero O PONTO...
Área tis «um cone Sistema cartesiano plano .
Volume de um cone
Forma trigonométrica
Distância entre dois ponto:
Fsfera 234
Detin Ponto que divide um segmento em uma r
Volume de uma esfera dada ese
Área da supenfício esférica Caso paitivulor: Ponto médio
Secção du uma esfera Baricentro de um triângulo ....
Condição de alinhamento de três pontos...
O nIó
BINÔMIO DE NEWTON A RITA
es . Equação geral
Losi ORIAL .. E Adr, Casos particulares da equação geral
NÚMEROS BINOMIAIS .. 238
intersecção de retas
TRIÂNGULO DE PASCAI
BINÔMIO DE NEWTON
Fórmula do termo geral
Equação segmentária
Equações paramétricas
Coeficiente angular ou decliv
Cálculo do coeicienie angular (m)
Equação reduzida.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM . 244
ARRANJOS SIMPLES .............
PERMUTAÇÕES SIMPLES.
COMBINAÇÕES SIMPLES ...
Equação de uma reta, d ponto e a direção
Paralelas — Condição de paralelismo ...
Perpandiculares — Condição de
perpendicularismo
250 Dis
Área do triângulo ......
A CIRCUNFERÊNCIA
Equal
cia de ponto a reta...
PROBABILIDADES
EXPERIMENTOS ALTATÓRIOS ....
ESPAÇO AMOSTRA...
EVENTO...
Eventos mutuamente exclusivos ...
o reduzida...
Fauação normal ..
Posição de um ponto em relação a uma
circunforência
Posição de uma reta em relação a uma
circunterência...........
Eventos complementares...
291
292
295
296
302
303
305
306
306
307
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO
- RETÂNGULO
Seja a figura:
m
Óá
a g
D F
>»
[5>]
Os triângulos retângulos ABC, ADE e AFG são semel hantes. Portanto, seus
lados correspondentes são proporcionais, ou seja:
EEE FG
AC AE AG
O valor numérico dessas razões chama-se seno do ângulo A (sen À).
À - BC A = DE À - EG
sen À= AÇ ºu sen À AE MU sen À AG
E
a —> medida do cateto oposto
b a b — medida da hipotenusa
q Cateto oposto 4
c = je ae o
A E Geni hipotenusa b
Observe:
Seno de um ângulo agudo num triângulo retângulo é a razão da medida do cateto
oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa,
Copítulo 9 + Trigonometria 107
Podemos escrever também:
AB SAD AF
AC AE AG
O valor numérico dessas razões chama-se cosseno do ângulo À (cos ÂÀ).
cos À = AE ou cosÃ-AD ou cos À = AE
€
“e — medida do cateto adjacente
bh a “b'—» medida da hipotenusa
+ —cateto adjacente c
cos À = E —— = —
A c Bs hipotenusa b
Observe:
Cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo é a razão da medida do
cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
Temos ainda:
BC DE. FG,
AB AD AF
O valor numérico dessas razões chama-se tangente do ângulo A (tg Â).
a - BE - DE FG
tgÃ= “AB outgÃ= AD UA E
“a —> medida do cateto oposto
“E— medida do cateto adjacente
4 — Cateto oposto a
cateto adjacente €
Observe:
Tangente de um ângulo agudo num triângulo e é a razão da medida do
cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo
108 capítulo? + Trigonometria
cê
Exemplo:
No triângulo retângulo ABC vamos determinar o seno, o cosseno e a tan-
gente do ângulo agudo A:
A=-$4 3
sen 05
A-8S 4
10 ã cos Ã=1 = +
A 6/8
tgà = 574)
A 8 B é
EXERCÍCIOS
f No triângulo retângulo ABC, determine:
Cc a) sen À b) cos À ctg À
d) sen É c) cos É Btg É
4 5
B 3 A
2 Dadoo triângulo retângulo LFG, determine:
a) sen É b) cos É ts Ê
E d) sen É e) cos É tgê
5 12
É 13 G
Na página seguinte, você irá encontrar uma tabela com os valores do
seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos expressos em graus.
Capítulo 9 + Trigonometria 109
ÂNGULO CENTRAL
É todv ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência e cujos
lados são raios dessa circunferência.
Nota:
A medida de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central cor-
respondente: m(ÁB) = m (AÓB).
UNIDADES DE MEDIDA DE ARCOS
Grau: Chamamos de grau o arco unitário igual a E da circunferência.
3
Note que a medida de um arco correspondente a uma circunferência com-
pleta é igual a 360º.
A=B med ÁB = 360º
Radiano: Chamamos de radiano (rd) a medida de um arco de comprimen-
to igual à medida do raio da circunferência que o contém.
Sabemos que o comprimento de uma circunferência deraio R éiguala 27R.
Logo, uma circunferência contém 2x vezes o seu raio. Assim, a medida em
radianos de um arco correspondente a uma circunferência completa é iguala
2n rd.
A=B med ÁB = 2x. 1d
N2 copítulo? + Trigonometria
CONVERSÃO DE UNIDADES
Vimos que a medida de um arco correspondente a uma circunferência
completa é igual a 360º ou 27 rd. Assim:
360º=2mrd ou 180º=7rd
Como as unidades (graus e radianos) são diretamente proporcionais, para
converter graus em radianos vamos utilizar uma regra de três simples:
Exemplo:
Converta 60º em radianos.
180 == aid
Gifs sy
1
ae 60x z
180 .x= E tita, =! vd
80 -x=60m => x 80 = x 3 r
8
Assim, 60º = E rd.
Para converter radianos em graus, basta substituir x rd por 180º e em se-
guida efetuar as operações.
Exemplo:
Converta Es rd em graus.
Mm qo 2180 po
8 3
Assim, 2m rd = 120º.
EXERCÍCIOS
4 Converta em radianos:
a) 90º c) 270º e) 300º g) 125º
b) 45º d) 120º f) 330º h) 210º
5 Converta em graus:
5. NT 3. 31
do rd e) E) rd e) ao rd g) 3 rd
x 5a 9x ZM.
b) 6 rd d) 3 Td £) 4 «rd h) 4 rd
Copítulo9 + Trigonomerio TI3
CIRCUNFERÊNCIA ORIENTADA
Uma circunferência é orientad
cessão de todos os seus pontos.
a quando se escolhe um sentido para a su-
Nota:
Convenciona-se como positivo o sentido anti-horário.
ARCO ORIENTADO
É qualquer arco definido sobre uma circunferência orientada.
arco AB (+) arco AB (—)
CICLO TRIGONOMÉTRICO
É uma circunferência orient
cartesianos, cuja origem coincide com o centro da circu
como raio a unidade de medida dos eixos.
ada à qual associamos um sistema de eixos
nferência, que possui
Vi4 — copitulo9 + Trigonometria
0 |
EXERCÍCIOS
cs Determine o quadrante onde estão situadas as extremidades dos seguintes
arcos:
a) 80º
b) 160º
c) 210º
d) 300º
e) -40º
f) =100º
g) -210º
x Z
h) -330º
1) 780º
1020º
1) 1200º
m) 1 665º
m) —800º
o) 510º
SENO (sen) DE UM ARCO
É a ordenada da extremidade desse arco no ciclo trigonométrico.
o
COSSENO (cos) DE UM ARCO
É a abscissa da extremidade desse arco no ciclo trigonométrico.
senx=OP
cos x= OM
p) -920º
q) 1410
r) 9 rd
-
s) + rd
t) dir rd
u) =A2R pg
5
senx = (lê-se: “seno de x”)
cosx = (lê-se: “cosseno de x”)
Capítulo 9 + Trigonometria TZ
Seno é cosseno dos arcos de 0º, 90º, 180º e 270º
Vamos determinar o seno e o cosseno do arco AB nos seguintes casos:
0º oulrd 90º ou Tra
B
A=B
A
sen 0º =0 sen 90º = 1
cos 0º =1 cos 90º = O
180º ou 7 rd 270º ou SE vd
B
sen 180º = O sen 270º = —
cos 180º = 1 cos270º = 0
Nota:
O arco de 360º ou 27 rd é côngruo do arco de 0º.
Logo: sen 360º=sen0º=0
cos 360º = cos 0º = 1
Variação de sinal do seno e do cosseno
1º Quadrante
senx=OP>0
cosx=0M>0
VIB | copítulo? + Trigonometria
2º Quadrante
senx=0OP>0
cosx=OM< 0
3º Quadrante
senx=0OP<0
cosx=OM<0
4º Quadrante
senx=0OP<0
cosx= OM > 0
Resumindo:
Sinal do seno + É as =
Sinal do cosseno + - o E:
Lembrando que o ciclo trigonométrico possui raio unitário, então os valo-
res do seno e do cosseno estão compreendidos entre -1 e 1.
Assim: -I<senx<1
Il<cosx<1
Seno e cosseno dos arcos múltiplos de 30º
Seja a figura abaixo, onde o arco AB mede 30º:
sen x = sen 30º
Capítulo 9 + Trigonometria TIP
EXERCÍCIOS
7 Determine o valor de:
a) sen 30º e de sen 210º
cos 30º E cos 210º
1º quadrante | sen 60º 3º quadrante 4 sen 240'
| cos 60º | cos 240º
b) sen 120º d) sen 300º
cos 120º cos 300º
2º quadrante | en 150º 4º quadrante à un 330º
cos 150º | cos 330º
Seno e cosseno dos arcos múltiplos de 45º
Seja a figura abaixo, onde 0 arco AB mede 45º:
sen x = sen 45º
O triângulo OMB é retângulo e isósceles (OM = MB).
Aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos:
(OM + (MBJ= (OB)
Para facilidade de cálculo, chamaremos OM e MB de y.
Assim:
pry=r
2y'=1
122 capítulo? + Trigonometria
Racionalizando o denominador, temos:
Como OM e MB representam, respectivamente, o cosseno e o seno do arco
de 45º, podemos escrever:
pa
cos 45º — E
E
sen 45º — 2
2
Da mesma forma, podemos calcular o seno e o cosseno dos múltiplos do
arco de 45º utilizando triângulos congruentes ao triângulo OMB.
EXERCÍCIOS
8 Observe a figura dada e determine o valor de:
a) sen 45º
1º quadrante cos 45º
b) sen 135º
E gar:
2º quadrante cos 135º
e) sen 225º
3º quadrante | cos 225º
d) ( sen 315º
4º quadrante ; cos 315º
TANGENTE (tg) DE UM ARCO
É o quociente do seno pelo cosseno desse arco:
sen x
cos x
tgx=
Exemplo:
Calcule a tangente do arco de 150º.
o
te 1505 — SED - > tgp
E
tg 150º = —.-
E dd 2
1
Capítulo9 + Trigonometria 123
Racionalizando o denominados, temos:
gisiie-L NS. NS
3 3 3
Nata:
Não é definida a tangente dos arcos de 90º, 270º e seus côngruos, pois:
o Sen9Oº 1 270º — Sen 270º
600 = om q 8 = ses O
EXERCÍCIOS
9 Calcule:
a) tg 45º d) tg 135º g) tg 0º
b) tg 30º e) tg 210º h) tg 180º
c) tg 120º f) tg 300º i) tg 60º
COTANGENTE (cotg) DE UM ARCO
É o quociente do cosseno pelo seno desse arco:
gu = (008
5X sen x
Exemplo:
Calcule a cotangente do arco de 30º.
v3
+. cos 30º = 2
cotg 30º = ndo” cotg 30º = T
2
NB Ds
cotg 30 a 4 3
1
Nota:
Não é definida a cotangente dos arcos de 0º, 180º e seus côngruos, pois:
au cos0! do o tos 180º. =
CORO = amos or É SE 180 = an T8O SO
EXERCÍCIOS
ao Calcule:
a) cotg 60º d) cotg 240º g) cotg 120º
b) cotg 225º e) cotg 330º h) cotg 210º
c) cotg 90º f) cotg 270º i) cotg 135º
124 capítulo? + Trigonometria
EXERCÍCIOS
as Dado cos x= Ea er<x< E (3º Q), calcule:
o
a) sen x c) cotg x e) cossec x
b) tg x d) secx
4 Sabendo que cossec x = E e a <x<7, calcule:
a) senx c) tg x e) sec x
b) cosx d) cotg x
“15 Dado secx=2e0<x< = calcule:
a) cosx c) tg x e) cossec x
b) senx d) cotg x
RELAÇÕES DERIVADAS
1 secix=1+tg'x
Demonstração:
sen x
Sabemos que tg x = ——
cos x
Logo: 1
——+———
senx XY. sen? E sen? 1 2
Letgn=14[ J=1+ semíx — cosx + seníx — = secix
cos x / cos!x cos'x costx
IL cossecix=1 + colgix
Demonstração:
a cos x =
Sendo cotg x = ———, então:
sen x
1
—
cosx Y.. 2 senêx + cos?
1+ cotgix=1+[, ) = + £osx SEMX A COSX — . cossetix
À senx senêx senx sen?x
Exemplo:
Sabendo que tgx=-—«/3 € E <x<, calcule:
secx=— Ja — secx=-2 (no 2º quadrante a secante é negativa)
128 — copítulo9 + Trigonometria
b) cos x
secx= cosx= =
cos x sec x
EXERCICIOS
16 Dado tg x= = el<x< E calcule:
a) secx c) sen x
b) cos x d) cossec x
17 Sabendo quecotgx=lem<x E calcule:
a) cossec x e) cos x
b) sen x d) secx
18 Dado cotg x= 3 en<x< E calcule:
a) cossec x b) sen x
REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE
e) cotg x
e) tg x
Conhecendo os valores trigonométricos dos arcos situados no 1º quadrante,
pocemos determinar os valores trigonométricos de arcos situados nos demais
quadrantes.
Arcos no 2º Quadrante
Se x é um arco do 2º quadrante, então (180º — x) será um arco do 1º qua-
drante.
Ássim:
sen x= sen (180º - x)
cos x = cos (180º — x)
Capítulo 9 + Trigonometria
129
Exemplo:
sabendo-se que sen 30º — + c cos 30º
, calçule:
a) sen 150º
tale
sen 150º = sen (180º — 150º) — sem 30º =
b) cos 150º
cos 130º = —cos (180º — 150º) = —cos 30º = SN
[3
3
Logo:
[3
tg 150º = tg 30º = a
EXERCÍCIOS
19 Reduzindo ao 1º quadrante, calcule o valor de:
a) sen 120º c) sec 120º e) cos 135º
b) cos 120º d) sen 135º f) cossec 135º
Dados: sen 60º ans
cos 60º = +
Fa
sen 45º cgi,
cos 45º = te
130 capítulo + Trigonometria
EXERCÍCIOS
21 Reduzindo ao 1º quadrante, calcule o valor de:
a) sen 315º c) tg 315º c) cos 330º
b) cos 315º d) sen 330º f) sec 330º
22 Reduza ao 12 quadrante:
a) sen 100º = e) sen 340º
= sen (180º - 100º) = sen 80º f) cossec 118º
g) cotg 352º
b) cos 140º h) sen 190º
c) tg 250º i) cos 245º
d) sec 215º j) tg 305º
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
Sendo a e b dois arcos quaisquer, demonstra-se que:
sen(a+b)=sena-cosb+senb cosa
sen(a-b)=sena-cosb-senb cosa
cos (a+b)=cosa-cosb--sena -senh
cos(a-b) =cosa-cosb+sena-senh
Exemplos:
?. Calcule o valor do seno do arco de 75º:
sen 75º = sen (45º 4 30º) — sen 45º . cos 30º + sen 30º . cos 45º =
4 + y t h '
Fa [ ro
. N2. N3 1 o. d2
a b=o 2 * 7 2
ne , E
Fe a
, vó 2
- 4 * 4
Logo:
e + 2
sen7o-N6 + 2
Capítulo + Trigonometria 133
2 3 e REY En NM a .
?. Dados sen x = Ei (o <x 7) ecosy=435 (o <y ada calcule o valor de
cos (xy).
cos! x + senêx = 1
2
cosx+ (8) -15 cosx=1 a = cosx= Dé
&
cosx=-——
“xs
senty + cos'y = 1
ava BT = 101 144 2 25 JE
sen?y (5) =1> seny=1- 169 7169 => seny 167
seny = E
cos (x— y) = cos x -cos y + Sen x-seny
supe Bo 3. 508.
o 513 5 13 65 6 65
EXERCÍCIOS
“23 Aplicando as fórmulas de adição e subtração de arcos, calcule o valor de:
a) cos 75º d) sen 105º
b) sen 15º e) cos 105º
e) cos 15º
enxe (0<x<E) ec = é e D), caleule:
24 Dados sen x = (Os aeis 2) ecosy=15 O<y< e ertAie
a) sen (x +y) c) sen (x -y)
b) cos (x+y) d) cos (x—y)
ARCO DUPLO
Na expressão:
sen (a+b)=sena «cosb+senb-cosa
fazendo-se a = b, temos:
sen(a+ra)=sena -cosa+ sena cosa
ou sen 2Za=2sena-cosa
134 capítulo? + Trigonometria
SECANTE (sec) DE UM ARCO
É o inverso do cosseno desse arco:
sec x=—
cos x
Exemplo:
Calcule a secante do arco de 150º.
A
sec 150º = —
cos 150º
Racionalizando o denominador, temos:
N3. 243
VI 3
sec 150º = —
“jo
A
Nota:
Não é definida a secante dos arcos de 90º, 270º e seus côngruos, pois:
0.1 = 20º = 1 edi
COD ag qe ECO = an O
EXER
“Ti Calcule:
a) sec 60º c) sec 180º e) sec 210º
b) sec 45º d) sec 120º f) sec 315º
COSSECANTE (cossec) DE UM ARCO
É o inverso do seno desse arco:
cossec x =
sen x
Exemplo:
Calcule a cossecante do arco de 330º.
& 1 dl r
8800 330º =——— =" =1.[—
ES sen 330º E
Nota:
Não é definida a cossecante dos arcos de 0º, 180º e seus côngruos, pois:
Í E enssça nado ld alo
0º=
q sen0º O sent180º O
Capítulo 9 + Trigonometria 125
EXERCÍCIOS
e Construa o gráfico, dê o domínio, a imagem e o período das funções:
a) y=sen3x b)y=2senx
FUNÇÃO COSSENO
Fa função que associa a cada arco x € IR o mímero cos x E R,
Gráfico da função cosseno
f(x) = cosx ou V=cosx
X
HI]
mM |
2
T | El
Ee, o Domínio = IR
e | Imagem=[y ERI|-1<y<1)
2% | 1
Período = 2q
É fácil perceber que a função Y = cos x é decrescente nos quadrantes elle
crescente nos quadrantes Ile TV.
Resumindo:
a 3
0 2 z 2 2x
arco I l NI IV
4 crescente
sinal + — = + a]
qua S N a a decrescente
variação gg RO
Exemplo:
Construa o gráfico, dê o domínio, a imagem co período da função y = cos = a
E
Bi
=
0,0 | 1
z| Í E
> | z | 0
x | 2x | À
|
3 | | Domínio = IR
a 187) D o
2| | Imagem =([yER|-1< y<1)
21 | 4n;l Período = 4x
Copítulo 9 é Trigonometria 137
EXERCÍCIOS
2” Construa o gráfico, dê o domínio, a imagem e o período das seguintes fun-
ções:
a) y=cos b)y-3cosx
x
a
FUNÇÃO TANGENTE
Vamos associar ao ciclo trigonométrico
um eixo passando pela origem dos arcos
(ponto A) e paralelo ao eixo dos senos (y):
“BAT eixo das
tangentes
A medida do segmento AI representa a
tangente do arco AB.
Vamos exemplificar, nas figuras abaixo, a
variação da tangente de um arco quando este varia de 0 a 2x:
Sex=0,entãotgx=0.
T
2
tendendo para “mais infinito” quando x se apro-
Quando x varia de0 a “,atgx é crescente,
xima pela direita de E e não sendo definida,
ão od : T
como já vimos anteriormente, para x =.
2
Quando x se aproxima pela esquerda de E
a tg x tende para “menos infinito”. Se x varia de
a ax,a tg x é crescente, assumindo valores ne-
gativos cada vez mais próximos de 0. Para x = 7
temos tg x=0.
ã
Quando x varia dera E a tg x é crescente,
tendendo para “mais infinito” quando x se apro-
3
á T 4 e nã
xima pela esquerda de 5 e para “menos infini-
to” quando assume valores muito próximos de
E pela direita. A tg E não é definida.
138 — capítulo? + Trigonometria
a 3 pegê
Quando x varia de sd 2n,a tg x é crescente,
assumindo valores negativos cada vcz mais pró-
ximos de 0. Se x — 2x, então tg x = U.
Gráfico da função tangente
Com as informações obtidas através das figuras anteriores, vamos esboçar
o gráfico da função y=tgx:
/ Mi
/ A ;
e E
0 ' 3m im x
a Ad a
E x
O domínio dey = tg x é E ElR|x+ E] +kr,k E z| o que significa dizer que
y=tgxé definida para qualquer valor real de x diferente de 90º, 270º, 450º, 630º...
A imagem é o conjunto dos números reais, pois a tg x varia de “mais infinito”
(+=) a “menos infinito” (-50).
A função é periódica, de período igual a 1.
OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Veremos, a seguir, um resumo das funções cotangente, secante e
cossecante:
a) y=cotgx
eixo das cotangentes cotg x=CM
cotg E =0
cotg 7 não é definida
Eu
ti =0
cotg —
cotg 2x não é definida
Copíulo9 é Trigonometria 139
ja
2. Resolver a equação sen q = =.
po
y 2 A
Sendo sen E — NA então podemos escrever sen q = sen É
42 E 4
u=S5+2km ou
e 7 (ke Z)
[ar G-2km
Logo, 5= fu. = E +2km ou a- 3 aka, ke Zi.
3. Resolver a equação seno = 1.
Sendo sen E =1, então sena = sen 5
E
[8=27+2m ou
kEZ)
E
=n-Es
| uUu=T 2 2kz
Logo, 5= (a= E +2kn, ke 2)
2 j
&. Resolver a equação sen € = -—
ER
6
fu= Es +2kr ou
| 6
Í z (k E Z)
[o-n-E + 2
6
Logo, 5= [ZE + 2kx ou u=-D+2km, k E Z).
142 capítulo « Trigonometria
5. Resolver a equação sen 3x — sen x.
3x=x+2km [a [ox=km
] (ke z)
ou = o
[Se=7 x + 2kt ta RE
e / Ed -nN
Logo, S- pt ou x=5+ rezo)
EXERCÍCIOS
So Resolva as seguintes equações:
a) senx=sen Es [) sen4x= sen x
- 5
b) senx= 12 8) senx= e
c) senx=-1 h) senx=-18
d) senx=sen O i) sen 2x = Ne
21
c) sen2x=sen
j) sen 5x = sen =
2 cosqa=cosB
Exemplos:
s x
7. Resolver a equação cos q = cos a
Se dois arcos têm o mesmo
cosseno, então eles são côngruos »
ou têm suas extremidades
simétricas em relação ao
eixo dos cossenos.
Ássim, cos G — cos T o x (ke Z)
a == + 2km
Togo,S= fa — o +2kr,k € 4
Capitulo? + Trigonometria 143
5. Resolver a equação sen 3x = sen x.
Pes
ou E $
[=x x + 2km [imensa
Logo, S= |x= kr ou x-E. kr rez)
EXERCICIOS
«30 Resolva as seguintes equações:
a) senx=sen e f) sen 4x = sen x
+
E:
A 2
b) senx=18 8) senx=—5
3
c) senx=—1 h) senx=-15
. s J2
d) senx=senO i) send sia
. 27 : T
e) sen2x=sen — j) sen 5x = sen 5
3 !
2 cosa=cosp
Exemplos:
= z
1. Resolver a equação cos « = cos “4
Se duis arcos têm o mesmo
cosseno, então eles são côngruos
vu têm suas extremidades
simétricas em relação ao
eixo dos cossenas.
Capítulo 9 é Trigonometria
143
d
MATRIZES
Observe os seguintes conjuntos numéricos, onde os elementos estão
postos em linhas e colunas e coloc:
dis-
ados entre colchetes, parênteses ou barras
duplas:
Exemplos:
1. 8.
afio j
c= [3
Le|
2. To 5] 4 D-=|[2 3 -4|
a a |
Conjuntos desse tipo chamamos de matriz.
» As filas horizontais são chamadas linhas.
» Às filas verticais são chamadas colunas.
Seja a matriz A:
coluna 2ºcoluna 3º coluna
1º Tinha 1 0 A ]
: 5 |
2º linha 8 — a
3º linha o E a
A
4 linha Ê 9 YZ 3 |
Ela possui 4 linhas e 3 colunas, assim é do tipo4x3 (lê-se 4 por3). Observe:
Escrevemos primeiro o número de linhas e depois o número de colunas.
Exemplos:
t. 9 3 |
| 1 : é uma matriz do tipo 4 x 2
Po a
E 0
3 ] é uma matriz de ordem 1 x 4
8
Capítulo io + Matrizes 147
—8 7 ] é uma matriz 2 x 2
é uma matriz 6x 1
MATRIZ QUADRADA
É aquela em que o número de linhas é igual ao de colunas.
Exemplos:
7. A= [-8] matriz quadrada de ordem 1
r 2
2. 0 Es
B= E matriz quadrada de ordem 2
— 1
3. 08 3|
c-i 2.9
/
matriz quadrada de ordem 3
MATRIZ LINHA
É aquela que possui somen te uma linha.
Exemplos:
1. A-[O 3 1 -71 matriz linha do tipo 1 x 4
2. B= E: 1 -3] matriz linha de ordem 1x3
748 copítulolo + Matrizes
DIAGONAL PRINCIPAL E DIAGONAL SECUNDÁRIA
Na matriz quadrada de ordem n abaixo:
à, dj, a a
à, a, a; a
nt à, Asa da |
a. a a ss a |
ni az na mn |
o conjunto D — lag, Ay Agr Ay Aos =, A, (elementos de índices iguais) chama-se
diagonal principal e a outra diagonal secundária.
8 2. 4 6 8
2 C= | 0 7 —9
diagonal diagonal - ;
secundária pringipail Ba. 9
diagonal diagonal
secundária principal
IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes são iguais se e somente se são do mesmo tipo e cada ele-
mento da primeira matriz é igual ao correspondente da segunda.
[1 “|
[8+2) 3
a
2. Dadas as matrizes:
[x+1 5 3 5
Po), E Bs o
2 3y 2 12
para quais valores de xe y Ac B são iguais?
Po | R |] pXxi1=3 > x=2
= =>
2 3y 2 la= > y=4
Copítulo1O e Matrizes 151
EXERCÍCIOS
7 Caicule os valores de x e y nas seguintes igualdades:
| 1 x—S 1 |
E E P y
b) Ne e) 8 N x+6 87
4 10 0) La 10 ay-12]
e) | 8 | Po]
2-5 | 1
MATRIZ NULA
Uma matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero.
Exemplo:
| 0 0 0 |
0 0 0
MATRIZ TRANSPOSTA
É aquela que se obtém trocando ordenadamente suas linhas por colunas ou
vice-versa.
A transposta da matriz A por exemplo, é indicada por A!.
4 ETR 4 I 8
Sendo A= | 1 0 então At [5 0 |
8 7
EXERCÍCIOS
8 Escreva a matriz nula do tipo:
a)2x1 b) 3x2
9 Fscreva a matriz transposta de:
a) - 8 4 b) [ d —4
À = |
1 203 B=| 8 2
|
L5
152 copituloio + Matrizes
OPERAÇÕES COM MATRIZES
ADIÇÃO DE MATRIZES
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, chama-se € = À + Ba matriz
que se obtém adicionando os elementos correspondentes das matrizes A e B.
Exemplos:
7. Sendo:
4 5
A = 4
2 -1
então A+B= |
2. Determine x e y tais que:
(23
4+y=10
y=10-4
y=6
EXERCÍCIOS
10 Sendo: (8
A=|2
1
Calcule:
aJA+B
bDA+C
7 7 fo
Pe ess
0 3 23 5|
4470 5+(C1) 7+10]. [1 q E
243 1263) 045] [5 4 5
E; 10) º É ;)
o) 8.4
x+10=8
x =8-10
X=-2
3 1 4 [a 8
4 B=|5 3 E -4
By, so 5 3 5)
JB+C
DALB+C
a Calcule x, y e z nas seguintes igualdades:
a) [ x 3
7 y
b) [x -—5
Y -1
z 0
Jo: 3-
[ É 1 fa -6
+ Ja g| = 2.1
[4 5 5 5
Capítulo 10 + Matrizes 153
Do
Exemplos:
1. E (3 1
seheadio|2 | e p=[
47
Sendo L., 1, L, linhas de AcC, €C, colunas de B,
LG LO)
aB= [LC LC.
LC L&d
(3.2+41:4 0 3-5+1-
AB= [o 5.4 2:545-7
4.2+7:4 4.5+4+7:7
2. 3 4 8)
Ty 7) f |=
(9 5 2)
= (1347-900 1.447:5 1
EXERCÍCIOS
15 Calcule os produtos indicados:
»
13
a
1 —
no
e
o (5 á (oa
E bs
“(E :) [a 8
3 o 2
156 CopituloiO + Matrizes
10
AB=|24
136
=(66 39
o o = >
RE Ed A
MATRIZ IDENTIDADE
Amatriz quadrada de ordem n onde todos os elementos da diagonal principal
são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, chama-se matriz identidade.
Exemplos:
1. 10 2. 1 0/0
h - 6 | L=|0 10
1
MATRIZ INVERSA
Uma matriz quadrada de ordem n é inversível se existir uma matriz B tal
que A-B=I e B-A=T. Indica-se a matriz B por A!
Se não existir a inversa de A, então À não é inversível.
Exemplo:
(15 6) 1 g
Mostrar que a matriz inversa de A = E 7
(7.3) Rio |
3
15 6 | = 15:146 o 15 (9) +6
3
7 a) [=D 5 7 13: 7-(D2)+3.5
Lcd 3
h PM / -
f [A 15 6 1 15+(-2).7 1:.6-=2:3
cc silp gs) [Ligar -Lgesos
3 3 3
/ ) A
15 6 1-2
Portanto, éa inversa de
> a Z 5
7 3 O
| 8
EXERCÍCIOS
16 Mostrar que as duplas de matrizes abaixo são inversas:
afr a ( 4 HA 9 (8 7 1-4 j
. e e |
5 3) (—5 z 2 a Al: 4 E
b) (5 8 -8 8 d) [3 z 12
e ê
2 q 2 -5 5 12 -5
Capítulo 10 é Matrizes
Nota:
A regra de Sarrus só se aplica para o cálculo de determinantes de 3º ordem.
Exemplo:
Dada a matriz:
[4 -1 5]
As|2 3 9
BB 1º 4
4 1 5 4
2. 38º 2)»
Bo 1 als
=
3
1
» Calcule det A:
detÃ=4.3.4+4( D(2)-3+5-2:1-5.3.3.4.(9).1-(9).2.40
=48+6+10-45 +8+8=35
3 Calcule os determinantes:
EXERCÍCIOS
a) |2 3
1 4
2 —2
b) | nf
-3 —4
| 1 2
dI2 q
| s 1
| -5 6
d)|1 E
ka Di
li 2
à
1
|
dj2 3 5]
4 3 7
Bo 1 6
ih 2.3]
4 5 6
|; 89
Capítulo TI e Determinantes 161
Lie y /
. RED E Laqlaco
CALCULO DO DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE
ORDEM n (n > 3)
ay Ao a As
SEA = [a A da a |»
|
nl dr ds da
então o determinante da matriz A é o número real:
A Ra
A BA A RA a id RD a RÃ
onde: a A jr Aga mo py A são os determinantes das matrizes obtidas de A,
eliminando-se a 1º linha e, respectivamente, as colunas 1,2,3, ...,n.
Exemplo:
Calcule o determinante:
o é 3.0
4 jê 45
dj À 0: 3 .
45 3 1
2 45] 4 45
EE di 3) =2 2 0 3 +
5 39.1 4 32 41
RE SD ada,
Zig An à,
1 2 5 A 4
+(3)-|2 1 8) -0 2 10 =
=. 5 À 405.3
Ooo s | eds,
dj Ay dy A
Aplicando a regra de Sarrus nos determinantes de 3º ordem, temos:
1.53-2.(-17)-3.56-0-41=53+34-168-0--81
162 — capitulon + Determinontes
EXERCÍCIOS
04) Calcule os determinantes:
di Lo 7] d|5 3 00]
2 32 1/4 à TOO Bb
3 5 1 6 Po Broa
2 4 8 gl 2 E
bi 0 2 q d) | 1 5 dd x
3 1 4/1 32.2 4 5
2 3 6 4 0 1 1|
4 1 3/4 L EB é |
PROPRIEDADES
Dentre as propriedades dos determinantes, vejamos as seguintes:
P, Senuma matriz quadrada multiplicarmos os elementos de uma li-
nha (ou coluna) por um número k qualquer, então o determinante
dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplo:
a
. 5008]
| =2 = 6
E ge MAÇA
a
Logo: |9 3 -B, [3 1]
12 4 2]
P, Se uma matriz quadrada possui pelo menos uma linha (ou coluna)
de elementos iguais a zero, então o seu determinante é nulo.
Exemplos:
Tjo o 2/2 0 3
[=
A 5 1 0 E) =0
4 b 8
Capítulo + Determinantes 163
" 8.3 6|
O valor do determinante 4 5 9, é
8 3 6
a) 6 b) 43 c) -15 d) O
a 1-3 4 2
O determinante 2 —6 8 4 vale:
5 0 0 1
|> [LL 3 q |
a) & b)0 e) 12 d) 23
R coxo 9
O conjunto verdade da equação |4 =0é
x
a) 4, 4 b) (4) o) (41 d) (6,6)
4 2 148
O conjunto verdade da equação | 4 x 6
a) (2,2) b) (10) e) 1-2 d) 12)
166 — capitulon + Determinantes
EQUAÇÃO LINEAR
As equações do tipo:
axtax,rax+..+ax =b
são chamadas equações lineares, onde: a, à,, à, ..., à, São números denomina-
dos coeficientes das incógnitas x, x, Xy ...,X, e b é o termo independente.
Observe:
O maior expoente das incógnitas é 1.
Assim: 2x + 3y = -8e5x—y + 2z = 0 são exemplos de equações lineares.
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
Solução de uma equação linear é qualquer n-upla (0, x, ..., G,) cujos valo-
res, substituídos em lugar de x, X, .. Xy satisfaçam a equação.
Exemplos:
7. Scjaa equação:x +y =7
Resolvendo por tentativas essa equação, obteremos infinitas soluções, pois
a cada valor atribuído a x teremos um correspondente valor de y.
Veja:
para:
x= 1 => l+y=7 > y=-6
o s= 2 > 2+y=7 > y=5
x+y=7
fi= 5 E: 3+y=7 =s, y=4
x=4 = d+y= Es. y=3
As soluções são pares de números, de tal forma que o 1º elemento do par é
xe 0 2º elemento é y; portanto, pares ordenados (x, y).
Assim: V = ((1, 6), (2,5), (3, D, (4, 3), «ed.
168 — copitulo 2 + Sistemas Lineores
MATRIZES DE UM SISTEMA
À um sistema linear dem equações en incógnitas podemos associar duas
matrizes:
» incompleta: formada pelos coeficientes das incógnitas;
so]
» completa: formada pelos coeficientes das incógnitas e os termos inde-
pendentes.
Exemplos:
1. [ 2x +y=B
5x-y=1
Matriz incompleta: [ 2 1 |
q
L =]
Matriz completa: [ 1 2]
o
í
m
nm
o,
2. [2x- y+27=0 fé y+2z=0
. ou b
(3x 5y=6
Matriz incompleta: [2 = 2
|l3 5 q
Matriz completa: | 2
bs 5 q 6
EXERCÍCIOS
? Emcadaum dos sistemas abaixo, assucie as matrizes incompleta completa:
XE yy =
f x+3y=4
a) 4 A
) d) 4 2x-3y +27 =)
lax- y=a Le y+372=-4
[3x0 =0 [ x+3y- 2=2
Daio j2x- yaBr=3
Ea fica xt 3-4
5x— y =2
c) [2% = bes 22=1
ER do | Pra
Capítulo 12 + Sistemas Lineares 17]
SISTEMA NORMAL
Um sistema é dito normal quando o número de eq
de incógnitas tm = n) e o determinante da matriz incompleta é diferente de zero.
sações é igual ao número
Em O ja às e
Exemplos:
1 ( x+3y=5 2 equações e 2 incógnitas
1 2x—- y=3 no]
É E *0
al
Ze. x+ y+ 2=4 3 equações e 3 incógnitas
lox- y+ 2=2 1 1 1
5x+3y -2z2=10 e 2 = 1 *0
[8 |
Resolução de sistemas normais
ema normal é determinado (teorema de Cramer).
“Todo sist
Vamos resolver um sistema normal através da regra de Cramer onde a so-
lução desse sistema é obtida pelas relações:
x= 2X Ay a Ar
— co
Sendo:
» Ao determinante da matriz incompleta;
» Ax, Ay, AZ, .. OS determinantes obtidos da matriz incompleta substituin-
do-se a coluna dos coeficientes da incógnita procurada pela coluna dos
termos independentes.
Exemplos:
1. Resolva o sistema: 3x -2y=4
Láx+ y=9
|3 2]
A= E 1] =11
3
Ax= É 2| »
po MS
Ea 4 Ay
as = AY MO
ay= fa | = ye =457]
2 capítulo 2 º Sistemos Lineares
2. Resolva o sistema: [ x+ y+z=1
Da H2y =0(0u3x+2y+07=0)
| X- y-2=-5
1 1 i
A=13 2 0 =-4
1 -1 =|
q 1 1
Ax 8
Ax = Es = E o
Ax 0 0 8 x A E 2
-5 -1 -1
| 1 1 A
- El p= 21
Ay= vo 12 y=4=05=3
1 = =
1 1] ,
= = AZ 0.
dz= | 3 2 0 0 AT =0
1 Ed B
V=[(2,3,0)
EXERCÍCIOS
8 Resolva os seguintes sistemas:
. [2x+ y+ z=1
nqrarárei e)! x-3y422=1
a gi=b Lsea y- z=4
X+ y+z=6
» Es ola y+7=3
3x +2y=3 xtiy-z=6
Caphtulo 2 + Sistemas lineares 173
GEOMETRIA PLANA
Da Geometria Plana, iremos estudar os assuntos que serão necessários
para O desenvolvimento do nosso curso de Geometria. Alguns desses assuntos
já foram abordados no curso Fundamental.
RAZÃO DE SEGMENTOS
Sejam os segmentos ABeCD:
A 4em B c 3em D
med(ÃB) = AB = 4 em med(CD) = CD =3 cm
A razão dos segmentos ABcCDé
cof
Razão de dois segmentos é a razão entre suas medidas tomadas numa
mesma unidade.
Tndica-se: E o. &
cn 3
EXERCÍCIOS
1 Dados: m(AB) = 5 cm m(DE)=7 em
m(BC) = 15 em m(EF) = 14 em
Determine:
AB o AB Er
a) BC 9 TE 9 DE
DE DE BC
n Er d) BC É AB
? Observe a figura:
a 9 3 ? 5
A B c D E
onde: m(AB) = m(BO) =m(TD) = m(DE) e determine:
AB 4 BE 4 AB
po o at: 9 DE
w SE 7- > a BE. p É
AE AD CE
W6 —copitulo13 + Geometria
SEGMENTOS PROPORCIONAIS
Sejam os segmentos:
Tem 3em
FE a
A B E R
o i 6 em
I 1 F 1
E D C H
A razão entre os segmentos AB c TD é +
ABA
cD 2
A razão entre os segmentos EF e GH é cê
ES
GH 6
Notamos que as razões + e é são iguais:
1.3
2 6
AB EF
cD GH
Nessas condições, dizemos que os segmentos AB, CD, ET e CT], nessa or-
dem, são proporcionais.
Exemplos:
t. Sendo AB, CD, EF c GH, nessa ordem, segmentos proporcionais, determi-
nar AB, sabendo-se que:
CD=5cm EF=4em GH=10cm
AB. Er
cp > GI
AB A , IgABÓROA
3 to
I0 AB =20
20
=É — > AB=
Copítulo 13 + Geometria 177
2. Calcular as medidas de AB c BC, sabendo-se que:
AB (3 =
BC = CAC-28 em a b
+
A B S
Assim:
a o a o
br = = e a+b=28
y |
ge. dia
a 3
E = Es > Ja=3:28
a 3
7a=84
4
a- "12 > a=12em > AB=I2em
Substituindo a= 12 em a+b=28, temos:
12+b=28 > b=28-12=16 > b=16em
— BC=16cm
EXERCÍCIOS
3 Sabendo-se que AB, CD, EF e GTT são proporcionais, nessa ordem, deter-
mine o valor de x nos seguintes casos:
a) AB=4cm EF=12cm d) AB=15em EF=x-3
CD =x GH=9cm CD=3cem GH=lem
b) AB=2m EF =x e) AB=2x+1 EF=5cem
CD=x GH=8m CD=9cm GH=3cm
c) AB=x EE = 16 dm f) AB=5m EF = 2x
CD=4dm GH=x CD=x GH=10m
“4 Calcule as medidas dos segmentos AB e BC nos seguintes casos:
a ia
[+ AB 2 a AÉ=9)
a) Á E A BC E E em
b a
— ——+ + A
L AB 5
bb [———>—>»>»>»—»+ À => eAC=2lem
! A B c BC 2
E E
o) [———+——— AB 42 AC=30cm
A B c BC
WB | copítulois + Geometria
EXERCÍCIOS
a é
8-x 12
12x=3(8-x)
2x=24 3x
12x + 3x =24
15x = 24
- 24 -8
“q” Ms
x=1,6
& Determine o valor de x nos feixes de retas paralelas:
a)
d)
Capítulos + Geomeírio 181
ae Calcule x nos feixes de retas paralelas:
FIGURAS SEMELHANTES
Observe as figuras:
am a mes-
Essas figuras não possuem o mesmo tamanho, Porém, apresent
ma “forma”. Flas são semelhantes.
Em particular, se além da forma as figuras tiverem o mesmo “tamanho”,
elas são congruentes.
182 — copítulo13 + Geometria
TRIÂNGULOS SEMELHANTES
Em dois triângulos semelhantes, os lados correspondentes são propo
nais e os ângulos correspondentes são congruentes.
Assim:
AABC - AN'B'C
(lê-se: AABC semelhante aAA'B'C)
p= ÉS = = He (lados Correspondentes proporcionais)
Â
ângulos cor espondentes congri uentes)
Exemplo:
Determine x e Y nos seguintes pares de triângulos semelhantes:
a)
A A
2em X
6 cm 12 em
3em
Pe
Drs AB AC BC
AABC-AABC Ss ABRO
dadã x
2 y/ 3
S=I2 > 6y=2.12 5 y= > y=4em
6. x J = 18 apr
203 * &X=3.6 = a > x=9em
Capítulo3 + Geometria 183
ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
No triângulo retângulo ABC, temos:
A a — m(BC) > hipotenusa
b = m(ÃO) > cateto
c o m(AB) > cateto
h — m(AH) > altura relativa à
hipotenusa
ê T C mos projeção de AC sobre BC
à IT n — projeção de AB sobre BC
Observe:
A hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto desse
triângulo. Os outros dois lados chamam-se catetos.
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Seja o triângulo retângulo ABC:
A
E b
B e,
H
H————= ir
A altura relativa (h) à hipotenusa divide esse triângulo cm dois outros se-
melhantes.
Veja:
AABC - AHBA (À = À; B=8)
AABC - AHAC (À = B; É = É)
AHBA - ATIAC (Propriedade transitiva da semelhança de triângulos)
186 capítulo + Geometria
Considerando esses triângulos dois a dois, temos as seguintes relações mé-
tricas:
1º Relação:
O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto das medidas da
hipotenusa pela sua projeção sobre ela.
A
Sendo AABC — AHBA, temos:
E
h
E 8 + [EP
B H no. — dd
A A
e Sendo AABC -— AHAC, temos:
E b | b
) Bão > bi=a-m
B Ein CH Cm b
— a
2º Relação:
O produto das medidas da hipotenusa e da altura relativa à hipotenusa é
igual ao produto das medidas dos catetos.
A A Sendo AABC - AHAC, temos:
ac. in
, b h +; SB h=b.c
h
B € ta €
H H
H——a——4
3º Relação:
O quadrado da medida da altura relativa à hipoterusa é igual ao produto
das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
A A
o b Sendo AHBA » AHAC, temos:
h h
hn > REED
m h
B o
HH .
Copítuloi3 * Geometria 187
4º Relação:
Teorema de Pitágoras
O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das
medidas dos catetos.
Sabemos que:b?=a-m e c=a-n
Somando essas igualdades membro a membro, temos:
b'=a-m
c=amn
pP+cd-am+an
bircd-a- (m+m)
b+C=ad > d=blre
Exemplos:
7. Calcule a medida do elemento desconhecido:
a) A
c=?
Cc a=
n=
b)
m=? bi=a:-m
a=10 8 =10-m
b=8 64=10:m
me > m=64
E o———
188 — copítuloi3 + Geometria
SP Nos triângulos retângulos abaixo, calcule os elementos desconhecidos:
a) A d) A
Aplicações do Teorema de Pitágoras
a) Diagonal de um quadrado
Seja o quadrado ABCD de lado ! e diagonal d.
A t B
d
£ Ê
D f E
Aplicando o Leorema de Pitágoras no ABCD, temos:
d=P+p
dl=2 4º
=D > d=-4/7
Capítulo 13 + Geometria 191
b) Altura de um triângulo eqiilátero
Seja o triângulo equilátero ABC de lado ( e altura h.
Aplicando o teorema de Pitágoras no AAHC, temos:
poresf)
Peh+—
3.28
4
lap a
ca jaÊ - ENS
h=4[ ER > h 5
EXERCÍCIOS
a2 Determine as medidas das diagonais dos seguintes quadrados:
| | VM
7N2
9 em
as Determine as medidas das alturas dos seguintes triângulos equiláteros:
a) Db) |
av3
8cm
1980 egaiia a Ganmetria
4 Determine o perímetro de um triângulo retângulo cujos catetos medem
2 cme5cm.
£& Calcule a medida do lado de um quadrado cuja diagonal mede 8 Y2cm.
dO Calcule a medida da diagonal de um retângulo de dimensões 9 cm e 12 em.
7 Determineo perímetro de um triângulo eguilátero cuja altura éiguala 4/3 m.
18 Calcule a medida de cada cateto de um triângulo retângulo isósceles cuja
hipotenusa mede 2 1/2 cm.
19 Calcule a medida do lado de um losango cujas diagonais medem 6me8m.
20 Num losango cujo lado mede 10 cm, uma das diagonais mede 12 cm. Cal-
cule a medida da outra diagonal.
21 Qual é à altura de um triângulo eguilátero de 24 m de perímetro?
22 Qual é a altura de um triângulo isósceles cuja base mede 24 em e os lados
congruentes medem 13 em?
RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
1º Relação:
Em qualquer triângulo, o quadrado da medida do lado oposto a um ângulo
agudo é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados,
menos o duplo produto da medida de um desses lados pela medida da
projeção do outro sobre ele.
B
c a
Ã<90º
A El E
H
—>=bo— 4
ABHC é retângulo Pitígoras ne, o
ABHA é retângulo "Pitágoras 24h > h=con O
g
Substituindofl) em o, lemos:
a-=mirc-n m=b-mn
= (b-nP+cin?
a=b-2bn+ni+ cn
=birc-n
Capítulo 13 + Geometria 193