Baixe Física atômica e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS – UFAL JOSÉ EDSON CAVALCANTE DA SILVA FÍSICA MODERNA: CAPÍTULO 7: FÍSICA ATÕMICA MACEIÓ – AL DEZ/2010 2 JOSÉ EDSON CAVALCANTE DA SILVA FÍSICA MODERNA: CAPÍTULO 7: FÍSICA ATÔMICA MACEIÓ – AL DEZ/2010 Trabalho de Monografia: resumo e discussão sobre os capítulos 7 e 8 do livro Física Moderna – Typler, solicitado pela Prof. Francisco Fidelis, como requisito de conclusão da Disciplina Física Moderna I. 5 2. INTRODUÇÃO Aplicando a teoria quântica para os sistemas atômicos, compreendemos que a equação de Schrödinger verifica solução exatamente para o átomo de hidrogênio. A importância de considerarmos o átomo de hidrogênio é que suas considerações atômicas superam átomos simples, aproximando os seus conceitos de ondas dos átomos mais complicadas. O sucesso da equação de Schroedinger no campo da física atômica deve-se ao estudo da interação dos elétrons entre si e com o núcleo atômico, expressando bastante ênfase com os seus níveis de energia, os comprimentos de ondas e as intensidades de seus aspectos, podendo ser calculados através de métodos de aproximação e computacionais. A equação de Schroedinger foi resolvida pela primeira vez em 1924 em resolução para o átomo de hidrogênio. O estudo do átomo de hidrogênio é destacado no estudo da teoria atômica por ser mais complicado do que os sistemas constituídos de duas partículas, estudo esse que se caracteriza como sistemas movendo-se no espaço tridimensional sob a influência de uma atração coulombiana mútua. O movimento angular é um exemplo desse tipo de sistema. Segundo Bohr, trata-se de um conjunto elétron-núcleo com um sistema de dois corpos em movimento com um centro da massa em repouso, com massa reduzida, por , onde m é a massa do elétron e M, a massa do núcleo. A energia potencial do sistema dependerá da posição radial do elétron em relação ao núcleo, dada por , para o sistema elétron-núcleo quando mantido ligado por uma força de atração coulombiana entre as cargas - e e + Ze. Negativo (-), por se tratar de um problema de força central, onde veremos mais adiante. Nestas condições, a dependência radial da energia potencial, o problema possui uma simetria esférica, tratada na solução da equação de Schrödinger, em que discutiremos qualitativamente as características importantes destes resultados, que através de argumentos tão simples, tornaremos plausíveis e de grande importância os resultados obtidos. Portanto, é nesse campo da física Atômica que encontraremos satisfação em abordar tópicos imprescindíveis para o estudo da Teoria Quântica para sistemas atômicos. 6 3. CAPÍTULO I EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER EM COORDENADAS ESFÉRICAS Inicialmente tratamos o átomo de hidrogênio como uma única partícula, logo um elétron se movendo com energia cin.p2/me e energia potencial v(r) = -zke 2/r, pois segundo a teoria de Bohr, o fator z é considerado o numero atômico, que para o hidrogênio é 1. Devendo levar em consideração o movimento do núcleo. Nestas condições, a equação de Schroedinger no espaço tridimensional é representada pela equação: . A energia potencial depende do radial r = (x2+y2+z2) 1/2, que nas coordenadas esféricas, r, θ, Ø, estão relacionados com x, y e z, por z = r cósθ, x = senθ cosØ e y = r senθ cosØ. Nestas condições, a transformação da equação de Schroedinger em coordenadas esféricas é pelo seguinte resultado: Equação esta que não foi difícil para Schroedinger resolvê-la, por ser bem similar a outras equações diferenciais parciais relacionadas à Física Clássica. Com relação à ψ, devemos lembrar que no caso ψ(x, y, z, t) é um estado estacionário por se relacionar a uma densidade de probabilidade independente do tempo. 7 4. CAPITULO II QUANTIZAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR E ENERGIA NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO A importância de discutir a quantização do momento angular e da energia na solução da equação de Schroedinger é compreender a origem e interpretação dos números quânticos n, l e m, mediante as formas matemáticas das funções de onda do átomo de hidrogênio. Começamos separando as variáveis escrevendo a função de onda ψ(r, θ, Ø) como produto de um a variável a partir de uma equação diferencial parcial. Assim escrevemos ψ (r, θ, Ø) = R(r)ƒ(θ)g(Ø), em que R depende de r, ƒ depende de θ e g depende de Ø, que para as equações diferenciais parciais podem ser transformadas em três equações diferenciais ordenarias, R(r), ƒ(θ) e g(Ø), uma para cada função. A energia potencial aparece somente na equação para R(r), considerada equação radial. Nestas condições, o requisito de que a função de onde seja bem comportada, de modo que seja continua e possa ser normalizada, introduz três números quânticos, cada qual associado a uma das três variáveis. Com isso, o numero quântico associado a Ø é m e está relacionado com a componente z do momento angular, dado por Lz = mħ. Para g(Ø), o valor de Ø está restrito entre Ø = 0 e Ø = 360°. Com isso, a condição de contorno de Ø leva a condição quântica na componente z do momento angular, associando a um campo magnético externo a fim de observar a quantização desta componente z (eixo z coord. Ø). O numero quântico associado a θ é chamado l e está relacionado com a magnitude do momento angular e está relacionado com a magnitude do momento angular L, dado por . A solução das partes angulares da equação de Schrödinger leva à quantização do momento angular L e da componente LZ. De modo análogo à mecânica clássica, quando V depende de r, a força é dirigida para a origem, afastando-se dela, e o momento angular L é constante, em que no momento angular de Bohr para o átomo de hidrogênio, é o postulado da quantização do momento angular que leva a valores discretos de energia. Os resultados corretos da equação de Schrödinger, nesse caso, diferem do postulado de Bohr. Muito embora a componente Z do momento angular seja um múltiplo inteiro de ħ, diferente para a magnitude do momento angular, onde em , l é inteiro. 10 5. CAPITULO III FUNÇÕES DE ONDA DO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO As funções de anda que satisfazem a equação de Schroedinger para o átomo de hidrogênio são funções de r, θ, Ø. A dependência em Ø da função de onda é eimØ , baseada na função de Le gendre. Considerando a dependência radial é da forma de: . Onde a0 é o primeiro raio de Bohr e Lnl é um polinominal de Laguerre. Nestas condições as funções de onda para o atomo de hidrogênio é escrita por: . Onde Rnl e Cnln é uma constante de normalização. Vemos que a função de onda depende dos números quânticos n, l e m, devido as condições de contorno em R(r), ƒ(θ) e g(Ø). Com a energia depende somente do valor de n. nestas condições para qualquer valor de n, há m valores de l; e para cada valor de l há (2 l +1) possível valores de m. exceto para o nível de menor energia, há muitas funções de onda diferentes à mesma energia. Logo, o estado de menor energia, fundamental, tem n = 1. Portanto l e m são ambos nulos e p potencial de Laguerre L00 e a função de onda é: . Onde C100 é determinado por normalização: . Com isso, , considerada a probabilidade de encontrar o eletron no volume dt é ψ*ψdt. 11 6. CAPITULO IV SPIN DO ELÉTRON Entendemos que quando uma linha espectral do hidrogênio é examinada com alta resolução ela mostra uma estrutura fina. Embora o cálculo relativístico de Summerfeld de acordo com o modelo de Bohr, concorde com as medidas dessa estrutura fina dessa para o hidrogênio, onde prevê menos linhas do que em outros átomos. A fim de explicar esta estrutura e esclarecer as dificuldades com a explicação quântica da tabela periódica, W. Pauli sugeriu que o elétron tem um quarto numero quântico, além de n, l e m. Nestas condições, os números quânticos surgem das condições de contorno de alguma coordenada, e que para Pauli esperava esta o quarto número quântico para a coordenada temporal numa teoria relativística, mas a idéia não era procedente. Portanto, além da explicação da estrutura fina e da tabela periódica, essa proposta de Assim devemos rever a ligação entre o momento angular e o momento magnético de um sistema carregado. Se o sistema de partículas estiver rodando, o momento magnético e proporcional a seu momento angular; resultado conhecido Teorema de Larmar. Tendo M, a massa da partícula e carga q, movendo-se num circulo de raio r com velocidade e freqüência ƒ = /2r. O momento angular da partícula é L = Mr. Já o momento magnético de uma corrente circular é dada por: Onde a corrente elétrica é dada por: Porém, se q for positiva, o momento magnético é dado por: Aplicando-se esse resultado para o átomo de hidrogênio, temos para a magnitude e componente z do momento magnético. e . Para µB, magnéton de Bohr. Portanto, percebemos que a quantização do momento angular implica quantização dos momentos magnéticos. Quando colocada uma barra magnética num campo magnético B, há um torque τ = µ×B que tende a alinhar o magneto com o 12 campo B. Se o magneto estiver girando em torno do seu eixo, o efeito do torque é fazer o eixo do spin em torno da direção d campo externo. Mudando a orientação do magneto sob o ângulo dθ, o trabalho é: Dw = τ dθ = µBsenθdθ = d(-µBcosθ) = d(- µ.B), a energia potencial, U = -µ.B, e, na direção z, U = -µzB. O efeito usado por Stern e Gerlach, em 1992, para medir as orientações dos momentos magnéticos dos átomos de prata, experiência essa, repetida por Phipps e Taylor, usando átomo de hidrogênio em 1927, considerando o campo magnético não homogêneo, onde a força sobre um pólo será maior ou menor que sobre o outro, dependendo das orientações. Com isso, havendo força resultante no magneto. Portanto, na experiência de Stern-Gerlach, átomos provenientes de um forno são colimados, passados através de um campo magnético não-homogêneo e detectados numa placa coletora, e é ai que um magneto experimenta uma força resultante que depende da sua orientação. Quando a experiência era realizada com átomos de prata ou de hidrogênio, existem duas linhas. A quantização do momento magnético do elétron em duas orientações no espaço é chamada quantização espacial. Por essa experiência, o resultado apresenta de fato de que s não é um número inteiro como o número orbital l. A exemplo do modelo de Bohr para o átomo, a imagem clássica é útil na direção de resultados de cálculos quânticos. Assim, escrevemos a relação entre a componente z do momento angular J, e a componente z do momento magnético: . Onde g é chamada de razão giromagnética. Em conseqüência das funções de onda do átomo de hidrogênio não é completa porque não é incluído o spin do elétron. As funções de onde o átomo de hidrogênio são caracterizada pelo número quântico spin ms, que pode ser +1/2 ou -1/2. Em geral, o estado fundamental do átomo de hidrogênio é uma combinação linear das funções de onda: . 15 9. CAPITULO VII ESTADOS EXCITADOS E ESPECTROS DOS ÁTOMOS ALCALINOS Para entender o aspectro atômico é necessário compreender os estados excitados dos átomos. Considerando um átomo de muitos elétrons, o estudo mé mais complicado para o hidrogênio. Um estado excitado de um átomo envolve uma mudança de estado de qualquer um elétron ou mais elétrons. Porém, mesmo no caso de menor complicação, a mudança no estado do elétron pode causar uma mudança de energia dos outros. No entanto, há casos onde o efeito é desprezivel e os níveis de energia podem ser calculados de maneira simples de um elétron mais um cerne estável. Modelo esse, que fuciona bem para os átomos alcalinos: Li, Na, K, Rb e Cs; apresentando aspectros ópticos similares ao do hidrogênio. A diferença entre a excitação de um elétron do cerne e a excitação eletron mais externa é o que simplifica o processo. Considerando o sódio que tem um cerne de neônio e um elétron 3smais externo, a energia de ionização seria a mesma que a do elétron n = 3 no hidrogênio Na: K5 = 2, L5 = 2, LP = 6 e MS = 1. Portanto, o espectro óptico do sódio deve ser devido as transições envolvendo somente o elétron mais externo. Transição essa que envolve o cerne de elétrosn produzindo linhas espectrais na região do raio X do espectro eletromagnético. E os níveis de energia espectros de outros átomos alcalinos são semelhantes àqueles para o sódio; o nível de energia para o átomo de potássio consiste de um cerne de orgânico mais um elétron mais externo. 16 10. CAPITULO VIII ESTADOS EXCITADOS E ESPECTROS DE ÁTOMOS DE DOIS ELÉTRONS Neste caso dos estados excitados e espectros de átomos de dois elétrons, fazemos uma pequena análise em que os níveis de energia e espectros ópticos sã mais complicados para átomos com mais de um elétron na camada externa; destacando os níveis de energia para o hélio e os alcalinos terrosos, que são átomos citados na segunda coluna da tabela periódica, em que apresentam um cerne de elétrons mais dois elétrons ma camada s mais externa. Nestas condições, a maioria dos espectros correspondem à subida de um desses elétrons para uma camada ou subcamada de maior energia, considerados níveis normais. Havendo excitação dos elétrons externos, os níveis de energia são chamados de anômolos. Com isso, por causa do efeito spin-órbita, os três estados de energia, j = l +1, j = l ou j= l - 1, são de energias diferentes, em que há desdobramento de estrutura fina. Portanto, os estados s = 1 são chamados estados tripleto. E a transição, do estado tripleto 3s 3p para o estado do fundamental, que não obedece a essa regra de seleção é chamada linha de intercombinação. Pois consideramos a causa de diferença de energia um efeito quântico particular para os requisitos de simétria da função de onda total das partículas idênticas. A parte espacial da função de onda deve ser anti-simétrica no estado tripleto e simétrica no estado singleto, levando a função da onda total a ser anti-simétrica. No estad espacial anti-simétrico, as partículas tendem a ficar mais afastadas que no estado espacial simétrico. Contudo, a energia de interação em função da repulsão eletrostática é positiva e varia inversamente com a distância de separação, tornando-se maior quando os elétrons estão juntos no estado singleto espacialmente simétrico S=0 do que os elétrons estão afastados no estado tripleto espacialmente anti-simétrico. Portanto, a diferença de energia é da ordem de 1 e V, muito maior que a separação de estrutura fina; verdadeiro para quase todos os átomos de dois elétrons, como He, Be, Mg e Ca, exceto para o mercúrio, pesado para o estudo tripleto. 17 11. CAPITULO IX O EFEITO ZEEMAN Como já sabemos, o estudo de separação das linhas espectrais foi elaborado, pela primeira vez por Zeeman, que tenha uma contribuição de Faraday quando um átomo é colocado num campo magnético externo. Esse efeito que leva o nome de Efeito Zeeman onde mostra que, mesmo sem qualquer conhecimento da estrutura interna do átomo pode-se a magnitude da variação de frequência em função do campo magnético numa carga oscilante. Nestas condições, o resultado é deduzido por: ∆ = ± ½ (e/m)B ou ∆ = 0 onde e é a carga, m é a massa da carga e B o valor do campo externo. Para linha sespectrais, há três componentes criados pelo campo magnético: uma de frequência maior, uma de frequência menor e um ainalterada, permitindo ciência para o estudo as razão carga-massa do elétron. Para isso, desdobramento de uma linha espectral nestas três componentes no campo magnético é chamado Efeito Zeeman Normal, e o desdobramento mais comum em mais de três componentes é chamado Efeito Zeeman Anômalo. No entando, essa terminologia não bem adequada hoje, pois, com o conceito de spineletrônico, ambos os efeitos são bem entendidos. Para conceitos clássicos, o Efeito Zeeman Anômalo é estudado qualitativamente. Então, considerando uma carga pontual q, oscilando ao longo do eixo x, onde na física clássica relacionamos a frequência dessa oscilação com a irradiação da carga. Em seus movimentos, horárioou anti-horário, temos o raio R onde: e a força vem do campo magnético, pode ser relacionado por qB = qR B. Considerando as variações, temos: usando: temos ou . Sendo o campo magnético paralelo ao plano de órbita, ou seja, paralelo à linha original de oscilação, não haverá deslocamento e persistirá a frequência original de oscilação, onde na partícula oscilante as diferenças de comprimento de onda permite