(Parte 1 de 4)

CÁLCULO 3 CURSO DE FÍSICA 2011

Texto para utilização na disciplina Cálculo 3 do Curso de Física a distância.

Sumário

Ao leitor 6 Introdução 8

1.1 Vetores no Plano10
1.1.1 Operações com Vetores12
1.2 Vetores Paralelos15
1.2.1 Equações Paramétricas da Reta18
1.3 Produto Escalar19
1.3.1 Vetores Perpendiculares21
1.3.2 Equação Cartesiana da Reta2
1.3.3 Ângulos entre vetores23
1.4 Curvas Parametrizadas no Plano25
1.4.1 Limite, Continuidade e Derivabilidade26
1.4.2 Integrais30
1.5 Vetores no Espaço32
1.5.1 Retas e Planos no Espaço37
1.6 Superfícies41
1.7 Curvas Espaciais48
1.7.1 Integrais52
1.8 Comprimento de Arco54
1.8.1 Vetor Aceleração54

1 Movimentos no plano e no espaço 10

2.1 Limite e Continuidade64
2.1.1 Propriedades de Limites67
2.2 Continuidade68

2 Funções de Várias Variáveis 57

3.1 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis69
3.1.1 Derivadas de Ordem Superior72
3.2 Diferenciabilidade75
3.3 Regra da Cadeia78
3.3.1 Regra da Cadeia: Versão 178
3.3.2 Regra da Cadeia: Versão 282
3.4 Derivada direcional e Gradiente84
3.4.1 Observações e Interpretações86
3.4.2 Aplicações8
3.5 Extremos de Funções de Duas Variáveis91
3.5.1 Extremos Locais e Absolutos91
3.5.2 Teste da Derivada Segunda96

3 Diferenciabilidadede Funções de Várias Variáveis 69

4.1 Cálculo de Integrais Repetidas104
4.1.1 Propriedades109
4.2 Mudança de Variáveis1

4 Integração de Funções de Várias Variáveis 102 4.2.1 Mudança de Variáveis na Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

4.3 Integral Tripla115
4.3.1 Cálculo de Integrais Triplas117
4.3.2 Mudança de Variáveis na Integral Tripla119
4.4 Aplicações das Integrais Dupla e Tripla124
4.5 Integrais de Linha129
4.5.1 Integral de Linha de Funções Escalares130
4.5.2 Integral de Linha das Formas Diferenciais133
4.5.3 Propriedades da Integral de Linha136
4.6 Teorema de Green140
4.6.1 Aplicações do Teorema de Green142
4.7 Teoremas de Gauss e de Stokes146

Bibliografia 153 Índice Remissivo 154

1.1 Deslocamento do avião (Exemplo 1.1)1
1.2 Representação gráfica de um vetor dado por dois pontos1
1.3 Vetores perpendiculares12
1.4 Soma de vetores e produto de um vetor por um escalar13
1.5 Soma e diferença de vetores e produto de um vetor por um escalar14
1.6 Avião: Velocidade Resultante14
1.7 Representação gráfica do vetor u = (a, b)15
1.8 Representação gráfica dos vetores u = (a, b) e v = (c, d)16
1.9 Representação gráfica de um vetor u como a soma dos versores e1 e e218

Lista de Figuras 1.10 Representação gráfica dos vetores formados pelos pontos A, B e P e da reta r. 18

1.1 Vetores perpendiculares21
1.12 Equação Cartesiana da reta r2
1.13 Determinação do ângulo entre vetores23
1.14 Determinação da Projeção de um vetor F sobre o vetor u24
1.17 Determinando as coordenadas de um ponto P3
1.18 Sistemas de coordenadas no espaço3
1.19 Marcando o ponto P(a, b, c)34
1.20 Área de um paralelogramo é ||u × v||36
1.2 Equações paramétricas da reta37
1.23 Equações paramétricas do plano38
1.24 Superfície z = (1.3)x.sen(y)41
1.25 Representação gráfica da superfície y = x242
1.26 Representação gráfica da superfície z = seny42
1.27 Determinação da equação de uma superfície de revolução43
1.28 Determinação da equação do Elipsóide43
1.29 Determinação da equação do Hiperbolóide de uma folha4
1.30 Determinação da equação do Hiperbolóide de duas folhas45
1.31 Determinação da equação do Parabolóide45
1.32 Determinação da equação do Cone de Revolução para z ≥ 046
1.3 Determinação da equação do Cilindro Circular Reto para z ≥ 046
1.34 Representação gráfica da superfície z = sen(xy)47
1.35 Representação gráfica da curva espacial α(t) = (tsent, t, tcost), t ∈ R49
1.36 Representação gráfica da Hélice α(t) = (cos t,sent, t), t ∈ R49
1.37 Representação gráfica dos vetores T(t), T′(t) e a(t) em uma curva α(t)5
2.1 Representação do gráfico da função y = f(x) = x57
2.2 Representação do gráfico da função z = f(x, y) = x58
1, no plano e no espaço, respectivamente59
2.4 Representação gráfica do domínio D da função f60

1.15 Determinação das coordenadas de um vetor unitário em função do ângulo θ. 25 1.16 Representaçãodos vetores velocidade e aceleraçãoem um movimento circular. 30 1.21 Cálculo do torque gerado pelo aperto de um parafuso com uma chave inglesa. 37 2.3 Representação dos gráficos das funções dadas implicitamente por x2 + y2 = 2.5 Representação gráfica do domínio D (em vermelho), da imagem (em azul) e

x61
x2 + y262
4 − x − y63
2.9 Representação gráfica das direções de aproximação a um ponto64
3.1 Representação gráfica da derivada considerando y constante (y = y0)70
3.2 Representação gráfica da derivada considerando x constante (x = x0)70
3.3 O gradiente é perpendicular ao vetor tangente às curvas de nível82
3.4 Representação gráfica da derivada direcional84
3.5 Determinação de um plano tangente a uma superfície8
3.6 Representação gráfica da Calha91
3.7 Representação gráfica de uma superfície com vários tipos de extremos92
3.8 Curvas de nível e a elipse. Em azul, ∇f e em amarelo ∇g97
3.9 Representação gráfica de 16x2 + 4y2 + 9z2 = 144101
3.10 Representação gráfica da Calha101
4.1 Aproximação da área sob a parábola por falta (a) ou por excesso (b)102
4.2 Definição da integral dupla: dividindo o domínio D103
4.3 Regiões 1 e 2 para a integração dupla105
4.4 Cálculo do volume107
4.5 Representação gráfica do Prisma - Exemplo 4.6107
4.6 Representação gráfica do Triângulo D - Exemplo 4.8109
4.7 Representação gráfica do domínio D - Exemplo 4.10112
4.8 Representação gráfica do Triângulo D - Exemplo 4.8113
4.9 Semi-esfera - Exemplo 4.9114
4.10 Integral Tripla - calculando o volume116
4.1 Representação gráfica do Triângulo D - Exemplo 4.918
4.12 Curva - partição do domínio130
4.13 Curva - a poligonal134
4.14 Curva α(t)140
4.15 Curvas fechadas simples: (1) suave e (2) parcialmente suave141
4.16 Regiões 1 e 2 para a integração dupla141
4.17 Exemplo 4.45: Cilindro parabólico e planos148
4.18 Teorema de Stokes: Superfície S e a curva C149

2.7 Representação gráfica das curvas de nível no gráfico da função f(x.y) = 2.8 Representação gráfica das curvas de nível no gráfico da função f(x,y) = 4.19 Exemplo 4.46: Cilindro e o plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Caro leitor,

Este texto foi elaborado para servir de suporte à disciplina Cálculo 3, em nível universitário, mais especificamente para o curso de Física a distância promovido pela Universidade Federal de Goiás e com a participação das Universidades Estadual de Goiás e Católica de Goiás.

Neste texto, minimizamos ao máximo a formalidade para esse curso de Cálculo e o escrevemos com uma linguagem que acreditamos, seja dialógica e de fácil compreensão. Esperamos motivar através de situações–problema, que em geral são originadas dos problemas físicos ou mesmo do nosso dia–a–dia, os novos resultados aqui apresentados. Esperamos, ainda, que as suas respectivas demonstrações ou justificativas, estejam à altura da experiência e maturidade do estudante.

Apresentamos antes de cada novo resultado, que formalmente são chamados de teoremas ou proposições, vários exemplos que motivam e ilustram com aplicações a utilização dos mesmos, com o objetivo principal de ativar a intuição e provocar a compreensão de forma natural.

Apresentamos também, várias listas com exercícios variados, que complementam e ampliam o conhecimento descrito no texto. Assim, esperamos que você, estudante, leia com bastante atenção não somente este texto, mas, principalmente, na elaboração de resoluções dos exercícios propostos e, se possível, propor novas situações a serem resolvidas com a utilização dos conceitos vistos.

É muito importante que o estudante se aplique tanto na pesquisa em outros materiais, como em livros, artigos e publicações disponibilizadas via internet ou quaisquer outros meios que tiverem acesso, nunca se esquecendo de que, embora seja um curso a distância, você tem a possibilidade e, quem sabe, a necessidade de trocar informações a cerca de estudos com colegas e/ou orientadores. Isto pode e deve ser feito sempre, pois o trabalho sendo realizado em equipe tem maiores possibilidades de sucesso.

Apresentamos a seguir uma breve descrição de vida acadêmica e profissional dos autores, que também produziram os textos intitulados "Fundamentos de Matemática"e "Cálculo 1"para esse mesmo curso de graduação a distância.

Miguel Antônio de Camargo defende sempre o ensino significativo como forma de motivação para o aprendizado "de fato"!

Licenciado em matemática pela UCG - Goiânia, Mestre em matemática pela UFG. Professor do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás (IME/UFG), desde 1980, tendo participado de uma extensa gama de eventos relacionados à matemática e ao ensino dela em diversas universidades e faculdades de nosso Estado.

Dedica grande parte de seu trabalho ao Curso de Licenciatura em Matemática e outra boa parte atua em cursos de formação (continuada) de professores, inclusive cursos a distância, como, atualmente, o de Licenciatura em Física e recentemente o Multicurso Matemática Ensino Médio, promovido pelo governo de Goiás em parceria com a Fundação Roberto Marinho (RJ) e anteriormente ao Pró-Ciências, realizado pela UFG com o apoio da CAPES.

João Carlos da Rocha Medrado define-se como um apaixonado pelo ensino de matemática e um entusiasta pelo ensino a distância!

É Professor associado do IME/UFG, onde trabalha desde 1989, Doutor em Matemática pela Unicamp (1997) e Livre Docente pela Unesp (2007). Pesquisa em Sistemas Dinâmicos.

Atua na formação e capacitação de docentes desde 1987 através de vários projetos, sendo os principais, o Pró–Ciências, apoiado pela CAPES e o Multicurso Matemática apoiado pela Secretaria da Educação de Goiás e Fundação Roberto Marinho.

Os autores.

Introdução

Neste texto apresentaremos os conteúdos da disciplina Cálculo 3 para o Curso de Física a distância. Basicamente, discorreremos sobre:

1. Movimentos no plano e no espaço. 2. Funções de várias variáveis: continuidade, derivabilidade e integrabilidade.

O Cálculo, uma das mais importantes descobertas científicas conquistadas pelo homem em todos os tempos, é a matemáticados movimentos. Onde há movimento ou variaçõesde grandezas, onde forças variáveis atuam produzindo aceleração, o Cálculo é a ferramenta matemática a ser empregada para seu desenvolvimento e análise.

Aprender Cálculo é, de certa forma, diferente de aprender, por exemplo, Geometria,

Álgebra ou Aritmética. Para essas disciplinas, de início, aprende-se a lidar com as figuras, sejam planas ou espaciais, a operar com variáveis e simplificar expressões, também se aprende a calcular com números.

Em Cálculo, aprende-se tudo isso, e novos conceitos, novas habilidades, em níveis mais avançados; tornam-se necessários os conceitos de derivada e de integral, bem como suas importantíssimas e abrangentes aplicações, além dos métodos computacionais desses objetos. Para aprendê-lo, você terá que fazê-lo, na maioria das vezes, sozinho ou com a participação de colegas.

Para o aprendizado é importante:

• ler os conceitos e suas conseqüências; • analisar e aprimorar tanto a lógica formal como a intuitiva;

• analisar exemplos já desenvolvidos, os mais diversos possíveis, buscando sempre entender cada passo;

• esboçar figuras e gráficos que representem cada situação, sempre que possível.

Além disso, é extremamente importante analisar o significado de cada conceito, de cada resultado dado, de cada exemplo desenvolvido, de cada exercício proposto e de cada aplicação feita.

Sugerimos fortemente ao leitor que não se restrinja a apenas este texto e, neste sentido, disponibilizamos na bibliografia uma série de livros que poderão ser utilizados ao longo deste aprendizado.

Teremos a seguir o capítulo Introdução e outros 4 capítulos:

Capítulo 1: Movimentos no plano e no espaço

Exploraremos os comportamentos das aplicações da reta no plano e também no espaço, seus gráficos e aplicações, mas é importante lembrar que as parametrizações são estudadas desde o início do estudo dos movimentos das partículas, já que a posição das mesmas dependem a cada instante do tempo. Assim, estudaremos ainda a continuidade, a derivabilidade e a integrabilidade destas parametrizações.

Capítulo 2: Funções de Várias Variáveis

Neste capítulo, abordamos aplicações e elementos importantíssimos para o desenvolvimento do Cálculo, relacionados às funções que dependem de várias variáveis. Mais especificamente, de duas e três variáveis. Para o entendimento do comportamento das funções, assim como foi feito para funções de uma variável, estudaremos a continuidade.

Capítulo 3: Diferenciabilidade de Funções de Várias Variáveis NaFísica,nãohá dúvidas de que a velocidade é o principal ingrediente em todos os modelos. Neste capítulo, nos dedicamos a estudar a derivada (velocidade) de Funções de Várias Variáveis.

Capítulo 4: Integração de Funções de Várias Variáveis

Desde o tempo dos gregos, o Cálculo de áreas tem papel importante no desenvolvimento humano, e hoje, para todos os modelos físicos, a inversa da derivada ou a integração dentre as suas diversas características é um elemento importante nesse aspecto.

É necessário termos várias formas de encarar os problemas, pois com uma visão ampla será mais fácil o entendimento, bem como resolvê-los. Então, vamos deixar o olhar aguçado, a criatividade solta e a vontade a mil, para que possamos chegar ao final deste, com um ótimo aproveitamento, não apenas na disciplina, mas principalmente para a vida.

Capítulo 3

Diferenciabilidade de Funções de Várias Variáveis

Existem muitos problemas que envolvem funções de várias variáveis, cujas resoluções passam pela determinação da taxa de variação da função em relação a uma das variáveis, enquanto que as outras permanecem constantes. Casos como este requer a determinação de derivadas da função dada em relação à variável em questão.

O Cálculo de funções de várias variáveis, em muitos casos, é o Cálculo de funções de uma variável aplicado a várias variáveis, uma a cada vez. Vejam no caso de fixarmos todas variáveis de uma função, exceto uma delas, a função se transforma em função apenas da variável livre. Vamos dar um exemplo:

Exemplo 3.1. Considere a função de duas variáveis

que representa o volume do cone de raio r e altura h. Fixando r = 3 e variando h, temos a função

que é função apenas da variável h. Agora se fixamos o valor de h, por exemplo, h = 2 e variamos r, temos a função

que é função apenas da variável r.

Notemos que a função V1(h) é linear e representa, para cada valor de h, a altura do cilindro circular reto de raio 3, enquanto que a função V2(r) é quadrática e representa 2/3 da área do círculo de raio r.

Ambas as funções V1 e V2, são funções de uma só variável. Este mesmo raciocínio estende de modo natural a funções de mais variáveis.

3.1 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis

Sejam uma função z = f (x,y) e (x0,y0), um ponto do domínio de f. O plano y = y0 intercepta a superfície na curva z = f (x,y0), a qual é o gráfico da função de uma variável z = f (x,y0) = F (x).

x y z S

Figura 3.1: Representação gráfica da derivada considerando y constante (y = y0).

Já o plano x = x0 intercepta a mesma superfície segundo a curva a qual é o gráfico da função z = f (x0,y) = G (y).

x y z S

Figura 3.2: Representação gráfica da derivada considerando x constante (x = x0).

A derivada da função z = f (x,y0) = F (x) é chamada de derivada parcial da função z = f (x,y) em relação à variável x, no ponto (x0,y0). Esta derivada é denotada por

e seu significado geométrico é, como em funções de uma variável, ou seja, é a medida da inclinação da reta tangente ao gráfico da função

De modo análogo, tem-se a derivadaparcialda função z = f (x,y) em relaçãoà variável y, no ponto (x0,y0), a qual é denotada por

e o significado geométrico é a medida da inclinação da reta tangente ao gráfico da função

Portanto, para a determinação das derivadas parciais, devemos proceder como se a função z = f (x, y) fosse de uma só variável, ou seja, consideramos uma das duas variáveis constante.

Observemos ainda que tanto fx(x, y) e fy(x, y) são também funções de duas variáveis e mais, representam a inclinação da reta tangente considerando uma das duas variáveis constante.

Mais especificamente, se queremos determinar a inclinação dessas retas no ponto (1, 3), basta

Verifique!

A derivada parcial, calculada em um ponto (x0,y0), é dada pelo limite do quociente de Newton, isto é,

Muitas vezes, não poderemos derivar diretamente no ponto e sim , determinarmos a derivada utilizando esta definição, ou seja, usando esse limite.

Por exemplo, para a determinação das derivadas parciais no ponto (0,0) em que

Para este caso temos que

h = lim

k = lim

Já as derivadas parciais da função f nos pontos (x, y) 6= (0, 0) podem ser calculadas pelas regras de derivação conhecidas para funções de uma variável. Assim,

1. Dada a função f (x,y) = sen

) . Mostre que:

2. Calcule as derivadas parciais, em relação a x e também a y, def (x, y) = x2 + 3xy + y − 1 no ponto (4,−5)

3. Seja a função z = f (x, y) definida implicitamente pela equação x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1. Mostre que:

4. A intersecção do plano x = 1 com o parabolóide de revolução z = x2 + y2 é a parábola z = 1+ y2.

(a) Esboce o parabolóide z = x2 + y2 e nele, destaque a parábola z = 1 + y2 (b) Determine a inclinação da reta tangente à parábola, no ponto (1, 2, 5)

(c) Qual é a equação cartesiana da reta tangente à parábola no ponto (1,2,5)? Determine também as equações paramétricas dessa reta.

5. Enuncie e resolva o exercício semelhante ao anterior, apenas trocando o plano x = 1 pelo plano y = 2.

(c) Escreva a funções fx (x, y) e fy (x, y) e explique por que ela é definida em todo plano R2.

3.1.1 Derivadas de Ordem Superior

Como vimos anteriormente, as derivadas parciais, fx e fy, de uma função f são funções também de duas variáveis, e quando calculadas no ponto (x0,y0) significam, respectivamente, as inclinações das curvas no ponto (x0,y0), ainda mais, representam as taxas de variações, respectivamente, de x e y no ponto (x0, y0).

Assim sendo, é natural considerarmos as suas derivadas parciais,

Essas são as derivadas parciais de segunda ordem da função f, as quais são também funções de (x, y).

Notação

Exemplo 3.5. Calcular as derivadas de 2ª ordem da função f (x,y) = x2 + 3xy + y − 1. Solução

Observe que em ambos os exemplos, tivemos a fxy (x, y) = fyx (x, y), mas isso não é coincidência, ocorrem na maioria das funções, principalmente naquelas que encontramos na prática.

Vamos analisar um exemplo em que esse fato, o de fxy (x,y) = fyx (x,y), não ocorre. Para isto, consideramos a função

Observe ainda que apenas no ponto (0,0), é que temos que

Verifique!

Mas, e como saber se isto ocorre ou não? Para isto temos um resultado devido a Schwartz que assegura o seguinte:

Se uma função z = f (x, y) e suas derivadas parciais fx, fy e fxy estão definidas em um conjunto aberto contendo o ponto (x0,y0) e tal que todas são contínuas, então fxy (x0, y0) = fyx (x0, y0) . Este é o teorema das derivadas parciais mistas, ele é devido a Clairaut.

Interprete esses números como inclinações de retas tangentes. Faça o esboço de uma figura mostrando o gráfico dessa função e as retas tangentes.

2. As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que descrevem determinados fenômenos físicos. Um exemplo é a Equação de Laplace,

As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluídos e potencial elétrico. Verifique se as funções abaixo satisfazem a Equação de Laplace.

3. Outro exemplo é a equação diferencial que descreve o movimento de uma onda, que pode ser de um som do mar ou de uma corda vibrante. A Equação da Onda é utt = c2uxx.

Verifique se as funções a seguir são soluções da Equação da Onda.

4. Mostre que a função

satisfaz a equação de difusão ou do calor zt = kzxx, onde k é uma constante. 5. A temperatura em um ponto (x,y) de uma placa plana de metal é dada pela função

onde T é medido em 0C e x e y, em metros.

Calcule a taxa de variação da temperatura no ponto (1,2), com relação a distância na direção do eixo x e também na do eixo y.

(Parte 1 de 4)

Comentários