Prof. Sérgio Ricardo de Brito Gadelha 1 COMBINAÇÃO LINEAR

Uma expressão da forma a1u1 + a2u2++anun = w, onde a1, a2, . . . ,an são escalares e u1,
u2,,un e w, vetores do ℜn chama-se combinação linear.

Em outras palavras, sejam V um espaço vetorial real ( ou complexo), v1, v2,...,vn ∈ V e a1,...,an, números ℜ (ou complexos).

Então o vetor nnvavavav +++=21 é um elemento de V, e dizemos que “v” é uma combinação linear de v1,...,vn.

W = [ v1,...,vn] é chamado subespaço quando por v1,...,vn.

Por exemplo, os vetores e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) geram o espaço vetorial R3, pois qualquer vetor (a, b, c) ∈ R3 pode ser escrito como combinação linear dos ei, especificamente:

(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)

Sendo u = (x, y, z) se o sistema de equações lineares resultante da combinação linear não for consistente, isto é, não tiver solução, então o vetor não pode ser escrito como combinação linear, logo não gera um espaço.

Exemplos.:

y) que seja combinação linear de .21vev

2)Sejam os vetores 1v = (1, -3, 2) e 2v

= (2, 4, -1).

O vetor v = (-4, -18, 7) pode ser escrito como combinação linear de 21 evv .

(-4, -18, 7) = a1.(1, -3, 2) + a2.(2, 4, -1)

Seja um vetor espaço vetorial. Considere um subconjunto } v,,v { A 1n φ. O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. O subespaço diz-se gerado por .,,1nvv →→ Ou seja:

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S = G (A) ou ]v,,v [ S1n

Os vetores v1,...vn são chamados geradores de S e A é o conjunto gerador.

Exercícios:

1)Os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1) geram o espaço vetorial ℜ2, pois qualquer (x, y) ∈ ℜ é combinação linear de i e j.

(x, y ) = x.(1, 0) + y.(0, 1) = (x, y) [ i, j ] = ℜ2

2)Os vetores →i=(1, 0, 0), →j =(0, 1, 0) e →k =(0, 0, 1) geram o espaço vetorial ℜ3. (x, y, z) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1)

Obs.: i, j e k são chamados de vetores unitários, e também podem ser representados por e1, e2, e3.

3)Seja V = ℜ3. Determinar o subespaço gerado por v1 = (2, 1, 3). [ v1 ] = { (x, y, z) ∈ ℜ2 / (x, y, z) = a.(2, 1, 3), a ∈ ℜ }

} y / 3y) y, (2y, { S ou }3y z e2y x / z) y, (x, { S

3.y z 3.a z a y

Obs.: O subespaço gerado por um vetor v, ∈ ℜ3, v1 ≠ 0, é uma reta que passa pela origem.

4)Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A = { (1, 0, 0) , (0, 0, 1) }.

y = 0
z = a2

(x, y, z) = (a1, 0, 0) + (0, 0, a2) = (a1, 0, a2) ∴ x = a1

S = { (x, y, z) ∈ ℜ3 / y = 0 }

S = { (x, o, z) ∈ ℜ3 / x, z ∈ℜ } Obs.: S é o plano xz

Definição. Seja V um espaço vetorial e 12vvvn,,,∈ V. Dizemos que o conjunto A={

12vvvn,,.....,} é linearmente independente (LI) ou os vetores 12vvvn,,.....,são L.I. se a

equação: 1122120ααααααvn+++=∈,,.......ℜ implica que
1 2 0α α α= = = =n .
No caso em que exista algum indiremosquevvvα≠012{,,,} é linearmente
dependente (LD) ou que os vetores v1, v2,, vn são L.D.

Prof. Sérgio Ricardo de Brito Gadelha 3 Em outras palavras, seja um conjunto de vetores de mesma dimensão:

nN R∈v 2,...,,1 Se a única combinação linear que resulte no vetor nulo

0vvv 21 =+++ Nααα21

for a trivial, isto é, aquela em que os coeficientes são nulos: 0...21 ==== Nααα então dizemos que os vetores vN são linearmente independentes. Por outro lado, se houver alguma combinação que produza o vetor nulo, em que os coeficientes não se anulam, então dizemos que os vetores vN são linearmente dependentes.

Exemplos em R3:

•v1 e v2 são dependentes se estão na mesma linha.

•v1, v2, v3 no mesmo plano são dependentes.

•v1, v2, v3 e v4 são sempre dependentes em R3. Exercícios: Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.

1)A = { (3, 1), (1, 2) }, V = ℜ2

2)A = { (1, 2, 0), (0, 1, 1), (2, 4, 0) } a1(1, 2, 0) + a2(0, 1, 1) + a3(2, 4, 0) = (0, 0, 0)

L.D. éA Logoqualquere 0

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a1(2, 4) + a2(6, 12) = (0, 0)
0

3)A = { (2, 4), (6, 12) }

adoIndetermin Sistema0124

Obs. 1: Sempre que o conjunto A tiver elementos múltiplos, teremos um conjunto L.D.

4)A = { (1, 0, 2), (2, 0, 4) } é L.D.

Obs. 2: Para gerar o V = ℜ2 é preciso de 2 vetores

Para gerar o V = ℜ3 é preciso de 3 vetores Para gerar o V = M2X2 é preciso de 4 vetores

Prof. Sérgio Ricardo de Brito Gadelha 5 Prof. Sérgio Ricardo de Brito Gadelha 5

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Definição. Se V é um espaço vetorial qualquer e S = {v1, v2,, vn} é um conjunto de vetores em V,

BASES E DIMENSÕES dizemos que S é uma base de V se valerem as seguintes condições:

(a) S é linearmente independente. (b) S gera V.

Se S = {v1, v2,, vn} é uma base de um espaço vetorial V, então cada vetor em V pode ser expresso da
forma v = c1v1 + c2v2 ++cnvn de uma única maneira

Teorema

1. Os vetores v1,,vn são linearmente dependentes se, e somente se, um deles é combinação linear dos

Obs. outros.

2. Se dois vetores v1,,vm, são iguais, digamos v1= v2, então os vetores são dependentes. Pois v1- v2 = 0

3. Dois vetores v1 e v2 são dependentes se, e somente se, um deles é múltiplo do outro. 4. No espaço real R3 a dependência de vetores pode ser escrita geometricamente como segue: dois vetores quaisquer u e v são dependentes se, e somente se, estão na mesma reta passando pela origem; três vetores quaisquer u, v e w são dependentes se, e somente se, estão no mesmo plano passando pela origem

Exercícios

1)Verifique se o conjunto B { (1, -1), (0, 1) } é uma base do V = ℜ2:

a1.(1, -1) + a2.(0, 1) = (0, 0) ⇒a1 = 0 a1 = a2 = 0 ⇒ B é L.I.
-a1 + a2 = 0

b)B gera o V = ℜ2 ? Devemos escrever todo e qualquer v ∈ ℜ2 como combinação linear de

(x, y) = a1.(1, -1) + a2.(0, 1) x = a1 ⇒ a1 = x

y = -a1 + a2⇒ a2 = x + y
(x, y) = x.(1, -1) + (x +y) (0, 1)

Prof. Sérgio Ricardo de Brito Gadelha 7 Logo, B gera o ℜ2

2)Verifique se B = { (2, 3), (4, 6) } é uma base do V = ℜ2 . (B é L.D., logo não é base)

3)B = { (1, 0, 1), (0, 0, 1) } é uma base de ℜ3 ? ( Não, pois precisamos de 3 vetores para gerar o ℜ3.)

4)B = { (1, 0), (0, 1) } é uma base de ℜ2 ? (Sim, e é chamada de Base Canônica)

Obs. 1: Sejam e1 = (1, 0, 0,..., 0), e2 = (0, 1, 0,, 0),..., en = (0, 0,...,1).

5)B = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } é uma base de ℜ3 ? (É a base canônica do ℜ3) O conjunto B = { e1, e2,...,en) é uma base de ℜn, chamada de Base canônica do ℜn.

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V = n se existem vetores linearmente independentes e1, e2,, en que geram V. A seqüência {e1, e2, ...,

Definição. Diz-se que um espaço vetorial V é de dimensão finita n ou é n-dimensional, e escreve-se dim en} é então chamada de uma base de V Teorema. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Então, todas as bases de V tem o mesmo número de elementos.

Seja V de dimensão finita n. Então: (i) Qualquer conjunto de n + 1 ou mais vetores é linearmente dependente (i) Qualquer conjunto linearmente independente é parte de uma base, isto é, pode ser estendido a uma base (i) Um conjunto linearmente independente com n elementos é uma base.

Exemplo Os quatro vetores em R4 (1,1,1,1), (0,1,1,1), (0,0,1,1), (0,0,01) são linearmente independentes, pois formam uma matriz escalonada. Além disso, como dim R4 = 4, eles formam uma base de R4.

Dimensão é o número de elementos necessários para gerar um espaço vetorial. Estes elementos, formam uma base que gera o espaço V.

Ex.: V = ℜ2 então dim. V = 2

V = ℜ3 então dim. V = 3

V = M2x3 então dim. V = 6 V = M2x1 então dim. V = 2 V = Mmxn então dim. V = m . n

TEOREMA: Se dim V = n, qualquer conjunto de “n” vetores L.I. formará uma base de V.

Diz-se que uma base {v1, v2,, vn} de V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais.

Exemplos: {(1,2,-3), (3,0,1), (1,-5,-3)} é uma base ortogonal do R3.

Mostre que, o conjunto B = { (1, 0), (2, -1) } é uma base ortogonal em relação a esse produto interno. (1, 0).(2, -1) = 2 –2 +0 +0 = 0 ⇒ B é ortogonal.

Uma base B = {v1, v2,, vn} de um espaço vetorial euclidiano V é ortonormal se B é ortogonal e

todos os seus vetores são unitários, isto é: jipara1 jipara0 v ji .

Exemplo.: B = { (1, 2), (-2, 1) } Produto interno usual (1, 2).(-2, 1) = 0 ∴-2 +2 = 0 (1, 2).(1, 2) = 5 ≠ 1 → B não é base ortogonal

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Se um conjunto B é uma base ortogonal então para que tenhamos uma base ortonormal, basta normalizar cada elemento de B, isto é:

Exemplo1: Seja B = { (1, 2), (-2, 1) } uma base ortogonal em relação ao produto interno usual. Construir uma base B’ ortonormal.

Exemplo. 2:

O conjunto B = { (1, 3), (3, a) } é uma base ortogonal do V = ℜ2 em relação ao produto interno usual.

a)Determine o valor de “a”. b)A partir de B, construa uma base B’, ortonormal.

aaavu

Exemplo. 3:

A partir de )2,1(1=v construa uma base B ortogonal do V = ℜ2 em relação ao produto interno usual. A partir de B, construa uma base B’ ortonormal.

x +2y = 0∴ x = -2y ⇒ 2v
Podemos tomar ∀ y ≠ 0. Por exemplo, y = -1 e x = 22v

=(2, 1)

Logo, B = { (1, 2), (2, 1) }

De um espaço vetorial euclidiano V e uma base qualquer B = {v1, v2,, vn} desse espaço, é

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt possível a partir dessa base, determinar uma base ortogonal, considere-se: w1 = v1 e determina-se o valor de α de modo que o vetor 122wvwα−= seja ortogonal a w1, ou seja;

Prof. Sérgio Ricardo de Brito Gadelha 10 w wv ⋅ wv vw

⋅ −= assim w1 e w2 são ortogonais.

Analogamente determina-se w3, onde 1 1 wv w wv vw ⋅ ortogonais. O processo que permite a determinação de uma base ortogonal a partir de uma base qualquer chama-se processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Para se obter uma base ortonormal, basta

normalizar cada wi, fazendo i i i w

Dessa forma, dado um espaço euclidiano V e um a base qualquer B = { nvvv ,...,,21} desse espaço, é possível, a partir dessa base, determinar uma base ortogonal de V.

onde)..()..(

w uuuvuuvuvvvw w wuuuvuuvvw w wuuuvvwvw

→ base ortonormal.

Bibliografia Recomendada

1. SIMON, Carl & Blume, L. Matemática para Economistas. Tradução: Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2004. 2. BRAGA, Márcio Bobik; KANNEBLEY JÚNIOR, Sérgio; ORELLANO, Verônica I.F. Matemática para economistas. São Paulo: Atlas, 2003. 3. BOLDRINI, José Luiz. Álgebra linear: 591 problemas resolvidos. 442 problemas suplementares. Ed. Harbra, 2004. 5. LIPSCHUTS, Algebra linear. Ed. PEARSON EDUCATION DO BRASIL LTDA, 2004 6. DAVID, C. Lay. Álgebra Linear e suas Aplicações. Editora: LTC, Rio de Janeiro, 1999. 7. KOLMAN, Bernard. Introdução a Álgebra Linear com Aplicações. Ed. Prentice-Hall do Brasil, 2000. 8.ANTON, Howard. Elementary Linear Algebra. 3a ed. John Wiley & Sons, 1981.

Recomendo que vocês exercitem seus conhecimentos na lista de exercícios referente ao “Ponto 49”. Um forte abraço e até o nosso próximo encontro.

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