Limite de Funções Trigonométricas Com Descontinuidade, Notas de estudo de Matemática

Baixe Limite de Funções Trigonométricas Com Descontinuidade e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Caderno de Exerćıcios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exerćıcios Resolvidos: Limite de Funções Trigonométricas Com Descontinuidade Contato: nibblediego@gmail.com Atualizado em 06/03/2016 Como calcular? Normalmente é necessário o conhecimento de duas coisas para resolução deste tipo de lim- ite: algumas relações trigonométricas e o resultado de outros limites conhecidos como limites fundamentais. Limites Resolvidos Por Meio de Relações Trigonométricas Alguns limites exigem o uso de algumas relações trigonométricas. Exemplo 1: Encontre lim x→0 ( 1− cos(x) sen(x) ) Solução: lim x→0 ( 1− cos(x) sen(x) ) = lim x→0 ( (1− cos(x)) sen(x) · (1 + cos(x)) (1 + cos(x)) ) = lim x→0 ( 1− cos2(x) sen(x)(1 + cos(x)) ) Como cos2(x) + sen2(x) = 1 então: lim x→0 ( 1− cos2(x) sen(x)(1 + cos(x)) ) = lim x→0 (  sen2(x) sen(x)(1 + cos(x)) ) = lim x→0 ( sen(x) 1 + cos(x) ) = sen(0) 1 + cos(0) = 0 Exemplo 2: Determine lim x→π/4 ( sen(x)− cos(x) 1− tg(x) ) Solução: Como tg(x) = sen(x) cos(x) então: 1 Caderno de Exerćıcios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista/BA lim x→π/4 ( sen(x)− cos(x) 1− tg(x) ) = lim x→π/4 sen(x)− cos(x) 1− sen(x) cos(x)  = lim x→π/4 ( cos(x)(sen(x)− cos(x)) cos(x)− sen(x) ) = lim x→π/4 ( −cos(x)(cos(x)− sen(x)) cos(x)− sen(x) ) lim x→π/4 ( cos(x)(((( (((((cos x)− sen(x)) −(((((( ((cos(x)− sen(x)) ) = lim x→π/4 ( cos(x) −1 ) = lim x→π/4 (−cos(x)) = −cos (π/4) = − √ 2 2 Exemplo 3: Encontre lim x→0 ( x5 + 2x3 tg(x)− sen(x) ) Solução: lim x→0 ( x5 + 2x3 tg(x)− sen(x) ) = lim x→0 ( x(x4 + 2x2) tg(x)− sen(x) ) = lim x→0  x4 + 2x2 tg(x)− sen(x) x  Como tg(x) = sen(x) cos(x) então: lim x→0  x4 + 2x2 tg(x)− sen(x) x  = lim x→0  x4 + 2x2sen(x) x · 1 cos(x) + sen(x) x  lim x→0  x4 + 2x2sen(x) x · 1 cos(x) + sen(x) x  = 01 · 1 + 1 = 02 = 0 Exemplo 4: Encontre lim x→0 ( sen(x)− cossec(x) x− cotg2(x) ) Solução: Como cotg(x) = cos(x) sen(x) e cossec(x) = 1 sen(x) então: 2 Caderno de Exerćıcios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista/BA lim x→0 ( 2 · tg2(x) x2 ) = lim x→0  2 ( sen(x) cos(x) )2 x2  = limx→0 ( 2 · sen2(x) x2 · cos2(x) ) = lim x→0 (2) · lim x→0 ( sen(x) x )2 · lim x→0 ( 1 cos2(x) ) Usando (1) = 2 · 1 · 1 1 = 2 Exemplo 3: Mostre que lim x→0 ( sen(2x) 3x ) = 1 3 Solução: lim x→0 ( sen(2x) 3x ) = 1 3 · lim x→0 ( sen(2x) x ) = 2 3 lim x→0 ( sen(2x) 2x ) Usando (1) 2 3 · lim x→0 ( sen(2x) 2x ) = 2 3 · 1 = 2 3 Exemplo 4: Encontre lim x→0 ( sen(x) tg(5x) ) Solução: lim x→0 ( sen(x) tg(5x) ) = lim x→0  sen(x)x tg(5x) x  = lim x→0  sen(x)x 5 · tg(5x) 5x  = lim x→0 ( sen(x) x ) lim x→0 ( 5 · tg(5x) 5x ) = limx→0 ( sen(x) x ) 5 · lim x→0 ( tg(5x) 5x ) Usando (1) 5 Caderno de Exerćıcios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista/BA lim x→0 ( sen(x) x ) 5 · lim x→0 ( tg(5x) 5x ) = 1 5 lim x→0 ( tg(5x 5x ) Usando (2) 1 5 · lim x→0 ( tg(5x 5x ) = 1 5 · 1 = 1 5 Exemplo 5: Encontre lim x→0 (x · cossec(x)) Solução: Como cossec(x) = 1 sen(x) então: lim x→0 (x · cossec(x)) = lim x→0 ( x sen(x) ) = lim x→0  1 sen(x) x  lim x→0  1 sen(x) x  = limx→0(1) lim x→0 ( sen(x) x ) = 1 lim x→0 ( sen(x) x ) Usando (1) 1 lim x→0 ( sen(x) x ) = 1 1 = 1 6 Caderno de Exerćıcios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista/BA Limites Resolvidos Por Meio de Relações Trigonométricas e Limites Fundamentais Exemplo 1: Encontre lim x→0 ( tg(x)− sen(x) x3 ) Solução: lim x→0 ( tg(x)− sen(x) x3 ) = lim x→0  sen(x)cos(x) − sen(x) x3  = lim x→0 ( sen(x)− cos(x) · sen(x) x3cos(x) ) = lim x→0 ( sen(x)(1− cos(x)) x3cos(x) ) Não é posśıvel fazer: lim x→0 ( sen(x) x ) · lim x→0 ( 1− cos(x) x2cos(x) ) pois lim x→0 ( x2cos(x) ) = 0. Assim devemos continuar procurando. lim x→0 ( senx(1− cos(x)) x3cos(x) ) = sen(x)(1− cos(x))(1 + cos(x)) x3cos(x)(1 + cos(x)) = sen(x)(1− cos2(x)) x3(cos(x) + cos2(x)) = lim x→0 ( sen(x)(sen2(x)) x3(cos(x) + cos2(x)) ) = lim x→0 ( sen3(x) x3(cos(x) + cos2(x) ) = lim x→0 ( sen3(x) x3 · 1 cos(x) + cos2(x) ) = lim x→0 ( sen(x) x )3 · lim x→0 ( 1 cos(x) + cos2(x) ) = 13 · 1 1 + 12 = 1 2 7