O problema do isomorfismo e a propriedade do normalizador para grupos adjuntos de um anel, Notas de estudo de Matemática

Baixe O problema do isomorfismo e a propriedade do normalizador para grupos adjuntos de um anel e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado O Problema do Isomorfismo e a Propriedade do Normalizador para Grupos Adjuntos de um Anel Ricardo Alcântara Mesquita Salvador-Bahia Fevereiro de 2009 O Problema do Isomorfismo e a Propriedade do Normalizador para Grupos Adjuntos de um Anel Ricardo Alcântara Mesquita Dissertação de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do t́ıtulo de Mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Thierry Corrêa Petit Lobão. Salvador-Bahia Fevereiro de 2009 Agradecimentos Agradeço a Deus por mais uma conquista, a todos os professores que participaram da minha formação, em especial ao professor Thierry, que me orientou e esteve ao meu lado durante esta última fase do curso, aos colegas que trilharam este caminho comigo e que contribúıram bastante para este momento, a minha famı́lia e a meus amigos por todo incentivo e motivação. Resumo Neste trabalho, trataremos de dois problemas relevantes na teoria de anéis de grupo integrais, que são o Problema do Isomorfismo e a Propriedade do Normalizador. Mostraremos alguns resultados que já foram apresentados na literatura, citando algumas classes de grupos que satisfazem tais problemas e que serão fundamentais para o desenvol- vimento do nosso trabalho. Verificaremos a validade de tais propriedades para os grupos ćırculos; e para os grupos adjuntos obteremos resultados particulares. Apresentaremos resultados parciais necessários para que possamos chegar à validade da propriedade do normalizador considerando o grupo adjunto de um anel com unidade e com caracteŕıstica p, p primo, apresentando a estrutura dos grupos adjuntos nestes casos. Sugeriremos ainda uma possibilidade de extensão para alguns destes resultados, mostrando que estes são válidos para grupos k-adjuntos e k-ćırculos, de forma que a verificação anterior seja obtida como caso particular, fazendo k = 1. Palavras-chave: Anéis de Grupo Integrais; Problema do Isomorfismo; Propriedade do Normalizador; Grupo Adjunto; Grupo Ćırculo. Abstract In this work, we deal with two relevant problems in the theory of integral group rings, namely, the Isomorphism Problem and the Normalizer Property. We shall show some results already presented in the literature, and deal some classes of groups which meet such problems and will be fundamental to the development of our work. We shall check the validity of these properties for circle groups and, for adjoint groups, we get some particular results as well. We shall present partial results in order to obtain the norma- lizer property considering the adjoint group of a ring with unity and characteristic p, p prime, and we also obtain the internal structure of this group. We also suggest possible extensions for some of these results, and we prove that these properties are also valid for k-adjoint and k-circle groups, in this way, the previous results are particular cases with k = 1. Keywords: Integral Group Rings; Isomorphism Problem; Normalizer Property; Adjoint Groups; Circle Groups. 2 os elementos do anel R são quase-regulares, chamamos o grupo G de ćırculo. Considerando R um anel nilpotente, verificamos que o seu grupo adjunto será nilpotente, dáı usando o resultado de K. W. Roggenkamp e L. L. Scott [12], podemos concluir que tais grupos adjuntos representam solução para o (Iso), e ainda que tais grupos representam resposta positiva para a propriedade do normalizador já que esta sempre é válida se considerarmos um grupo nilpotente finito. Quando o grupo adjunto é todo o anel, ou seja, trata-se de um grupo ćırculo, sem a necessidade de supor um anel nilpotente, conseguimos verificar que estes grupos satisfazem o (Iso), o que nos dá um outro caminho para verificarmos um dos resultados de Sandling [13] e ainda conseguimos mostrar que vale a propriedade do normalizador. Estas conclusões para grupos adjunto e ćırculo, no que diz respeito a propriedade do normalizador, são resultados novos da dissertação. Ainda no quarto caṕıtulo, tentamos mostrar a validade da propriedade do nor- malizador para um anel R com unidade e caracteŕıstica prima. Não chegamos a concluir o resultado, mas acreditamos ter dado um grande passo quando conseguimos mostrar que, neste caso, podemos escrever o grupo adjunto de R, G, como um produto semidireto entre o radical de Jacobson J, de R, e um subgrupo B de G, que pode ser escrito como produto direto de grupos gerais lineares, ou seja, o subgrupo B é da forma B ￿ GL(n1, Fq1)× . . .×GL(nk, Fqk), sendo G = J ￿ B. Mostramos ainda que o conjunto dos automorfismos AutU(GL(n, Fq)) = {ϕu : GL(n, Fq) → GL(n, Fq); g ￿→ u−1gu, u ∈ NU(G)} é subgrupo do grupo de automorfismos internos, Inn(GL(n, Fq)), ou seja, o grupo geral linear GL(n, Fq) representa uma solução para a propriedade de acordo com a técnica desenvolvida por Jackowski e Marciniak [7]; dáı, usando o resultado de Li, Parmenter e Sehgal [8], conclúımos que o subgrupo B também será solução para a propriedade do normalizador. E estes são também resultados novos da dissertação. No quinto e último caṕıtulo, sugeriremos possibilidades de generalizações de al- guns dos resultados do caṕıtulo anterior, agora usando grupos k-adjuntos e k-ćırculos definidos a partir da operação x◦k y = x+y+kxy com k inteiro, de forma que se fizermos aqui k = 1, teremos exatamente o que foi obtido antes. Caṕıtulo 1 Definições e resultados preliminares Neste caṕıtulo, citaremos algumas definições e resultados importantes a respeito das Teorias de Grupos, Anéis e Anéis de Grupo que serão utilizados no decorrer do trabalho. Estes resultados poderão ser verificados pelo leitor nas referências de C. P. Milies e S. K. Sehgal [11], S. K. Sehgal [14] ou em qualquer outro livro introdutório de Teoria de Anéis de Grupo. 1.1 Grupos Definição 1.1. Seja H um subgrupo de um grupo G, definimos o normalizador de H em G, NH(G), por NH(G) = {g ∈ G; g−1Hg = H}. Definição 1.2. Um grupo H é chamado nilpotente se contém uma série de subgrupos: {1} = H0 ⊂ H1 ⊂ . . . ⊂ Hn = H tal que cada subgrupo Hi−1 é normal em H e cada quociente Hi/Hi−1 está contido no centro de H/Hi−1, 1 ≤ i ≤ n. O Teorema seguinte dá uma caracterização usual para grupos nilpotentes finitos. Teorema 1.3. Seja G um grupo finito. As seguintes condições são equivalentes: i) G é nilpotente. ii) Todo subgrupo de Sylow de G é normal em G. iii) G é o produto direto de seus subgrupos de Sylow. Definição 1.4. Um grupo G é chamado de grupo metabeliano se contém um subgrupo normal A tal que ambos, A e G/A são abelianos. 3 4 Exemplo 1.5. Seja S3 o grupo das permutações em um conjunto de três elementos e A3 o grupo das permutações pares. Temos que A3 ￿ S3, sendo que A3 e S3/A3 são abelianos, mas S3 não é abeliano, ou seja, S3 é metabeliano. 1.2 Anéis Muitas informações obtemos a respeito de um anel analisando o conjunto dos seus elementos que possuem inverso multiplicativo, chamados unidades e definidos como segue: Definição 1.6. Seja A um anel. O conjunto das unidades de A, denotado por U(A), é dado por U(A) = {x ∈ A : ∃ y ∈ A e xy = yx = 1}. É fácil observar que tal conjunto é um grupo multiplicativo. Sejam I e J dois subanéis de um anel R, o produto denotado por I · J ou IJ é o conjunto de todas as somas finitas ￿ imjm, em que im ∈ I e jm ∈ J . Em particular podemos pensar em R2 = R.R = RR, ou ainda, generalizando, em Rn para algum inteiro positivo n. Podemos então fazer a seguinte definição: Definição 1.7. Dizemos que um anel R é nilpotente, se existe um inteiro positivo n tal que Rn = 0. Exemplo 1.8. Seja T0(n, K) o anel das matrizes triangulares superiores de ordem n, com coeficientes no corpo K e entradas iguais a 0 na diagonal principal. Podemos observar que T n−1 0 (n, K) = 0, ou seja, T0(n, K) é um anel nilpotente. Definição 1.9. Uma álgebra A sobre um corpo K é separável se em qualquer extensão L : K a álgebra A⊗K L é semi-simples (a Jacobson). 1.3 Anéis de Grupo Definição 1.10. Sejam G um grupo e R um anel com unidade. Um anel de grupo, denotado por RG, é o conjunto de todas as combinações lineares formais da forma α = ￿ g∈G agg em que ag ∈ R, g ∈ G e ag = 0 para quase todos os g, isto é, apenas um número finito de coeficientes são diferentes de 0 em cada uma dessas somas, com as seguintes operações: 7 Para uma unidade u do anel de grupo integral ZG temos que ε(u) = ±1, então vemos que U(ZG) = ±U1(ZG). Uma unidade trivial de ZG é um elemento da forma ±g, g ∈ G. A seguinte proposição é um resultado acerca da aplicação definida acima e que será utilizada na demonstração de alguns resultados apresentados adiante. Proposição 1.16. Seja u ∈ U(ZG) tal que u∗u = 1, então, u = ±g, g ∈ G. Definição 1.17. Um isomorfismo ψ : ZG −→ ZH é chamado de Isomorfismo Normali- zado se, para todo elemento α ∈ ZG, temos que ε(α) = ε(ψ(α)) ou, equivalentemente, se, para todo elemento g ∈ G, temos ε(ψ(g)) = 1. Observamos que, se existe um isomorfismo ψ : ZG −→ ZH, então existe também um isomorfismo normalizado entre estes anéis de grupo. De fato, é suficiente considerar uma nova aplicação ξ : ZG −→ ZH dada da seguite forma: para cada elemento α = n￿ i=1 rigi ∈ ZG definimos ξ(α) = n￿ i=1 ε(ψ(gi))−1riψ(gi). (Note que, como g ∈ G é inverśıvel e ε é um epimorfismo, temos ε(ψ(g)) inverśıvel em Z). Podemos ver que ξ é, de fato, um isomorfismo normalizado. Seja Cg a classe de conjugação de g em G, para algum g ∈ G. Seja Ĉg= ￿ x∈Cg x = ￿ x∼g x, denominado a soma de classe da classe Cg, então y−1Ĉgy = Ĉg para todo y ∈ G, o que é precisamente dizer que Ĉg é central em ZG. Alguns resultados de D. Glauberman e D. Passman nos revelam a existência de uma correspondência bijetora entre as classes de conjugação de G e H que preserva algumas caracteŕısticas destas classes, vejamos: Proposição 1.18. Se ψ : ZG −→ ZH é um isomorfismo e Ĉg uma soma de classe em G, então ψ(Ĉg) é uma soma de classes em H, isto é, existe x em H tal que ψ(Ĉg) = Ĉx; valem ainda: i) ψ(Ĉn g ) = Ĉn x para todo inteiro n; ii) o(g) = o(x) e |Cg| = |Cx|; iii) ψ(Ĉg) = Ĉx e ψ(Ĉh) = Ĉy então existem ν e ω em H tais que ψ(Ĉgh) = Ĉxyν = Ĉxωy. (em que yν = ν−1yν e xω = ω−1xω). Observamos que esta correspondência determina uma correspondência entre sub- grupos normais de G e H que, entre outras caracteŕısticas, preserva a ordem destes sub- grupos. Caṕıtulo 2 O Problema do Isomorfismo O Problema do Isomorfismo é uma questão muito importante na teoria dos anéis de grupo, uma vez que é um problema de classifição e aparece pela primeira vez em 1940, na tese de doutorado de Higman, em que ele considera anéis de grupo tomando coeficientes no anel Z, ou seja, anéis de grupo integrais. Em 1947 na Conferência de Álgebra em Michigan, M. Thrall apresentou a seguinte questão: “Dados um grupo G e um corpo K, determinar todos os grupos H tais que KG ￿ KH.” No entanto, as questões sobre quais propriedades de um grupo finito G se refletem sobre o anel de grupo RG já eram estudadas por W. Burnside, G. Frobenius e I. Chur. Com respeito a tais grupos é imediato que se dois grupos são isomorfos, os seus anéis de grupo, determinados a partir de um mesmo anel de coeficientes, também o serão. A partir de então, muitos resultados a respeito desta questão foram obtidos por diversos matemáticos como: S. Perlis e G. Walker em 1950, W. E. Deskins em 1956 e E. C. Dade em 1972, dentre outros. Após estes resultados a questão passou a ser enunciada da seguite forma: Se G é um grupo finito, H um outro grupo qualquer e R um anel com unidade tais que RG ￿ RH, será então que G ￿ H? Dentre os muitos trabalhos acerca do Problema do Isomorfismo podemos citar alguns resultados: G. Higman em 1940 e S. D. Berman em 1955 mostraram que se G é um grupo abeliano finito e ZG ￿ ZH, então G ￿ H, em 1968, A. Whitcomb mostrou que se G é um grupo metabeliano finito e ZG ￿ ZH, então G ￿ H. Um importante resultado, que vamos utilizar em nosso trabalho, foi demonstrado por, K. Roggenkamp e L. L. Scott, vide [12] e independentemente por A. Weiss [2]; eles mostraram que para os grupos nilpotentes finitos também vale a tese do Problema do Isomorfismo. Além destas, 8 9 no decorrer do trabalho, apresentaremos outras soluções para o Problema do Isomorfismo obtidas por R. Sandling. É importante também citar que a existência do isomorfismo ZG ￿ ZH, mesmo não implicando a prinćıpio numa solução do problema do isomorfismo para grupos finitos, acarreta uma série de semelhanças entre os grupos G e H. Para citar as semelhanças mais interessantes temos, por exemplo, que a ordem é preservada e os centros e os segundos centros dos dois grupos serão isomorfos; caracteŕısticas como abelianidade, nilpotência e solubilidade são compartilhadas pelos dois grupos, isto porque a isomorfia dos anéis de grupo integrais determina uma correspondência entre as séries centrais e derivadas dos dois grupos, (também é preservado entre os grupos, o reticulado de subgrupos normais.) As inúmeras semelhanças entre os dois grupos finitos impostos pelo isomorfismo de seus anéis de grupo integrais sugeriram que o Problema do Isomorfismo para estes anéis de grupo integrais tem resposta positiva para todos os grupos finitos. E esta questão se tornou conhecida como o Problema do Isomorfismo (Iso), ou seja: (Iso) ZG ￿ ZH =⇒ G ￿ H. O seguinte resultado apresenta mais uma razão para nos concentrarmos na questão usando Z como o anel de coeficientes. Proposição 2.1. Sejam G e H dois grupos. Se ZG ￿ ZH, então RG ￿ RH para qualquer anel comutativo R (como R-álgebra). Pela proposição 1.15, demonstra-se a existência de uma correspondência entre os subgrupos normais de G e H, que de fato é um isomorfismo entre estes reticulados, sempre que ZG ￿ ZH. Além disso, grupos normais correspondentes apresentam uma série de semelhanças. Tais afirmações podem ser verificadas nos livros de Polcino Milies e Sehgal [11] e Sehgal [14]. Na proposição seguinte usaremos que N̂ = ￿ x∈N x para um subgrupo (ou subcon- junto) N de G e denotaremos por N ￿ o subgrupo derivado de N. Este resultado pode ser consultado mais detalhadamente em Polcino Milies e Sehgal [11]. Proposição 2.2. Sejam G e H grupos finitos tais que ZG ￿ ZH. Seja N um subgrupo normal de G e seja M o subgrupo de H correspondente, então i) Z( G N ) ￿ Z( H M ); ii) N N ￿ ￿ M M ￿ ; iii) Se N é abeliano, então M também é abeliano; 12 Exemplo 2.8. Seja T (4, K) o conjunto das matrizes triangulares superiores com coefici- entes no corpo K. Isto é, T é o conjunto das matrizes da forma   a11 a12 a13 a14 0 a22 a23 a24 0 0 a33 a34 0 0 0 a44   . Denotaremos por T0(4, K) o conjunto das matrizes em T (4, K) que tem entradas iguais a 0 na diagonal principal. Facilmente verificamos que T0(4, K) é fechado para somas e produtos e ainda que seus elementos são nilpotentes; assim, fazendo uso da observação citada acima, conclúımos que T0(4, K) é um anel radical. Então este conjunto com a operação ◦ é um grupo ćırculo. Proposição 2.9. Seja R um anel com unidade e seja U(R) o grupo das unidades de R. Seja G o grupo adjunto de R. Então U(R) = 1 + G e U(R) ￿ G. Demonstração. Vamos tomar g ∈ G arbitrário e considerar que h ∈ G é o quase-inverso de g, ou seja, g ◦ h = h ◦ g = 0. Teremos que, (1 + g)(1 + h) = 1 + g + h + gh = 1 + (g + h + gh) = 1 + (g ◦ h) = 1 e analogamente verificamos que (1 + h)(1 + g) = 1, mostrando que 1 + g ∈ U(R). Por outro lado, se u ∈ U(R) e considerando que v é o inverso de u (uv = vu = 1) temos que (u− 1) ◦ (v − 1) = (u− 1) + (v − 1) + (u− 1)(v − 1) = = u− 1 + v − 1 + uv − u− v + 1 = 0 e analogamente verificamos que (v − 1) ◦ (u − 1) = 0, o que mostra que u − 1 ∈ G, ou seja, U(R) = 1 + G. Com estas informações conclúımos que a aplicação ϕ : G −→ U(R) g ￿−→ 1 + g é uma bijeção. Para chegarmos ao resultado final temos que mostrar que ϕ é um homo- morfismo de grupos. Tomemos então g, h ∈ G, assim ϕ(g ◦ h) = 1 + (g ◦ h) = 1 + (g + h + gh) = 1 + g + h + gh = = (1 + g)(1 + h) = ϕ(g)ϕ(h). Conclúımos assim que U(R) ￿ G. 13 Observamos que este resultado, para matrizes de ordem 4, pode ser generalizado para matrizes triangulares superiores de ordem n. Dentre os resultados de Sandling [13], estamos interessados em verificar que os grupos adjuntos finitos e os grupos ćırculos finitos são determinados por seus anéis de grupo integrais, ou seja, se G é um grupo adjunto finito e H é um outro grupo tal que ZG ￿ ZH, então G ￿ H, e o mesmo ocorre se G for um grupo ćırculo finito. Apresentamos adiante alguns teoremas principais e também alguns resultados técnicos que serão de fundamental importância para obtermos os resultados desejados. Sendo G o grupo adjunto do anel R definimos o seguinte homomorfismo de grupos aditivos θ : ZG −→ R (2.1) ￿ g∈G a(g)g ￿−→ ￿ g∈G a(g)g. Agora, para mostrar que θ restrito ao ideal de aumento ∆(G) é um homomorfismo de anéis, vamos mostrar que essa restrição é um homomorfismo multiplicativo. De fato, sejam g, h ∈ G assim, θ((g − 1) ◦ (h− 1)) = θ(g ◦ h− g − h + 1) = g ◦ h− g − h = gh + g + h− g − h = gh, em que 1, representa o elemento identidade de G, que no entanto é o elemento 0 de R, de modo que um elemento da forma g − 1 ∈ ZG é levado em g ∈ R, pela aplicação θ. E conclúımos que θ restrito ∆(G) é um homomorfismo de anéis e θ(∆(G)) é um subanel de R. Teorema 2.10. Um grupo G é o grupo adjunto de um anel se, e somente se, ele é o grupo adjunto de um anel quociente de ∆(G). Demonstração. Para mostrarmos a condição necessária do teorema, vamos assumir que G é o grupo adjunto de um certo anel R. Considerando θ : ∆(G) −→ R, o homomorfismo de anéis constrúıdo acima temos, pelo teorema do isomorfismo, que ∆(G) Ker(θ) ￿ θ(∆(G)). Dáı, como θ(∆(G)) é um subanel de R contendo G, temos que G é o grupo adjunto de θ(∆(G)) e pelo isomorfismo acima temos que G é também o grupo adjunto de ∆(G) Ker(θ) . A condição suficiente do teorema segue imediatamente. Teorema 2.11. Seja G um grupo finito, então G é um grupo ćırculo se, e somente se, existe um ideal J de ZG, contido em ∆(G), tal que: 14 i) O ı́ndice do subgrupo aditivo de J em ∆(G) é igual a |G|, e, ii) (1 + J) ∩G = {1} Neste caso, tem-se que G ￿ 1 + ∆(G) J . Demonstração. Vamos primeiro considerar G um grupo ćırculo de um anel R e mostrar que as condições i) e ii) são satisfeitas: Seja θ : ∆(G) −→ R o homomorfismo de anéis visto acima e tomemos J = Ker(θ). Note que para todo g ∈ G, g − 1 ∈ ∆(G) e sabemos que θ(g − 1) = g, portanto G ⊆ θ(∆(G)). Mas G é grupo ćırculo e então G = R , dáı R ⊆ θ(∆(G)) ⊆ R, ou seja, θ(∆(G)) = R. Assim ∆(G) J ￿ R = G. Como ∆(G) e J são ideais, também são grupos com a operação de soma. Isto é, J é subgrupo de ∆(G) (normal pois são abelianos), logo o ı́ndice aditivo de J em ∆(G) é igual a |G| ([∆(G):J ]=|G|), concluindo i). Para provar ii), vamos tomar x ∈ (1+J)∩G. Então x−1 ∈ J assim θ(x−1) = 0. Como x ∈ G temos que θ(x−1) = x, portanto segue que x = 0 em R, mas este é o elemento identidade do grupo ćırculo G, ou seja, x = 1 em G, concluindo ii). Para verificar que as condições são também suficientes vamos tomar a seguinte aplicação φ : G −→ 1 + ∆(G) J x ￿−→ 1 + (x− 1) + J e mostrar que esta é um isomorfismo de grupos. De fato, para g, h ∈ G temos φ(g)φ(h) = (1 + (g − 1) + J)(1 + (h− 1) + J) = 1 + (gh− 1) + J = φ(gh) e assim mostramos que φ é um homomorfismo. Note que se g ∈ G é tal que φ(g) = 1 + J (isto é g pertence ao núcleo de φ) temos que g − 1 ∈ J pela definição da φ, ou seja, g ∈ 1 + J e então g ∈ (1 + J) ∩ G, concluindo assim, por ii), que g = 1. Com isso mostramos que o núcleo é trivial e portanto φ é injetiva. Este resultado, junto com o fato de φ estar definida para grupos finitos de mesma ordem garante a sobrejetividade e então φ é bijetiva. Temos então que |G| = |∆(G)/J |, mas na demontração do teorema anterior, considerando θ : ∆(G) −→ R, conclúımos que ∆(G)/J ￿ θ(∆(G)) e ainda que G é o grupo adjunto de θ(∆(G)), portanto |G| = |∆(G)/J | = |θ(∆(G))|, ou seja, G é o grupo ćırculo de θ(∆(G)). 17 ordem 2, ou seja, U(R1) ￿ C2 ×G, em que G é o grupo adjunto do nosso anel de partida R. De fato, se (a, r)(b, s) = (1, 0), teremos (ab, as + br + rs) = (1, 0) o que implica que ab = 1 e portanto a = b = ±1. Teremos assim que s + r + rs = 0 ou −s− r + (−r)(−s) = 0, ou seja, r ∈ G. Usaremos este fato para estender o nosso resultado para o grupo adjunto de um anel finito, quando considerarmos um anel sem unidade. Segue então o teorema. Teorema 2.16. O grupo adjunto de um anel finito é determinado por seu anel de grupo integral. Demonstração. Seja G o grupo adjunto de um anel finito R. Se considerarmos em primeiro lugar que R é uma anel com unidade, conclúımos pela proposição 2.8, que G é isomorfo ao grupo das unidades de R e então pelo teorema anterior obtemos que G é determinado pelo seu anel de grupo integral. Para verificar a validade do teorema para um anel R sem unidade usaremos a observação feita acima e podemos mergulhar o nosso anel R em um anel com unidade R1, de modo que G1 ￿ U(R1) = C2 ×G, em que C2 é um grupo ćıclico de ordem 2. Seja H outro grupo tal que ZG ￿ ZH. Então ZG1 ￿ Z[C2 ×G] ￿ ZC2 ⊗Z ZG ￿ ZC2 ⊗Z ZH ￿ Z[C2 ×H]. Como G1 é o grupo das unidades de R1, pelo teorema 2.15, conclúımos que G1 ￿ C2×H. Sendo estes grupos finitos, temos que G ￿ G1/C2 ￿ H. Caṕıtulo 3 A Propriedade do Normalizador Neste caṕıtulo, apresentaremos uma outra questão de grande importância na teoria de anéis de grupo, que é a Propriedade do Normalizador. A propriedade em pauta tem sido tema de estudo nesta área e muitas desco- bertas têm sido obtidas a respeito desta. Neste caṕıtulo, falaremos a respeito do seu surgimento e daremos destaque a alguns resultados que consideramos fundamentais para o desenvolvimento dos nossos objetivos. Considerando um anel de grupo ZG, sabemos que o grupo G é subgrupo do grupo das unidades de ZG, o que nos leva implicitamente a pensar quem seria o normalizador, NU(G), de G em U(ZG). A propriedade do normalizador surge então como uma resposta para esta questão. Na referência [14], S. K. Seghal apresenta tal propriedade da seguinte forma: Sejam G um grupo finito, ZG o seu anel de grupo integral, U = U(ZG) o grupo das unidades de ZG e NU(G) o normalizador de G em U . Sendo G um subgrupo de U vale (Nor) NU(G) = G.ζ ? Em que ζ é o centro de U . Esta questão foi inicialmente apresentada como uma conjectura devido a alguns resultados que até então tinham sido obtidos, como por exemplo os resultados de Coleman que apresentaremos mais adiante. A partir dáı foram várias as tentativas de se verificar a validade de tal conjectura, mas assim como aconteceu com o (Iso), Hertweck apresentou em [6], contra-exemplo para o (Nor). No fim deste caṕıtulo, voltaremos a falar a respeito dos contra-exemplos citados. Essa mesma questão foi também proposta por S. Jackowski e Z. Marciniak [7], de forma distinta porém equivalente. Vejamos: Dado um elemento u de NU(G), temos a aplicação ϕu em G definida por ϕu(g) = u −1 gu para todo g ∈ G. 18 19 Se denotarmos por AutU(G) o conjunto dos automorfismos definidos deste modo, é imediato que AutU(G) é um grupo que contém como subgrupo o grupo dos automorfismos internos de G, Inn(G). Temos a propriedade do normalizador verdadeira se, e somente se, para todo u em NU(G), u = goco, com go em G e co em ζ; sendo assim, segue que ϕu(g) = u−1gu = g−1o ggo, pois co é central; o que equivale a afirmar que ϕu é um automorfismo interno de G. E então, os autores citados acima apresentam a questão do normalizador da seguinte forma: Se G é um grupo finito, vale AutU(G) = Inn(G) ? A partir dáı, muitos estudiosos procuraram verificar a validade desta questão para diversas classes de grupos. Aqui vamos apresentar os resutados obtidos desde o ińıcio das pesquisas no que diz respeito a este assunto, dando sempre prioridade àqueles que consideramos mais importantes e que terão participação fundamental no decorrer do nosso trabalho. 3.1 Os resultados de Coleman A primeira resposta afirmativa à questão do normalizador foi apresentada num artigo em 1964, por D. B. Coleman, em que ele prova o seguinte resultado: Teorema 3.1. (Coleman, 1964). Seja G um p-grupo finito e K um corpo de caracteŕıstica p, então vale NU(G) = G.ζ na álgebra de grupo KG. Adaptando a demonstração de Coleman, os autores Jackowski e Marciniak obti- veram uma extensão do resultado anterior para anéis de grupo integrais, o que representa um grande desenvolvimento para pesquisa pois, revela que a propriedade é verdadeira, em uma versão local, para todos os p-subgrupos de um grupo finito. Este resultado foi desenvolvido em Sehgal [14], como segue: Teorema 3.2. Sejam P um p-subgrupo do grupo finito G e u ∈ NU(G), existe então y em G tal que ϕu(g) = y−1gy, para todo g em P. Demonstração. Para todo elemento g ∈ G, ϕu(g) = u−1gu é um elemeneto de G pois u está em NU(G). Temos ainda que u = g−1uϕu(g). Escrevendo u = ￿ x∈G u(x)x, temos ￿ x∈G u(x)x = ￿ x∈G g −1 xϕu(g). Define-se então uma ação σ do subgrupo P sobre o conjunto G do seguinte modo: se g ∈ P e x ∈ G, tem-se σg(x) = g −1 xϕu(g), 22 O lema anterior nos permite verificar a seguinte proposição. Ver Sehgal [14, Proposição 9.5] Proposição 3.6. (Krempa). Se u pertence a NU(G), então u2 estará em G.ζ. Demonstração. Consideremos a unidade v = u∗u−1. Temos pelo último lema, vv ∗ = u∗u−1(u−1)∗u = u∗(u∗u)−1u = u∗u(u∗u)−1 = 1. Usando a proposição 1.13, temos que v é uma unidade trivial; e como ε(v) = 1, conclúımos que v = go para go em G. Consequentemente, u ∗ = gou e gou 2 = u∗u ∈ ζ. Portanto, u2 pertence a G.ζ, pois u∗u é central. Sehgal [14, Teorema 9.6] também lembra que: Teorema 3.7. Se G é grupo de ordem ı́mpar, vale a propriedade do normalizador para G. Demonstração. Se u está em NU(G), pela proposição anterior, ϕ2u é um automorfismo interno de G. Sendo a ordem de G ı́mpar, a ordem, t, de ϕu também o será pelo lema 3.4. Deste modo, t e 2 serão primos relativos; então existem r e s, números inteiros, tais que 2.r + t.s = 1, e portanto ϕu = ϕ 2r+ts u = ϕ2r u .ϕ ts u = ϕ2r u ; já que ϕ2 u é um automorfismo interno, ϕu será também um automorfismo interno de G. Segue então o resultado, pela reformulação equivalente da propriedade. O último teorema nos dá a garantia da validade do (Nor) para os grupos finitos de ordem ı́mpar, assim quando investigamos a validade da propriedade do normalizador basta analisar os grupos finitos de ordem par. Os autores Jackowski e Marciniak obtiveram um resultado para tal classe de grupos, mas para isto, fizeram uma restrição. Antes de citar tal resultado, apresentaremos o teorema que serviu de ferramenta principal para sua demonstração. Para um 2-subgrupo de Sylow, S, arbitrário porém fixado em G, define-se o subconjunto IS de AutU(G) : IS = {ϕu ∈ AutU(G); ϕ2u = i, ϕu|S = i}. Segue então o teorema que pode ser verificado no artigo de Jackowski e Marciniak [7]: 23 Teorema 3.8. Se IS está contido em Inn(G) - o subgrupo dos automorfismos internos de G - para um 2-subgrupo de Sylow S de G, então vale a propriedade do normalizador para o grupo G. Apresentamos agora um grande resultado de Jackowski e Marciniak que será muito utilizado em nosso trabalho. Teorema 3.9. (Jackowski e Marciniak, 1987). Se o grupo finito G possui um 2-subgrupo de Sylow normal, então vale a propriedade do normalizador para G. Na demonstração deste teorema os autores aplicaram a teoria de cohomologia de grupos, que não foi abordada por nós; portanto, apesar da sua importância para nosso trabalho, não desenvolveremos esta demonstração, que pode ser verificada no artigo de Jackowski e Marciniak [7]. Na próxima seção, apresentamos os contra-exemplos de Hertweck, que foram citados anteriormente. 3.3 O resultado de Mazur e os contra-exemplos de Hertweck Além do fato do Problema do Isomorfismo e da Propriedade do Normalizador serem duas questões importantes na teoria de anéis de grupo, uma outra caracteŕıstica que favoreceu para que nós estudássemos estas duas questões, foi o fato de existir uma certa relação entre elas, no que diz respeito a algumas extensões infinitas de grupos finitos. Este resultado foi verificado em 1995, por Mazur, ver [10], e segue no teorema abaixo. Teorema 3.10. Se G é um grupo finito e C∞ representa um grupo ćıclico infinito, então o problema do isomorfismo para Z(G×C∞) tem resposta afirmativa se, e somente se, tem resposta afirmativa para G e vale a conjectura do normalizador em G. Hertweck conseguiu uma generalização para tal resultado, para extensões finitas de G. E então, em 2001, fazendo uso de tal resultado, apresentou contra-exemplos para as duas questões centrais do nosso trabalho. Teorema 3.11. ([6, Teorema B]). Existe um grupo solúvel X, que é o produto semi-direto de um subgrupo normal G e um subgrupo ćıclico ￿c￿, tal que i) Existe um automorfismo não interno τ em G e uma unidade t ∈ U1(ZG) tal que τ(g) = gt para todo g ∈ G; ii) Em ZX, o elemento c inverte o elemento t; 24 iii) O subgrupo Y = ￿G, tc￿ de U1(ZG) tem a mesma ordem de X mas não é isomorfo a X; iv) A ordem de X é 221.9728. O grupo X tem um 97-subgrupo de Sylow normal e o comprimento da série derivada de X é 4. E ZX ￿ ZY mas X não é isomorfo a Y . Teorema 3.12. ([6, Teorema A]). Existe um grupo finito G com um automorfismo de grupo não-interno τ , tal que τ(g) = u−1gu com u ∈ U1(ZG), para todo g ∈ G. O grupo G tem ordem 225.972, um 97-subgrupo de Sylow normal, e é metabeliano. Dessa forma obtemos um grupo G tal que AutU(G) ￿ Inn(G) Uma abordagem mais detalhada sobre tais contra-exemplos pode ser obtida em Hertweck [6]. 27 Para mostrar a condição 2, devemos mostrar que os elementos de Hi+1/Hi comu- tam com os elementos de G/Hi. Tomemos então h ◦Hi ∈ Hi+1/Hi com h ∈ Hi+1 e g ◦Hi ∈ G/Hi com g ∈ G e vamos mostrar que (h ◦Hi) ◦ (g ◦Hi) = (g ◦Hi) ◦ (h ◦Hi) ou equivalentemente, mostrar que h ￿ ◦ g￿ ◦ h ◦ g ∈ Hi. De fato, como h, g ∈ G, já temos que h￿ ◦ g￿ ◦ h ◦ g ∈ G. Mas h ∈ Hi+1, ou seja h ∈ Ri+1 e como Ri+1 ⊆ Ri, temos que h, h￿ ∈ Ri. Dáı, h ￿ ◦ g￿ ◦ h ◦ g = h￿ ◦ g￿ ◦ (h + g + hg) = = h￿ ◦ (g￿ + h + g + hg + g￿h + g￿g + g￿hg) = = h￿ + h + hg + g￿h + g￿hg + h￿(h + hg + g￿h + g￿hg) ∈ Ri, já que Ri é ideal. Mostramos assim que h ￿ ◦ g￿ ◦ h ◦ g ∈ Hi. e então segue-se o resultado da condição 2. Finalmente, conclúımos que G é um grupo nilpotente e então pelo teorema 2.3, ZG ￿ ZH =⇒ G ￿ H, ou seja, G é determinado pelo seu anel de grupo integral. Podemos ainda concluir, usando o corolário 3.3, que vale o (Nor) para o grupo G. 4.2 O grupo ćırculo como solução para o (Iso) e o (Nor) Agora, considerando R um anel finito e G o seu grupo ćırculo mostraremos que G possui um 2-subgrupo de Sylow normal e lembrando da apresentação feita no terceiro 28 caṕıtulo concluiremos que G satisfaz a propriedade do normalizador. Na verdade, verifica- mos que todos os p-subgrupos de Sylow de G são normais em G, assim, usando resultados anteriores conclúımos que G também satisfaz o (Iso). De fato, temos por definição que se G é o grupo ćırculo de R então G e R são iguais como conjuntos, além disso, sendo R um anel, temos que R munido com a operação de soma, (R,+), é um grupo abeliano finito e então podemos escrever, (R, +) = Ap1 ⊕ Ap2 ⊕ . . .⊕ Aps em que Ap1 , Ap2 , . . . , Aps são pi-subgrupos de Sylow de (R,+). Vamos mostrar que cada um destes pi-subgrupos é um ideal de R. De fato, se x ∈ Ap e y ∈ Aq com p ￿= q, então xy = 0, pois o(x) = pn e o(y) = qm. Logo, xy + xy + . . . + xy￿ ￿￿ ￿ pn = (x + . . . + x)￿ ￿￿ ￿ pn y = 0 xy + xy + . . . + xy￿ ￿￿ ￿ qm = x (y + . . . + y)￿ ￿￿ ￿ qm = 0 e então o(xy)|pn e o(xy)|qm sendo o(xy) = 1 e portanto xy = 0. Por outro lado se x, y ∈ Ap então, tomando no desenvolvimento acima p = q, temos que o(xy)|pn e portanto o(xy) = pm logo xy ∈ Ap. Considerando a ∈ R e b ∈ Api temos que a = ap1 + ap2 + . . . + aps e logo ab = apib ∈ Api e ba = bapi ∈ Api . Com estas observações conclúımos que Ap1 , Ap2 , . . . , Aps são ideais de R. Uma vez que G = R, G ∩ Api = Api ; e Api é um ideal, mostraremos que Api é também um subgrupo normal de G. De fato, 1. 0 ∈ Api , logo Api ￿= ∅; 2. Tome a, b ∈ Api e b￿ ∈ G o quase-inverso de b, ou seja, b￿ = −b− bb￿ e então b￿ ∈ Api e a ◦ b￿ = a + b￿ + ab￿ ∈ Api ; 3. Tome h ∈ Api e g ∈ G, teremos que g ￿ ◦ h ◦ g = g￿ + h + g + hg + g￿(h + g + hg) = = h + hg + g￿h + g￿hg ∈ Api . Então usando as verificações 1, 2 e 3 conclúımos que Api = G∩Api é um subgrupo normal de G e em particular Ap1 é o 2-subgrupo de Sylow normal em G. Conclúımos, usando o teorema 3.9, que G satisfaz a propriedade do normalizador. 29 Obtemos o mesmo resultado para um p-subgrupo de Sylow, sendo p um primo qualquer, ou seja, verificamos que todos os p-subgrupos de sylow de G são normais em G, dáı usando o teorema 1.3 conclúımos que G é nilpotente e portanto satisfaz o problema do isomorfismo. Note que esta é uma demonstração alternativa à de Sandling, fazendo uso do resultado de Roggenkamp e Scott, [12]. 4.3 A estrutura do grupo adjunto Na seção anterior um dos nossos resultados foi mostrar que, quando o grupo adjunto G é todo o anel R, ou seja, G é um grupo ćırculo, vale a propriedade do nor- malizador, mas imediatamente pensamos, se seria posśıvel verificar tal resultado para um caso mais geral, considerando agora G um grupo adjunto qualquer. Tentamos então conhecer melhor como seria a estrutura do grupo adjunto G. Conseguimos verificar que, no caso em que um anel finito com unidade R tem caracteŕıstica p, p primo, G pode ser escrito como um produto semidireto entre o radical de Jacobson J = J(R), de R e um subgrupo B, de G, que pode ser escrito como produto direto de grupos gerais lineares. Antes, citaremos algumas definições e resultados que utilizaremos: Definição 4.1. Seja R um anel. O Radical de Jacobson de R, denotado por J(R), é o ideal maximal que é composto por elementos quase-regulares. Observamos então, que J pode ser visto como um anel radical, tendo como grupo ćırculo ele próprio e pelo que verificamos na seção anterior, J será nilpotente, represen- tando uma resposta positiva para o (Nor). Definição 4.2. Um anel R que não possui ideais próprios, formados por elementos quase- regulares, é chamado semi-simples, ou seja, se R é semi-simples seu único ideal formado por elementos quase-regulares é o (0). Este conceito de “semi-simples”é devido a N. J. Divinsky, o conceito clássico é: R é semi-simples se é artiniano e se não tem ideais nilpotentes não triviais! É neste sentido que vale o teorema seguinte. Mas note que, se W for o radical clássico ou o de Wedderburn (que é a soma de todos os ideais nilpotentes em R) então R/W é semi-simples se R é artiniano e ainda teremos J = W. Mas o anel R é artiniano já que é finito e logo, no nosso caso, as definições são equivalentes. Teorema 4.3. (Wedderburn-Artin). Um anel R é semi-simples se, e somente se, ele é soma direta de anéis de matrizes sobre anéis de divisão: R ￿ Matn1(D1)⊕ . . .⊕Matnk(Dk). 32 Vamos agora supor que o nosso anel R possui caracteŕıstica p, sendo p primo, ou seja, existe uma cópia do Zp dentro de R e podemos considerar o nosso anel como sendo uma álgebra sobre Zp. Já que char(R) = p, cada um dos anéis de matrizes têm também caracteŕıstica p, assim como os anéis de divisão Di. Portanto os anéis de divisão, por serem finitos, são na verdade corpos finitos de modo que Di = Fqi , em que qi = pki . Ainda pela char(R) = p, temos que char(R/J) = p, ou seja, R/J também é uma Zp-álgebra que é semi-simples, portanto, pelo teorema 4.6, temos que R/J é separável. Podemos então aplicar o teorema 4.5 e concluir que existe uma subálgebra A, com A ￿ R/J, sendo R = A⊕ J, como espaços vetoriais. Queremos mostrar que G = J ￿ B, em que B = G ∩ A. Lembramos que J ✂ G como subgrupo em relação à operação ◦. De fato, uma vez que J é ideal de R, a, b ∈ J, temos que a ◦ b = a + b + ab ∈ J e sendo a￿ tal que a ◦ a￿ = 0, temos a + a￿ + aa￿ = 0 e portanto a￿ = −a− aa￿ ∈ J, concluindo assim que J ￿ G. Agora se a ∈ J e g ∈ G, temos g ￿ ◦ a ◦ g = a + g￿a + ag + g￿ag ∈ J e então J ￿ G. Mostraremos agora que B ￿ G. De fato: 1. Note que 0 ∈ B, portanto B ￿= ∅; 2. Sejam a, b ∈ B, logo a ◦ b = a + b + ab ∈ A, pois A é subanel de R, como a, b ∈ G, a ◦ b ∈ G, logo a ◦ b ∈ G ∩ A = B; 3. Sendo b ∈ B, mostraremos que b￿ ∈ B. Como b￿ ∈ G e G ⊆ R temos que, b￿ = a+h, com a ∈ A e h ∈ J. Mas b ◦ b￿ = 0, logo b + a + h + ba + bh = 0, isto é, b + a + ba = −h− bh, mas b + a + ba ∈ A e −h− bh ∈ J então b + a + ba = 0 e portanto a = b￿ e b￿ ∈ A, mas sendo b￿ o quase-inverso de b, temos b￿ ∈ G, donde b￿ ∈ B. Concluindo assim que B ￿ G. 33 Mostraremos agora que B ◦ J = G. Note que, para todo g ∈ G, g = a + h, com a ∈ A, h ∈ J e g￿ = b + f, com b ∈ A, f ∈ J. Mas, g ◦ g￿ = 0 = a + b + ab + h + f + af + hb + hf, logo a + b + ab = 0, isto é, a é quase-regular e portanto a ∈ G, ou seja, a ∈ B = G ∩ A. Mostramos assim que G = B + J ; vamos mostrar que B + J = B ◦ J. De fato, 1. Sendo b ∈ B e h ∈ J, temos b ◦ h = b + (h + bh) ∈ B + J. Donde, B ◦ J ⊆ B + J. 2. Observe que b + h = b ◦ (h + b￿h) ∈ B ◦ J. De fato, b ◦ (h + b￿h) = b + h + b￿h + bh + bb￿h = b + h + (b￿ + b + bb￿)h = b + h. Logo B + J ⊆ B ◦ J. E de 1 e 2 conclúımos que B + J = B ◦ J. Chegamos então ao fato de que G = J ￿ B. Por fim, sendo B = G ∩ A, consideraremos em Matn(Fq) as matrizes quase- regulares, mas como Matn(Fq) é um anel com unidade, usando a proposição 2.8, con- clúımos que tais matrizes são da forma u− 1, em que u é uma matriz inverśıvel, ou seja, u ∈ U(Matn(Fq)). Podemos usar a seguinte notação: U(Matn(Fq)) = GL(n, Fq) e escrever B como produto direto de tais grupos gerais lineares: B ￿ GL(n1, Fq1)× . . .×GL(nk, Fqk). Chegamos assim que o grupo adjunto G, de um anel finito com unidade R, sendo char(R) = p, pode ser escrito como um produto semidireto do radical de Jacobson J = J(R) por um produto direto de grupos gerais lineares. Para o caso em que o anel R não possui unidade, vamos considerar G o seu grupo adjunto e usar a observação feita no caṕıtulo 2 para definir um anel R1, tal que R1 = Z×R, sendo G1 o seu grupo adjunto, ainda pela observação, conclúımos que G1 ￿ C2 × G, em que C2 é um grupo ćıclico de ordem 2, e dáı se conseguirmos obter o (Nor) para um anel com unidade ficamos com J ￿ B ￿ C2 × G, e teremos mostrado também para o grupo adjunto de um anel sem unidade, fazendo uso da proposição 4.4. Já observamos anteriormente que J é solução para a Propriedade do Normaliza- dor, mostraremos ainda que tal propriedade é também satisfeita pelo grupo B apresentado acima e para esta conclusão mostraremos que o grupo geral linear é solução para o (Nor). Antes citaremos os quatro tipos de geradores do grupo de automorfismos de GL(n, Fq), Aut(GL), ver [3]. 34 1. Automorfismos internos: ϕ1(M) = N−1MN, para alguma matriz invert́ıvel N. 2. Automorfismos induzidos por automorfismos do corpo Fq. Se λ : Fq → Fq, então sendo M = [mij], teremos ϕ2(M) = [λ(mij)] = λ(M). 3. Homotetias: ϕ3(M) = X (M).M, sendo X um morfismo dos grupos multiplicativos X : GL(n, Fq) → F∗q, tal que X (αI) = α−1 ⇔ α = 1. 4. A transformação contragradiente: ϕ4(M) = (M t)−1. Observamos que os automorfismos de cada um dos tipos citados gera um subgrupo de Aut(GL), em particular os do 1 geram o subgrupo normal Inn(GL), dos automorfismos internos. Agora apresentamos dois resultados que serão fundamentais para mostrar que o grupo geral linear é solução para o (Nor). Primeiro citamos um teorema de Thierry Petit e Sehgal,[9]. Teorema 4.8. Se u ∈ NU(G), então ϕu(g) = u−1gu é um conjugado a g, para qualquer g ∈ G, isto é, existe h ∈ G tal que u−1gu = h−1gh, com h fixado, mas dependendo do g. Antes de citar o próximo resultado, definimos transvecções como sendo os conju- gados de Xij(α), ou seja, N−1Xij(α)N, N ∈ GL(n, Fq). Sendo Xij(α) = I +αEij, α ∈ F∗q, em que Eij é a matriz, com i ￿= j, da base canônica do espaço de matrizes. Segue então o teorema que pode ser encontrado em [1]. Teorema 4.9. GL(n, Fq) é gerado pelo conjunto de todas as transvecções e todas as matrizes diagonais invert́ıveis. Segue finalmente o importante resultado para o grupo geral linear: Teorema 4.10. Vale a Propriedade do Normalizador para o grupo geral linear, GL(n, Fq). Demonstração. Observamos que a ordem do nosso grupo, ver [11], é dada por |GL(n, Fq)| = (qn − 1)(qn − q)(qn − q2) . . . (qn − qn−1), (n ≥ 2), de modo que é um valor par, ou seja, não estamos com um caso trivial do teorema 3.7. Se n = 1, então GL(n, Fq) = F∗q, mas sabemos que o grupo multiplicativo F∗q é ćıclico, logo abeliano e então todo p-subgrupo é normal, portanto, pelo teorema 3.9, vale o (Nor) em GL(1, Fq). No caso em que n ￿= 1, teremos como elementos de GL(n, Fq), matrizes invert́ıveis de ordem maior ou igual a dois. Neste caso, analisaremos cada um dos quatro automor- fismos separadamente e também suas posśıveis combinações. No final, concluiremos que a única possibilidade para automosfismos de GL(n, Fq), são os internos e dáı teremos o 37 = (X (N))−1N−1Xij(α)X (N)N = N−1Xij(α)N. Portanto automorfimos do tipo 3 também fixam os conjugados de Xij(α), fixando as transvecções. Devemos ainda verificar que estes automorfismos, quando aplicados à matrizes diagonais invert́ıveis, se comportam como a identidade, para chegarmos a este resultado basta verificar que matrizes do tipo: D =   1 0 0 0 1 0 0 0 α   , são fixadas por ϕ3, visto que matrizes diagonais invert́ıveis podem ser escritas como produto destas, fazendo apenas α mudar de posição na diagonal principal. Usando a matriz D acima e aplicando o teorema 4.8 temos que kND = DN, sendo k = X (D), ou seja,   ka11 ka12 k(αa13) ka21 ka22 k(αa23) ka31 ka32 k(αa33)   =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 αa31 αa32 αa33   . Analisando a igualdade acima conclúımos que k = 1 ou (kα = 1 e k = α). No primeiro caso temos que ϕ3 fixa a matriz D, no segundo temos que D possui ordem 2, ou seja, D pertence a algum 2-subgrupo de Sylow de GL(n, Fq) (talvez não o nosso S fixado inicialmente), se D pertencer ao 2-subgrupo de Sylow S, teremos D = ϕ3(D) = kD, sendo k = 1. Caso contrário um conjugado de D está em S, ou seja, L−1DL ∈ S, L ∈ GL(n, Fq). Logo ϕ3(L−1DL) = L−1DL, já que ϕ3 fixa os elementos de S, porém L −1 DL = ϕ3(L −1 DL) = ϕ3(L −1)ϕ3(D)ϕ3(L) = l −1 L −1 kDlL = L−1kDL, com k, l ∈ F∗ q , donde D = kD, mas sendo D invert́ıvel temos k = 1. Observamos que o mesmo resultado pode ser obtido facilmente para uma matriz de ordem n, já que, quando uma matriz do tipo D é multiplicada à direita de uma matriz N, uma coluna desta última é substitúıda por um múltiplo e o análogo ocorre com relação à esquerda para uma das linhas. Conclúımos assim que automorfismos do tipo 3, não triviais, não ocorrem em IS. Aplicando automorfismos compostos dos tipos 3 e 2, (ϕ3 ◦ ϕ2) nas matrizes Xij(α), usando o teorema 4.8 e aplicando o mesmo racioćınio anterior, obtemos que X (Xij(λ(α))) = 1 e portanto ficaŕıamos apenas com o automorfismo do tipo 2, que já verificamos que não ocorre só em IS. Do mesmo modo, aplicando tal composição em matrizes do tipo D, citada acima, obtemos que X (Xij(λ(α))) = 1, ficando só com o tipo 2, ou ainda que λ(α) = α−1, o que é um absudo pois não existe este tipo de isomorfismo de corpo finito. Considerando conjugados de Xij(α) (C−1Xij(α)C) e denotando ϕ3 ◦ ϕ2 por ψ, temos, usando 4.8, que ϕ3 ◦ ϕ2(Xij(α)) = ψ(Xij(α)) = N−1Xij(α)N 38 ψ(C−1Xij(α)C) = ψ(C −1)ψ(Xij(α))ψ(C) = N −1 C −1 Xij(α)CN ψ(Xij(α)) = ψ −1(C−1)N−1C−1Xij(α)CNψ −1(C) ψ(Xij(α)) = L −1 Xij(α)L, que já analisamos. Portanto automorfismo do tipo 3 e 2, não triviais, não ocorrem em IS. Para as composições ϕ3◦ϕ4 e ϕ2◦ϕ3◦ϕ4, usando a matriz que está no 2-subgrupo de Sylow S, M =   1 0 . . . 0 −1 0 1 . . . 0 −1 . . . . . . . 0 0 . . . 1 −1 0 0 . . . 0 −1   , abordada anteriormente e supondo que estes automorfismos estão em IS, ou seja, deveriam fixar esta matriz, obtemos contradições. Para o caso de composições envolvendo os quatro tipos teŕıamos, para uma matriz invert́ıvel A e usando 4.8, que ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ ϕ3 ◦ ϕ4(A) = N−1AN, ou seja, ϕ2 ◦ ϕ3 ◦ ϕ4(A) = ϕ −1 1 (N−1AN) = P−1N−1ANP = L−1AL, mas acabamos de concluir que composições não triviais dos tipos 2,3 e 4 não ocorrem. Para os casos de composições dos tipos 1 com qualquer um dos outros três tipos chegamos em situações já analisadas. De fato, sendo ϕ um automorfismo do tipo 2, 3 ou 4 e B uma matriz invert́ıvel, temos: ϕ1(ϕ(B)) = N−1BN, logo ϕ(B) = ϕ −1 1 (N−1BN), e portanto ϕ(B) = L−1BL. Com isso investigamos todas as possibilidades e então podemos concluir que os únicos automosfismos de GL(n, Fq), em IS, são os internos. Portanto o grupo geral linear é solução para a propriedade do normalizador. Então, como se trata de um grupo G, tal que G = J ￿B, sendo J e B grupos que representam soluções para o (Nor), acreditamos ter dado um grande passo para verificar a validade da propriedade do normalizador para mais esta classe de grupos. Caṕıtulo 5 Posśıveis Generalizações Nesta parte do trabalho, iremos generalizar algumas definições que aparecem na seção 2.1, como a da operação ćırculo, a de grupos adjuntos dentre outras e daremos, fazendo uso destas definições, posśıveis generalizações de alguns dos resultados obtidos no caṕıtulo anterior, pensando em extensões dos grupos adjunto e ćırculo. Para generalizar as definições vamos sempre considerar um elemento k ∈ Z, de modo que k funcione simplesmente como um “contador” no decorrer das contas, ou seja, kxy =    xy + xy + . . . + xy￿ ￿￿ ￿ k−vezes , se k > 0 − (xy + xy + . . . + xy)￿ ￿￿ ￿ k−vezes , se k < 0 . Para k = 0 a próxima definição seria a conhecida operação de soma. Seguimos fazendo as definições como segue: Definição 5.1. Seja R um anel, não necessariamente com unidade. Definimos a nova operação em R por: x ◦k y = x + y + kxy para todo x, y ∈ R. Podemos verificar que esta operação continua sendo associativa: De fato, x ◦k (y ◦k z) = x ◦k (y + z + kyz) = x + y + z + kyz + kx(y + z + kyz) = = x + y + z + kyz + kxy + kxz + kxkyz = x + y + kxy + z + k(x + y + kxy)z = = (x + y + kxy) ◦k z = (x ◦k y) ◦k z. Veja que durante as contas usamos o fato de k ser um “contador” pertencente a Z. Observe que, x ◦k 0 = x + 0 + kx0 = x = 0 + x + k0x = 0 ◦k x, ou seja, o elemento 0 ∈ R continua sendo o neutro para a generalização. 39 42 h ◦Hi ∈ Hi+1/Hi com h ∈ Hi+1 e g ◦Hi ∈ Gk/Hi com g ∈ Gk e vamos mostrar que (h ◦k Hi) ◦k (g ◦k Hi) = (g ◦k Hi) ◦k (h ◦k Hi) ou equivalentemente, mostrar que h ￿ ◦k g￿ ◦k h ◦k g ∈ Hi. De fato, como h, g ∈ Gk, já temos que h￿ ◦k g￿ ◦k h ◦k g ∈ Gk. Mas h ∈ Hi+1, ou seja, h ∈ Ri+1 e como Ri+1 ⊆ Ri, temos que h, h￿ ∈ Ri. Dáı, h ￿ ◦k g￿ ◦k h ◦k g = h￿ ◦k g￿ ◦k (h + g + khg) = = h￿ ◦k (g￿ + h + g + khg + k(g￿h + g￿g + kg￿hg)) = = h￿ + h + khg + k(g￿h + kg￿hg) + kh￿(h + khg + k(g￿h + kg￿hg)) ∈ Ri, já que Ri é ideal. Mostramos assim que h ￿ ◦k g￿ ◦k h ◦k g ∈ Hi. e então segue-se o resultado da condição 2. Finalmente, conclúımos que Gk é um grupo nilpotente e então pelo teorema 2.3, ZGk ￿ ZH =⇒ Gk ￿ H ou seja, Gk é determinado pelo seu anel de grupo integral como queŕıamos demonstrar. E ainda podemos concluir que Gk, satisfaz o (Nor). 5.2 O grupo k-ćırculo como solução para o (Iso) e o (Nor) Lembrando da apresentação feita no terceiro caṕıtulo a respeito do problema do normalizador vamos considerar R um anel finito e Gk o seu grupo k-ćırculo. Mostraremos que os p-subgrupos de Sylow de Gk são normais em Gk e então Gk satisfaz as propriedades centrais do nosso trabalho. 43 Para obtermos tal resultado, faremos uma demonstração análoga à que foi desen- volvida no caṕıtulo anterior. De fato, temos por definição que se Gk é o grupo k-ćırculo de R então Gk e R são iguais como conjuntos, além disso, sendo R um anel, temos que R munido com a operação de soma, (R,+), é um grupo abeliano finito e então podemos escrever, (R, +) = Ap1 ⊕ Ap2 ⊕ . . .⊕ Aps em que Ap1 , Ap2 , . . . , Aps são pi-subgrupos de Sylow de (R,+). Vamos mostrar que cada um destes pi-subgrupos é um ideal de R. De fato, se x ∈ Ap e y ∈ Aq com p ￿= q, então xy = 0 pois, o(x) = pn e o(y) = qm. Logo, xy + xy + . . . + xy￿ ￿￿ ￿ pn = (x + . . . + x)￿ ￿￿ ￿ pn y = 0 xy + xy + . . . + xy￿ ￿￿ ￿ qm = x (y + . . . + y)￿ ￿￿ ￿ qm = 0 e então o(xy)|pn e o(xy)|qm sendo o(xy) = 1 e portanto xy = 0. Por outro lado se x, y ∈ Ap então, tomando no desenvolvimento acima p = q, temos que o(xy)|pn e portanto o(xy) = pm logo xy ∈ Ap. Considerando a ∈ R e b ∈ Api temos que a = ap1 + ap2 + . . . + aps e logo ab = apib ∈ Api e ba = bapi ∈ Api . Com estas observações conclúımos que Ap1 , Ap2 , . . . , Aps são ideais de R. Temos ainda que Api = Gk ∩ Api é um subgrupo normal de Gk. De fato, 1. 0 ∈ Api , logo Api ￿= ∅; 2. Tome a, b ∈ Api e b￿ ∈ Gk o k-quase-inverso de b, ou seja, b￿ = −b − kbb￿ e então b ￿ ∈ Api e a ◦k b￿ = a + b￿ + kab￿ ∈ Api ; 3. Tome h ∈ Api e g ∈ Gk, teremos que g ￿ ◦k h ◦k g = g￿ + h + g + khg + kg￿(h + g + khg) = = h + khg + kg￿h + k2g￿hg ∈ Api . Então usando as verificações 1, 2 e 3 conclúımos que Api = Gk∩Api é um subgrupo normal de Gk e em particular Ap1 é um 2-subgrupo de Sylow normal em Gk. Conclúımos então que Gk é uma solução para a propriedade do normalizador. De modo análogo, verificamos que todos os p-subgrupos de sylow de Gk são normais em Gk e portando este é um grupo nilpotente, satisfazendo ao problema do isomorfismo. 44 Os resultados obtidos neste caṕıtulo nos dão uma generalização dos resultados apresentados no caṕıtulo anterior de forma que se fizermos aqui k = 1, obteremos os resultados anteriores.