Baixe apostila - mf e outras Notas de estudo em PDF para Enfermagem, somente na Docsity! Apostila Preparatória para o Vestibular Vocacionado UDESC . . . . un do fis ico joi vn i ll e ude ww w scbr m Aline Felizardo Golçalves André Alexandre Silveira André Antônio Bernardo César Manchein Flábio Esteves Cordeiro Gisele Maria Leite Dalmônico Marcio Rodrigo Loos Priscila Fischer Ricardo Fernandes da Silva Sidinei Schaefer Professores Luciano Camargo Martins Coordenador Revisão 1.3 (11pt) de 11 de novembro de 2009 ii Fluidos – Aula 2: Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Cinemática – Aula 1: Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Cinemática – Aula 2: Movimento Uniforme (MU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Cinemática – Aula 3: Movimento Uniformemente Variado (MUV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Cinemática – Aula 4: Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Cinemática – Aula 5: Movimento Circular Uniforme (MCU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Ondas – Aula 1: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Ondas – Aula 2: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Ondas – Aula 3: Ondas e Interferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Ondas – Aula 4: Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ondas – Aula 5: Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Termodinâmica – Aula 1: Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Termodinâmica – Aula 2: Dilatação Térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Termodinâmica – Aula 3: Transformações Gasosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Termodinâmica – Aula 4: Lei de Avogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Termodinâmica – Aula 5: Modelo Molecular de um Gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Termodinâmica – Aula 5: Modelo Molecular de um Gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Termodinâmica – Aula 7: Capacidade Térmica (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Termodinâmica – Aula 8: Primeira Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Termodinâmica – Aula 9: Máquinas Térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Termodinâmica – Aula 10: Mudanças de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Termodinâmica – Aula 11: Sublimação e Diagrama de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Eletricidade – Aula 1: Carga Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Eletricidade – Aula 2: Eletroscópio de Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Eletricidade – Aula 3: Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Eletricidade – Aula 4: Potencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Eletricidade – Aula 5: Superf́ıcies Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Eletricidade – Aula 6: Condutores em Equiĺıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Eletricidade – Aula 7: Capacidade Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Eletricidade – Aula 8: Associação de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Eletricidade – Aula 9: Corrente Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Eletricidade – Aula 10: Resistência Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Eletricidade – Aula 11: Instrumentos de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Eletricidade – Aula 12: Geradores e Força Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 iii QUÍMICA 123 Qúımica – Aula 1: Estrutura Atômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Qúımica – Aula 2: Modelos Atômicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Qúımica – Aula 3: Ligações Qúımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Qúımica – Aula 4: Ligações Qúımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Qúımica – Aula 5: A Estrutura da Matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Qúımica – Aula 6: Teoria Cinética dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Qúımica – Aula 7: Ácidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Qúımica – Aula 8: Soluções Qúımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Qúımica – Aula 9: Equiĺıbrio Iônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Qúımica – Aula 10: Equiĺıbrio Iônico da Água e pH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Qúımica B – Aula 1: O que é Qúımica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Qúımica B – Aula 2: Matéria e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Qúımica B – Aula 3: Metais, Semi-metais e Ametais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Qúımica B – Aula 4: Propriedades Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Qúımica B – Aula 5: Ligações Qúımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Qúımica B – Aula 6: Ligações Qúımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Qúımica B – Aula 7: Equações e Reações Qúımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Qúımica B – Aula 8: Equações e Reações (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Qúımica B – Aula 9: Soluções Qúımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Qúımica B – Aula 10: Funções Qúımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Qúımica B – Aula 11: Propriedades Coligativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Qúımica B – Aula 12: Eletroqúımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Qúımica Orgânica – Aula 1: Introdução à Qúımica Orgânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Qúımica Orgânica – Aula 2: Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Qúımica Orgânica – Aula 3: Poĺımeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Qúımica Orgânica – Aula 4: Isomeria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 MATEMÁTICA 191 Matemática A – Aula 1: Relações e Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Matemática A – Aula 2: Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Matemática A – Aula 3: Funções Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 iv Matemática A – Aula 4: Funções Especiais (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Matemática A – Aula 5: Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Matemática A – Aula 6: Equações Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Matemática A – Aula 7: Geometria Anaĺıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Matemática A – Aula 8: Geometria Anaĺıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Matemática A – Aula 9: Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Matemática A – Aula 10: Circunferência - II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Matemática B – Aula 1: Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Matemática B – Aula 2: Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Matemática B – Aula 3: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Matemática B – Aula 4: Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Matemática B – Aula 5: Discussão de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Matemática B – Aula 6: Progressão Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Matemática B – Aula 7: Progressão Geométrica (PG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Matemática C – Aula 1: Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Matemática C – Aula 2: Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Matemática C – Aula 3: Números complexos (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Matemática C – Aula 4: Razões e Proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Matemática C – Aula 5: Regras de Três Simples e Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Matemática C – Aula 6: Juros e Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Matemática C – Aula 7: Análise Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Matemática C – Aula 8: Análise Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Matemática C – Aula 9: Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Matemática C – Aula 10: Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Matemática C – Aula 11: Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Matemática C – Aula 12: Equações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Matemática C – Aula 13: Introdução à Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Matemática C – Aula 14: Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Matemática C – Aula 15: Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Matemática C – Aula 16: Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Matemática C – Aula 17: Poĺıgonos e Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Matemática C – Aula 18: Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Matemática C – Aula 19: Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Matemática C – Aula 20: Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Mecânica – Aula 1 3 Mecânica Aula 1 Grandezas F́ısicas Apesar de existirem muitas grandezas f́ısicas, são es- tabelecidos padrões e definidas unidades para que te- nhamos um número mı́nimo de grandezas denominadas fundamentais. Utilizando as grandezas fundamentais definem-se unidades para todas as demais grandezas, as chamadas grandezas derivadas. A partir de uma das grandezas fundamentais, o com- primento por exemplo, cuja unidade é o metro (m), pode-se definir as unidades derivadas, como área (m2) e volume (m3). Utilizando o metro e outra grandeza fundamental, a de tempo, definem-se as unidades de velocidade (m/s) e aceleração (m/s2). Sistema Internacional(SI) Até o final do século XV III era muito grande a quantidade de padrões existentes. Cada região esco- lhia arbitrariamente as suas unidades. Por motivos históricos, os páıses de ĺıngua inglesa utilizam até hoje os seus padrões regionais. O elevado aumento nos in- tercâmbios econômicos e culturais levou ao surgimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistema métrico. Grandeza Unidade Śımbolo comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s corrente elétrica ampère A temperatura kelvin K quantidade de matéria mol mol intensidade luminosa candela cd Tabela de unidades fundamentais do SI. Em 1971, a 14a Conferência Geral de Pesos e Medidas escolheu sete grandezas como fundamentais, formando assim a base do SI. Além das grandezas, definiu-se também os śımbolos, unidades derivadas e prefixos. A tabela acima mostra as unidades fundamentais do SI e a tabela abaixo apresenta algumas unidades derivadas do SI. Grandeza Unidade Śımbolo área metro qua- drado m2 volume metro cúbico m3 densidade quilograma por metro cúbico kg/m3 velocidade metro por se- gundo m/s aceleração metro por segundo ao quadrado m/s2 força newton N = Kg m/s2 pressão pascal Pa = N/m2 trabalho, energia, calor joule J potência watt W = J/s carga elétrica coulomb C = As diferença de potencial volt V = J/C resistência elétrica ohm Ω = V/A Tabela de algumas unidades derivadas do SI. Prefixo Śımbolo Potência de dez pico p 10−12 nano n 10−9 micro µ 10−6 mili m 10−3 centi c 10−2 deci d 10−1 deca D 101 hecto H 102 quilo k 103 mega M 106 giga G 109 tera T 1012 Prefixos, śımbolos e potências de dez. Notação Cient́ıfica A medida de uma determinada grandeza f́ısica pode resultar em um número que seja extremamente grande ou extrema- mente pequeno, por exemplos temos: • distância da Terra à Lua: 384.000.000 m. • diâmetro de um átomo de hidrogênio: 0, 000 000 000 1 m. Para manipular tais números, utilizamos a notação ci- ent́ıfica, fazendo uso das potências de 10. O módulo de qualquer número g pode ser escrito como um produto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que é uma potência de dez: g = a× 10n , onde devemos ter 1 ≤ a < 10. Exemplos • 243 = 2, 43× 100 = 2, 43× 102 4 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br • 5.315 = 5, 315× 1000 = 5, 315× 103 • 0, 00024 = 2, 4× 0, 0001 = 2, 4× 10−4 • 0, 00458 = 4, 58× 0, 001 = 4, 58× 10−3 Regra Prática • Números maiores que 1: deslocamos a v́ırgula para a esquerda, até atingir o primeiro algarismo do número. O número de casas deslocadas para a esquerda corres- ponde ao expoente positivo da potência de 10. • Números menores do que 1: deslocamos a v́ırgula para a direita, até o primeiro algarismo diferente de zero. O número de casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente negativo da potência de 10. Pense um Pouco! • Quais são as unidades de Peso e de massa? por que elas não são iguais? • Um analgésico deve ser inserido na quantidade de 3 mg/kg de massa corporal, mas a dose administrada não pode exceder 200 mg. Cada gota contém 5 mg do remédio. Quantas gotas devem ser prescritas a um paciente de 80 kg? Exerćıcios de Aplicação 1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimensões e as unidades, no sistema internacional, Grandeza Dimensão Unidades SI Comprimento L m (metro) Massa M kg (quilograma) Tempo T s (segundo) das grandezas mecânicas primárias: a) Sabendo que força = massa · aceleração, expresse a uni- dade de força em unidades de grandezas primárias. b) Determine os valores de n e p, se a expressão MLnT n−p corresponde à dimensão de energia cinética. 2. (FGV-SP) A dimensão de potência em função das gran- dezas fundamentais, massa (M), comprimento (L) e tempo (T ) é: a) ML2T−2 b) ML2T−1 c) ML2T 2 d) ML2T−3 e) MLT−2 3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min, o intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em segundos, é de: a) 3, 0× 102 b) 3, 0× 103 c) 3, 6× 103 d) 6, 0× 103 e) 7, 2× 103 Exerćıcios Complementares 4. (UFPI) A nossa galáxia, a Via Láctea, contém cerca de 400 bilhões de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estre- las possuam um sistema planetário onde exista um planeta semelhante à Terra. O número de planetas semelhantes à Terra, na Via Láctea, é: a) 2× 104 b) 2× 106 c) 2× 108 d) 2× 1011 e) 2× 1012 5. Transforme em quilômetros: a) 3600 m b) 2.160.000 cm c) 0, 03 m d) 5.780 dm e) 27.600 m f) 5.800 mm 6. (Unifor-CE) Um livro de F́ısica tem 800 páginas e 4, 0 cm de espessura. A espessura de uma folha do livro vale, em miĺımetros: a) 0, 025 b) 0, 050 c) 0, 10 d) 0, 15 e) 0, 20 7. Escreva os seguintes números em notação cient́ıfica: a) 570.000 b) 12.500 c) 50.000.000 d) 0, 0000012 e) 0, 032 f) 0, 72 g) 82× 103 h) 640× 105 i) 9.150× 10−3 j) 200× 10−5 k) 0, 05× 103 l) 0, 0025× 10−4 Mecânica Aula 2 Algarismos Significativos A precisão de uma medida simples depende do instrumento utilizado em sua medição. Uma medida igual a 2, 00 cm não deve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm. Denominamos algarismos significativos todos os algarismos conhecidos com certeza, acompanhados de um último duvi- doso, que expressam o valor da medida de uma grandeza, ou seja: todos os algarismos que representam a medida de uma grandeza são algarismos significativos, sendo chamados de corretos, com exceção do último, que recebe o nome de algarismo duvidoso. O algarismo duvidoso de uma medida será sublinhado para destacá-lo, quando for preciso. Exemplos Mecânica – Aula 3 7 b) 21 dm c) 214 cm d) 2, 143 m e) 2.143, 4 m Exerćıcios Complementares 3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento de sua mesa de trabalho. Não dispondo de régua, decide utilizar um toco de lápis como padrão de comprimento. Ve- rifica então que o comprimento da mesa equivale ao de 13, 5 tocos de lápis. Chegando ao colégio, mede com uma régua o comprimento do seu toco de lápis, achando 8, 9 cm. O comprimento da mesa será corretamente expresso por: a) 120, 15 cm b) 120, 2 cm c) 1× 102 cm d) 1, 2× 102 cm e) 102 cm 4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, após realizar a me- dida necessária, que o volume de um dado é 2, 36 cm3. Levando-se em conta os algarismos significativos, o volume total de cinco dados, idênticos ao primeiro, será correta- mente expresso por: a) 6, 8 cm3 b) 7 cm3 c) 13, 8 cm3 d) 16, 80 cm3 e) 17, 00 cm3 5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 fo- lhas, sem considerar as capas, um estudante obteve a me- dida de 1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura média de uma folha é: a) 10−1 mm b) 10−2 mm c) 10−3 mm d) 10−4 mm e) 10−5 mm Mecânica Aula 3 Grandezas Escalares e Vetoriais Na F́ısica tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais. Grandezas Escalares A grandeza escalar é aquela que fica perfeitamente ca- racterizada quando conhecemos apenas sua intensidade acompanhada pela correspondente unidade de medida. Como exemplos de grandeza f́ısica escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura (por exemplo 36 oC), o volume (5 m3, por exemplo), a den- sidade (para a água, 1000 kg/m3), a pressão (105 N/m2), a energia (por exemplo 100 J) e muitas outras. Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de operações algébricas comuns, arredondando-se quando ne- cessário. Grandezas Vetoriais Dada a velocidade instantânea de um móvel qualquer (por exemplo, um avião a 380 km/h), constatamos que apenas essa indicação é insuficiente para dizermos a direção em que o móvel segue. Isso acontece porque a velocidade é uma grandeza vetorial. Para uma grandeza f́ısica vetorial ficar totalmente caracte- rizada, é necessário saber não apenas a sua intensidade ou módulo mas também a sua direção e o seu sentido. Ge- ralmente a grandeza vetorial é indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, ~v) e o módulo ou intensidade, por |~v| ou simplesmente por v. A grandeza f́ısica vetorial pode ser representada grafica- mente por um segmento de reta (indicando a direção da grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (in- dicação de seu módulo ou intensidade). Tal representação é denominada vetor. No exemplo anterior do avião, podeŕıamos dizer, por exem- plo, que ele se movimenta num certo instante com veloci- dade ~v, de módulo v = 380 km/h, na direção norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial ins- tantânea pode ser representada por um vetor, como mostra a figura 1. N S O L 380 km/h Figura 1: Exemplo de representação vetorial Como afirmamos anteriormente, para representar grande- zas vetoriais é preciso indicar, além do módulo, a direção e o sentido da grandeza. Podemos fazer essa indicação utili- zando um vetor (veja a figura 2). O vetor pode ser repre- sentado por um segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - é proporcional à intensidade da grandeza que representa. Para melhor entendermos o significado e a representação de um vetor, observe a figura 3. S Figura 2: A reta s, que contém o vetor, indica a direção e a seta indica o sentido 8 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br a b d c e g r w z v q f Figura 3: Representação de alguns vetores Na figura de cima os vetores representados possuem mesma direção e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam a mesma direção e sentidos opostos. Portanto, podemos notar que vetores de mesma direção são paralelos, o que não garante que tenham o mesmo sentido. Soma de Vetores Paralelos Quando os vetores tem a mesma direção, podemos deter- minar o módulo do vetor soma estabelecendo convencional- mente um sentido como positivo e somando algebricamente os seus módulos. Observe: d a b − c c b a Figura 4: De acordo com a convenção adotada, o módulodo vetor será d = a + b− c. Os vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma direção (horizontal). Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita. Assim, os vetores ~a e ~b são positivos e o vetor ~c é negativo. O módulo do vetor soma, ~d, é dado por d = a + b− c Se obtermos um valor positivo para ~d, isso significa que seu sentido é positivo, ou seja, o vetor é horizontal para a direita; se for negativo, o seu sentido é negativo, isto é, o vetor é horizontal para a esquerda. Vetores Perpendiculares Imaginaremos agora, que um móvel parte de um ponto A e sofre um deslocamento ~d1 no sentido leste, atingindo um ponto B e, em seguida, um deslocamento ~d2 no sentido norte, atingindo um ponto C (veja a figura 5) Podemos notar facilmente que o deslocamento ~d1, de A para B, e o ~d2, de B para C, equivalem a um único deslocamento, d 1 d d 2 S O L N BA C Figura 5: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos ~d1 e ~d2. Portanto ~d = ~d1 + ~d2. ~d, de A para C. Desta forma, o deslocamento ~d é a soma vetorial ou resultante dos deslocamentos ~d1 e ~d2, ou seja, ~d = ~d1 + ~d2 Este resultado é válido para qualquer grandeza vetorial. Veja a figura 6. a c b b Figura 6: O vetor ~c é a resultante ou soma vetorial de ~a e ~b. Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c. É crucial notar que a colocação do vetor ~b na origem ou na extremidade do vetor ~a não altera o vetor soma ~c. Deve- se observar que os vetores ~a, ~b e ~c formam um triângulo retângulo, em que ~c é a hipotenusa ~a e ~b são catetos. Para obtermos o módulo do vetor resultante, basta aplicar o te- orema de Pitágoras: c2 = a2 + b2 Soma de Vetores A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direções quaisquer não apresenta muita diferença. Para um móvel, partir de A e atingir B num deslocamento ~d1 e, em seguida, atingir C num deslocamento ~d2 equivale a partir de A e atingir C num deslocamento ~d (veja figura 7). Desta forma, ~d = ~d1 + ~d2 Na determinação do módulo do vetor ~d resultante, não po- demos aplicar o teorema de Pitágoras, tendo em vista que o ângulo entre ~d1 e ~d2 não é reto (90 o). Assim, aplicamos a regra do paralelogramo, como mostra a figura 8. Os vetores ~a e~b formam um paralelogramo cuja diagonal é o vetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo, Mecânica – Aula 3 9 d d 2 d 1 A C B Figura 7: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos ~d1 e ~d2. a b b cc a αα α α Figura 8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados são os vetores ~a e ~b, é o vetor resultante ~c. Podemos deslo- car o vetor ~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo a figura anterior. se ~a e ~b formam entre si um ângulo α, o módulo do vetor resultante ~c será dado pela expressão: c2 = a2 + b2 + 2ab · cos α Decomposição de Vetores Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Dado um vetor ~a, obtém-se outros dois vetores ~ax e ~ay tal que ~ax + ~ay = ~a (veja a figura 9). a a x a y α x y Figura 9: O vetor ~a pode ser decomposto em um com- ponente horizontal, ~ax, e outro vertical, ~ay. O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor ~ax de tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~ax e ~ay formem um triângulo retângulo (figura 10). Aplicando a a a y a y a x α Figura 10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e ~ay for- mam um triângulo retângulo, onde ~a é a hipotenusa e ~ax e ~ay são os catetos. trigonometria ao triângulo retângulo, podemos determinar o módulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical) de ~a em função do ângulo α. Desta forma, no triângulo hachurado da figura 10, temos cosα = cateto adjacente hipotenusa ⇒ cosα = ax a ax = a · cos α onde ax é o módulo da componente horizontal ~ax do vetor ~a. Temos ainda sin α = cateto oposto hipotenusa ⇒ sin α = ~ay a ay = a · sin α onde ay é o módulo da componente vertical ~ay do vetor ~a. Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo formado por ~a e seus componentes ~ax e ~ay: a2 = a2x + a 2 y Pense um Pouco! • Qual a condição para que a soma de dois vetores seja nula? • O módulo da soma de dois vetores pode ser igual à soma de seus módulos? Quando? • O módulo de um vetor pode ser negativo? Por quê? Exerćıcios de Aplicação 1. Um móvel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e em seguida, 50 m no sentido norte-sul. a) Represente esquematicamente esses deslocamentos. b) Determine o módulo do deslocamento resultante. 2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o módulo da resultante de F1 e F2. Dado: cos(120 ◦) = −0, 50. 12 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br c) a pedra sai em linha reta, segundo a direção da corda no instante do corte. d) a pedra pára. e) a pedra não tem massa. 5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme re- tiĺıneo, só pode estar sob a ação de uma: a) força resultante não-nula na direção do movimento. b) única força horizontal. c) força resultante nula. d) força nula de atrito. e) força vertical que equilibre o peso. 6. (Fiube-MG) Uma part́ıcula se desloca ao longo de uma reta com aceleração nula. Nessas condições, podemos afir- mar corretamente que sua velocidade escalar é: a) nula. b) constante e diferente de zero. c) inversamente proporcional ao tempo. d) diretamente proporcional ao tempo. e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo. Mecânica Aula 5 A Segunda Lei de Newton É muito comum encontrarmos a definição de massa de um corpo da seguinte maneira: “a massa de um corpo repre- senta a quantidade de matéria que ele possui”. Em cursos elementares de ciências, esta definição pode ser aceita como uma idéia inicial da noção de massa, embora não possa ser considerada uma definição precisa dessa grandeza. De fato, a definição apresentada não é adequada, pois pretende de- finir um novo conceito – massa – por meio de uma idéia vaga, que não tem significado f́ısico preciso – quantidade de matéria. Experimentalmente os f́ısicos constataram que entre a força F aplicada a um corpo e a aceleração a, que ele adquire, existe uma proporção direta. Desta forma, o quociente F/a é constante para um certo objeto. Este quociente, que é intŕınseco a cada corpo, foi denominado pelos f́ısicos de massa do corpo. Desta forma, podemos afirmar: A massa m de um corpo é o quociente entre o módulo da força que atua num corpo e o valor da aceleração a que ela produz neste corpo. Assim, m = F a No sistema internacional (SI), a unidade para medida de massa é o quilograma: 1 quilograma = 1 kg = 1000 g Massa e Inércia Suponhamos que uma força F foi aplicada a três corpos de massa diferentes, como três blocos de ferro, com volumes diversos. Imaginaremos que a superf́ıcie na qual estes blocos estão apoiados não apresenta atrito. Analisando a equação m = F/a, percebemos facilmente que: - Quanto maior m → menor a - Quanto maior m → maior a dificuldade de alterar a velo- cidade do corpo. Podemos concluir que Quanto maior é a massa de um corpo, maior será sua inércia (dificuldade de ter sua velocidade alterada), isto é, a massa re- presenta a medida de inércia de um corpo. As conclusões anteriormente, explicam porque um caminhão vazio (quando sujeito a uma força F) adquire uma ace- leração maior do que quando esta cheio, por exemplo. A Segunda Lei de Newton De acordo com o prinćıpio da inércia, um corpo só pode sair de seu estado de repouso ou de movimento retiĺıneo com ve- locidade constante se sobre ele atuar uma força resultante externa. Neste momento, podeŕıamos perguntar: “O que acontece se existir uma força resultante externa agindo no corpo?” Nesta situação, o corpo fica sujeito a uma ace- leração, ou seja, um corpo sujeito a uma força resultante externa movimenta-se com velocidade variável. F É fácil perceber que, se quisermos acelerar um corpo, por exemplo, desde o repouso até 30 km/h em um intervalo de tempo de 30 s, a intensidade da força que teremos de aplicar dependerá da massa do corpo. Se, por exemplo, o corpo for um carro, é evidente que a força necessária será muito menor do que se tratasse de um caminhão. Desta forma, quanto maior a massa do corpo, maior deverá ser a intensidade da força necessária para que ele alcance uma determinada aceleração. Foi Isaac Newton quem obteve essa relação entre massa e força, que constitui a segunda lei de Newton ou prinćıpio fundamental da dinâmica. Temos, então que A aceleração de um corpo submetido a uma força resultante externa é inversa- mente proporcional à sua massa, e direta- mente proporcional a intensidade da força. Assim, para uma dada força resultante externa F, quanto maior a massa m do corpo tanto menor será a aceleração a adquirida. Matematicamente, a segunda lei de Newton é dada por: ~F = m~a Mecânica – Aula 5 13 Esta equação vetorial impõe que a força resultante e a ace- leração tenham a mesma direção e o mesmo sentido. No SI a unidade de força é o newton ou (N): 1 N = 1 kg ·m/s2 Por definição, o newton é a força que produz uma aceleração de 1 m/s2 quando aplicada em uma massa de 1 kg. Diagrama de Corpo Livre Antes de resolver qualquer problema de dinâmica, é de fun- damental importância a identificação de todas as forças rele- vantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualização destas forças, isola-se cada corpo envolvido e desenha-se um diagrama de corpo livre ou diagrama de forças para cada corpo, que é um esquema simplificado envolvendo to- das as massas e forças do problema. Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um plano inclinado com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpo livre para o bloco: m N Fat P θ Figura 1: Diagrama de corpo livre para um bloco es- corregando num plano inclinado. Observe Nesse exemplo, o bloco é tratado como uma part́ıcula, por simplificação, não sendo relevante suas dimensões ou o ponto de aplicação das forças, colocadas todas no seu centro geométrico, por conveniência. Desprezou-se a força de em- puxo do ar, a força de resistência viscosa ao movimento do bloco, também causada pelo ar, e outras forças irrelevantes ao problema. Pense um Pouco! • É muito comum nos depararmos com a situação na qual um carro e um caminhão estão emparelhados aguar- dando o sinal verde do semáforo. Você sabe por quê, quando o sinal fica verde, o carro quase sempre sai na frente, apesar de o caminhão ter um motor mais pos- sante? • Se o peso de um corpo é proporcional à sua massa, então podemos afirmar que todos os corpos terão a mesma aceleração, em queda livre? Exerćıcios de Aplicação 1. Na figura abaixo os blocos A, B e C estão sobre um plano horizontal sem atrito. B A Sendo F = 20 N , ma = 3, 0 kg, mb = 8, 0 kg e mc = 9, 0 kg, determine: a) a aceleração do conjunto; b) a tração nos fios (TAB entre A e B e TBC , entre B e C). Admitir a massa dos fios despreźıvel. 2. (Uneb-BA) Um elevador de 500 kg de massa sobe ace- lerado a 2 m/s2. Considerando g = 10 m s2, a tração no cabo que o sustenta, é de: a) 6000 N b) 5000 N c) 4000 N d) 3000 N e) 2000 N Exerćıcios Complementares 3. No conjunto da figura abaixo, o bloco A tem massa 0, 50 kg. O bloco B, de massa 4, 5 kg, está sobre o plano sem atrito. A F B C Admitindo g = 10 m/s2 e o fio inextenśıvel de massa des- preźıvel como a massa da polia, determine: a) a aceleração do conjunto; b) a tração no fio. 4. No conjunto da figura abaixo, temos mA = 1, 0 kg, mB = 2, 0 kg e mC = 2, 0 kg. O bloco B se apóia num plano sem atrito. São despreźıveis as massas da polia e do fio, que é inextenśıvel. B AC 14 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Admitindo g = 10 m/s2, determine: a) a aceleração do conjunto; b) a tração TAB entre os blocos A e B; c) a tração TBC entre os blocos B e C. 5. Na figura, a força ~F tem intensidade 90 N . Despreze os atritos e as inércias do fio e da roldana. Quais os valores da aceleração do conjunto e da força que traciona o fio? 4 kg 6 kg F 6. (UEL-PR) Os três corpos, A, B e C, representados na figura têm massas iguais, m = 3, 0 kg A B C O plano horizontal, onde se apóiam A e B, não fornecem atrito, a roldana tem massa despreźıvel e a aceleração local da gravidade pode ser considerada g = 10 m/s2. A tração no fio que une os blocos A e B tem módulo: a) 10 N b) 15 N c) 20 N d) 25 N e) 30 N 7. (U. F. Lavras-MG) Um bloco de peso igual a 50 N encontra-se sobre uma balança no piso de um elevador. Se o elevador sobe com aceleração igual, em módulo, à metade da aceleração da gravidade local, pode-se afirmar que a leitura da balança: a) será de 25 N b) permanece inalterada c) será de 75 N d) será de 100 N e) será de 200 N Mecânica Aula 6 Energia A energia se apresenta de diversas formas na natu- reza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionam energia qúımica, a combustão da gasolina libera energia térmica, energia elétrica é utilizados em diversos aparelhos, transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc. Para medir a quantidade de energia transferida de um corpo para outro vamos introduzir o conceito de trabalho. Trabalho O significado da palavra trabalho, na F́ısica, é diferente do seu significado habitual, empregado na linguagem comum. O trabalho, na F́ısica é sempre relacionado a uma força que desloca uma part́ıcula ou um corpo. Dizemos que uma força F realiza trabalho quando atua sobre um determinado corpo que está em movimento. A partir dessa descrição podemos dizer que só há trabalho sendo realizado se houver deslocamento, caso contrário o trabalho realizado será nulo. Assim, se uma pessoa sustenta um objeto, sem deslocá-lo, ela não está realizando nenhum trabalho sobre o corpo. Quando uma força F atua sobre um corpo no mesmo sentido de seu movimento (ou deslocamento) ela está favorecendo o movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho realizado pela força. Uma Força Constante Quando a força F atua no sentido contrário ao movimento do corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho realizado pela força é considerado negativo. FF d Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizado por uma força horizontal constante, durante um desloca- mento horizontal d é: W = ±F d (1) onde F é o módulo da força constante e d é o deslocamento (em módulo). O sinal + é usado quando a força e o des- locamento possuem o mesmo sentido, e o sinal −, quando possuem sentidos contrários. Importante Observe que o trabalho é uma grandeza escalar, apesar de ser definida a partir de dois vetores (F e d). Unidades 1 N ·m = 1 J = 1 joule = 107 erg 1 kJ = 103 J Quando a força for aplicada ao corpo formando um ângulo φ com a horizontal, temos a seguinte fórmula mais geral: W = F d cosφ (2) onde F é o módulo da força constante, d é o deslocamento (em módulo) e φ o ângulo entre os vetores F e d, ou seja, entre a direção da força e o deslocamento. Mecânica – Aula 7 17 Energia Potencial Um corpo possui energia quando é capaz de realizar traba- lho. Suponha, então, um corpo situado a uma certa altura acima do solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao solo, é fácil perceber que será capaz de realizar um certo trabalho: amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se pois concluir que aquele corpo possúıa energia na posição elevada. A energia que um corpo possui, em virtude de estar situado a uma certa altura acima da superf́ıcie da Terra, é denomi- nada energia potencial gravitacional. Há outras situações, semelhantes a essa, nas quais um corpo também possui ener- gia em virtude da posição que ele ocupa. Por exemplo, um corpo situado na extremidade de uma mola comprimida (ou esticada) possui energia em virtude de sua posição. Se um corpo comprimir uma mola e soltarmos esse corpo, ele será empurrado pela mola e poderá realizar trabalho. Neste caso, a energia que o corpo possui na ponta da mola comprimida ou esticada é denominada energia potencial elástica. Energia Potencial Gravitacional Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso referencial usual de energia zero, podemos definir a energia potencial gravitacional Ep como Ep = mgh onde g é a aceleração da gravidade. No SI, g vale aproxi- madamente 9, 8 m/s2. Força Elástica Chamamos de corpos elásticos aqueles que, ao serem de- formados, tendem a retornar à forma inicial. Figura 1: Robert Hooke (1635-1703) Uma mola helicoidal, feita geralmente de aço, como carac- teŕıstica própria uma constante elástica k, que define a proporcionalidade entre a intensidade força F aplicada e a respectiva deformação x causada na mola. A lei de Hooke relaciona essas quantidades na forma F = −kx Observe que x mede a deformação linear da mola a partir do seu tamanho de equiĺıbrio (sem força). Através a equação acima, pode-se ver que a unidade SI da constante elástica deve ser N/m. Na prática, a constante k mede a “durezaŽŽ da mola: quanto maior o valor de k, mais dif́ıcil será a sua deformação, ou seja, mais força será necessária para deformá-la uma certa quantidade x. Energia Potencial Elástica Quando aplicamos uma força e deformamos uma mola esta- mos transferindo a ela uma energia, essa energia fica arma- zenada na mola. Definimos que a energia armazenada em uma mola comprimida ou distendida é chamada de energia potencial elástica, através de Ep = 1 2 kx2 Pense um Pouco! • A energia potencial gravitacional depende da ace- leração da gravidade, então em que situações essa ener- gia é positiva, nula ou negativa? • A força elástica depende da massa da mola? Por quê? • Se uma mola é comprimida por um objeto de massa grande, quando solto a mola não consegue se mover, o que acontece com a energia potencial elástica? Exerćıcios de Aplicação 1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilin- gue. a) Qual a forma de energia armazenada no estilingue? b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge sua altura máxima? c) Existe energia no estilingue depois do lançamento? Co- mente. 2. Um para-quedista desce com velocidade constante, de- pois de um certo tempo de queda. a) O que acontece com sua energia potencial Ep? b) Sua energia cinética está variando? Comente. 3. Um indiv́ıduo encontra-se sobre uma balança de mola, pisando sobre ela com seus dois pés. Se ele levantar um dos pés e mantiver o outro apoiado, no interior de um ele- vador completamente fechado, quando observa que o peso indicado na balança é zero. Então, conclui que: a) está descendo com velocidade constante b) o elevador está em queda livre c) a força de atração gravitacional exercida sobre ele é anu- lada pela reação normal do elevador d) a balança está quebrada, visto que isto é imposśıvel 4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, estão a 500 m de altura em relação ao solo. Você diria que: a) ambas as pedras têm igual energia potencial; b) a pedra de menor massa tem maior energia potencial c) nada podemos afirmar com relação à energia potencial das pedras d) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizar 18 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br trabalho e) a pedra de maior massa tem maior energia potencial 5. (UFRN) Uma mola helicoidal, de massa despreźıvel, está suspensa verticalmente e presa a um suporte horizon- tal. Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade livre dessa mola, ela apresenta deformação de 2, 0 cm para o sistema em equiĺıbrio. Se acrescentarmos a essa massa outra de 10 kg, no ponto de equiĺıbrio, a deformação total será de: a) 3, 0 m b) 2, 5 cm c) 2, 0 m d) 1, 5 cm e) 1, 0 m Exerćıcios Complementares 6. Uma mola cuja constate elástica é 1000 N/m encontra-se comprimida em 10 cm. a) Determine a energia potencial elástica armazenada na mola. b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente para impulsionar um bloco de 100 g, qual é a velocidade máxima adquirida pelo bloco? 7. Qual o trabalho necessário para se comprimir uma mola, cuja constante elástica é 500 N/m, em 10, 0 cm? 8. Um menino situado no alto de um edif́ıcio, segura um corpo de massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima do solo. a) Qual a energia potencial gravitacional do corpo naquela posição? b) Qual a energia potencial gravitacional do mesmo corpo, quando situado a 6, 0 m do chão? Mecânica Aula 8 Trabalho e Energia Potencial Figura 1: James Prescott Joule (1818-1889). A energia potencial gravitacional está relacionada à posição de um corpo no campo gravitacional. Em geral, quando movemos o corpo, alteramos sua energia potencial. Para elevar um corpo em equiĺıbrio do solo até uma altura h, devemos aplicar uma força que realizará um trabalho (positivo) de mesmo módulo que o trabalho realizado pela força peso do corpo (negativo). P ext.F = −P m Figura 2: Um corpo sendo suspenso em equiĺıbrio. O trabalho realizado pela força externa Fext., é armazenado no sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gra- vitacional Ep, e vale: Ep = mgh se definirmos o valor zero (Ep = 0) no chão, onde h = 0. Já para o sistema massa-mola, temos uma força externa sendo aplicada no sistema fazendo com que a mola sofra uma deformação, sendo essa força F = −kx o trabalho W externo necessário para esticar a mola uma quantidade x será W = 1 2 kx2 e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, de energia potencial elástica. F=−kx O F=0 O Ox<0 x>0 F=−k(−x)=kx Figura 3: O sistema massa-mola em equiĺıbrio, esti- cado e comprimido. Mecânica – Aula 8 19 Forças Conservativas e Dissipativas Quando sobre um corpo em movimento atua apenas seu peso, ou força elástica exercida por uma mola, a energia mecânica desse corpo se conserva. Por este motivo, as forças citadas são denominadas forças conservativas. Exemplo: ao dar corda em um relógio, você está armazenando ener- gia potencial elástica numa mola, e essa energia estará dis- pońıvel para fazer com que o relógio trabalhe durante um certo tempo. Isso só é posśıvel porque a energia elástica foi armazenada (conservada). Por outro lado, se existissem forças de atrito atuando du- rante o deslocamento do corpo, sua energia mecânica não se conserva, por que parte dela (ou até ela toda) se dissipa sob forma de calor. Por isso dizemos que as forças de atrito são forças dissipativas. Exemplo: se você arrastar um caixote pelo chão horizontal, durante um longo percurso, verá que todo o trabalho realizado foi perdido, pois nenhuma parte dessa energia gasta foi armazenada, ou está dispońıvel no caixote. A Conservação da Energia Mecânica Um sistema mecânico no qual só atuam forças conservativas é dito sistema conservativo, pois a sua energia mecânica (E) se conserva, isto é, mantém-se com o mesmo valor em qualquer momento ou posição, podendo alternar-se nas suas formas cinética e potencial (gravitacional ou elástica): E = Ec + Ep Degradação da Energia A energia está constantemente se transformando, mas não pode ser criada nem destrúıda. • Em uma usina hidrelétrica, a energia mecânica da queda d’água é transformada em energia elétrica. • Em uma locomotiva a vapor, a energia térmica é trans- formada em energia mecânica para movimentar o trem. • Em uma usina nuclear, a energia proveniente da fissão dos núcleos atômicos se transforma em energia elétrica. • Em um coletor solar, a energia das radiações proveni- entes do sol se transforma em energia térmica para o aquecimento de água. Pense um Pouco! • Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numa mola e volta a subir. Ele pode atingir, na volta, al- tura maior do que aquela de que foi abandonado? Por quê? • Indique algumas fontes de energia e explique a forma de aproveitá-las para a realização de trabalho mecânico. • Quando se ergue um objeto a uma certa altura, como se realiza menor trabalho: suspendendo-o diretamente por uma corda, na vertical, ou transportando-o através de um plano inclinado (sem atrito) até a altura dese- jada? Por quê? • Compare a energia necessária para elevar de 10 m uma massa na Terra e a energia necessária para elevar de 10 m a mesma massa na Lua. Explique a diferença. Exerćıcios de Aplicação 1. Quais as transformações de energia que ocorrem quando um jogador chuta uma bola? 2. Quais as principais diferenças entre energia potencial e energia cinética? 3. Uma força é dita conservativa quando: a) não realiza trabalho b) o trabalho por ela realizado não depende da trajetória de seu ponto de aplicação c) realiza apenas trabalhos positivos d) o trabalho por ela realizado não depende da massa do corpo em que está aplicada e) dissipa energia térmica 4. Um sistema f́ısico tem energia quando: a) está sujeito apenas a ações de forças conservativas; b) está sujeito a forças conservativas e dissipativas; c) está capacitado a realizar trabalho; d) possui grande quantidade de átomos e) perde calor Exerćıcios Complementares 5. O prinćıpio da conservação da energia afirma que: a) a energia cinética de um corpo é constante b) a energia potencial elástica mais a energia cinética é sem- pre constante c) a energia não pode ser criada nem destrúıda, mas apenas transformada em calor devido aos atritos d) a energia total de um sistema, isolado ou não, permanece constante e) a energia não pode ser criada nem destrúıda, mas apenas transformada de uma modalidade para outra 6. A energia mecânica de um corpo: a) é a soma da sua energia potencial e cinética b) depende apenas do referencial c) depende da aceleração do corpo d) é sempre constante, independente do tipo de forças atu- antes sobre ele e) depende apenas da velocidade do corpo 7. Para esticar uma mola em 40 cm, é necessária uma força de 20 N . Determine: a) A constante elástica da mola; b) O trabalho realizado pelo agente externo que estica a mola; c) O trabalho realizado pela mola; d) O trabalho que seria necessário para deformar a mola em 80 cm; e) A força necessária para esticar a mola em 80 cm. 8. Um corpo de massa 5, 0 kg é elevado do solo a um ponto situado a 3, 0 m de altura. Considere g = 10 m/s2. Deter- mine: 22 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br a) 0, 07 m · s−2 b) 1, 3 m · s−2 c) 3, 0 m · s−2 d) 10 m · s−2 e) 67 m · s−2 Mecânica Aula 10 Quantidade de Movimento Quando uma pessoa tenta pegar uma bola em movimento, é fácil perceber que há uma diferença na ação que ela deve desenvolver se a velocidade da bola for grande ou pequena: a bola mais rápida, para ser parada, exige um esforço maior e de maior duração. Uma diferença semelhante também seria percebida se a pessoa tentasse parar duas bolas com a mesma velocidade, mas de massas diferentes: o maior esforço, atuando durante um tempo maior, seria necessário para fazer parar a bola de maior massa. Essas observações levam à definição de uma nova grandeza f́ısica vetorial relacionada com a massa e a velocidade de uma part́ıcula, denominada quantidade de movimento. Podemos escrever que quantidade de movimento de um ponto material como ~Q = m~v onde m é a sua massa e ~v sua velocidade. Unidade SI Medimos a quantidade de movimento no Sistema Internaci- onal (SI) na unidade Kg ·m/s Exemplo Se um carro de 1.200 kg se desloca numa estrada com ve- locidade de 72 km/h, a sua quantidade de movimento será, em módulo, Q = mv = (1.200 kg)(20 m/s) = 2, 4× 104 kg ·m/s Lembre-se Para transformar a velocidade dada em km/h para a uni- dade SI (m/s) fazemos: v = 72 km/h = 72× 1000 m 3.600 s = 72 3, 6 m/s = 20 m/s Impulso Quando um jogador de futebol chuta uma bola ou quando um tenista, usando uma raquete, rebate uma bola,existe uma força que age num curto espaço de tempo que faz a bola ser impulsionada. Define-se o impulso ~I de uma força como grandeza vetorial dada pelo produto da força ~F pelo intervalo de tempo ∆t durante o qual ela atuou: ~I = ~F∆t Por exemplo, se ao chutar uma bola parada aplicamos nela uma força de 50 N durante um intervalo de tempo de 0, 12 s, o impulso transferido para a bola será I = F∆t = (50 N)(0, 12 s) = 6, 0 N · s e esse impulso fará com que a bola entre em movimento. Unidade SI do Impulso Medimos o impulso na mesma unidade da quantidade de movimento: 1 N · s = 1 kg ·m/s Pense um Pouco! • É mais fácil parar uma bola que tenha uma quantidade de movimento grande ou pequena? Por quê? • Qual a influência da massa na quantidade de movi- mento? • Por que um carro se deforma numa colisão? Exerćıcios de Aplicação 1. (UFMS) Com relação à quantidade de movimento de uma part́ıcula, é correto afirmar (marque V ou F): a) ( ) é uma grandeza vetorial b) ( ) tem a mesma direção e sentido do vetor velocidade da part́ıcula c) ( ) é uma grandeza inversamente proporcional à massa da part́ıcula d) ( ) sua unidade no SI pode ser kg ·m/s e) ( ) permanece constante mesmo que a part́ıcula seja acelerada 2. (UFSC) O impulso dado a um corpo pode ser escrito como o .......... da ......... pelo(a) ......... . Marque V caso as opções completem corretamente as lacunas ou F caso contrário. a) ( ) produto; força aplicada ao corpo; tempo que o corpo fica em movimento b) ( ) produto; força aplicada ao corpo; tempo durante o qual a força atua c) ( ) quociente; força aplicada ao corpo; velocidade que ele adquire d) ( ) quociente; massa do corpo; velocidade que ele adquire e) ( ) produto; massa do corpo; aceleração que ele adquire 3. Considere um corpo que está se deslocando em movi- mento retiĺıneo uniforme. a) A quantidade de movimento deste corpo está variando? Explique. b) Tendo em vista a resposta do ı́tem anterior, o que você conclui sobre o impulso que atua no corpo? c) Então, qual o valor da resultante das forças aplicadas no corpo? Mecânica – Aula 11 23 Exerćıcios Complementares 4. Uma força de 20 N é aplicada em um corpo durante 10 s. Qual é o impulso que a força transmite ao corpo? 5. Determine a quantidade de movimento de um objeto de massa 50 kg que se movimenta com velocidade de 20 m/s? 6. (UEL-PR) Um corpo de massa m tem velocidade v, quantidade de movimento Q e energia cinética E. Uma força F , na mesma direção e no mesmo sentido de v, é apli- cada no corpo, até que a velocidade dele triplique. As novas quantidades de movimento e energia cinética são, respecti- vamente: a) 3Q e 3E b) 3Q e 6E c) 3Q e 9E d) 6Q e 6E e) 6Q e 9E 7. (PUC-SP) Um carrinho de massa 2, 0 kg move-se ao longo de um trilho horizontal com velocidade 0, 50 m/s até chocar-se contra um pára-choque fixo na extremidade do tri- lho. Supondo que o carrinho volte com velocidade 0, 20 m/s e que o choque tenha duração de 0, 10 s, calcule em newtons, o valor absoluto da força média exercida pelo pára-choque sobre o carrinho. Mecânica Aula 11 Impulso e Momento Teorema do Impulso-Momento Consideremos uma força resultante constante ~F atuando sobre uma part́ıcula de massa m, durante um intervalo de tempo ∆t, temos ~I = ~F∆t ou seja ~I = m~a∆t = m∆~v = ∆ ~Q ou ~I = ~Qf − ~Qi = m(~vf − ~vi) E concluimos que: O impulso determinado pela resultante de todas as forças externas que agem durante certo intervalo de tempo sobre um ponto material é igual a variação da quantidade de movimento do ponto durante o mesmo intervalo. CB D E A Sistemas de Part́ıculas Para um sistema contendo N part́ıculas a quantidade de movimento desse sistema pode ser escrito na seguinte forma: ~QTOTAL = m1~v1 + m2~v2 + . . . + mN~vN CURIOSIDADE A luz tem quantidade de movimento? É posśıvel um astro- nauta mover-se no espaço sideral acendendo sua lanterna? Por mais intrigante que seja, a reposta é sim. Mas por que isso acontece? Pelo fato de a luz possuir quantidade de movimento. Normalmente não percebemos isso, pois a quantidade de movimento da luz é pequena e, assim, os seus efeitos são, em geral, impercept́ıveis. Mas quando o astronauta acende sua lanterna, a situação é análoga àquela em que um garoto sobre patins consegue mover-se atirando uma melancia. De acordo com a Mecânica Quântica, a luz é formada por pequenos ”pacotes”de energia, denominados fótons, os quais, no vácuo, movem-se à velocidade c = 3, 0× 108 m/s. Cada um desses fótons, além de possuir energia, tem quan- tidade de movimento. Porém ela não pode ser calculada pela expressão ~Q = m~v, uma vez que os fótons não têm massa. Para que o Prinćıpio da Conservação da Quanti- dade de Movimento seja mantido, os f́ısicos conclúıram que a quantidade de movimento (q) de um fóton de energia E deve ser calculada por q = E/c Para ilustrar, considere que o nosso astronauta esteja a uma distância de 5 m de sua nave e tenha uma lanterna que emita luz com potência de 1500 W . Suponha ainda que a massa total do astronauta juntamente com o traje espacial e a lan- terna seja 80 kg. Se o astronauta só pudesse aproximar-se da nave acendendo sua lanterna, quanto tempo ele gastaria? Utilizando a expressão acima e os modelos simplificados da Mecânica, encontraremos um valor aproximado de 3,3 horas. Isso mesmo: 3h18min para percorrer 5 metros. As primei- ras evidências experimentais de que a luz tem quantidade de movimento foram obtidas em 1899, pelo f́ısico russo P. Lebedev, e pelos americanos E. L. Nicholls e G. F. Hull, em 1901. 24 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Pense um Pouco! • Colidindo-se frontalmente duas esferas idênticas, sobre uma mesa de bilhar, uma em movimento e a outra ini- cialmente parada, observa-se que a esfera que estava em movimento fica parada e a outra, inicialmente pa- dara, entra em movimento após a colisão. Explique esse fenômeno sob o ponto de vista dos conceitos de impulso e momento. Exerćıcios Complementares 1. Uma bola de bilhar de 200 g se move a 3, 50 m/s colise e muda sua direção de movimento em 90◦. Determine o impulso aplicado sobre a bola na colisão. 2. Solta-se um corpo de massa m de uma altura h em queda-livre, o observa-se o seu movimento até o solo. a) Determine o impluso que o peso do corpo produz até que ele atinja o solo. b) Determine a variação do momento do corpo, desde o instante em que foi solto, até atingir o solo. c) Compara os resultados dos itens anteriores. Comente. Exerćıcios de Aplicação 3. Solta-se uma bola de futebol com massa igual a 500 g a 1, 25 m de altura acima do chão (piso) e observa-se que ela retorna (pula) até uma altura de apenas 0, 80 m, após o primiro salto. a) Determine o impulso total sobre a bola até que ela toque a primeira vez no chão. b) Determine o impulso total sobre a bola desde o instante em que ela deixa o solo até atingir a altura de 0, 80 m. Mecânica Aula 12 Conservação da Quantidade de Mo- vimento Num sistema isolado, onde o impulso das forças externas seja nulo, a quantidade de movimento final é igual a inicial. ~I = ~Qf − ~Qi = ~0 =⇒ ~Qf = ~Qi Resumindo, podemos enunciar o Teorema da Conservação da Quantidade de Movimento: É constante a quantidade de movimento de um con- junto de pontos materiais que constituem um sis- tema isolado. Exemplos Fenômenos que encontram explicação no teorema da quan- tidade de movimento: • choque mecânico; • recuo das armas de fogo; • explosão de uma bomba (fragmentos); • propulsão a jato. Forças Impulsivas A força de interação que ocorre durante uma colisão, em geral tem grande intensidade e curta duração, como descrito no gráfico abaixo. Forças como essa, que atuam durante um intervalo pequeno comparado com o tempo de observação do sistema, são chamadas de forças impulsivas. t t F(t) t i ft∆ Algumas vezes é mais interessante considerar o valor médio da força impulsiva que o seu valor a cada instante. Por definição, o valor médio de uma força impulsiva é o va- lor da força constante que, no mesmo intervalo de tempo, produz o mesmo impulso sobre um dado corpo. Pense um Pouco! • Como podemos analisar as forças envolvidas em uma colisão entre duas part́ıculas? • Imagine-se no meio da superf́ıcie lisa de um lago. Lem- brando não ser posśıvel caminhar sobre a superf́ıcie, em razão da total ausência de atrito, sugira um procedi- mento que permita alcançar a margem do lago. Exerćıcios de Aplicação 1. (UEA - Aprovar) Antonio (um pescador do Cambixe) está com sua canoa no lago dos Reis. Inicialmente, tanto a canoa como o pescador repousam em relação à água que, por sua vez, não apresenta qualquer movimento em relação à Terra. Atritos da canoa com a água são despreźıveis e, no Mecânica – Aula 14 27 Figura 3: O carro aplica no caminhão uma força re- sultante de mesma intensidade daquela que o caminhão aplica no carro. reação, que posteriormente ficou conhecida como terceira Lei de Newton. De acordo com esta lei, as forças resul- tantes da interação entre dois objetos sempre aparecem aos pares, têm mesmo módulo, mesma direção, sentidos opostos e são denominadas ação e reação: a força de ação é apli- cada num objeto e a de reação, no outro. Atualmente a 3a Lei de Newton costuma ser enunciada da seguinte forma: Para toda ação existe uma reação, de igual intensidade, na mesma direção e sentido contrário. Os movimentos dos corpos também estão embasados na 3a Lei de Newton. Uma pessoa, ao andar, empurra o chão para trás (ação) e a reação que o chão aplica na pessoa a empurra para frente. Um avião, com suas hélices ou tur- binas, empurra o ar para trás e este aplica uma força no avião, deslocando-o para frente. Se um foguete lança uma massa de gás para fora, exerce uma força sobre o gás (ação) e, simultaneamente, recebe do gás uma força igual e oposta (reação). Desta forma, podemos chamar a força do gás sobre o foguete de “ação”e a do foguete sobre o gás de “reação”. Figura 4: O avião acelera gases para trás e sofre uma reação para frente. Pense um Pouco! • Se ação e reação possuem a mesma intensidade e sen- tidos contrários, por que uma não anula o efeito da Figura 5: Movimento de um foguete. outra? • É posśıvel se caminhar sobre um chão sem atrito? Ex- plique. Exerćıcios de Aplicação 1. (FAAP - SP) A 3a Lei de Newton é o prinćıpio da ação e reação. Esse prinćıpio descreve as forças que participam na interação entre dois corpos. Podemos afirmar que: a) duas forças iguais em módulo e de sentidos opostos são forças de ação e reação; b) enquanto a ação está aplicada num dos corpos, a reação está aplicada no outro; c) a ação é maior que a reação; d) ação e reação estão aplicadas no mesmo corpo; e) a reação, em alguns casos, pode ser maior que a ação. 2. (VUNESP - SP) As estat́ısticas indicam que o uso do cinto de segurança deve ser obrigatório para prevenir lesões mais graves em motoristas e passageiros no caso de aciden- tes. Fisicamente, a função do cinto está relacionada com a: a) 1a Lei de Newton; b) Lei de Snell; c) Lei de Ampère; d) Lei de Ohm; e) 1a Lei de Kepler. 3. Um lutador de boxe atinge o adversário com um murro no rosto. a) Na interação luva-rosto, quem exerce maior força, a luva sobre o rosto ou o rosto sobre a luva? Por quê? b) Então por que a mão do pugilista que aplica o golpe não sofre os mesmos “estragos”que o rosto do adversário? Exerćıcios Complementares 4. Um automóvel bate contra um caminhão, exercendo nele uma força de 20.000 N . a) Qual o módulo da reação desta força, sabendo-se que a massa do carro é dez vezes menor que a do caminhão? b) Quem exerce a reação? c) Em que corpo está aplicada a reação? 28 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br 5. Dois blocos de massas mA = 3 kg e mB = 2 kg, apoia- dos sobre uma superf́ıcie horizontal perfeitamente lisa, são empurrados por uma força F de 20 N , conforme indica a figura abaixo. Determine a aceleração do conjunto. A B F 6. De que modo você explica o movimento de um barco a remo, utilizando a terceira lei de Newton? 7. Dois corpos A e B, de massas mA = 5 kg e mB = 10 kg estão interligados por um fio ideal. A superf́ıcie de apoio é horizontal e perfeitamente lisa. Aplica-se em B uma força horizontal de 30 N . Determine: a) a aceleração do conjunto; b) a força de tração no fio. 8. (ITA - SP) No campeonato mundial de arco e flecha dois concorrentes discutem sobre a f́ısica que está contida no arco do arqueiro. Surge então a seguinte dúvida: quando o arco está esticado, no momento do lançamento da flecha, a força exercida sobre a corda pela mão do arqueiro é igual à: I) força exercida pela sua outra mão sobre a madeira do arco. II) tensão na corda. III) força exercida sobre a flecha pela corda no momento em que o arqueiro larga a corda. Neste caso: a) todas as afirmativas são verdadeiras. b) todas as afirmativas são falsas. c) somente I e III são verdadeiras. d) somente I e II são verdadeiras. e) somente II é verdadeira. Mecânica Aula 15 Força de Atrito Ao lançarmos um corpo sobre uma superf́ıcie horizontal, verificamos que o corpo acaba parando. 1 2 v Isto significa que, enquanto o corpo se movimenta, ele ad- quire uma aceleração cujo sentido é oposto ao do seu movi- mento. Há portanto uma força que se opõe ao deslocamento do bloco: a força de atrito ~Fat. Sempre que a superf́ıcie de um corpo escorrega sobre a de outro corpo, um exerce sobre o outro (prinćıpio da ação e reação) uma força de atrito tangente às superf́ıcies de con- tato. Deve-se notar que a força de atrito atuando sobre cada corpo tem sentido oposto ao movimento do corpo em relação ao outro corpo. O atrito é provocado pela aspereza existente nas superf́ıcies em contato. As superf́ıcies tendem a se interpenetrarem quando são esfregadas uma na outra e isto oferece resistência ao movimento relativo. De Onde Vem o Atrito? Uma das hipóteses mais aceitas para a existência do atrito é que ele provém da coesão das moléculas situadas nas su- perf́ıcies que se acham em contato. Essa adesão superficial ocorre porque nos pontos de contato as moléculas de cada superf́ıcie estão tão próximas que passam a exercer forças intermoleculares entre si. A força de atrito que se opõe a um corpo que rola é menor que no movimento de deslizamento. O atrito pode ser re- duzido com o polimento das superf́ıcies em contato e com o uso de lubrificantes O atrito esta presente em quase todos os movimentos e ele pode ser útil ou nocivo. Se não existisse o atrito entre o sapato e o solo, uma pessoa não poderia andar; o pé da pessoa empurra a Terra para trás e a Terra empurra o pé da pessoa para frente (ação e reação), quando ela anda. Sem o atrito os véıculos não poderiam iniciar o seu movi- mento, pois, as rodas começariam a girar sem sair do lugar. O objetivo das saliências em pneus é aumentar o atrito. Figura 1: Quando uma estrada de terra torna-se escor- regadia, colocam-se correntes nas rodas dos automóveis para aumentar o atrito. Tipos de Atrito Existem dois tipos de atrito: o estático e o cinético (dinâmico). Vamos estudar estes dois casos separadamente, pois existem diferenças importantes a serem ressaltadas. Mecânica – Aula 15 29 Forças de Atrito Estático (FAE) Apesar de parecer estranho, pode existir atrito entre su- perf́ıcies em repouso. Um exemplo comum é o de um au- tomóvel estacionado em uma ladeira. Este só consegue per- manecer parado graças ao atrito entre os freios e as rodas. Em situações como esta, dizemos que existe a chamada força de atrito estático (FAE). A força de atrito estático é aquela que atua enquanto não há deslizamento, e o seu módulo máximo é dado por: FAE ≤ µe ·N Experimentalmente, podemos estabelecer as seguintes pro- priedades gerais para o atrito estático: • a intensidade da força de atrito estático varia de zero até o valor máximo FAE ; • o coeficiente de atrito estático (µe) depende do estado de polimento e da natureza das duas superf́ıcies em contato; • a intensidade da força de atrito estático é independente da área de contato entre as superf́ıcies sólidas. Forças de Atrito Cinético (FAC) Quando um carro é freado inesperadamente, é comum as ro- das do automóvel travarem e os pneus deslizarem no asfalto. Antigamente isso era ainda mais frequente, mas hoje, nos véıculos equipados com os chamados freios ABS, as rodas não travam mais. O ABS (Antiblocking System) é um avançado sistema de freios desenvolvido para evitar o travamento das rodas nas freadas bruscas em velocidade. Sensores fixados a cada uma das rodas enviam sinais eletrônicos para um módulo de co- mando computadorizado que reduz, em frações de segundo, a pressão sobre as rodas prestes a se travarem. Com as ro- das desbloqueadas, o carro permanece sob controle e tem menos possibilidade de derrapar ou deslizar, até em pistas molhadas. Mas, qual a diferença entre o carro escorregar ou não na pista? Analise a figura a seguir; ela mostra o deslizamento entre duas superf́ıcies. . . . .. .. . . .. . . ..... . . . .. . . .. . . ... . . Figura 2: Corpo deslizando sobre superf́ıcie áspera. As irregularidades microscópicas apresentadas pelas su- perf́ıcies fazem com que a movimentação do bloco sofra uma resistência denominada força de atrito cinético. Ob- viamente, quanto maior a aspereza das superf́ıcies, maior a intensidade dessa força. Para medir a rugosidade das par- tes em contato criou-se o coeficiente de atrito cinético (µc). Mesmo existindo valores tabelados para uma grande quanti- dade de materiais, é muito dif́ıcil conhecê-los com precisão, pois dependem das condições das superf́ıcies em contato. Não são apenas os materiais das superf́ıcies em contato que interferem no valor da força de atrito cinético. A força nor- mal entre os corpos também é de fundamental importância. Quanto maior a força normal mais intensa a força de atrito cinético. O módulo da força de atrito cinético é dado pela expressão: FAC = µc ·N Na prática o coeficiente de atrito estático é sempre maior que o coeficiente de atrito cinético. Pense um Pouco! 1. Por que nos dias de chuva é mais dif́ıcil frear um carro? 2. Por que o gelo é muito deslizante e quase não apresenta atrito? 3. A máxima aceleração de um carro depende de alguma força de atrito? Explique. Exerćıcios de Aplicação 1. (UFES) O bloco da figura está em movimento em uma superf́ıcie horizontal em virtude da aplicação de uma força ~F paralela à superf́ıcie: F = 60,0 N m =2,0 kg O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superf́ıcie é igual a 0, 2. Sendo g = 10 m/s2, a aceleração do objeto é: a) 20, 0 m/s2 b) 28, 0 m/s2 c) 30, 0 m/s2 d) 32, 0 m/s2 e) 36, 0 m/s2 2. (UFMG) Um bloco é lançado no ponto A, sobre uma superf́ıcie horizontal com atrito, e desloca-se para C: A C B O diagrama que melhor representa as forças que atuam so- bre o bloco quando esse bloco está passando pelo ponto B é: 32 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br 6. Considere dois satélites de massas ma e mb , sendo ma = 2mb, descrevendo a mesma órbita em torno da Terra. Com relação à velocidade dos dois teremos: a) va > vb b) va < vb c) va = vb d) va = vb/2 e) n.r.a 7. Um planeta descreve uma órbita eĺıptica em torno do Sol. O ponto A é o ponto da órbita mais próximo do Sol; o ponto B é o ponto mais distante. No ponto A: a) a velocidade de rotação do planeta é máxima; b) a velocidade de translação do planeta se anula; c) a velocidade de translação do planeta é máxima; d) a força gravitacional sobre o planeta se anula; e) n.r.a Gravitação Aula 2 Gravitação Universal A lei da gravitação universal, proposta por Newton, foi um dos maiores trabalhos desenvolvidos sobre a interação entre massas, pois é capaz de explicar desde o mais simples fenômeno, como a queda de um corpo próximo à superf́ıcie da Terra, até, o mais complexo, como as forças trocadas entre corpos celestes, traduzindo com fidelidade suas órbitas e os diferentes movimentos. Segundo a lenda, Newton, ao observar a queda de uma maça, concebeu a idéia que ela seria causada pela atração exercida pela terra. A natureza desta força atrativa é a mesma que deve existir entre a Terra e a Lua ou entre o Sol e os planetas; portanto, a atração entre as massas é, com certeza, um fenômeno universal. Uma Força Elementar Sejam duas part́ıculas de massas m1 e m2, separadas por uma distância r. Segundo Newton, a intensidade da força F de atração entre as massas é dada por F = G m1m2 r2 onde G é uma constante, a constante da gravitação uni- versal, sendo seu valor expresso, no Sistema Internacional, por G = 6, 67× 10−11 N ·m2/kg2 As forças F12 e F21 é a da reta que une as part́ıculas, e o sentido tal que as massas sempre se atraem mutuamente, com mesma intensidade de força, ou seja F12 = F21 Podemos, ainda, enunciar a lei da gravitação universal do seguinte modo: Dois corpos se atraem gravitacionalmente com força cuja intensidade é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente propor- cional ao quadrado da distância entre seus centros de massa. F m m2 1 12 21 F Figura 1: Duas part́ıculas se massas m1 e m2 sem- pre se atraem mutuamente, dando origem a um par de forças F12 e F21. Após a formulação da lei da Gravitação, com o desenvol- vimento do cálculo integral, Newton também mostrou que a força gravitacional entre esferas homogêneas também segue a mesma forma estabelecida para as part́ıculas. E também vale a mesma força para uma part́ıcula e uma es- fera homogênea. Esse resultado foi tão surpreendente para o próprio Newton, que inicialmente nem ele acreditou no que havia provado matematicamente! Aplicando-se a lei de gravitação para um corpo de massa m na superf́ıcie da Terra, temos então F = G MT m R2T = GMT R2T m = mg = P onde RT e MT são o raio e a massa da Terra, respectiva- mente, e à força obtida chamamos peso. Medidas atuais mostram que MT = 5, 98 × 1024 kg e RT = 6, 37×106 m. A constante g que aparece acima é jus- tamente a aceleração da gravidade na superf́ıcie da Terra. Experimente calcular g com os dados fornecidos! OBSERVAÇÕES 1. A força gravitacional é sempre de atração; 2. A força gravitacional não depende do meio onde os corpos se encontram imersos; 3. A constante da gravitação universal G teve seu valor determinado experimentalmente por Henry Cavendish, em 1798, por meio de um instrumento denominado ba- lança de torção e esferas de chumbo. Pense um Pouco! • Qual a direção e o sentido da força de atração gravi- tacional exercida pela Terra sobre os corpos que estão próximos à superf́ıcie? • A aceleração da gravidade na Lua é 6 vezes menor do que a aceleração da gravidade próxima à superf́ıcie da Terra. O que acontece com o peso e a massa de um astronauta na Lua? • O valor da aceleração da gravidade é relevante para os esportes? Gravitação – Aula 3 33 Exerćıcios de Aplicação 1. Duas part́ıculas de massas respectivamente iguais a M e m estão no vácuo, separadas por uma distância d. A respeito das forças de interação gravitacional entre as part́ıculas, podemos afirmar que: a) têm intensidades inversamente proporcional a d; b) têm intensidades diretamente proporcional ao produto Mm; c) não constituem entre si um par ação e reação; d) podem ser atrativas ou repulsivas; e) teriam intensidade maior se o meio fosse o ar. 2. A razão entre os diâmetros dos planetas Marte e Terra é 1/2 e entre as respectivas massas é 1/10. Sendo de 160 N o peso de um garoto na Terra, pode-se concluir que seu peso em Marte será de: a) 160 N b) 80 N c) 60 N d) 32 N e) 64 N 3. Uma menina pesa 400 N na superf́ıcie da Terra, onde se adota g = 10m/s2. Se a menina fosse transportada até uma altura igual ao raio da Terra (6.400 km), sua massa e seu peso seriam, respectivamente: a) 40 kg e 100 N b) 40 kg e 200 N c) 40 kg e 400 N d) 20 kg e 200 N e) 10 kg e 100 N 4. Um corpo é colocado na superf́ıcie terrestre é atráıdo por esta com uma força F . O mesmo corpo colocado na superf́ıcie de um planeta de mesma massa da Terra e raio duas vezes menor será atráıdo pelo planeta com uma força cujo módulo é: a) 4F b) 2F c) F d) F/2 e) F/4 Exerćıcios Complementares 5. Se a massa da Terra não se alterasse, mas o seu raio fosse reduzido à metade, o nosso peso seria: a) reduzido à quarta parte b) reduzido à metade c) o mesmo d) dobrado e) quadruplicado 6. Um corpo de massa m gira em torno da Terra, em órbita circular, com velocidade escalar constante v. Sendo G a constante gravitacional e M a massa da Terra, o raio da trajetória descrita pelo corpo será: a) G/Mv2 b) G/mv2 c) Gm/v2 d) GM/v2 e) GMm/v2 7. Sabe-se que no interior de uma nave em órbita circular em torno da Terra um astronauta pode flutuar, como se não tivesse peso. Esse fato ocorre porque: a) a nave está fora do campo gravitacional da Terra; b) há ausência de atmosfera; c) a atração exercida pela Lua é maior do que a atração exercida pela Terra; d) ambos, astronauta e nave, estão em queda livre no seu movimento circular; e) há uma redução na massa dos corpos. Gravitação Aula 3 Peso O peso de um corpo é a força de atração exercida pela terra sobre ele. Um paraquedista, por exemplo, cai por que é atráıdo pela Terra. Figura 1: Paraquedista. Consideremos um corpo de massa m caindo em queda livre perto da superf́ıcie da Terra. Peso e Massa Se o corpo cai em queda livre ele possui aceleração ~a igual à da gravidade ~g. Desta forma, podemos usar o prinćıpio fundamental da Dinâmica (2a Lei de Newton) para obter a força que age sobre esse corpo. Esta força é chamada de força peso ~P e é dada por: ~P = m~g Essa expressão mostra que o peso do corpo é diretamente proporcional à sua massa: quanto maior a massa, maior o peso. Entretanto massa e peso são conceitos inteiramente diferentes. Massa é uma propriedade intŕınseca do corpo, isto é, depende apenas do próprio corpo, enquanto peso é a força de atração gravitacional que atua sobre ele, variando de acordo com o valor da aceleração da gravidade. Por isso o peso do corpo pode variar. A massa, no entanto, é sempre a mesma em qualquer lugar do universo. 34 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Peso e Gravitação O peso de um corpo é uma grandeza vetorial que tem direção vertical e sentido para o centro da Terra. A força peso é uma força que atua à distância. Por isso, dizemos que em torno da Terra há uma região chamada campo gravitacional, na qual todos os corpos sofrem sua influência. Estando sob a ação deste campo, os corpos são atráıdos por essa força peso e sofrem variações de velocidade, uma vez que adquirem aceleração. Como a aceleração da gravidade num ponto é inversamente proporcional ao quadrado da distância desse ponto ao centro da Terra, e como os pontos de sua superf́ıcie não estão à mesma distância ao centro da terra, conclúımos que no topo de uma montanha um corpo pesará menos do que ao ńıvel do mar. É importante lembrar que existem variações que vão desde 393 m abaixo do ńıvel do mar (Mar morto), a 8.848 m acima do ńıvel do mar (Monte Everest). Como a Terra é achatada nos pólos, um homem pesará mais no Pólo Norte que no Equador. Em torno de qualquer planeta ou satélite existe um campo gravitacional. Assim, podemos falar em peso de um corpo em Júpiter, Saturno ou Marte, por exemplo. Figura 2: Júpiter e alguns de seus satélites naturais. Unidades SI A unidade de peso no Sistema Internacional (SI) é o newton ou N . Outra unidade, muito utilizada na indústria, é o quilograma-força ou kgf . 1 kgf é o peso de um corpo de 1 kg de massa num local em que a aceleração da gravidade é igual a 9, 8 m/s2. Podemos relacionar newton e quilograma-força: P = mg → 1 kgf = 1kg · 9, 8 m/s2 1 kgf = 9, 8 kg ·m/s2 1 kgf = 9, 8 N Pense um Pouco! • Por que na Lua os astronautas conseguem dar saltos mais altos do que na Terra? • Quando alguém diz que “pesa”75 kg o que isso quer dizer? • Quando uma pessoa salta em queda-livre o que acon- tece com o seu peso? Exerćıcios de Aplicação 1. Na superf́ıcie da Terra a aceleração da gravidade vale 9, 8 m/s2 e, na superf́ıcie da Lua, 1, 6 m/s2. Para um corpo de massa igual a 4 kg, calcule: a) o peso na superf́ıcie da Terra. b) o peso na superf́ıcie da Lua. 2. Peso e massa são a mesma coisa? quando você sobe numa balança de uma farmácia e permanece em repouso sobre ela, por exemplo, você esta medindo sua massa ou seu peso? Exerćıcios Complementares 3. (MACK - SP) Uma das observações cient́ıficas mais in- teressantes, noticiada pelas emissoras de TV, foi a do astro- nauta russo que, a bordo da estação espacial MIR, borrifou leite ĺıquido contido numa embalagem tradicional e, este, sob a falta de gravidade, adentrou a boca do cientista como uma “bola flutuante”. Considerando totalmente despreźıvel a gravidade no local dessa experiência, duas “bolas”de leite de massas respectivamente iguais a m e 2m terão seus pesos: a) iguais a zero b) na proporção PA/PB = 1/3 c) na proporção PA/PB = 1/2 d) na proporção PA/PB = 2 e) na proporção PA/PB = 3 4. (UFSM - RS) Uma força F de módulo igual a 20 N é aplicada, verticalmente, sobre um corpo de 10 kg em re- pouso sobre uma superf́ıcie horizontal. O módulo (em N) da força normal sobre o corpo, considerando o módulo da aceleração gravitacional como 10 m/s2 é: a) 120 b) 100 c) 90 d) 80 e) 0 5. Durante uma brincadeira, Bárbara arremessa uma bola de vôlei verticalmente para cima, como mostrado nesta fi- gura: Gravitação – Aula 4 37 Outra maneira prática de determinar a direção e o sentido do vetor torque é utilizar a regra da mão direita. Os quatro dedos dessa mão devem acompanhar o sentido da rotação do objeto. O polegar indicará a direção e o sentido do vetor momento. O momento pode ser positivo ou negativo. Adotamos a seguinte conversão: rotação no sentido anti-horário → momento positivo rotação no sentido horário → momento negativo τ eixo de rotaçao Figura 2: Regra da mão direita: o vetor indica o sen- tido do momento. A direção é sempre paralela ao eixo de rotação do objeto. Equiĺıbrio de um Corpo Extenso As condições necessárias e suficientes para que um corpo se mantenha em equiĺıbrio são: 1. A resultante de todas as forças que nele agem seja nula. 2. A soma algébrica dos momentos de todas as forças que nele atuam, em relação ao mesmo ponto, seja nula. Pense um Pouco! Como você explicaria a situação abaixo? Exerćıcios de Aplicação 1. Uma luminária cujo peso é 100 N está suspensa por dois fios leves, AC e BC, conforme indica a figura. o 3060 oA B C Determine a força de tração em cada fio. 2. (UFCO) Um bloco A de 10 kg de massa encontra-se em repouso sobre um plano horizontal liso, conforme mostra a figura. Considerando as polias e os fios ideais e tomando g = 10 m/s2: a) mostre em um diagrama todas as forças que agem no bloco A. 60 o B C A Sabendo que a massa do bloco C que equilibra o sistema é 2 kg, calcule, neste caso, a massa do bloco B. Exerćıcios Complementares 3. (Vest. RJ) Um menino, de massa igual a 40 kg, está sobre uma tábua de 2, 00 m de comprimento, a 0, 500 m do apoio A, conforme indica a figura. Desprezando os pesos da tábua e da vara de pescar e consi- derando g = 10 m/s2, determine a intensidade das reações nos apoios A e B. 38 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br 4. (UFMT) A barra xy é homogênea, de 100 kg de massa, e está apoiada em suas extremidades, suportando as massas de 50 kg e 150 kg, como na figura. calcule as reações dos apoios. (considere a barra horizontal e g = 10 m/s2). 0,5 m 0,5 m 3,0 m 50 kg 150 kg 5. Calcule o momento de cada uma das forças indicadas na figura, em relação ao ponto O. Dados: F1 = 20 N , F2 = 30 N e F3 = 40 N 6. A barra AB da figura tem peso despreźıvel. Sabendo que F1 = F2 = F3 = F4 = 6 N , calcule o momento resultante dessas forças em relação aos pontos: a) A b) B c) C Ótica Aula 1 Ótica A Luz O estudo de luz e cor deve ser iniciado pela F́ısica elementar, uma vez que a luz é uma onda eletromagnética. Desta forma, pode-se então exemplificar as ondas ele- tromagnéticas de maior importância nas pesquisas e nas aplicações práticas, em função do comprimento de onda (propriedade que fornece uma das principais caracteŕısticas da onda): Raios-X (faixa de 0, 1 a 1 nm, ondas ultra-violetas (faixa de 1 até 400 mm), o espectro de luz viśıvel (faixa de 400 até 700 nm), ondas infra-vermelhas (faixa de 700 nm até 1 mm) e faixas de radiofrequência que variam de 20 cm até 105 m. Todas as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com a mesma velocidade c com o valor de 3, 0× 108 m/s (velo- cidade da luz). Reflexão da Luz Quando a luz atinge uma superf́ıcie separadora S de dois meios de propagação (A e B), ela sofrerá reflexão se retornar ao meio no qual estava se propagando. A quantidade de luz refletida depende do material que é feita a superf́ıcie S, do seu polimento entre outros fatores. Tipos de Reflexão Consideramos raios paralelos de luz incidente sobre uma superf́ıcie. Ocorrerá reflexão especular ou regular se os raios refletidos forem também paralelos entre si. Em caso contrário, a reflexão é chamada difusa ou irregular. A reflexão regular será predominante quando a superf́ıcie refletora for plana e bem polida como, por exemplo, um espelho. A reflexão difusa ocorre em superf́ıcies irregulares e porosas. É a difusão (ou espalhamento) da luz, pelo próprio ar, pela poeira, pelas paredes e outros corpos, que torna o ambiente iluminado. Leis da Reflexão 1a Lei: O raio de luz incidente, o raio de luz refletido e a reta normal à superf́ıcie pelo ponto de incidência da luz estão num mesmo plano (coplanares). Temos: RI = Raio Incidente; RR = Raio Refletido; N = Reta Normal; i = ângulo de incidência; r = ângulo de reflexão. 2a Lei: O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. i = r Ótica – Aula 1 39 θ i θ r raio incidente raio refletido N superfície refletora plana Figura 1: Reflexão Planar. Espelho Plano Espelho plano é a superf́ıcie plana polida onde ocorre pre- dominantemente a reflexão da luz. Formação de Imagens nos Espelhos Planos Observemos um ponto objeto luminoso O diante de um es- pelho plano enviando luz em todas as direções, conforme indica a figura. objeto imagem virtualreal eixo otico o i espelho plano Figura 2: Formação de imagens em um espelho plano. Repare que a parte de trás do espelho (à direita neste exem- plo) é marcada pelas hachuras. A imagem encontrada é fruto do prolongamento dos raios refletidos, isso caracteriza uma imagem virtual. Propriedades dos Espelhos Planos 1. Se chamarmos de x à distância do objeto ao espelho, a distância entre o espelho e a imagem será também x. Isto significa que o objeto e a imagem são simétricos em relação ao espelho. 2. As imagens formadas num espelho plano são enanti- omorfas, ou seja, existe uma inversão ”direita para a esquerda”, mas não de ”baixo para cima”. Assim a imagem especular da mão esquerda é a mão direita, mas a imagem dos pés não está na cabeça. 3. Ainda pelas figuras anteriores, percebe-se que um ob- jeto localizado na frente do espelho (real) nos fornece uma imagem que nos dá a impressão de estar situada atrás do espelho (virtual). Logo, o objeto e a imagem são de naturezas opostas. 4. Finalmente, podemos notar que o objeto e a imagem possuem o mesmo tamanho, e, em caso de movimento relativo ao espelho, possuirão iguais velocidades. Campo Visual Campo Visual de um espelho plano é a região do espaço que pode ser vista por um observador através de um es- pelho. Para determinarmos o campo visual, basta tomar o ponto O′, simétrico de O, e uni-lo às extremidades do espelho plano E. Veja a figura. [fig:ot013] E O O’ campo visual Figura 3: Pense um Pouco! 1. Por que não enxergamos no escuro? 2. Para que serve o espelho retrovisor dos carros? 3. Por que as ambulâncias geralmente trazem escrito na frente ? Exerćıcios de Aplicação 1. A estrela Vega está situada a cerca de 26 anos-luz (ano luz é a distância que a luz percorre em 1 ano) da Terra. Determine a ordem de grandeza da distância de Vega até a Terra, em metros. 2. Um observador nota que um edif́ıcio projeta no solo uma sombra de 30 m de comprimento, no instante em que um muro de 1, 5 m de altura projeta uma sombra de 50 cm. Determine a altura do edif́ıcio. 3. Um feixe de luz, partindo de uma fonte puntiforme, incide sobre um disco de 10 cm de diâmetro. Sabendo que a distância da fonte ao disco é 1/3 da distância deste ao anteparo e que os planos da fonte, do disco e do anteparo são paralelos, determine o raio da sombra projetada sobre o anteparo. 42 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br C F V eixo ótico Figura 10: Objeto entre o foco F e o Vértice. FV C eixo ótico Figura 11: Espelho convexo. • Uma imagem real está localizada na frente do espelho e poderá ser projetada sobre um anteparo (uma tela) colocada na posição em que ela se forma, pois é cons- titúıda pela intersecção dos próprios raios de luz; • Uma imagem virtual está localizada atrás do espelho e, embora possa ser visualizada, não é constitúıda por luz e, sim pelos prolongamentos dos raios. Determinação Anaĺıtica da Imagem Agora procuraremos expressar de forma matemática algu- mas expressões que nos permita determinar a posição e o tamanho da imagem. Equação Conjugada de Gauss 1 f = 1 p + 1 p′ Temos que a distância focal f é dada por: f = R2 Aumento Linear Transversal Por definição, o aumento linear transversal A é a razão entre a altura da imagem i e a altura do objeto o. A = i O = P ′ P Convenção de Sinais Objeto Real p > 0 Virtual p < 0 Imagem Real p′ > 0 Virtual p′ < 0 Espelho Cônc. R > 0 Conv. R < 0 f > 0 f < 0 h∗ Direita i > 0 Invertida i < 0 (*) Altura da imagem para o > 0. Pense um Pouco! 1. Numa esfera espelhada nos vemos maiores ou menores do que somos? Por quê? 2. Cite exemplos de objetos do dia-a-dia que são espelhos esféricos. 3. Por que os caminhões e ônibus usam um pequeno es- pelho convexo colado no canto do retrovisor plano? Exerćıcios de Aplicação 1. Um objeto real de altura 5 cm está a 3 m diante de um espelho esférico côncavo, de distância focal 1 m. a) Determine, graficamente, as caracteŕısticas da imagem. b) Determine, analiticamente, a posição e o tamanho da imagem. 2. Diante de um espelho esférico convexo, de raio de cur- vatura de 60 cm, é colocado, perpendicularmente ao eixo principal do mesmo, um objeto de 2 cm de altura. O objeto dista 40 cm do espelho. Determine: a) a posição da imagem; b) o tamanho da imagem. 3. Mediante a utilização de um espelho esférico côncavo, de distância focal 20 cm, quer se projetar sobre um anteparo uma imagem três vezes maior que o objeto. Determine: a) a posição do objeto; b) a posição da imagem. Exerćıcios Complementares 4. Um espelho esférico fornece, de um objeto real, uma ima- gem virtual e duas vezes menor do que o objeto. Sabendo que a distância do objeto ao espelho é de 60 cm, determine: a) a posição da imagem; b) a distância focal do espelho. 5. Deseja-se obter a imagem de uma lâmpada, ampliada 5 vezes, sobre uma parede situada a 12 cm de distância. Quais as caracteŕısticas e a posição do espelho esférico que se pode utilizar ? Ele deverá ser: a) convexo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lâmpada; b) côncavo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lâmpada; c) convexo, com 24 cm de raio, a 2 cm da lâmpada; d) côncavo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lâmpada; e) convexo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lâmpada; 6. Mediante a utilização de um espelho esférico côncavo, de distância focal 30 cm, quer se projetar sobre um anteparo Ótica – Aula 3 43 uma imagem seis vezes maior que o objeto. Determine: a) a posição do objeto; b) a posição da imagem. Ótica Aula 3 Refração da Luz A velocidade de uma dada luz monocromática assume valo- res diferentes em diferentes meios de propagação tais como: vácuo, ar, água, vidro, etc. A luz sofre refração quando passa de um meio para outro, modificando sua velocidade. Em geral, a refração é acompa- nhada por um desvio na trajetória da luz, consequência da mudança de velocidade. O único caso de refração no qual a luz não sofre desvio é quando incide perpendicularmente à superf́ıcie de separação dos meios S. meio A meio B S N Figura 1: Refração da luz, com desvio de sua tra- jetória. meio A meio B S Figura 2: Raio entrando perpendicular a superf́ıcie S, sem desvio de sua trajetória. Dioptro Plano Os dois meios de propagação, A e B, e a superf́ıcie de se- paração S constituem o que chamamos de DIOPTRO. Nos dioptros reais, o fenômeno da refração é acompanhado pela reflexão da luz. Assim, o raio de luz incidente na su- perf́ıcie S divide-se em dois raios, um refratado e outro re- fletido. meio A meio B S Nincidente raio refletido raio refratado raio Figura 3: Todos os raios luminosos presentes na re- fração. É importante também dizer que ocorre em S o fenômeno da absorção da luz, onde parcela da energia luminosa é trans- formada em energia térmica, por exemplo. No dioptro ideal só ocorre refração da luz. Índice de Refração Absoluto Seja c a velocidade da luz no vácuo e v a velocidade da luz em um meio qualquer, definimos ı́ndice de refração absoluto n de um meio a razão entre as velocidades da luz no vácuo e no meio considerado: n = c v O ı́ndice de refração absoluto do vácuo é naturalmente igual a 1 (v = c). Como a velocidade da luz no vácuo é uma velocidade limite, em qualquer outro meio ela será inferior: v < c =⇒ n > 1 Conclusões 1. O ı́ndice de refração absoluto de qualquer meio mate- rial é sempre maior que 1; 2. Quanto maior for o ı́ndice de refração absoluto do meio, menor é a velocidade da luz nesse meio. Índice de Refração Relativo Se nA e nB são, respectivamente, os ı́ndices de refração ab- solutos dos meios A e B para uma dada luz monocromática, então definimos o ı́ndice de refração relativo do meio A em 44 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br relação ao meio B, nA,B como sendo a razão dos ı́ndices de refração absolutos do meio A e B: nA,B = nA nB Leis de Refração Considerando um raio de luz monocromático incidente numa superf́ıcie separadora de dois meios de propagação e o correspondente raio de luz refratado. Tracemos a reta normal à superf́ıcie pelo ponto de incidência da luz. rθ θi meio A meio B S N Figura 4: Raio entrando perpendicular a superf́ıcie S, sem desvio em sua trajetória. RI = Raio Incidente; RR = Raio Refratado; N = Reta Normal; i = ângulo de incidência; r = ângulo de refração. As Leis • 1a Lei: O raio de luz incidente RI, a reta normal N e o raio de luz refratado RR estão situados num mesmo plano, ou seja, são coplanares. É importante notar que os raios de luz incidente e refratado ficam em lados opostos em relação à reta normal; • 2a Lei ou Lei de Snell-Descartes: “É constante a relação entre os senos dos ângulos de incidência e re- fração”. Podemos escrever que: sen(i) sen(r) = constante e essa constante é o ı́ndice de refração relativo do meio B em relação ao meio A, assim: sen(i) sen(r) = nA nB ou: Lei de Snell-Descartes nAsen(i) = nBsen(r) Podemos concluir que: – Quando a luz passa de um meio menos refringente (menor ı́ndice de refração) para um meio mais refrin- gente (maior ı́ndice de refração), o raio de luz se apro- xima da normal e a velocidade de propagação diminui. – Reciprocamente, quando a luz passa de um meio mais refringente para um meio menos refringente, o raio de luz se afasta da normal e a velocidade de propagação da luz aumenta. θi rθ rθ θi meio B meio A S N meio D meio C S N Figura 5: Aproximação e afastamento da normal. 0.0.1 Pense um pouco! 1. Se você vê um peixe sob a superf́ıcie da água e tenta acertá-lo com uma flecha, mirando a imagem do peixe, provavelmente não irá capturá-lo. Explique. 2. As lentes utilizam a refração da luz? Como? Exerćıcios de Aplicação 1. Passando do vácuo para o interior de um certo meio transparente, o valor da velocidade de propagação de uma luz monocromática diminui de 20%. Determine o ı́ndice de refração absoluto do meio para essa luz monocromática. 2. A velocidade de propagação da luz em certo ĺıquido mede 1/2 da velocidade de propagação da luz no vácuo. Determine o ı́ndice de refração absoluto do ĺıquido. 3. O ı́ndice de refração absoluto da água é 4/3 e o vidro é 3/2. Determine: a) o ı́ndice de refração da água em relação ao vidro; b) a relação entre a velocidade de propagação da luz no vidro e a velocidade de propagação da luz na água; c) comente os resultados obtidos. Exerćıcios Complementares 4. Sob um ângulo de incidência de 60◦, faz-se incidir so- bre uma superf́ıcie de um material transparente um raio de luz monocromática. Observa-se que o raio refratado é per- pendicular ao raio refletido. Qual o ı́ndice de refração do material ? (O 1o meio onde a luz se propaga é o ar) 5. Um observador, quando colocado numa posição ade- quada, pode no máximo ver o canto do recipiente, como representado na figura abaixo. Enchendo o recipiente com um ĺıquido, o observador passa a ver a moeda que está co- locada no centro: Ótica – Aula 4 47 F Figura 7: Lente divergente. Figura 8: Incidência sobre o centro óptico. Este caso corresponde à imagem produzida por projetores, tanto de slides como de filmes. 4) Objeto situado no Foco: Imagem: Imprópria. 5) Objeto situado entre o Foco e o Centro Óptico: Imagem: Virtual, Direita e Maior. Este é o caso da lupa. Lente Divergente Existe apenas um caso que devemos considerar: Imagem: Virtual, Direita e Menor. Determinação Anaĺıtica da Imagem As equações que utilizaremos para a determinação da posição e tamanho da imagem são análogas às utilizadas no estudo de espelhos esféricos. Equação de Gauss 1 f = 1 p + 1 p′ Temos: f = distância focal; p = posição do objeto; p′ = posição da imagem; Equação do Aumento Linear Transversal A A = i o = p′ p F Figura 9: Incidência paralela ao eixo principal. F eixo ótico Figura 10: Incidência Paralela. Temos: A = aumento linear transversal; o = altura do objeto; i = altura da imagem; Convenção de Sinais Objeto Real p > 0 Virtual p < 0 Imagem Real p′ > 0 Virtual p′ < 0 Espelho Cônc. R > 0 Conv. R < 0 f > 0 f < 0 h∗ Direita i > 0 Invertida i < 0 (*) Altura da imagem para o > 0. Vergência V de uma Lente Verifica-se que, quanto menor a distância focal de uma lente, mais ela converge ou diverge um feixe de luz. Essa ”potência”da lente de convergir ou divergir a luz é carac- terizada por uma grandeza denominada Vergência, que é comumente chamada de grau do óculos. A vergência V de uma lente de distância focal f é definida como: V = 1 f Se f é medido em metros (m), a unidade de V é m−1, que recebe o nome de dioptria (di), que popularmente é chamado de grau. 1 di = 1 m−1 = 1 grau 48 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br F eixo ótico Figura 11: Incidência sob o foco objeto. F eixo ótico Figura 12: Incidência sob o foco objeto. Pense um Pouco! 1. Se uma pessoa possui dois graus de miopia, que tipo (grau) de lente deverá usar? 2. O antigos óculos “fundo de garrafa”tinham esse nome por quê? Pra que serviam? Exerćıcios de Aplicação 1. Um objeto é colocado a 60 cm de uma lente divergente de distância 20 cm. Determine, graficamente e analiticamente, as caracteŕısticas da imagem. 2. Um objeto de 2 cm de altura está disposto frontalmente a 60 cm de uma lente delgada de vergência +2, 5 di. a) determine, graficamente, as caracteŕısticas da imagem; b) determine, analiticamente, a posição e o tamanho da ima- gem. 3. Um estudante usa uma lente biconvexa de 20 di para olhar uma flor que está a 4 cm da lente. Determine de quanto a lente aumenta a flor. FC CF eixo ótico Figura 13: Objeto situado antes do centro de curvatura C. F CFC eixo ótico Figura 14: Objeto situado no centro de curvatura C. Exerćıcios Complementares 4. Um objeto luminoso de 1 cm de altura está a 5 cm de uma lente convergente de 10 cm de distância focal. a) Qual a posição da imagem? b) Faço traçado dos raios. 5. As lentes dos óculos de um mı́ope são de -5 graus”. a) Qual é a distância focal das lentes? b) Qual o tipo de lentes usadas (convergente ou divergente)? 6. Uma pessoa mı́ope só é capaz de ver nitidamente objetos situados a uma distância máxima de 20 cm dos seus olhos. a) Qual o tipo de lente adequada para a correção da miopia: convergente ou divergente? b) Qual deve ser a distância focal da lente para que esta pessoa possa ver nitidamente objetos localizados no infinito? Ótica Aula 5 Ótica da Visão O olho humano assemelha-se a uma filmadora (ou a uma máquina fotográfica) de grande sofisticação. E o cérebro tem a função de reprojetar a imagem obtida pelo olho for- necendo a visão real do objeto. Dispensaremos esse sistema, extremamente complexo, do olho humano e utilizaremos uma representação mais simples – o olho reduzido. Elementos do Olho Humano Analisaremos algumas partes que consideramos de grande importância em nosso olho reduzido. Ótica – Aula 5 49 F CFC eixo ótico Figura 15: Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco F . F CFC eixo ótico Figura 16: Objeto situado no foco F . Íris Anel colorido de forma circular, que se comporta como um diafragma, controlando a quantidade de luz que penetra no olho. Na sua parte central existe um orif́ıcio de diâmetro variável, chamado pupila. Cristalino É uma lente convergente de material flex́ıvel, do tipo bi- convexa. Fornecerá de um objeto real uma imagem real, invertida e menor sobre a retina. Pode assumir diferentes formas em função da distância do objeto ao olho. Músculos Ciliares São responsáveis pela mudança na forma do cristalino, comprimindo-o convenientemente, de maneira a alterar sua distância focal e permitir uma melhor acomodação da ima- gem sobre a retina. Quando o objeto está infinitamente afastado, os músculos ciliares e o cristalino estão relaxados, ou seja, o olho não rea- liza nenhum esforço de acomodação. À medida que o objeto se aproxima, os músculos ciliares vão se contraindo, dimi- nuindo a distância focal do cristalino e mantendo a imagem acomodada na retina. Em Śıntese Objeto Próximo = Menor Distância Focal; Objeto Distante = Maior Distância Focal. O trabalho realizado pelos músculos ciliares, fazendo variar a distância focal do cristalino é chamado de acomodação visual. Retina É a parte senśıvel à luz, onde deve se formar a imagem para ser ńıtida. A distância do cristalino a retina é da ordem de F CFC eixo ótico Figura 17: Objeto situado entre o Foco F e o Centro Óptico. CFC F eixo ótico Figura 18: Lente divergente. 1, 5 cm. Composta por células nervosas chamadas bastone- tes (visão preto e branco) e cones (visão a cores), a retina possui uma área mais senśıvel à luz sob condições normais. Esta área consiste uma depressão na parte posterior do olho no eixo do cristalino, e é denominada fóvea. Ponto Próximo e Ponto Remoto A menor distância do globo ocular segundo a qual uma pessoa, de visão normal, pode ver nitidamente a imagem de um objeto qualquer denomina-se Ponto Próximo (PP ). Neste caso, os músculos ciliares estão em sua maior con- tração, realizando esforço máximo de acomodação. Logo, o ponto próximo correspondente à distância mı́nima de visão distinta, à qual se atribui um valor médio convencional de 25 cm. O ponto mais afastado do olho humano, corresponde a uma imagem ńıtida forma sem esforço de acomodação vi- sual, denomina-se Ponto Remoto (PR). Esta é a máxima distância de visão distinta que, teoricamente, permite a uma pessoa uma visão normal de enxergar objetos no infinito. Intervalo de visão distinta ou zona de acomodação é a região do espaço compreendida entre os dois pontos (PR e PP ) figurados anteriormente. Problemas da Visão Miopia A deficiência de um olho mı́ope está na visualização de obje- tos distantes. Ou seja, o seu ponto remoto (PR) não está no infinito e sim a uma distância finita (dPR). Isso ocorre, pelo fato da imagem do objeto distante recair antes da retina. 52 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br ρ h A Figura 1: Vaso ciĺındrico de área A e altura h, cheio de um ĺıquido de densidade ρ. e portanto: m = ρAh Por outro lado, a força que o ĺıquido exerce sobre a área A é o seu próprio peso: F = P = mg mas como m = ρAh então temos F = ρAhg e finalmente, pela definição de pressão, p = F A = ρgh . A pressão que o ĺıquido exerce no fundo do recipiente de- pende da massa espećıfica do ĺıquido (ρ), da aceleração da gravidade local (g) e da altura (h) do ĺıquido acima do ponto considerado. Na prática esse resultado e geral, e pode ser usado para a determinação da pressão hidrostática em qual- quer fluido (ĺıquido ou gás) em equiĺıbrio. Observe que a pressão total dentro de um fluido homogêneo em equiĺıbrio será então: p = patm + ρgh onde patm é a pressão atmosférica, que atua sobre todos os corpos imersos no ar. Pressão Manométrica e Absoluta A pressão absoluta é a pressão total exercida em uma dada superf́ıcie, incluindo a pressão atmosférica, quando for o caso. A pressão absoluta será sempre positiva ou nula. Em muitos casos, como na calibração de um pneu, estamos interessados apenas na diferença entre a pressão interna de um reservatório (o pneu) e a pressão externa (o ar, que está na pressão atmosférica local). A essa diferença chamamos pressão manométrica, e os aparelhos que a medem cha- mamos de manômetros. pman. = pint. − patm. A pressão manométrica pode ser negativa, positiva ou nula. Será negativa quando a pressão interna de um reservatório for menor do que a pressão atmosférica externa. Exemplos: quando retiramos ar de um recipiente, fazendo-se um vácuo parcial; ou quando sugamos um canudinho de refrigerante, baixamos a pressão interna da boca, criando uma “pressão negativa”. Pense um Pouco! • Porque não sentimos a pressão atmosférica normal, já que ela é tão grande? • Um barco flutua no mar. Quais as forças relevantes para que isso ocorra? • Como é posśıvel se deitar numa cama de pregos sem se machucar? • Como funciona o canudinho de refrigerante? Explique. Exerćıcios de Aplicação 1. Uma massa de 1 kg de água ocupa um volume de 1 litro a 40◦C. Determine sua massa espećıfica em g/cm3, kg/m3 e kg/l. 2. Determine a massa de um bloco cúbico de chumbo que tem arestas de 10 cm, sendo que a densidade do chumbo é igual 11, 2 g/cm3. 3. Uma esfera oca, de 1.200 g de massa, possui raio externo de 10, 0 cm e raio interno de 9, 0 cm. Sabendo que o volume de uma esfera de raio R é dado por V = 43πR 3. Usando π = 3, 14, determine: a) a densidade média da esfera; b) a densidade do material de que é feita a esfera. 4. Um cubo maciço com densidade igual a 2, 1 g/cm3, de 50 cm de aresta, está apoiado sobre uma superf́ıcie horizon- tal. Qual é a pressão, em Pa e em atm, exercida pelo cubo sobre a superf́ıcie? Exerćıcios Complementares 5. Existe uma unidade inglesa de pressão – a libra-força por polegada quadrada – que se abrevia lbf/pol2, a qual é indevidamente chamada de libra. Assim, quando calibram os pneus de um automóvel, algumas pessoas dizem que co- locaram “26 libras” de ar nos pneus. Agora responda: a) por que num pneu de automóvel se coloca mais ou me- nos 25lbf/pol2 enquanto que no de uma bicicleta de cor- rida (cujos pneus são bem finos) se coloca aproximadamente 70 lbf/pol2 b) Sendo 1 lbf/pol2 = 0, 07 atm, qual a pressão t́ıpica (em atm) no pneu de um carro? c) A pressão que nos interessa, neste caso do pneu, é a pressão manométrica ou a pressão absoluta. Por quê? Fluidos Aula 2 Fluidos – Aula 2 53 Hidrostática Lei de Stevin Consideremos um recipiente contendo um ĺıquido ho- mogêneo de densidade ρ, em equiĺıbrio estático. As pressões que o ĺıquido exerce nos pontos A e B são, respectivamente: pa = ρgha e pb = ρghb B h h A A B h∆ Figura 1: Cilindro de área de base A e altura h A lei de Stevin ou prinćıpio hidrostático afirma que a diferença de pressão entre os pontos A e B será: pb − pa = ρg(hb − ha) = ρg∆h Ou seja, a diferença entre dois ńıveis diferentes, no interior de um ĺıquido, é igual ao produto da sua massa espećıfica pela aceleração da gravidade local e pela diferença de ńıvel entre os pontos considerados. Na realidade, temos que dividir a pressão num determi- nado ponto do ĺıquido em dois tipos: i) pressão hidrostática: aquela que só leva em consideração o ĺıquido: phid = ρgh e ii) pressão absoluta: aquela que leva em consideração o ĺıquido e o ar sobre o ĺıquido: pabs = patm + ρgh Consequências da Lei de Stevin No interior de um ĺıquido em equiĺıbrio estático: 1. pontos de um mesmo plano horizontal suportam a mesma pressão; 2. a superf́ıcie de separação entre ĺıquidos não misćıveis é um plano horizontal; 3. em vasos comunicantes quando temos dois ĺıquidos não misćıveis temos que a altura de cada ĺıquido é inversa- mente proporcional às suas massas espećıficas (densi- dades); py = px patm + ρyghy = patm + ρxghx ρyhy = ρxhx y x y h h x Figura 2: Vasos comunicantes, com dois ĺıquidos não misćıveis em equiĺıbrio. ρy ρx = hx hy 4. a diferença de pressão entre dois pontos dentro do flúıdo, depende apenas do seu desńıvel vertical (∆h), e não da profundidade dos pontos. Prinćıpio de Pascal Pascal fez estudos em flúıdos e enunciou o seguinte prinćıpio: A pressão aplicada a um flúıdo em equiĺıbrio transmite-se integral e instanta- neamente à todos os pontos do flúıdo e às paredes do recipiente que o contém. A Prensa Hidráulica Uma das aplicações deste prinćıpio é a prensa hidráulica como mostramos a seguir: A 1 A 2 F 1 F 2 Figura 3: A prensa hidráulica. Observe que: p1 = p2 F1 A1 = F2 A2 F1 F2 = A1 A2 Isso mostra que uma força pequena F1 é capaz de suportar, no outro êmbolo, um peso muito grande (F2), isso é muito utilizado, como por exemplo, em posto de gasolina. 54 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br A prensa hidráulica é o equivalente hidráulico do prinćıpio da alavanca, de Arquimedes, usado na Mecânica. É bom lembrar que estas “engenhocas”multiplicam realmente a força, mas não a energia. O trabalho mı́nimo necessário para elevar um carro é o mesmo, independente da máquina que se utilize (Wmin = mgh). Na prensa mostrada na Fig. 3, uma força −~F2 (para baixo) deverá ser feita no êmbolo da direita, para manter o equiĺıbrio do sistema. Em geral, usa-se o êmbolo maior para suspender uma carga externa, ou levantar um objeto do chão (macaco hidráulico). Prinćıpio de Arquimedes Arquimedes, há mais de 200 anos a.C., estabeleceu que a perda aparente do peso do corpo é devido ao surgimento do empuxo, quando estamos mergulhados num ĺıquido, como a água, por exemplo. Os corpos mergulhados totalmente ou par- cialmente, num fluido, recebem do mesmo uma força vertical, de baixo para cima, de intensidade igual ao peso do fluido deslo- cado, denominada empuxo. Ou seja, se um corpo está mergulhado num fluido de den- sidade ρf e desloca volume Vfd do fluido, num local onde a aceleração da gravidade é g, temos: Pf = mfg e como ρf = mf Vfd a massa do fluido deslocado será mf = ρfVfd e portanto Pf = ρfVfdg e, de acordo com o Prinćıpio de Arquimedes E = ρfVfdg ou simplesmente E = ρV g ficando a nosso cargo a interpretação correta dos termos envolvidos. Flutuação Segundo o prinćıpio de Arquimedes, quando temos um corpo na superf́ıcie de um flúıdo cujo peso (do corpo) é anulado (igual em módulo) pelo empuxo que ele sofre antes de estar completamente submerso, o corpo irá flutuar so- bre ele, quando abandonado. Baseado nessa aplicação são constrúıdos todos os tipos de barcos e navios. Para um corpo de peso P flutuando, a condição de equiĺıbrio deve ser satisfeita: ∑ Fy = +E − P = 0 ou seja P = E Pode-se mostrar também que se um corpo tiver uma densi- dade média ρc maior que a densidade ρf de um certo fluido, ele não poderá flutuar nesse flúıdo, e acabará afundando se for solto na sua superf́ıcie. Pense um Pouco! • A pressão atmosférica varia com a altitude? Por quê? • Como pode um navio de ferro flutuar na água, já que ρFe > ρH2O? • Quando fechamos a porta de um pequeno quarto a ja- nela (fechada) balança. Explique. • Mergulhando na água um objeto suspenso por um fio, você observa que a tração no fio muda. Explique. Exerćıcios de Aplicação 1. (UFRJ) O impacto de uma part́ıcula de lixo que atin- giu a nave espacial Columbia produziu uma pressão da 100 N/cm2. Nessas condições e tendo a part́ıcula 2 cm2, a nave sofreu uma força de: a) 100 N b) 200 N c) 400 N d) 800 N e) 1600N 2. Uma piscina com 5, 0 m de profundidade está cheia com água. Considere g = 10 m/s2 e patm = 1, 0 × 105 Pa e determine: a) a pressão hidrostática a 3, 0 m de profundidade; b) a pressão absoluta no fundo da piscina; c) a diferença de pressão entre dois pontos separados, ver- ticalmente, por 80 cm. 3. (Clássico) Para determinar a pressão atmosférica, Torri- celli fez a seguinte experiência: um tubo de vidro, de 1 m de comprimento, foi cheio de mercúrio e depois emborcado num recipiente contendo mercúrio; constatou que, ao ńıvel do mar, o mercúrio no tubo mantém uma altura de 760 mm acima da sua superf́ıcie livre (no recipiente). Se a densidade do mercúrio é 13, 6 g/cm3 e a aceleração da gravidade local é de 9, 8 m/s2, qual a pressão atmosférica constatada por Torricelli? 4. Num posto de gasolina, para a lavagem de um automóvel de massa 1.000 kg, o mesmo é erguido a uma certa altura. O sistema utilizado é uma prensa hidráulica. Sendo os êmbolos de áreas 10 cm2 e 2.000 cm2, e a aceleração da gravidade local de 10 m/s2, pergunta-se: a) em qual êmbolo deve-se apoiar o carro? b) em qual êmbolo deve-se pressionar para se sustentar o carro? c) qual a força aplicada no êmbolo para equilibrar o au- tomóvel? Cinemática – Aula 2 57 t(s) 0 1 2 3 v(m/s) 50 45 40 35 A cada segundo a velocidade varia (diminui) em −5 m/s, ou seja: a = −5 m/s s = −5 m/s2 Nesse caso a aceleração é negativa, pois a velocidade vai diminuindo (em módulo) com o tempo. Aceleração Escalar Média (am) É a variação total da velocidade em relação ao intervalo total de tempo. am = ∆v ∆t = v − v0 t− t0 Unidades SI No SI medimos a velocidade em m/s, o tempo em segundos (s), e a aceleração em m/s2. Exerćıcios de Aplicação 1. (PUC) Um atleta fez um percurso de 800 m num tempo de 1 min e 40 s. A velocidade escalar média do atleta é de: a) 8, 0 km/h b) 28, 8 m/s c) 28, 8 km/h d) 20, 0 m/s e) 15, 0 km/h 2. (UEL) Um móvel percorreu 60, 0 m com velocidade de 15, 0 m/s e os próximos 60, 0 m a 30, 0 m/s. A velocidade média durante as duas fases foi de: a) 15, 0 m/s b) 20, 0 m/s c) 22, 5 m/s d) 25, 0 m/s e) 30, 0 m/s 3. (VUNESP) Ao passar pelo marco “km 200”de uma rodo- via, um motorista vê um anúncio com a inscrição “ABAS- TECIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS”. Con- siderando que esse posto de serviços se encontra junto ao marco “km 245”dessa rodovia, pode-se concluir que o anun- ciante prevê, para os carros que trafegam nesse trecho, uma velocidade média, em km/h, de: a) 80 b) 90 c) 100 d) 110 e) 120 Exerćıcios Complementares 4. (FUVEST) Partindo do repouso, um avião percorre a pista com aceleração constante e atinge a velocidade de 360 km/h em 25 segundos. Qual o valor da aceleração, em m/s2? a) 9,8 b) 7,2 c) 6,0 d) 4,0 e) 2,0 5. (PUC) Um trem está com velocidade escalar de 72 km/h quando freia com aceleração escalar constante de módulo igual a 0, 40 m/s2. O intervalo de tempo que o trem gasta para parar, em segundos, é de: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 6. (ACAFE) Um carro inicia a travessia de uma ponte com uma velocidade de 36 km/h , ao passar a ponte o motorista observa que o ponteiro do veloćımetro marca 72 km/h. Sa- bendo que a travessia dura 5, 0 segundos, a aceleração do carro durante a travessia é de: a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2 d) 4 m/s2 e) n.d.a Cinemática Aula 2 Movimento Uniforme (MU) Suponhamos que você esteja dirigindo um carro de tal forma que o ponteiro do veloćımetro fique sempre na mesma posição, por exemplo 80 km/h, no decorrer do tempo. Nessa condição, você irá percorrer 80 km a cada hora de viagem, em duas horas percorrerá 160 km, e assim por diante. O mo- vimento descrito nessa situação é denominado movimento uniforme (MU). Você já deve ter notado, então, que no movimento uniforme o valor do módulo da velocidade é constante e não nulo, isto é, o móvel percorre espaços iguais em intervalos de tempo iguais. Se, além da velocidade apresentar valor constante e a trajetória for retiĺınea, o movimento é dito movimento retiĺıneo uniforme (MRU). Equação Horária do MU Ao longo de um movimento, a posição de um móvel varia no decorrer do tempo. É útil, portanto, encontrar uma equação que forneça a posição de um móvel em um movimento uni- forme no decorrer do tempo. A esta equação denominamos equação horária do movimento uniforme. Considere então, o nosso amigo corredor percorrendo com velocidade constante v a trajetória da figura. Onde: x0 é a sua posição inicial no instante t0 = 0 e x é a sua nova posição no instante t posterior. A velocidade do corredor no intervalo de tempo ∆t = t− t0 = t é v = ∆x ∆t = v − v0 t 58 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br O tt x x X 0 0 Figura 1: Movimento uniforme (MU). e se v é sempre constante, para qualquer instante t, então temos um movimento uniforme (MU). Neste caso, como a trajetória do movimento é retiĺınea, temos um movimento retiĺıneo uniforme (MRU). Invertendo-se a equação acima, podemos escrever a equação horária do movimento: x(t) = x0 + vt que nos dá a posição x(t) em cada instante t > 0, para todo o movimento. Gráfico da Velocidade v × t No movimento uniforme, o diagrama da velocidade em função do tempo v × t x é uma reta paralela ao eixo dos tempos, uma vez que a velocidade é constante e não varia ao longo do tempo. t v O v > 0 t v O t v O v < 0 v = 0 Figura 2: Gráfico v×t para o MU: para a direita v > 0 (a); para a esquerda v < 0 (b) e repouso v = 0 (c). Importante • Quando o movimento é na direção positiva do eixo ori- entado (o sentido positivo usual é para a direita) a velocidade do móvel é positiva (v > 0). Neste caso x cresce com o tempo; • Quando o movimento é na direção negativa do eixo orientado (sentido negativo usual é para a esquerda) a velocidade do móvel é negativa (v < 0), e neste caso, x decresce com o tempo. Neste caso como a velocidade está abaixo do eixo das abscissas, esta possui valor negativo, ou seja está em sentido contrário ao da trajetória. • É importante notar que a velocidade corresponde a al- tura da reta horizontal no gráfico v × t. • A área de um retângulo é dada pelo produto da base pela altura: o deslocamento, pelo produto da veloci- dade pelo tempo. O ∆ x = vt = Área t v Figura 3: O deslocamento é igual a área sob a curva do gráfico v × t. Gráfico da Posição x× t Como a equação horária no movimento uniforme é uma equação do primeiro grau, podemos dizer que, para o movi- mento uniforme, todo gráfico x× t é uma reta inclinada em relação aos eixos. Quando o movimento é progressivo (para a direita) a reta é inclinada para cima, indicando que os va- lores da posição aumentam no decorrer do tempo; quando o movimento é retrógrado (para a esquerda), a reta é inclinada para baixo indicando que os valores da posição diminuem no decorrer do tempo. Observe no gráfico que, de acordo com a equação horária, a velocidade pode ser dada pela inclinação da reta, ou seja v = tan θ = ∆x ∆t A inclinação da reta também denominada é chamada de declividade ou coeficiente angular da reta. θ ∆ x ∆ t Figura 4: A inclinação de uma reta no gráfico x× t é a própria velocidade no MU. Lembre-se de que a tangente de um ângulo, num triângulo retângulo, é dada pela relação entre cateto oposto e o cateto adjacente: Para o movimento progressivo temos o seguinte gráfico: E para o movimento retrógrado observa-se que: Pense um Pouco! • Um trem com 1 km de extensão viaja à velocidade de 1 km/min. Quanto tempo leva o trem para atravessar um túnel de 2 km de comprimento? • Como seria o gráfico x× t para um objeto em repouso? • No gráfico x × t, qual a interpretação f́ısica da inter- secção da reta com o eixo do tempo t? Cinemática – Aula 3 59 t v > 0 O xo x Figura 5: Gráfico x × t para o movimento uniforme (MU) progressivo. t v < 0 O xo x Figura 6: Gráfico x × t para o movimento uniforme (MU) retrógrado. Exerćıcios de Aplicação 1. (UEL) Um automóvel mantém uma velocidade escalar constante de 72, 0 km/h. Em 1h:10min ele percorre uma distância igual a: a) 79, 2 km b) 80, 8 km c) 82, 4 km d) 84, 0 km e) 90, 9 km 2. (ITAÚNA-RJ) A equação horária de um certo movi- mento é x(t) = 40− 8t no SI. O instante t, em que o móvel passa pela origem de sua trajetória, será: a) 4 s b) 8 s c) 32 s d) 5 s e) 10 s 3. (UEL) Duas pessoas partem simultaneamente de um mesmo local com velocidades constantes e iguais a 2 m/s e 5 m/s, caminhando na mesma direção e no mesmo sentido. Depois de meio minuto, qual a distância entre elas? a) 1, 5 m b) 60, 0 m c) 150, 0 m d) 30, 0 m e) 90, 0 m Exerćıcios Complementares 4. (UEPG-PR) Um trem de 25 m de comprimento, com velocidade constante de 36 km/h, leva 15s para atravessar totalmente uma ponte. O comprimento da ponte é: a) 120 m b) 100 m c) 125 m d) 80 m e) nenhuma resposta é correta 5. (TUIUTI-PR) Um motorista passa, sem perceber, em um radar da poĺıcia a 108 km/h. Se uma viatura está, logo adiante a uma distância de 300 m do radar, em quanto tempo o motorista passará pela viatura? a) 7 s b) 13 s c) 20 s d) 10 s e) 16 s 6. (UESBA) Se dois movimentos seguem as funções horárias de posição x1(t) = 100 + 4t e x2(t) = 5t, com unidades do SI, o encontro dos móveis se dá no instante: a) 0 s b) 400 s c) 10 s d) 500 s e) 100 s Cinemática Aula 3 Movimento Uniformemente Variado (MUV) Analisando um movimento de queda livre, podemos verificar que o deslocamento escalar vai aumentando com o decorrer do tempo, isso mostra que a velocidade escalar do corpo va- ria com o tempo. Trata-se então de um movimento variado. Galileu já havia descoberto esse movimento e concluiu que, desprezando a resistência do ar, quando abandonamos do re- pouso os corpos próximos a superf́ıcie da terra caem com ve- locidades crescentes, e que a variação da velocidade é cons- tante em intervalos de tempos iguais. Podemos então con- cluir que este é um movimento uniformemente variado (MUV). Observamos um MUV quando o módulo da velocidade de um corpo varia de quantidades iguais em intervalos de tem- pos iguais, isto é, apresenta aceleração constante e diferente de zero. No caso da trajetória ser retiĺınea, o movimento é deno- minado movimento retiĺıneo uniformemente variado (MRUV). Portanto em um movimento retiĺıneo uniforme. Aceleração e Velocidade no MRUV a = constante 6= 0 Como a aceleração escalar é constante, ela coincide com a aceleração escalar média: 62 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br será a sua velocidade escalar ao atingir o chão. Escolhemos o sinal negativo (−) porque o corpo está descendo, contra o sentido crescente do eixo vertical (que é para cima). Observe que quanto maior a altura inicial h, maior a ve- locidade final v, como era de se esperar, mas que v não é proporcional a h. Tempo de Queda Vamos obter agora o tempo de queda livre desde que um corpo é solto (v0 = 0) de uma altura h, até atingir o solo. Pela equação horária da velocidade do MRUV, temos: v(t) = v0 + at ov = 0 t v a = −g tq 0 Figura 1: v × t para a queda livre. e para a queda livre será v(t) = v0 − gt e sendo v0 = 0 e v = − √ 2gh temos − √ 2gh = 0− gt e finalmente t = √ 2gh g = √ 2h g x 0 ox = h ov = 0 a = −g h qt t Figura 2: x× t para a queda livre. Observe que quanto maior a altura inicial h, maior o tempo de queda t, como também era de se esperar, e que t também não é proporcional a h. Lançamento Vertical Em um local onde o efeito do ar é despreźıvel e a ace- leração da gravidade é constante e com módulo igual a g, um projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade de módulo igual a v0. Estudemos as propriedades associadas a este movimento: s(t) = s0 + v0t− 1 2 gt2 e v(t) = v0 − gt Observa-se que: • o movimento do projétil é uniformemente variado por- que a aceleração escalar é constante e diferente de zero; • como foi lançado para cima, a velocidade inicial do projétil é positiva (v0 > 0); • orientando-se o eixo vertical para cima, como de cos- tume, a aceleração escalar vale −g; • A partir do ponto mais alto da trajetória, o projétil in- verte o sentido de seu movimento e , portanto, sua ve- locidade é nula no ponto mais alto (ponto de inversão); • O tempo de subida ts do projétil é calculado como se segue: se v(t) = v0 − gt e v(ts) = 0 para a posição mais alta, temos 0 = v0 − gts e finalmente ts = v0 g Pode-se mostrar que o tempo de descida é igual ao tempo de subida. Mostre você mesmo. • a velocidade escalar de retorno ao solo é calculada como se segue: como o tempo total de vôo é 2ts, temos v(2ts) = v0 − g(2ts) = v0 − g ( 2v0 g ) ou seja, a velocidade de retorno será v = −v0 A mesma aceleração que retarda a subida do projétil é a que o acelera na descida e tem módulo constante g, portanto conclúımos que que ao retornar ao solo, o projétil chaga com a mesma velocidade inicial de lançamento, em módulo. • A altura máxima atingida pelo projétil é calculada a partir da equação de Torricelli: v2 = v20 + 2a∆s e como v = 0 e ∆s = h, temos 0 = v20 + 2(−g)h donde h = v20 2g Observe que quanto maior a velocidade inicial v0, maior a altura h atingida pelo projétil, como era de se esperar, e que h não é proporcional a v0. Cinemática – Aula 5 63 Pense um Pouco! • Por que uma folha inteira e outra amassada não che- gam juntas ao chão, quando soltas simultaneamente de uma mesma altura? • Um corpo pode ter aceleração a 6= 0 e v = 0? Como? • Um corpo pode estar subindo (v > 0) e acelerando para baixo (a < 0)? Como? • por que não se deve dar um tiro para cima com uma arma de fogo? Exerćıcios de Aplicação 1. (UFAL) Uma pedra é abandonada de uma altura de 7, 2 m, adotando g = 10 m/s2 e desprezando-se a resistência do ar, pode-se afirmar que a sua velocidade escalar ao atingir o solo será: a) 12 m/s b) 36 m/s c) 360 m/s d) 18 m/s e) 180 m/s 2. (FUVEST) Um corpo é solto, a partir do repouso, do topo de um edif́ıcio de 80 m de altura. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. O tempo de queda até o solo e o módulo da velocidade com que o corpo atinge o solo são: a) 4, 0 s e 72 km/h b) 2, 0 s e 72 km/h c) 2, 0 s e 144 km/h d) 4, 0 s e 144 km/h e) 4, 0 s e 40 km/h 3. (FUVEST) Um corpo é disparado do solo, vertical- mente para cima, com velocidade inicial de módulo igual a 2, 0.102 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s2, a altura máxima alcançada pelo projétil e o tempo necessário para alcançá-la são respectivamente: a) 4, 0 km e 40 s b) 2, 0 km e 40 s c) 2, 0 km e 10 s d) 4, 0 km e 20 s e) 2, 0 km e 20 s Exerćıcios Complementares 4. (FMTM-MG) As gaivotas utilizam um método interes- sante para conseguir degustar uma de suas presas favoritas – o caranguejo. Consiste em suspendê-lo a uma determinada altura e áı abandonar sua v́ıtima para que chegue ao solo com uma velocidade de módulo igual a 30 m/s, suficiente para que se quebre por inteiro. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. A altura de elevação utilizada por essas aves é: a) 15 m b) 45 m c) 90 m d) 30 m e) 60 m 5. (UNICAMP) Uma atração que está se tornando muito popular nos parques de diversão consiste em uma plata- forma que despenca, a partir do repouso, em queda livre de uma altura de 75 m. Quando a plataforma se encontra a 30 m do solo, ela passa a ser freada por uma força constante e atinge o repouso quando chega ao solo. A velocidade da plataforma quando o freio é acionado é dada por : a) 10 m/s b) 30 m/s c) 75 m/s d) 20 m/s e) 40 m/s 6. (CEFET-PR) Um balão meteorológico está subindo com velocidade constante de 10 m/s e se encontra a uma altura de 75 m, quando dele se solta um aparelho. O tempo que o aparelho leva para chegar ao solo é: a) 2 s b) 4 s c) 5 s d) 3 s e) 7 s Cinemática Aula 5 Movimento Circular Uniforme (MCU) Em um movimento onde a trajetória é uma circunferência (ou arco de uma circunferência) e a velocidade escalar é constante, este é denominado como movimento circular uniforme (MCU). Neste movimento a part́ıcula é locali- zada pela sua posição angular θ, que varia uniformemente com o tempo. v1 v2 v3 v4 R θ O Figura 1: O movimento circular uniforme (MCU). No movimento circular uniforme o vetor velocidade muda o tempo todo, porém mantém fixo o seu módulo (velocidade escalar). Movimento Periódico Um movimento é chamado periódico quando todas as suas caracteŕısticas (posição, velocidade e aceleração) se repetem em intervalos de tempo iguais. O movimento circular e uniforme é um exemplo de mo- vimento periódico, pois, a cada volta, o móvel repete a posição, a velocidade e a aceleração. 64 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Peŕıodo (T ) Define-se como peŕıodo (T ) o menor intervalo de tempo para que haja repetição das caracteŕısticas do movimento. No movimento circular e uniforme, o peŕıodo é o intervalo de tempo para o móvel dar uma volta completa. Como é uma medida de tempo, a unidade SI do peŕıodo é o segundo. Frequência (f) Define-se a frequência (f) de qualquer movimento periódico como o número de vezes que as caracteŕısticas do movimento se repetem durante uma unidade de tempo, ou seja, 1 s. No movimento circular uniforme, a frequência é o número de voltas realizadas na unidade de tempo. Se o móvel realiza n voltas em um intervalo de tempo t, a frequência f é dada por: f = n t e por definição, como no MCU o tempo de uma volta com- pleta (n = 1) é o próprio peŕıodo do movimento, temos que f = 1 T A unidade SI da frequência f é s−1 ou também chamado de hertz, cuja abreviação é Hz. Pode-se também medir a frequência em rotações por minuto ou rpm. Exemplo Se um movimento tem frequência de 2, 0 Hz, então são da- das duas voltas completas por segundo, ou seja, o peŕıodo do movimento deve ser de 1/2 s. Como o minuto tem 60 segundos, esse movimento terá uma frequência de 120 rpm. Velocidade Escalar v Para uma volta completa, em uma circunferência de raio R, temos que v = ∆s ∆t = 2πR T logo, para o MCU temos v = 2πRf Velocidade Angular ω Define a velocidade angular ω de forma semelhante à de- finição de velocidade v, só que nesse caso estamos interes- sados na variação da posição angular ocorrida no MCU. Então: ω = ∆θ ∆t = θ − theta0 t Para uma volta completa, temos que o deslocamento angu- lar será 2π e t = T , temos ω = 2π T = 2πf Unidades SI A velocidade angular ω é medida em rad/s no SI. Relação entre v e ω Como a velocidade escalar no MCU é v = 2πRf e ω = 2πf , então v = ωR Ou seja, a velocidade escalar v é proporcional à velocidade angular ω. Vetores no MCU Já vimos que no movimento circular e uniforme, a veloci- dade vetorial tem módulo constante, porém direção variável e, portanto o vetor v é variável. Sendo a velocidade vetorial variável, vamos analisar a aceleração vetorial a. Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial at da aceleração vetorial é nula: at = ∆v ∆t = 0 Sendo a trajetória curva, a componente normal an da ace- leração, ou também chamada de aceleração centŕıpeta não é nula (an 6= 0). O módulo da aceleração centŕıpeta pode ser calculado pela seguinte expressão: ac = ∆v ∆t = 2v sin(∆θ/2) ∆t e como ∆θ = ω∆t, e o ângulo ∆θ é pequeno para ∆t pe- queno, temos sin ∆θ 2 ≃ ∆θ 2 e ac = 2ωR∆θ/2 ∆θ/ω = ω2R ou então, como v = ωR ac = v2 R R v ∆(t + t) (t)v ∆θ=ω ∆t θ=ω t v ∆θ=ω ∆t ∆(t + t) ∆v (t)v ac Figura 2: A aceleração centŕıpeta (normal). Ondas – Aula 2 67 Exerćıcios de Aplicação 1. Um pêndulo oscila, na Terra com peŕıodo igual a 4 se- gundos. Determinar o peŕıodo desse mesmo pêndulo em um planeta onde a aceleração da gravidade é quatro vezes maior que a da Terra. 2. Um MHS (movimento harmônico simples) é descrito pela função horária x(t) = 5cos(πt/2 + 3π/2), com x em metros e t em segundos. É correto afirmar que: a) a amplitude do movimento é 10 m. b) a velocidade angular é 5π/2 rad/s. c) a frequência do movimento é 0, 25 Hz. d) o peŕıodo do movimento é 0, 50 s. e) a fase inicial é 3π radianos. 3. Um pêndulo simples de massa m executa oscilações de pequena abertura angular e realiza um MHS. Então o seu peŕıodo de oscilação: a) independe do comprimento do pêndulo. b) é proporcional ao comprimento do pêndulo. c) independente do valor da aceleração da gravidade local. d) é inversamente proporcional ao valor da aceleração da gravidade local. e) independe da massa m. Exerćıcios Complementares 4. Faça testes numéricos para estimar até onde vale a relação sen θ ≈ θ, para ângulos theta dados em rad, com a precisão de até duas casas decimais. 5. Para dobrar a frequência de oscilação de um pêndulo simples é suficiente: a) transportá-lo para um planeta de aceleração da gravidade duas vezes maior. b) transportá-lo para um planeta de aceleração da gravidade quatro vezes. c) dobrar o comprimento do fio. d) reduzir à quarta parte o comprimento do fio. e) dobrar a massa pendular. 6. Ache a relação entre o comprimento de dois pêndulos para que um realize nove oscilações enquanto o outro realiza dezesseis oscilações. 7. Determine o comprimento de um pêndulo simples que possui peŕıodo igual a 1, 0 s. Use g = 10 m/s2. Ondas Aula 2 Ondas Denomina-se onda ao movimento coletivo causado por uma perturbação que se propaga através de um meio. Tipos de Ondas Quanto à necessidade ou não de um meio mecânico, as ondas se classificam em dois grandes grupos: as ondas mecânicas e as ondas eletromagnéticas. Onda Mecânica Precisa de um meio mecânico natural para se propagar (não se propaga no vácuo). Exemplos Uma onda numa corda, ondas sonoras (sons), ondas na su- perf́ıcie da água ou numa membrana esticada (tambor). Onda Eletromagnética Não necessita de um meio mecânico para se propagar, e pode se propagar no vácuo ou também em meios mecânicos. Exemplos Ondas de rádio, ondas luminosas, raios X, ondas de calor, como aquelas que vem do Sol até a Terra pelo vácuo inte- restelar. Classificação das Ondas Quanto ao tipo de perturbação propagada pela onda, elas são classificadas em transversais ou longitudinais. Ondas Transversais São aquelas em que a direção das oscilações é perpendicular (ou transversal) à direção da propagação da onda. corda T Vibraçao Propagaçao T Figura 1: Onda transversal. Exemplos Nas ondas eletromagnéticas, um campo elétrico e um magnético oscilam em planos perpendiculares à direção de propagação da onda. Por esta razão, por exemplo, convencionou-se posicionar as antenas de rádio em pé, para que o campo elétrico seja emitido verticalmente, enquanto a onda se propaga horizontalmente, e desta forma possa ser captado pelas antenas receptoras. Quando sacudimos a extremidade de uma corda esticada, ou mesmo de uma mangueira de jardim, produzimos um pulso de deslocamento vertical, que se propaga ao longo da direção da corda, horizontalmente. Se observarmos de perto, veremos que cada ponto da corda (mangueira) apenas sobe e desce, quando o pulso passa pela corda. Não há um deslocamento horizontal da corda (meio mecânico). Em campos de futebol, pode-se ver um belo efeito ondu- latório causado pelos espectadores, a “ôla”. Num movi- mento coordenado, os espectadores levantam e sentam, pro- vocando a propagação de uma onda pelas arquibancadas, que também é uma onda transversal. Observe que, se todos levantassem e sentassem ao mesmo tempo, nenhuma onda seria observada. 68 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Ondas Longitudinais Como o próprio nome diz, a onda longitudinal transporta oscilações (vibrações) cuja direção coincide com a direção da propagação, ou seja, ao longo da direção de propagação. empurrar puchar rarefações para a ponta fixacompressões propagação da onda oscilações Figura 2: Onda longitudinal. Exemplos As ondas sonoras são ondas de pressão que se propagam longitudinalmente em meios sólidos, ĺıquidos ou gasosos. Quando você dá uma martelada na extremidade de uma longa barra de ferro (de construção), a compressão causada na direção da barra se propaga, fazendo os pontos da barra oscilarem na direção da barra. É claro que uma barra de ferro pode propagar, ao mesmo tempo, tanto ondas longi- tudinais quanto ondas transversais. Se tomarmos uma mola helicoidal bem longa e mole, com uma extremidade presa ao teto, por exemplo, poderemos verificar que, ao comprimirmos ligeiramente a sua extremi- dade livre, batendo verticalmente, um pulso de compressão será propagado longitudinalmente, subindo na mola. Quando um pescador convencional estica sua linha (espera ou espinhel) para pescar, ele percebe a “beliscada”do peixe pelas ondas longitudinais transportadas até a sua mão, pela linha tensa. Quando usa uma bóia, ou rolha, ele vê as ondas transversais causadas na superf́ıcie da água pelas beliscadas dos peixes. Em ambos os casos, as ondas estão sendo usadas para transmitir informação, compreendeu? Ondas no Espaço Quanto ao tipo de propagação e a complexidade do movi- mento espacial das ondas, podemos classificá-las em unidi- mensionais, bidimensionais ou tridimensionais. Ondas Unidimensionais Em alguns casos simples, podemos supor que uma onda se propaga de forma unidimensional, pois simplificamos a sua descrição reduzindo o movimento ondulatório à uma dimensão mais relevante. Exemplo Por exemplo, ao estudar a propagação de uma onda sonora dentro de um tubo longo, podemos considerar a onda uni- dimensional, dentro do tubo. Ondas Bidimensionais Em outros casos, é evidente que o movimento ondulatório não pode ser restrito à uma direção (dimensão), pois ocorre sobre uma superf́ıcie bidimensional. Exemplos No caso de ondas na superf́ıcie de uma piscina ou lago, ou mesmo ondas num tambor (membrana). Neste caso temos ondas bidimensionais. Ondas Tridimensionais São aquelas que se propagam em todas as três direções do espaço, tornando a sua descrição, bastante trabalhosa. Exemplos Na explosão de uma “bombinha”, aquelas que a gente sol- tava quando moleque, são produzidas ondas sonoras que se propagam a partir de um ponto (pequena região do espaço) para todas as direções, formando verdadeiras ondas esféricas, que poderão ser percebidas por pessoas no chão, ou mesmo pássaros no ar, pois se propagam tridimensional- mente. Energia Transmitida Quanto ao tipo de energia transmitida pela onda, pode- mos classificá-la em ondas sonoras, ondas luminosas, ondas térmicas, etc. Elementos de uma Onda Ondas Periódicas São aquelas que recebem pulsos periódicos, ou seja, recebem pulsos em intervalos de tempo iguais. Portanto, passam por um mesmo ponto com a mesma frequência. Unidades SI As ondas periódicas possuem alguns elementos básicos, que são: o peŕıodo P (ou T ), medido em s; o comprimento de onda λ, medido em m; a frequência f , medida em s−1 ou Hz (hertz); a amplitude y, medida em m; que podem ser verificados na figura abaixo. Comprimento de Onda Amplitude x Figura 3: Elementos de uma onda senoidal. Relação Matemáticas v = λf onde v é = velocidade de propagação da onda no meio λ é o comprimento da onda f é a frequência da onda. Ondas – Aula 3 69 Pense um Pouco! • Uma pessoa toca numa corda de um violão uma nota e você ouve o som. Identifique os vários tipos de ondas envolvidos no processo completo. Comente. • Nós enxergamos usando luz. Seria posśıvel se enxergar com outro tipo de ondas como o som, por exemplo? Justifique. Exerćıcios de Aplicação 1. A distância entre o ńıvel de repouso da água e a “crista”de uma onda, é chamada de: a) timbre b) peŕıodo c) amplitude d) ressonância e) comprimento de onda 2. Ondas que oscilam na mesma direção em que se propa- gam são chamadas de ondas: a) transversais b) eletromagnéticas c) tensoriais d) gravitacionais e) longitudinais 3. Quando uma pequena pedra cai num lago tranquilo, formam-se ondas circulares. O fato de as ondas serem cir- culares é uma evidência de que: a) as ondas transportam energia b) as ondas transportam matéria c) a velocidade de propagação das ondas é a mesma em to- das as direções d) a velocidade de propagação das ondas depende da densi- dade da pedra e) a pedra afundou depois de atingir a água. Exerćıcios Complementares 4. As ondas eletromagnéticas, como as ondas luminosas, propagam-se independentemente do meio. No vácuo, todas as ondas eletromagnéticas possuem: a) a mesma amplitude b) a mesma frequência c) a mesma velocidade d) o mesmo comprimento de onda e) a mesma energia 5. Considere as afirmações abaixo: I. As ondas luminosas são constitúıdas pelas oscilações de um campo elétrico e de um campo magnético. II. As ondas sonoras precisam de um meio material para se propagar III. As ondas eletromagnéticas não precisam de um meio material para se propagar. Quais delas são corretas? a) apenas I b) apenas I e II c) apenas I e III d) apenas II e III e) I, II e III 6. A onda sonora é classificada como ........ pois a sua propagação ocorre somente em meio ........, que vibra com a onda deslocando-se na direção ......... à sua direção de propagação. a) mecânica – material – paralela b) mecânica – gasoso – paralela c) mecânica – sólido – perpendicular d) eletromagnética – material – perpendicular e) eletromagnética – material – paralela 7. Um pescador observa que a ponta de sua canoa, parada num lago, oscila cinco vezes em quatro segundos, num movi- mento sobe-e-desce. Ele conclui que a frequência das ondas é: a) 1 14 s b) 1, 25 m c) 0, 80 s−1 d) 1, 25 Hz e) 20/s Ondas Aula 3 Ondas e Interferência Quando duas ondas resolvem ocupar a mesma região do espaço dá-se o que chamamos de interferência. O resul- tado da interferência entre duas ondas depende da diferença de fase entre elas. Para se entender o efeito combinado de duas ou mais on- das se propagando no mesmo meio, e no mesmo instante, assumimos como válido o prinćıpio de superposição: “Os deslocamentos causados no meio pela presença de duas ou mais ondas são somados, ou seja, superpostos, como se cada onda continuasse se propagando como se as outras não existissem.” Ou seja, uma não afeta as outras, mas o que observamos é o efeito conjunto de todas as ondas. Quando se tratarem de ondas unidimensionais, no caso sim- ples, os deslocamentos do meio serão somados algebrica- mente, podendo-se obter interferência destrutiva e cons- trutiva. Interferência Destrutiva Na figura abaixo, vemos duas ondas, praticamente coinci- dentes. As duas têm a mesma amplitude, o mesmo compri- mento e a mesma fase, ou seja, os pontos de deslocamento máximo coincidem, e dizemos neste caso que a diferença de fase entre elas é zero. Ou seja, as ondas estão em fase. Nesse caso, a interferência é chamada de construtiva, pois uma onda soma-se à outra, reforçando-a, e o resultado é uma única onda cuja amplitude é a soma das duas amplitudes. Interferência Destrutiva Quando superpomos duas ondas, sendo que um desloca- mento máximo positivo de uma corresponde com o deslo- 72 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br a) interferência – aniquilação – transporte b) difração – amortecimento – inércia c) interferência – difração – reflexão d) refração – dispersão – simetria e) energia – momento – ressonância 3. Um apito produz um som de frequência igual a 1.360 Hz no ar, onde as ondas se propagam com velocidade de 340 m/s. Então, o comprimento das ondas geradas é: a) 4 m b) 25 m c) 40 cm d) 25 cm e) 0, 25 km Exerćıcios Complementares 4. O ouvido humano normal pode perceber sons de frequência no intervalo de 20 Hz a 20 kHz – a chamada faixa aud́ıvel. Assinale a única alternativa correta: a) pode-se em geral ouvir sons de 25.000 Hz b) o som é uma onda mecânica longitudinal c) o som é uma onda longitudinal d) o som é uma onda eletromagnética e) todo som na faixa aud́ıvel se propaga no vácuo 5. Numa corda propagam-se dois pulsos de amplitudes igual a 30 cm e 40 cm, um em direção ao outro. No instante em que eles se superpõem, pode-se dizer que: a) ocorrerá interferência destrutiva b) a amplitude observada será 70 cm c) ocorrerá interferência destrutiva d) a amplitude resultante deverá estar no intervalo [10 cm, 70 cm] e) n. d. a. 6. Um motor elétrico desbalanceado gira a 1.800 rpm e provoca um rúıdo grave e cont́ınuo, que é amplificado pelo mesa onde está fixo e pode ser ouvido claramente. Pode-se afirmar que: a) a frequência do rúıdo é cerca de 30 Hz b) o motor está com os rolamentos gastos c) a mesa não é de boa qualidade d) é melhor desligar o motor e chamar a CELESC e) a mesa começará a “andar”por trepidação Ondas Aula 4 Som Fontes Sonoras Em geral, ao estudo da produção (fontes sonoras), pro- pagação e fenômenos correlatos sofridos pela onda mecânica sonora ou aud́ıvel, denomina-se Acústica, denominaremos por som à toda onda mecânica sonora (intensidade sufici- ente e frequência limitada num certo intervalo). Som Aud́ıvel Se a frequência da onda sonora pertence ao intervalo de, 16 Hz a 20 kHz, esse som é aud́ıvel para o ser humano. Ultra-som e Infra-som Ondas longitudinais de frequências superiores a 20 kHz, ca- racterizam sons inaud́ıveis para nós e denominam-se ultra- sons. Aquelas de frequências inferiores a 16 Hz, também inaud́ıveis, são ditas infra-sons. Velocidade de Propagação do Som O som possui velocidades de propagação definidas para cada meio de propagação, podendo este ser o ar, água, metais entre outros, a velocidade de propagação do som no ar nas condições normais de temperatura e pressão é a mais conhe- cida de todas: vsom = 343 m/s = 1234 km/h A velocidade do som foi ultrapassada por um avião há mui- tos anos atrás, quando quebrou-se a chamada “barreira do som”pela primeira vez. Mas, somente em outubro de 1997, ela foi ultrapassada por um automóvel. Vejamos a velocidade do som em alguns meios materiais: Meio Temperatura (◦C) Velocidade (m/s) ar 0 331 hidrogênio 0 1.286 oxigênio 0 317 água pura 15 1.450 chumbo 20 1.230 alumı́nio 20 5.100 cobre 20 3.560 ferro 20 5.130 granito 0 6.000 borracha 0 54 Pense um Pouco! • Porque não escutamos o som que os morcegos emitem para “enxergar”? • Porque os ı́ndios norte-americanos colocavam o ouvido no chão? • Ao observarmos um pedreiro de longe, martelando algo, percebemos que sua imagem não está sincroni- zada com os sons que ele produz (com as marteladas). Por quê? Ondas – Aula 5 73 Exerćıcios de Aplicação 1. Ao observar uma grande explosão em uma pedreira, de longe, uma pessoa percebe, nessa ordem: a) a luz - o rúıdo - as oscilações do chão b) o rúıdo - a luz - as oscilações do chão c) as oscilações do chão - o rúıdo - a luz d) as oscilações do chão - a luz - o rúıdo e) a luz - as oscilações do chão - o rúıdo 2. Um método antigo de se determinar a profundidade de um poço fundo e escuro é soltar-se uma pedra na sua boca, disparar-se um relógio (ou cronômetro) e medir-se o inter- valo de tempo até que se ouça o barulho. Sendo vsom a velocidade do som no ar, h a profundidade do poço e g a aceleração da gravidade, o intervalo de tempo medido no relógio será: a) ∆t = 2h/vsom b) ∆t = √ 2gh + h/vsom c) ∆t = √ 2h/g + h/vsom d) ∆t = √ 2h/g e) n. d. a. 3. Um método popular para determinar-se a que distância x, em kilômetros, caiu um raio é, observar-se o relâmpago e medir-se o tempo t em segundos, que temos de esperar para ouvimos o estrondo. Pode-se afirmar que: a) x ≈ t/2 b) x ≈ t/3 c) x ≈ t/4 d) x ≈ t/5 e) n. d. a. Exerćıcios Complementares 4. O ditado popular de que “as paredes tem ouvidos”está relacionado diretamente com o fenômeno ondulatório cha- mado: a) ressonância b) reflexão c) difração d) absorção e) n. d. a. 5. Uma onda sonora no ar possui um comprimento de onda de 1/2 m e velocidade de 330 m/s. Ao passar para um meio onde sua velocidade triplica, qual o seu novo comprimento de onda? a) 2/3 m b) 3/2 m c) 1/2 m d) 1/6 m e) n. d. a. 6. Uma certa espécie de morcego utiliza ultra-sons de 33.000 Hz para localizar insetos e se orientar no seu vôo noturno. Sendo a velocidade do som no ar igual a 330 m/s, pode-se afirmar que: a) ele usa ondas com 0, 1 m de comprimento b) ele usa ondas com 0, 1 cm de comprimento c) ele usa ondas com 100 mm de comprimento d) ele usa ondas com 1, 0 cm de comprimento e) n. d. a. Ondas Aula 5 Efeito Doppler Qualidades Fisiológicas do Som A todo instante distinguimos os mais diferentes sons. Essa diferenças que nossos ouvidos percebem se devem às quali- dades fisiológicas do som: altura, intensidade e timbre. Altura Mesmo sem conhecer música, é fácil distinguir o som agudo (ou fino) de um violino, do som grave (ou grosso) de um violoncelo. Essa qualidade que permite distinguir um som grave de um som agudo se chama altura. Assim, costuma-se dizer que o som do violino é alto e o do violoncelo é baixo. A altura de um som depende da frequência, isto é, do número de vibrações por segundo. Quanto maior a frequência mais agudo é o som e vice-versa. Por sua vez, a frequência depende do comprimento do corpo que vibra e de sua elasticidade. Quanto maior a tensão (tração) e mais curta for uma corda de violão, por exemplo, mais agudo vai será o som por ela emitido. Você pode constatar também a diferença de frequências usando um pente que tenha dentes finos e grossos. Passando os dentes do pente na bosta de um cartão você ouvirá dois tipos de som emitidos pelo cartão: o som agudo, produ- zido pelos dentes finos (maior frequência), e o som grave, produzido pelos dentes mais grossos (menor frequência). Intensidade É a qualidade que permite distinguir um som forte (intenso) de um som fraco (suave). A intensidade depende da ampli- tude de vibração: quanto maior a amplitude mais forte é o som e vice-versa. Quanto mais energia pudermos captar de uma onda sonora, com mais intensidade ela será percebida. Por exemplo, quando o médico vai ouvir o coração de um paciente, ele precisa concentrar mais energia para aumentar a intensidade do som a ser ouvido, e por isso ele usa aquele famoso aparelho que capta e canaliza o som direto para o seu ouvido. Na prática não interessa aos nossos ouvidos diretamente a intensidade intensidade de uma onda sonora, mas sim o ńıvel sonoro, uma grandeza relacionada à intensidade so- nora e à forma como o nosso ouvido reage a essa intensidade. Essas unidades são o bel e o seu submúltiplo o decibel (dB), que vale 1 décimo do bel. O ouvido humano é capaz de suportar sons de até 120 dB, como num show de rock, por exemplo. O rúıdo produzido por um motor de avião à jato a poucos metros do observador produz um som de cerca de 140 dB, e é capaz de causar est́ımulos dolorosos ao ouvido humano. A agitação das grandes cidades provocam a chamada po- luição sonora composta dos mais variados rúıdos: motores e 74 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br buzinas de automóveis, martelos de ar comprimido, rádios, televisores e etc. Já foi comprovado que uma exposição prolongada a ńıveis maiores que 80 dB pode causar dano permanente ao ouvido. A intensidade de uma onda sonora diminui à medida que o som se propaga ou seja, quanto mais distante da fonte, menos intenso é o som. Timbre Imagine a seguinte situação: um ouvinte que não entende de música está numa sala, ao lado da qual existe outra sala onde se encontram um piano e um violino. Se uma pessoa tocar a nota dó no piano e logo a seguir outra pessoa tocar a mesma nota dó no violino, ambas com a mesma “força”, os dois sons terão a mesma altura (frequência) e a mesma intensidade. Mesmo sem ver os instrumentos, o ouvinte da outra sala saberá distinguir facilmente um som de outro, porque cada instrumento tem seu som caracterizado, ou seja, seu tim- bre. Podemos afirmar, portanto, que timbre é a qualidade que nos permite perceber a diferença entre dois sons de mesma altura e intensidade produzidos por fontes sonoras diferen- tes. Efeito Doppler Na figura abaixo os anéis simbolizam os máximos da onda sonora. O intervalo de tempo entre as emissões sucessivas é T , o peŕıodo da onda. Quanto maior o ćırculo, mais tempo faz que a emissão foi feita. Todos os ćırculos expandem com a mesma velocidade. Se um observador estiver estacionário, então o intervalo de tempo entre a chegada dos ćırculos su- cessivos ao ouvido é T . Fonte Sonora em repouso Observador em repouso Figura 1: Fonte e observador em repouso: não há efeito Doppler. O efeito Doppler é um fenômeno observado com todo o tipo de onda, e possui o nome do cientista austŕıaco Christian Doppler (1803-1853) que o descobriu. Ele descobriu que a frequência com que uma onda é percebida depende também do movimento relativo da fonte sonora e do observador, o que pode ocasionar uma mudança significativa entre a frequência emitida e a percebida por um detector ou pessoa. Por exemplo, numa corrida de fórmula I, quando um carro passa por nós, percebe-se claramente que o som passa de agudo (carro se aproximando de nós) à grave (se afastando de nós). Qualquer criança sabe disso, e quando brinca de carrinho imita o famoso som da fórmula I: “uuóóóómmmm”. Eis o efeito Doppler! Observador em Movimento Suponha que uma fonte estacionária está gerando ondas so- noras com frequência f0 = 240Hz e comprimento de onda λ0 = v f0 . Um observador estacionário a uma certa distância da fonte ouvirá um som com frequência f0 = 240 Hz, e 240 vezes por segundo seu t́ımpano será empurrado e puxado, para dentro e para fora, à medida que os máximos e mı́nimos da pressão alcançam o ouvido. O peŕıodo de tempo entre dois máximos consecutivos é T = 1f0 = 1 240 s. Suponha que o observador suba em uma motocicleta e dirija no sentido oposto ao da fonte. Suponha que no tempo t1 um máximo de pressão alcança o seu ouvido na posição x. O próximo máximo estará na posição x no tempo t1 + T . Mas, o ouvido não estará mais nesta posição. O observador se moveu. O máximo tem que percorrer uma distância extra antes de alcançar o ouvido. Esta distância extra toma um tempo extra ∆t. O intervalo de tempo entre máximos sucessivos que alcança o ouvido do observador é agora T + ∆t. O peŕıodo aumentou, a frequência aparente da onda dimi- nui. Este é um exemplo do efeito Doppler. Se o observador estiver dirigindo no sentido da fonte, o intervalo de tempo entre os máximos alcançando o ouvido será mais curto que T. Suponha que no tempo t1 um máximo de pressão al- cance o ouvido na posição x. O próximo máximo chegará na posição x no tempo t1 + T . Mas, ele chegará ao ouvido antes de ele alcançar a posição x, já que o observador se move no sentido da fonte. A frequência aparente do som que alcança o observador é f = f0 v + v0 v onde v é a velocidade do som, e v0 é a componente da velo- cidade do observador na direção da fonte (v0 é negativo se o observador estiver se movendo para longe da fonte). Normalmente não observamos o efeito Doppler quando nos movemos a pé, já que a velocidade do som é muito maior do que a nossa. Mas, movendo-se em uma motocicleta a 90 km/h = 25 m/s na direção de uma fonte, temos que f = f0 340 + 25 340 = 1, 07 · f0 Movendo-se para longe da fonte dá f = f0 340− 25 340 = 0, 93 · f0 Quando passa pela fonte, o motoqueiro observa então uma variação de frequência da ordem de 0, 14 · f0, ou seja, de 14%, uma variação razoável e bem percept́ıvel. Só para comparação, as teclas vizinhas de um piano geram sons com aproximadamente 6% de diferença na frequência – os cha- mados intervalos de semi-tom. Um tom completo sendo então de cerca de 12%, por exemplo, a distância de dó até ré. Termodinâmica – Aula 2 77 do gelo ao de ebulição da água) é dividido em 100 graus, ou 100 partes. Na escala Fahrenheit, este intervalo é subdivi- dido em 180 partes (graus frahrenheit). Intervalos de Temperatura Converter temperaturas de uma escala para a outra não é o mesmo que converter intervalos de temperatura entre as escalas. Exemplo, um intervalo de temperatura de 10 ◦C corresponde, na escala absoluta (ou Kelvin) a um intervalo de 10 K, e na escala Fahrenheit, o intervalo correspondente será de 18 ◦F , pois para cada grau célsius, temos 1,8 grau fahrenheit. A menor temperatura que existe na natureza é o chamado zero absoluto ou seja, 0 K. Por isso a escala Kelvin é dita absoluta. Nas outras escalas, os zeros foram escolhidos arbitrariamente, não levando em conta a possibilidade de haver uma menor temperatura posśıvel na natureza, o que só foi descoberto depois da criação das primeiras escalas térmicas. Pense um Pouco! • Qual a temperatura normal do corpo humano, em ◦F? • A temperatura ideal da cerveja é em torno de 4 ◦C, an- tes de beber. Se dispomos apenas de um termômetro com escala Kelvin, qual a temperatura absoluta corres- pondente ao mesmo estado térmico da cerveja ideal? Exerćıcios de Aplicação 1. Ao tomar a temperatura de um paciente, um médico só dispunha de um termômetro graduado na escala Fahrenheit. Se o paciente estava com febre de 42 ◦C, a leitura feita pelo médico no termômetro por ele utilizado foi de : a) 104 ◦F b) 107, 6 ◦F c) 72 ◦F d) 40 ◦F e) 106, 2 ◦F 2. (URCAMP-SP) No interior de um forno, um termômetro Célsius marca 120◦C. Um termômetro Fahrenheit e um Kelvin marcariam na mesma situação, respectivamente: a) 248 ◦F e 393 K b) 198 ◦F e 153 K c) 298 ◦F e 153 K d) 393 ◦F e 298 K e) nenhuma resposta é correta 3. (ACAFE) Uma determinada quantidade de água está a uma temperatura de 55 ◦C. Essa temperatura corresponde a: a) 55 ◦F b) 328 ◦F c) 459 ◦K d) 131 ◦F e) 383 ◦K Exerćıcios Complementares 4. (UEL) Um termômetro foi graduado, em graus Célsius, incorretamente. Ele assinala 1 ◦C para o gelo em fusão e 97 ◦C para a água em ebulição, sob pressão normal. Pode- se afirmar que a única temperatura que esse termômetro assinala corretamente, em graus Célsius é: a) 12 b) 49 c) 75 d) 25 e) 64 5. (CENTET-BA) Num termômetro de escala X , 20 ◦X correspondem a 25 ◦C, da escala Célsius, e 40 ◦X corres- pondem a 122 ◦F , na escala Fahrenheit. Esse termômetro apresentará, para a fusão do gelo e a ebulição da água, os respectivos valores, em ◦X : a) 0 e 60 b) 0 e 80 c) 20 e 60 d) 20 e 80 e) 60 e 80 6. (PUC) Uma revista cient́ıfica publicou certa vez um ar- tigo sobre o planeta Plutão que, entre outras informações, dizia “...sua temperatura atinge −380 ◦ ...”. Embora o au- tor não especificasse a escala termométrica utilizada, certa- mente se refere à escala: a) Kelvin b) Célsius c) Fahrenheit d) Kelvin ou Célsius e) Fahrenheit ou Célsius Termodinâmica Aula 2 Dilatação Térmica Quando aquecemos um sólido, geralmente suas dimensões aumentam. Quando esfriamos, geralmente suas dimensões diminuem. A esse aumento e a essa diminuição de dimensões de um sólido, devido ao aquecimento ou ao resfriamento, chamamos de dilatação térmica. Para os sólidos, temos três tipos de dilatação: • Dilatação linear (ou unidimensional) • Dilatação superficial (ou bidimensional) • Dilatação volumétrica (ou tridimensional) Dilatação Linear Para observarmos a dilatação de um sólido, imaginemos uma barra de comprimento inicial L0 na temperatura inicial T0, que passa a ter o comprimento final L quando aquecida a temperatura final T , sofrendo um aumento de comprimento: ∆L = L− L0 78 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br L 0 T 0 T 0 ∆ L T > L Verifica-se experimentalmente que ∆L é proporcional ao comprimento inicial L0 e a variação de temperatura ∆T , podendo se expressar essa relação por: ∆L = αL0∆T em que α é um coeficiente de proporcionalidade carac- teŕıstico do material que constitui a barra, chamado de co- eficiente dilatação linear. Assim, o comprimento final da barra será L = L0 + ∆L = L0(1 + α∆T ) Dilatação Superficial e Volumétrica Para essas dilatações, valem considerações análogas às vistas na dilatação linear, ou seja: ∆A = βA0∆T e ∆V = γV0∆T onde β é o coeficiente de dilatação superficial e γ é o coefi- ciente de dilatação volumétrica. L 0 ∆ L 2 0A = L 0 0 ∆2A = L = A + A 0 ∆ ∆A = L + 2L L + ( L) 0 2 2 ∆α L = L T 0 ∆ L 0 ∆ L antes de aquecer e depois e como temos que e finalmente eαA = A (1 + 2 T) 0 0 2 2 ∆ 2 0 0 α ∆ α2 0 A = A 2 T 0 A = L + 2 L T + L ( T)∆ ∆ 2α2 0 α ∆ ∆α 2 A = L [1 + 2 T + ( T) ] 2 ∆ Pode-se mostrar que estes novos coeficientes β e γ podem ser escritos em função do coeficiente de dilatação linear α como: β = 2α e γ = 3α Dilatação dos ĺıquidos A dilatação térmica de um ĺıquido corresponde ao aumento ou a diminuição de volume desse ĺıquido quando este é aque- cido ou resfriado. Ao estudar a dilatação dos ĺıquidos, já que não possuem forma própria, não se definem comprimento e área do ĺıquido, o que não tem significado. Neste caso estuda-se apenas a dilatação cúbica. Para tanto, usamos a mesma relação definida para os sólidos, já que a lei é a mesma para ambos: V = V0(1 + γ∆T ) Os ĺıquidos só podem ser estudados dentro de recipientes sólidos. É pois, imposśıvel estudar dilatação dos ĺıquidos sem considerar a dilatação dos recipientes que os contém. Isso implica dois tipos de dilatação para um ĺıquido; uma dilatação real, que depende apenas do ĺıquido, e a outra aparente, que leva em conta a dilatação do frasco que o contém. Assim consideremos um recipiente totalmente cheio de um ĺıquido, numa temperatura inicial T0. Ao levarmos o con- junto (ĺıquido mais frasco) para uma temperatura final T , com T > T0, notamos que ocorre um extravasamento par- cial do ĺıquido. O volume extravasado fornece a dilatação aparente ∆Vap. do ĺıquido, pois como o frasco também dila- tou, o volume que esta no interior do frasco no final é maior que no ińıcio. Portanto a dilatação real do ĺıquido é a soma da sua dilatação aparente e a do frasco: ∆Vreal = ∆Vaparente + ∆Vfrasco como ∆V = V0γ∆T então V0γr∆T = V0γa∆T + V0γf∆T logo γr = γa + γf Então, devemos observar que a dilatação do ĺıquido compen- sou a dilatação do frasco e ainda nos forneceu a dilatação aparente. Dilatação Anômala da Água A água possui um comportamento anômalo em sua di- latação. A 4 ◦C o volume da água é mı́nimo e a sua den- sidade é máxima. Isto ocorre devido ao fortalecimento das pontes de hidrogênio, abaixo de 4 ◦C, quando as moléculas de H2O começam a se reorganizar para a formação dos cris- tais de gelo, onde irão ocupar um volume maior do que no estado ĺıquido. Esse comportamento da água explica por que num lago, quando a temperatura cai a valores extremamente baixos, a água se solidifica apenas na superf́ıcie. Isto ocorre porque até 4 ◦C, no resfriamento, a água da superf́ıcie torna-se mais densa e afunda, subindo a água mais quente do fundo que é menos densa. Ao atingir uma temperatura abaixo de 4 ◦C, a água da superf́ıcie se expande, diminuindo a sua densidade, assim essa água fria não desce mais e ao atingir 0 ◦C se solidifica. No fundo fica água mais quente, numa temperatura de 4 ◦C. É isto que preserva a vida animal e vegetal existente no fundo do lago. Pense um Pouco! • Os músicos geralmente deixam para afinar seus instru- mentos no local da apresentação, a diferença de tempe- ratura entre o ambiente que estão , e o local do show, podem desafinar seus instrumentos? Termodinâmica – Aula 3 79 Exerćıcios de Aplicação 1. (Fuvest) Café fervente é despejado em um copo de vidro. O corpo parte-se. Uma posśıvel explicação seria: a) A dilatação das várias partes do copo não é uniforme. b) O ponto de fusão do vidro é próximo ao de ebulição do café. c) Sendo o vidro transparente, o calor passa através dele com facilidade d) A capacidade Térmica do vidro é menor que a do café e) O calor espećıfico do vidro é menor que o do café 2. (PUC) Um fio de cobre de 100 m sofre aumento de temperatura de 10 ◦C. O coeficiente de dilatação linear do cobre é 17× 10−6 ◦C−1. A variação do comprimento foi de: a) 17 mm b) 17 m c) 100, 17 m d) 17 cm e) 1, 7 m 3. (UNITAU) Um orif́ıcio numa panela de ferro, a 0 ◦C tem 5 cm2 de área. Se o coeficiente de dilatação linear do ferro é de 1, 2 × 10−5 ◦C−1, a área desse orif́ıcio a 300 ◦C será, em cm2: a) 5,018 b) 10,072 c) 4,964 d) 10,036 e) 5,036 Exerćıcios Complementares 4. (UNESP-SP) A dilatação térmica dos sólidos é um fenômeno importante em diversas aplicações de engenharia, como construções de pontes, prédios e estradas de ferro. Considere o caso dos trilhos de trem serem de aço, cujo coeficiente de dilatação é 11 × 10−6 ◦C−1. Se a 10 ◦C o comprimento de um trilho é de 30 m, de quanto aumenta- ria o seu comprimento se a temperatura aumentasse para 40 ◦C? a) 11× 10−4 m b) 33× 10−4 m c) 99× 10−4 m d) 132× 10−4 m e) 165× 10−4 m 5. (UFLA-MG) O tanque de combust́ıvel de um carro de fórmula 1 tem capacidade de 120 litros e são colocados 100 litros de combust́ıvel a 5, 0 ◦C. Considerando o coeficiente de dilatação volumétrica do combust́ıvel 1, 2× 10−3 ◦C−1 e a variação de volume do tanque despreźıvel, então a 45 ◦C o volume colocado terá um acréscimo, em litros, de: a) 4,8 litros b) 3,6 litros c) 2,4 litros d) 1,2 litros e) 20,0 litros 6. (MACKENZIE) Uma barra metálica, ao variar sua tem- peratura em 80 ◦C, sofre um aumento de comprimento de 0,16%. O coeficiente de dilatação volumétrica do material dessa barra é, em ◦C−1: a) 6× 10−5 b) 5× 10−5 c) 4× 10−5 d) 3× 10−5 e) 2× 10−5 Termodinâmica Aula 3 Transformações Gasosas Considerações iniciais Gás Perfeito (ou ideal) é um modelo teórico de gás que obedece, em seu comportamento, as leis estabelecida por Robert Boyle, Jacques Charles, Joseph Louis Gay-Lussac e Paul Emile Clapeyron. Um Gás real tem seu comportamento tanto mais próximo do ideal quanto mais elevada for sua temperatura e quanto mais baixa for sua pressão. Variáveis de estado de um gás Algumas grandezas que definem e caracterizam o estado termodinâmico de uma dada massa de gás são chamadas variáveis de estado. São por exemplo, a temperatura, a pressão, o volume, a energia interna, etc. Destas, as que nos interessam, por enquanto, são a temperatura, a pressão e o volume. Volume (V ) Os gases não tem volume nem forma próprios. Por definição, volume de um gás é o volume do recipiente ocupado por ele. As unidades usuais de volume são: L (litro), cm3 e m3. Pressão (P ) A pressão exercida por um gás é devida aos choques das suas part́ıculas contra as paredes do recipiente. As unidades usuais de pressão são: N/m2, Pa, atm e mmHg, onde valem as seguintes relações: 1 N/m2 = 1 Pa 1 atm = 105 N/m2 1 atm = 760 mmHg Temperatura (T ) Mede o estado de movimento das part́ıculas do gás. Na teoria dos gases perfeitos, é usada a temperatura absoluta (escala Kelvin). Transformações de um Gás Dizemos que uma dada massa de gás sofre uma trans- formação quando há variação de pelo menos uma de suas variáveis de estado. Entre as transformações de um gás, devemos destacar as seguintes: 82 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Pense um Pouco! • Escreva o número de avogadro por extenso, com os seus 23 zeros, e observe como ele é enorme! • Quando um gás é comprimido, o que aontece com a sua densidade? • O que aconteceria com a hipótese de Avogrado em condições que não fossem as CNTP? Exerćıcios de Aplicação 1. (UFSE) Constata-se experimentalmente que, nas mes- mas condições de temperatura e pressão, 3 volumes de hi- drogênio reagem com um volume de ozônio, produzindo 3 volumes de vapor de água. Essa informação nos permite deduzir - a partir da Lei de Avogrado - que o número de átomos na molécula de ozônio é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 2. (UCS-BA) Sob as mesmas condições de temperatura e pressão, o volume de qualquer gás é diretamente propor- cional ao seu número de moléculas. Essa é uma forma de enunciar a Lei de: a) Avogrado b) Gay-Lussac c) Lavoisier d) Faraday e) Einstein 3. (UFRS) Um recipiente de 2 litros contem um gás perfeito a temperatura de 17 ◦C e pressão de 50 Pa. Dado R = 8, 31 J/mol·K, podemos afirmar que o número de moléculas nesse recipiente é de: a) 2, 7× 107 moléculas b) 3, 7× 107 moléculas c) 5, 0× 107 moléculas d) 2, 7× 1018 moléculas e) n.d.a. Exerćıcios Complementares 4. (FUVEST) A 25 ◦C e 1 atm, o volume de 1 mol de átomos de ńıquel (massa atômica: A = 59 e ρ = 8, 9 g/cm3) é aproximadamente igual a: a) 33 cm3 b) 26 cm3 c) 20 cm3 d) 6, 6 cm3 e) 13 cm3 5. (ACAFE) Um estudante informa a seu colega que, para ”matar”a sua sede, teve que tomar 20 moles de água, o outro estudante baseando-se na Lei de Avogrado, calculou o número de moléculas ingerida pelo seu colega, que foi de: a) 1, 2× 1025 moléculas b) 2, 2× 1025 moléculas c) 3, 2× 1025 moléculas d) 4, 2× 1025 moléculas e) 5, 2× 1025 moléculas 6. (UFES) Três recipientes, A, B e C, de volumes iguais, contêm respectivamente, HCl, H2O e NH3, todos no es- tado gasoso, a mesma pressão e temperatura. Suponha que o recipiente A contenha 1, 0 × 1024 moléculas de HCl. Po- demos afirmar que o número de moléculas de vapor de H2O existentes no recipiente B é: a) 1, 0× 1024 moléculas b) 6, 02× 1023 moléculas c) 2, 0× 1024 moléculas d) 3, 0× 1024 moléculas e) 4, 0× 1024 moléculas Termodinâmica Aula 5 Modelo Molecular de um Gás As leis que descrevem o comportamento dos gases, foram obtidas experimentalmente. Vamos agora tentar relacionar estas leis com o comportamento das part́ıculas que cons- tituem o gás, isto é, seus átomos ou suas moléculas. Os cientistas intensificaram seus estudos sobre a estrutura mo- lecular dos gases, baseando-se nas seguintes suposições: 1. um gás é constituido de pequenas part́ıculas, átomos ou moléculas; 2. o número de moléculas existentes em uma dada massa gasosa é muito grande; 3. a distância média entre as moléculas é muito maior do que as dimensões de uma molécula; 4. as moléculas de um gás estão em constante movimento, e este movimento é inteitamente ao acaso, isto é as moléculas se movimentam em qualquer direção. Ao estabelecerem estas hipóteses, os cientistas estavam ten- tando descrever o comportamento de um gás através do mo- vimento de suas moléculas, isto é, estavam supondo que as leis dos gases poderiam ser obtidas aplicando-se as leis da Mecânica ao movimento das moléculas, tratando-as como se fossem part́ıculas. Desta maneira, os cientistas estrutu- raram um modelo para descrever o comportamento de um gás. Este modelo é denominado modelo cinético em virtude de se basear no movimento das moléculas do gás. Cálculo Cinético da Pressão (p) Como vimos, no modelo cinético de um gás, o número de moléculas é muito grande e elas estão em constante movi- mento. Em conseqüência disto, as moléculas colidem conti- nuamente contra as paredes do recipiente que contém o gás, exercendo uma pressão nessas paredes. Como o número de colisões é muito grande, não se percebe o efeito do choque de cada part́ıcula. O que se observa é o efeito médio da frequente sucessão de colisões, que ocasiona o aparecimento Termodinâmica – Aula 5 83 de uma força cont́ınua, sem flutuações, pressionando as pa- redes do recipiente. Portanto, a pressão que um gás exerce sobre as paredes do recipiente que o contém é devida as incessantes e cont́ınuas colisões das moléculas do gás con- tra as paredes do recipiente. Aplicando as leis da mecânica as colisões das moléculas contra as paredes do recipiente, os f́ısicos do século passado obtiveram uma expressão ma- temática, relacionando a pressão exercida por um gás com as seguintes grandezas: N - número de moléculas do recipiente V - volume do recipiente m - massa de cada molécula v2 - média dos quadrados das velocidades das moléculas A expressão a que chegaram foi a seguinte: p = 1 3 (N/V )mv2 Analisando esta expressão vemos que: • p ∝ N : este resultado é intuitivo pois, quanto maior for o número total de moléculas, maior será o número de colisões contra as paredes e, portanto, maior será a pressão exercida pelo gás; • p ∝ 1/V : de fato, quanto maior for o volume, maior será a distância que uma molécula terá que percor- rer para colidir contra as paredes e, consequentemente, menor será o número de colisões, isto é, menor será a pressão exercida pelo gás; • p ∝ m: este resultado era esperado pois, quanto maior for a massa de um molécula, maior será a sua quan- tidade de movimento (~q = m~v) e assim, maior será a força que ela exerce ao colidir contra a parede do recipiente; • p ∝ v2: realmente, quanto maior for v2, mais rapida- mente as moléculas estarão se movimentando. É fácil perceber que, nestas condições, maior será a força que cada molécula exercerá ao colidir contra a parede e, além disso, maior será o número de colisões. Interpretação Cinética da Temperatura (T ) Como já mencionamos em outra ocasião, a temperatura de um corpo se relaciona com a energia de agitação dos átomos e moléculas deste corpo. Mostraremos agora como os f́ısicos do século passado, ba- seados no modelo cinético de um gás, chegaram a esta con- clusão. A expressão p = Nmv2/3V , que havia sido obtida baseando-se no modelo cinético, pode ser escrita como pV = Nmv2 3 Comparando-a com a equação de estado de um gás ideal, pV = nRT , que havia sido obtida experimentalmente, conclui-se que Nmv2 3 = nRT Mas sendo NA (o número de Avogrado) o número de moléculas que existe em 1 mol e sendo n o número de moles que corresponde a N moléculas, é claro que N = nNA e com este valor de N na igualdade anterior, virá nNAmv2 3 = nRT ou, simplificando e reescrevendo mv2 = 3(R/NA)T e dividindo-se os dois menbros desta igualdade por 2, temos 1 2 mv2 = 3 2 (R/NA)T Observe que o primeiro membro desta expressão representa a energia cinética média das moléculas. Esta energia cinética média será representada por EC . O quociente R/NA que aparece no segundo membro, é constante, pois, como já sabemos, tanto R quanto NA são constantes. Este quociente é muito importante, é representado por kB e é a famosa constante de Boltzmann: kB = 1, 38× 10−23 J/K Desta maneira, chegamos a seguinte expressão: EC = 3 2 kBT que mostra ser a energia cinética média das moléculas de um gás diretamente proporcional a sua temperatura abso- luta, isto é, quanto maior for a energia cinética média das moléculas, maior será a temperatura do gás. Destacamos, então que: a temperatura absoluta, T de um gás está rela- cionada com a energia cinética média de suas moléculas. Em uma amostra, podemos dizer que a única energia exi- tente é a energia de cada part́ıcula, sendo N o número de part́ıculas, a energia mecânica total da amostra é E = NEC . Essa energia mecânica total é por definição a energia in- terna Eint. da amostra. Logo, substituindo essa relação na expressão da energia cinética temos: Eint. = N 3 2 kBT ou, como N = nNA e kB = R/NA, temos Eint. = 3 2 nRT Pense um Pouco! • Quando um gás absorve calor e seu volume é mantido fixo, para onde vai a energia ganha? Explique. • Se um gás num pistão isolado se expande e realiza um trabalho mecânico, o que acontece com sua tempera- tura? Explique. Exerćıcios de Aplicação 1. (ACAFE) Um recipiente contém H2 a 27 ◦C. Podemos afirmar que a energia cinética média de suas moléculas é: a) 2, 2× 10−21 J b) 3, 2× 10−21 J 84 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br c) 6, 2× 10−21 J d) 7, 1× 10−21 J e) n.d.a 2. (Mack-SP) Um tanque possui 2, 0 mol de hélio a 17 ◦C. Adimtindo que nessas condições o hélio se comporta como um gás ideal, a energia mecânica (interna) do sistema é dada por: a) 6, 2× 103 J b) 7, 2× 103 J c) 2, 4× 103 J d) 2, 2× 103 J e) 1, 5× 103 J 3. (UFRN) Uma certa massa gasosa se encontra a uma tem- peratura de 36 ◦C, podemos afirmar que a energia cinética média de suas moléculas é de: a) 6, 4× 10−21 J b) 1, 2× 10−21 J c) 2, 5× 10−21 J d) 4, 3× 10−21 J e) 5, 3× 10−21 J Exerćıcios Complementares 4. (ACAFE) Quando aumentamos a temperatura de um gás é correto afirmar que: a) a velocidade de suas moléculas permanece constante b) a velocidade de suas moléculas aumenta c) a velocidade de suas moléculas diminui d) nada podemos afirmar a respeito da velocidade e) a energia cinética das moléculas diminui 5. (UFCE) Um recipiente A contém 5 mol de H2 a 32 ◦C, e um outro recipiente B possui 6 mol de O2 à mesma tem- peratura. Podemos afirmar que: a) a energia cinética média das moléculas é a mesma nos dois recipientes b) a energia cinética média das moléculas do recipiente A é maior do que as do recipiente B c) a energia cinética média das moléculas do recipiente A é menor do que as do recipiente B d) depende do tamanho dos recipientes e) não é possivel determinar nada a respeito das energias cinéticas das moléculas 6. (UEM-PR) As moléculas de um certo gás possuem uma energia cinética média de 20, 7× 10−23 J , podemos afirmar que a temperatura em ◦C desse gás: a) é 243 b) está acima de 243 c) é 200 d) é zero e) está abaixo de −243 Termodinâmica Aula 5 Modelo Molecular de um Gás As leis que descrevem o comportamento dos gases, foram obtidas experimentalmente. Vamos agora tentar relacionar estas leis com o comportamento das part́ıculas que cons- tituem o gás, isto é, seus átomos ou suas moléculas. Os cientistas intensificaram seus estudos sobre a estrutura mo- lecular dos gases, baseando-se nas seguintes suposições: 1. um gás é constituido de pequenas part́ıculas, átomos ou moléculas; 2. o número de moléculas existentes em uma dada massa gasosa é muito grande; 3. a distância média entre as moléculas é muito maior do que as dimensões de uma molécula; 4. as moléculas de um gás estão em constante movimento, e este movimento é inteitamente ao acaso, isto é as moléculas se movimentam em qualquer direção. Ao estabelecerem estas hipóteses, os cientistas estavam ten- tando descrever o comportamento de um gás através do mo- vimento de suas moléculas, isto é, estavam supondo que as leis dos gases poderiam ser obtidas aplicando-se as leis da Mecânica ao movimento das moléculas, tratando-as como se fossem part́ıculas. Desta maneira, os cientistas estrutu- raram um modelo para descrever o comportamento de um gás. Este modelo é denominado modelo cinético em virtude de se basear no movimento das moléculas do gás. Cálculo Cinético da Pressão (p) Como vimos, no modelo cinético de um gás, o número de moléculas é muito grande e elas estão em constante movi- mento. Em conseqüência disto, as moléculas colidem conti- nuamente contra as paredes do recipiente que contém o gás, exercendo uma pressão nessas paredes. Como o número de colisões é muito grande, não se percebe o efeito do choque de cada part́ıcula. O que se observa é o efeito médio da frequente sucessão de colisões, que ocasiona o aparecimento de uma força cont́ınua, sem flutuações, pressionando as pa- redes do recipiente. Portanto, a pressão que um gás exerce sobre as paredes do recipiente que o contém é devida as incessantes e cont́ınuas colisões das moléculas do gás con- tra as paredes do recipiente. Aplicando as leis da mecânica as colisões das moléculas contra as paredes do recipiente, os f́ısicos do século passado obtiveram uma expressão ma- temática, relacionando a pressão exercida por um gás com as seguintes grandezas: N — número de moléculas do recipiente V — volume do recipiente m — massa de cada molécula v2 — média dos quadrados das velocidades das moléculas A expressão a que chegaram foi a seguinte: p = 1 3 (N/V )mv2 Analisando esta expressão vemos que: • p ∝ N : este resultado é intuitivo pois, quanto maior for o número total de moléculas, maior será o número de colisões contra as paredes e, portanto, maior será a pressão exercida pelo gás; Termodinâmica – Aula 7 87 temos Q = mc∆T Essa equação permite calcular a quantidade de energia na forma de calor, necessária para variar a temperatura de uma determinada massa de qualquer substância, desde que não ocorra nenhuma mudança de estado no processo. Neste caso, quando um corpo absorve (perde) calor e au- menta (diminui) sua temperatura, o calor trocado chama-se de calor senśıvel. Convensão • Quando um sistema absorve calor num processo qual- quer, associamos ao processo um calor Q > 0; • Quando um sistema perde calor num processo qual- quer, associamos ao processo um calor Q < 0; • Quando um sistema não troca calor (não ganha e nem perde) num processo qualquer, associamos ao pro- cesso um calor Q = 0. Esquematicamente: Calor (Q) Sinal Absorvido + Perdido - Trabalho Um sistema pode trocar energia com sua vizinhança na forma de calor ou pela realização de trabalho. Realmente, se há uma diferença de temperatura entre o sistema e a vi- zinhança, uma certa quantidade de calor poderá ser trans- ferida de um para o outro. Além disso, o sistema pode se expandir, vencendo uma pressão e portanto, realizando tra- balho sobre a vizinhança ou, ainda, o sistema poderá ter o volume reduzido, com a realização de um trabalho da vizi- nhança sobre ele. Trabalho realizado numa EXPANSÃO Consideremos como sistema termodinâmico um gás ideal, encerrado em um cilindro provido de um êmbolo (pistão) que pode se deslocar livremente. Suponha que o gás se encontre em um estado inicial i, ocupando um volume Vi. Em virtude da pressão do gás, ele exerce uma força F sobre o pistão que, estando livre, desloca-se de uma distância d. Assim, o gás se expandiu até o estado final f , onde o seu volume é Vf , e realizou um trabalho W . Se a pressão p do gás permanecer constante, o valor da força F também será constante durante a expansão e o trabalho W , realizado pelo gás, pode ser facilmente calculado. De fato, para este caso, temos: W = Fd Mas sendo F = pA, onde A é a área da seção reta do pistão, temos W = pAd Mas observe que Ad é o volume varrido pelo pistão durante a expansão, que é igual a variação do volume do gás, isto é, Ad = Vf − Vi, logo W = p(Vf − Vi) = p∆V Portanto esta expressão nos permite calcular o trabalho que um gás realiza, ao sofrer uma variação de volume a pressão constante. Trabalho realizado numa COMPRESSÃO Numa compressão, o procedimento para o cálculo do tra- balho é o mesmo do caso da expansão, mudando apenas o sinal final do trabalho, já que força que o gás exerce sobre o pistão é no sentido contrário ao seu deslocamento. Como no caso de uma compressão o volume final Vf do gás será menor do que o seu volume inicial Vi, então a variação de volume será negativa e o trabalho pode ser obtido pela mesma fórmula da expansão, de onde obteremos já o sinal correto. Convensão • Quando um gás se expande num processo qualquer, dizemos que o gás realiza um trabalho W > 0; • Quando um gás é comprimido num processo qual- quer, dizemos que o gás realiza um trabalho W < 0; • Quando um gás permanece com volume constante num processo qualquer, dizemos que o trabalho que o gás realiza no processo é nulo, W = 0. Esquematicamente: Trabalho do Gás (W ) Sinal Expansão + Compressão - Unidade SI Sendo uma forma de energia, assim como o calor o traba- lho realizado por um gás é medido em joule ou J no SI. Lembrando: 1 J = 1 N ·m Pense um Pouco! • A unidade de calor estudada, a caloria ou cal, é a mesma registrada nos alimentos? • Qual a relação existente entre a caloria alimentar e o estudo do calor? Exerćıcios de Aplicação 1. (UNIFOR-CE) Um corpo absorveu 500 cal de calor para aumentar sua temperatura de 20 ◦C para 40 ◦C. A capaci- dade térmica desse corpo em cal/◦C é: a) 10 b) 12 c) 20 d) 25 e) 30 88 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br 2. (USF-SP) Uma amostra de 50 g de determinada substância sofre um acréscimo de temperatura de 20 ◦C, quando absorve 200 calorias. O calor espećıfico dessa substância, em cal/g · ◦C, é: a) 1,2 b) 1,0 c) 0,5 d) 0,4 e) 0,2 3. (UEPB) A massa de um corpo é igual a 2 kg. Recebendo 10 kcal, a sua temperatura passa de 40 ◦C para 90 ◦C. O calor espećıfico desse corpo é: a) 0, 1 ◦C b) 0, 2 ◦C c) 0, 3 ◦C d) 0, 4 ◦C e) 0, 5 ◦C Exerćıcios Complementares 4. (ITA) A capacidade térmica de uma caneca de alumı́nio é de 16 cal/◦C. Sabendo-se que o calor espećıfico do alumı́nio é de 0, 2 cal/g · ◦C, pode-se afirmar que a massa dessa ca- neca, em gramas, é: a) 3,2 b) 32 c) 90 d) 160 e) 800 5. (FURG) Uma fonte caloŕıfica fornece calor, com potência constante, para 600 g de água durante 10 min e observa-se a temperatura desta elevar-se em 15 ◦C. Substituindo-se a água por 300 g de outro ĺıquido, verifica-se que a tempera- tura deste se eleva também de 15 ◦C, porém em 2 min. O calor espećıfico do ĺıquido é de : a) 0,1 cal/g · ◦C b) 0,2 cal/g · ◦C c) 0,3 cal/g · ◦C d) 0,4 cal/g · ◦C e) 0,5 cal/g · ◦C 6. (ACAFE) A capacidade térmica de um corpo homogêneo depende: a) só de sua massa b) de sua massa e de seu volume c) só de sua massa e do calor espećıfico do material que o constitui d) de sua massa e de sua temperatura e) só do calor espećıfico do material que o constitui Termodinâmica Aula 8 Primeira Lei da Termodinâmica A primeira lei da Termodinâmica nada mais é que o prinćıpio da Conservação da energia aplicado à termo- dinâmica. O prinćıpio da conservação da energia, em linhas gerais, diz que num sistema isolado a energia total é con- servada, ou seja é constante, e jamais pode ser criada ou destrúıda dentro do sistema, mas apenas transformada de uma forma em outra. Sendo assim, se um sistema recebe energia ele tem de dar conta desta energia, ou se ele cede energia, esta energia tem de ter sáıdo de algum lugar. Por exemplo, admitamos que um sistema receba 100 J de calor. Estes 100 J de energia não podem desaparecer e nem serem destrúıdos no sistema. Eles tem de ir para algum lugar. Admitamos, em conti- nuação, que o sistema realiza 80 J de trabalho. Notamos que o sistema recebeu 100 J e 80 J . Onde estarão os 20 J restantes? Estes joules restantes ficaram dentro do sistema, armaze- nados sob a forma de energia interna. Portanto, a energia interna do sistema aumentou em 20 J . Podemos fazer um esquema desta troca de energia Meio Externo W = +80 JQ = +100 J ∆ int Sistema U = +20 J Sendo: Calor recebido pelo sistema (Q): é energia que entra no sistema e a representamos por uma seta entrando, pois o calor ı́ absorvido Q > 0. Trabalho cedido pelo sistema (W ): é energia que sai do sistema na forma de trabalho e o representamos por uma seta para fora, já que é uma energia perdida pelo sistema (W > 0). Aumento de energia interna (∆Uint): representamos por uma quantidade ∆Uint > 0, quando ela aumenta, ou po uma quantidade ∆Uint < 0, quando ela diminui. Temos: Q = W + ∆Uint Para obtermos esta relação entre Q, W e ∆Uint, basta im- pormos que “a soma das energia entram (sinal posi- tivo) com as energias que saem (sinal negativo) do sistema é igual a variação da energia interna do sis- tema”. Esta é a primeira lei da Termodinâmica. Aplicações da Primeira Lei Vamos aplicar a primeira lei para algums processos termo- dinâmicos particulares. Dizemos que um sistema térmico passa por um processo de equiĺıbrio, ou quase-estático, quando evolui fisicamente de forma lenta, fazendo com as variáveis que o descrevem (p, V , T , Uint, etc) mudem sua- vemente, fazendo o sistema evoluir de forma cont́ıa de um estado inicial i, digamos, para um estado final f . Termodinâmica – Aula 8 89 Transformação Isotérmica (T = cte) Para um processo termodinâmico em que a temperatura não varia, a variação de energia interna do gás é nula. Ou seja, pela primeira lei concluimos que Q = W ou seja, numa transformação isotérmica, o calor trocado pelo gás com o exterior é igual ao trabalho realizado no mesmo processo. Transformação Isobárica (p = cte) No processo isobárico de um gás ideal, o volume V é di- retamente proporcional a temperatura T . Portanto, numa expansão isobárica, o volume e a temperatura aumentam, ocorrendo também aumento da energia interna do gás: ∆Uint > 0 e pela primeira lei concluimos que para uma expansão isobárica Q > W ou seja, numa expansão isobárica, a quantidade de calor recebida é maior que o trabalho realizado. Transformação Isométrica (V = cte) Como não há variação de volume nesse tipo de processo, o trabalho realizado é nulo e, pela primeira lei: ∆Uint = Q ou seja, todo o calor recebido (cedido) pelo sistema faz com que a energia interna do sistema aumente (diminua). Numa transformação isométrica, a variação de energia in- terna do gás é igual a quantidade de calor trocada com o meio exterior. A transformação à volume constante também é chamada de isovolumétrica, isocórica ou i ¯ sométrica. Transformação Adiabática (Q = 0) Um gás sofre uma transformação adiabática quando não troca calor com o meio exterior, ou seja, quando Q = 0 Aplicando a primeira lei temos neste caso ∆Uint = −W Numa transformação adiabática, a variação de energia in- terna é igual em módulo e sinal contrário ao trabalho re- alizado na transformação. Ou seja, se um sistema realiza trabalho adiabaticamente, terá de consumir sua energia in- terna, já que não absorveu calor. Segunda Lei da Termodinâmica A segunda lei da Termodinâmica, a exemplo da primeira, tem diferentes enunciados que se equivalem. O mais co- mum deles decorre da conclusão das aulas anteriores e da aceitação da irreversibilidade das transformações da natu- reza: Nenhuma máquina térmica, operando em ciclos, pode retirar calor de uma fonte e transformá-lo in- tegralmente em trabalho. ou noutra forma mais moderna O calor flui expontaneamente de um corpo mais quente para um corpo mais frio, sempre neste sen- tido. Vamos ver os detalhes desta lei e suas aplicações mais adi- ante. Pense um Pouco! • Ao ser comprimido, um gás ganha ou perde energia interna? • Faça uma analogia da compressão de um gás e de uma mola, observando o trabalho e a energia. • Um moto perpétuo de primeira espécie seria uma máquina que realizasse trabalho indefinidamente, sem utilizar nenhuma fonte de energia. Futuramente será posśıvel a construção de uma tal máquina? Exerćıcios de Aplicação 1. (UNICENTRO-SP) Marque a alternativa que descreve a primeira lei da termodinâmica. a) O aumento de energia interna de um gás é dado pela di- ferença entre o calor recebido e o trabalho realizado. b) O trabalho realizado é dado pela soma do calor recebido com o aumento de energia interna. c) O calor recebido é dado pela diferença entre o trabalho realizado e o aumento de energia interna. d) Se um sistema realiza trabalho, sua energia interna não se altera. e) Se um sistema recebe trabalho, sua energia interna dimi- nui. 2. (FATEC) Haverá trabalho realizado sempre que uma massa gasosa: a) sofrer variação em sua pressão b) sofrer variação em seu volume c) sofrer variação em sua temperatura d) receber calor de fonte externa e) sofrer variação de energia interna 3. (FATEC) Uma fonte térmica cede 100 J de calor a um sistema, ao mesmo tempo em que este realiza um trabalho mecânico de 20 J . Durante esse processo, não ocorrem ou- tras trocas de energia com o meio externo. A variação da energia interna do sistema, medida em joules, é igual a: a) zero b) 20 c) 80