Geometria Analítica I, Manuais, Projetos, Pesquisas de Engenharia Civil

Baixe Geometria Analítica I e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! JACIR J. VENTURI álgebra vetorial e geometria analítica 8.a edição (atualizada) Este livro se encontra integralmente no site: www.geometriaanalitica.com.br com acesso gratuito. jacirventuriQ netpar.com.br O Copyright by Jacir J. Venturi FICHA CATALOGRÁFICA Catalogação na fonte: Biblioteca Central UFPR VENTURI, JacirJ., 1949- Álgebra Vetorial e Geometria Analítica / Jacir J. Venturi -8ºed.-Curitiba 242 p.:il. Inclui Bibliografia. ISBN85.85132-48-5 1. Álgebra Vetorial. 2. Geometria Analítica. | Título. CDD512.5 CDU514.124 ISBN 85-85 132-48-5 REF. 072 Composição/Desenhos: Herica Yamamoto Capa/Projeto Gráfico: Beatriz Susana Impressão e Acabamento: Artes Gráficas e Editora Unificado graficaDunificadopr.com.br graficaDunificado.com Indice CAPÍTULO 1 NOÇÕES PRELIMINARES 01. Elementos primitivos . 02. Pontoeretaimpróprios . CAPÍTULO 2 º RELAÇÕES SEGMENTÁRIAS NO ESPAÇO UNIDIMENSIONAL 01. Retaorientada.. 02. Medida algébrica de umsegmento. 03. Razão simples de três pontos 04. Divisão áurea... 05. Abscissas na reta 06. Distância entre dois ponto: 07. Razão simples de três ponto: CAPÍTULO3 SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO BIDIMENSIONAL 01. Sistema cartesiano ortogonal 02. Sistema cartesiano oblíquo .. 03. Pares ordenados: operações e igualdade 04. Distância entre dois pontos..... 05. Ponto que divide umsegmento numa razão dada. 06. Baricentro de umtriângulo 07. Sistemapolar... 08. Passagem dosistema polar para osistema cartesiano ortogonal.... e CAPÍTULO4 SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL 01. Sistema cartesiano ortogonal 02. Distância entre dois pontos... 03. Ponto que divide umsegmento numa razão dada. 04. Baricentro dotriângulo 05. Sistema cilíndrico 06. Sistema esférico .. 25 25 26 27 29 29 30 CAPÍTULO 5 VETORES 01. 02. 03. 04, 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. Sinopse histórica ..... Grandezas escalares e vetoriais Definições, etimologia e notações Paralelismo de vetores... Ra Multiplicação de um vetor por umescalar Coplanaridade de vetores Adição de vetores... Subtração de vetores Combinação linear de vetores Expressão cartesiana de umvetor Condição de paralelismo de dois vetores Condição de coplanaridade de vetores... Combinação linear de quatro vetores Ângulo de dois vetores .... Multiplicação interna ou escalar Expressão cartesiana do produto escalar Multiplicação vetorial ou externa Área de um paralelogramo e de umtriângulo . Multiplicação mista... Duplamultiplicação vetorial CAPÍTULO 6 º o. º VETORES: APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS CLÁSSICAS 01. 02. 03. 04, 05. 06. 07. 08. 09. Projeção de umvetor sobre umoutro vetor Projeção de umponto sobre umplano . Distância de ponto a plano... Distância de umponto a reta Distância entre duas retas Área de umtriângulo..... Área da projeção ortogonal de umtriângulo sobre umplano ..... Área da projeção não ortogonal de umtriângulo sobre umplano .. Co-senos diretores de umvetor . CAPÍTULO 7 OPLANONOE: 01. 02. Equação do plano ...... Pertinência de ponto a plant 64 64 64 67 68 70 70 72 77 77 79 84 87 89 90 97 104 Am 115 121 128 132 135 137 139 142 . 144 . 145 148 03. Interseção de um plano com os eixos coordenados 160 04. Equação segmentária do plano 162 05. Equação do plano que passa por umponto e ortogonal aumvetor......... 164 06. Casos particulares da equação geral do plano 166 07. Paralelismo e ortogonalidade de dois planos .. 171 08. Equação do feixe de dois planos . 176 09. Distânciade umP,aumplano e... 179 10. Equação dos planos bissetores 182 11. Ângulo de dois planos 183 CAPÍTULOS ARETANO E' 01. Equações da reta... 187 02. Posições relativas de duas retas . . 198 03. Condições de paralelismo e ortogonalidade de duas retas . . 199 04. Condição de coplanaridade de duas retas . 202 05. Interseção de retae plano . . 205 06. Interseção de duas retas . 206 07. Condições de paralelismo e ortogonalidade de reta e plano . 210 08. Distância de umponto aumareta... . 216 09. Distância entre duas retas reversas . 218 10. Ângulo de duasretas............ . 220 11. Ângulo de uma reta com umplant . 221 APÊNDICE - RECRÍANDO.. . 224 Jog. 1 Ventun J. Riegler se dispuseram a lero manuscrito e apresentar sugestões. O mesmo preito de gratidão estendemos à plêiade de colegas e amigos do Depto. de Matemática da UFPR, que nos propiciaram uma convivência de crescimento na disciplina, em mais de quatro lustros. Criticas e sugestões hão de surgir. E serão bem-vindas. Resta-nos o consolo de ter envidado esforços para empregar util- mente o nossotempo. "A censura que nos for feita - se faz oportuno Souza Pinto - há de ser mitigada pelo censor se ele chegar a ter consciência de nossa boa vontade emacertar.” ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Prezado Universitário: “Tinha 12 anos quando assisti à demons- tração de um teorema de geometria e senti uma espécie de vertigem. Parecia que estava descobrindo um mundo de infinita harmonia. Não sabia, então, que acabava dedescobrir o universo platônico, comsua ordem perfeita, com seus objetos eternos e incorruptíveis, de uma beleza perfeita e alheia a todos os vícios que eu acreditava sofrer. Assim, apesar deminhavocação ser a de escrever ou pintar, fui atraído durante muitos anos por aquela realidade fantás- tica." Neste excerto de entrevista, de 1987, o renomado escritor argentino Ernesto Sábato sintetiza um dos mais conspícuos encômios à Geometria e, por extensão, à Matemática "um mundo de infinita harmonia". Este é o sentimento que nós, professores, devemos transmitir aos alunos de boa vontade. A didática, de um lado, cobra do professor a sensibilidade para perceber o nível da classe e, a partir daí, iniciar o seu trabalho; que o professor dispa a postura hermética e estanque do ensino à base de "quadro-negro, giz e salivação"; que induza o seu discípulo a apreciar a Matemática como disciplina autônoma, abstrata e, concomitantemente, utilitária em diversos setores. De outro lado, faz-se mister que o aluno perceba o seu papel no processo, assumindo uma postura dinâmica e participativa. Não basta ao aluno sentar-se em sala de aula e ouvir a explicação do professor. E impossível aprender a jogar tênis apenas assistindo de camarote. Assim também com a Matemática: é necessário treino, exercícios e efetiva participação pessoal. A Matemática é uma disciplina que propicia o encetamento e a formação do raciocínio. E para a maioria das atividades profissionais (que exigem o nível secundário ou universitário) é o raciocínio a principal ferramenta de trabalho. Mesmo profissionais que não a utilizam, reconhecem que a Matemática enseja o apanágio da lógica, da têmpera racional da mente e da coerência do pensamento. Acreditamos que o estímulo ou o desestímulo pela Matemática ocorre a nível do Ensino Fundamental. A esse nível, tal como uma estrutura geológica, os conhecimentos matemáticos se sedimentam e se estratificam. Disso resulta, como maior legado, o entendimento e a Jog. 1 Ventun motivação pela disciplina no Ensino Médio. Este embasamento representa a condítio sine qua non para um bom rendimento na Faculdade. Isto posto, a carência de tal embasamento leva a obstáculos que podem ser transpostos na interação aluno-professor. A nós, professores, importa a sensibilidade à percepção de tais dificuldades bem como a disposição de retornar aos níveis anteriores sempre que necessário. E frustrante observar que em certos cursos - em especial noturnos - o índice de desistência atinge 50% até ou logo após a primeira avaliação. Se consciente da sofrível formação anterior, cabe ao universitário novel a busca junto aos livros, professores e colegas. Atirar pedras no passado, pela malsã qualidade de ensino ou pela má qualificação de alguns professores do Ensino Fundamental ou Médio, não leva a nada. "O importante - afirma Jean Paul Sartre - não é o que fizeram de nós, mas o que fazemos do que fizeram de nós". Ao ingressar na Universidade, o calouro sente-se perplexo e desamparado. Há, no sistema educacional brasileiro, uma dicotomia entre o Ensino Médio e a Faculdade. Enfatizam-se demonstrações, teoremas e abstrações aqui e quase nada lá. Cobra-se autodidatismo e raciocínio na faculdade de quem cursou (salvo exceções) um Ensino Médio preponderantemente à base de memorizações e expedientes similares. Tal procedimento - argumenta Valmir Chagas - “desenvolve uma estranha metodologia de perguntas e respostas tipificadas e gera maus hábitos de estudo". E uma ledice enganosa transferir a metodologia de ensino dos cursinhos ao Ensino Médio. Cabe à comunidade universitária a consciência das mazelas do sistema educacional brasileiro. Não é só: faz-se mister uma postura crítica e participativa diante das decisões administrativas e pedagógicas. Se tal situação não é apanágio do momento atual e sim tão antiga quanto o próprio Brasil, a ressalva cabe ao conformismo apático e ao fatalismo de aceitar as coisas como estão e como sempre foram. E papel precípuo da Universidade, e lhe cabe a iniciativa, promover física e socialmente a comunidade. Esta geralmente não tem consciência de seus próprios problemas e muito menos de como resolvê- los. O Autor ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA parte do ouvires. Destarte, tomou dois recipientes cheios de água e num recipiente imergiu um bloco de ouro e noutro recipiente, um bloco de prata. Como ambos os blocos continham o mesmo peso que a coroa, comprovou a fraude, pois constatou que os blocos deslocavam quantidades diferentes deágua. Deste fato decorre o princípio de Arquimedes, lei básica da Hidrostática: Todo corpo mergulhado num fluido recebe um impulso de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado. Paradoxalmente, Arquimedes era muito negligente em termos de asseio pessoal. Lê-se emPlutarco que Arquimedes "era porvezes levado à força para banhar-se ou passar óleo no corpo, que costumava traçar figuras geométricas nas cinzas do fogo, e diagramas no óleo de seu corpo, estando em um estado de preocupação total e de possessão divina, no sentidomaisverdadeiro, por seu amore deleite pela ciência”. Na 2.º Guerra Púnica, contra a poderosa razia do exército e marinha romanos, comandados pelo Cônsul Marcelo, a sagacidade de Arquimedes criou aparatos devastadores. Marcelo infligiu um cerco de 3 anos e em 212 a.C. a cidade de Siracusa rendeu-se. Adentrando-se às muralhas de Siracusa as hostes romanas promoveram a pilhagem, seguida de uma sangrenta matança. Um soldado aproximou-se de um encanecido senhor de 75 anos, que indiferente à chacina, desenhava diagramas na areia e absorto balbuciou: "Não toque nos meus círculos". O soldado enraivecido transpassou-o com a espada. Foramas derradeiras palavras de Arquimedes. Amaior grandeza se manifesta naMatemática: Arquimedes, em um círculo dado, inscreveu e circunscreveu um polígono de 96 lados e obteve a fórmula para o cálculo da área do círculo e, pormuitos séculos, o mais acertado valor para x: Uma metodologia absolutamente precisa para se calcular o valor dez surgiuem 1671 como consegiência da série de James Gregory. z 1,141 =1-5+0—5+ 4 3 5 7 Por essa série, o francês De Lagny em 1719 calculou as 112 primeiras casas decimais de 7 e em 1873 o inglês W. Shanks chegou manualmente a 707 casas (conta-se que teria levado 5 anos para a execução dos cálculos). Jog. 1 Ventun OBSERVAÇÃO: Apenas à guisa de ilustração, o símbolo x não foi usado na antigúidade grega no sentido atual. A introdução do simbolo x só aconteceu em 1706, porWilliam Jones, umamigo do Newton. A letra x é a inicial da palavra grega repipepeia que significa periferia, circunferência. Sabemos que 1 = 3,1415926535... é um número irracional. Em 1988, o japonês Yasumasa Kanada conseguiu calcular o x com 200 milhões de casas decimais. O supercomputador usado por Y. Kanada levou apenas 6 horas para fazeroscálculos. Arquimedes demonstrou que a área contida por umparábola (S,) e uma reta transversal é 4/3 da área do triângulo (S,) com a mesma base e cujo vértice é o ponto onde a tangente à parábola é paralela à base. Em seus trabalhos de geometria sólida encontramos, pela primeira vez as fórmulas corretas para as áreas da superfície esférica (S = 47R?, da calota estérica (27Rh) e para os volumes da esfera! 2Rta e dofuso esférico af | 3 3 O ilustre siracusano tratou de forma exaustiva sobre o centro de gravidade de figuras sólidas e planas. Obteve a área de uma elipse (S = xab) e descreveu sólidos de revolução gerados por parábolas, elipses e hipérboles em torno de seus eixos (quádricas de revolução). Descreveu a curva hoje conhecida como Espiral de Arquimedes (em coordenadas polares têm equação p = k9) e pela primeira vez determina a tangente a uma curva que não seja o círculo. De forma inédita, Arquimedes apresenta os primeiros conceitos de limites e cálculo diferencial. Apolônio de Perga parece ter-se considerado um cordial rival de Arquimedes, e muito pouco se sabe de sua vida. Supõe-se ter sido educado em Alexandria e por algum tempo ter ensinado em sua "Universidade". Graças ao apoio de Lisímaco, general de Alexandre, transferiu-se para Pérgamo (donde a palavra pergaminho), onde havia uma Biblioteca e uma "Universidade" só inferiores às de Alexandria. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Apolônio, e não Euclides, mereceu dos antigos o epíteto de o Grande Geômetra e isto pode nos parecer inaceitável. A verdade é que não se pode questionar o mérito de ambos. Euclides tornou-se sinônimo de Geometria por sua amplamente conhecida obra Os Elementos, enquanto amaiorparte das obras de Apolônio desapareceram. O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de Alexandria (século IV d.C.), que fez uma breve descrição de sua monumental produção matemática. Infere-se que os tratados de Apolônio continham uma Matemática bastante avançada e inclusive muito do que conhecemos hoje como Geometria Analítica. Para gáudio de todos, porém, o tratado As Cônicas, sobre seções cônicas, suplantou todas as obras existentes na antiguidade. O tratado As Cônicas é composto de 8 livros, sete dos quais sobreviveram. Einegável a influência de Apolônio sobre Isaac Newton, Ptolomeu (tabelas trigonométricas, sistemas de latitude e longitude), Kepler ("os planetas descrevem órbitas elípticas em tomo do Sol, com o Sol ocupando umdeseusfocos"), Galileu ("a trajetória de umprojétil é uma parábola"). Sabemos que a Geometria Analítica faz uma simbiose da Geometria com a Álgebra. Face o exposto, concluímos que os gregos promoveram um extraordinário incremento à Geometria. No entanto, como não dispunham de uma notação algébrica adequada, a Matemática grega teve o seu ocaso com Apolônio. A Álgebra, podemos afirmar de forma concisa, possui uma dupla paternidade: Diofanto e Al-Khowarizmi. Diofanto de Alexandria viveu no século Ill d.C., e sua principal obra foi Aritmética, tratado que originalmente era composto de 13 livros, dos quais só os 6 primeiros se preservaram. O principal mérito da Aritmética é a utilização de notações, ou seja, de uma linguagem mais sincopada,maissimbólica para a Matemática. Por seu turno, Al-Khowarizmi viveu por volta de 800 d.C. na cidade de Bagdá, que emerge como uma nova Alexandria. Sua principal obra Al-Jabr deixou marcas indeléveis em toda a Europa. Al-Jabr recebeu aformalatinizada Algebrae (Álgebra). Em árabe Al-Jabr significa, numa tradução mais livre, deslocação e parece "referir-se à transposição de termos subtraídos para o outro lado da equação". Os símbolos 0, 1,2,3, 4,5, 6, 7, 8, 9tiveram notável receptividade na Europa através da obra de Al-Khowarizmi. Daí serem denominados algarismos arábicos, mas que a bem da verdade são de origem hindu. Fulcrado nos geômetras gregos e no desenvolvimento da Álgebra em toda a Europa, Pierre de Fermat concluiu em 1629 o manuscrito Ad locos planos et solidos isagoge (Introdução aos lugares planos e sólidos). Para a maioria dos historiadores, tal manuscrito representa o marco zero da Geometria Analítica. E curioso observar que Fermat não era um matemático. Estudou Jog. 1, Ventun Noções preliminares 1. ELEMENTOS PRIMITIVOS A geometria euclidiana admite como elementos primitivos os pontos, as retas e os planos. Notação: PONTOS: letras latinasmaiúsculas. Ex.:A,B,C... PQ... RETAS: letras latinasminúsculas. Ex.: a, b,c...rs,t... PLANOS: letras gregas minúsculas. Exa By... 2. PONTO ERETAIMPRÓPRIOS a) Ponto impróprio Se duas retas re s são paralelas entre si, então elas têm a mesma direção ou mesmo ponto impróprio. O ponto impróprio da reta s pode ser imaginado como o ponto no infinito de s e é o mesmo paratodas as retas que são paralelas a s; será indicado por P,.. b) Retaimprópria Se dois planos a e B são paralelos, então têm a mesma jacência ou a mesma reta imprópria. A reta imprópria de a pode ser imaginada como a reta no infinito desse plano e é a mesma para todos os planos paralelos a «; será indicada porra. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA OBSERVAÇÃO: Chama-se ponto próprio ao ponto na sua acepção usual. Assim, duas retas concorrentes têm em comum um ponto (próprio). Analogamente, dois planos concorrentes se interceptam segundo uma reta (própria). Cada reta própria tem um único porto impróprio. Em cada plano existe uma única reta imprópria. A reta imprópria é constituida exclusivamente de pontos impróprios. Duas retas impróprias têm em comum um único ponto impróprio. Todos os pontos e retas impróprios do espaço pertencem a um único plano impróprio. O PROFESSOR ARREPENDIDO Histórias pitorescas sempre têm um pouco de fantasia, principalmente, quando se reportam a homens bem- sucedidos. Conta-se que na Universidade de Harvard havia um professor deMatemática extremamente rigoroso. Naúltima avaliação do ano, elaborou uma prova muito difícil e lançou um desafio a seus alunos: "se um de vocês tirar nota 10 nesta prova, peço demissão da Universidade e serei seuassessor". Era seu aluno um fedelho de 17 anos, no entanto, brilhante nessa disciplina, con- siderada a "rainha e serva de todas as ciências". Obteve nota 9,5. Até hoje, o nosso caro professor lamenta ter sido tão exigente. Perdeu a oportunida- de de se tornar um dos homens mais ricos do Planeta. Em tempo: o aluno se chamava Bill Gates. História de uso corrente. Texto do autor. Jog. 1 Ventun O PROBLEMA DA QUADRATURA DO CÍRCULO Foi proposto inicialmente por Anaxágoras (499 - 428 a.C.). Aprisionado em Atenas por suas idéias muito avançadas para a época, afirmara que o Sol não era uma divindade, masumagrandepedraincandescente,maior que o Peloponeso (península do sulda Grécia) e que a Lua não tinha luz própria e a recebia do Sol. Anaxágoras foi professor de Péricles (490 - 429 a.C.), que o libertou da prisão. Ademais, exerceu forte influência no primeiro dos três grandes filósofos: Sócrates, Platão, Aristóteles. Problema da Quadratura do Círculo: dado um círculo, construir um quadrado de mesma área. Como os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a Geometria, propunham solução apenas com régua (sem escala) e compasso. No século XIX, demonstrou-se que nestas condições este problema éirresolúvel. A solução é trivial se lançarmos mão dos recursos da Álgebra: So= So xRº=(*. Admitindo porex. R=3 3) =0" e=8Vx ou (=5,31 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Relações segmentárias no espaço unidimensional O matemático e astrônomo alemão, Móôbius (1790-1868) foi quem adotou a convenção de sinal às medidas de distâncias, ângulos, áreas e volumes. 1. RETAORIENTADA Uma reta é orientada, se esta- (reta) belecermos nela um sentido de percurso como positivo; o sentido contrário é negativo. O sentido positivo é indicado 3» | porumaseta. Umreta orientada também (reta orientada) é chamada de eixo. 2.MEDIDA ALGÉBRICA DE UMSEGMENTO Sejam dois pontos A e B pertencentes a uma reta orientada r. A medida algébrica do segmento finito e orientado AB é um número real, positivo se sua orientação for concordante com o sentido positivo da reta e é um número real negativo, em caso contrário. O número real que é a medida algébrica do segmento AB é representado por AB. Ao eixo se associa uma unidade de comprimento u. Exemplo: A B r +++ AB=+4u (onde A é origem e B extremidade) BA= -4u (onde B é origeme A extremidade) Os segmentos orientados AB e BA têm respectivamente medidas algébricas iguaisa 4 e -4. Então: AB+BA=0 ou AB=-BA Jog. 1 Ventun 3. RAZÃO SIMPLES DE3 PONTOS a) Definição Dados os pontos A, B e P, de uma reta r, denominamos razão simples desses pontos, nessa ordem, ao quociente, AP. que é simbolizado por (ABP). BP Assim: P Ai (ABP)= 5 OBSERVAÇÃO: Se (ABP) =k, diremos que P divide o segmento AB na razãok. b) Sinal A razão simples (ABP) será positiva se o ponto P for externo ao segmento finito AB. Se interno, a razão será negativa. Assim: A P Br A B Pr + + + > + ! uy > (ABP)= O (ABP)= O c) Exemplos 19 A c B r DD E O ponto C divide o segmento AB na razão simples iguala -3. 2) P q Ar PA aa o2? O ponto A divide o segmento PQ na razão simples iguala 3. (PA) = ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA d) Casos particulares 1.SeP=A, arazão simples é nula. P=A B r > + + ———————+ AP =gp ppl (ABP) 2.Se P=M (pontomédio), arazão simples éiguala -1. A P B r —— + M (aBp)=AP - AP BP -AP. 4. DIVISÃO ÁUREA a) Definição Umponto P divide unsegmento AB emmédia e extremarazão se: AP=AB.PB Diz-se também que AP é o segmento áureo de ÀB. OBSERVAÇÃO: Não prescindindo do rigor matemático, deve-se apresentar uma segunda relação para o segmento áureo: PB" = AB. AP. b) Cálculo Dado o segmento AB = a, calcular o seu segmento áureo AP =x. A P B a-x Jog. 1 Ventun Então: OP, + PP,=OP, PP,=OP,-OP, P,P,=X-x, Exemplo: Dadas as abscissas x,= 5 e x, =- 3, calcular ABe BA. Resolução: AB=x;-X,=-3- BA=x,-x,=5-(-3)= 7. RAZÃO SIMPLES DE3 PONTOS POR SUAS ABSCISSAS Sejam os pontos P,, P, e Pde umareta orientada r, com abscissas X, x,e xrespectivamente. o P, P, q x Determinar a abscissa x do ponto P que divide o segmento P, P, numacertarazãok. Então: k=(P,P,P) k- RP k= *% PP X—Xp ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Isolando ox: Caso particular:sek =- 1 tem-se: X+X Onde x é a abscissa do pontomédiodeP,P, . Exemplo: a Achar a abscissa do ponto P que divide o segmento AB na razão 2. Dados x,=3ex;=7. xa-kx 3-2) Resolução: = = E! esolução. E > o A B P Figura: +++ + 3 7 n Portanto (ABP) = 11 BCTgAO] “Que nenhum desconhecedor da geometria entre aqui." (Inscrição no frortispício da Academia de Platão) 01. O ponto P divide o segmento PP, numa certa razão k. Cal- culark, conhecendo-se respectivamente os pontos pelas suas abscissas x=3,x=6e x=-2 -3 Resp.: k=>E 5 02. Dados (ABP) =5, x,=2, x,=5, calcular x,. Resp.:17 Jog. 1 Ventun 03. Obter a abscissa do ponto P.talque PA .PB=PC. PD. Dados: x,= -2, x,=0, X=3, x,=5 Resp.: à 2 04. Considere O, A, B, C pontos colineares, onde O representa a origem. Calcule a abscissa x do ponto C na igualdade: AB+2CA+OB-3BC=3 Dados:x,=2 e x=5 Resp.: 24 5 05. Achar a distância QP tais que (ABP) = — 1 e(ABQ)= 1 sen- dox,=2 e x,=8 2 2 Resp.: 8 06. Sendox,=3 e x,=8, calcular as abscissas dos pontos P, e P, quedividem ABem3partesiguais. Resp.: 14 e 18 3 3 07. Achar as abscissas dos pontos que dividem PQ em 4 partes iguais. Dadosx,=-3 e x,=6 Resp.: 3318 42 4 “Gigantes são os mestres nos ombros dos quais eu me elevei." ISAAC NEWTON (1642 - 1727), físico, astrônomo e matemático inglês. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Sistemas de coordenadas no espaço bidimensional 1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Um sistema de eixos orto- gonais no plano é constituído de duas retas orientadas x e y, perpendiculares entre si e de mesma origem O. A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo das abscissas; a reta orientada y é denominada eixo y ou eixo das or- denadas; os eixos xe y são os eixos coordenados e dividem o plano em 4 partes ou quadrantes. Por um ponto qualquer do plano traçam-se perpendiculares sobre cada um dos eixos, determinando neles os pontos P,e P, detalsorte quex=OP, e y=OP,. Destarte, podemos associar a cada ponto P do plano um par ordenado de números reais. Assim o ponto P fica determinado por suas coordenadas cartesianas ou também chamadas coordenadas retan- gulares: P=(x,y) onde x é abscissade P e y a ordenada de P. Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se no plano um único ponto P. Há, portanto, uma correspondência bijetiva entre os pontos do plano e os pares de números reais. Particularidades a)0=(0,0) > origem do sistema cartesiano. b)P,=(x,0) > projeção ortogonal de P sobre o eixo das abscissas. o)P,=(0,y) > projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas. Jog. 1 Ventun 2. SISTEMA CARTESIANO OBLÍQUO O sistema cartesiano será denominado oblíquo se o ângulo entre os eixos x e y não for de 90º. Propositalmente, em respeito à sim- plicidade olvidamos o estudo em eixos oblíquos. Tais sistemas mono- tonizam a exposição e dificultam sobremaneira a dedução e memori- x zação defórmulas. 3. PARES ORDENADOS: OPERAÇÕES E IGUALDADE a) Adição Ox 0) + (Oto Ya) = (4 + Xos Vs t+ Ya) Exemplo: (2,5)+(1,-3)=(3,2) b) Multiplicação por umnúmero real k K Ox, yo) = (kk, Kyo) Exemplo: 3(5,-1)=(15,-3) c) Igualdade de dois pares ordenados (o y)= (ay) & x=xe y=y, Exemplo: (x-1,y+3)=(1,7) Donde: x-1=15 x=2 y+3=75 y=4 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 4. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos P, = (x,, y;) e P,= (x,, y.), deseja-se calcular a distância d entre P, e P,. Apli- cando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo P,AP, , tem-se: d=(x-x,P+(yo—y) ou : Lo op x E d=Jlx,—x,2+(y, yo)? “O oposto do amor não é o ódio, mas a indiferença." Érico Veríssimo (1905-1975), romancista gaúcho. 01. Sendo A = (2,3) e B = (1, 5), calcular as coordenadas cartesianas de Pem PA =B. Resp.:P=(0,7) 02. O segmento AB tem comprimento de 4 unidades. Conhe- cendo-se o ponto A =(-2, 1), achar a abscissa de B, cuja ordenada é 1. Resp.: -6e2 03. Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triângulo egjilátero de vértices A = (3,3), B=(-3,-3)eC= (-343, 343). Resp.: 9/6 04. Dados os pontos A = (2,y),B=(-8,4) eC = (5,3), determinar y para que ABC seja umtriângulo retângulo com ângulo reto no vértice A. Resp.:y=-20uy=9 Jog. 1 Ventun b) Cálculo Dado o triângulo de vértices A = (x,, ya), B=(Xa; Yo) 6 C=(Xc Yo). A O baricentro G divide a mediana AM 3 numa razão facilmente determiná- AM vel: 3 AG 2 AMG) = = =2 À (AMO) = gg 71 — AM 3 1 DG O É a c + Então: qo =-2 Introduzindo as abscissas : Xe —Xa Xa +2Xy =-2 ou Xç=5—" Xe — Xu e 3 O Substituindo-se (2) em (1) tem-se: Ma tXa Xe Xe 3 Analogamente para a ordenada do baricentro obtém-se: +ye + vota ta Ye eo “Quando morreres, só levarás contigo aquilo que tiveres dado." Saadi (1184-1291), poeta persa. 01. Determinar as coordenadas dos pontos P, e P, que dividem o segmento A=(3,-1)eB=(0,8) em3partesiguais. Resp.:P,=(2,2)eP,=(1,5) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 02. Até que ponto da reta o segmento de extremos A = (1,-1) e B= (4,5) deve ser prolongado no sentido de A para B para que o com- primento quintuplique? Resp.:P=(16,29) 03. O baricentro de um triângulo ABC é o ponto G=(4,0) e M=(2,3) 0 pontomédiode BC. Achar as coordenadas do vértice A. Resp.:A=(8,-6) 04. Num triângulo ABC, são dados os vértices A =(-4,10)e B=(8, -1). Determinar o baricentro G e o vértice C, sabendo-se situados respectivamente sobre os eixos ye x. Resp.:G=(0,3)eC=(-4,0) 05. Calcular as coordenadas dos extremos A e B do segmento que é dividido emtrêspartes iguais pelos pontos P,=(-1,3)e P,=(1,5). Resp.:A=(-3,1)eB=(3,7) 7. SISTEMA POLAR No plano, a importância do sistema polar só é suplantada pelo sistema cartesiano. E utilizado, entre outras disciplinas, em Cálculo Diferencial e Integral, onde o sistema polar apresenta próceras vantagens. Mais especificamente, na representação de certas curvas e em problemas relativos a lugares geométricos. Na prática também empregado na navegação, aviação, etc. O sistema polar é carac- terizado no espaço bidimensional por uma reta orientada p e um B, ponto O pertencente atalreta. p > eixo polar do sistema O pólo do sistema Jog. 1 Ventun O ponto P fica determinado no plano por suas coordenadas polares: P=(p,6) onde: p=OP (p>0) éadistância polar ouraio vetor de P. 9(0º<6 <27) é 0 argumento, anomalia ou ângulo polar de P. Reciprocamente, dado um par ordenado de números reais, é possível localizar no plano um único ponto, do qual aqueles números são as coordenadas polares. b) Convenção O argumento 6 será considerado positivo se sua orientação for a do sentido anti-horário e negativo se no + sentido horário. O raio vetor p é positivo quando assinalado no lado terminal de 6 õ pe negativo quando no seu prolonga- mento. OBSERVAÇÃO: Tenha-se presente que o argumento 6 admite múltiplas determinações: 2kt+0. c) Representação gráfica de pontos Na prática, utiliza-se o papel quadriculado polar em que o raio das circunferências concêntricas aumentam de 1 em 1 cm, e os ângulos de 15º em 15º. Compensa-se a ausência do papel quadriculado polar com régua milimetrada e transferidor. Exemplos: Representar os pontos emcoordenadas polares: A=(5,30º) D=(4,-120º) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 01. Passar do sistema cartesiano para o sistema polar: a) A=(-3, 3/3) Resp.: (85) bJB= (33, 3) Resp.: (55) c)x+y-3x=0 Resp.: p(p-3 cos 6)=0 A +yf=3(0") Resp.: p'=3pºcos 20 eJxX+y+xy=5 Resp.: pe(1+; senzo)=s f)x+y-2=0 Fesp: p= Bros O 02. Passar do sistema polar para o sistema cartesiano. a) [2-5] Resp.: (43.1) b) o-[25] Resp.: (3,1) c)p'=ksen2o Resp.: (+) =2kxy d)p'cos'20=2 Resp.:(X-y)'=2(X +) 03. Achar as coordenadas polares do ponto simétrico de A= [2 — 3) emrelação ao eixo polar. Resp.: 2% les) 04. Idem para o ponto Bde coordenadas cartesianas (4, —3). Resp.: [5 arc cosg) Jog. 1 Ventun 05. Representar p=2e0<0<7 Resp.: (semi-circunferência de raio igual a 2) o P 06. Transformar a equação p” = a” cos 20, do sistema polar para o sistema cartesiano. Resp.:(+y) =a(x-y”) OBSERVAÇÃO: Tal curva do 4.º grau, descoberta por Jacques Bernoulli, é denominada Lemniscata (do grego lemnisko que significa ornato, laço de fita), Série B 07. Passar do sistema polar para o sistema cartesiano: 2 a)p=ko Resp.:x+y'=kê [ar 4) (espiral de Arquimedes) =k Ns bP=% Resp.:x+y'= vou [ar o!) (espiralhiperbólica) c) log,p=ko Resp.: X+y? (espirallogarítmica) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA OBSERVAÇÃO: Apenas a título de curiosidade, representamos os respectivos gráficos: p a) espiral de Arquimedes b) espiral hiperbólica c) espiral logaritmica A espiral logaritmica é aplicada em Mecânica dos Solos, por sera forma admitida para as linhas de deslizamento de um maciço terroso. 08. Deduzir a fórmula da distância entre os pontos P, = (p,, 6,) e P,=(p,, 8,), emcoordenadas polares. Resp.: d? = pi + pá —2p,p, cos(6, — 6,) SUGESTÃO: = (xx) + (yo yi) Substitua: X,=P,C0S0,,X, =p, COS0,,y,=p, Sen O, y,=p, Send, Jog, 1 Ventun Num dos rolos de papiro, encontrou a informação de que na cidade de Siena (hoje Assuan), a 5.000 estádios (cerca de 925Km) ao sul de Alexandria, ao meio-dia do solstício de verão (o dia mais longo do ano, 21 de junho, no hemisfério norte) colunas verticais não projetavam qualquer sombra; ou seja, o Solse situava a prumo. Entretanto, o nosso conspícuo geômetra observou que no mesmo dia de solstício, as colunas verticais da cidade de Alexandria projetavam uma sombra perfeitamentemensurável. Aguardou o dia 21 de junho do ano seguinte e determinou que se instalasse uma grande estaca em Alexandria e que se escavasse umpoço profundo em Siena. Ao meio-dia, enquanto o Sol iluminava as profundezas do poço de Siena (fazia ângulo de 90º com a superfície da Terra), em Alexandria Eratóstenes mediu o ângulo 6 = 7º12', ou seja: 1/50 dos 360º de uma circunferência. Portanto, o comprimento do meridiano terrestre deveria ser 50 vezes a distância entre Alexandria e Siena. Por tais cálculos, conjecturou que o perímetro da Terra seria de 46.250Km. Hoje, sabemos que é de 40.076Km. E evidente que Eratóstenes não dispunha dos valores precisos nem do ângulo 6 e muito menos da distância entre as duas cidades, que havia sido medida a pé, por escravos que deveriam seguir em linha reta, atravessando o Rio Nilo, pântanos, desertos, aclives e declives. Ademais, as cidades de Alexandria e Siena não estão sobre o mesmo meridiano como supunha Eratóstenes, havendo uma diferença de quase 3º. (do autor) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Sistemas de coordenadas no espaço tridimensional 1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Em Geometria Analítica plana as equações contêm duas variáveis. Na espacial, três variáveis. Nesta se exigirá maior esforço de visualização das figuras. O conjunto de pontos do espaço tridimensional será indicado por E. Sejam x,y e z três retas orientadas mutuamente perpendiculares entre si e concorrentes no ponto O. Destarte o triedro (Ox, Oy, Oz) é triretângulo. Principais elementos : - ponto O > origem do sistema cartesiano. -retas orientadas — eixos cartesianos. - planos xy, xz, yz —> planos cartesianos. Pelo ponto P traçam-se três planos paralelos aos planos coordenados e juntamente com estes individualiza-se um paralelepípedo retângulo, cujas faces interceptam oseixosxemP, yemP,ezemP,. Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla de números reais. Assim o ponto P fica determinado por suas coordenadas Jair. 1. Ventun cartesianas ortogonais : P=(x,y,2) onde: x=OP, > abscissa y=OP, — ordenada z=OP, > cota O sistema cartesiano em estudo estabelece uma correspondência bijetora entre cada ponto do espaço e a terna de números reais. Os planos coordenados dividem o espaço em 8 regiões, denominadas oitantes ou octantes. Particularidades a)0=(0,0,0) — origem do sistema cartesiano. b)P,=(x,y,0),P,=(x,0,2), P,=(0,y, z) representam as projeções ortogonais do ponto P sobre os planos coordenados xy, xz e yz. c)P,=(x,0,0), P,=(0,y.0), P,=(0,0,z) representam as projeções ortogonais do ponto P sobre os eixos coordenados x, y e z. d) Não sendo os eixos mutuamente perpendiculares temos um sistema de coordenadas oblíquas. São válidas as operações de soma e multiplicação por escalar. comastriplas (x, y; Z;) € (X», Y2, Z5), bem como a condição de igualdade de 2 triplas (item 3, do capítulo 3). Um verdadeiro repto à matemática hodierna foi e está sendo o estudo de espaços a 4 ou mais dimensões. Einstein, em sua Teoria da Relatividade apóia-se em um espaço de 4 dimensões. E toda a nossa estrutura mental, fulcrada numa geometria euclidiana de 2 ou 3 dimensões sofre uma vigorosa transformação. Por exemplo, num espaço de 4 dimensões (não representável geometricamente), a intersecção de dois planos pode ser um único ponto. Ou ainda, é factível a retirada de um objeto (ou um ponto) do interior de um paralelepípedo sem atravessar as suas paredes. 2. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos P, = (x,, y,. Z;) € P, = (X., Y., Z;), a distância d ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 05. Nafigura, achar as coordenadas dos pontos A, B,CeP. z 06. Provar que otriângulo A = (1, 2,0), B=(4,0,-1)eC=(2,-1,2) é equilátero. 07. Achar as coordenadas do ponto P que divide o segmento AB narazão2. Dados A= (2,5, -1)eB=(3,0,-2). Resp.:P=(4,-5,-3) 08. No sistema cartesiano ortogonal, determinar as distâncias do ponto P=(1,-4, -2) aos eixos coordenados x, y e z. Resp.: 2/5, 5, 7 09. Achar os pontos do plano xz cuja distância ao ponto A = (1, 1,0) é2eaopontoB=(2,0, 1) é 3 (Barsotti). Resp.: P-[2. 0, E e pag ] 10. Numtriângulo ABC são conhecidos os vértices B = (2, 1,3)e C=(0,5,4) etambém o baricentro G =(1, 2,3). Calcular o vértice A. Resp.:A=(1,0,2) Jog. 1 Ventun 11. Os pontos A, B, M são colineares e M é o ponto médio de AB. Sabendo-se que A = (1,3, 5) e M= (0, 1,2), achar as coordenadas carte- sianas do ponto B. Resp.:B=(-1,-1,-1) 12. Calcular os vértices de um triângulo onde são dados o baricentro G = (2,2,3) e os pontos médios de dois lados, M, = (1,2,4)e M.=(2,3,3). Resp.:(2,0,3), (0, 4,5), (4,2,1) 13. Achar o volume da pirâmide de base OABC e P o vértice supe- rior. Dados O = (0,0,0),A =(2,0,0),B=(2,2,0),C=(0,2,0)eP=(1,1,9). Resp.:12u.v. SUGESTÃO: Abase é umquadrado, cujo lado é 2. Aalturahéa cotado ponto P, ouseja, h=9. 1 V=3(Sonpc) 14. Até que ponto se deve prolongar o segmento de reta de extremidades A = (1,-1,2) e B= (4,5, 6) para que se triplique o seu comprimento no sentido de A para B? Resp. :(10,17,14) 15. O ponto P pertence ao eixo z e equidista dos pontos A = (2, 3, 0) eB=(0,1,2). Encontrar P. Resp.:P=(0,0,-2) 16. Dados dois vértices A =(9, -5, 12)e B=(6, 1, 19) de umparale- logramo ABCD e P = (4,1, 7) o ponto de intersecção de suas diagonais, determinar os vérticesCe D. Resp.:C=(-1,3,2)eD=(2,-3,-5) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA SUGESTÃO As diagonais de umparalelogramo se bissecam emseupontomédio. 5. SISTEMA CILÍNDRICO No espaço tridimensional o sistema cartesiano reina quase soberanamente. Em alguns tópicos da engenharia e em cursos de licenciatura, dois outros sistemas também são usuais: o sistema cilíndrico eosistema esférico. a) Considere em um plano a um sistema polar, cujo pólo é O e cujo eixo polar é p; além disso, considere um eixo z de origem O e ortogonal ao plano a. Dado um ponto qualquer P do espaço E”, faz-se a seguinte construção, ilustrada na figura abaixo: P é projetado ortogonalmente sobre oplano ae sobre oeixoz;P'e P,são as respectivas projeções. Assim, ficam determinados três números p, 6 e z que são suas coordenadas cilíndricas: P=(p,0,z) onde: p=OP'(p>0) éa distância polar ouraio vetorde P. 8 (0º<6<27) é0 argumento, anomalia ou ângulo polar de P. Jog. 1 Ventun 6. SISTEMA ESFÉRICO a) Seja O (pólo) um ponto do espaço E” pelo qual passa uma reta orientada z (eixo polar). O plano a é passante por z. P um ponto do espaço tridimensional. O semi-plano B de bordo z z contémP. Dado o ponto P, ficam determinados os três números p, O e q, que são suas coordenadas esféricas: P P=(p,0,0) p =OP, a distância polar ou raio vetor 7 deP; 8a colatitude de P — é a medida do ân- <> gulo que o eixo zforma com OP; 9 a longitude ou azimute de P- é a medida do ângulo que o plano « forma com o semi-plano B. Reciprocamente, dado um terno ordenado de números reais, é possível localizar no espaço um único ponto do qual os números do terno são as coordenadas esféricas. Para que a um ponto corresponda um único terno de coordenadas esféricas, costuma-se fazer as seguintes restrições : p>0 0<o<z O<g<27 Plano meridiano Na figura ao lado, tem-se uma aplicação de Greenwich notável do sistema esférico: as coordena- das geográficas de um ponto P. O ângulo q é a longitude de P e 6 a sua colatitude. Re- corde-se da geografia que colatitude é o complemento da latitude, esta representada nafigura pelo ângulo ct. OBSERVAÇÃO: A denominação esférica provêm do fa- to de se imaginar uma superfície esférica que contém P, de centro em O e cujo raio éaconstantep. Plano equatorial ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA b) Passagem do sistema esférico para o sistema cartesiano ortogonal Faz-se coincidir o plano a« com o plano xz. O ponto P tem projeções sobre os eixos cartesianos ortogonais em P, P,e P.. O ponto P'é a projeção de P sobre o plano cartesiano xy. z x Emrelação aos dois sistemas, tem-se : P=(x,y,z) > coordenadas cartesianas de P. P=(p,0,9) > coordenadas esféricas de P. Por construção, observe-se que P,P = OP”. Do triângulo retângulo OP,P, obtém-se: [+] PP=pseno P e / z=pcos6 Jog. 1 Ventun Otriângulo retângulo OP,P'fornece: o « x=OP'cosg N masOP'=PP=pseng x x=psenôcosg * y=OP'seno ou El P, y Pp y=psenôseng * ava go=+ Cálculo dep Dos dois triângulos retângulos em destaque : OP“=x+y'= PP” e p=PP4Z ou p=xsysz Exercíci Grandes obras não nascem apenas de grandes idéias. 01. Passar do sistema cartesiano para o sistema esférico: aJA=(2,-2,0) Resp.: A = (242, 90º, 315º) bjB=[5, 8 -5V2 Resp.:B=(5, 135º, 45º) 22 2 c)5x-5y'=8z Resp.:5psen'9cos29 =8cos6 02. Transformar o sistema esférico em sistema cartesiano ortogo- nal: a) A-(i2 z 3) Resp.: A=(9, — 3/3, 6) 3 6 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA c)Imagem geométrica ourepresentante de umvetor Na figura ao lado tem-se um conjunto de segmentos orientados de um único vetor. O segmento orientado é um conjunto de pontos, ao passo que vetor é um conjunto de segmentos orientados. Cada segmento orientado é, a rigor, a imagem geométrica ou o representante de umvetor. A figura apresenta quatro segmen- tos orientados ou então quatro imagens geométricas de ummesmo vetor. Como abuso de linguagem, em- prega-se a palavra vetor em vez de imagem geométrica do vetor. De acordo com a locução latina abusus non tollit usum (o abuso não tolhe o uso) também nós vamos escrever ou verbalizar a palavra vetor como imagem geométrica do vetor. d) Etimologia da palavra vetor B Provém do verbo latino vehere: transportar, levar. Vetor é o particípio passado de vehere, signifi- cando transportado, levado. Apesar de primitiva e até bizarra, a palavra vetor é pertinente: o ponto A é "trans- A portado" até B. e)Notações de vetor 1. Umaletra latina minúscula encimada por uma seta. Exemplos: 3,b,C...u,v,w... Il. Uma letra latina minúscula sobrelinhada. Hll. Dois pontos que são a origem e a extremidade de um repre- sentante do vetor. Exemplo: Asomado ponto A com ovetor Y éopontoB. Jog. 1 Ventun A+V=B y ou V=B-A A onde Aé a origeme B é a extremidade do vetor. Esta notação é assaz vantajosa pelas aplicações das operações algébricas e é devida ao matemático alemão H. Grassmam (1809-1877). Também bastante usuala notação v =Al IV. Umaterna ordenada de números reais : V= (x,y, Z,) Exemplo: V=(1,5,4) Nafigura V=(P-O) y Como abuso de notação tem-se ainda v=(P-O)-=P OBSERVAÇÃO: Usualmente, quando já estiver fixado o sistema de coordenadas, o representante do vetor é aquele cuja origem coincida com a origem do sistema. f)Módulo (|V|) É o número não negativo que indica o comprimento do vetor. Exemplo: EA aoly v Então|v|=4 g)Vetornulo(0) É o vetor de direção e sentido arbitrários, e módulo igual a zero. O vetor nulo tem coordenadas (0, 0, 0) e sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA h)Vetor unitário É o vetor demóduloiguala 1. Exemplo: v Então: |v|=1 q i) Versor O versor de um vetor V não “nulo, é o vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo sentido de V. 5 V versv="— Iv] Exemplos: v A 5 Y 1» —+—» | entâoversV = vers V. 3 w : W 24 —e— entãoversw=— vers w Ovetor unitário coincide com o seu próprio versor. j)Vetoroposto Dado um vetor AB o seu oposto é o vetor BÃe se indica por -AB. O vetor oposto de umvetor V é representado por —Y. Exemplo: : : >>: << 4. PARALELISMO DE VETORES a) Definição Dois vetores ú e v de mesma direção são ditos paralelos. Ipso facto, suas imagens geométricas podem ser representadas sobre uma mesmareta. Jair. 1. Ventun 6. COPLANARIDADE DEVETORES Os vetores Li, v e w são coplanares se tiverem imagens geomé- tricas paralelas ao mesmo plano. Cumpre enfatizar: dois vetores são sempre coplanares, enquanto que três vetores podem ou não ser coplanares. Exemplos: ú, V e w são coplanares ú, V e w não são coplanares Convenção: O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor; é coplanar a qualquer conjunto de vetores coplanares. 7.ADIÇÃO DE VETORES a) Definição Dados dois vetores e V, para se obter a soma U + V, fixamos um ponto qualquer A do plano ú e V e consideramos os pontos B=A + u eC=B+v, conforme a figura; nessas condições, U+V =(C-A). c A Denotando por diferença de pontos: v o uU+v=(B-A)+(C-B)=(C-A) v Donde AG é o vetor resultante, obtido A u B daadição deúcomv. Geometricamente, a soma de n vetores (sendo n um número inteiro positivo qualquer) é feita considerando imagens geométricas dos ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem do vetor seguinte; o vetor soma é o vetor que fecha a poligonal. Exemplos: . Dadosú,V e w, obter graficamente a soma: Dados v E! u Graficamente, o vetor soma é o segmento orientado que fecha a poligonal, tendo por origem, a origem do primeiro vetor e por extremidade, a extremidade do último vetor. b)Sobaformadetriplas: Dados os vetores Ls U=(X,,Y1,21) € V=(Xo, yo, 20), entâo + V=(X+X2, Yi +22, +20). c) Propriedades 1. Comutativa: U+V=V+i Demonstração: Considere as imagens geométricas dos vetores ú evVrepresentados na figura. u c 1.º membro: U+V=(B-A)+(C-B)=(C-A) v v 2.º membro: v+U=(D-AJ+(C-D)=(C-A) A % B donde U+V=V+u (cad) Jog. 1 Ventun Conseguência Regra do paralelogramo: A diagonal do paralelogramo cons- truído sobre as imagens geométricas de U e V representaasoma uU+V. OBSERVAÇÃO: Sabe-se que o paralelogramo apresenta duas diagonais distintas. Para a "regra do paralelogramo" construído sobre as imagens geométricas de U e V de mesma origem A, adota-se a diagonal que contém ponto A. A"regra do paralelogramo" é muito usual na composição de forças emMecânica. Il. Associativa: (U+V) + W=U+(V+w) Demonstração : Sejam U,V e vivetores dados. 1.ºmembro: (U+V)=(B-A)+(C-B)=(C-A) (U+V) +w=(C-A)+(D-C)=(D-A) 2.ºmembro: (V+W)=(C-B)+(D-C)=(D-B) Us(V+W)=(B-A)+(D-B)=(D-A) Então: (U+V)+wW=u+(V+wW) (ged) Ill. Elemento neutro: U+0=U IV. Elemento oposto: Dado um vetor u, existe um único vetor indicado por - ú, talque : u+(-u)=0 Ovetor (- U) éo vetor oposto de ú. V. Lei do cacelamento: U+V=U+W > V=W 8 SUBTRAÇÃO DE VETORES a) Definição Dados os vetores ú e v, definimos a diferença ú-V por: UÚ-V=U+(-V). ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 04. Nos cubos abaixo, representar a soma dos vetores indicados. Resp.: a)(G-A) b) ) 05. No tetraedro e no paralelepípedo retângulo, achar a soma dos vetores representados por suas imagens geométricas. 06. No hexágonoregular, obter: a)(B-AJ+(E-F)+(F-A) b)(D-A)-(E-A)+(E-B) Resp.: a)(D-A) b)(D-B) Jog. 1 Ventun 07. DadosU= (1,2,0),V=(2,1,-1)ew= (0,2,3),achar: a)2ú-V+4w b)3(Ú + V) -2(2V - w) 08. Conhecidos A = (1,3,0),B=(5,5,2)eV =(1,3, -2) calcular: aJA+v b)2A-3B-V Resp.: a)(2, 6,-2) b)(-14,-12,-4) 09.Sendo A=(2,0,1), B=(0,3,-2), C=(1,2,0), determinar D=(x,y,z) talque BD=AB+CB. Resp.: D=(-3,7,-7) 10. Calcular o vetor oposto deAB sendoA=(1,3,2)eB=(0,-2,3). Resp.: BÃ=(1,5,-1) 11. Conhecendo-se ú=(1,2,0),V=(0,1,3)ewW=(-1,3, 1) calcu- laros escalaresm,nepemmiú+nv+pw=(0,0,14). Resp.: m=-1,n=5,p=-1 12. Os vetores ú, V e w formam um triângulo, conforme a figura. Sendoú=(1,2,0)eV=(3,0,3), entãow é igual a: <! Resp.: (-2,2,-3) E u 13. Determinar o vetor X, tal que 5X = U -2V, sendo U = (-1, 4, -15) e V=(3,2,5). Resp.: X=(1,0, -5) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 14. Calcular Ptal que AP= SAB. Dados A=(-1,-1,0)eB=(3,5,0). 5 Resp.:P=|5,3,0 esp. (5 ) 15. Sabendo-se que U e V são perpendiculares taisque |U|=5 e |v|=12,calcular [U+V|eju-v|. Resp.:13e13 9. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES Considere os vetores ui, U, Us, ... , e os escalares k,, k,, k ... K. Diz-se que V é combinação linear de ú,, U,, U,, ... U, quando escritos sob a formade: V=k ut kai+ ks... KÚ, 10. EXPRESSÃO CARTESIANA DE UMVETOR a) Seja x, y e z um sistema carte- siano ortogonal. Convencionou-se representar por i, j e k, nesta ordem, os versores dos eixos cartesianos ortogonais x,y e Z. Então: E pela definição de versor, que possuemmódulo unitário, tem-se: Bl=IFl=[kI=1 Jog. 1 Ventun (B-A)=2P-Q) a Pp | (P-Q)=-(B-A) A B 2 ————» (M-N)=-3(P-Q) M N (B-A)="M-N) c) Vetores representados por triplas Sejam ú=(x, 2) € V=(X., yo, 2). Pelo teorema, U é paralelo a V se, e somente se, existir um número real k talque V = ku; ou ainda, (Xa Yo, Zo) = K(X,, y,. Z;). Explicitando o k, obtém-se a condição de para- lelismo dos vetores U e V: X Yo 22 (4) XY & Convenção: A nulidade de um dos denominadores implica na nulidade do correspondente numerador. Exemplo: São paralelos os vetores u=(3,2,0) e V=(6,4,0). Na figura ao lado, U=(A-O)e V=(B-0). Observe que V = 2, e que em particular os vetores U e V têm imagens geométricas no pla- noxy. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA xercício “Sempre se ouvirão vozes em discordância, expressando oposição sem alternativa; discutindo o errado e nunca o certo; encontrando escuridão em toda a parte e procurando exercer influência sem aceitar responsabilidades." John F. Kennedy (1917 - 1963), presidente dos E.U.A. 01. Determinar x, sabendo-se paralelos os vetores : aju=(1,3,10) e V=(-2,x,-20) b)V=(0,2,x) e w=(0,3,6) ou=2i-9]-ke v=xi-9j-3k Resp.: a)x=-6 bx= 4 o)x= 6 02. Sendo A, B, C, D vértices consecutivos de um paralelogramo, calcular as coordenadas do vértice D. Dados: A=(1,3),B=(5,11)eC=(6,15) Resp.: D =(2,7) 03. Seja ABDC um paralelogramo de vértices consecutivos na or- dem escrita. Achar o vértice A, sabendo-se que B = (0,1,3), C=(2,3,5)e D=(-1,0,2). Resp.: A=(3,4, 6) 04. Provar que os pontos A = (3, 1,5),B=(2,0,1)eC=(4,2,9) são colineares. SUGESTÃO: A B c Por exemplo: os vetores (C - A) e (B- A) devem ser paralelos. Jog. 1 Ventun 05. Calcular xe y sabendo que os pontos A =(1,-1,3),B=(x,y,5)e C=(5,-13,11) sãocolineares. Resp.: x=2e y=-4 06. Nafigura abaixo, obter a expressão cartesiana do vetor (P- O). Resp.: (P-0)=2/+4j-K 07. Seja o paralelepípedo representado na figura. Conhecendo-se os vértices B= (1,2,3),D =(2,4,3), E=(5, 4,1)e F=(5,5,3), pede-se os vérticosAeG. Resp.: A=(1,1,1) G=(6,8,5) Série B “Uns nasceram para o martelo, outros para a bigorna." (François M. Voltaire (1694-1778), escritor francês. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Ou seja, se e somente se, V for combinação linear de U, e ., sendo k, e k escalares. Demonstração: Sejam V, U, U, vetores coplanares, (B - A) a imagem geométrica do vetor Y. Pela ori- gem A conduzimos uma para- lela ao vetor u,, e pela extremi- dade B, uma paralela a U,.Cé o ponto de intersecção de tais paralelas. Então: (C-A)=kú, ud (B-C)=kii, Datigura:(B-A)=(C-A)+(B-C) Substituindo: V=k,u, + ku, (ged) , Reciprocamente, é passível de demonstração: seV=k,u, + ku, então os vetores v, U,e U,são coplanares. b) Coplanaridade de vetores representados por triplas Três vetores V, = (Xy, Yi Zi), Vo = (Xo, Ya; Ze) € V5 = (Xs, Ya, Z5) SÃO coplanares se um deles for combinação linear dos outros dois. Ipso facto, o seu determinante deve ser nulo: X y & X,) Y2 22 |=0 X Y3 2 Exemplo: Osvetores=(2,3,5),V=(3,0,-1) ew= (7,6,9) são coplanares. Jog. 1 Ventun ercíci "Segue sempre quem te dá pouco, e não quem muito te promete." Provérbio chinês 01. Calcular a sabendo-se coplanares os vetores: ajú=(1,3,0), V=(2,1,4) e w=(3,4,a) b)u=ai-3], v=aj+K e w=i+j+k 1:13 Resp.: a)4; b) 02. Provarque os pontos A = (4,5,1),B=(-4,4,4),C=(0,-1,-1)e D=(3,9,4) são coplanares. SUGESTÃO: O determinante das coordenadas dos vetores (B-A),(C-A)e(D-A)é nulo. 03. Dados u = à, v=i+ combinação linear deu ev. j +Kew=-2i+ 6] + 6k, exprimir w como Resp.: w=-40+6V SUGESTÃO: w=kuú+k,V então (-2,6,6)=k,(2,0,0) +k,(1,1,1) 04. Sendo ú, = (0,2, -1), U,=(0,1,3) eV= (0,3, 0) exprimir V como combinação linear de Ú, e ú,. Resp.: V= “(a +U,) 05. Exprimir wi = (-2, 6, 2) como combinação linear de ú = (2, 0,0) e V=(1,1,1). Resp.: impossível OBS.: Defato, os vetoresiú, Vew não são coplanares. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 06. Considere a figura e expresse (P - B) como combinação linear de(A-B)e(C-B). B Resp. :(P-B) =SIC-BJrS(a-B) SUGESTÃO: (P-A)=2(C-P)onde (P-A)=(P-B)-(A-B) e (C-P)=(C-B)-(P-B) 07. Sendo Po pontomédiodoladoBCdotriânguloABC,conforme afigura, exprimir (P - A) como combinação linear de (B - Aje(C- A). c «p-n=MB-A-MC-A Resp.:(P A = J+5(€ ) >» o 13.COMBINAÇÃO LINEAR DE 4VETORES Teorema Sejam 3 vetores do espaço tridimensional u,, U, e u., não nulos e não coplanares, então qualquer vetor V pode ser expresso como combi- nação linear de ú,, U,eu,: V=kil, + ku, + ks Jog. 1 Ventun < e! 9=180º 0º<60<90º (ie V são contraversos) 15. MULTIPLICAÇÃO INTERNA OU ESCALAR a) Símbolo: u.V A notação acima é devida ao físico norte-americano J. W. Gibbs (1839-1903). OBSERVAÇÃ Lo Representa-se também uxv. (nota em desuso) b) Definição O produto interno ou escalar de dois vetores ú e V é o número (escalar) tal que: ú.v=|U||V|cos6 Onde 0º<6< 180º é a medida do ângulo formado entre os veto- resuev. OBSERVAÇÃO: Aoperação de multiplicação escalar foi criada por Grassmann. c) Sinal do produto interno u.V>0 indica que cos 6 >0, o que ocorre quando 6 é ângulo agu- do. Se ú.V<0, então 6 é ângulo obtuso. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA d) Nulidade do produto escalar U.V=0,se: |) umdosvetoresfornulo; Il) os dois vetores forem ortogonais, pois cos 90º = 0. e)Módulo de umvetor O módulo de um vetor ú pode ser calculado através do produto interno, pois: u.u=|úl|úlcos0º Donde: p juf=úi> [uj=VU.d f) Ângulo de dois vetores O cálculo do ângulo entre dois vetores se faz de forma trivial, isolando-se o cos O na fórmula do produto escalar: ú.v cos 0= Mv. últv] 9) Interpretação geométrica do produto escalar Nafigura A'B' é a medida algébrica da projeção do vetor V sobre a direção do vetor ú. Em símbolos: AB'= projj Dotriângulo retângulo AB'B: AB'=ABcos6 =|V|coso Jog. 1 Ventun Sejaú* o versor do vetor u . A última igualdade não se altera se a multiplicarmos por [U*|. AB'=|W'|IlV|cos6 A igualdade persiste com ú* = É | : po RU Proj =] ou u.v=]úlprojyy Se o ângulo entre ú e V for agudo, a medida algébrica da projeção será positiva. Se obtuso, negativa. Exemplo: | Dadoslúl=3el V|=2eUv = 60º, achar a medida da projeção do vetorvsobreu. Resolução: ú.v=|Úl|V|cos60º [> u h) Propriedades do produto escalar: |. Comutativa:ú.V = v.ú Il. Associativa emrelação à multiplicação por umescalar k: k(u.vV) =(kú).v=U. (kv) III. Distributiva emrelação à adição de vetores: Ú.W+AW=U.V+U.w ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA e) ovetor w como combinação linear de ú ev. Resp.: W=-U+ > v 23. 3 SUGESTÃO: w = ku +kv 1) multiplique escalarmente por ú 2)multiplique escalarmente por v a ta >. > + 03. Determinar o ângulo uv, sabendo-se que U+V+W=0,|U|=2, |V|=3e]w|=4. Ea 1 Resp.: Uv=arc cos Z SUGESTÃO: U+V=-w ou (U+v).(U+V) = (wi). (-W) 04. Provaraleidos co-senos: cº=a” +b- 2abcos 6 SUGESTÃO: 05. Seja um paralelogramo construído sobre U e v. Determinar o ângulo 6 entre as diagonais do paralelogramo. Dados |u|=3.lvl=1eiv=5 27 Resp.: 6=arccos z SUGESTÃO: As diagonaissãou+Veu-v. Então seu produto interno é (U +V).(U-V=|(U+V)|[(U-V)|cos 6 Jog. 1 Ventun 06. Calcular o ângulo, entre os vetores ã +2b-ce-a+b-2, sabendo-se que | al=Ibl=|c |=1eque à, be Csão mutuamente ortogo- nais. Resp.: É Pa 07. Sendou, ve w mutuamente ortogonais, demonstrar que: ajlusvÊ=[uf+ vp b)ju+vewP=[uf+vP+ wi] 08. Na figura, calcular o ângulo 6 entre os vetores b e é sendo lãl=2 e |B|= 242. sz Resp.: — P 6 SUGESTÃO: ComoG=á-b façao produto escalar entrebe a -b. 09. Na figura estão representadas as imagens geométricas dos vetores, Vew. Sendo |U|=|V|=2e | w |= 4 escrever w como combina- çãolineardeúev. Resp.: Ww=-2(U+v) 10. Sabendo-se que os vetores U, V e Wformam dois a dois ângu- los de 60ºetais que |U |=4, |v|= 2e|wil=1. Achar o módulo do vetor 3=U+V + W. Resp: |8|= 35 SUGESTÃO: Desenvolva o produto interno: S.S=(U+V+W).(U+V+w) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 16. EXPRESSÃO CARTESIANA DO PRODUTO ESCALAR De extraordinária importância é a expressão cartesiana de ú. v. Num sistema cartesiano ortogonal são conhecidos os vetores U e v por suas expressões cartesianas: U=xi+yj+zk Vv= xi + yi+ zk v Dedução: U.v=(i+yd+ zh). (d+ yj+zk) =xxd Te xiya exi. k+ eg iljeyyd ey) .K+ +xzl.keyzj.kezzk.K No entanto: ÚV=XX+Y yo +22 que é a expressão cartesiana do produto escalar. Desta também se pinça acondição de ortogonalidade de Úev: ÚLV OS xX+Yy0+22,=0 etambém o módulo de um vetor: úP=U.d=i +yi +Z Geometricamente, o módulo é a medida da diagonal de um para- lelepípedo reto.