Baixe Funções de duas ou mais Variáveis e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS “Nenhum vento sopra a favor de quem não sabe para onde ir”. Sêneca Uma função de uma ou mais variáveis é simbolizada por uma expressão do tipo que significa que w é uma função de Como ocorre nas funções de uma variável, nas funções de várias variáveis temos: domínio, imagem, gráficos,... Restringir-nos-emos a funções de duas variáveis, que definiremos abaixo com um maior rigor. Definição: Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais de um conjunto um único valor real denotado por . O conjunto é o domínio de , e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de , ou seja, . É comum representarmos a função por onde x, y são as variáveis independentes e z é a variável dependente. Exemplo: O volume de uma piscina circular que depende do raio e da altura Exercícios: 1- Dada a função , determine: a) b) c) Resumo de algumas curvas muito úteis para determinarmos o domínio das funções de várias variáveis. CIRCUNFERÊNCIA: Equação reduzida da circunferência: Onde (a, b) é o centro da circunferência e r o raio da circunferência Exemplos: a) b) c) ELIPSE a) Equação reduzida (ou forma padrão) da elipse, onde a origem do sistema de coordenadas é o centro da elipse e o eixo maior está no eixo x. 1- Determine o domínio das seguintes funções de maneira algébrica e geométrica (esboço do domínio). a) b) c) d) e) f) g) h) i) Gráfico de função de várias variáveis Se f for uma função de duas variáveis, definimos o gráfico de no espaço xyz como sendo o gráfico da equação onde (x, y) pertencem ao domínio de f. Exemplos: Esboce o gráfico das seguintes funções: a) ( função linear) b) 1- 2- TEOREMA: (a) Se quando , então quando ao longo de qualquer caminho contínuo que esteja situado no domínio de . (b) Se o limite deixar de existir quando ao longo de alguma curva no domínio de , ou se tiver diferentes limites quando ao longo das curvas suaves diferentes no domínio de , então o limite de não existe quando . Encontre o limite das seguintes funções, ou mostre que não existe o limite: a) b) CONTINUIDADE Usando as mesmas idéias de funções de uma variável, definimos funções contínuas: DEFINIÇÃO: Diz-se que uma função é contínua em se . Além disso, se for contínua em cada ponto de uma região R do plano xy, então dizemos que f é contínua sobre R; e se f for contínua em todo o plano xy, então dizemos que f é contínua em toda parte. Ademais, diremos que f é uma função contínua, se ela for contínua em cada ponto do seu domínio. Exemplo de função contínua: funções polinomiais. DERIVADAS PARCIAIS DEFINIÇÃO: Se , então a derivada parcial de f em relação à x (também chamada de derivada parcial de z em relação à x) é a derivada em relação a x da função que resulta quando y é mantido fixo e x é permitido variar. Esta derivada parcial é denotada por (ou simplesmente ) ou e pode ser expressa pelo limite: Analogamente, a derivada parcial de f em relação à y (também chamada de derivada parcial de z em relação à y) é a derivada em relação a y da função que resulta quando x é mantido fixo e y é permitido variar. Esta derivada parcial é denotada por (ou simplesmente ) ou e pode ser expressa pelo limite: Exemplos: Determine as derivadas parciais de: a) DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Uma vez que as derivadas parciais e são funções de e , essas funções podem elas mesmas ter derivadas parciais. Isso origina quatro possíveis derivadas parciais de segunda ordem de f, as quais são dadas por: a) Derivando duas vezes em relação à x. b) Derivando duas vezes em relação à y. c) Derivando, primeiro em relação à y e, depois em relação à x. d) Derivando, primeiro em relação à x e, depois em relação à y. Exercícios: 1- Determinar as derivadas parciais de segunda ordem de: a) b) Teorema: Seja f uma função de duas variáveis. Se e forem contínuas em algum disco aberto, então nesse disco. Note que no exercício anterior, letra a, é válido o teorema. Teorema: Se as derivadas parciais e existem perto do ponto (a, b) e são contínuas em (a, b), então f é diferenciável em (a, b). DIFERENCIAIS Para uma função de uma única variável definimos o diferencial como uma variável independente; ou seja, pode ser qualquer número real. O diferencial de y é definido como: . 4- Determine a derivada direcional de em (-2,2) na direção do vetor unitário que faz um ângulo de com o eixo x positivo. DEFINIÇÃO: Se for uma função de duas variáveis e , então o gradiente de é a função vetorial definida por: Com esta definição, a fórmula de derivada direcional pode ser escrita como o produto escalar: 5- Determine a gradiente de no ponto (1,3) e use-o para calcular a derivada direcional de em (1,3) na direção do vetor . IMPORTÂNCIA DO GRADIENTE TEOREMA: Seja uma função de duas variáveis que é diferenciável em . a) Se , então todas as derivadas direcionais são nulas. b) Se , então dentre todas as possíveis derivadas direcionais de em, a derivada na direção e sentido de tem o maior valor. O valor dessa derivada direcional é . A derivada no sentido oposto ao de tem o menor valor, que é dado por . Exercícios: 6- Seja . Determine o valor máximo de uma derivada direcional em (-2,0). Determine o vetor unitário na direção do qual o valor máximo ocorre. 7- Uma partícula que procura calor está localizada no ponto (2,3) de uma placa lisa de metal, cuja temperatura em um ponto é . Qual é o vetor que representa a direção e o sentido da maior taxa de variação da temperatura? 8- Suponha que a temperatura em um ponto (x,y) do espaço seja dada por , onde é medida em graus Celsius e x, y em metros. Em que direção do ponto (2,0) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento? MÁXIMOS E MÍNIMOS Da mesma maneira que estávamos interessados em encontrar máximos e mínimos de funções de uma variável, vamos nos interessar em encontrar máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Para tanto, vejamos máximos e mínimos geometricamente. Integrais duplas sobre regiões limitadas por dois gráficos Para o cálculo de integrais em regiões não retangulares, devemos proceder da seguinte maneira: Nos seguintes casos: e nos seguintes casos: 3- Calcule , onde R é a região compreendida pelas parábolas e Observação: É possível calcular a área de uma região R compreendida entre duas curvas, como acima, usando integrais duplas, bastando para isto, usar a fórmula: Lista 4 1- A tabela abaixo apresenta dados numéricos sobre uma função chamada de índice de vento frio, que mede o efeito de frio ocasionado pelo vento, onde T é a temperatura real e v é a rapidez do vento. Responda: 6 km/h 10 km/h 20 km/h 30 km/h 40 km/h 50 km/h 60 km/h 70 km/h 80 km/h 90 km/h 100 km/h 20º 20 18 16 14 13 13 12 12 12 12 12 16 º 16 14 11 9 7 7 6 6 5 5 5 12 º 12 9 5 3 1 0 0 -1 -1 -1 -1 8 º 8 5 0 -3 -5 -6 -7 -7 -8 -8 -8 4 º 4 0 -5 -8 -11 -12 -13 -14 -14 -14 -14 0 º 0 -4 -10 -14 -17 -18 -19 -20 -21 -21 -21 -4 º -4 -8 -15 -20 -23 -25 -26 -27 -27 -27 -27 -8 º -8 -13 -21 -25 -29 -31 -32 -33 -34 -34 -34 -12 º -12 -17 -26 -31 -35 -37 -39 -40 -40 -40 -40 -16 º -16 -22 -31 -37 -41 -43 -45 -46 -47 -47 -47 -20 º -20 -26 -36 -43 -47 -49 -51 -52 -53 -53 -53 a) Qual o valor de ? Qual o seu significado? b) Descreva em palavras o significado da questão “Para que valores de v é ?” Em seguida, responda à questão. c) Descreva em palavras o significado da questão: “ Para que valores de T vale ?” Em seguida, responda à questão? d) Qual o significado da função ? Descreva o comportamento dessa função. e) Qual o significado da função ? Descreva o comportamento dessa função. 2-Dada a função . Determine, quando possível: a) b) c) d) e) D(f) f) O esboço de D(f) 3-Determine o domínio das funções abaixo, esboce-o e esboce o mapa de contorno para os valores de k dados: a) , k=0, 9,16 b) , k=-1,0,1 c) , k=-3, 0,3 d) , k=-2, 0,4 e) , k=0, 1,4 4- Uma camada fina de metal, localizada no plano xy, tem temperatura T(x,y) no ponto (x,y). As curvas de nível de T são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por. 5- Se V(x,y) é o potencial elétrico de um ponto (x,y) do plano xy, as curvas de nível de V são chamadas de curvas equipotenciais, porque nelas todos os pontos tem o mesmo potencial elétrico. Esboce algumas curvas equipotenciais de 6-Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo: a) b) c) d) e) 7- Verifique que as funções abaixo satisfazem: .