Baixe teste - hipoteses e outras Teses (TCC) em PDF para Estatística, somente na Docsity! Embora com pouco tempo, devido à preparação da 3ª edição do livro Estatística – ESAF, preocupado com os candidatos que farão a prova para Fiscal-RS em 19/08, resolvi, mesmo em cima da hora, fazer um resumo sobre o assunto Teste de Hipóteses (que servirá também para outros concursos), contando com a colaboração do meu filho, Márcio Bello, na digitação. TESTE DE HIPÓTESES Definição: É uma regra de decisão utilizada para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base em elementos amostrais. Hipóteses: Teremos sempre duas hipóteses, H0 (Agá-zero), que é a hipótese nula ou hipótese probanda e H1 ou HA (hipótese alternativa). Geralmente a hipótese alternativa (H1) representa a suposição que o pesquisador quer provar, sendo a hipótese nula (H0) formulada com o expresso propósito de ser rejeitada. Conseguindo rejeitar H0, a hipótese alternativa terá de ser aceita, conseguindo então o pesquisador provar o que queria. A hipótese nula é sempre a hipótese a ser examinada. Se a aceitarmos, implicitamente estaremos rejeitando H1 e se rejeitarmos H0, então não podemos rejeitar H1, devendo esta ser aceita. Tipos de erro: Dois tipos de erro podem ser cometidos num Teste de Hipóteses: Erro Tipo I (α) A hipótese nula é verdadeira e o pesquisador a rejeita. Erro Tipo II (β) A hipótese nula é falsa e o pesquisador a aceita. Qual dos dois tipos de erro é o mais grave e que deve ser evitado? Façamos uma analogia com a decisão de um Juiz de Direito: o que será mais grave? Condenar um inocente ou absolver um culpado? É claro que será mais grave a condenação de um inocente. Rejeitar a hipótese nula sendo ela verdadeira equivale a condenar um inocente, logo o Erro Tipo I é o mais grave e deverá ser minimizada a probabilidade deste tipo de erro ser cometido. Essa probabilidade chama-se Nível de Significância do Teste, dado por α. Já a probabilidade de β do Erro Tipo II não pode ser calculada, a menos que se especifique um valor alternativo para μ. O poder ou potência do teste é dado por (1 − β). Podemos resumir as possibilidades do Teste num quadro: Se a Hipótese Nula (H0) é: VERDADEIRA FALSA ACEITA H0 DECISÃO CORRETA COMETE O ERRO TIPO II (β) O P ES Q U IS A D O R REJEITA H0 COMETE O ERRO TIPO I (α) DECISÃO CORRETA Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 1 TIPOS DE TESTE DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA: 1) Bicaudal ou Bilateral H0: μ = μ0 H1: μ ≠ μ0 Onde: μ é a média populacional e μ0 é o valor suposto para a média populacional. Gráfico do teste bilateral: Onde: R.A. é a região de aceitação (da hipótese nula) e R.C. é a região crítica ou região de rejeição. A fronteira entre essas regiões será dada por um valor tabelado (Tabela da Distribuição Normal ou da Tabela da Distribuição t-Student) como veremos mais adiante. 2) Teste Unicaudal ou Unilateral à direita H0: μ = μ0 H1: μ > μ0 Gráfico do teste: Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 2 2) Para o teste unilateral à direita: Se ZCALC < ZTAB, aceitaremos H0. Se ZTAB < ZB CALC, rejeitaremos H0. ZTAB 3) Para o teste unilateral à esquerda: Se –ZTAB < ZB CALC, aceitaremos H0. -ZTAB Se ZCALC < ZTAB, rejeitaremos H0. B O mesmo raciocínio vale para os casos em que usarmos a Distribuição t-Student, com a diferença que compararemos tCALC com tTAB. B Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 5 Para facilitar, vamos fazer o seguinte roteiro (receitinha de bolo, passo a passo) para resolução de questões de Teste de Hipóteses e a seguir aplicá-lo em alguns exemplos: 1º Passo: Pelo enunciado do problema, estabelecer a Hipótese Nula (H0) e a Hipótese Alternativa (H1); 2º Passo: Também pelos dados do enunciado, definir a distribuição a ser utilizada (Normal ou t-Student); 3º Passo: Utilizando a Tabela Normal Padrão ou a Tabela t-Student, encontrar o valor de ZTAB ou tTAB; B 4º Passo: Fazer o desenho da curva, plotando no eixo das abscissas o valor tabelado, que será a fronteira entre a área de aceitação (RA) e a(s) área(s) de rejeição (RC-Região Crítica); 5º Passo: Calcular a estatística teste (ZCALC ou tCALC) utilizando uma das fórmulas dadas anteriormente. 6º Passo: Comparar o valor calculado com o valor tabelado e concluir pela aceitação ou rejeição da Hipótese Nula. Antes de partimos para os exemplos, vamos praticar um pouco o uso das tabelas com os principais níveis de significância (α) geralmente adotados: I) Na Tabela da Distribuição Normal Padrão: I.1) Para o Teste Bilateral: I.1.a) Se α = 1%, teremos α/2 = 0,5% = 0,005 (para cada lado) e a área de aceitação será de 99% (0,99), sendo 0,495 à esquerda e 0,495 à direita do ponto máximo da curva (a Distribuição Normal é simétrica). Verificando a Tabela Normal, temos 0,4949 para uma abscissa de 2,57 e 0,4951 para uma abscissa de 2,58. Logo, por interpolação, a abscissa correspondente à área de 0,495 será a média das duas abscissas, ou seja, 2,575. Mas para facilitar, vamos adotar, no teste bilateral, quando α = 1%, ZTAB = 2,58. Vejamos o gráfico da curva normal: 2 α 2 α Nesse caso, H0 só será aceita se o valor de ZCALC estiver entre -2,58 e 2,58. Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 6 I.1.b) Se α = 5%, teremos α/2 = 2,5% = 0,025 (para cada lado) e a área de aceitação será de 95% (0,95), sendo 0,475 à esquerda e 0,475 à direita. Verificamos, na Tabela Normal, que uma área de 0,475 corresponde à abscissa 1,96. Logo, no teste bilateral, quando α = 5% então ZTAB=1,96. Vejamos o gráfico da curva normal: 2 α 2 α Aceitaremos H0 se: -1,96 < ZCALC < 1,96 I.1.c) Mesmo raciocínio para α = 10%, α/2 = 5% = 0,05 (para cada lado). Área de aceitação igual a 0,90, sendo 0,45 à esquerda e 0,45 à direita. Na Tabela Normal uma área de 0,4495 corresponde à abscissa 1,64 e uma área de 0,4505 corresponde à abscissa de 1,65. Logo, com precisão, a abscissa seria 1,645. Mas para facilitar vamos adotar no teste bilateral, quando α = 10%, ZTAB = 1,64. Vejamos o gráfico da curva normal: 2 α 2 α Aceitaremos H0 se: -1,64 < ZCALC < 1,64 Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 7 II.2) Agora, se o teste for unilateral, com o mesmo tamanho de amostra, e o mesmo α, não poderemos pegar diretamente a interseção de α=0,05 com ϕ = 24, pois o valor fornecido é para um teste bilateral. Teremos que pegar a interseção de ϕ = 24 com α = 0,10, pois nesta tabela (bilateral), α = 0,05 corresponde a 0,025 de cada lado. Teremos que pegar α = 0,10, que corresponderá a 0,05 de cada lado. Assim a célula interseção de α = 0,10 com ϕ = 24 fornecerá tTAB = 1,7109. Vejamos o gráfico: Aqui, neste resumo foi mostrado apenas o Teste de Hipóteses para a Média, que é o assunto explicitamente descrito no Edital para Fiscal-RS e os princípios básicos do que seja um Teste de Hipóteses. Mas há outros tipos de Testes de Hipóteses, como: Teste de Hipóteses para a Proporção, Teste de Hipóteses para a Variância, Teste de Hipóteses para a Diferença entre Médias e outros tipos de Teste de Hipóteses. Os mesmos princípios descritos no início deste resumo aplicam-se aos demais testes. O que muda é a forma de cálculo da estatística teste e as tabelas a serem utilizadas. Por exemplo, no Teste de Hipóteses para a Variância, a Tabela a ser utilizada é a da Distribuição de Qui-Quadrado; já no Teste de Hipóteses para a Proporção utilizamos apenas a Tabela da Distribuição Normal, já vista aqui. Em outra oportunidade poderei vir a falar especificamente dos outros Testes de Hipóteses, mas com a tarefa facilitada por este resumo. Quem o entender bem, não terá dificuldade em entender os demais Testes. Vamos aos exemplos: Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 10 EXEMPLO 1: Uma amostra de 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu: X = 42,3 e S = 5,2. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ > 40. Resolução: Seguindo o roteiro, temos: 1º passo: H0: μ = 40; H1: μ > 40 (teste unilateral à direita); 2º passo: a amostra é grande (n ≥ 30). Logo, usaremos a Tabela Normal; 3º passo: o teste é unilateral, com α = 0,05. Logo, para uma área de 0,45, teremos 64,1ZTAB = ; 4º passo: desenhar a curva, plotando ZTAB; α 5º passo: calcular a estatística teste. n S XZCALC μ− = = 36 2,5 403,42 − = 6 2,5 3,2 = 2,5 8,13 = 2,65. 6º passo: ZCALC > ZTAB. B Conclusão: ao nível de significância de 5%, REJEITO H0: μ = 40. Logo, μ > 40. EXEMPLO 2: Uma amostra de 20 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu: X = 53,4 e S = 7,5. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ = 50. Resolução: Hipóteses: H0: μ = 50; H1: μ ≠ 50 (teste bilateral); A amostra é pequena (n < 30) e σ (desvio padrão populacional) é desconhecido. Logo, a distribuição a ser utilizada é a t-Student, com n = 20 ⇒ ϕ = 19 e α = 0,05. Consultando a tabela, encontraremos 0930,2tTAB = . Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 11 Desenhando a curva, temos: n S XtCALC μ− = = 20 5,7 504,53 − ≅ 2,027. 2 α 2 α Como: -tTAB < tB CALC < tTABB, ao nível de significância de 5% ACEITO H0: μ = 50. EXEMPLO 3: Uma indústria produz lâmpadas cuja duração segue uma distribuição N (800;1.600). Testar a hipótese de que μ = 800 contra a alternativa de μ ≠ 800 se uma amostra aleatória de 30 lâmpadas tem um tempo médio de vida de 788 horas. Adotar α = 0,05. Resolução: As hipóteses já estão no enunciado: H0: μ = 800; H1: μ ≠ 800 (teste bilateral); Além da amostra ter 30 elementos, a variância populacional é conhecida, σ2 = 1.600 ⇒ σ = 40. α = 0,05 ⇒ 025,0 2 = α , pois o teste é bilateral. Para uma área de 0,475, 96,1ZTAB = . Desenhando a curva, temos: 2 α 2 α 30 40 800788 n XZCALC − = σ μ− = ≅ −1,64. Como: -ZTAB < ZB CALC < ZTABB, ao nível de significância de 5% ACEITO H0: μ = 800. Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 12 n XZCALC σ μ− = = 400 4 4,2525 − = 20 4 4,0− = 4 8− = −2. Como ZCALC < ZTAB, ao nível de significância de 5%, REJEITO H0: μ = 25,4. Logo, o diâmetro médio é inferior a 25,4mm. EXEMPLO 7: Um ensaio de tensões de ruptura de 6 cabos produzidos por uma companhia mostrou a tensão média de ruptura de 7.750kg e o desvio padrão de 145kg, ao passo que o fabricante declara que aquela tensão média é de 8.000kg. Será verdadeira a declaração do fabricante, ao nível de significância α = 0,05? Resolução: Neste problema as hipóteses não estão explícitas no enunciado e aqui deveremos interpretá-lo. O que o pesquisador irá querer provar? Que o fabricante está falando a verdade ou que está mentindo? Falamos anteriormente que H1 representa a suposição que o pesquisador quer provar, sendo H0 formulada com o expresso propósito de ser rejeitada. Logo, as hipóteses serão: H0: μ = 8.000 (afirmação do fabricante); H1: μ < 8.000 (suposição do pesquisador); A amostra é pequena (n = 6) e σ desconhecido. Logo, t-Student, com ϕ = 5 g.l. e α = 0,05. Mas o teste é unilateral à esquerda e a tabela é bilateral. Portanto o nosso t tabelado será a célula interseção de ϕ = 5 com α = 0,10, ou seja: 015,2tTAB −=− . n S XtCALC μ− = = 6 145 000.8750.7 − = 196,59 250− ≅ − 4,223. α = 0,05 Como tCALC < tTAB, ao nível de significância de 5%, B REJEITO H0: μ = 8.000. Portanto o fabricante está mentindo, pois μ < 8.000. Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 15 EXEMPLO 8: Suponhamos que em indivíduos normais quanto à visão, a pressão intra-ocular seja uma variável aleatória normalmente distribuída com média 20 e variância 4 (em unidade de mm de mercúrio). Um cientista, querendo por à prova a sua hipótese de que o glaucoma causa um aumento tencional, mediu as pressões de 16 pacientes portadores de glaucoma, obtendo uma média igual a 24. O cientista deve ou não manter sua hipótese, ao nível de significância α = 0,005? Resolução: Novamente, vamos interpretar o enunciado. O que o cientista quer provar? Que o glaucoma causa aumento da pressão. Logo, a hipótese alternativa (que o cientista quer provar) é que a média é superior a 20. Portanto, as hipóteses são: H0: μ = 20; H1: μ > 20 (teste unilateral à direita); Temos: n = 16; X = 24; μ = 20; σ2 = 4; α = 0,005. A amostra é pequena, mas a variância populacional é conhecida (σ2 = 4) e σ = 2. Portanto, usaremos a Tabela Normal, onde a área de 0,495 (0,995 − 0,500) corresponde a uma abscissa de 2,58. Logo, 58,2ZTAB = . α = 0,005 n XZCALC σ μ− = = 16 2 2024 − = 4 2 4 = 2 16 = 8. Como ZCALC > ZTAB, ao nível de significância de 0,5%, REJEITO H0: μ = 20. Assim, aceito que μ > 20, ou seja, o cientista está correto e deve manter sua hipótese de que o glaucoma aumenta a pressão intra-ocular. Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 16 EXEMPLO 9: Os graus dos alunos de Estatística têm sido baixos, com média de 5,2 e desvio de 1,2. Com um curso de revisão ministrado pelo colega Joselias, pretende-se aumentar o rendimento dos alunos. Entre 36 alunos que freqüentaram tal curso, a média foi de 6,4. Pode-se dizer, ao nível de significância de 8%, que o curso é eficiente? Resolução: Temos n = 36; X = 6,4; μ = 5,2; σ = 1,2; α = 0,08. Hipóteses: H0: μ = 5,2; H1: μ > 5,2 (teste unilateral à direita); Tabela: Normal, pois n = 36 (a amostra é grande). Para α = 0,08 teremos 41,1ZTAB = , abscissa correspondente à área de 0,42 (0,92 − 0,50). α = 0,08 n XZCALC σ μ− = = 36 2,1 2,54,6 − = 6 2,1 2,1 = 6. Como ZCALC > ZTAB, ao nível de significância de 8%, REJEITO H0: μ = 5,2 e aceito que μ > 5,2, ou seja, o curso ministrado pelo professor Joselias é eficiente. EXEMPLO 10: Questão da prova para Analista do BACEN-2005 - Área 4, elaborada pela FCC. Uma amostra aleatória de 9 valores de salários extraída de uma população, considerada normal e de tamanho infinito, apresentou média igual a R$800,00 com um desvio padrão igual a R$120,00. Os registros históricos indicam que a média dos salários da população é igual a R$740,00. Deseja-se testar a hipótese, ao nível de significância α, se o valor da média verificada na amostra difere do valor de R$740,00. Seja H0 a hipótese nula do teste (μ = 740), H1 a hipótese alternativa (μ ≠ 740) e tα/2 > 0 o quantil da distribuição "t" de Student, no nível de significância α, para testes bicudais com 8 graus de liberdade. Sabendo-se que H0 foi rejeitada, tem-se que: Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 17 TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO Extraída do livro “Curso de Estatística”-Jairo Simon da Fonseca & Gilberto de Andrade Martins-Editora Atlas Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 20 TABELA DA DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT Extraída do livro “Curso de Estatística”-Jairo Simon da Fonseca & Gilberto de Andrade Martins-Editora Atlas Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 21