telecurso 2000 - fisica - volume 1 - Apostilas - Física Parte3, Notas de estudo de Física

Baixe telecurso 2000 - fisica - volume 1 - Apostilas - Física Parte3 e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! 16 A U L A Conservação, o “x” da questão! Quando exigimos das pessoas que moram em nossa casa que apaguem a luz ao sair de um aposento, não deixem a televisão ligada à noite enquanto dormem, fechem bem a torneira para que não fique pingando, ou, ainda, abaixem a chama do gás quando a água ferveu, estamos demonstrando preocupação com o desperdício! Desperdício significa que algo útil foi jogado fora sem ter sido aproveitado - foi desperdiçado. A água da torneira que pinga vai embora pelo ralo e a gente nem percebe. E uma água nova entra na caixa d’água, em substiuição àquela que foi desperdiçada! Agora pare e pense em quantas vezes você já ouviu alguém dizendo esta frase, bastante conhecida: “Nada se perde, tudo se transforma.” Essa frase é de Lavoisier, um famoso cientista francês do século 18. Podemos entender esta frase, por exemplo, quando colocamos água numa panela e a aquecemos, podemos ver que a água vai evaporando e o seu nível na panela vai diminuindo. Isso não significa que a água é perdida, mas que está se transfor- mando em vapor d’água! E a água que escorre pelo ralo, também se transforma? Podemos pensar em termos de utilidade, isto é, a água que estava na caixa- d’água era útil, mas, depois que se foi pelo ralo, perdeu sua utilidade. Se quisermos utilizar novamente a água que se foi, teremos que pagar à companhia de água e esgoto, para que trate mais água e que esta seja enviada pelo encanamento até a nossa caixa-d’água! Ou seja, haverá um custo na reutilização da água que já foi utilizada. No nosso dia-a-dia, usamos muito a expressão “desperdício de energia”, que se refere ao desperdício dos vários tipos de energia, como, por exemplo: l Energia térmica: quando deixamos uma geladeira aberta, haverá um custo para que seu interior se esfrie novamente. l Energia elétrica: banhos de chuveiro elétrico demorados geram enorme consumo de eletricidade, que também terá um custo. l Energia química: carros mal regulados consomem mais do que o normal, aumentando assim o gasto de combustível. Todas essas transformações, cuja energia não pode ser reaproveitada, são chamadas de transformações irreversíveis. 16 A U L Antoine Laurent de Lavoisier (1743-1794) optou pelo estudo da Química. Em 1789, publicou o Tratado elementar de químicas, onde aparece sua famosa lei da conservação das massas. 16 A U L AOu seja, é impossível pegar o frio que sai da geladeira enquanto a porta está aberta e colocá-lo de volta dentro da geladeira. É impossível pegar a eletricidade que foi usada no chuveiro elétrico e colocá-la de volta no fio. É impossível usar o gás que saiu do escapamento de um automóvel, para encher novamente o tanque de gasolina! A maioria das transformações de energia são do tipo irreversível. Isso significa que a energia útil se transformou num outro tipo de energia e não pode ser reutilizada. Uma pequena parte das transformações são do tipo reversível, ou seja, a energia pode ser transformada em outra forma de energia e depois voltar a ser o que era. Um sistema que tem essa propriedade é chamado de sistema conservativo. Nesta aula, estudaremos uma forma de energia, a energia mecânica, tanto em sistemas conservativos como em sistemas não-conservativos, também cha- mados dissipativos. Conservação da energia mecânica Para compreender a energia mecânica, precisamos antes saber o que são energia cinética e energia potencial. Esses dois tipos de energia já foram defini- dos nas aulas passadas, mas vamos fazer uma pequena recordação. Energia cinética é a energia associada ao movimento de um corpo. A energia cinética de um corpo de massa m e com velocidade v, é dada pela expressão: Ecinética Þ EC = 1 2 mv2 ou seja, quanto maior for a velocidade ou a massa do corpo, maior será a sua energia cinética. Energia potencial é a medida do trabalho que a força-peso pode fazer sobre um corpo, ou seja, no caso da energia potencial gravitacional, quanto mais alto estiver o corpo, maior será sua capacidade de realizar trabalho. Por exemplo, um bate-estaca consegue realizar melhor o “trabalho” de enfiar a estaca no solo, quanto maior for a altura da qual ele é solto. A energia potencial gravitacional tem a seguinte expressão: Epotencial gravitacional Þ Ep = mhg ou seja, quanto maior a massa do corpo ou sua altura em relação ao solo, maior será sua energia potencial gravitacional. Energia mecânica Vamos recordar a aula sobre queda livre (Aula 5), onde estudamos o caso do tiro para cima (Figura 1). Agora, vamos analisar esse problema usando o conceito de energia. No exemplo do tiro para cima vimos que a bala, ao sair do revólver, vai ganhando altura e perdendo velocidade. Quando chega ao ponto mais alto, sua velocidade é zero. Então, ela volta (no sentido contrário ao da subida), perdendo altura e ganhando velocidade, até chegar ao pon- to de onde saiu com a mesma velocidade da partida, mas no sentido oposto. Figura 1 v hMax h 0 Subida Descida v v = 0 16 A U L A Sistemas dissipativos No nosso dia-a-dia, não vemos com freqüência sis- temas conservativos. Muito pelo contrário, a grande maioria dos sistemas é dissipativa. Por exemplo, para que o sino no alto de uma igreja continue tocando, é preciso que alguém puxe continua- mente a corda para balançá-lo. Caso contrário, ele irá diminuindo seu movimento até parar definitivamente o balanço. Por que será que o sino pára de balançar? Sabe-se que o sino pára de tocar porque existe atrito (lembre-se da Aula 10), isto é, existe uma força externa que faz com que ele pare. Se não houvesse a força de atrito, o sino continuaria tocando indefinidamente. Bas- taria realizar o trabalho de levantar o sino uma vez, para um dos lados, e soltá-lo. Nesse caso, o trabalho de levantar o sino se transformou em energia potencial. Quando o sino é solto, essa energia potencial começa a se transformar em energia cinética, até que o sino tenha altura zero e velocidade máxima, ou seja, energia potencial igual a zero e energia cinética máxima. Em seguida, ele começa novamente a subir, perdendo velocidade e ganhando altura, até chegar do outro lado na mesma altura da qual saiu, e assim o processo continuaria, e o sino tocaria sem parar. Mas, na realidade, o que ocorre é que o sino vai parando. Ele é solto de uma certa altura, mas chega ao outro lado com uma altura menor e, quando volta, atinge uma altura menor ainda. E assim por diante, até que não varia mais de altura, isto é, ele fica parado no ponto mais baixo possível. Se fizermos um gráfico da energia potencial e da energia cinética do sino em função do tempo, teremos a Figura 5: Como podemos ver pelo gráfico, as duas energias vão diminuindo até chegar a zero. Ou seja, a energia mecânica não se conserva: a soma da energia potencial e cinética do corpo diminui até chegar a zero. Para onde foi a energia mecânica? A única novidade nesse exemplo é a força de atrito, o que significa que ela é a responsável pela dissipação da energia mecânica. O que o atrito fez com o sino? Sempre que quisermos parar um corpo que está em movimento, teremos que exercer uma força sobre esse corpo, até que ele fique em repouso. Ou seja, temos que realizar um trabalho para retirar a energia cinética do corpo. E isso é exatamente o que o atrito faz: ele realiza o trabalho de parar o sino, ou seja, ele retira toda a energia mecânica do corpo. h h v Figura 4. Em seu movimento, o sino atinge alturas diferentes. Figura 3 Figura 5. O amortecimento da energia potencial e cinética num sistema dissipativo. Energia Tempo E c in • t i ca E po tenc i a l 16 A U L ANo que se transformou a energia mecânica do sino? Certamente você já fez a experiência de, quando está com frio, esfregar as mãos para aquecê-las. É exatamente isso que o atrito faz: ele gera calor. E calor é uma forma de energia chamada de energia térmica. Portanto, a energia mecânica do corpo se transfor- mou em energia térmica. Podemos, então, expressar a conservação da energia mecânica, nos sistemas dissipativos, como: D E m = t força de atrito O atrito também é capaz de gerar outras formas de energia como, por exemplo, energia sonora. Quando arrastamos uma cadeira pelo chão, ela faz barulho. Ao ser empurrada, a cadeira ganha energia cinética que, devido ao atrito, transforma-se parte em energia térmica e, parte, em energia sonora. Infelizmente, esses são processos irreversíveis, ou seja, não é possível reutilizar essas energias: elas estarão perdidas para sempre. Um outro exemplo mais complexo é o de um automóvel: toda sua energia está armazenada no combustível, na forma de energia química. Para onde vai toda energia do combustível? Ao ser ligado, o motor do carro fica muito quente, assim como os pneus. O motor também faz barulho. Todas essas manifestações são formas de dissipação de energia, por isso, apenas uma parcela da energia contida no combustível é utilizada para movimentar o carro, isto é, transformada em energia cinética. De modo geral, trata-se de uma máquina muito ineficiente. Observação: A força de atrito é sempre contrária ao movimento. Isso significa que, se o corpo se desloca, a força de atrito será um vetor de sentido oposto ao vetor deslocamento. Quando calculamos o trabalho da força de atrito, obtemos um trabalho negativo. E o sinal negativo significa que a força de atrito está retirando energia mecânica do corpo, durante o trajeto. Nesta aula vimos que: l a energia se transforma; l existem dois tipos de sistemas: os conservativos e os dissipativos; l a energia mecânica é a soma da energia cinética mais a energia potencial; l nos sistemas conservativos,a energia mecânica se conserva e tem a seguinte expressão: D E m = 0 l nos sistemas dissipativos, a energia mecânica não se conserva e o atrito realiza o trabalho de transformar a energia mecânica em energia térmica ou sonora. E a expressão da conservação da energia se torna: D E m = t força de atrito l é fundamental perceber quando se está desperdiçando energia, pois haverá um custo para gerar mais energia. 16 A U L A Exercício 1 Em alguns parques de diver- são, existe um brinquedo que se chama Barco Viking. Esse brinquedo consiste num gran- de barco, no qual as pessoas entram, que balança de um lado para o outro, como um pêndu- lo gigante, (figura ao lado). O barco alcança alturas de apro- ximadamente 20 metros, tanto de um lado como do outro. Como a quantidade de graxa no eixo de oscilação é muito grande, podemos considerar o atrito desprezível. Qual será a velocidade do barco quando ele passar pelo ponto mais baixo da sua trajetória? Exercício 2 Numa pequena obra um pedreiro do solo joga tijolos para outro que está no segundo andar, que fica a 3 metros do chão. Qual a menor velocidade com que o pedreiro que está no chão deve lançar cada tijolo para este chegar às mãos do outro pedreiro com velocidade zero? Exercício 3 Existe uma outra forma de energia potencial chamada energia potencial elástica. Essa energia normalmente é encontrada em sistemas que utilizam molas ou elásticos. Um exemplo que vemos nas lutas livres: os lutadores normalmente se utilizam das cordas elásticas para tomar impulso, ou seja, jogam-se contra as cordas e são arremessados com a mesma velocidade sobre o adversário. Sua energia cinética vai diminuindo à medida que a corda elástica vai esticando. Quando a corda está totalmente esticada, a velocidade do lutador é zero, ou seja, toda sua energia cinética se transformou em energia potencial elástica. Finalmente, a corda devolve a energia cinética para o lutador, que é arremessado sobre o outro. Supondo que o lutador tenha uma massa de 100 kg e se jogue nas cordas com uma velocidade de 5 m/s, calcule a energia potencial elástica armazenada na corda quando ela está totalmente esticada. Exercício 4 Quando uma criança desce por um escorregador, parte da sua energia mecânica se perde devido à força de atrito. Supondo que 600 joules se perdem com o trabalho da força de atrito, que a massa da criança seja 50 kg e que o escorregador tenha uma altura de 2 metros, qual será a velocidade com que ela chega ao solo? Exercício 5 Resolva o Exercício 4, desprezando o trabalho da força de atrito. 20 m 17 A U L AJá sabemos, pela Segunda Lei de Newton que quando uma força é aplicada sobre um corpo, ele adquire uma aceleração, ou seja, sua velocidade varia. Mas o que estamos fazendo aqui é aplicando uma força e levando em conta o período de tempo durante o qual essa força foi aplicada, o que caracteriza o impulso. Se a bola for muito pesada, será mais difícil fazê-la se mover, isto é, modificar sua velocidade. Se a bola for leve, será mais fácil alterar sua velocidade, ou seu estado de movimento. Isso significa que é mais fácil dar um impulso numa bola com uma massa pequena do que numa com a massa grande. Assim, dois fatores contribuem para descrever o estado de movimento de um corpo: a massa e a velocidade. Quando dizemos estado de movimento, queremos dizer que o corpo tem uma certa quantidade de movimento, que é uma grandeza que pode ser medida. Também dizemos que, se um corpo tem pouca quantidade de movimento, é fácil pará-lo; mas, se tem muita quantidade de movimento, é difícil fazê-lo parar. Passo-a-passo Se um ônibus vem com uma velocidade pequena de 0,2 m/s, mas sua massa é muito grande, 4.000 kg, não é fácil pará-lo. Se um ciclista vem com sua bicicleta, onde a somas das suas massas é 80 kg, com uma velocidade de 10 m/s, também não vai ser fácil pará-lo. Podemos definir uma equação matemática que descreve a quantidade do movimento: ρ q = m · ρ v Sua unidade, no sistema Internacional (SI) será o kg · m/s. Sabemos que a velocidade é uma grandeza vetorial, por isso, a quantidade de movimento também é uma grandeza vetorial. Como os dois estão andando em linha reta, podemos, com a expressão acima, calcular o módulo da quantidade de movimento do ônibus e do ciclista: qônibus = 4.000 × 0, 2 = 800 kg × m s qciclista = 80 × 10 = 800 kg × m s ou seja, os dois têm a mesma quantidade de movimento, apesar de serem corpos completamente distintos. Podemos então concluir que: Quando um impulso é dado a um corpo, ele altera sua quantidade de movimento, pois altera sua velocidade. Chuta a bola! Finalmente, nosso jogador vai chutar. Tudo preparado, bola parada, goleiro imóvel, esperando o momento em que o jogador vai dar o impulso na bola. Quando chutar a bola, o jogador estará aplicando uma força sobre ela, que pode ser escrita como: ρ F = mbola × ρ a 17 A U L A Sabemos que a bola vai ser acelerada por alguns instantes, isto é, sua velocidade vai variar. Usamos a definição de aceleração: ρ a = D ρ v D t e substituindo na expressão da força, assim obtemos: ρ F = m × D ρ v D tque pode ser escrito de outra forma: ρ F × D t = m × D ρ v O produto da força pelo intervalo de tempo, é o impulso dado à bola. O símbolo D t , representa a diferença entre dois instantes de tempo, o inicial e o final. Nesse caso, D v é a diferença da velocidade no intervalo de tempo isto é; a velocidade depois do chute menos a velocidade antes do chute. Podemos então escrever: ρ F × D t = m × ( ρ vdepois - ρ vantes ) ρ F × D t = m × ρ vdepois - m × ρ vantes Usando as definições de impulso e de quantidade de movimento: ρ I = ρ qantes - ρ qdepois Podemos então escrever que: ρ I = D ρ q Essa relação entre o impulso e a quantidade de movimento é bastante reveladora, pois mostra exatamente o que estávamos pensando: Quando um corpo recebe um impulso, sua quantidade de movimento varia! Passo-a-passo “Chuta forte!”, gritava a torcida. Nosso jogador está pronto para chutar a bola. Será que dá para calcular o intervalo de tempo em que o pé do jogador fica em contato com a bola? Podemos fazer uma avaliação: uma bola de futebol pesa em torno de 400 gramas, ou 0,4 kg, e a força que o jogador exerce quando chuta a bola é, em média, de 2.000 N. A bola, que estava parada, após o chute parte com uma velocidade de 50 m/s, aproximadamente. O impulso varia a quantidade de movimento da bola. Como a bola vai se deslocar na mesma direção em que for dado o chute, podemos usar apenas o módulo do impulso e da quantidade de movimento: I = D q = m × vfinal - m × vinicial 17 A U L APela definição de impulso, podemos escrever: I = F · D t = m × vfinal - m × vinicial Substituindo os valores conhecidos, temos: 2.000 · Dt = 0,4 · 50 - 0,4 · 0 Assim: Dt = 20 2.000 = 0,01 s Isto é, o pé do jogador fica em contato com a bola por apenas 1 centésimo de segundo. Mas o problema ainda não está resolvido. O jogador tem de chutar a bola na direção correta, para fazer o gol: Figura 4. Vista superior da área, no momento em que o jogador vai chutar a gol. Nosso jogador mira, concentra-se, toma impulso e chuta com fé! Vetor variação da quantidade de movimento ou vetor impulso A bola parte com uma velocidade aproximada de 50 m/s em direção ao canto direito do gol; o goleiro, pula para o canto esquerdo do gol; a torcida já comemorava quando, na frente da bola, surgiu a trave. “Na trave!” grita o locutor. Vamos entender o que houve. Como podemos ver na Figura 5, a bola tomou a direção da trave e voltou exatamente pelo mesmo caminho. Supondo que a bola manteve sua velocidade de 50 m/s, ela bateu na trave e voltou com a mesma velocidade. Podemos calcular a variação da quantidade de movimento da bola? Sim. Para isso precisamos lembrar que a quantidade de movimento é um vetor, bem como sua variação. v v Figura 5. A bola em sua trajetória (a) rumo à trave e (b) na volta. a b 18 A U L A Bola sete na caçapa do fundo Cansado de uma semana de trabalho bastante puxada, Gaspar resolveu dar uma saidinha e ir até o Bar da Sinuca. Gaspar encontra seus compadres, bebem juntos uma cervejinha e jogam umas partidas de sinuca. Gaspar encontra Maristela, sua velha amiga, com quem sempre joga, mas de quem nunca ganhou. Como sempre, Maristela o convida para um joguinho. Começam então a peleja. “Bola vermelha na caçapa do meio”, anunciou Gaspar, que jurou vencer a amiga dessa vez. O nervosismo começou a crescer; uma a uma, as bolas iam sendo encaçapadas. Os outros amigos de Gaspar e Maristela, percebendo que dessa vez Gaspar tinha chances de vitória, aproximaram-se para ver aquela disputada partida. As apostas começaram por todo o bar. Muitos já conheciam a fama de Maristela e, sem dúvida, apostaram na sua vitória. Outros, vendo Gaspar tão animado, não tiveram dúvida e apostaram nele. O jogo continuou, descontraído na platéia, mas nervoso, entre os jogadores. Maristela percebeu que Gaspar havia treinado muito, pois estava jogando muito melhor. Gaspar percebeu que, realmente, tinha chances de vencer o jogo e começou a se empenhar ao máximo. Depois de muitas bolas encaçapadas, o jogo estava chegando ao final. Nesse momento, até a torcida estava nervosa. Restava somente a bola sete, a preta. O jogo estava empatado e era a vez de Gaspar dar a tacada. “Bola sete na caçapa o fundo”, gritou Gaspar confiante na vitória, diante de uma Maristela assustada com a possibilidade de, pela primeira vez, perder um jogo para Gaspar. Gaspar se preparou para a tacada final, pensando consigo: “Basta dar uma tacada na direção da caçapa, com muito, muito cuidado, e eu ganho este jogo”. Será verdade que basta mirar a caçapa e ter muito, muito cuidado na tacada para encaçapar? O que é necessário fazer para que a bola entre na caçapa? Choques Toda vez que vemos um acidente de trânsito, dizemos que houve uma batida, ou seja, houve um choque entre dois ou mais veículos. Num jogo de tênis, os jogadores batem com suas raquetes na bola, para rebatê-la; num jogo de boliche, a bola se choca com os pinos, derrubando-os; num jogo de golfe, o jogador dá uma tacada na pequena bolinha, arremessando-a para bem longe. 18 A U L 18 A U L AOutro jogo que envolve tacada é o beisebol, onde uma bola muito dura é arremessada pelo lançador e o rebatedor tenta acertá-la com o taco, a fim de arremessá-la o mais longe possível. Como já vimos, impulso é a grandeza que descreve o que ocorre quando uma força é aplicada sobre um objeto num intervalo de tempo Dt. Logo, essa é uma boa grandeza para compreendermos os exemplos acima, inclusive o exem- plo do jogo de sinuca. E qual é a relação entre impulso e choque? Quando duas bolas se chocam, elas exercem uma força uma sobre a outra. Isso provoca uma variação do estado de movimento, nas duas bolas. Ou seja, quando um impulso é dado a uma bola, uma força é exercida sobre ela, alterando sua velocidade, isto é, alterando sua quantidade de movimento. No caso do choque de duas bolas, as duas têm seu estado de movimento alterado, pois, pela terceira lei de Newton, quando um objeto exerce força sobre outro, este também exerce uma força sobre o primeiro. Vamos lembrar da relação entre impulso e quantidade de movimento, vista na aula passada: ρ I = D ρ q = m · ρ vfinal - m · ϖ vinicial isto é, quando uma bola sofre a ação de uma força, se conhecemos sua massa e sua velocidade, antes e depois do choque, saberemos o valor do impulso dado a essa bola. Qual será o impulso total do sistema se, em vez de nos preocuparmos com o comportamento de uma só bola, considerarmos as duas bolas? Princípio da conservação da quantidade de movimento Para comparar alguma coisa ao longo do tempo, é preciso identificar o que mudou e o que não mudou, isto é, o que se transformou e o que se conservou. Quando nos olhamos no espelho e numa fotografia antiga, podemos observar que muita coisa se alterou, mas outras permaneceram constantes, como, por exemplo: nossos cabelos começam a ficar brancos, mas nossos olhos continuam da mesma cor. Ao estudar a natureza, também buscamos identificar o que se transforma e o que se conserva, para podermos fazer comparações. Figura 1. Em todos esses exemplos, existe uma coisa em comum: o choque entre pelo menos dois objetos. 18 A U L A Já vimos um princípio de conservação na Física: o princípio de conserva- ção da energia mecânica, ao qual voltaremos, ainda nesta aula. Outro princípio de conservação é o da quantidade de movimento: sob certas condições a quantidade de movimento de um sistema não se altera, ou seja, conserva-se. Podemos verificar isso de modo muito simples e talvez intuitivo: basta lembrarmos da terceira lei de Newton (a lei da ação e reação). Essa lei descreve como se dá a interação entre os corpos. E é justamente isso que se estuda num choque entre dois corpos: como acontece e o que podemos descrever deste choque. Quando duas bolas se chocam, sabemos que cada uma exerce força sobre a outra, isto é, ação e reação. Sabemos, também, que cada uma dessas duas forças, que compõe o par de ação e reação, tem a mesma intensida- de, sentidos opostos e que cada uma age em só uma das bolas. Podemos dizer também que uma dá à outra um impulso, e que o tempo em que uma esteve em contato com a outra foi exatamente o mesmo. Vamos, então, escrever, de forma matemática, o que está mostrado na Figura 3, começando pelas forças. Pela terceira lei de Newton, a força que a bola A exerce sobre a bola B ( ρ FAB ) tem a mesma intensidade e o sentido oposto que a força que a bola B faz na bola A ( ρ FBA ), ou seja: ρ FAB = - ρ FBA Essas forças foram aplicadas durante o mesmo intervalo de tempo, que é o tempo que as bolas ficam em contato, assim podemos multiplicar cada uma delas por esse intervalo Dt: ρ FAB Dt = - ρ FBA Dt Essa equação está nos dizendo que o impulso que a bola B recebe é igual e de sentido contrário ao impulso que a bola A recebe: ϖρ IB = - ρ IA Podemos escrever o impulso como a variação de ρ q ( ρ F · Dt = ρ I = D ρ q), isto é, a diferença entre a quantidade de movimento do corpo, antes e depois do choque, isto é: D ρq B = -D ρ q B ou seja, ρ q B depois - ρ q B antes = -( ρ q A depois - ρ q A antes) ρ q B depois - ρ q B antes = - ρ q A depois + ρ q A antes Passando as quantidades de movimento antes do choque, para o lado esquerdo da equação e as quantidades de movimento depois do choque, para o lado direito da equação, teremos a seguinte equação: ρ q A depois + ρ q B depois = + ρ q A antes + ρ q B antes Isto é, a soma da quantidade de movimento da bola A e da bola B, antes do choque é igual à soma da quantidade de movimento da bola A e da bola B, depois do choque. F abF ba A B Figura 2 BA AB ® ® 18 A U L AQuando um casal de patina- dores está realizando manobras so- bre os patins, treinam uma mano- bra clássica, onde os dois estão pa- rados e a moça está de costas para o rapaz que, em determinado momen- to, empurra a moça, como podemos ver na figura 5. Mas só a moça se movimentou? Não. Como se movimentaram? De acordo com a terceira lei de Newton, quando o rapaz empurra a moça é, ao mesmo tempo, empurrado por ela. Analisando essa situação, em termos da quantidade de movimento, vere- mos que a quantidade de movimento total do sistema (rapaz e moça) no início era zero. Apesar de o rapaz ter uma massa de 90 kg e a moça de apenas 45 kg, a velocidade de ambos era zero. Pelo princípio de conservação da quantidade de movimento, a quantidade de movimento no início e no fim devem ser iguais; ou seja, a soma da quanti- dade de movimento dos dois patinadores deve ser sempre zero. ρ q (Rapaz)depois + ρ q (Moça)depois = ρ q (Rapaz)antes + ρ q (Moça)antes mR · ρ v Rdepois + mM · ρ v Mdepois = mR · ρ v Rantes + mM · ρ v Mantes Se o rapaz sair com uma velocidade de 1 m/s, qual deverá ser a velocidade da moça? Como o moça saiu num sentido oposto ao do rapaz, a velocidade dos dois tem sinais diferentes. (Nesse caso, é fundamental que você use o mesmo critério para as velocidades antes e depois do choque, ou explosão, isto é, se você decidiu que a velocidade que aponta para a direita é positiva, então todos os objetos que vão para a direita têm velocidade positiva, e os que vão para a esquerda têm velocidade negativa; é só uma convenção.) mR · vRdepois - mM · vMdepois = mR · 0 + mM · 0 Substituindo o valor das velocidades e das massas conhecidas: 90 · 1 - 45 · vMdepois = 0 vdepois = 90 45 vdepois = 2 m/s Ou seja, a força com que cada um empurrou o outro foi a mesma (terceira lei de Newton), porém, como o rapaz tem mais massa que a moça, ele saiu com uma velocidade menor. Condições para que a quantidades de movimento seja conservação Lembre-se de que usamos a terceira lei de Newton para obter o princípio da conservação da quantidade de movimento. Quando usamos a terceira lei, estamos interessados em descrever a interação entre dois corpos, ou seja, a força que cada um faz no outro. No exemplo do choque entre as duas bolas de bilhar, sabemos que, se não houver nenhuma força externa ao movimento das bolas, como, por exemplo, a força de atrito, só haverá a ação das forças de ação e reação que uma bola faz na outra. Essa é a condição para que a quantidade de movimento de um sistema se conserve. Figura 4. Ao impulsionar a moça, o rapaz também é impulsionado por ela. ρ V=0 ρ VR ρ VmVR = VM = 0 ® ® VR VM ® ® 18 A U L A Outro exemplo é o do bate-estaca. Quando o bate-estaca cai de certa altura, tem uma grande quantidade de movimento, sua massa é muito grande, mas a estaca, que se pretende enterrar no solo, também tem uma massa muito grande. Quando o bate-estaca se choca com a estaca, ambos se impulsionam, transmitindo quantida- de de movimento. Entretanto, a estaca penetra no solo apenas alguns centímetros. Por que a quantidade de movimento que o bate-estaca transferiu para a estaca não se conserva depois do choque? Porque existe uma força externa, e, nesse caso, é o solo que impede que a estaca continue seu trajeto após o choque. Então, a quantidade de movimento só se conserva quando os corpos que estão se chocando não sofrem a ação de forças externas. A tacada final Gaspar suava de nervoso, estava em total concentração! Esfregava talco nas mãos suadas para que o taco deslizasse sem problemas entre seus dedos. Imaginou o momento de glória quando encaçapasse a bola. Seria carregado pelos seus companheiros para comemorar a grande vitória sobre Maristela. Maristela, a essa altura do jogo, já havia se recuperado do susto inicial e esperava o momento decisivo: apenas um erro de Gaspar seria suficiente para que ela virasse a situação. Gaspar, convicto, preparou a tacada. Com medo de bater muito forte na bola, reduziu a força e tocou bem de leve na bola branca, que rolou lentamente em direção à bola preta. Ao se chocar com a bola preta, a bola branca parou, transferindo-lhe toda sua quantidade de movimento, como Gaspar havia previs- to. A bola preta, com o choque, adquiriu uma quantidade de movimento e seguiu rumo à caçapa. Mas, para espanto geral, parou exatamente na boca da caçapa. Gaspar gritava com raiva. Não acreditava que seus cálculos estivessem errados, estava tudo certinho, pensava ele. Maristela dava pulos de alegria, dizendo: “Eu sabia que você tinha esquecido de alguma coisa!” O que será que Gaspar esqueceu? Rapidamente, Maristela se preparou para jogar e, não teve dúvida, colocou a bola preta no fundo da caçapa ganhando novamente o jogo. Foi aquela gritaria! Quando os ânimos se acalmaram, Gaspar perguntou a Maristela do que ele havia se esquecido. A moça, num tom professoral, disse: “Você se esqueceu de que a mesa de bilhar é coberta com feltro (um tipo de tecido), o que gera um pequeno, mas significante, atrito sobre as bolas, enquanto elas estão em movimento. Isso significa que haviam forças externas agindo sobre o sistema formado pelas duas bolas.” E continuou: “Aposto que você usou o princípio de conservação da quan- tidade de movimento, ou seja, calculou a velocidade da bola preta, sabendo que a quantidade de movimento da bola branca deveria ser totalmente transmitida para a bola preta, o que de fato é verdade. Mas você se esqueceu de levar em consideração que o atrito foi tirando uma parte da quantidade de movimento da bola branca antes do choque e, também da bola preta, depois do choque.” Maristela concluiu dizendo: “É Gaspar, quem sabe você ganha na próxima!” Conservação da energia e da quantidade de movimento Num choque, existem sempre forças envolvidas. Essas forças podem ser suficientes para amassar, deformar ou mesmo quebrar os corpos que se chocam. É difícil observar a deformação que uma bola de futebol sofre com o chute do jogador, pois o tempo de contato entre o pé do jogador e a bola é muito pequeno. 18 A U L AQuando dois carros se chocam, podemos ver claramente a deformação sofrida por eles. Existem então dois tipos de choque: num deles, os corpos não ficam deformados depois do choque (bolas de bilhar) e, no outro, ficam deforma- dos depois do choque (colisão dos carros). A deformação dos corpos está associada à trans- formação de energia cinética em energia potencial elástica. Se, depois do choque, os corpos recuperam sua forma, dizemos que a energia mecânica é conser- vada, isto é, a energia cinética se transforma, durante o choque, em energia potencial elástica; e, após o choque, toda energia cinética é restituída. Mas se eles se deformam de forma irreversível, dizemos que a energia mecânica não se conserva, pois parte dela foi usada para deformar o corpo! Separamos então os choques em dois tipos, os elásticos e os inelásticos. l Os choques elásticos conservam a quantidade de movimento e a energia mecânica. l Os choques inelásticos: conservam a quantidade de movimento e não conservam a energia mecânica. Observe que a quantidade de movimento sempre se conserva, a não ser que exista alguma força externa ao sistema. Passo-a-passo Duas bolas de bilhar, uma branca e uma preta estão sobre uma superfície lisa, sem atrito. As duas têm massas iguais a 0,2 kg (ou 200 gramas). A bola preta está inicialmente parada e a branca tem velocidade de 1,0 m/s. Elas se chocam, e não se deformam. Como podemos calcular a velocida- de das duas bolas após o choque? Como não há atrito, não existem forças externas, de modo que a quanti- dade de movimento se conserva. Por- tanto, temos: mP · vPdepois + mB · vBdepois = mP · vPantes + mB · vBantes Como as bolas não sofrem deformações irreversíveis, ou seja, trata-se de um choque do tipo elástico, podemos afirmar que a energia mecânica também se conserva: 1 2 mP · vPdepois 2 + 1 2 mB · vBdepois 2 = 1 2 mP · vPantes 2 + 1 2 mB · vBantes 2 Podemos ver na expressão da conservação da energia, que só aparecem as energias cinéticas de cada bola antes do choque e depois do choque, pois, como todas estão em cima da mesa de bilhar, a altura das bolas, antes e depois do choque, é a mesma, ou seja, podemos considerar a altura da mesa como zero, desaparecendo assim a energia potencial gravitacional. q biq pf = 0 Figura 6 Figura 5. No momento da batida, a bola sofre uma grande deformação. 19 A U L A Nessa situação, Alberta está tentando forçar Gaspar a comprar um fogão novo, pois, ao que parece, ele não está com muita vontade. No dicionário encontramos, entre outros, estes significados: Observe que, nessa situação, foram utilizadas duas palavras relacionadas a dois conceitos físicos: força, que você já conhece, e pressão. No texto acima, é ainda possível perceber que força e pressão estão relacionadas, mas não têm o mesmo significado, não são sinônimos. Em Física isso também acontece. Os conceitos de força e de pressão estão relacionados, mas não são a mesma coisa! Vamos analisar o significado de pressão na Física e qual sua relação com o conceito de força. Pegue um alfinete e um lápis (com a extremidade sem ponta) e empurre-os contra uma folha de papel colocada sobre uma mesa. Procure empurrá-los com a mesma força. Você notou alguma diferença sobre o papel? Veremos adiante como sua observação está relacionada ao conceito de pressão. Antes, vejamos outro exemplo: Passo-a-passo Se você já passou pela experiência de pregar um prego na parede (se ainda não passou, experimente!), deve ter notado que os bons pregos têm uma ponta bem fina na extremidade, e não uma extremidade reta, como se pode ver na Figura 2. Qual dos dois pregos penetra mais facilmente na parede? Se você martelar os dois pregos contra a parede, verá que o prego pontudo entrará na parede com mais facilidade. Por que isso acontece? Qual é a diferença entre as duas situações? Em ambas as situações, a força que fazemos com o martelo é transmitida pelo prego à parede. Vamos supor que essa força seja igual nas duas situações. A única diferença é o tamanho da superfície de contato, isto é, da região do prego que encosta na parede. Em outras palavras, a área onde a força é aplicada é diferente nas duas situações. Então, o efeito desejado (que o prego entre na parede) será melhor quanto menor for a área de contato entre o prego e a parede, isto é, quanto mais pontudo for o prego. O prego pontudo entra na parede com mais facilidade porque a pressão que ele exerce sobre a parede é maior. Assim, quanto menor for a área de aplicação da força, mais facilmente o prego entrará na parede, pois maior será a pressão que ela exercerá sobre a parede. PALAVRA SIGNIFICADO Pressão Pressionar Forçar Coação, ato de pressionar. Coagir, fazer pressão sobre algo. Conquistar, obter por força, levar alguém a fazer algo contra a sua vontade. Prego "tipo A" Prego "tipo B" Figura 2 19 A U L ASe usarmos dois pregos iguais (pontudos), veremos que, quanto maior for a força aplicada, mais facilmente o prego entrará na parede, pois maior será a pressão. Portanto, quanto maior o força aplicada numa superfície, maior será a pressão da força exercida sobre essa superfície. Então, podemos juntar as duas observações e dizer que: l a pressão é inversamente proporcional à área; l a pressão é diretamente proporcional à força. Matematicamente, a pressão (p) é definida como: p = F A Agora é possível entender por que, quando se empurra o alfinete e o lápis contra o papel, com a mesma força, o alfinete fura o papel, ou ao menos deixa uma marca, e o lápis não faz nada: a pressão do alfinete sobre o papel é maior. Você sabia? Por causa da pressão, é difícil caminhar na areia com sapatos de salto fino. É muito mais fácil andar com os pés descalços. Devido ao nosso peso, nossos pés exercem pressão sobre a areia. Quando andamos descalços, a superfície de contato, onde a força é aplicada (área dos pés), é maior do que quando andamos com os sapatos (Fig. 3), de forma que a pressão será menor e afundaremos menos, o que facilita a caminhada. Pela mesma razão, podemos nos deitar numa cama de pregos. Quando nos deitamos, o nosso peso se distribui por uma área grande e, dessa forma, a pressão de cada prego é pequena, e não nos fere. Se, por outro lado, ficássemos em pé sobre a cama, com certeza iríamos nos machucar, pois agora o nosso peso estaria distribuído por uma área bem menor (dos pés) e, assim, a pressão seria bem maior. Pressão, atmosfera... pressão atmosférica... Afinal, qual a relação entre as coisas que discutimos: os pregos, a força, a pressão, a atmosfera, e o ouvido do Gaspar? A conversa a respeito dos pregos serviu para que você aprendesse sobre o conceito de pressão. Para existir pressão, é preciso que uma força seja aplicada a uma superfície, portanto, quando se fala em pressão, entendemos pressão de uma força sobre uma superfície. Vimos como a pressão varia quando variamos a força e a área; portanto, podemos afirmar que: Figura 3 19 A U L A A pressão de uma força aplicada a uma superfície (ou simplesmente pressão), é igual à intensidade da força aplicada, dividida pela área da superfície onde essa força é aplicada. Como vimos no início da aula, ao nosso redor e acima de nossas cabeças, existe ar e esse ar tem peso; logo, ele irá exercer pressão sobre as nossas cabeças. E não só sobre elas, mas sobre toda a superfície da Terra. Essa pressão é chamada de pressão atmosférica. Pressão atmosférica é a pressão que a atmosfera exerce sobre a superfície da Terra. Agora veja: se a pressão depende diretamente da força, nesse caso, o peso do ar e, esse, depende da quantidade de moléculas que existe lá para cima, então, quanto menor for a espessura da atmosfera, menor será sua pressão e vice-versa. Portanto, a pressão atmosférica diminui com a altitude, isto é, com a altura do local, em relação ao nível do mar. E o que aconteceu a Gaspar? À medida que foi descendo a serra, a pressão atmosférica foi aumentando, e o seu ouvido... Vamos estudar um pouco o ouvido. Você sabia? No ouvido, existe uma pele muito fina, chamada tímpano, que separa o interior do ouvido da sua parte externa. Em situações normais, a pressão nos dois lados do tímpano é praticamente a mesma, de forma que ele não sente pressão. O tímpano é uma membrana muito fina e delicada. Por isso, precisamos ter muito cuidado ao usar cotonetes e também com sons e ruídos muito intensos, para não feri-lo. O tímpano é o principal responsável pela nossa audição, e fortes agressões poderão resultar em surdez. Você já pode imaginar o que ocorreu: à medida que a pressão atmosférica foi aumentando, a pressão do lado externo do tímpano ficou maior do que do outro lado; então, o tímpano foi pressionado e empurrado levemente para dentro. Essa foi a causa da sensação estranha no ouvido do Gaspar. Ao engolir saliva ou bocejar, a pressão nos dois lados se torna igual novamente e desaparece a sensação desagradável. Cidade A Cidade B Na cidade A a coluna de ar • maior, logo a press‹o tamb•m. Figura 4. A coluna de ar é maior na cidade A, portanto a pressão também é maior. 19 A U L AE isso serve para qualquer situação onde existe um líquido: a pressão, numa certa profundidade do líquido, é igual à pressão atmosférica mais a pressão da coluna do líquido acima daquele ponto. O valor da pressão atmosférica nós já conhecemos, mas como se calcula a pressão da coluna de líquido? Já sabemos que pressão é a relação entre a força aplicada e a área. Assim, o primeiro passo para obter o valor da pressão da coluna de água é calcular a força que ela faz, isto é, o seu peso. De acordo com o que você aprendeu na Aula 12, o peso será dado pelo produto da massa (mlíq) da coluna pela aceleração da gravidade (g). Plíq = mlíq . g E agora temos um outro problema: como calcular a massa da coluna de líquido? Para isso, vamos precisar de uma outra grandeza física: a densidade. Você já deve ter ouvido falar: “a densidade da população na cidade X é de 2 habitantes por metro quadrado”. Isso quer dizer que, nessa cidade existem, em média, dois habitantes para cada metro quadrado de terreno. Então, densidade é uma quantidade (que pode ser o número de pessoas, a massa de algum objeto etc.) dividida pela região que ela ocupa (pode ser a área ocupada pela população, o volume do objeto etc.). Portanto é possível utilizar densidade de várias formas, observe a tabela abaixo. Normalmente, quando falamos da densidade de um objeto referimo-nos a sua densidade de massa, que é a relação entre a sua massa e o seu volume. Nesse caso, a densidade é também chamada de massa específica, pois ela nos diz a quantidade de massa que existe numa unidade de volume. Por exemplo: “a densidade do gelo é 0,92 g/cm3 significa que em cada cm3 de gelo existem 0,92 gramas de gelo”. Ou “a densidade da água é 1,0 g/cm3 significa que em cada cm3 de água existe 1,0 grama de água”. A densidade de um material de- pende da temperatura e da pressão à qual está sujeito. Normalmente, quan- do nada é falado, a densidade foi me- dida estando o objeto a zero grau sob a pressão de 1 atm. A tabela ao lado mostra o valor da densidade de al- guns materiais. TABELA 2 TIPO DE DENSIDADE DEFINIÇÃO DA DENSIDADE UNIDADE DA DENSIDADE Número de habitantes dividido pela área que eles ocupam Ex.: 6 habitantes, área = 3 m2 d = 2 habitantes/m2 Densidade de habitantes número de habitantes/ m2 Densidade de massa de um objeto Massa do objeto dividida pelo volume que ele ocupa Ex.: massa = 4 kg, volume = 2 m3 d = 2 kg/m3 unidade de massa unidade de volume Ex.: kg/m3, g/cm3 etc. TABELA 3 Material Densidade (gramas/cm3) Ar Gasolina Gelo Água pura Água do mar Ferro Mercúrio Ouro 0,0013 0,70 0,92 1,00 1,03 7,60 13,6 19,3 19 A U L A Um fato importante é que a densidade de um objeto não depende do seu tamanho, já a massa depende: quanto maior o objeto, maior é a sua massa. Mas a densidade é a mesma, não importam as dimensões do objeto, mas de que tipo de material ele é formado. Por exemplo, a densidade da água é a mesma, não importa se é uma gota ou uma garrafa. Para representar a densidade, ou massa específica, normalmente se utiliza a letra d. Escreve-se a densidade de um objeto como: d = m V onde m representa a massa e V o volume do objeto. Voltando ao mar Observe a figura do Gaspar no fundo do mar. Nela, desenhamos uma coluna de água. Vamos calcular a pressão exercida pela coluna. Para isso, precisamos calcular o seu peso, utilizando o conceito de densidade. Usando a definição de densida- de, podemos escrever a massa da co- luna como o produto da densidade do líquido pelo volume da coluna: mcoluna = dlíquido · Vcoluna Para calcular o volume da colu- na, basta multiplicar a área da sua base (Abase) pela sua altura (hcoluna), que é a profundidade onde o Gaspar se encontra: Vcoluna = Abase · hcoluna Então, substituindo o volume, podemos escrever a massa como: mcoluna = dlíquido · Abase · hcoluna Ótimo! Agora, basta lembrar que a pressão é força dividida pela área: p = Fcoluna Abase e que, nesse caso, a força é o peso da coluna: P = mcoluna · g, assim: p = mcoluna · g Abase Utilizando a expressão encontrada para a massa: p = dlíquido · Abase . hcoluna · g Abase Veja que estamos multiplicando e dividindo pela área da base, assim podemos eliminar a área, obtendo finalmente: p = dlíquido · g · hcoluna Essa é a pressão exercida pela coluna de água sobre o Gaspar. Mas lembre-se de que, além da água, existe a atmosfera. Assim, a pressão total sobre o ponto onde está o Gaspar será: p = patm + dlíquido · g · hcoluna Figura 9. No fundo mar, o Gaspar está suportando a pressão de uma coluna de água. h V = A base x h A base h A base p = P = mcoluna · g Abase base p = dlíquido · Abase · hcoluna · g Abase 19 A U L AEssa expressão determina a pressão num ponto, a uma profundidade h, no interior de um líquido de densidade d. Esse fato é conhecido como lei de Stevin, em homenagem ao físico Simon Stevin, responsável pela sua dedução. Então, Gaspar sentiu uma forte dor no ouvido quando mergulhou fundo, porque a pressão nos seus tímpanos aumentou à medida que ele afundou no mar. Qual o valor da pressão onde Gaspar mergulhou? Imagine que Gaspar tenha descido até uma profundidade de 5 m. A pressão da coluna de água será dada pela expressão: p = d · g · h. Sabemos que g = 10 m/s2, h = 5 m e a densidade da água do mar é d = 1,03 g/cm3. Agora, basta fazer a conta? Não. É preciso ter muito cuidado com as unidades. Elas precisam ser equivalentes. Veja que g e h utilizam unidades do SI, mas d não. Por isso, deve-se fazer uma transformação de unidades. Precisa- mos escrever a densidade em kg/m3. d = 1,03 g/cm3 = 1,03 · 103 kg/m3 Agora, fazendo a conta obtemos o seguinte resultado: p = 1,03 · 103 · 10 · 5 p = 0,5 · 105 N/m2 Então, a pressão total sobre Gaspar, que está no mar a 5 m de profundidade será: p = patm + plíquido p = 1,0 · 105 N/m2 + 0,5 · 105 N/m2 = 1,5 · 105 N/m2 = 1,5 atm Note que essa pressão é 1,5 vez maior do que a pressão atmosférica. Foi por isso que o ouvido de Gaspar doeu. Igualando unidades Observe que utilizamos uma outra unidade para pressão, o newton por metro quadrado (N/m2). Ela vem da definição de pressão, quando se utilizam as grandezas no SI (ver Aula 2): p = F (newtons)/A (m 2). Como se relaciona essa unidade com a unidade atmosfera, que equi- vale a 76 cmHg? Sabemos que a pressão da coluna de mercúrio pode ser escrita como p = dHg · g · hHg. Conhecemos todos esses valores: dHg = 13,6 g/cm 3, g = 10 m/s2, hHg = 76 cmHg. Para encontrar o valor da patm nas unidades do SI (N/m2), basta transformar todas as unidades para as unidades do SI (kg, m, s) e fazer a conta: dHg = 13,6 g/cm 3 = 13,6 · 103 kg/m3 e hHg = 76 cmHg = 0,76 m Portanto, patm = 1,01 · 10 5 N/m2 nas unidades do SI. Então, são equivalentes: 1 atm = 1,01 · 105 N/m2 = 76 cmHg Nesta aula, você aprendeu que: l sempre que uma força é aplicada sobre uma superfície, ela exerce uma pressão, que é diretamente proporcional à força e inversamente proporcio- nal à área da superfície onde a força é aplicada. Matematicamente: p = F/A; l por ter peso, a atmosfera exerce pressão sobre a superfície da Terra. É a pressão atmosférica: a pressão atmosférica varia de acordo com a altitude e é possível medir o seu valor. Ao nível do mar, ela é máxima e equivale a uma coluna de 76 cmHg (= 1 atm); 20 A U L A Observe que existem dois ramos, um maior que o outro. No ramo menor, há uma mangueira para ser adaptada ao recipiente que contém o gás cuja pressão se deseja medir. Quando o manômetro não está em funcionamento, as duas colunas de Hg têm a mesma altura (h0), como mostra a Figura 1. Isso acontece porque a pressão na superfície do líquido nos dois ramos é a mesma: é a pressão atmosférica (patm). Gaspar encaixou o adaptador no bico do pneu, por onde o ar entra e sai. A Figura 2 mostra o que aconteceu: Observe que, quando a mangueira é ligada ao pneu, a coluna de Hg se desloca: no ramo menor, o Hg é empurrado para baixo e, conseqüentemente, sobe no ramo maior. Por que isso acontece? Porque a pressão no interior do pneu é maior do que a pressão atmosférica e ela empurra o mercúrio até atingir o equilíbrio. Usando o teorema de Stevin, estudado na Aula 19, é fácil ver que dois pontos de um líquido, situados numa mesma profundidade têm a mesma pressão, portanto a pressão no ponto indicado pela letra y é igual à pressão indicada pela letra x (ver a Figura 2). A pressão no ponto y corresponde à pressão do gás no interior do pneu (ppneu), e esta corresponde à pressão no ponto x. Assim: py = ppneu = px Você já sabe calcular a pressão no interior de um líquido: é a pressão atmosférica mais a pressão da coluna de líquido acima daquele ponto. Então, basta verificar usando a escala do manômetro a altura da coluna de Hg acima do ponto x e somá-la ao valor da pressão atmosférica, que é 76 cmHg. Pela Figura 2 verificamos que a altura da coluna de Hg é 60 cm, que corresponde à pressão de 60 cmHg, portanto: px = patm + pcoluna Então, a pressão no interior do pneu do Gaspar era de: ppneu = px = 76 cmHg + 60 cmHg ppneu = 136 cmHg Para termos uma idéia melhor desse valor, vamos expressar essa medida em atmosferas, lembrando que 76 cmHg=1 atm. Basta fazer uma regra de três: 1 atm Þ 76 cmHg ppneu (atm) Þ136 cmHg , logo, ppneu = 1,8 atm Veja que essa pressão é quase o dobro da pressão atmosférica, ou seja, ela é 1,8 vez maior. Figura 2 y x Py = Ppneu = Px 0 Escala 20 40 60 80 136 100 120 140 160 76 20 A U L AEntretanto essas unidades não são muito usadas para se calibrar pneus. Para esse fim, costuma-se usar duas outras unidades: kgf/cm2 e libra/polegada2 Observe que ambas têm a unidade formada por: uma unidade de força (kgf, libra) dividida por uma unidade de área (cm2, pol2). Isso funciona sempre: para saber qual a unidade de uma grandeza, basta olhar para as unidades das grandezas que a definem. É importante conhecer a correspondência entre essas unidades e, para transformar uma na outra, basta utilizar a regra de três como fizemos acima. 1 atm = 14,2 lb/pol2 = 1 kgf/cm2 = 1,01 · 105 N/m2 = 76 cmHg Como treino, verifique que a pressão nos pneus do carro de Gaspar é aproximadamente: ppneu = 25,6 lb/pol 2 Um café, por favor Após calibrar os pneus, Gaspar foi tomar um café. No balcão, ele observou que a máquina tinha um tubo externo, transparente, que também continha café. Gaspar ficou curioso e perguntou ao rapaz do bar para que servia aquele tubo. E ele descobriu que aquela máquina era uma aplica- ção daquilo que você aprendeu na aula passada sobre pressão em líquidos. A máquina utiliza o sistema que chamamos de vasos comunicantes. Esse sistema é for- mado por dois recipientes (ou vasos) que se comunicam pela base, como mostra a Figura 4: Como o café está em equilíbrio e sujeito apenas à pressão atmosférica, a altura nos dois vasos é a mesma. As- sim, é possível saber qual a quantidade de café existente no interior da máqui- na, sem precisar olhar lá dentro. O interessante é que não importa a forma que esses dois vasos tenham: quando eles estiverem sujeitos à mes- ma pressão, a coluna de líquido nos dois vasos estará na mesma altura. Um exemplo muito simples de um sistema desse tipo é a mangueira transparente, com água dentro, que os pedreiros usam nas construções para nivelar, por exemplo, duas paredes ou uma fileira de azulejos (veja a Figura 5). É também devido a essa propriedade que, para se obter uma forte pressão nos chuveiros, as caixas d’água devem ficar mais altas em relação ao ponto de saída da água (Figura 6). Figura 3. O tubo externo da máquina de café chamou a atenção de Gaspar. Figura 4. Como é a máquina de café vista por dentro. Figura 5 20 A U L A A pressão da água no chuveiro será tanto maior quanto mais alta estiver a caixa d’água, pois a pressão nesse ponto é igual à pressão atmos- férica mais a pressão da coluna de água, que, como sabemos, depende da altura da coluna de água acima daquele ponto. Trocando o óleo Gaspar posicionou o carro sobre a plataforma do elevador, que foi, em se- guida, acionado: o carro subiu lentamen- te, mas com facilidade. “Como é que isso funciona?” quis saber Gaspar. “Para quem já conhece sobre pressão e vasos comunicantes não é difícil”, res- pondeu o rapaz. Hoje é possível utilizar o elevador hidráulico graças a um cientista francês chamado Blaise Pascal, que, em 1653, descobriu por meio de experiências, que: Quando, por alguma razão, alteramos a pressão em um ponto de um líquido, essa variação de pressão é transmitida para todos os outros pontos do líquido. Essa propriedade dos líquidos é hoje conhecida como o princípio de Pascal. O elevador hidráulico é, basicamente, um sistema de vasos comunicantes. É formado por dois recipientes cilíndricos comunicantes, contendo um líquido, normalmente óleo. Em geral, esses recipientes são fechados com um pistão. Uma característica muito importante desse sistema é que a área da superfície de um dos pistões é bem maior que a do outro, como mostra a Figura 8. Ao exercermos uma força f no pistão 1 (menor), que tem área a, provocamos um au- mento de pressão no interior do líquido, dado por: Dp1 = f a h coluna Pchuveiro = P chuveiro + P atm P atm Figura 6. A caixa d’água deve ficar mais alta que o chuveiro. Figura 7. A variação de pressão no ponto 1 é transmitida ao ponto 2. Então, a variação de pressão 1é igual à variação de pressão 2. F p1 p2 p1 p2= F pist‹o 2 pist‹o 1 f f a F A p1p2 = p1 p2= Figura 8 Patm COLUNA CHUVEIRO 20 A U L AExercício 3 Um elefante e uma galinha estão equilibrados sobre um elevador hidráulico, conforme mostra a figura. a) Sendo o peso do elefante 16.000 N e o da galinha 20 N, calcule qual deve ser a relação entre as áreas das superfícies sobre a qual eles estão, isto é, quanto vale A1/A2? b) Suponha que a área onde está apoiada a galinha (A2) seja 10 cm2. Qual de- verá ser a área onde está o elefante (A1)? A2A1 21 A U L A Eureca! 21 A U L Ao subir a serra, de volta para casa, Gaspar avistou o mar! Aquela imensidão azul! Como estavam próximos a uma região portuária, viu vários navios aguardando para entrar no porto. “Alberta, olhe quantos navios! A maioria deles carrega grandes e pesadas cargas, veja só como são enormes! Devem pesar toneladas!” “É verdade! Eu sempre me pergunto: como é que eles conseguem boiar? Por que não afundam?” “Eu não sei explicar” disse Gaspar. E você? Também já teve essa dúvida? Sabe como é que os navios, que pesam várias toneladas, conseguem boiar? Nesta aula, vamos investigar a Física que existe por trás desse fenômeno e, então, seremos capazes de explicá-lo. Para isso, vamos utilizar alguns conheci- mentos adquiridos nas últimas aulas. Para realizar esta atividade, você vai precisar de: l um recipiente com água; l uma rolha de garrafa. Coloque a rolha no recipiente com água. O que você observa? Agora, com o dedo, tente empurrá-la para baixo, isto é, tente afundá-la. O que você observa? Você deve ter sentido uma resistência, uma dificuldade, ao tentar afundar a rolha, como se algo empurrasse a rolha para cima. Se você levar a rolha até o fundo e depois soltá-la, verá que sobe imediata- mente. De fato, para que a rolha suba, é preciso que haja uma força que a empurre para cima. Mas que força é essa? E como ela surge? Na aula passada, vimos o que é pressão e como ela se relaciona com força (p = F/A). Além disso, vimos como ela se comporta no interior dos líquidos: a pressão aumenta com a profundidade. Observe a Figura 1: uma rolha mergulhada num líquido. Note que a rolha se estende por uma certa região do líquido. 21 A U L A Podemos pensar nela como se fosse formada por vários pedaços: cada um mergulhado numa profundidade diferente. Lembre-se de que a pressão é o resultado da aplicação de uma força sobre uma superfície. Vamos estudar as forças que atuam nas diferentes partes do corpo. Sabemos que a força é diretamente proporcional à pressão: logo, a força é maior onde a pressão é maior. Na Figura 1 as setas indicam as forças que atuam nas diferentes partes do corpo. Note que o tamanho da seta indica a intensidade da força naquele ponto. Observe que as forças que atuam na parte de baixo do objeto, isto é, aquelas que tendem a empurrar o objeto para cima, são maiores do que as que tendem a empurrar o objeto para baixo. Somando todas essas forças, vemos que existe uma força resultante que tem a direção vertical e o sentido para cima. Essa força é o empuxo e é ele que empurra para cima os corpos mergulhados nos líquidos, inclusive a nossa rolha. Se a pressão não variasse com a profundidade, todas as forças seriam iguais e se anulariam, portanto, a resultante seria zero e não haveria empuxo. Então, um corpo pode boiar graças ao empuxo. Mas não são todos os corpos que bóiam, quando colocados num líquido. Por exemplo: um tijolo bóia na água? E um pedaço de madeira? Veremos adiante como calcular o empuxo recebido por um corpo e em que condições um corpo bóia ou afunda. Como calcular o empuxo? Foi o filósofo e matemático grego Arquimedes, que viveu no século III a.C., quem descobriu, a partir de experiências cuidadosas, como calcular o empuxo. Arquimedes expressou as conclusões de suas observações num princípio que conhecemos como o princípio de Arquimedes, e que diz o seguinte: Todo corpo mergulhado num líquido recebe um empuxo vertical, para cima, cujo valor é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo. Então, para calcular o valor do empuxo exercido sobre um corpo, basta calcular o peso do líquido deslocado pelo corpo. Portanto, quanto mais líquido o objeto deslocar, maior será o empuxo. Podemos obter a expressão matemática para calcular o empuxo sobre um corpo. Dissemos que o empuxo (E) é igual ao peso do líquido deslocado (Plíq): E = Plíq O peso é igual ao produto da sua massa, pela aceleração da gravidade. Portanto: Plíq = mlíq · g ; assim: E = mlíq · g Não é muito conveniente medir a massa do líquido deslocado pelo corpo. Um jeito seria encher o recipiente até a borda, mergulhar o corpo, recolher a água que transborda e colocá-la numa balança. Pouco prático, não é mesmo? Existe uma maneira indireta de saber qual foi a massa deslocada. Na aula passada, discutimos o conceito de massa específica. Vimos que massa específi- ca, também chamada de densidade, é uma grandeza que relaciona a massa de um corpo e o seu volume: d = m/V ou m = d · V Assim, no lugar da massa do líquido deslocado, podemos utilizar o produto da densidade do líquido (obtida numa tabela) pelo volume deslocado (Vd). Figura 1 Arquimedes: filósofo e matemático grego 21 A U L A Você sabia? Eureca é uma palavra grega que significa: “achei”. Segundo consta, ela foi empregada por Arquimedes quando ele solucionou o problema da coroa do rei Hieron. O rei suspeitava que sua coroa não era de ouro puro, e Arquimedes foi incumbido de solucionar o caso. Arquimedes teria achado a solução do problema enquanto tomava banho, ao observar a elevação do nível da água, quando mergulhou seu corpo na banheira. Ele teria ficado tão entusiasmado que saiu correndo pelas ruas, gritando: “Eureca! Eureca!”. Só que se esqueceu de pegar a toalha! Nesta aula, você aprendeu: l o que é empuxo (E): uma força vertical, dirigida para cima, que aparece sempre que um corpo está mergulhado num fluido qualquer; l que o empuxo surge em conseqüência do fato de a pressão variar com a profundidade no interior de um líquido; l o Princípio de Arquimedes, que nos diz: “Todo corpo mergulhado em um líquido recebe um empuxo vertical, para cima, igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo”; l que, matematicamente, o empuxo se escreve como E = dlíq · g · Vdeslocado; l que é possível prever o que ocorrerá com um corpo quando ele for mergulhado num certo líquido, apenas analisando as suas densidades. Exercício 1 Uma pedra está mergulhada num rio, apoiada sobre o seu leito. Você se abaixa e levanta, mas sem tirá-la da água. a) Faça um esquema mostrando as forças que agem sobre a pedra. b) Ela lhe parecerá mais leve ou mais pesada do que se estivesse fora da água? Explique. Exercício 2 Um tronco está boiando na superfície de um lago. Metade do tronco fica para fora da água, e a outra metade fica imersa. O volume do tronco é 1 m3. Considere a densidade da água do lago como sendo de 1.000 kg/m3. a) Faça um esquema indicando as forças que agem sobre o tronco. b) Calcule o valor do empuxo recebido pelo tronco. c) Qual o seu peso? E qual a sua massa? d) Calcule a densidade do material que compõe o tronco. Exercício 3 A massa de um objeto é 80 g e o seu volume 100 cm3. a) Calcule a sua densidade. b) Sabendo que a densidade da gasolina é 0,70 g/cm3, e a densidade da água 1,00 g/cm3, verifique o que acontece quando o objeto é mergulhado em cada um desses líquidos. Exercício 4 Por que um navio pode boiar? O que podemos dizer sobre a densidade média do navio, quando comparada com a densidade da água do mar? Gabarito das aulas 1 a 21 Aula 2 - A culpa é da barreira! 1. São grandezas físicas: calor, energia, trabalho, temperatura, força e aceleração. Não são grandezas físicas: cansaço, rapidez, curiosidade, honestidade, pontualidade e coragem. Observação: As palavras calor, energia, trabalho e força denominam grandezas físicas, mas são utilizadas também no cotidiano com diferentes significados. Portanto, podem ser ou não grandezas físicas, dependendo do sentido que cada um dá ao termo. 2. I- a) 0,03m; b) 0,0025 m; c) 800 m; d) 0,36576 m; e) 0,1143 m; f) 18,288 m; g) 804.500 m. II- a) 5.000 mm; b) 400 mm; c) 300 cm; d) 120 cm; e) 0,150 km; f) 180 km. III- a) 0,012 kg; b) 20.000 kg; c) 22,7 kg. IV- a) 700 g; b) 8.200 g; c) 0,300 t; d) 630 t. V- a) 90 s; b) 8.100 s; c) 19.333 s. VI- a) 0,5m3; b) 69.000 cm3. 3. a) 76,2 mm; b) 172,72 mm; c) 6,35 mm; 7,9375 mm. 4. Não, porque a unidade de velocidade é km/h e não km. Na placa deveria estar escrito: “velocidade máxima 80 km/h”. 5. 38,43 mm. 6. 3,78432 X 1018m ou 3.784.320.000.000.000.000 m. Aula 3 - Bola pra frente! 1. O deslocamento do carro foi de 160 km e o tempo gasto para isso foi 2 h. vmédia = Dx Dt = 160 km 2 h = 80 km / h O deslocamento pode ser escrito: então, Dx = vmédia × Dt, então, em 4 horas o deslocamento será: Dx= 80 · 4 = 320 Km Por outro lado, Dt = Dx v . então, para um deslocamento de 400 km, o tempo gasto será: Dt = 400 km 80 km / h = 5 h média 2. O gráfico mostra que a posição no instante zero vale 60 m. Por outro lado, no instante t = 6 s, vale 120 m. Então, a velocidade média vai ser: l vmédia = Dx Dt = 120 m - 60 m 6 s - 0 s = 60 m 6 s = 10 m / s então a função horária da posição será: x = 60 + 10 · t l Fazendo-se t = 10 s, teremos, na função horária: x = 60 + 10 · 10 = 160 m l Fazendo-se x = 180 m, teremos, na função horária: 180 = 60 + 10 · t 180 - 60 = 10 · t 120 = 10 · t t = 12 s 3. A velocidade é dada diretamente no gráfico 10 cm/s. A área do retângulo nos fornece o deslocamento. Área = (base) · (altura) = (20 s - 4 s) · 10 cm/s = 16 s · 10 cm/s = 160 cm 4. Para determinarmos a função horária, precisamos, inicialmente, calcular a velocidade média. Escolhendo-se os instantes t = 2 s, e t = 4 s, teremos: v = vmédia = 25 m - 15 m 4 s - 2 s = 10 m 2 s = 5 m /s Nesse caso, a Tabela 7 não nos fornece, diretamente, o valor da posição no instante t = 0, ou seja x0. Porém, podemos usar, mais uma vez, a definição de velocidade média e fazer: vmédia = 20 - x0 3 - 0 = 5 20 - x0 = 15 -x0 = 15 - 20 x0 = 5 Então a função horária vai ficar: x = 5 + 10 · t No instante t = 12 s, teremos: x = 5 + 10 · 2 = 125 m Para a posição x = 80 m, teremos: 80 = 5 + 10 · t 80 - 5 = 10 · t 75 = 10 · t t = 7,5 s 5. Usando o referencial que apresentado na Figura 19, podemos ver que: x0 = 50 km e v = 50 km/h Então, a função horária vai ser: x = 50 + 50 t Como Meiópolis está na posição x = 100 km, teremos: 100 = 50 + 50 · t 100 - 50 = 50 · t 50 = 50 · t t = 1 h v = 50 km/h São João das Almas Meiópolis São Pedro da Aldeia REFERENCIAL (A RÉGUA) 100 km 150 km 200 km0 km 50 km 50 km Neste problema, pede-se a altura máxima da moeda e o tempo de subida e descida. Sabemos o valor da velocidade inicial (v0) e da aceleração (g). Para obter a altura máxima, usamos a função horária da posição: y = y0 + v0 · t + 1 2 gt2 que se transforma em y = 0 + 10t - 5t2 Mais uma vez, para descobrirmos a altura máxima, precisamos do tempo que a moeda demorou para chegar lá. Para isso, usamos uma informação que não foi dita no problema, mas que é fundamental ter na memória: a velocidade no ponto mais alto é zero. Com esta informação podemos usar a função horária da velocidade: v = v0 + at ou seja, 0 = 10 - 10t que nos dá o tempo de subida da moeda t = 1 s Com essa informação, podemos voltar à equação horária da posição e calcular a altura máxima: ymax = 10(1) - 5(1) 2 = 5 m Para descobrirmos o tempo total de subida e descida, lembramos que tudo o que sobe desce e no mesmo tempo. Tentão temos mais uma informação que sempre precisamos lembrar: que o tempo de subida é igual ao tempo de descida, ou seja, o tempo total de subida e descida será t @ 2 s Podemos mostrar isso usando a própria equação horária da posição: 0 = 0 + 10t - 5t2 t = 2 s 4. Quem cairá primeiro: o ovo ou a galinha? Aqui é necessário saber se a resistência do ar é desprezível ou não; se não for desprezível, obviamente a galinha baterá suas asas, o que amortecerá sua queda, enquando que o ovo cairá quase em queda livre. Mas, se a resistência do ar for desprezível, ou seja, se Ernesto estiver na Lua, onde não há atmosfera, certamente o ovo e a galinha teriam caído juntos. Essa é uma típica experiência muito rara de ser observada. Aula 6 - Empurra e puxa 1. Quando penduramos dois ovos na mola, estamos exercendo, aproximada- mente, uma força de 1 newton na mesma. Nessa situação, a deformação vale 2 cm. a) Temos: k = F Dx Þ k = 1 newton 2 cm = 0,5 N / cm b) Dx = F k = 12 newtons 0,5 N /cm = 24cm c) F = k · Dx = 0,5 · 24 = 12 N 2. a) b) c) F2 = 82 + 62 F2 = 64 + 36 = 100 F = 10 Kgf 3. F2 = 202 + 102 + 2 · 20 · 10 · cos 45º F2 = 400 + 100 + 400 · 0,71 F2 = 500 + 284 F = 28 kgf 4. Fx = F · cos 45º = 50 · 0,71 = 35,5 Kgf Fy = F · sen 45º = 50 · 0,71 = 35,5 Kgf 5. a) F2 = 302 + 502 + 2 · 30 · 50 · (0,5) F2 = 900 + 2.500 + 1.500 = 4.900 F = 70 kgf 8 kg f 14 k gf 6 kg f 8 kg f 6 k gf 2 kg f 8 kg f 6 kgf 50 kgf y x s s s 8 K gf 6 K gf 2 K gf 10 kgf 45° 20 kgf F b) Vamos colocar a força r F1 no eixo dos X. F1X = F1 F1Y = 0 F2X = F2 · cos 60º = 50 · 0,5 = 25 kgf F2Y = F2 · sen 60º = 50 · 0,87 = 43,3 kgf FX = F1X + F2X = 30 + 25 = 55 kgf FY = F1Y + F2Y = 0 + 43,3 = 43,3 kgf F2 = F 2 X + F 2 Y = (55) 2 + (43,3)2 » 4.900 F = 70 kgf Aula 7 - Um momento, por favor 1. Chamando-se de M1 o momento da força quando ela é aplicada no ponto situado a 15 cm do centro da porca e de M2 o momento quando a distância é 45 cm, teremos: M1 = 100 N · 0,15 m = 15 N · m M2 = 100 N · 0,45 m = 45 N · m 2. MF = F · d · sen 30º MF = 60 N · 0,5 m · 0,5 MF = 15 N · m 3. Como a caixa tem uma massa de 8 kg, seu peso é 8 kgf. Uma vez que o peso da barra é desprezível, as duas únicas forças que irão agir serão o peso da caixa e a força r F . Para haver equilíbrio, a soma dos momentos dessas forças com relação à um ponto (por exemplo o ponto onde a barra se apoia no suporte), deve ser nula. Então, chamando-se de MC o momento do peso da caixa, e de MF o momento da força r F , e admitindo que o sentido horário é o positivo, ficaremos com: MC - MF = 0 ou então, MC = MF 8 kgf · 0,2 m = F · 1 m F = 8 kgf × 0,2 m 1 m = 1,6 kgf Dessa maneira, vê-se que precisamos apenas de uma força de 1,6 kgf, do outro lado da barra. Isso corresponderia a colocar, naquela extremidade, um bloco de massa igual a 1,6 kg. y x F2y F2x F2 F160° Gabarito do exercício proposto durante a aula: Isolamento. Equações dinâmicas Rpacote = mpacote ´ a = 0 = T - Ppacote Rroldana 1 = mroldana 1 ´ a = 0 = T1 + T1 - T Rroldana 2 = mroldana 2 ´ a = 0 = T2 + T2 - T1 Rroldana 3 = mroldana 3 ´ a = 0 = S - T2 - T2 RGaspar = mGaspar ´ a = 0 = PGaspar - T2 Solução do sistema dinâmico T = Ppacote = mpacote ´ g = 1000 N 2 T1 = T Þ T1 = T 2 = 500 N 2 T2 = T1 Þ T2 = T1 2 = 250 N Ou seja, a força que Gaspar faria (T2) é um quarto do peso do feno. Aula 10 - Ou vai ou racha! 1. Se a lataria dos automóveis fosse muito lisa, ou seja, não tivesse alguma rugosidade, a tinta dificilmente se prenderia na lataria, escorreria e não se fixaria. Por isso, é preciso que a lataria dos automóveis não seja absolutamente lisa, para que a tinta possa se fixar. Mas ela não pode ser muito rugosa, pois nesse caso, muita tinta ficaria presa na lataria e haveria um desperdício muito grande de tinta. É necessário que a rugosidade da lataria do automóvel seja exata para que a tinta absorvida esteja na quantidade adequada. PGaspar P T1 T2 T2 F2 T ST1 T1 T2 T2 T ρ T2 2. Para resolver problemas com Leis de Newton, usamos os três passos reco- mendados: a) Isolamento As forças que agem sobre a caixa são: l O peso (P), que está sempre apontando para o solo. l A força normal, que sempre está perpendicular à superfície sobre a qual a caixa está em contato. l E a força de atrito que sempre aponta para o sentido contrário à tendência do movimento, ou seja, se a caixa tende a deslizar para baixo, a força de atrito aponta para cima, no sentido de impedir o movimento. Vamos então para o segundo passo: b) Equações dinâmicas Sabemos que a caixa não vai se mover no sentido do eixo y, o que nos leva à seguinte equação: N - P cos q = 0 e, no eixo x, supondo que o objeto está prestes a se mover, ou seja, que a força de atrito nesse momento é máxima, teremos: P sen q - Fat = 0 Ou seja, podemos saber quanto vale tanto a força normal, quanto a força de atrito. c) Solução das equações dinâmicas Podemos escrever então: N = P cos q e Fat = P sen q Calculamos o ângulo máximo de inclinação, usando a equação que relaciona a força de atrito e a força normal. Fat = m · N , temos m = Fat N = P sen q P cos q = tg q m = tg q Portanto, o valor do coeficiente de atrito estático é igual à tangente do ângulo de inclinação do plasso. Sabemos que m = 0,5 e, consultando uma tabela,vemos que o ângulo cuja tangente é 0,5 é de 26,5º. Essa operação é feita com o auxílio de uma máquina de calcular, usando a função inversa da tangente, que é o arco tangente (arctan (0,5) = 26,5º). Com isso, conseguimos saber o valor de todas as forças envolvidas no problema e determinar o ângulo para o qual a caixa começa a deslizar sobre a rampa. P N fat P cos P sen x y P N fat x y 3. Vamos realizar os três passos para resolver problemas de Dinâmica: a) Isolamento Como podemos ver na Figura, temos as seguintes forças: l O Peso (P), que está sempre apontando para o solo. l A Força normal, que sempre está perpendicular à superfície sobre a qual a caixa está em contato. l E a força de atrito que sempre aponta para o sentido contrário à tendência do movimento, ou seja, se a caixa tende a deslizar para baixo, a força de atrito aponta para cima, no sentido de impedir o movimento. Vamos ao segundo passo: b) Equações dinâmicas Como no exercício anterior, sabemos que a caixa não vai se mover no sentido do eixo y, temos então: N - P cos q = 0 e, no eixo x, o operário obteve o ângulo para o qual a caixa está prestes a se mover, ou seja, força de atrito nesse momento é máxima. P sen q - Fat = 0 Com as equações, vamos ao terceiro passo: c) Solução das equações dinâmicas N = P cos q = mg cos q = 100 · 10 · cos (26,5º) N = 8.949 N e Fat = P sen q = mg sen q = 100 · 10 · sen (26,5º) Fat = 4.462 N como Fat = m · N m · N = 4.462 Þ m = 4.462 8.949 Þ m = 0, 5 Como podemos ver, esse exercício é quase o mesmo que o anterior, mas, nesse caso, em vez de fornecermos o coeficiente de atrito estático para obtermos o ângulo, fornecemos o ângulo para obter o coeficiente de atrito estático. P N fat P cos 26,5° P sen 26,5° 26,5° 26,5° x y 3. W(parede) = DEC (bala) Þ FR · 0,10 · cos 180º = 0 - 1 2 · 0,05 · 4002 FR · 0,10 · (-1,0) = - (4.000) Þ FR = 40.000 N 4. P = Fv Þ 60 · 735,5 = 1.471 · v Þ v = 30 m/s 5. Pútil = Wutil Dt Þ Wútil = EC final - eC inicial = 1 2 · 1.000 · 302 - 0 = 450.000 J Pútil = 450.000 ¸ 10 = 45.000 W = 45.000 ¸ 735,5 = 61 cv (aproximadamente) r = PU PT ´ 100% Þ 25% = 61 PT ´ 100% Þ PT = 244 cv Aula 15 - Quanto mais alto o coqueiro, maior é o tombo 1. EP (cozinha) = mghcozinha = 5 ´ 10 ´ 1,8 = 90 J EP(térreo) = mgh(cozinha + térreo) = 5 ´ 10 ´ 31,8 = 1.590 J 2. P = W/Dt Þ Para Dt = 1,0 s Þ W = EP = mgh = 60 ´ 10 ´ 12 = 7.200 J P = W ¸ Dt Þ P = 7.200 ¸ 1,0 Þ P = 7.200 W 3. E fornecida pelos alimentos = 100 g · 400 cal g = 100 g · 400 · 4, 2 J g E fornecida pelos alimentos = 168.000 J Aula 16 - Conservação, o xis da questão! 1. O Barco Viking, quando está no ponto mais alto de sua trajetória, tem uma altura de 20 metros e está com velocidade zero. Nós queremos saber qual é a velocidade do barco no ponto mais baixo da trajetória. Como o sistema é conservativo, pois estamos desprezando a força de atrito, a energia mecânica se conserva, ou seja, podemos escrever: DEm = 0 Em final - Em inicial = 0 (EC final + Ep final ) - (EC inicial + Ep inicial) = 0 1 2 mvfinal 2 + mghfinal Φ ΗΓ Ι Κϑ - 1 2 mvinicial 2 + mghinicial Φ ΗΓ Ι Κϑ = 0 Nesse caso, chamaremos de situação inicial o momento em que o barco está no ponto mais alto da trajetória, e de situação final, o momento em que o barco está no ponto mais baixo da trajetória. Substituindo os valores dados e consideran- do que, no início, a velocidade era zero e a altura 20 m e no final a altura será zero e a velocidade é o que queremos descobrir: 1 2 mvfinal 2 + m × 10 × 0ΦΗΓ Ι Κϑ - 1 2 m × 02 + m × 10 × 20ΦΗΓ Ι Κϑ = 0 O fato de não conhecermos a massa do barco não é problema, pois, como todos os termos da equação estão multiplicados pelo valor da massa e a equação é igual a zero, podemos dividir os dois membros da equação pelo valor da massa, fazendo com que ela desapareça da equação, ou seja, não é necessário conhecer a massa do barco. 1 2 mvfinal 2 - m × 10 × 20 = 0 1 2 vfinal 2 - 200 = 0 Þ vfinal 2 = 400 vfinal = 20 m/s Essa é a velocidade que o barco terá no ponto mais baixo de sua trajetória. 2. Como o atrito do ar é desprezível, a energia mecânica se conserva, ou seja: DEM = 0 Em f - Em i = 0 (EC final + EP final ) - (EC inicial + EP inicial) = 0 1 2 mvfinal 2 + mghfinal Φ ΗΓ Ι Κϑ - 1 2 mvinicial 2 + mghinicial Φ ΗΓ Ι Κϑ = 0 Agora, substituindo os valores que já conhecemos na equação: 1 2 m × 0 + m × 10 × 3 - 1 2 mvinicial 2 - m × 10 × 0 = 0 v2 inicial = 30 · 2 = 60 chegamos ao resultado: v inicial @ 7,75 m/s que é a velocidade mínima necessária para que o tijolo chegue até às mãos do pedreiro que está no segundo andar. 3. Como não há atrito, usamos a expressão da conservação da energia mecânica de sistemas conservativos, ou seja DEM = 0 Em final - Em inicial = 0 (Ec final + Ep final ) - (Ec inicial + Ep inicial) = 0 Só que, nesse caso, a energia potencial não é do tipo gravitacional e sim do tipo elástica. Sabemos que toda energia cinética se transforma em energia potencial elás- tica, pois o lutador veio correndo e se atirou contra as cordas, esticando-as até atingirem sua máxima distensão. Nesse momento, a energia cinética é nula. Vamos tomar, como momento inicial, o instante em que o lutador está com velocidade de 5 m/s e, como final, o instante em que as cordas estão esticadas e o lutador com velocidade zero; como não há atrito, a energia mecânica se conserva, isto é, DEM = 0 (0 + EP elástica) - 1 2 mvinicial 2 + 0ΦΗΓ Ι Κϑ = 0 Assim a energia potencial elástica armazenada na corda será: EP elástica = 1 2 mvinicial 2 = 1 2 × 100 × 52 EP elástica = 1.125 Joules 4. Neste exercício, sabemos que existe atrito entre a criança e o escorregador. Também nos é dado o valor do trabalho realizado pelo atrito. Sabemos que a energia mecânica não se conserva nesse caso e que sua variação é igual ao trabalho realizado pela força de atrito. Assim, podemos usar: DEM = - 600 Em final - Em inicial = - 600 (EC final + EP final) - (EC inicial + EP inicial) = 600 1 2 mvfinal 2 + 0 - (0 + m · g · h inicial) = - 600 1 2 50 × vfinal 2 - 50 · 10 · 2 = - 600 vfinal 2 = 2 50 (1.000 - 600) vfinal 2 = 16 vfinal = 4 m/s 5. Se não houvesse atrito, a conservação da energia mecânica seria: DEM = 0 Em final - Em inicial = 0 (EC final + EP final) - (EC inicial + EP inicial) = 0 O que nos dá um valor para velocidade de 20 m/s, que é uma velocidade muito superior ao caso em que houve atrito. 2. Quando o pescador começa a andar para a esquerda, a canoa começa a se mover para a direita. Podemos então considerar que, inicialmente, a veloci- dade, tanto da canoa como do pescador, era zero. Como a canoa deslizou suavemente sobre a superfície lisa do lago, podemos considerar o atrito desprezível; ou seja, na ausência de forças externas que interfiram no movi- mento da canoa e do pescador, podemos usar a conservação da quantidade de movimento: mC · vC depois + m P · vP depois = mC · vC antes + mP · vP antes Essa será, então, a velocidade da canoa depois que pescador começou a andar. Não esquecer que, como estamos tratando com vetores, o sentido do movimento é fundamental; então, como o pescador e a canoa tomam sentidos opostos, suas velocidades deverão ter sinais opostos. 90 · vC depois + 60 · (- 0,5) = 90 · 0 + 60 · 0 90 · vC depois = 30 Þ v C depois = 30 90 @ 0,3 m/s 3. Podemos usar a conservação da quantidade de movimento, pois não há ação de nenhuma força externa ao sistema (foguete + combustível). Assim, temos que: m F · vF depois + mC · vC depois = mF · vF antes + mC · vC antes 5.000 vF depois + 500(-100) = 5.000 ´ 0 + 500 ´ 0 5.000 vF depois - 5.000 = 0 vF depois = 5.000 5.000 vF depois = 1 m/s que é a velocidade do foguete, após a queima do combustível. Não esquecer que, como estamos tratando com vetores, o sentido do movimento é fundamental; então como o foguete e a chama tomam sentidos opostos, suas velocidades deverão ter sinais opostos. Aula 19 - O ar está pesado 1. A altura da coluna seria 10 vezes menor. 2. a) 53 cmHg; b) aproximadamente 0,7 atm; c) 0,7 x 105 N/m2 ou 7,0 x 104 N/m2. 3. a) Volume 1.000 cm3, peso 15 N, densidade 1,5 g/cm3 ou 1,5 · 103 kg/m3; b) basta dividir o peso pela área de cada face: AA = 50 cm 2 ou 5 · 10-3 m2 e pA = 3.000 N/m 2, AB= 100 cm 2 ou 1 · 10-2 m2 e pB = 1.500 N/m 2 AC = 200 cm 2 ou 2 · 10-2 m2 pC = 750 N/m 2. 4. a) h (m) p (N/m2) p (atm) 0 1,01 x 105 1,01 20 3,07 x 105 3,07 40 5,13 x 105 5,13 60 7,19 x 105 7,19 80 9,25 x 105 9,25 100 11,31 x 105 11,31 b) c) O resultado é uma reta, pois a pressão varia linearmente com a profundidade do líquido. Aula 20 - No posto de gasolina 1. A altura da coluna h = 30 cm, portanto, a pressão será: p = patm + pcoluna = 76 cmHg + 30 cmHg = 106 cmHg. Fazendo uma regra de três simples, obtém-se facilmente p = 19,8 lb/pol2 que é, aproximadamente, 1,40 kgf/cm2. 2. Basta medir o desnível entre as duas caixas, que é 29 metros. Portanto a pressão com que a água chega à caixa do edifício será igual à pressão da coluna de água mais a pressão atmosférica que está acima dela. P = Patm + dgh = 1,01 · 10 5 + 1.000 · 10 · 29 = 3,9 · 105 N/m2 ou 3,9 atm 3. a) Pelo Princípio de Pascal, a variação de pressão é igual nos dois pistões. Assim, o peso da galinha (Pgalinha) vai provocar uma variação de pressão no líquido, variação essa que dá origem a uma força capaz de segurar o elefante e, portanto, igual a seu peso(Pelefante). Dessa forma, podemos escrever: D pelefante = D pgalinha Pelefante/A1 = Pgalinha/A2 então: A1 A2 = 16.000 20 = 800 b) Se A2 = 10 cm 2, então A1 = 800 · 10 = 8.000 cm 2, ou 0,8 m2. 0 5,13 7,19 9,25 11,31 3,07 1,01 20 40 60 80 100 p (atm) h (m) Aula 21 - Eureka! 1. a) b) Ela parecerá mais leve devido ao empuxo: fora da água existem só o peso da pedra e a força do braço, mas, dentro da água, existe o empuxo que ajuda a empurrar a pedra para cima. 2. a) b) O empuxo pode ser calculado pela expressão: E = dL · Vd · g, então, E = 1.000 ´ 0,5 ´ 10 E = 5.000 N c) Como o tronco está equilibrado, o peso é igual ao empuxo, portanto: P = E = 5.000 N Mas P = m · g, assim a massa do tronco será m = 5.000/10 = 500 kg. d) Finalmente, a densidade é a massa dividida pelo seu volume: d= m v = 500 kg /m3 3. a) d= m v = 80 g 100 cm3 = 0,8 g /cm3 b) Quando o objeto for mergulhado na gasolina, ele afundará, pois sua densidade é maior do que a da gasolina, ao passo que, se ele for mergulhado na água, vai boiar, pois sua densidade é menor do que a da água. 4. Um navio pode boiar graças ao empuxo, que é uma força vertical, dirigida para cima, que aparece quando o navio está na água e que é capaz de sustentar o peso do navio. Para poder boiar no mar, a densidade média do navio deve ser menor do que a densidade da água do mar. E P P E=