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Prof. Dr RogØrio de Aguiar

Chefe do Departamento de MatemÆtica CCT - UDESC - JOINVILLE

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Professores Integrantes do Projeto de lgebra I

Graciela Moro - Coordenadora

Ivanete Zucki

Joªo de Azevedo

Jorge Mota

Marnei Luis Mandler Milton Procópio de Borba

RogØrio de Aguiar

SumÆrio

1.1 Tipos de matrizes3
1.2 Operaçıes com matrizes6
1.3 Matriz escalonada8
1.4 CÆlculo da inversa10
1.5 Determinantes1
1.6 Sexta lista de exercícios14
1.7 Sistema de equaçıes lineares16
1.7.1 Introduçªo16
1.7.2 Sistemas e matrizes17
1.7.3 Soluçªo de um sistema por matriz inversa20
1.8 SØtima lista de exercícios21
1.9 ApŒndice24
1.9.1 CÆlculo da inversa por adjunta24
1.9.2 Regra de Cramer25

1 MATRIZES E SISTEMAS 3

2.1 Introduçªo29
2.2 Subespaços36
2.3 Intersecçªo de dois Subespaços Vetoriais38
2.4 Combinaçªo Linear40
2.5 DependŒncia e IndependŒncia Linear41
2.6 Subespaços Gerados43
2.7 Soma de Subespaços45
2.8 Base e Dimensªo de um Espaço Vetorial46
2.8.1 Base46
2.8.2 Dimensªo49
2.8.3 Dimensªo da Soma de Subespaços Vetoriais50
2.8.4 Coordenadas50
2.9 Mudança de Base51
2.10 A Inversa da Matriz de Mudança de Base56
2.1 Oitava lista de exercícios57

2 ESPAOS VETORIAIS 29 1

3.1 Propriedades das Transformaçıes Lineares6
3.2 Transformaçıes Lineares e Matrizes72
3.2.1 Transformaçªo linear associada a uma matriz72
3.2.2 Matriz de uma transformaçªo linear74
3.3 Composiçªo de transformaçıes lineares79
3.4 A Inversa de uma transformaçªo linear79
3.5 Nona lista de exercícios82

3 TRANSFORMAÕES LINEARES 62 4 OPERADORES LINEARES 87

4.1 Transformaçıes especiais no plano e no espaço87
4.2 Propriedades dos operadores inversíveis109
4.2.1 Matrizes Semelhantes1
4.3 Operadores autoadjuntos e ortogonais112
4.4 DØcima lista de exercícios113
4.5 Autovalores e Autovetores115
4.5.1 Autovalores e autovetores de uma matriz116
4.5.2 Polinômio Característico117
4.6 DØcima primeira lista de exercícios123

5 APLICAÕES 126

5.3 Aplicaçıes de autovalores e autovetores na engenharia civil133

Capítulo 1 MATRIZES E SISTEMAS

1.1 Tipos de matrizes

De niçªo: Chama-se matriz de ordem m n a uma tabela de m n elementos dispostos em m linhas e n colunas:

B; C;

Notaçªo: Costumamos denotar as matrizes por letras latinas maiœsculas:A; Matriz coluna: É a matriz de ordem m 1:

Observaçªo: Denotaremos freqüentemente a matriz nula por 0: Matriz quadrada: É a matriz de ordem n n:

Os elementos da forma aii costituem a diagonal principal Os elementos aij em que i + j = n + 1 constituem a diagonal secundÆria.

Matriz diagonal: Matriz diagonal Ø a matriz quadrada A = [aij] onde aij = 0 para i 6= j :

0      0
   ...
0   ... 0

Matriz identidade: É a matriz diagonal I onde diag(I) = f1; ;1g: Notaçªo: In representa a matriz identidade de ordem n:

   ...
0 0   0

Matriz transposta: Dada uma matriz A = [aij]m n ; podemos obter uma outra matriz AT = [bij]n m ; cujas linhas sªo as colunas de A; isto Ø, bij = aji: AT Ø denominada a transposta de A:

6 1 Matriz simØtrica: Uma matriz quadrada S = [aij] Ø simØtrica se ST = S

Matriz anti-simØtrica: Uma matriz quadrada A = [aij] Ø anti-simØtrica se AT = A:

Matriz triangular superior: A matriz quadrada A = [aij] que tem os elementos aij = 0 para i > j Ø chamada matriz triagular superior.

Matriz triangular inferior: A matriz quadrada A = [aij] que tem os elementos aij = 0 para i < j Ø chamada matriz triangular inferior.

1.2 Operaçıes com matrizes

Multiplicaçªo por escalar: Seja A = [aij]m n e k um nœmero real de nmos k A por

Propriedades: i) k(A+B) = kA+kB

cij = nX

Observe que o nœmero de colunas de A deve ser igual ao nœmero de linhas de B:

Propriedades da matriz transposta i) (A+B)T = AT +BT i) ( A)T = AT; onde Ø um nœmerto real i) (AT)T = A iv) (AB)T = BTAT

Matriz inversa: Dada uma matriz quadrada A = [aij]; se existir uma matriz B que satisfaça AB = BA = I diz-se que B Ø a inversa de A e denota-se

Dizemos que uma matriz A Ø inversível (nªo singular) se existe a matriz inversa A 1, caso contrÆrio dizemos que a matriz A Ø nªo inversível (singular).

Algumas propriedades importantes: I) A Ø nªo singular se o determinante de A Ø diferente de zero. A Ø singular se determinante de A Ø igual a zero. i) Se A admite inversa (detA 6= 0) esta Ø œnica i) Se A Ø nªo singular, sua inversa A 1 tambØm Ø, isto Ø, se detA 6= 0 entªo detA 1 6= 0: A matriz inversa de A 1 Ø A: iv) A matriz identidade I Ø nªo singular (pois detI = 1) e I 1 = I v) Se a matriz A Ø nªo singular, sua transposta AT tambØm Ø. A matriz inversa de AT Ø (A 1)T; isto Ø , (AT) 1 = (A 1)T; dai concluimos que se detA 6= 0 entªo detAT 6= 0: vi) Se as matrizes A e B sªo nªo singulares e de mesma ordem, o produto AB Ø uma matriz nªo singular. Vale a relaçªo (AB) 1 = B 1A 1:

Matriz ortogonal: Uma matriz M; quadrada, cuja inversa conicide com sua transposta Ø denominada matriz ortogonal. Portanto M Ø ortogonal se M 1 = MT; ou seja,

PotŒncia de uma matriz: Dada uma matriz quadrada A a matriz Ap =

1.3 Matriz escalonada

De niçªo: Uma matriz m n Ø linha reduzida à forma escada, ou escalonada, se: a) O primeiro elemento nªo nulo de uma linha nªo nula Ø 1: b) Cada coluna que contØm o primeiro elemento nªo nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas nªo nulas (isto Ø,. daquelas que possuem pelo menos um elemento nªo nulo) d) Se as linhas 1;:::;p sªo as linhas nªo nulas, e se o primeiro elemento nªo

Operaçıes elementares linha: Sªo trŒs as operaçıes elementares sobre as linhas de uma matriz.

2o) Multiplicaçªo da i esima linha por um escalar nªo nulo k (Li ! kLi).

Se A e B sªo matrizes m n, dizemos que B Ø linha equivalente a A; se B for obtida de A atravØs de um nœmero nito de operaçıes elementares sobre as linhas de A: Notaçªo A B:

Teorema: Toda matriz A de ordem m n Ø linha equivalente a uma œnica matriz linha-reduzida à forma escada.

Exemplo 21 : Dada a matriz obtenha uma œnica matriz B na forma escada linha equivalente a matriz A:24 2 1 3 4 5 6

Exemplo 2 Dada a matriz A obtenha uma matriz na forma escada equiva-

Posto de uma matriz: Dada uma matriz Am n, seja Bm n a matriz linha reduzida à forma escada, linha equivalente à matriz A: O posto de A, denotado por p, Ø o nœmero de linhas nªo nulas de B e a nulidade de A Ø n p, onde n Ø o nœmero de colunas de A e p Ø o posto de A:

Exemplo 23 : Encontrar o posto e a nulidade das matrizes:

portanto o posto de A Ø 3 (o nœmero de linhas nªo nulas da matriz B) e a nulidade Ø n p = 4 3 = 1 (n Ø o numero de colunas da matriz A e p Ø o posto de A)

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