Docsity
Docsity

Prepare-se para as provas
Prepare-se para as provas

Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity


Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos para baixar

Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium


Guias e Dicas
Guias e Dicas

Nildsen, Teses (TCC) de Física

tese fisica

Tipologia: Teses (TCC)

2010

Compartilhado em 28/09/2010

marilton-rafael-1
marilton-rafael-1 🇧🇷

4.5

(6)

140 documentos

1 / 57

Documentos relacionados


Pré-visualização parcial do texto

Baixe Nildsen e outras Teses (TCC) em PDF para Física, somente na Docsity! UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA INSTITUTO DE FÍSICA Gravitação Quântica em Branas-Mundo por Nildsen Fernando L. Silva Tese de Doutorado Braśilia, Novembro de 2007 Agradecimentos Sou grato ao Prof. Dr. Marcos Duarte Maia, pela sua orientação, dedicação e paciência durante o desenvolvimento deste trabalho. Agradeço também ao meu pai Nildsen Rodriguês da Silva e minha mãe Maria Stela Lisbôa da Silva pelo incentivo e apoio nos meus estudos e na vida. E, finalmente, sou grato a minha esposa Luana, minha filha Lúısa, minha sogra Maria, pela compreensão e apoio nos momentos dif́ıceis. ii Sumário 1 Introdução 1 1.1 Razões para uma Teoria Quântica da Gravitação . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Unificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 F́ısica na Escala de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tentativas de Quantização da gravitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Teoria das Branas-Mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Quantização ADM 11 2.1 Formalismo ADM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Branas-Mundo 18 3.1 As Equações de movimento da Brana-mundo . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 As Equações Canônicas do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 Teoria de Muitos Tempos de Dirac-Tomonaga-Schwinger 29 4.1 Formulação de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 Formulação de Tomonaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 Integrabilidade da equação Tomonaga-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . 34 5 Quantização da Brana-mundo 36 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Estados quânticos de Tomonaga-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 v 5.3 Conclusões e Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 A Imersão de Variedades 41 A.1 Imersões Isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 A.2 Equações de Gauss-Codazzi-Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Bibliografia 48 vi Caṕıtulo 1 Introdução A Mecânica Quântica e a Relatividade Geral são duas teorias de sucesso na confrontação com resultados experimentais. Ambas as teorias apresentaram a importância do papel do observador e do processo de medida em uma teoria f́ısica. A Mecânica Quântica revolucionou a f́ısica com a afirmação de que uma part́ıcula em regime quântico não tem uma trajetória definida, experimentalmente comprovado, mas tem limite clássico compat́ıvel com a f́ısica Newtoniana. Por outro lado, é sabido que a trajetória de um corpo submetido a um campo gravitacional é determinada univocamente pelas equações de Einstein através da geometria do espaço-tempo. Portanto a Relatividade Geral é uma teoria eminentemente clássica nos seus métodos de observação. Mas, em prinćıpio não há impedimento formal ao desenvolvimento de uma teoria quântica da gravitação. De fato, existem diversas motivações para uma teoria quântica da gravitação, como veremos a seguir. 1 Caṕıtulo 1. Introdução 4 confirmada definitivamente pelo tabalho de Goroff e Sagnotti [45]. Por outro lado, G. ’t Hooft mostrou que todas as demais interações fundamentais são perturbativamente quantizáveis (isto é, Yang-Mills é uma teoria renormalizável). Entretanto, A. Asthekar argumentou, com base em exemplos que apesar da gravitação não ser perturbativamente quantizável, ela poderia ser canonicamente quantizável [14]. A seguir faremos um breve relato das principais tentativas de quantização canônica da gravitação. a) Quantização de Dirac Uma formulação canônica ou Hamiltoniana para gravitação é um passo importante para o sucesso de qualquer teoria f́ısica de campo, já que ela permite, em prinćıpio, caracterizar a energia do campo. Para isso, torna-se necessário definir um parâmetro de evolução que tradicionalmente é tomado como sendo o tempo. Como a gravitação deforma o espaço-tempo, a separação do espaço-tempo em espaço (hipersuperf́ıcie tridi- mensional) e tempo, onde o a hipersuperf́ıcie seria o elemento a evoluir e o tempo o parâmetro de evolução, parecia ser a solução mais natural. No final dos anos 50, Dirac [1] propôs um esquema de quantização do campo grav- itacional através da deformação de uma hipersuperf́ıcie do tipo espacial tridimensional na direção temporal, ou seja, usando um sistema de coordenadas preferencial. Dirac precisou restringir a perturbação da hipersuperf́ıcie tridimensional na direção temporal e fixar o sistema de coordenadas da hipersuperf́ıcie para que o processo de quantização pudesse ser resolvido, no entanto, esta restrição tira o caráter difeomórfico do processo de quantização, o que contraria um dos prinćıpios da teoria da relatividade geral. Apesar de Dirac ter obtido corretamente a Hamiltoniana não nula, a quebra da co- variância generalizada foi suficiente para que o processo fosse rejeitado. b) Quantização ADM Caṕıtulo 1. Introdução 5 Em 1961, Arnowitt, Deser e Misner (ADM) [4] seguindo essencialmente a mesma idéia de Dirac da separação do espaço-tempo em hipersuperf́ıcies tridimensionais evoluindo no espaço-tempo, procurando restaurar o difeomorfismo formularam a versão Hamilto- niana da Relatividade Geral, postulando que a evolução da hipersuperf́ıcie se processa ao longo de uma direção arbitrária, mantendo a covariância da teoria. Um primeiro problema que surgiu foi o anulamento da Hamiltoniana clássica. É importante notar que Misner, no trabalho extraido de sua tese, entitulado Feynman Quantization of General Relativity [5] (onde o propagador de Feynman para uma hipersuperf́ıcie tridimensional foi estudado) de 1957, já havia chegado a conclusão que o operador hamiltoniano asso- ciado a uma equação do tipo Schrödinger para a gravitação deveria ser nulo para que o difeomorfismo entre as hipersuperf́ıcies tridimensionais fosse mantido. A Hamiltoniana nula não é realmente um impedimento, pois o própio Dirac já havia desenvolvido um procedimento alternativo, conhecido como quantização de sistemas vinculados, no qual seria suficiente o cálculo dos parênteses de Poisson e sua propagação. Posteriormente constatou-se que os parênteses de Poisson não são covariantes no caso da gravitação (este problema ficou conhecido como o problema do tempo). Portanto, o procedimento ADM não produzia os resultados desejados. Convém salientar que tanto no caso de Dirac quanto no ADM, a visão quântica da gravitação era a de uma variedade diferenciável 3-dimensional que apresentava modos quânticos de oscilação dentro do espaço-tempo. c) Cosmologia Quântica A cosmologia quântica desenvolveu-se principalmente, devido aos trabalhos de Hartle - Hawking(1983) [46] e Vilenkin (1988) [47], que tratavam da possibilidade de construir uma teoria qûantica nos moldes da teoria de Hamilton-Jacobi, aplicada a gravitação Eu- clidiana, onde se estuda a propagação de uma hipersuperf́ıcie. A equação correspondente foi desenvolvida por J. Wheeler e B. S. de Witt. Caṕıtulo 1. Introdução 6 A caracteŕıstica principal da cosmologia quântica é a sua independência do tempo. Assim ela não teria ińıcio nem fim. A recuperação do tempo clássico se tornaria o maior problema desta teoria. d) Gravitação Semi-Clássica Foi uma teoria desenvolvida durante a decáda de 70, principalmente, por L. Parker [48], S. A. Fulling, P. C. W. Daves e W. G. Unruh [43]. Com base na equação de Einstein cuja fonte é o valor esperado de um campo quântico Rαβ − 1 2 Rgαβ = 8πG 〈ψ |Tαβ|ψ〉 . (1.1) Uma aplicação importante dessa equação foi a descoberta de Hawking da radiação quântica de um buraco negro [35], bem como o teorema de perda de informação quântica em bu- racos negros. e) Supercordas Apesar de não ser uma teoria consolidada, a teoria de cordas é freqüêntemente citada como a única teoria viável da gravitação quântica. A teoria de cordas surgiu a partir do trabalho de Veneziano, apresentado para resolver a questão do confinamento de quarks (ressonância dual) [21]. Segundo Veneziano o confinamento se devia de uma força forte entre dois quarks, unidos pela linha de força, que poderia ser vista como uma corda. Y. Nambu (1970) [22] propôs que a corda seria o objeto fundamental e os quarks apenas seriam as condições de contorno para a corda. Segundo Nambu, a corda deveria mover-se no espaço-tempo através da ação que descreve uma superf́ıcie mı́nima de duas dimensões (a folha mundo) dada por S = −T ∫ dσdτ √ (ẊX)2 − Ẋ2X ′2. Onde X é um vetor posição da corda em um espaço de fundo, que é em prinćıpio um Caṕıtulo 1. Introdução 9 1.3 Teoria das Branas-Mundo Em 1998 surgiu uma nova teoria multidimensional derivada da teoria M e da teoria de Kaluza-Klein motivada pelo problema da hierarquia das interações fundamentais. Esta teoria se chamou de teoria de Branas-mundo. O argumento básico é que não existe evidência experimental deste desńıvel energético entre os domı́nios das interações, por- tanto parece plauśıvel a hipótese de que a gravitação pode ser também efetiva à 103GeV (e não somente em 1018GeV ). A teoria das branas-mundo originalmente proposta por N. Arkani-Hamed, G. Dvali e S. Dimopolos [10], influenciada pela teoria de Horava-Witten [12], onde o espaço- tempo 4-dimensional é uma subvariedade imersa no AdS5, no qual estariam confinan- das as interações de calibre. Entretanto, na brana-mundo, o AdS5 foi substituido por uma variedade Riemanniana VD, a qual seria também uma solução da equação de Ein- stein. Portanto, enquanto a gravitação é multidimensional, as interações de calibre são 4-dimensionais. Assim, a gravitação clássica 4-dimensional seria a geometria da folha- mundo gerada pelo movimento de uma 3-brana no espaço de imersão. O problema da hierarquia era resolvido através da proposta de uma nova escala fundamental de energia efetiva MPl(4+n), na ordem de Tev, a mesma da escala eletrofraca. Considerando apenas os prinćıpios fundamentais das branas, como originalmente proposto por N. Arkani-Hamed, G. Dvali e S. Dimopolos, é posśıvel descrever a teoria das branas de modo consistente, podendo ser verificada experimentalmente em futuro próximo. Esses prinćıpios fundamentais são: a) O espaço de imersão (o bulk) é uma solução das equações de Einstein; b) A brana-mundo é uma variedade 4-dimensional imersa em um espaço D-dimensional; c) As interações de calibre e a matéria ordinária permanecem confinadas à brana- mundo de quatro dimensões. Mostraremos adiante que estas três condições, aliadas aos teoremas mais gerais de imersão de variedades diferenciais permitem descrever as equações dinâmicas das branas, Caṕıtulo 1. Introdução 10 inclusive em sua formulação canônica, com hamiltoniano não nulo. Caṕıtulo 2 Quantização ADM O procedimento de quantização canônica da relatividade geral requer que a teoria seja colocada na forma canônica, e uma das formas de se conseguir isso é através da decom- posição (3 + 1) do espaço-tempo, ou seja, um folheamento do espaço-tempo em hipersu- perf́ıcies tridimensionais ao longo de uma direção arbitrária. 2.1 Formalismo ADM O procedimento de R. Arnowitt, S. Deser e C. Misner [4] (ADM) apresentado em 1962 é o modelo básico da quantização de uma variedade 3-dimensional imersa em um espaço- tempo quadridimensional. Este procedimento pode ser generalizado para qualquer var- iedade de dimensão n imersa em um espaço de dimensão D . A peculiaridade que se destaca no caso da imersão de uma variedade 3-dimensional em um espaço-tempo quadridimensional que é solução das equações de Einstein, deve-se aos demais postula- dos da relatividade geral, principalmente o da covariância generalizada. O formalismo ADM fornece uma formulação canônica da relatividade geral através da consideração de uma variedade espaço-temporalM , equipada com a métrica Gµν , folheada 11 Caṕıtulo 2. Quantização ADM 14 Figura 2.1: Curvatura extŕınsica de uma hipersuperf́ıcie hipersuperf́ıcie no espaço-tempo, relaciona o tensor de curvatura do espaço-tempo com o tensor de curvatura da hipersuperf́ıcie definida na base { Zµ,i , ην } ; e tem a seguinte forma RµνγρZµ,iZν,jZ γ ,kZ ρ ,l = Rijkl + kikkjl − kilkjk. (2.13) Contraindo a equação de Gauss (2.13) e usando a relação (2.6) calcula-se o tensor escalar de Ricci do espaço-tempo R = R− (K2 − h2)− 2Rµνηµην +Rµνγρηµηνηγηρ︸ ︷︷ ︸ 0 , (2.14) onde R é o escalar de curvatura do espaço-tempo e onde K2 = −kijkij, h = gijkij. O tensor de Ricci Rµν do espaço-tempo nos dá Rµνηµην = − ( K2 + ∂h ∂t ) , (2.15) eliminando o termo de divergência ∂h/∂t a ação de Einstein-Hilbert se decompõe como S[gij,N,Ni ] = ∫ ∫ Σt √ G [ R + (K2 + h2) ] d3xdt, (2.16) Caṕıtulo 2. Quantização ADM 15 e os momentos canônicos conjugados às váriaveis dinâmicas gij, N , e Ni calculados a partir da densidade Lagrangeana L = √ G [ R + (K2 + h2) ] (2.17) são: pij = ∂L( ∂gij ∂t ) = −2 ∂L ∂kij = −(kij + hgij) √ G (2.18) Π = ∂L( ∂N ∂t ) = 0 (2.19) Πi = ∂L( ∂gi0 ∂t ) = ∂L( ∂Ni ∂t ) = 0. (2.20) Para uma densidade qualquerW(Zµ(t, xi)), a variação dW no sistema de coordenadas Zµ é dada por dW = dW dZµ dZµ, (2.21) usando a regra da cadeia dW dt = dW dZ0 dZ0 dt + dW dZ i dZ i dt (2.22) obtemos dW dt = dW dZ0 N + dW dZ i N i, (2.23) identificando dW dZ0 = W0 e dW dZi = Wi , podemos escrever dW dt = W0N +WiN i, (2.24) integrando em uma região Ω de Σt dW dt = ∫ Ω [ W0N +WiN i ] d3x. (2.25) Caṕıtulo 2. Quantização ADM 16 Em particular a densidade hamiltoniana também pode ser expressa nessa forma. Usando a transformada de Legendre H = pµν dGµν dt − L (2.26) e as equações (2.17), (2.24); então H = pµν [ Gµν,0N + Gµν,iN i ] − √ G [ R + (K2 + h2) ] , (2.27) onde denotamos Gµν,α = dGµν dZα , (2.28) e lembrando que √ −G = √gN , encontramos H = { pµνGµν,0 − √ G [ R + (K2 + h2) ]√ g } N + pµνGµν,iN i. (2.29) Finalmente, H = H0N +HiN i, (2.30) com H0 = pµνGµν,0 − √ G [ R + (K2 + h2) ]√ g (2.31) Hi = pµνGµν,i. (2.32) A partir da transformada de Legendre e da equação de Euler-Lagrange, chega-se no importante resultado ∂ ∂t ( ∂L ∂Ṅ ) = ∂L ∂N ⇒ ∂ (p ijgij −H) ∂N = 0 ⇒ H0 = 0 (2.33) ∂ ∂t ( ∂L ∂Ṅ i ) = ∂L ∂N i ⇒ ∂ (p ijgij −H) ∂N i = 0 ⇒ Hi = 0. (2.34) Portanto resulta de (2.30) que H = H0N +HiN i = 0, (2.35) significando que o sistema possui v́ınculo Hamiltoniano. Caṕıtulo 3. Branas-Mundo 19 imersão que é descrita pelas equações de movimento da brana-mundo. Uma dificuldade associada com essa dinâmica (em uma dimensão extra apenas) das hipersuperf́ıcies brana- mundos em um bulk de curvatura constante é devido a um resultado geral em geometria, mostrando que nesse caso, se um hipersuperf́ıcie tiver mais de dois raios de curvatura finitos `i, então ela se torna indeformável [33]. Isto significa que há um determinado grau de rigidez associado com as perturbações, impedindo a geração de umas configurações mais complicadas da geometria de imersão. Por outro lado, existem uns bons argumentos que indicam que a imersão não deve ser anaĺıtica. De fato, a condição de analiticidade (no sentido que as funções de imersão são representadas pela convergência da série de potências positiva) é uma exigência muito forte para descrever um campo de altas energias tal como o gráviton, cujas as propriedades ainda não conhecidas podem ser obscurecidas pela exigência da analitici- dade [44]. Entretanto, muito dos teoremas de imersão que, no passado, empregavam funções anaĺıticas são agora resolvidos pelo teorema de imersão diferenciável de Nash [23]. Conseqüentemente, a maioria de nossos argumentos serão baseados em imersões diferenciáveis. Uma propriedade interessante do procedimento usado por Nash ao tratar do problema de imersão, é a noção de perturbação de uma subvariedade arbitrária imersa . Desta forma pode-se gerar qualquer subvariedade imersa deformando ou perturbando a subvariedade dada ao longo das dimensões extra. Mas a importância real deste procedimento é a sua interpretação f́ısica. O método perturbativo é similar a formulação canônica de Dirac do campo gravitacional para um sistema especial de coordenadas Denote por ḡαβ a métrica de uma variedade 4-dimensional arbitrariamente dada V̄4 (a brana-mundo antes da perturbação) e por GAB a métrica do bulk VD. A imersão local isométrica de V̄4 é dado por uma aplicação X : V̄4 → VD, com componentes X̄A, D = 4 +N satisfazendo as equações de imersão discutidas no apêndice A[1] 1Usa-se a seguinte notação: Os ı́ndices em latin maiúsculos referem-se ao bulk, com GAB . Os ı́ndices Caṕıtulo 3. Branas-Mundo 20 XA,µXB,ν GAB = ḡµν , XA,µ η̄Bb GAB = 0, η̄Aa η̄Bb GAB = ḡab (3.1) onde as componentes com uma barra em cima referem-se à V̄4. Aqui η̄ A a são as compo- nentes dosN vetores independentes normais a V̄4. Considere em seguida um deslocamento de uma coordenada local de imersão X̄ ao longo de cada sentido normal η̄Aa . É importante dizer que a perturbação de Nash é feita ao longo das normais, inde- pendentemente em cada direção normal. A razão dessa limitação é desconhecida e dá margem à uma posśıvel generalização daquele teorema. De fato, na sua apresentação original do teorema, Nash denota os termos geométricos perturbados com relação à um único parâmetro por ẋ, referindo-se à variação de x ao longo de qualquer normal, sem distinção. Aqui colocaremos a questão de forma mais geral, com a perturbação de uma geometria descrita por coordenadas de imersão XA, ao longo de uma direção normal ηa pelo deslocamento local de XA produzido pelo grupo de difeomorfismo com um parâmetro ya. Dito de outra forma, pela sua derivada de Lie [41] ya£ηaXA = ya [ ηa,XA ] . (3.2) Portanto, obtemos uma nova variável de imersão dada por ZA = XA + ya£ηaXA, (3.3) o que permite uma descrição do teorema de Nash em uma base formal mais geral e que permite a mencionada generalização. Um detalhe interessante a ser analisado é: Como temos N normais independentes ηa, com componentes ηAa em uma base arbitrária do espaço de imersão, qual o comportamento da perturbação ao longo de ηa em relação à ηb? Como dissemos, o teorema de Nash não trata desse assunto, embora admita existência de várias normais. Isto significa que na em latin minúsculos referem-se às dimensões extra e todos os ı́ndices gregos referem-se à brana. O R denota sempre curvaturas do bulk, como em RABCD. Por generalidade será denotado G = |det(GAB)| Caṕıtulo 3. Branas-Mundo 21 sua forma original a variação de uma normal ηa na direção de outra normal ηb é ignorada £ηaηb = 0 (3.4) e portanto cada direção normal é tratada independentemente da outra. Uma condição mais geral para o teorema seria que £ηaηb = [ηa, ηb] 6= 0. (3.5) Nesse caso é posśıvel expressar este comutador em termos da álgebra de Lie do grupo de rotações dessas normais. Usando a métrica gab do espaço normal é posśıvel descrever este comutador na base de Killing da álgebra de Lie, o que seria proporcional às constantes de estrutura f cabη̄c do grupo de rotações das normais. £η̄a η̄b = [η̄a η̄b] = f c abη̄c, (3.6) onde f cab seriam as constantes de estrutura da álgebra de Lie do grupo de rotação dos diferentes η̄a. Aqui tomaremos cada direção separadamente, ou seja ZA = XA + (ya£ηaX )A, ηAa = η̄Aa + (ya£ηa η̄a)A = η̄Aa ; (3.7) onde ya denota as coordenadas extras ao longo de η̄a. O resultado pode ser uma outra subvariedade imersa no mesmo bulk. A existência, unicidade e a natureza desta imersão dependem do requerimento que se faz sobre ela. Portanto, considerando a situação mais geral onde as funções de imersão são funções diferenciáveis, a imersão pode ser obtida pelo procedimento de perturbação descrito acima. Além de serem diferenciáveis, a única exigência adicional feita por Nash é que as funções de imersão sejam também regulares de modo que localmente a imersão seja inverśıvel. Com isso, os vetores { ZA,µ, ηAa } definem um sistema de referência gaussiano do bulk sobre a brana-mundo. As equações de imersão similares ao (3.1) (mas agora dependente em ya) são: Caṕıtulo 3. Branas-Mundo 24 As equações de movimento da brana-mundo são derivadas exclusivamente da única ação presente, ou seja, da equação de Einstein (3.19). Assim, da contração das equações de Gauss com gµν e usando (3.9), obtêm-se o tensor de Ricci da brana-mundo Rµν = g cd(gαβkµαckνβd − hckµνd) +RABZA,µZB,ν − gabRABCDηAa ZB,µZC,νηDb (3.20) onde denotamos K2 = gabkµνakµνb, ha = g µνkµνa and h 2 = gabhahb. Uma outra contração desta, resulta no escalar de Ricci R = (K2 − h2) +R− 2gabRABηAa ηBb + gadgbcRABCDηAa ηBb ηCc ηDd (3.21) Pode-se agora escrever a ação de Einstein-Hilbert para a geometria do bulk em D- dimensões nos termos da geometria de imersão. Para completar a dinâmica, inclui-se também a Lagrangiana fonte do bulk L∗ no lado direito∫ R √ GdDv ≡ ∫ [ R− (K2 − h2) ]√ GdDv +∫ [ 2gabRABηAa ηBb−gadgbcRABCDηAa ηBb ηCc ηDd ]√ GdDv = α∗ ∫ L∗ √ GdDv (3.22) onde denota-se por α∗ a escala fundamental D-dimensional da energia. Para obter as equações de movimento da brana-mundo, utiliza-se as variações de (3.22) com respeito as váriaveis dinâmicas gµν , gµa e gab, notando que L∗ depende destas variáveis através das variáveis de imersão ZA,µ. Um caminho mais simples consiste em calcular as componentes do tensor de Einstein para a brana-mundo diretamente de (3.19) no sistema de referência da imersão. Denotando as componentes do tensor energia- momento nesse referencial, obtemos T ∗µν =T ∗ ABZA,µZB,ν , T ∗µa =T ∗ABZA,µηBa e T ∗ab =T ∗ABηAa ηBb Caṕıtulo 3. Branas-Mundo 25 O confinamento das interações de calibre é conseqüência da teoria de Yang-Mills, que tem dualidade das formas diferenciais consistente apenas em quatro dimensões. Assim as únicas componentes do tensor energia-momentum T ∗AB não nulas são T ∗ µν , ou seja, T ∗µa = 0, T ∗ ab = 0 (3.23) e onde assumimos a definição de α∗T ∗ µν α∗T ∗ µν = 8πGTµν . (3.24) Denotando Qµν = g abkρµakρνb − gabhakµνb− 1 2 (K2 − h2)gµν (3.25) Wµν = g adRABCDηAa ZB,µZC,νηDd Wµa = g mnRABCDηAa ηBmZC,µηDn Usando (3.19), (3.20), (3.21) e o confinamento das interações de calibre, obtêm-se a equação gravi-tensor Rµν − 1 2 Rgµν −Qµν −Wµν − gabRABηAa ηBb = α∗T ∗µν = 8πGTµν , (3.26) do traço da equação de Codazzi (3.17) obtêm-se a equação gravi-vector kρµa;ρ−ha,µ+Aρcakρ cµ −Aµcahc+ 2Wµa = 2α∗(− 1 N + 2 T ∗gµa) (3.27) e finalmente, contraindo (3.19) com ηAa η B b obtemos a equação gravi-scalar Sab − Sgab − 1 2 [ R−K2 + h2 ] gab = 0, (3.28) onde Sab = g abRABηAa ηBb é as vezes chamado termo de Hawking-Gibbons, cujo traço é S = gabSab. Estas equações representam as equações covariantes do movimento da brana-mundo, resultante das equações de Einstein do bulk, e das equações de imersão. Como descrevemos a imersão da brana-mundo pelo processo perturbativo de Nash, e as equações (3.26)-(3.28) foram deduzidas das condições de integrabilidade da imersão, Caṕıtulo 3. Branas-Mundo 26 conclúımos que aquela imersão resulta do processo dinâmico descrito por (3.26)-(3.28), desde que o espaço de imersão seja definido pela ação de Einstein-Hilbert. Isto é um resultado importante porque ele atribui o processo de formação de objetos geométricos (superf́ıcies, área, volume e etc.) à dinâmica de Einstein-Hilbert. Isto é, Nash descreve a formação de objetos geométricos através da deformação (perturbação) de estruturas mais simples, mas ele não diz como isso se processa. Aqui estamos propondo, pelo exemplo da ação de Einstein-Hilbert, a necessidade de uma ação f́ısica para que isso ocorra. 3.2 As Equações Canônicas do Movimento Uma distinção fundamental entre a dinâmica das brana-mundos e a dinâmica da rela- tividade geral gravitacional já foi comentada: O confinamento das interações do calibre e o acesso exclusivo dos grávitons às dimensões extra implica que a invariância do difeo- morfismo com respeito às variáveis extra é quebrada. Certamente, se esta simetria fosse mantida, então por uma simples transformação das coordenadas no bulk poderia tornar os campos do calibre não confinados, e a solução pretendida do problema da hierarquia não seria posśıvel, ao menos do ponto da vista da distinção qualitativa de Misner. Nesta seção mostra-se que isto implica no fato relevante que as equações (3.26)-(3.28) são equiv- alentes a um conjunto de equações canônicas relativo a uma famı́lia das brana-mundos, cujo o espaço de fase é definido com respeito às dimensões extra. O procedimento é derivado da construção de Tomonaga-Schwinger [19, 20] do for- malismo de muitos tempos de Dirac, onde a famı́lia de hipersuperf́ıcies de três dimensões em M4 cede lugar à uma famı́lia de brana-mundo 4-dimensionais no bulk, caracterizada pelos valores das coordenadas extras ya. O momento conjugado a GAB, relativo à dimensão extra ya é definido por pAB(a) = ∂L ∂ ( ∂GAB ∂ya ) Caṕıtulo 4 Teoria de Muitos Tempos de Dirac-Tomonaga-Schwinger No final dos anos quarenta Tomonaga e Schwinger trabalharam no desenvolvimento de uma Teoria Quântica de Campos, seus métodos basearam-se no formalismo de muitos tempos de Dirac [3], no qual um conjunto de N elétrons era associado a N equações do tipo Schöredinger definidas para N tempos próprios. O limite cont́ınuo do conjunto destas equações foi formulado por Tomonaga [19] para um campo relativ́ıstico definido numa hipersuperf́ıcie σ espacial tridimensional, com um tempo definido para cada ponto desta hipersuperf́ıcie. Esta extensão geométrica do formalismo de muitos tempos de Dirac era equivalente a representação de interação da Mecânica Quântica desenvolvida por Schwinger [20]. O conteúdo das seções seguintes segue basicamente o livro texto de K. Nishijima [34]. 4.1 Formulação de Dirac Dirac tentou construir uma equação de Schrödinger para um conjunto de elétrons inter- agindo com um campo eletromagnético. Para isso, ele considerou que todos os elétrons es- tariam atrelados a um único tempo, ou seja, paraN elétrons teria-se t1 = t2 = ... = tN = t 29 Caṕıtulo 4. Teoria de Muitos Tempos de Dirac-Tomonaga-Schwinger 30 e portanto uma equação de Schrödinger para um único tempo poderia ser constrúıda, com um Hamiltoniano Hem descrevendo o campo eletromagnético e com potencial A(xj) para o campo eletromagnético. Tal equação tem a seguinte forma i~ ∂ψ(t) ∂t = [ Hem + N∑ j=1 Hj (xj, pj, A(xj)) ] ψ(t) , (4.1) usando a transformação unitária U(t) = exp(itHem/~) (4.2) pode-se transformar o potencial A(xj) em um potencial na representação de Heisenberg A(xj, t) através de A(xj, t) = U(t)A(xj)U(t) −1 . (4.3) Agora redefina a função de onda ψ(t) por φ(t) = U(t)ψ(t), (4.4) e o Hamiltoniano do campo eletromagnetico Hem é absorvido em φ(t) e A(xj, t) através de U(t) , o que permite escrever a equação i~ ∂φ(t) ∂t = ( N∑ j=1 Hj(xj, pj, A(xj, t)) ) φ(t) . (4.5) Nesse ponto, podemos considerar os múltiplos tempos, definindo uma nova função de onda φ(x1, t1;x2, t2; ...;xN , tN), por i~ ∂φ(x1, t1;x2, t2; ...;xN , tN) ∂tj = ( N∑ j=1 Hj(xj, pj, A(xj, t)) ) φ(x1, t1;x2, t2; ...;xN , tN) (j = 1, 2, .., N), (4.6) temos N equações de onda, as quais devem ser compat́ıveis, e para isso é exigido que Caṕıtulo 4. Teoria de Muitos Tempos de Dirac-Tomonaga-Schwinger 31 ∂2 ∂tj∂tk φ = ∂2 ∂tk∂tj φ (4.7) o que implica nas seguintes condições (HjHk −HkHj)φ(x1, t1;x2, t2; ...;xN , tN) = 0 com j, k = 1..N . (4.8) Estas condições são chamadas de condições de integrabilidade, e o único termo que pode- ria contribuir para o não anulamento do comutador [Hj, Hk] é o termo contendo o potencial A(xj, t), e portanto deve-se ter [A(xj, tj), A(xk, tk)] = 0 com j, k = 1..N . (4.9) Como os valores esperados dos potenciais A(xj, tj) e A(xk, tk) devem ser resultados de medidas, então, para que uma medida feita em A(xj, tj) não afete uma medida feita em A(xk, tk) é necessário que distância entre os pontos de coordenadas (xj, tj) e (xk, tk) seja do tipo espacial, ou seja, (xj − xk)2 − (tj − tk)2 > 0 . (4.10) Isto é, as part́ıculas estão distribúıdas em uma superf́ıcie espacial Σ. A extensão do cenário de muitas part́ıculas para uma teoria de campos pode ser feita através da substituição da distribuição cont́ınua de part́ıculas com suas respectivas posições espaço-temporais, por uma hipersuperf́ıcie tridimensional espacial, onde cada ponto tem o seu tempo própio atrelado. Tal extensão, como será visto a seguir, é uma teoria de muitos tempos para campos. 4.2 Formulação de Tomonaga Em 1943[1] , Tomonaga apresentou uma versão para campos da teoria de muitos tempos de Dirac. Por não mais se tratar de part́ıculas, mas sim de campos, o Hamiltoniano do 1Este trabalho foi apresentado na ĺıngua japonesa. Somente em 1946 foi publicado em inglês Caṕıtulo 4. Teoria de Muitos Tempos de Dirac-Tomonaga-Schwinger 34 4.3 Integrabilidade da equação Tomonaga-Schwinger Como vimos a principal dificuldade na equação (4.22) é que ela não é facilmente in- tegrável. No caso particular onde [ Ĥσ, Ĥσ′ ] = 0, a equação pode ser integrada, mas para isso é necessário que σ e σ ′ sejam planas. No caso geral onde σ e σ ′ não são planas, a solução de (4.22) pode ser determinada, como uma solução aproximada, depois da aplicação do formalismo de Yang-Feldmann e da expressão de Dyson para a matriz S Nishijima [34]. A dificuldade em resolver (4.22) está no fato de que a operação de limite feita em (4.21) não foi previamente definida. De fato, a proximidade de σ e σ ′ não foi dada previamente, e isto só é conseguido depois que se resolve a equação quântica (4.22) através de algum método quântico de aproximação (Feynman, por exemplo). Entretanto nos trabalhos de Tomonaga e Schwinger não há uma definição de limite de proximidade entre duas hipersuperf́ıcies. Não é demais lembrar que em qualquer processo de análise matemática no sentido tradicional, a operação de limite requer uma noção preliminar de topologia. O método perturbativo de Nash usa a perturbação de uma hipersuperf́ıcie em relação a coordenada extra. Portanto podemos usar a perturbação de Nash para definir a prox- imidade das hipersuperf́ıcies, permitindo definir a integração da equação de Tomonaga- Shcwinger, sem a necessidade de soluções aproximadas a posteriori. Na aplicação da equação de Tomonaga-Schwinger (4.22) para a brana-mundo, a operação de limite entre duas branas-mundo quadridimensionais σ4 e σ ′ 4 é definida clara- mente pela variação clássica de uma subvariedade inicial σ4, de acordo com a perturbação de Nash para imersão. Ou seja, o elemento de volume em (4.21) é specificado pelo parâmetro δya da geometria perturbada, que mede a separação entre as duas subvar- iedades. Na prática, o volume ∆V entre σ4 e σ ′ 4 é o produto do volume ∆v de uma região pequena e compacta em σ4, pela variação ∆y a da coordenada extra. Como ∆v é arbitrário, é suficiente especificar somente o limite ∆ya → 0 para calcular a derivada Caṕıtulo 4. Teoria de Muitos Tempos de Dirac-Tomonaga-Schwinger 35 funcional (4.21), que passa a ser apenas a derivada comum com relação a ya δφ δσ ⌋ ya = lim ∆ya→0 φ(σ ′ )− φ(σ) ∆ya = ∂φ ∂ya . (4.26) Entendemos que uma dificuldade maior da teoria quântica de campos pode ser sanada se implementarmos, ainda no domı́nio clássico, a medida da separação entre duas folhas quaisquer de uma foliação do Bulk. A seguir aplicaremos esse resultado para a quan- tização da Brana-Mundo pela equação de Tomonaga-Schwinger. Caṕıtulo 5 Quantização da Brana-mundo 5.1 Introdução Depois de analisar perturbativamente a gravitação quântica, por diversos meios, Misner chegou na interessante conclusão que uma teoria efetiva da gravitação quântica deve ser qualitativamente diferente das teorias de calibre [5]. Como dito em sua frase: ”If gravity is to occupy a significant place in modern physics, it can do so only by being qualitatively different from other fields. As soon as we assume that gravity behaves qualitatively like other fields, we find that it is quantitatively insignificant.” Admitindo a significância quantitativa em termos de ńıveis de energia, a conclusão de Misner sugere que o problema da quantização do campo gravitacional pode ser re- solvido concomitantemente com o problema da hierarquia das interações fundamentais. A gravitação pode ter o mesmo ńıvel de energia (TeV ) das demais interações fundamen- tais, mas ela terá comportamento qualitativamente diferente. Ou seja, ela não será uma teoria de calibre, como muitos pensam atualmente. A gravitação descrita pela brana-mundo é motivada pelo problema da hierarquia das interações fundamentais. No artigo de N. Arkani-Hamed, G. Dvali e S. Dimopolous é 36 Caṕıtulo 5. Quantização da Brana-mundo 39 e quântica da brana-mundo em D-dimensões. O prinćıpio fundamental foi o uso do teo- rema de Nash para tornar posśıvel a geração de qualquer subvariedade imersa a partir de uma seqüência cont́ınua de perturbações infinitesimais em uma subvariedade imersa inicial ao longo das dimensões extras aplicado ao formalismo ADM. Usando perturbações clássicas imersas, e os prinćıpios básicos da teoria de branas-mundo construimos uma es- trutura canônica semelhante a formulação canônica ADM, com a diferença que o Hamil- toniano não se anula. A quantização da brana-mundo foi descrita através da equação de Tomonaga-Schwinger definida para subvariedades brana-mundo, calculada para cada dimensão extra. Como re- sultado de uma teoria de perturbação clássica, a equação de Tomonaga-Schwinger torna- se integrável. A definição de derivada funcional foi implementada, com respeito a uma teoria de campo quadridimensional, através de um método perturbativo bem definido na estrutura da brana-mundo. Esse é um resultado importante do trabalho, mas ele necessita ser aplicado, como nos ı́tens a seguir. 1) A gravitação da brana-mundo prediz a geração de mini buracos negros de vida curta em laboratórios na escala Tev de energia, resultantes da colisão próton-proton [38]. Contudo, usando gravitação quântica semi-clássica, sabe-se que a unitariedade quântica não necessáriamente é válida durante a evaporação de buracos negros. De outra forma, usando integrais de caminho euclidiana, pode-se mostrar que a unitariedade é restaurada com a adição da correspondencia ADS/CFT no âmbito da teoria de cordas em AdS5×S5 [37]. Desde que a geração de mini buracos negros na escala TeV é posśıvel somente no contexto de branas-mundo, o processo perturbativo se inicia um espaço-tempo de Minkowski onde o experimento, uma colisão próton-próton, é realizado e onde os prótons são definidos. Depois dessa colisão o espaço-tempo se deforma, originando um buraco ne- gro de Schwarzschild ou de Reissner-Nordstrom. Finalmente, depois de um peŕıodo curto de evaporação, o espaço-tempo deve voltar a forma de Minkowski, ou um outro espaço- Caṕıtulo 5. Quantização da Brana-mundo 40 tempo, porém deixando uma subvariedade remanescente. A descrição destes processos pode começar com perturbações clássicas em concordância com o teorema de imersão de Nash, mas a unitariedade deve ser resolvida no ńıvel quântico. A unitariedade quântica implicitamente assumida na equação de Tomonaga-Schwinger deve ser consistente com o teorema de evaporação de buracos negros. 2) A descrição acima da teoria quântica de brana-mundo é baseada quase que inteira- mente na teoria geral de subvariedades diferenciáveis. Isto sugere uma teoria quântica de subvariedades quadridimensionais. Esta teoria quântica começaria com perrturbações clássicas de geometrias imersas, mas no fim teria-se uma versão quãntica do teorema de imersão de Nash, incluindo as flutuações da imersão como descritas pela equação de Tomonaga-Schwinger. Esta teoria poderia ser particularmente interessante quando o bulk tivesse dimensão maior que cinco, onde a terceira forma fundamental comporta-se similarmente à um campo de calibre com respeito ao grupo de isometrias das dimensões extras. A identificação da terceira forma fundamental como um campo de calibre é uma idéia antiga, mas que nunca foi trabalhada seriamente [39]. 3) Uma continuação natural desse trabalho é a construção de um exemplo simples em cosmologia. Por exemplo, o modelo padrão FRW tem imersão diferenciável em cinco dimensões, e portanto teriamos apenas uma equação de Tomonaga-Schwinger. Então, em vez de se apelar para campos escalares no estudo de processos inflacionários, poderiamos contar com um campo tensorial derivado da curvatura extŕınsica. Classicamente já foi verificado que a curvatura extŕınsica produz efeitos inflacionários consistentes com a observação [42]. Resta saber se os efeitos quânticos podem também explicar a inflação primordial. O resultado poderá ser comparado com os resultados de Cosmologia Quântica [40]. Apêndice A Imersão de Variedades Para um breve histórico da teoria de imersões começaremos com o ano de 1868, quando Riemann publica sua teoria de superf́ıcies abstratas definidas intrisicamente [31]. Logo depois Schläfli [27] conjecturou que uma variedade Riemanniana com métrica análitica e positiva pode ser imersa localmente e isometricamente como uma subvariedade de um espaço Euclidiano de dimensão n(n + 1)/2. Em 1926, Janet [32] mostrou que var- iedades Riemannianas bidimensionais com uma métrica anaĺıtica poderiam ser localmente e isometricamente imersas. Em 1927, Cartan [44] estendeu o resultado de Janet para variedades n-dimensionais D = n(n+1) 2 . Em 1931, Burstin [28] completou a prova de Janet-Cartan e estendeu o resultado para o caso em que o espaço imerso era uma var- iedade Riemanniana n-dimensional com métrica anaĺıtica e definida positiva, ele também mostrou que as equações de Gauss-Codazzi-Ricci são as condições de integrabilidade da imersão isométrica. Um problema de imersão isométrica, interessante, foi considerado por Campbell em 1927 [25]: Quantas dimensões extras são necessárias para realizar uma imersão local e isométrica de uma variedade Riemanniana em uma espaço com tensor de Ricci nulo? Ele mostrou que apenas uma dimensão extra seria suficiente, o que foi provado mais tarde por Magaard [29], porém usando a condição de analiticidade. Em 1956, Nash [23] mostrou como fazer a imersão isométrica de variedades Riemannianas 41 Apêndice A. Imersão de Variedades 44 imerso em Ē14(r, s), r ≥ 1, s ≥ 3. Este teorema é uma generalização do teorema de Nash [23], originalmente feito para métrica euclidiana. A.2 Equações de Gauss-Codazzi-Ricci Aqui serão apresentadas as equações fundamentais da teoria de subvariedades. As equações de primeira ordem, as chamadas fórmula de Gauss e fórmula de Weingarten definem os obejtos básicos para o estudo de subvariedades: as três formas fundamentais (respectiva- mente a métrica, a curvatura extŕınsica e a conexão normal). As equações fundamentais de segunda ordem são chamadas de equações de Gauss, Codazzi e Ricci, representando generalizações para alta dimensionalidade das equações de Frenet que nos são familiar da geometria diferencial de curvas. A segunda forma fundamental, a conexão normal e as condições de integrabilidade dada pelas equações de Gauss-Codazzi-Ricci determinam localmente uma subvariedade. Primeiro trataremos as equações fundamentais de primeira ordem, as quais serão usadas para construir a segunda forma fundamental e a conexão normal. Se f : U ⊂ Mn → M̄m é uma imersão local. O espaço tangente a M̄m pode ser decomposto na soma direta Tp(M̄ m) = Tp(M n)⊕ T⊥p (Mn). (A.5) Onde T⊥p (M n) é o espaço normal a Mn no ponto p. Portanto, vetores vp ∈ Tp(M̄m) podem ser escritos como vp = v T p + v ⊥ p , isto é, a soma das partes tangentes e normais a Mn. Sejam X̄, Ȳ campos vetorais em M̄m e extensões dos campos vetoriais X, Y de Mn, então pela construção de X̄ e Ȳ como extensões de X e Y , tem-se ∇̄X̄ Ȳ ≡ ∇̄XY . Pode-se decompor ∇̄XY em sua parte tangente (∇̄XY )T e sua parte normal (∇̄XY )⊥ ∇̄X̄ Ȳ = (∇̄X̄ Ȳ )T + (∇̄X̄ Ȳ )⊥. (A.6) Apêndice A. Imersão de Variedades 45 Lembrando que ∇̄X̄ Ȳ ≡ ∇̄XY . Então a conexão Levi Civita ∇̄ de Mn é dada por ∇XY = (∇̄XY )T , (A.7) e a segunda forma fundamental de α : Tp(M n)× Tp(Mn) → T⊥p (Mn) é definida como α(X, Y ) := (∇̄XY )⊥. (A.8) Desta forma decomposição ortogonal (A.6)pode ser reescrita da seguinte forma ∇̄XY = ∇XY + α(X, Y ), (A.9) a qual é chamada a fórmula de Gauss. A fórmula de Gauss e o fato de a torsão de ∇̄ e ∇ serem nulas implica que a segunda forma fundamental é um campo tensorial simétrico com valores no fibrado normal de Mn ( T⊥(Mn) = ∪p∈MnT⊥p (Mn) ) . Considere ξ um campo vetorial de Mn e decomponha ∇̄Xξ em suas componentes tangente e normal. A parte normal induz uma conexão ∇⊥ em T⊥(Mn), chamada de conexão normal em Mn. Nós agora definimos AξX := −(∇̄Xξ)T . (A.10) O campo tensorial Aξ é conhecido como operador forma de M n na direção ξ e está relacionado com a segunda forma fundamental α pela equação 〈α (X,Y ) , ξ〉 = 〈AξX, Y 〉 . (A.11) E finalmente a decomposição ortogonal de ∇̄Xξ é dada por ∇̄Xξ = −AξX +∇⊥Xξ, (A.12) conhecida como a fórmula de Weingarten. Nós agora deduziremos as três equações de segunda ordem, conhecidas como as equaçoes de Gauss, Codazzi e Ricci. Para isto relacionaremos R e R̄ com os invariantes Apêndice A. Imersão de Variedades 46 extŕıncicos α, A e ∇⊥. Sejam X, Y, Z campos vetoriais em Mn. Usando as fórmulas de Gauss e Weingarten obtemos R̄(X, Y )Z = ∇̄X∇̄YZ − ∇̄Y ∇̄XZ − ∇̄[X,Y ]Z = ∇̄X(∇YZ + α(Y, Z))− ∇̄Y (∇XZ + α(X,Z)) −(∇[X,Y ]Z + α([X,Y ], Z)) = ∇X∇YZ + α(X,∇YZ)− Aα(Y,Z)X +∇⊥Xα(Y, Z) −∇Y∇XZ − α(Y,∇XZ) + Aα(X,Z)Y −∇⊥Y α(X,Z) −∇[X,Y ]Z − α(∇XY, Z) + α(∇YX,Z) = R(X, Y )Z − Aα(Y,Z)X + Aα(X,Z)Y +∇⊥Xα(Y, Z)−∇⊥Y α(X,Z). (A.13) A componente tangencial de R̄(X, Y )Z é dada por (R̄(X, Y )Z)T = R(X, Y )Z − Aα(Y,Z)X + Aα(X,Z)Y (A.14) e a normal por (R̄(X,Y )Z)⊥ = ∇⊥Xα(Y, Z)−∇⊥Y α(X,Z). (A.15) A equação (A.14) é chamada de equação de Gauss e (A.15) de equação de Codazzi. Agora consideremos a decomposição ortogonal de R̄(X, Y )ξ, onde ξ é um campo vetorial normal, como já foi dito antes. Usando novamente as fórmulas de Gauss e Weingarten, nós obtemos Referências Bibliográficas 49 [12] P. Horava & E. Witten, Nuc. Phys. B475, 94 (1996); [13] R. A. Hulse & J. H. Taylor, Discovery of a Pulsar in a Binary System, Astrophys. J. 195, L51-L53 (1975); [14] A. Ashtekar, Lectures in Non-Perturbative Canonical Gravity, World Scientific, (1996); [15] O. Klein, Nature, 118, 516, (1996); [16] K. Kučhar Time and Interpretations of Quantum Gravity. In Proc. 4th Canadian Conference on General Relativity. World Scientific, (1991). [17] C. J. Isham. Canonical Quantization and the Problem of Time. NATO Advanced Studies Institute. Salamanca (1992). [18] S. Hojman, K. Kučhar & C. Teitelboim, Ann. of Phys. 96, 88, (1976) [19] S. Tomonaga, Progr. Theor. Phys. 1, 27 (1946); [20] J. Schwinger, Phys. Rev. 74, 1439 (1948); [21] G. Veneziano, Nuovo Cimento 57A, 190 (1968); [22] Y. Nambu, Lectures at the Copenhagen Symposium,(1948); [23] J. Nash, Annals of Maths. 63, 20 (1956); [24] A. Friedman, J. Math. Mech. 10, 625 (1961); [25] J. E. Campbell, A Course of Differential Geometry. Clarendon Press, Oxford. Sec- tions 150-154 (1956); [26] R. Greene, Memoirs Am. Math. Soc 97, (1970); [27] L. Schläfli, Ann. di Mat. 2a Série 5, 170 (1871); Referências Bibliográficas 50 [28] C. Burstin, Rec. Math. Moscou 38, 74 (1931); [29] L. Maggard, Ph. D. Thesis, Kiel (1963); [30] C. J. Clarke, Proc. Roy. Soc. London A314, 417 (1970); [31] B. Riemann, Abh. Königl. gesellsch. 13, 1 (1868); [32] M. Janet, Ann. Soc. Polon. Math. 5, 38 (1926); [33] L. P. Eisenhart, Riemannian Geometry. Princeton U. P. Princeton, N.J. (1966) [34] K. Nishijima, Fields and particles, W. A. Benjamin eds. (1973) [35] S. W. Hawking, Black hole explosions. Nature 248 (1974) 30 [36] G. Landsberg, Black holes at future colliders and beyond, J. Phys. G 32 337 (2006) [37] S. W. Hawking, Information loss in black holes, Phys. Rev. D 72 084013 (2005) [38] S. Dimopoulus e G. Landsberg, Black holes at the LHC, Phys. Rev. Lett. 87 161602 (2001) [39] Y. Ne’emann, Embedded space-time e particle symmetries, Rev. Mod. Phys. 37 227 (1965) [40] N. Pinto Neto e outros, The Accelerated Expansion of the Universe as Quantum Cosmological Effect, Phys. Lett. A 315 36 (2003) [41] M. D. Maia, II ESCOLA DE COSMOLOGIA E GRAVITAÇÃO - CBPF, 1980 [42] M. D. Maia, E. M. Monte, J. M. F. Maia, J. S Alcaniz, Class.Quant.Grav. 22 (2005) 1623-1636 [43] S. A. Fulling, Phys. Rev. D 7, 2850 (1973); P. C. W. Daves, J. Phys. A: Gen. Phys. 8 609 (1975); W. G. Unruh, Phys. Rev. D 14, 870 (1976) Referências Bibliográficas 51 [44] E. Cartan, Ann. Soc. Pol. Mat 6, 1, (1927); M. Janet, Ann. Soc. Pol. Mat 5, (1928) [45] Goroff, M. H. and A. Sagnotti, Nucl. Phys. B 266, 709, (1986) [46] Hartle, J. and Hawking, S., Wave function of the universe, Phys. Rev. D 28, 2960- 2975, (1983) [47] Vilenkin, A., Quantum cosmology the initial state of the universe, Phys. Rev. D 39, 888-897, (1988) [48] Parker, L., Phys. Rev. D 3, 346, (1971) [49] Maldacena, J.M., The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Super- gravity, Adv. Theor. Math Phys. 2, 231, (1998) [50] M. B. Green, J. Schwarz, e E. Witten, Superstring Theory. Cambridge University Press, 1987 [51] M. D. Maia, Class. Quant. Grav. 6, 173 (1989); E. M. Monte & M. D. Maia, J. Math. Phys. 37, 1972 (1996) A. Pérez-Lorenzana, AIP Conf. Proc. 562, 53 (2001); B. Carter, Int. J. Theor. Phys. 40, 2099, (2001). [52] J. Rosen. Rev. Mod. Phys. 37, 204, (1965).
Docsity logo



Copyright © 2024 Ladybird Srl - Via Leonardo da Vinci 16, 10126, Torino, Italy - VAT 10816460017 - All rights reserved