curso de fisica matematica I

curso de fisica matematica I

(Parte 1 de 8)

Departamento de Fısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.

Apuntes de un curso de

FISICA MATEMATICA segunda edicion

Jose Rogan C. Vıctor Munoz G.

i i

Segundo Curso

Indice

I Series y Variable Compleja 1

1.1. Conceptos fundamentales3
1.2. Pruebas de Convergencia6
1.2.1. Pruebas de comparacion6
1.2.2. Prueba de la raız de Cauchy7
1.2.3. Prueba de la razon de D’ Alembert o Cauchy8
1.2.4. Prueba integral de Cauchy o Maclaurin9
1.2.5. Prueba de Kummer1
1.2.6. Prueba de Raabe1
1.2.7. Prueba de Gauss12
1.2.8. Mejoramiento de convergencia13
1.3. Series alternadas14
1.3.1. Criterio de Leibniz14
1.3.2. Convergencia absoluta15
1.4. Algebra de series16
1.4.1. Mejoramiento de la convergencia, aproximaciones racionales17
1.4.2. Reordenamiento de series dobles18
1.5. Series de funciones20
1.5.1. Convergencia uniforme20
1.5.2. Prueba M de Weierstrass21
1.5.3. Prueba de Abel23
1.6. Expansion de Taylor24
1.6.1. Teorema de Maclaurin25
1.6.2. Teorema Binomial27
1.6.3. Expansion de Taylor de mas de una variable29
1.7. Series de potencias29
1.7.1. Convergencia30
1.8. Convergencia uniforme y absoluta30
1.8.1. Continuidad30
1.8.2. Diferenciacion e integracion30
1.8.3. Teorema de unicidad31
1.8.4. Inversion de series de potencia32
1.9. Integrales elıpticas3
1.9.1. Definiciones34
1.9.2. Expansion de series35
1.9.3. Valores lımites36
1.10. Numeros de Bernoulli37
1.10.1. Funciones de Bernoulli39
1.10.2. Formula de integracion de Euler-Maclaurin40
1.1. Funcion zeta de Riemann41
1.1.1. Mejoramiento de la convergencia4
1.12. Series asintoticas o semi-convergentes4
1.12.1. Funcion gama incompleta45
1.12.2. Integrales coseno y seno47
1.12.3. Definicion de series asintoticas48
1.12.4. Aplicaciones a calculo numerico49
1.13. Productos infinitos49
1.13.1. Convergencia de un producto infinito50
1.13.2. Funciones seno, coseno y gama51

vi INDICE

2.1. Introduccion53
2.2. Plano complejo5
2.3. Representacion polar57
2.4. Distancia en el plano complejo57
2.5. Desigualdad triangular57
2.6. Isomorfismo con matrices59
2.7. Sucesion de numeros complejos59
2.8. Series de numeros complejos59
2.8.1. Pruebas mas comunes para la convergencia absoluta60
2.8.2. Radio de convergencia60
2.8.3. La serie exponencial61
2.9. Relacion de Euler62
2.10. Formula de Moivre63
2.1. Ecuacion ciclotonica63

2. Numeros Complejos 53

3.1. Notacion65
3.2. Ejemplo 1, traslacion6
3.3. Ejemplo 2, rotacion en torno al origen6
3.4. Ejemplo 3, reflexion respecto al eje real67
3.5. Ejemplo 4, rotacion mas traslacion68
3.6. Ejemplo 5, transformacion cuadratica69
3.7. Ejemplo 6, transformacion exponencial70
3.8. Ejemplo 7, transformacion de Joukowsky71
3.9. Ejemplo 8, inverso72
3.10. Ejemplo 9, inverso conjugado73
3.1. Mapeo sobre la esfera ζ de Riemann74
3.1.2. Mapeo de z y 1/z∗ y su relacion75

INDICE vii 4. Transformaciones homograficas y rotaciones de la esfera. 7

5.1. Identidades de Cauchy-Riemann83
5.2. Ecuaciones de Laplace86
5.3. Interpretacion hidrodinamica de las identidades de Cauchy-Riemann89
5.4. Familias ortogonales91
6.1. Definiciones93
6.2. Interior de una curva cerrada sin puntos dobles96
6.3. Recorrido del contorno de un dominio97
6.4. Integrales de lınea en el plano complejo9
6.5. Evaluacion de integrales impropias reales104
6.6. Formula integral de Cauchy105
7.1. Series y radio de convergencia109
7.2. Propiedades112
7.3. Maximos, mınimos y funciones armonicas118
7.4. Numeros de Bernoulli120
8.1. Definiciones123
8.2. Lema de Heine-Borel124
8.3. Teorema de identidad125
8.4. Prolongacion analıtica126
8.5. Funcion ζ de Riemann131
8.6. Lugares nulos y a-lugares132
8.7. Comportamiento en infinito134

9. Funciones Multivaluadas. 137

z137
9.2. Superficies de Riemann140
9.3. Otros puntos de ramificacion141
9.4. La funcion Logaritmo143
9.5. La funcion Arcotangente145
10.1. Desarrollo en torno a z0 = 0149
10.2. Desarrollo en torno a z0150
10.3. Unicidad del desarrollo de Laurent151
10.4. Ejemplos151
10.6. La funcion Arcosecante154
10.7. Funciones enteras156

viii INDICE

1.1. Definicion y teorema159
1.2. Funciones racionales161
1.3. Funciones trigonometricas161
1.4. Polos, residuos y lugares nulos164
1.5. Ejemplos167
1.5.1. Residuos de un polo de orden m172
1.6. Valor principal de Cauchy172
13.1. Definicion181
13.2. Exploracion182
13.3. Definiciones precisas183
13.4. Representaciones integrales de Γ186
13.5. La funcion Beta188
13.5.1. Casos particulares188
14.1. Introduccion191
14.2. Representacion conforme191
14.3. Transformaciones de funciones armonicas193
14.4. Transformaciones de las condiciones de borde196
14.5. Aplicaciones198
14.5.1. Temperaturas estacionarias en una pared semi-infinita199
15.1. Ecuaciones diferenciales parciales203
15.1.1. Ejemplos de PDE204
15.1.2. Clases de PDE y caracterıstica206
15.1.3. Las PDE no lineales208
15.1.4. Condiciones de borde209
15.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden209
15.2.1. Variables separables210
15.2.2. Ecuaciones diferenciales exactas211
15.2.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineales212
15.2.4. Conversion a una ecuacion integral214
15.3. Separacion de variables215
15.3.1. Coordenadas cartesianas215
15.3.2. Coordenadas cilındricas circulares216
1.1. Prueba de comparacion7
1.2. Comparacion de integral con suma de bloques9
1.3. Rearreglo de serie armonica17
1.4. Series dobles18
1.5. Series dobles19
1.6. Series dobles19
1.7. Convergencia uniforme21
1.8. Pendulo simple3
1.9. Integrales elıpticas35
1.10. Funcion zeta de Riemann42
1.1. Sumas parciales46
2.1. Plano complejo5
2.2. Complejo conjugado56
2.3. Representacion polar58
2.4. Distancia en el plano complejo58
2.5. Convergencia de una serie en el plano complejo60
2.6. Convergencia en el plano complejo61
2.7. Las raices sextas de la unidad64
3.1. Funcion compleja65
3.2. Funcion traslacion en a6
3.3. Funcion rotacion en torno al origen6
3.4. Funcion reflexion respecto al eje real67
3.5. Funcion reflexion respecto al eje imaginario67
3.6. Funcion rotacion mas traslacion68
3.7. ejemplo de mapeo68
3.8. Transformacion cuadratica69
3.9. Mapeo z2 para rectas ortogonales70
3.10. Mapeo ez para rectas ortogonales71
3.1. Transformacion de Joukowsky para cırculos y rectas radiales72
3.12. Mapeo 1/z para los diferentes cuadrantes73
3.13. Mapeo 1/z∗73
3.14. Esfera de Riemann74
3.15. Mapeo sobre la esfera de cırculos y lıneas75

Indice de figuras ix

3.16. Mapeo sobre la esfera de rectas que se cruzan75
3.17. Mapeo de z y 1/z∗ y su relacion sobre la esfera76
4.1. Puntos diametralmente opuestos en la esfera80
5.1. Funciones en dominios abiertos83
5.2. ImagF(z) = ϕ = cte90
5.3. ImagF(z) = ln r = cte91
5.4. Familias de curvas ortogonales92
6.1. Curva seccionalmente lisa y orientada93
6.2. Curva parametrizada94
6.3. Otra curva parametrizada94
6.4. Curva con y sin puntos dobles95
6.5. Dominio simplemente conexo95
6.6. Dominio no simplemente conexo95
6.7. Dominio multiplemente conexo96
6.8. Interior de curva I96
6.9. Interior de curva I96
6.10. Interior de curva I97
6.1. Triangulo98
6.12. Curva cerrada98
6.13. Polıgono9
6.14. Camino Γ en el plano complejo100
6.15. Camino Γ101
6.16. Camino cerrado Γ101
6.17. Camino cerrado Γ102
6.18. Camino cerrado Γ104
6.19. Camino Γ106
7.1. Sucesion senn x1
7.2. Radios de convergencia112
7.3. Region simplemente conexa Re(z) > 0116
7.4. Region de convergencia118
8.1. Conjunto acotado123
8.2. Punto lımite123
8.3. Lema de Heine-Borel I124
8.4. Lema de Heine-Borel I125
8.5. Teorema de identidad125
8.6. Conjuntos D1 y D2126
8.7. Zona de convergencia de 1/(1 − z)126
8.8. Prolongacion analıtica127
8.9. Prolongacion al plano complejo128
8.10. Agrandar el radio de convergencia128
8.12. Desarrollos para la funcion 1/(1 − z)129
8.13. Funcion ζ de Riemann131
8.14. Prolongacion al plano complejo de la funcion ζ132
9.1. La funcion f(z) = z2137

INDICE DE FIGURAS xi

x137
z138

9.3. Cırculo de convergencia del desarrollo de √

z139
9.5. Funcion con lınea de ramificacion139
9.6. Despues de dos vueltas se vuelve al mismo punto140

9.4. El eje real negativo para √

z140
9.8. Punto de ramificacion de √z − a141
9.9. Dos puntos de ramificacion142
9.10. Otra lınea de ramificacion142
9.1. Lınea de ramificacion sobre la esfera de Riemann143
9.12. Funcion logaritmo sobre el eje real143
9.13. Radio de convergencia para (9.5)144
9.14. Camino de integracion para (9.6)144
9.15. Camino de integracion para (9.10)146
9.16. Camino de integracion en torno a +i146
9.17. Camino de integracion en torno a −i146
9.18. Funcion arcotangente147
10.1. Region anular149
10.2. La funcion f(z) = 1/(z − 1)152
10.3. La funcion f(z) = 1/(z − 1)(z − 2)152
10.4. La region donde f es univaluada y holomorfa153
10.5. Singularidades de la funcion 1/ sen z154
10.6. Zona de convergencia156
1.1. Region donde f es analıtica159
1.2. Camino de integracion160
1.3. Camino de integracion161
1.4. Camino de integracion162
1.5. Camino de integracion ejemplo I167
1.6. Eleccion de rama168
1.7. Camino de integracion ejemplo I168
1.8. Camino de integracion ejemplo I169
1.9. Camino de integracion ejemplo IV171
1.10.Camino de integracion172
12.1. Malla178
13.1. Valores de la funcion Γ181
13.2. Acotando el lımite184
14.1. Transformacion w = f(z)191
14.2. Par de curvas bajo la transformacion w = f(z)192
14.3. Mapeo isogonal192
14.4. Mapeo w = z2193
14.5. Condiciones de borde de primera clase (Dirichlet)194
14.6. Region donde H(u, v) es armonica195
14.7. Mapeo de una condicion de borde196
14.8. Curvas ortogonales197
14.9. Mapeo de una particular condicion de borde198
14.10.Geometrıa del solido198
14.1.Curvas ortogonales199
14.12.Pared semi-infinita199
14.13.Transformacion conforme200

Parte I Series y Variable Compleja

Capıtulo 1

Series infinitas. version final corregida 2.31, 6 de Mayo del 2003

1.1. Conceptos fundamentales

Las series infinitas, literalmente sumas de un numero infinito de terminos, ocurre frecuentemente tanto en matematicas pura como aplicada. Ellas podrıan ser usadas por los matematicos puros para definir funciones como una aproximacion fundamental a la teorıa de funciones, tanto como para calcular valores precisos de constantes y funciones trascendentales. En matematica, en ciencias y en ingenierıa las series infinitas son ubicuas, es por ello que aparecen en la evaluacion de integrales, en la solucion de ecuaciones diferenciales, en series de Fourier y compite con las representaciones integral para la descripcion de funciones especiales. Mas adelante veremos la solucion en series de Neumann para ecuaciones integrales dan un ejemplo mas de la ocurrencia y uso de las series infinitas.

Encaramos el problema que significa la suma de un numero infinito de terminos. La aproximacion usual es por sumas parciales. Si tenemos una sucesion de terminos infinitos

Esta es una suma finita y no ofrece dificultades. Si las sumas parciales si convergen a un lımite (finito) cuando i → ∞,

La serie infinita ∑∞ n=1 un se dice que es convergente y tiene el valor S. Note cuidadosamente que nosotros razonablemente y plausiblemente, pero aun arbitrariamente definimos que la serie infinita es igual a S. Podemos notar que una condicion necesaria para esta convergencia a un lımite es que el lımn→∞ un = 0. Esta condicion, sin embargo, no es suficiente para garantizar la convergencia. La ecuacion (1.2) usualmente esta escrita en notacion matematica formal:

1Este capıtulo esta basado en el quinto capıtulo del libro: Mathematical Methods for Physicists, fourth edition de George B. Arfken & Hans J. Weber, editorial Academic Press.

4 CAPITULO 1. SERIES INFINITAS.

La condicion para la existencia de un lımite S es que para cada ε > 0, haya un N fijo tal que

Esta condicion a menudo derivada del criterio de Cauchy aplicado a las sumas parciales si. El criterio de Cauchy es:

Una condicion necesaria y suficiente para que una sucesion (si) converja es que para cada ε > 0 exista un numero fijo N tal que

|sj − si| < ε para todos los i,j > N.

Esto significa que la sumas parciales individuales deben mantenerse cercanas cuando nos movemos lejos en la secuencia.

El criterio de Cauchy puede facilmente extenderse a sucesiones de funciones. La vemos en esta forma en la seccion 1.5 en la definicion de convergencia uniforme y mas adelante en el desarrollo del espacio de Hilbert.

Nuestras sumas parciales si pueden no converger a un lımite simple sino que podrıa oscilar, como en el caso ∞∑

Claramente, si = 1 para i impar pero 0 para i par. No hay convergencia a un lımite, y series tal como estas son llamadas oscilantes.

tenemos

Cada vez que las sumas parciales diverjan (tienden a ±∞ ), la serie infinita se dice que diverge. A menudo el termino divergente es extendido para incluir series oscilatorias.

Ya que evaluamos las sumas parciales por aritmetica ordinaria, la serie convergente, definida en terminos del lımite de las sumas parciales, asume una posicion de importancia suprema. Dos ejemplos pueden clarificar la naturaleza de convergencia o divergencia de una serie y servira como una base para una investigacion mas detallada en la proxima seccion.

Ejemplo Series geometricas. La sucesion geometrica, comenzando con a y con una razon r(r >= 0), esta dado por

1.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 5

La suma parcial n-esima esta dada por

De modo que, por definicion, la serie geometrica infinita converge para r < 1 y esta dada por ∞∑

Por otra parte, si r ≥ 1, la condicion necesaria un → 0 no se satisface y la serie infinita diverge.

Ejemplo Series armonicas.

Consideremos la serie armonica∞∑

Tenemos que el lımn→∞ un = lımn→∞ 1/n = 0, pero esto no es suficiente para garantizar la convergencia. Si agrupamos los terminos (no cambiando el orden) como

se vera que cada par de parentesis encierra p terminos de la forma

Formando sumas parciales sumando un grupos entre parentesis por vez, obtenemos

Las series armonicas consideradas de esta manera ciertamente son divergentes. Una demostracion independiente y alternativa de su divergencia aparece en la seccion 1.2. Usando el teorema del binomio, podrıamos expandir la funcion (1 + x)−1:

6 CAPITULO 1. SERIES INFINITAS.

(Parte 1 de 8)

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