Baixe Ondas em água e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! 1.13J/2.062J, PROPAGAÇÃO DE ONDAS Outono, 2000 MIT Observações de C. C. Mei CAPÍTULO QUATRO. ONDAS EM ÁGUA 1 Equações governantes para ondas na superfície do mar Neste capítulo, tomaremos a água como exemplo de um fluido não-viscoso e incompressível e consideraremos as ondas de amplitude infinitesimal, de forma que a aproximação linear seja suficiente. Lembre-se de que, no primeiro capítulo, quando a compressibilidade é incluída o potencial de velocidade definido por u = ∇Φ é governado pela equação de onda: (1.1) onde é a velocidade do som. Considere a relação Conforme mostrado anteriormente, a velocidade de fase da onda mais veloz é onde g é a aceleração gravitacional e h a profundidade do mar. Agora, h é no máximo 4.000m e a velocidade do som na água é c = 1.400m/seg2, de forma que a relação cima é no máximo No entanto, aproximamos (1.1) através de (1.2) Permita que a superfície livre seja z = ζ(x, y, t). Então, para uma superfície livre suavemente inclinada a velocidade vertical do fluido na superfície livre deve ser igual à velocidade vertical da própria superfície, ou seja, (1.3) Tendo apenas a ver com a velocidade, ela é chamada de condição cinemática. 1 Para pequenos movimentos de amplitude, a equação de momentum linear indica (1.4) Agora, permita que a pressão total seja dividida em partes estáticas e dinâmicas (1.5) onde p0 é a pressão estática (1.6) que satisfaz (1.7) Conclui-se que (1.8) de forma que (1.9) a qual relaciona a pressão dinâmica à velocidade potencial. Vamos supor que o ar acima da superfície do mar é basicamente estagnado. Por causa de sua pouca densidade, ignoramos o efeito dinâmico do ar e supomos que a pressão do ar seja constante, o que pode ser aceito como zero sem perda de generalidades. Se a tensão da superfície for ignorada, a continuidade da pressão exige que para a principal ordem de aproximação, temos, portanto, (1.10) Sendo uma afirmação sobre forças, ela é chamada de condição-limite dinâmica. As duas condições (1.3) e (1.10) podem ser unificadas para dar (1.11) 2 e (2.9) 2.2 A relação de dispersão Vamos primeiro examinar a relação de dispersão (2.6), onde três comprimentos são apresentados: a profundidade h, o comprimento de onda λ = 2π/k e o comprimento λm = 2π/km em (2.10) Como lembrete, na interface ar-água observamos que T/ρ = 74cm3/s2, g = 980cm/s2, de forma que λm = 1,73 cm. A profundidade de interesse oceanográfico varia de O(10cm) a milhares de metros. O comprimento de onda varia de poucos centímetros a centenas de metros. Vamos apresentar (2.11) então (2.6) é normalizado para (2.12) Considere primeiro as ondas de comprimento da ordem de λm. Para profundidades de interesse oceanográfico, h >> λ ou kh >> 1, tanh kh ≈ 1. Portanto, (2.13) ou em forma dimensional (2.14) 5 A velocidade de fase é (2.15) Definindo (2.16) a equação anterior assume a forma normalizada (2.17) Obviamente, (2.18) Figura 1: Velocidade de fase de ondas de gravidade capilar em água muito mais profunda que λm. Dessa forma, para os comprimentos de onda bem mais curtos que 1,7 cm, a capilaridade sozinha é importante. Estas ondas são chamadas ondas capilares. Por outro lado, (2.19) 6 Dessa forma, para os comprimentos de onda muito mais longos que 1,73 cm, a gravidade sozinha é importante. Estas ondas são chamadas ondas de gravidade. Já que em ambos os limites, c se torna maior, deve haver um mínimo para algum k intermediário. A partir de o c mínimo ocorre quando (2.20) O menor valor de c é cm. Para a variação intermediária, onde tanto a capilaridade quanto a gravidade são de igual importância, a relação de dispersão é traçada na figura (1). Em seguida, consideramos as ondas de gravidade mais longa onde os efeitos da profundidade são essenciais. (2.21) Para ondas de gravidade em águas profundas, kh >> 1, tanh hk → 1. Portanto, (2.22) Figura 2: Velocidade de fase de ondas de gravidade capilar em água de profundidade constante Dessa forma, as ondas mais longas fazem o percurso mais rapidamente. Elas também são chamadas de ondas de gravidade curta. Se, no entanto, as ondas forem muito longas ou a profundidade muito pequena, de forma que kh << 1, então tanh kh ~ kh e (2.23) 7 Permitindo (2.41) obtemos (2.42) A trajetória da partícula em qualquer profundidade é uma elipse. Os eixos horizontal (maior) e vertical (menor) da elipse diminuem monotonamente em zero no leito do mar, portanto a elipse se desintegra em um segmento de linha horizontal. Em águas profundidade. O eixo menor se reduz a profundas, os eixos maior e menor são iguais (2.43) No entanto, as órbitas são círculos com o raio diminuindo exponencialmente em relação à profundidade. Também podemos reescrever a trajetória como (2.44) (2.45) = /2, x′ = . À medida que o tem .5 Energia e Transporte de energia ebaixo da unidade de comprimento de uma superfície livre, o tempo médio da densidade de z′ = b. Um quarto de período mais tarde, ωt − kxo po passa, a partícula traça uma órbita elíptica em sentido horário. Quando ωt − kxo = 0, x′ = 0 e π a e z′ = 0 2 D energia cinética é (2.46) ao passo que a densidade de energia potencial instantânea é 10 (2.47) Portanto, a média de tempo é (2.48) Vamos reescrever (2.24) e (2.25) em (2.28): (2.49) (2.50) Então após a utilização da relação de dispersão. Por outro lado, (2.52) Portanto, a densidade total de energia é (2.53) Observe que a energia total é igualmente dividida em energias cinética e potencial; isto se chama eqüipartição de energia. Damos o exemplo abaixo como exercício para mostrar que o fluxo da potência (taxa do fluxo de energia) através da estação x é (2.54) 11 onde cg é a velocidade do transporte de energia ou da velocidade de grupo (2.55) Para ondas de gravidade absoluta, k/km << 1, de forma que (2.56) onde a velocidade de fase é (2.57 m águas muito profundas kh >> 1, temos ) E (2.58) Quanto mais curtas forem as ondas menores serão as velocidades de fase e de grupo. Em águas rasas kh << 1, (2.59) s ondas longas são as mais rápidas e não se dispersam mais. Para ondas de gravidade capilar com kh >> 1, temos A (2.60) onde (2.61) Observe que cg = c quando k = km e (2.62 ) 12 Figura 3: Dependência da resistência de onda sobre a velocidade das ondas de gravidade absoluta Quando a velocidade é suficientemente alta, as ondas de gravidade absoluta são geradas atrás do corpo. O equilíbrio de força necessita então que (3.9) comprimento de onda gerado pelo movimento do corpo é dado implicitamente por O rtas, kh >> 1, (3.10 Quando ) as ondas geradas são muito longas, e a resistência da onda cai para zero. Quando (3.11) ara velocidades intermediárias, a dependência da resistência da onda sobre a , as ondas são muito cu velocidade é traçada na figura (3). as dispersivas de faixa estreita esta seção, vamos discutir a sobreposição das ondas senoidais progressivas com amplitudes spalhadas sobre um espectro estreito de números de ondas. P 4 Ond N e 15 a região de k0. (4.1) nde Α(k) é complexo, indica o espectro de amplitude adimensional da dimensão (comprimento)2. As ondas de comprimento são dispersivas com respeito à relação não-linear em geral ω(k). Permita que Α(k) seja diferente de zero apenas dentro de uma faixa estreita de números de ondas centralizada em k0. Dessa forma, apenas a integrante é importante em uma pequen Então, aproximamos a integral por expansão de ∆k = k – k0 pequena e estipulamos ω0 = ω(k0) o , (4.3) (4.2) onde em espaço e ra a integração seja formalmente ampliada a partir de 0 a ∞, a variação eficaz é somente a artir de k0 − (∆k)m a k0 + (∆k)m, ou seja, a variação total é O((∆k)m ), onde (∆k)m é a largura de banda. Dessa forma, a onda total é quase um trem de ondas senoidal com freqüência ω0 e o número de ondas k0 , e amplitude A(x, t), cujo valor local encontra-se variando lentamente tempo. A(x, t) também é chamado de envoltória. Quão lenta é a sua variação? E p mbo Se ignorarmos as expressões de (∆k)2 na integrante, (4.3) se reduz a (4.4) bviamente, O . Desse modo, a própria envoltória é uma onda que percorre a uma velocidade . Esta velocidade é chamada velocidade de grupo. variação espacial de ∆kmx = O(1) e na (4.5) Observe que as escalas características de comprimento e tempo são, respectivamente, muito mais longas do que as das ondas de componente: . Em Como um exemplo específico, permitimos que o espectro de stante dentro da faixa estreita de ko – κ, k0 + κ, amplitude seja real e con outras palavras, (4.3) é adequada para a variação lenta de Ae na variação de tempo de 16 (4.6) Figura 4: Envoltória de ondas com uma banda retangular de números de ondas então (4.7) onde ξ = k – k0/k0 e (4.8 onforme traçado na figura (4). Por diferenciação, pode-se verificar que ) c (4.9) ultiplicando (4.9) por A*, M somando o resultado ao conjugado complexo e (4.10) 17 (5.7) (5.8) e (5.9) Defina a transformação de Fourier e seu inverso através de (5.10) Então, obtemos as transformações de (5.1) e (5.4) (5.11) sujeito a (5.12) A solução finita em z ~ –∞ para todo α é Para satisfazer a condição de superfície livre portanto ou 20 (5.13) Permita que (5.14) podemos reescrever (5.13) dessa forma (5.15) A solução formal final é (5.16) Se escolhermos (5.17) então (5.18) está claro que a resposta em relação à pressão concentrada e à distribuiçã pode ser escrita como uma sobreposição de cargas concentradas sobre a superfície livre, o de pressão de (5.16) (5.19) onde (5.20) 21 Nestes resultados, (5.20) por exemplo, a integral de Fourier, por enquanto, também é indefinida já que a integrante possui um pólo real em α = k que está no caminho da integração. Para definí-la de forma matemática, podemos escolher o valor principal, deformar o contorno de baixo Figura 5: Possíveis caminhos da integração ou de cima do pólo, como mostra a figura (5). Essa falta de definição específica é devida à premissa do aparente estado estacionário, onde a influênci da condição inicial não é mais rastreável. Agora, devemos impor a condição oando como x → ∞. Esta ondição só pode ser satisfatória se deformarmos o contorno de cima. Estipulando este contorno por a de radiação que as ondas devem estar esc c Γ, agora manipulamos a integral para exibir o comportamento no infinito e para verificar a escolha do caminho. Para simplificar, focamos a atenção em . Devido à simetria, é suficiente considerar x > 0. Reescrevendo, (5.21) Considere a primeira integral em (5.21). A fim de que a primeira integral se encontre com |α|, fechamos o contorno através de um grande arco circular no semiplano superior, como mostra a figura (6), onde ℑα > 0 ao longo do arco. A expressão Figura 6: Contorno fechado no semiplano superior 22 são separadas das ondas de propulsão da hélice. – R.Buckminster Fuller, Intuition - Metaphysical Mosaic. 1972. – – – – – – – – – – – – – – – Qualquer pessoa que voe sobre um navio em movimento deve ficar intrigada com o belo padrão da esteira do navio. A teoria por trás dele foi completada primeiro por Lord kelvin, que inventou o método de fase estacionária para a tarefa. Ofereceremos uma derivação física/geométrica dos principais resultados (anotações de aula de T.Y. Wu, Caltech). Considere dois sistemas de coordenadas. O primeiro r = (x, y, z) se move em relação ao navio na velocidade horizontal U. O segundo r′ = (x′, y′, z) está fixo na terra, de forma que a água está estacionária enquanto o navio passa em velocidade U. Os dois sistemas estão relacionados pela transformação Galileana, (6.29) Um trem de onda de progressão harmônica simples (6.30) nas coordenadas de movimento devem ser expressas como (6.31) nas coordenadas estacionárias. No entanto, a freqüência aparente nas coordenadas de movimento é (6.32) O último resultado é basicamente o famoso efeito Doppler. Para um observador estacionário, o apito de um trem se aproximando possui um tom progressivamente alto, enquanto que o de um trem partindo possui um tom mais baixo. 25 Figura 8: Ondas irradiadas da parcela de fluido perturbada Se um navio se movimenta em águas muito profundas a uma velocidade constante –U em água estacionária em relação ao navio, a água parece fluir correnteza abaixo à velocidade U. Forma-se um padrão de onda estacionária na esteira. Uma vez perturbada por um navio que passa, a parcela de fluido no caminho do navio irradia ondas em todas as direções e em todas as freqüências. A onda de freqüência ω se espalha de forma radial à velocidade de fase de c = g/ω, de acordo com a relação de dispersão. Apenas algumas partes das ondas que estão estacionárias em relação ao navio formarão a esteira e elas devem satisfazer a condição (6.33) ou seja, (6.34) Com referência à figura 8, permita que O, (x = 0) represente o ponto do navio nas coordenadas de limite do navio. A corrente está na direção positiva de x. Qualquer ponto x1 é ocupado por uma parcela de fluido Q1 que anteriormente tinha sido perturbada diretamente pela passagem do navio no tempo t1 = x1/U. Estas parcelas perturbadas irradiam ondas de todas as freqüências de forma radial. A fase de onda em freqüência ω alcança o círculo de raio ct1, onde c=g/ω, através da relação de dispersão de águas profundas. No entanto, ao longo de todo o círculo, apenas o ponto que satisfaz (6.34) pode contribuir para o padrão de onda estacionária, como assinalado por P. Já que OQ1 = x1 = Ut1, Q1P = ct1 e OP = Ut1 · k/k, onde k se encontra na direção de . Conclui-se que ∆OPQ1 é um triângulo retângulo e P reside em um semicírculo com diâmetro OQ1. Considerando as ondas irradiadas de todas as freqüências, portanto todos os c, cada ponto no semicírculo pode ser uma parte da fase de onda estacionária formada por sinais emitidos a partir de Q1. Agora, este argumento deve ser retificado, porque a energia de onda só percorre em velocidade de grupo, que é apenas a metade da velocidade de fase nas águas profundas. Portanto, as cristas estacionárias, devido aos sinais de Q1, podem apenas residir no semicírculo com diâmetro O1Q1 = OQ1/2. Assim, P1 em vez de P é um dos pontos que forma a crista estacionária na esteira do navio, como mostra a figura 8. 26 Figura 9: Ângulo de cunha de esteira do navio Qualquer outra parcela de fluido Q2 em x2 deve ter sido perturbada pela passagem do navio no tempo t2 = x2/U . Seus sinais irradiados contribuem para o padrão de onda estacionária apenas ao longo do semicírculo com diâmetro O2Q2 = OQ2/2. Combinando os efeitos de todas as parcelas de fluido ao longo do eixo +x, o padrão de onda estacionária pode ser confinado dentro da cunha que envolve todos estes semicírculos. O meio ângulo de abertura β0 da cunha, que define a esteira, é dado por (6.35) então , veja figura 9. Agora, qualquer ponto P dentro da cunha encontra-se em dois semicírculos tangentes ao limite da cunha, ou seja, existem dois segmentos de cristas de onda que se cruzam em P: um, perpendicular a PQ1 e outro a PQ2, como mostra a figura 9. Uma outra forma de descrever isto é examinar um raio interno proveniente do navio. Desenhe um semicírculo com diâmetro O′Q = OQ/2. Depois, nas duas interseções P1 e P2 em relação ao raio estão dois segmentos de cristas de ondas estacionárias. Em outras palavras, os sinais originados de Q contribuem para o padrão de onda estacionária apenas em dois pontos P1 e P2, como mostra a figura 20. O ponto Q pode ser chamado de ponto de dependência dos pontos P1 e P2 nas cristas. Para qualquer ponto P interno, existe uma maneira gráfica de encontrar os dois pontos de dependência Q1 e Q2. Com referência à figura 10, ∆O′QP1 e ∆O′QP2 são ambos triângulos retângulos. Figura 10: Relação geométrica para descobrir os Pontos de dependência 27 (6.39) portanto (6.40) Esta avaliação é válida por toda a esteira, exceto próximo aos limites exteriores, onde (6.41) através de uma análise mais refinada (Stoker, 1957 ou Wehausen & Laitone, 1960). 7 Teoria básica para ondas internas bidimensionais em um fluido estratificado [Referências]: C.S. Yih, 1965, Dynamics of Inhomogeneous Fluids, MacMillan. O.M. Phillips, 1977, Dynamics of the Upper Ocean, Cambridge U. Press. P.G. Baines, 1995, Topographical Effects in Stratified Flows Cambridge U. Press. M.J. Lighthill 1978, Waves in Fluids, Cambridge University Press. Devido a alterações periódicas de temperatura, a densidade da água ou atmosfera pode ter variações significativas na direção vertical. A variação da substância do sal também pode levar à estratificação da densidade. As águas doces dos rios podem repousar em cima da água do mar. Devido a pouca difusividade, o contraste da densidade permanece por um longo tempo. Considere um fluido calmo e estratificado com uma distribuição de densidade estática que diminui em relação à altura (z). Se uma parcela de fluido é movida do nível z para cima em z + ζ, ela é cercada por um fluido mais leve de densidade . A força de flutuação ascendente por unidade de volume é e é negativa. Aplicando a lei de Newton à parcela de fluido de unidade de volume or 30 (7.1) onde (7.2) é chamado de freqüência de Brunt-Väisälä. Essa consideração elementar mostra que, uma vez que o fluido é deslocado de sua posição de equilíbrio, a gravidade e o gradiente de densidade fornecem a força restauradora para permitir as oscilações. Em geral, deve haver não-uniformidades horizontais, portanto as ondas são possíveis. Começamos a partir das equações exatas para um fluido não-viscoso e incompressível com densidade variável. Para um fluido incompressível a densidade permanece constante, à medida que o fluido se move (7.3) onde q = (u, w) é o vetor de velocidade no plano vertical de (x, z). A conservação da massa exige que (7.4) A lei de conservação de momentum indica (7.5) e ez é o vetor de unidade na direção vertical ascendente. 7.1 Equações lineares Considere pequenas perturbações (7.6) com (7.7) 31 e u′, v′, w′ são pequenos. Linearizando através da exclusão quadrática de expressões pequenas associadas ao movimento de fluido, obtemos (7.8) (7.9) (7.10) (7.11) Na última equação, a parte estática deve estar em equilíbrio (7.12) portanto (7.13) A parte que resta deve satisfazer dinamicamente (7.14) Pela eliminação de p′ das duas equações de momentum, obtemos (7.15) Eliminando ρ′ de (7.8) e (7.15), obtemos (7.16) Vamos introduzir a função da perturbação de corrente ψ: (7.17) Conclui-se, com base em (7.16), que (7.18) 32 (8.2) No fundo (horizontal) do mar (8.3) Com base na equação (7.27) (8.4) As equações (8.2), (8.3) e (8.4) constituem uma condição de eigenvalor. Se ω2 < N2, então F é oscilatório em z dentro da termoclina. Fora da termoclina, ω2 < N2, W deve decair exponencialmente. Portanto, a termoclina é um guia de ondas dentro de ondas que são aprisionadas. Ondas que possuem a maior amplitude por baixo da superfície livre chamam-se ondas internas. Já que para as ondas internas, ω < N, embora N seja muito pequeno em oceanos, ondas internas oceânicas possuem freqüências naturais muito baixas. Para a maioria dos comprimentos de onda de interesse prático ω2 << gk, de forma que (8.5) Isto se chama aproximação do ponto de inversão de temperatura, que será dotado a seguir. Com a aproximação do ponto de inversão de temperatura, a solução F é (8.6) onde (8.7) Esta é uma condição de eigenvalor. Para um número de ondas fixo k, ela dá as eigenfreqüências (8.8) Para um dado número de ondas k, esta relação de dispersão dá a eigenfreqüência ωn. Para uma dada freqüência ω, ela dá os eigennúmeros de ondas kn 35 (8.9) Para um simples lago com margem vertical e comprimento L, 0 < x < L, devemos impor as condições: (8.10) A solução é (8.11) com (8.12) As eigenfreqüências são: (8.13) 9 Ondas internas em um fluido verticalmente infinito Considere N = constante, e indique por (α, β) os componentes (x, z) do vetor do número de ondas . Permita que a solução seja uma onda plana no plano vertical Então ou 36 (9.1) (9.2) Para uma determinada freqüência, existem dois sinais possíveis para α. Já que a relação acima também é par em β, existem quatro inclinações possíveis para as cristas e nodos das ondas com relação à vertical: o ângulo de inclinação é (9.3) Para ω < N, |θ| < π/2, não existe nenhuma onda interna se propagando verticalmente. Esta propriedade única de anisotropia tem sido verificada em experimentos surpreendentes por Mowbray e Stevenson. Oscilando verticalmente um cilindro longo em várias freqüências em um fluido estratificado, as linhas de fase iguais são encontradas apenas ao longo de quatro feixes formando a “Cruz de St. Andrew”, veja a figura (??) para ω / N = 0,7, 0,9. Pode-se verificar que os ângulos são |θ| = 45o para ω / N = 0,7 e |θ| = 26o para ω / N = 0,9, de acordo com a condição (9.3). A comparação entre os ângulos medidos e prognosticados é traçada na Figura (16) para uma ampla faixa de ω / N. Em física, é melhor observar primeiro que a velocidade de fase é (9.4) enquanto os componentes de velocidade de grupo são (9.5) Dessa forma, (9.6) Portanto, a velocidade de grupo é perpendicular à velocidade de fase, (9.7) Já que 37