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Apostila de matemática financeira, Notas de estudo de Matemática

Apostila que aborda os conceitos iniciais de matemática financeira.

Tipologia: Notas de estudo

2011

Compartilhado em 12/03/2011

gutembergue-sousa-sousa-5
gutembergue-sousa-sousa-5 🇧🇷

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Baixe Apostila de matemática financeira e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Apostila de Matemática Financeira Assunto: MATEMÁTICA FINANCEIRA MATEMÁTICA FINANCEIRA Termos usados i = do inglês Interest , é usado para representar os juros envolvidos em quaisquer operações financeiras. C = do inglês Capital , é usado para representar o Capital utilizado numa aplicação financeira. M = do inglês amount , é usado para representar o Montante que é o resultado da soma do Capital com os juros. 1 n = nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau usou muitas incógnitas. Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) referente ao período de tempo (dias, semanas, meses, anos...) de uma aplicação financeira. Lembre-se da expressão : "levou n dias para devolver o dinheiro..." a.d. = abreviação usada para designar ao dia a.m. = abreviação usada para designar ao mês a.a. = abreviação usada para designar ao ano d = do inglês Discount , é usado para representar o desconto conseguido numa aplicação financeira. N = do inglês Nominal , é usado para representar o valor Nominal ou de face de um documento financeiro. A = do inglês Actual , é usado para representar o valor real ou atual de um documento financeiro em uma determinada data. V = incógnita usada para representar o Valor Atual em casos de renda certa ou anuidades T = incógnita usada para representar o Valor Nominal em casos de renda certa ou anuidades an¬i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pagamentos. Sn¬i = expressão que representa o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. 2 VALOR ATUAL / NOMINAL O cálculo do valor atual está para o Desconto Simples como o Montante para o cálculo de Juros Simples , ou seja, é o valor final após calcular o desconto. Seguindo o exemplo da seção anterior, o Valor Nominal do título era de R$ 50.000,00 e o desconto incidente foi de $ 5.500,00 ( ou seja , A = N-d ). Logo, o Valor Atual é de $ 44.500,00. Bico, não? A fórmula para o cálculo direto do Valor Atual é: A = N. (1-i.n) Exemplo Após receber sua devolução do I.R., você resolve quitar de uma vez as suas parcelas restantes do seu consórcio, num valor total de $ 70.000,00. Faltam 5 parcelas mensais e o desconto será de um 1% a.m. .Quanto você terá de pagar em cash ? Aplicando a fórmula: A = o que você quer descobrir N=70.000,00 i=1% a.m. n=5 meses Logo: A=70000. (1 - 0,01.5) resultando $ 66.500,00 . TAXAS EQUIVALENTES Em linguagem simples, são duas taxas ou mais taxas que, quando aplicadas, em determinado lapso de tempo em determinada quantia têm como resultado o mesmo valor. Digamos assim: você tem uma aplicação que rende 1 % a.m. se você aplicar durante 6 meses . E você tem outra que rende 12 % a.a. se você aplicar durante um ano. Qual é mais vantajosa? É tudo a mesma coisa , ou seja, elas são equivalentes, ou não? Ou será que é melhor pagar antecipadamente uma dívida ou aplicar o dinheiro e pagá-la no vencimento previsto? Muitas vezes você vai ouvir sobre Taxas Nominais, Taxas Efetivas, Taxas Reais e Aparentes. Mas, afinal, do que se trata tudo isso? Vamos lá: Taxa Nominal - é quando o período de formação e o período de incorporação de juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referenciada. - quando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 35% ao ano só que a 5 capitalização é mensal ou que a aplicação financeira é de 0,85% ao mês só que a capitalização é diária, como os FIFs ou FAQs, de capitalização diária, dos bancos. Taxa Efetiva - quando o período de formação e o período de incorporação de juros ao Capital coincidem com aquele a que a taxa está referenciada. - quando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 1 % ao mensal e capitalização é mensal, como a poupança. Taxa Real - é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período. Seguindo o exemplo da poupança, quando o Governo diz que a poupança tem um rendimento real de 0,5% ao mês (taxa aparente), significa que seu dinheiro foi corrigido primeiro pela inflação do período e sobre este montante foi aplicado 0,5%. Equivalência entre duas taxas no regime de juros simples É só pegar a taxa e multiplicá-la (ou dividí-la) pelo período correspondente ao que deseja descobrir. Exemplo : você tem uma taxa de 5% a.m. e quer saber quanto é equivalente ao ano. Um ano tem 12 meses então é só multiplicar 5% por 12 e você tem 60% a.a. O inverso também é verdadeiro : você tem uma taxa de 15% a.m. e quer saber quanto é ao dia . É só dividir 15% por 30 dias e você tem 0,5% a.d. Equivalência entre duas taxas no regime de juros composto Se você quer passar de uma unidade de tempo "menor" para uma "maior" , como de mês para ano, você eleva a taxa de juros pelo número de períodos correspondente. Se for o contrário, como por exemplo de ano para mês, você eleva ao inverso do período . De a. m. para a.a.= > ia = (1+im)12 -1 De a.d. para a.m. = > im = (1+id)30 -1 De a.d. para a.a. = > ia = (1+id)360 -1 De a.a. para a.m. => im = (1+ia)1/12 -1 De a.m. para a.d. = > ia = (1+im)1/30 -1 De a.a para ad. = > id = (1+ia)1/360 -1 6 Exemplo : você tem uma taxa de 24% a.a. e quer saber quanto é equivalente ao mês. Usando a fórmula dá aproximadamente 1,81% a.m. Faça uma prova de confirmação : use as duas taxas sobre um valor simples como R$ 1.000,00 e veja se o resultado é igual. Equivalência entre uma aplicação e um desconto no regime de juros simples Há ocasiões em que será necessário verificar se a taxa de juros aplicada a um capital e a taxa de juros aplicada para fins de desconto são equivalentes. Isso é fundamental para decidir se vale a pena pagar antes, aplicar , reinvestir , etc.. A fórmula para determinar uma taxa equivalente é : Se você tem a taxa de desconto e quer descobrir a taxa de juros correspondente: i / 1- i.n Se você tem a taxa de juros para aplicação e quer descobrir a taxa de desconto correspondente: i / 1+ i.n Exemplo: Vamos pegar um capital de $ 60.000,00 investido a juros simples de 8% a.m. por 3 meses. Qual a taxa de desconto simples equivalente ? Usando a fórmula : i / 1+ i.n = > 0,08 / 1,08*3 = >0,0645 Ou seja 6,45% a.m. de desconto é equivalente a 8% a.m. para aplicação, em regime de juros simples, num prazo de 3 meses. JUROS COMPOSTOS Os juros compostos referem-se às situações em que os juros são integrados ao Capital, a cada cálculo. Para facilitar, vamos pegar um exemplo clássico: Caderneta de Poupança. A cada mês os juros são incorporados ao Capital e no próximo mês os juros incidirão sobre esse montante e assim sucessivamente.Nos caso dos juros compostos, o resultado é o próprio Montante. A fórmula é: 7 Diferida a fórmula é : V=T.an¬i/(1+i)m m é sempre uma unidade menor do que a se deseja calcular, ou seja, se a venda é diferida de 3 meses, m será 2 . Para saber o valor de an¬i, você pode: -usar as tabelas -calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i(1 + i )n. Exemplo Um carro é vendido a prazo em 12 pagamentos mensais e iguais de $2.800,00 (num total de $ 36.000,00), sendo a primeira prestação no ato da compra, ou seja, o famoso " com entrada" , ou ainda, um caso de renda certa antecipada. Sendo que a loja opera a uma taxa de juros de 8% a.m. , calcule o preço à vista desse carro. Aplicando a fórmula: n=12 T=2800 V=2800+2800.a11¬8%=>$ 22.789,10 Outro exemplo Um dormitório é vendido em 4 prestações de $ 750,00, com o primeiro pagamento para 3 meses após a compra (ou seja, esse é um caso de diferida) Sabendo que a loja trabalha com juros de 6% a.m. , calcule o valor à vista . Aplicando a fórmula: n=4 T=750 m=2 i= 6% V=750.a4¬6%/(1+.06)2=>750.3,465106/1.1236=>$2.312,95 CALCULANDO O MONTANTE EM CASOS DE RENDAS CERTAS Como você deve se lembrar, montante nada mais é do que a somatória dos juros com o capital principal. No caso de rendas certas , a fórmula é dada por: M=T.Sn¬i Para saber o valor de Sn¬i você pode: -usar as tabelas -calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i. Exemplo Calcule o Montante de uma aplicação de $ 100,00 , feita durante 5 meses, a uma taxa de 10 10% a.m. Aplicando a fórmula (esse é um caso de postecipada, porque o primeiro rendimento é um mês após a aplicação) : n=5 T=100 i=10% a.m. M=100.S5¬10%=>$ 610,51 Quando for uma situação de antecipada : subtraia 1 de n diferenciada : após determinar Sn¬i, divida o resultado por (1+i)m SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE Neste sistema, o devedor obriga-se a restituir o principal em n prestações nas quais as cotas de amortização são sempre constantes. Ou seja, o principal da dívida é dividido pela quantidade de períodos n e os juros são calculados em relação aos saldos existentes mês a mês. A soma do valor de amortização mais o dos juros é que fornecerá o valor da prestação. Não há necessidade de fórmulas complicadas mas você precisará montar uma planilha em situações de períodos mais ou menos longos. Esse tipo de empréstimo é usado pelo SFH e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais. Exemplo Na compra de um apartamento de $ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal. O valor da amortização é calculado dividindo-se o principal pela quantidade de períodos, ou seja, 300.000 por 5, o que perfaz 60.000 Os juros são calculados sobre os saldos da prestação desta forma: 1º mês 300.000 * 4% = 12.000,00 2º mês 240.000 * 4% = 9.600,00 3º mês 180.000 * 4% = 7.200,00 4º mês 120.000 * 4% = 4.800,00 5º mês 60.000 * 4% = 2.400,00 Os saldos são calculados subtraindo-se apenas o valor da amortização. Por exemplo, no primeiro mês você pagará $ 72.000,00 de prestação mas do saldo devedor será subtraído apenas o valor da amortização que é $ 60.000,00. 11 Ou seja, você ao final você pagará $ 336.000,00 em 5 prestações, sendo a primeira de $ 72.000,00 , a segunda de $ 69.600,00 , a terceira de $ 67.200,00 , a quarta de $ 64.800 e a quinta de $ 62.400,00. Disso, $ 300.000, 00 corresponde ao principal e $ 36.000,00 aos juros. SISTEMA PRICE DE AMORTIZAÇÃO Batizado em homenagem ao economista inglês Richard Price, o qual incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos, no século XVIII, é uma variante do Sistema Francês. O sistema Price caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais mensais, periódicas e sucessivas. A prestação é calculada pela fórmula : T. an¬i Os juros são calculados sobre o saldo devedor e o valor da amortização é a diferença entre o valor dos juros e da prestação. Exemplo Na compra de um apartamento de R$ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses.Calcule a prestação mensal: Aplicando a fórmula: F= T. an¬i 300000=T. a5¬4% T=67.388,13 Ou seja, ao final você pagará R$ 336.940,65 em 5 prestações, correspondente R$ 300.000,00 ao valor de amortização e R$ 36.940,65 aos juros . SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM) Esse sistema é baseado no SAC E no Sistema Price. Nesse caso, a prestação é igual à média aritmética entre as prestações dos dois outros sistemas, nas mesmas condições. Exemplo Na compra de um big de um apartamento de R$ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses.Calcule a prestação mensal: Esse problema já foi resolvido pelos outros dois sistemas, logo, tudo o que se tem a fazer é somar os valores das prestações dos dois casos e dividir por dois . 12 an¬i=(1+i)n-1 / i*(1+i)n n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10 % 1 0,9 90 09 9 0,9 80 39 2 0,9 70 87 4 0,9 61 53 8 0,9 52 38 1 0,9 43 39 6 0,9 34 57 9 0,9 25 92 6 0,9 17 43 1 0,9 090 91 2 1,9 70 39 5 1,9 41 56 1 1,9 13 47 0 1,8 86 09 5 1,8 59 41 0 1,8 33 39 3 1,8 08 01 8 1,7 83 26 5 1,7 59 11 1 1,7 355 37 3 2,9 40 98 5 2,8 83 88 3 2,8 28 61 1 2,7 75 09 1 2,7 23 24 8 2,6 73 01 2 2,6 24 31 6 2,5 77 09 7 2,5 31 29 5 2,4 868 52 4 3,9 01 96 6 3,8 07 72 9 3,7 17 09 8 3,6 29 89 5 3,5 45 95 1 3,4 65 10 6 3,3 87 21 1 3,3 12 12 7 3,2 39 72 0 3,1 698 65 5 4,8 53 43 1 4,7 13 46 0 4,5 79 70 7 4,4 51 82 2 4,3 29 47 7 4,2 12 36 4 4,1 00 19 7 3,9 92 71 0 3,8 89 65 1 3,7 907 87 6 5,7 95 47 6 5,6 01 43 1 5,4 17 19 1 5,2 42 13 7 5,0 75 69 2 4,9 17 32 4 4,7 66 54 0 4,6 22 88 0 4,4 85 91 9 4,3 552 61 7 6,7 28 19 5 6,4 71 99 1 6,2 30 28 3 6,0 02 05 5 5,7 86 37 3 5,5 82 38 1 5,3 89 28 9 5,2 06 37 0 5,0 32 95 3 4,8 684 19 8 7,6 51 67 8 7,3 25 48 1 7,0 19 69 2 6,7 32 74 5 6,4 63 21 3 6,2 09 79 4 5,9 71 29 9 5,7 46 63 9 5,5 34 81 9 5,3 349 26 9 8,5 66 01 8 8,1 62 23 7 7,7 86 10 9 7,4 35 33 2 7,1 07 82 2 6,8 01 69 2 6,5 15 23 2 6,2 46 88 8 5,9 95 24 7 5,7 590 24 10 9,4 71 30 8,9 82 58 8,5 30 20 8,1 10 89 7,7 21 73 7,3 60 08 7,0 23 58 6,7 10 08 6,4 17 65 6,1 445 67 15 5 5 3 6 5 7 2 1 8 Fator de Acumulação de Capital de uma série de Pagamentos Sn¬i = (1+i)n-1 / i n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10 % 1 1,0 00 00 0 1,0 00 00 0 1,0 00 00 0 1,0 00 00 0 1,0 00 00 0 1,0 00 00 0 1,0 00 00 0 1,0 00 00 0 1,0 00 00 0 1,0 000 00 2 2,0 10 00 0 2,0 20 00 0 2,0 30 00 0 2,0 40 00 0 2,0 50 00 0 2,0 60 00 0 2,0 70 00 0 2,0 80 00 0 2,0 90 00 0 2,1 000 00 3 3,0 30 10 0 3,0 60 40 0 3,0 90 90 0 3,1 21 60 0 3,1 52 50 0 3,1 83 60 0 3,2 14 90 0 3,2 46 40 0 3,2 78 10 0 3,3 100 00 4 4,0 60 40 1 4,1 21 60 8 4,1 83 62 7 4,2 46 46 4 4,3 10 12 5 4,3 74 61 6 4,4 39 94 3 4,5 06 11 2 4,5 73 12 9 4,6 410 00 5 5,1 01 00 5 5,2 04 04 0 5,3 09 13 6 5,4 16 32 3 5,5 25 63 1 5,6 37 09 3 5,7 50 73 9 5,8 66 60 1 5,9 84 71 1 6,1 051 00 6 6,1 52 01 5 6,3 08 12 1 6,4 68 41 0 6,6 32 97 5 6,8 01 91 3 6,9 75 31 9 7,1 53 29 1 7,3 35 92 9 7,5 23 33 5 7,7 156 10 7 7,2 13 53 5 7,4 34 28 3 7,6 62 46 2 7,8 98 29 4 8,1 42 00 8 8,3 93 83 8 8,6 54 02 1 8,9 22 80 3 9,2 00 43 5 9,4 871 71 16 8 8,2 85 67 1 8,5 82 96 9 8,8 92 33 6 9,2 14 22 6 9,5 49 10 9 9,8 97 46 8 10, 25 98 03 10, 63 66 28 11, 02 84 74 11,4 358 88 9 9,3 68 52 7 9,7 54 62 8 10, 15 91 06 10, 58 27 95 11, 02 65 64 11, 49 13 16 11, 97 79 89 12, 48 75 58 13, 02 10 36 13, 579 477 10 10, 46 22 13 10, 94 97 21 11, 46 38 79 12, 00 61 07 12, 57 78 93 13, 18 07 95 13, 81 64 48 14, 48 65 62 15, 19 29 30 15, 937 425 Custo real e efetivo das operações de financiamento Noções básicas No mundo real, existe uma grande confusão a respeito do significado da ``taxa de juro'' que está sendo utilizada na operação financeira. A taxa de juro que é especificada em contratos nem sempre corresponde à taxa de juro que está sendo efetivamente praticada na operação financeira. Isso ocorre, de um lado porque o procedimento utilizado para definição da operação financeira resulta numa taxa de juro efetiva que pode diferir substancialmente da taxa especificada no contrato. A utilização ou não de valores reais no cômputo dessa taxa efetiva, define se essa taxa efetiva é nominal ou real. Utilizaremos a terminologia introduzida no próximo quadro para distinguir mais claramente as noções existentes. De um modo geral podemos encontrar a taxa de juros efetiva real a partir da taxa de inflação e da taxa efetiva nominal utilizando o resultado apresentado no próximo quadro. Esse último resultado pode ser facilmente provado por argumentos elementares apresentados a seguir. Se VFR representa o valor final em termos reais em valor do período inicial e VI o valor inicial, temos pela definição de taxa de juro real que 17 Ao final da descrição desses métodos apresentamos uma análise detalhada da questão de taxas contratuais e efetivas nos diversos métodos e princípios utilizados para incorporação de correção monetária nos métodos de pagamento. Na seção que trata de estudos de caso, apresentaremos alguns exemplos que consideram situações mais realistas que incluem encargos, correção monetária e outras complexidades usualmente consideradas em situações práticas. Método de amortização constante Nesse método de pagamento o princípio geral utilizado é a utilização de parcelas de amortização com valor constante. Essas parcelas são definidas pela divisão do saldo devedor inicial pelo número de períodos correspondente ao prazo da operação. O juro devido a cada período é calculado diretamente a partir do saldo devedor existente ao final do período anterior. As prestações, nesse caso, não tem valor constante, como ocorre no método francês que será visto na próxima seção. No método de amortização constante, a existência de um prazo de carência de k períodos para início do pagamento das amortizações pode ser tratado de três formas alternativas. Na primeira alternativa o pagamento das amortizações é postergado k períodos (carência) e durante esse período as prestações incluirão somente o juro sobre o saldo devedor existente. Uma descrição mais detalhada dessa alternativa é apresentada no quadro introduzido a seguir. Na segunda alternativa para inclusão de um prazo de carência de k períodos para início dos pagamentos, o juro é capitalizado ao saldo devedor durante a carência e pago integralmente no período que segue a esse prazo. Uma descrição mais detalhada dessa alternativa é apresentada no quadro introduzido a seguir. Na terceira alternativa para inclusão de um prazo de carência de k períodos para início dos pagamentos, o juro é capitalizado ao saldo devedor durante a carência incluído no saldo devedor para pagamento após a carência. Uma descrição mais detalhada dessa alternativa é apresentada no quadro introduzido a seguir. 20 Método francês O método francês em lugar de utilizar parcelas de amortização constantes, como no método de amortização constante descrito na seção anterior, utiliza prestações constantes. Esse método é formalmente introduzido no quadro apresentado a seguir. No método francês de amortização, a expressão para o valor fixo da prestação P depende do computo do valor da série: que é uma função de j, a taxa de juros considerada. Se o número de termos dessa série for grande, o cálculo ``braçal'' do valor de s seria tedioso. Se observarmos, contudo, que onde , podemos achar o valor geral de S em função de x usando o seguinte truque: se subtrairmos s de s multiplicado por x chegamos a ou Substituindo na expressão que define P chegamos a A consideração de períodos de carência não oferece nenhuma dificuldade para aplicação do método francês. Nesse caso, consideraremos duas situações. No primeiros caso, para uma carência de k períodos, os pagamentos durante a carência incluirão somente o juro sobre o saldo devedor. Após os k períodos de carência, tudo se processará de forma idêntica à aplicação do método francês sem consideração de carência. Alternativamente, se nenhum pagamento é feito durante os períodos de carência, o juro devido a cada período é capitalizado ao saldo devedor. O valor da prestação constante é então calculada sobre o saldo devedor, que nesse caso inclui os juros capitalizados a cada período. Método misto e misto generalizado No método misto, que é utilizado no Brasil pelo Sistema Financeiro de Habitação, as amortizações, juros e prestações são obtidas a partir da média aritmética entre os valores computados pelo método de amortização constante e pelo método francês. A obtenção da planilha financeira para o método misto pode ser realizada a partir da planilhas calculadas utilizando-se o método de amortização constante e o método francês. Cada célula da planilha do método misto é calculada pela média aritmética das células correspondentes das outras 2 planilhas. O próximo exemplo ilustra o procedimento descrito acima. 21 O método misto torna as prestações um pouco mais leves no início dos pagamentos e um pouco mais pesadas no final dos pagamentos quando comparadas às prestações derivadas do método de amortização constante. Se em lugar de uma média aritmética simples utilizarmos um fator de ponderação , um número real qualquer, para cálculo de uma média ponderada entre o método francês e o método de amortização constante, podemos gerar uma família de métodos mistos que é dependente do valor de . A esse método chamaremos método misto generalizado. As prestações, amortizações e juros nesse caso seriam calculados a partir do uso de como fator de ponderação para as células das planilhas dos dois métodos utilizando: onde, é a célula da linha i e coluna j da planilha financeira do método misto e e são as células correspondentes nas planilhas do método francês e do método de amortização constante. O caso mais comum considera e corresponde à média aritmética entre os dois métodos. O caso em que corresponde ao método francês e o caso em que ao método de amortização constante. Num resultado que demonstrado nas próximas seções, verifica-se que a taxa de juros efetiva e contratual no sistema misto generalizado é sempre igual a taxa de juro contratual e efetiva j que foi utilizada para elaboração das planilhas para o método de amortização constante e para o método francês, para qualquer valor de utilizado na ponderação. Quando os valores das prestações serão sempre decrescentes com a evolução dos períodos ou iguais (no caso em que ). Se as prestações serão crescentes em valor. No exemplo introduzido a seguir mostramos a evolução das prestações quando . Tabela ``Price'' Introduziremos a seguir o método de amortização pela ``tabela Price'' que é uma especialização do método francês para o caso em que definimos uma taxa de juro anual com capitalização mensal. Método americano No método americano, que é usado freqüentemente em outros países, o tomador do empréstimo devolve o capital inicial em uma só parcela de amortização no período final da operação. As prestações periódicas consideram um juro simples calculado sobre o capital inicial. É usual que o tomador do empréstimo constitua um fundo de amortização destinado à reposição do valor integral do capital inicial ao final do empréstimo. O próximo exemplo ilustra o uso do método americano para amortização de um empréstimo. 22
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