Baixe exercicios halliday e outras Exercícios em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Versão preliminar 6 de setembro de 2002 Notas de Aula de Física 04. MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES .......................................................... 2 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO ................................................................................................ 2 VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA .................................................................. 2 ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA ................................................................ 3 MOVIMENTO NUM PLANO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE........................................................ 4 MOVIMENTO DE PROJÉTEIS.................................................................................................. 4 Tiro de gran alcance ..................................................................................................... 7 MOVIMENTO CIRCULAR E UNIFORME ..................................................................................... 8 MOVIMENTO RELATIVO ...................................................................................................... 10 Coger con la mano una bala disparada! ..................................................................... 10 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ..................................................................................... 11 "19" ............................................................................................................................. 11 22 ................................................................................................................................ 11 30 ................................................................................................................................ 12 41 ................................................................................................................................ 13 47 ................................................................................................................................ 14 49 ................................................................................................................................ 15 72 ................................................................................................................................ 15 80 ................................................................................................................................ 16 83 ................................................................................................................................ 17 88 ................................................................................................................................ 17 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 2 04. Movimento em duas e três dimensões A nossa experiência cotidiana está repleta de exemplos de movimentos bi e tridi- mensionais. Podemos até dizer que são raras as situações com movimentos unidimensi- onais. Quando saímos de nossa cama para a sala, certamente usamos um movimento bidimensional ao chegar até a porta e caminhando pelo corredor para atingir a sala. Num automóvel em movimento, além do movimento bidimensional, segundo os pontos carde- ais, as estradas têm elevações e baixios, de modo que percorremos um caminho tridi- mensional. Posição e deslocamento Vamos considerar um sistema de coor- denadas x-y para analisar o movimento de uma partícula do ponto inicial P ocupado no instante ti até o ponto final Q ocupado no instante tf . A ponto inicial P é localizado pelo vetor posição ir ! e o ponto final Q é localizado pelo vetor posição fr ! . O vetor deslocamento é definido por: if rrr !!! −=∆ y P ir ! r ! ∆ Q fr ! x Onde fiii zkyjxir ˆˆˆ ++= ! ffff zkyjxir ˆˆˆ ++= ! zkyjxir ∆+∆+∆=∆ ˆˆˆ ! Velocidade média e velocidade instantânea A velocidade pode ser entendida como a variação no tempo do vetor deslocamen- to. Definimos a velocidade média em duas ou três dimensões fazendo uma extensão da definição usada para o movimento retilíneo, ou seja: if if tt rr t rv − − = ∆ ∆= !!! ! ou ainda: t zk t yj t xiv ∆ ∆+ ∆ ∆+ ∆ ∆= ˆˆˆ ! Prof. Romero Tavares da Silva Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 5 e para o eixo y: 2 00 2 1 tgtvyy y −=− (2) tgvv yy −= 0 (3) ( )20202 2 yygvv yy −−= (4) Considerando x0 = yo = 0 , na equação (1), temos xv xt 0 = usando esse resultado na equação (2), temos: 2 00 0 2       −    = xx y v xg v xvy ou seja 2 2 00 0 2 x v gx v v y xx y     −    = A equação anterior é do tipo: y = b x - c x2 Se completarmos os quadrados na equação anterior, teremos: 22 24      −−=    − c bxc c by Essa é a equação de uma parábola com a concavidade voltada para baixo, e tem como coordenadas do ponto de altura máxima:        = = c by c bx M M 4 2 2 Considerando que:      = = 000 000 sen cos θ θ vv vv y x encontramos que: Prof. Romero Tavares da Silva Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 6        = = g vy g vx M M 2 sen 2 2sen 0 22 0 0 2 0 θ θ Como a parábola é uma curva simétrica, a distância percorrida ao longo do eixo x , também conhecida como alcance R tem o valor R = 2 xM , ou seja: g vR 0 2 0 2sen θ= com a mesma velocidade inicial e para ângulos de 300 , 450 e 600 . Da trigonometria, podemos encontrar que quando dois ângulos diferentes têm o mesmo seno, a soma desses ângulos deve ser igual a 1800 , ou seja: 2α + 2β = 1800 ⇒ α + β = 900 ∴ α = 900 - β ou seja, dois lançamentos cujos ângulo somam 900 têm o mesmo alcance, como mostra a figura anterior para os ângulos 300 e 600 . Podemos mostrar, então, que o alcance máximo é obtido quando o ângulo de lançamento vale 450 , como mostra a terceira curva da figura anterior. Uma análise mais realista do movimento dos projéteis deverá levar em conta o seu atrito com o ar. Essa força de atrito é considerada como uma função da velocidade. Num caso mais simples, se a força de atrito for considerada proporcional à velocidade de des- locamento, nós podemos avaliar os seus efeitos no movimento dos projéteis no gráfico a seguir. L a n ç a m e n to e m v á r io s â n g u lo s 0 0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5 3 3 ,5 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 x y Prof. Romero Tavares da Silva Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 7 para os mesmos ângulos e velocidades iniciais da figura anterior. Tiro de gran alcance Al final de la primera guerra mundial (1918), cuando los éxitos de la aviación francesa e inglesa dieron fin a las incursiones aéreas enemigas, la artillería alemana puso en práctica, por primera vez en la historia, el bombardeo de ciudades enemigas situadas a más de cien kilómetros de distancia. El estado mayor alemán decidió emplear este nuevo procedimiento para batir la capital francesa, la cual se encontraba a más de 110 km del frente. Hasta entonces nadie había probado este procedimiento. Los propios artilleros alemanes lo descubrieron casualmente. Ocurrió esto al disparar un cañón de gran calibre con un gran ángulo de elevación. Inesperadamente, sus proyectiles alcanzaron 40 km, en lugar de los 20 calculados. Resultó, que estos proyectiles, al ser disparados hacia arriba con mucha inclinación y gran velocidad inicial, alcanzaron las altas capas de la atmósfera, en las cuales, debido al enrarecimiento, la resistencia del aire es insignificante. En este medio poco resistente es donde el proyectil recorrió la mayor parte de su trayectoria, después de lo cual cayó casi verticalmente a tierra. La figura muestra claramente la gran variación que experimentan las trayectorias de los proyectiles al cambiar el ángulo de elevación. Esta observación sirvió de base a los alemanes para proyectar un cañón de gran alcance, para bombardear París desde una distancia de 115 km. Este cañón terminó de fabricarse con éxito, y durante el verano de 1918 lanzó sobre París más de trescientos proyectiles. He aquí lo que después se supo de este cañón. Consistía en un enorme tubo de acero de 34 m de largo y un metro de grueso. El espesor de las paredes de la recámara era de 40 cm. Pesa ba en total 750 t. Sus proyectiles tenían un metro de largo y 21 cm de grueso, y pesaban 120 kg. Su carga requería 150 kg de pólvora y desarrollaba una presión de 5 000 atmósferas, la cual disparaba el proyectil con una velocidad inicial de 2 000 m/seg. El fuego se hacía con un ángulo de elevación de 52' y el proyectil describía un enorme arco, cuyo vértice o punto culminante se encontraba a 40 km de altura sobre la tierra, es decir, bien entrado en la estratosfera. Este proyectil tardaba en recorrer los 115 km, que mediaban entre el emplazamiento del cañón y París, 3,5 minutos, de los cuales, 2 minutos volaba por la estratosfera. Estas eran las características del primer cañón de ultralargo alcance, antecesor de la moderna artillería de este género. L a n ç a m e n to d e p r o j é te i s c o n si d e r a n d o o a tr i to 0 0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5 3 3 ,5 4 0 0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5 3 3 ,5 4 4 ,5 5 x y Prof. Romero Tavares da Silva Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 10 Vale a pena enfatizar que a direção da aceleração é perpendicular ao vetor veloci- dade. Deve-se notar, portanto, que não é necessário existir movimento na direção da aceleração. Movimento relativo Os resultados da observação de um evento dependem do referencial usado pelo observador. Um acontecimento que ocorre no interior de um vagão de um trem tem uma aparência para observadores fixos no interior desse trem e uma outra aparência diferente para observadores fixos nos trilhos. Vamos considerar dois referenciais S e S´ , considerando que S´ move-se com veloci- dade constante u ! em relação a S . Um evento que é localizado no referencial S pelo vetor posição r ! , será localizado no referencial S´ pelo vetor posição ´r ! é esses dois vetores estão relacionados do seguinte modo: turr !!! += ´ A velocidade com que um dado corpo se move é medida de maneira diferente por cada um desses referen- ciais. y y´ A r ! ´r ! tu ! x x´ Se para um observador no referencial S a velocidade é v ! , para um outro obser- vador no referencial S´ a velocidade é ´v ! . Encontramos a maneira como essas veloci- dades estão relacionadas derivando a relação entre os vetores posição: uvvu dt rd dt rd !!!! !" +=∴+= ´´ Coger con la mano una bala disparada! Durante la primera guerra mundial, según información de prensa, a un aviador francés lo ocurrió un caso extraordinario. Cuando iba volando a dos kilómetros de altura, este aviador se dio cuenta que junto a su cara se movía una cosa pequeña. Pensó que sería algún insecto, y, haciendo un ágil movimiento con la mano, lo cogió. Cuál sería su sorpresa cuando comprendió, que lo que acababa de cazar era... ¡una bala de fusil alemana! ¿Verdad que esto recuerda los cuentos del legendario barón Münchhausen, que también aseguró haber cogido una bala de cañón con las manos? No obstante, esta noticia sobre el piloto que cogió la bala, no tiene nada de imposible. Las balas no se mueven durante todo el tiempo con la velocidad inicial de 800- 900 m por segundo, sino que, debido a la resistencia del aire, van cada vez más despacio y al final de su trayectoria, pero antes de empezar a caer, recorren solamente 40 m por Prof. Romero Tavares da Silva Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 11 segundo. Esta era una velocidad factible para los aeroplanos de entonces. Por consiguiente, la bala y el aeroplano podían volar a una misma velocidad, en un momento dado, y, en estas condiciones, aquélla resultaría inmóvil o casi inmóvil con relación al piloto. Es decir, éste podría cogerla fácilmente con la mano, sobre todo con guante (porque las balas se calientan mucho al rozar con el aire). Física Recreativa - Yakov Perelman Solução de alguns problemas Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - Edição antiga "19" Um malabarista consegue manter simultaneamente cinco bolas no ar, todas atin- gindo uma altura máxima de 3m . Encontre o intervalo de tempo entre duas bolas que chegam às suas mãos. Consi- dere que os intervalos são os mesmos para todas as bolas. Vamos considerar t o tempo necessário para que uma bola atinja a altura máxima de h = 3m . Logo T = 2t é o tempo que cada bola permanece no ar até cair de volta nas mãos do malabarista. Se tivéssemos apenas duas bolas, jogaríamos a primeira bola e após T/2 jogaría- mos a segunda bola. Como temos cinco bolas, jogaríamos a primeira, após T/5 jogaríamos a segunda, após T/5 jogaríamos a terceira, após T/5 jogaríamos a quarta e finalmente após T/5 jogaríamos a quinta bola. A seguir pegaríamos a primeira que permaneceu 5T/5 no ar. Vamos chamar de ∆t o intervalo entre a chegada de duas bolas, logo: 5 2 5 tTt ==∆ Considerando que o tempo de descida é o mesmo que o de subida, soltando uma da bolas ela terá um movimento tal que: g ht g htgth 2 5 22 2 2 =∆⇒=∴= = 0,31s Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 22 Um projétil é atirado horizontalmente de uma arma que está 45m acima de um solo plano. A velocidade na saída do cano é 250m/s . a) Por quanto tempo o projétil permanece no ar? Prof. Romero Tavares da Silva Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 12 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 x y h = 45m v0x = 250m/s v0y = 0 2 2 00 gttvyy y −=− ou seja: 2 2gth −=− s g ht 03,32 == b) A que distância da arma, na horizontal, ele cai ao solo? m g hvtvd xx 5,757 2 00 === c) Qual o módulo da componente vertical da velocidade, no instante em que atinge o solo? vy = v0y - gt = - gt = - 10.3,03 = -30,3m/s smvvv yx /82,251 22 =+= Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 30 Uma pedra é lançada para o alto de um penhasco de altura h , com uma velocidade inicial de 42m/s e uma ângulo de 600 , acima da horizontal. A pedra cai 5,5s após o lançamento. Calcule: a) Calcule a altura h do penhasco. v0 = 42m/s θ0 = 600 t = 5,5s v0y = v0 sen600 = 36,37m/s v0x = v0 cos600 = 21m/s 2 2 00 gttvyy y −=− ou seja: 2 0 2 0 gttvh y −=− H h 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 100 200 300 400 500 600 700 800 x y Prof. Romero Tavares da Silva Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 15 Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 49 Um avião mergulhando num ângulo de 530 com a vertical a uma altitude de 730m lança um projétil, que bate no solo 5s depois de ser lançado. a) Qual a velocidade do avião? ( )tvhgttv y 00 2 0 cos2 θ−=−= 0 0 cos 2 θ tg t h v − = = 201,88m/s b) Que distância o projétil per- correu, horizontalmente, du- rante o seu vôo? 14,806sen 000 === θtvtvd x c) Quais eram as componentes horizontal e vertical de sua velocidade no instante em que caiu no solo? 000 senθvvv xx == = 161,22m/s gtvgtvv yy −−=−= 000 cosθ = -121,49 - 49,00 = 170,49m/s Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 72 Uma pedra, presa a um cordão de 1,5m de comprimento, é girada por um menino, fazendo um círculo horizontal a 2m acima do solo. Quando o cordão arrebenta, a pedra é lançada horizontalmente, caindo ao solo 10m adiante. Qual era a aceleração centrípeta da pedra enquanto estava em movimento circular? y0 = h = 1,5m y = 0 r = 1m x0 = 0 x = d = 9m ( )       −−= −= −=− =− 0 2 0 2 0 2 00 00 2 2 yygvv gtvv gttvyy tvxx yy yy y x 0 0,5 1 1,5 2 0 2 4 6 8 10x y θ0 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 16 Usando o conjunto de equações acima para esses problema, encontramos a veloci- dade de lançamento da pedra:     =∴==⇒ = = h gdv v d g htgth tvd x x x 2 2 2 0 0 2 0 = 16,26m/s Mas enquanto a pedra estava presa, ela descrevia um movimento circular e uniforme com aceleração dada por: rh gd r v a x 2 22 0 == = 264,38m/s2 = 26,97g Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 80 A neve cai, verticalmente, com uma velocidade constante de 8m/s . O motorista de um carro, viajando em linha reta numa estrada com uma velocidade de 50km/h , vê os flocos de neve caírem formando um ângulo com a vertical. Qual o valor deste ân- gulo? v = 8m/s u = 50km/h = 13,89m/s    +′= +′= uvv turr !!! !!! v ! v ′ ! v ! u ! u ! Onde v ! é a velocidade da neve caindo observada em um referencial fixo na estra- da, u ! é a velocidade do referencial móvel em relação à estrada e v ′ ! é a velocida- de da neve caindo observada pelo referencial móvel. Em termos vetoriais, teremos: uvv !!! +′= Como neste caso específico os vetores v ! e u ! formam um ângulo reto: 22 uvv +=′ = 16,02m/s v u=θtan =1,73 ∴ θ = 600 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 17 Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 83 Um trem viaja em direção ao sul a 30m/s (em relação ao solo), sob uma chuva que está caindo, também em direção ao sul, sob a ação do vento. As trajetórias das gotas de chuva formam um ângulo de 220 com a vertical, conforme registrado por um ob- servador parado no solo. Entretanto, um observador no trem vê as gotas caírem exatamente na vertical. Determine a velocidade da chuva em relação ao solo. θ = 220 u = 30m/s uvv !!! +′= logo θ θ sen sen uvvu =∴= = 80,08m/s v ! v ′ ! v ! θ u ! u ! Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 88 Uma mulher pode remar um bote a 6,4km/h , em água parada. a) Se ela atravessar um rio com uma correnteza de 3,2km/h , em que direção deve aprumar o bote, para alcançar o local diretamente oposto ao seu ponto de parti- da? vb´ = 6,4km/h vr = 3,2km/h 0605,0 4,6 2,3cos =∴==′= θθ b r v v bv ! ′bv ! rv ! b) Se o rio tiver 6,4km de largura, quanto tempo levará para atravessá-lo? l = 6,4km vb = vb´ senθ l = vb t 0' 60sen.4,6 4,6 sen === θbb v l v lt = 1,15h = 1h 09min c) Suponha que, em vez de atravessar o rio, ela reme 3,2km rio abaixo, e depois volte ao ponto de partida. Qual o tempo gasto nesse percurso?