Baixe tese de mestrado sobre buracos negros e outras Teses (TCC) em PDF para Física, somente na Docsity! Universidade Federal do Espírito Santo Termodinâmica de Buracos Negros Extremos por Glauber Tadaiesky Marques Dissertação de Mestrado Orientador: Dr. Júlio César Fabris Vitória - Espírito Santo 2004 . À minha princesa, Flávia. i Abstract The surface gravity for the extreme Reissner-Nordström black hole is zero suggesting that it has a zero temperature. However, the direct evaluation of the Bogoliubov ′s coefficients, using the stan- dard semi-classical analysis, indicates that the temperature of the extreme black hole is ill definite: the Bogoliubov ′s coefficients ob- tained by performing the usual analysis of a collapsing model of a thin shell, and employing the geometrical optical approximation, do not obey the normalization conditions. We argue that the failure of the employement of semi-classical analysis for the extreme black hole is due to the absence of orthonormal quantum modes in the vicinity of the event horizon. It is argued here that these properties are shared for all kind of black holes whose surface gravity is zero. The reasons for this anomolous behaviour are discussed as well as their thermodynam- ics implications. iv Conteúdo 1 Introdução 3 2 Buracos Negros Clássicos 7 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Solução de Reissner-Nordström . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Extensão Analítica Máxima da Solução de Reissner- Nordström . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Caso Extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Propriedades das métricas de RN extremo e não extremo 25 2.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Introdução à Teoria Quântica de Campos em Espaço- Tempo Curvo 29 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 O campo de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Transformação de Bogoliubov . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.1 Condição de Normalização . . . . . . . . . . . . . 43 3.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4 Radiação Hawking 47 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Radiação Hawking para Reissner-Nordström . . . . . . 49 4.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 2 5 Radiação Hawking para o caso Reissner-Nordström Ex- tremo 64 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.2 Radiação Hawking para Reissner-Nordström Extremo . 65 5.3 Colapso da casca esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4 Euclideanização da métrica . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.5 Geometria Perto do Horizonte . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6 Buracos Negros com Gravidade Superficial igual a Zero 86 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.2 Radiação Hawking para os Buracos Negros Frios . . . . 88 6.3 Radiação Hawking para os Buracos Negros da Teoria Multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7 Conclusões 99 A Apêndice A 103 B Apêndice B 107 5 assintoticamente plana do infinito futuro I+ (uma região de vácuo), conectaremos estas informações através dos coeficientes de Bogoli- ubov. Isto será feito utilizando as transfomações de Bogoliubov. Tiramos daí a condição de normalização dos coeficientes de Bogoli- ubov, condição esta importantíssima para o resto deste trabalho. No capítulo 4 faz-se a aplicação do estudo feito no capítulo 3 para o caso do buraco negro de Reissner-Nordström. Usamos o modelo do colapso de uma casca esférica fina. Os coeficientes de Bogoliubov obdecem a condição de normalização imposta pela teo- ria. Desta análise obtemos a relação de temperatura T = 1 8πM ( 1 − 16π 2Q4 A2 ) , que está de acordo com relação de temperatura obtida através da gravidade superfícial, estando de acordo com o estudo termo- dinâmico dos buracos negros, segundo o qual estes objetos obe- decem a terceira lei da termodinâmica. Para os buracos negros, S = ABH/4 onde S é a entropia do buraco negro. O capítulo 5 expõe a essência desta dissertação. Estuda-se a aplicação da teoria quântica de campos no espaço-tempo curvo para o caso Reissner-Nordström extremo. Obtida a relação de tempe- ratura para o caso não extremo e aplicado o limite Q → M , vemos que a temperatura tende a zero. Porém, aplicando o caso extremo desde o início, observa-se a quebra da análise semiclássica, pro- blema este que parece ser devido às propriedades geometricas na vizinhança do horizonte de eventos. Diferente do caso não extremo, o caso extremo não obedece à condição de normalização dos coefi- cientes de Bogoliubov. Assim não podemos tirar nenhuma relação de temperatura para o caso extremo. O problema parece residir na geometria perto do horizonte, que no caso extremo é representada pela geometria do espaço-tempo de anti-deSitter, onde os campos 6 quânticos são divergentes. Esta divergência em princípio não pode ser evitada, devido ao fato de que a distância de qualquer ponto no exterior do buraco negro para o seu horizonte, r > rH , ser infinita, propriedade esta mostrada no capítulo 2. No capítulo 6 são dados mais dois exemplos de buracos negros com κ = 0. Mostra-se que tanto os buracos negros da teoria escalar tensorial (teoria de Brans-Dicke) [31,32] quanto o caso extremo dos buracos negros de certa classe de teorias multedimensionais [35] apresentam as mesmas deficiências da análise semiclássica para o caso RN extremo. Especulamos sobre a possibilidade de se gene- ralizar a falha da análise semiclássica para todos os buracos negros estáticos com gravidade superficial igual a zero. No capítulo 7 são resumidas as principais conclusões desta dis- sertação, apresentados comentários adicionais e discutidas algu- mas perspectivas acerca do estudo de buracos negros com gravi- dade superficial igual a zero. Capítulo 2 Buracos Negros Clássicos 2.1 Introdução Um buraco negro é entendido normalmente como sendo uma região do espaço-tempo onde a gravidade é tão forte que nada pode es- capar, nem mesmo a luz. Para definir esta noção mais precisa- mente, nós temos que especificar a região do espaço-tempo para a qual é possível uma "fuga". Fazemos isto restringindo-nos aos espaço-tempos, (M , gµν), que são assintoticamente planos, isto é, (M , gµν) se torna quase Minkowskiano durante todo o tempo a grandes distâncias de alguma região central com curvatura (r → ∞ gµν → ηµν ) e considera-se que a fuga para esta região assintótica é possível. Um modelo discutindo a formação do buraco negro é o colapso de distribuição de massa esférica sob a ação da gravidade, con- duzindo a um estado final onde toda a massa está escondida atrás de um horizonte de eventos. A noção de horizonte de eventos de um buraco negro, pode ser vista como uma especialização da noção de horizonte associada 7 10 • O tensor de Ricci (traço simples), Rµν = R λ µλν . (2.9) • O escalar de curvatura ou de Ricci (duplo traço), R = Rλ λ = R λµ λµ . (2.10) Um resultado matemático relacionado aos espaços riemannianos é que o tensor de curvatura satisfaz às identidades de Bianchi: ∇[µRλα βν] = 0 . Estas identidades quando duplamente contraídas fornecem ∇µGµν = 0 (2.11) onde Gµν = Rµν − 1 2 gµνR (2.12) é o tensor de Einstein. A relação (2.11), satisfeita pelo tensor de Einstein, representa uma lei de conservação covariante, que é uma equação da con- tinuidade generalizada no contexto da RG . Por outro lado, a fonte da gravitação é representada também por um tensor, designado por T µν, que descreve o conteúdo de matéria- energia e momento que gera gravitação. Este é chamado de tensor momento-energia. A lei de conservação da matéria-energia é escrita, no contexto da RG, como: ∇µTµν = 0 (2.13) sendo T µν = T νµ também um tensor simétrico. O fato de tanto Gµν quanto T µν satisfazerem leis de conservação independentemente, dadas respectivamente pelas equações (2.11) e 11 (2.13), levou Einstein a propor as equações de campo da gravitação na forma: Gµν = K T µν (2.14) onde K = 8πG/c4 é a constante de Einstein da gravitação, G é a constante de Newton da gravitação e c é a velocidade da luz. Con- tudo, como estamos trabalhando no sistema de unidades naturais, h̄ = c = G = 1, K = 8π. Consideramos agora um espaço-tempo estático e simétrica- mente esférico da forma ds 2 = eνdt2 − eλdr2 − r2dΩ2 (2.15) onde dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2 é a parte angular da métrica, sendo que ν e λ são funções apenas de r. Usando a equação (2.8) temos que as conexões não nulas são Γttr = Γ t rt = 1 2 ν ′ , Γrrr = 1 2 λ′ , Γrtt = 1 2 eν −λ ν ′ , Γrθθ = − r eλ , Γrφφ = − r eλ sin2 θ , Γθθr = Γθrθ = r−1 , Γθφφ = − sin θ cos θ , Γφrφ = Γ φ φr = r −1 , Γφφθ = Γ φ θφ = cot θ , onde (′) é a derivada em relação a r. Por ser um espaço estático podemos usar o tensor de Maxwell neste sistema de coordenadas, como tendo apenas campos radiais Fµν = Er(r)      0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      . (2.16) Na forma contravariante Fµν = Er(r)      0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      e−(ν + λ) . (2.17) 12 Assim podemos resolver as equações de Maxwell, no contexto da RG, ∇µFµν = 0 (2.18) e ∇[µFνβ] = ∇µFνβ + ∇νFβµ + ∇βFµν = 0 . (2.19) Resolvendo a equação (2.18), obtemos ∇µFµν = ∂µFµν + ΓµαµFαν + ΓναµFµα = 0 . (2.20) Para ν = t, ∇rF rt = ∂rF rt + ( Γtrt + Γ r rr + Γ θ rθ + Γ φ rφ ) F rt = 0 ∂r ( e−(ν + λ)Er(r) ) + [ 1 2 (ν ′ + λ′) + 2r−1 ] e−(ν + λ)Er(r) = 0 ∂r ( e−(ν + λ)/2 r2Er(r) ) = 0 , encontramos Er(r) = Q r2 e 1 2 (ν + λ) , (2.21) onde Q é uma constante de integração. Notemos que este é o campo de Coulomb neste espaço curvo. Para ν = r, encontramos que ∂tEr(r) = 0 , o que confirma que o campo é estático. A equação (2.19) é identicamente nula como consequência da anti-simetria do tensor de Maxwell. Pela RG o tensor momento-energia do eletromagnetismo é dado por Tµν = 1 4π ( − gαβFµαFνβ + 1 4 gµνFαβF αβ ) (2.22) Construímos então o tensor momento-energia: 15 De modo análogo encontramos as seguintes relações 1 2 ( 1 2 λ′ − 1 2 ν ′ − ν ′′ ν ′ ) ν ′ e−λ + λ′ r e−λ = − ( Q r2 )2 , (2.31) ( 1 2 rλ′ − 1 2 rν ′ − 1 ) e−λ + 1 = ( Q r )2 . (2.32) Somando as equações (2.30) e (2.31), obtemos a equação ν ′ = −λ′ , (2.33) a qual é satisfeita se fizermos ν , λ → 0 , r → ∞ . Logo ∫ 0 ν dν = − ∫ 0 λ dλ λ = − ν . (2.34) Substituindo as equações (2.33) e (2.34) em (2.32) − r eν ν ′ − eν + 1 = ( Q r )2 (r eν) ′ = 1 − ( Q r )2 ∫ d (r eν) = ∫ dr − ∫ ( Q r )2 dr eν = 1 + ( Q r )2 − Q 2 r C0 + D0 r = 1 + ( Q r )2 − H0 r , onde C0 e D0 são constantes de integração que dependem uma da outra, sendo H0 = Q2 C0 + D0. Se fizermos ν, λ → 0 e r → ∞ na equação (2.21), temos que Er(r) ∼ Q/r2. É exatamente o mesmo resultado clássico para o 16 campo elétrico de uma partícula pontual de carga Q situada na origem. Lembrando da equação (2.34), temos que eν = e−λ = 1 − H0 r + Q2 r2 . (2.35) Assim o nosso intervalo do espaço-tempo é ds2 = ( 1 − H0 r + Q2 r2 ) dt2 − ( 1 − H0 r + Q2 r2 )−1 dr2 − r2dΩ2 . (2.36) Porém se tivermos um Fµν fraco, que não gere gravitação, e aplicar- mos o limite newtoniano podemos determinar a nossa constante H0 como sendo H0 = 2M o que nos leva ds2 = ( 1 − 2M r + Q2 r2 ) dt2 − ( 1 − 2M r + Q2 r2 )−1 dr2 − r2dΩ2 , (2.37) o que representa uma solução simetricamente esférica, estática e assintoticamente plana, dependente da massa M e da carga Q co- nhecida como a solução de Reissner-Nordström. Logo se tivermos um Fµν fraco o suficiente para não gerar gra- vitação (Q → 0), caímos na solução de Schwarzschild (1917) ds2 = ( 1 − 2M r ) dt2 − ( 1 − 2M r )−1 dr2 − r2dΩ2 , (2.38) a qual é uma solução de buraco negro dependente apenas da massa M . 2.3 Extensão Analítica Máxima da Solução de Reissner-Nordström Temos no sistema de coordenadas da equação (2.37) uma singula- ridade quando 1 − 2M r + Q2 r2 = 0 , 17 o que nos dá r± = M ± √ M2 − Q2 , (2.39) e portanto (r − r+)(r − r−) r2 = 1 − 2M r + Q2 r2 . A equação (2.37) pode ser escrita como ds 2 = (r − r+)(r − r−) r2 dt2 − r 2 (r − r+)(r − r−) dr2 − r2dΩ2. (2.40) Podemos ver que a métrica (2.40) é regular nas regiões : I. r+ < r < ∞ II. r− < r < r+ III. 0 < r < r− . Tomando as geodésicas radiais nulas, ds2 = θ̇ = φ̇ = 0 , (2.41) onde ȧ = da ds , obtemos (r − r+)(r − r−) r2 ṫ2 − r 2 (r − r+)(r − r−) ṙ2 = 0 dt2 = [ r2 (r − r+)(r − r−) ]2 dr2 dt = ± r 2 (r − r+)(r − r−) dr dr∗ = r2 (r − r+)(r − r−) dr r∗ = r + r2+ r+ − r− ln(r − r+) − r2− r+ − r− ln(r − r−) + C . (2.42) 20 Figura 2.2: Solução de Reissner-Nordström para (M 2 > Q2) na co- ordenada tipo Eddington-Finkelstein avançada. linha (2.40) torna-se ds2 = (r − r+)(r − r−) r2 dvdw − r2dΩ2 . (2.49) No caso M2 > Q2, definimos duas novas coordenadas como sendo w′ = −e (r − − r+)w 2r2 + , v′ = e (r+ − r−)v 2r2 + , (2.50) que são as transformadas de Kruskal, a partir das quais podemos escrever a métrica (2.49) como ds2 = (r − r+)(r − r−) r2 dv dv′ dw dw′ dv′dw′ − r2dΩ2 . (2.51) Logo, dv dv′ = 2r2+ (r+ − r−)v′ , dw dw′ = − 2r 2 + (r+ − r−)w′ e v′w′ = − (r − r+)(r − r−)− r 2 − /r2+ exp (r+ − r−)r r2+ , 21 de modo que ds2 = 4r4+(r − r−)1 + r 2 − /r2+ r2(r+ − r−)2 exp (r− − r+)r r2+ dv′dw′ − r2dΩ2 . (2.52) Definindo duas novas coordenadas τ = (v′ + w′) 2 , χ = (v′ − w′) 2 , temos que τ2 − χ2 = − (r − r+)(r − r−)− r 2 − /r2+ exp (r+ − r−)r r2+ . (2.53) O elemento de linha torna-se ds2 = 4r4+(r − r−)1 + r 2 − /r2+ r2(r+ − r−)2 exp (r− − r+)r r2+ (dτ2 − dχ2) − r2dΩ2 . (2.54) Podemos obter uma compactificação conforme da solução de Kruskal (2.54) definindo duas novas coordenadas nulas avançadas e retardadas em termos das coordenadas nulas v′ e w′, na forma v′′ = tan−1 [ exp (r+ − r−)v 4r2+ ] , w′′ = tan−1 [ − exp (r− − r+)w 4r2+ ] . (2.55) Assim a nossa métrica torna-se ds2 = (r − r+)(r − r−) r2 64r4+ (r+ − r−)2 csc 2v′′ csc 2w′′dv′′dw′′ − r2dΩ2 , (2.56) onde r está definido implicitamente em tan v′′ tan w′′ = − exp [ (r+ − r−)r 2r2+ ] (r − r+)1/2(r − r−)− r 2 − /2r2+ . Esta extensão máxima dá ascensão para infinitos novos univer- sos. Há um número infinito de regiões I assintoticamente planas onde r > r+. Estas são conectadas por intermédio das regiões II e III, onde r− < r < r+ e 0 < r < r−, respectivamente. 22 Figura 2.3: Diagrama de Penrose para extensão analitica máxima (M2 > Q2). A região III possui uma singularidade intrínseca em r = 0, que ao contrário da solução de Schwarzschild é do tipo tempo e então pode ser evitada por uma curva tipo tempo direcionada para o fu- turo de uma região I a qual cruza r = r+. Uma curva tipo tempo é traçada na figura (2.3) a qual começa em uma região I paricu- lar, passa através das regiões II, III e II e re-emerge dentro de uma outra região I assintoticamente plana. Isto dá ascensão para a possibilidade especulativa de que possa ser possível viajar para 25 Figura 2.5: Diagrama de Penrose para o caso M 2 = Q2. 2.5 Propriedades das métricas de RN extremo e não extremo Os buracos negros de RN e RN extremo são objetos qualitativamente distintos. Podemos observar isto de várias maneiras, tais como os horizontes de Killing e a distância de qualquer ponto no exterior do buraco negro para o seu horizonte de eventos. O horizonte de eventos para um buraco negro estático deve ser um horizonte de Killing bifurcado exceto no caso degenerado (ver a referência [4]), como em RN extremo, onde o horizonte é degenerado r+ = r− = M ; não temos a bifurcação dos horizontes de Killing. Outro fato é que apenas a partir da segunda derivada de g00 em relação a r no limite r → rH , onde rH é o raio do horizonte de even- tos, é diferente de zero, ao contrário do caso não extremo onde g00 é diferente de zero a partir da primeira derivada. Isto pode ser ob- 26 servado analisando os vetores de Killing, ou campos de Killing, que fornecem a simetria do espaço em questão, pela equação ∇µξα + ∇αξµ = 0 , (2.60) (ver a referência [5]). Temos como solução desta equação ξ0 = g00, ξµ = (g00, 0, 0, 0), e, em sua forma contravariante, ξµ = δ µ 0 = (1, 0, 0, 0), como pode ser visto no apêndice B. Pode-se tirar através da norma, ξ2 = ξµξµ, para um observador fora do buraco negro, r > rH , indo de encontro a singularidade deste buraco negro (r → 0) as seguintes propriedades do vetor de Killing : • para a métrica (2.40) de RN não extremo, ξ2              > 0 (tipo tempo) , para r > r+, antes do horizonte externo, e r < r−, depois do horizonte interno, = 0 (tipo luz) , para r = r+ e r = r−, < 0 (tipo espaço) , para r+ > r > r−, entre o horizonte externo e interno . • para a métrica (2.57) de RN extremo, ξ2      > 0 (tipo tempo) , para r > M, antes do horizonte, = 0 (tipo luz) , para r = M em cima do horizonte, > 0 (tipo tempo) , para r < M, depois do horizonte . Uma propriedade importante das métricas (2.40) e (2.57), é a distância de qualquer ponto no exterior do buraco negro para o seu horizonte de eventos, r > rH . A distância espacial de qualquer ponto ao horizonte de evento é determinada por l = ∫ r rH √− g11 dr . (2.61) Considerando um ponto perto do horizonte, r = rH + x → r/rH ≈ 1. Temos para métrica (2.40) l = ∫ r rH r √ (r − r+)(r − r−) dr 27 ≈ ∫ r− r+ 0 (x + r+) √ x(r+ − r−) dx ≈ ∫ r− r+ 0 ( √ x (r+ − r−) + r+ √ x(r+ − r−) ) dx = 2 x3/2 3 √ r+ − r− |r− r+0 + 2 r+ √ x r+ − r− |r− r+0 = 2 (r − r+)3/2 3 √ r+ − r− + 2 r+ √ r − r+ r+ − r− , (2.62) onde se tem uma distância finita para qualquer valor de r > rH . Porém, para métrica (2.57) temos que l = ∫ r rH r r − M dr = ∫ r− r+ 0 (x + M) x dx = ∫ r− r+ 0 ( 1 + M x ) dx = x |r−M0 + M ln x |r−M0 = r − M + M ln(r − M) − M ln 0 ∼ ∞ , (2.63) ou seja, para qualquer valor de r > rH a distância é infinita. 2.6 Conclusão Diante das propriedades das métricas de RN extremo e não extremo visto anteriormente, observa-se topologias diferentes para as métri- cas de RN não extremo e extremo como pode ser visto nas figuras (2.3) e (2.5) onde os horizontes de Killing se bifurcam em cima da região I para a métrica de RN não extremo enquanto que para métrica de RN extremo devido a degenerescência do horizonte de eventos, r+ = r− = M , os horizontes de Killing se bifurcam na singu- laridade. Podemos então suspeitar que qualquer análise feita para 30 toticamentes planas do passado e do futuro. Nestas regiões temos um espaço completo de Hilbert H com uma base de funções orto- normais. A partir disto, construimos o espaço de Fock F para os vácuos das regiões do infinito passado e futuro. Mais informações podem ser encontradas na referência [10] e um estudo mais apro- fundado pode ser feito nas referências [7] [8]. 3.2 O campo de Klein-Gordon A teoria do campo escalar real não massivo na presença de gravi- tação é definida a partir da densidade Lagrangiana L(x) = 1 2 (∂µϕ(x)∂ µϕ(x) − ζRϕ2(x)) (3.1) onde ζ é uma constante de acoplamento. Quando ζ = 0 tem-se o acoplamento mínimo e quando ζ = 1/6, tem-se o acoplamento conforme. R é o escalar de curvatura. A equação de movimento obtida é a equação de KG sem massa 2 ϕ(x) + Rζϕ(x) = ∇µ∇µ ϕ(x) + Rζϕ(x) = 0 (3.2) onde 2 = ∇µ∇µ é o operador d’Alembertiano covariante sob qual- quer transformação de coordenadas, e µ = 0, 1, 2, 3. O operador d’Alembertiano na região plana do infinito passado (na ausência de gravitação o tensor de Riemann é igual a zero, logo R = 0 ) toma a forma ∇2 ϕ(t, ~x) − ∂ 2ϕ(t, ~x) ∂t2 = 0. (3.3) Consideramos agora a expressão para o operador de campo ϕ(x). Uma solução arbitrária do operador de campo para a equação de onda de KG pode ser escrita em termos da transformada de Fourier ϕ(t, ~x) = 1 (2π)3/2 ∫ d3k ei ~k~x ϕ̃(t,~k). (3.4) 31 Como ϕ(x) é um operador de campo, então ϕ̃(t, ~k) é um operador. Para que ϕ(x) seja um campo real, o coeficiente de Fourier ϕ̃(t, ~k) deve ser complexo. Substituindo a expressão (3.4) na equação (3.3) obtemos ¨̃ϕ(t,~k) + ω2kϕ̃(t, ~k) = 0 (3.5) que corresponde a equação de um oscilador harmônico com fre- quência ω2k = k 2 0 = ~k2 (3.6) cuja a solução geral é ϕ̃(t,~k) = ϕ̃1(~k) e −ik0x0 + ϕ̃2(~k) e ik0x0 (3.7) logo ϕ(t, ~x) = 1 (2π)3/2 ∫ d3k [ ϕ̃1(~k) e −i(k0x0−~k~x) + ϕ̃2(~k) e i(k0x0+~k~x) ] . (3.8) Fazendo a troca de variáveis ~k → −~k na segunda integral, podemos escrever a expressão para o operador de campo na forma ϕ(t, ~x) = 1 (2π)3/2 ∫ d3k [ ϕ̃1(~k) e −ikx + ϕ̃2(−~k) eikx ] . (3.9) onde k.x = kµxµ = k0x0 + kjxj = ωkt − ~k~x. Para que o operador de campo ϕ(x) seja um operador de campo real, então devemos ter ϕ̃2(−~k) = ϕ̃∗1(~k) ≡ ϕ̃∗(~k) . Assim podemos escrever a expansão para o operador de campo es- calar real em termos das soluções clássicas de onda plana com e- nergia positiva e negativa : ϕ(t, ~x) = 1 (2π)3/2 ∫ d3k [ ϕ̃(~k) e−ikx + ϕ̃∗(~k) eikx ] . (3.10) 32 Definindo-se os operadores ak e a † k ak . = (2ωk) 1/2 ϕ̃(~k) , (3.11) a†k . = (2ωk) 1/2 ϕ̃(~k) ∗ , (3.12) e introduzindo as funções fk(x) fk(x) = e−ik.x √ (2π)3 2ωk , (3.13) finalmente podemos escrever a expressão para o operador de campo escalar real como ϕ(x) = ∫ d3k [ fk(x)ak + f ∗ k (x) a † k ] . (3.14) O conceito usual do produto interno para um par de soluções da equação de Klein-Gordon covariante sob qualquer tansformação de referencial, é definido como (f1 , f2) = i ∫ √ | g(Σ) | ( f∗2 ↔ ∂µ f1 ) dΣµ (3.15) sendo dΣµ = dΣ.nµ, onde dΣ é o elemento de volume da hipersuper- ficie Σ tipo espaço, | g(Σ) | é o módulo do determinante da métirca em relação a hipersuperficie e nµ é um vetor unitário tipo tempo normal a esta hipersuperficie. A propiedade crucial do produto in- terno é que ele independe da escolha da hipersuperficie. Portanto para uma região plana temos (f1 , f2) = i ∫ ( f∗2 ↔ ∂t f1 ) d3x , (3.16) onde : A ↔ ∂ B = A∂B − (∂A)B. Usando as equações (3.13) e (3.16) podemos ver facilmente que as funções fk(x) satisfazem as seguintes condições: ∫ d3x fk(x)f ∗ k′(x) = 1 2ωk δ3(~k − ~k′) , (3.17) 35 = ∫ d3k 1 √ (2π)3 2ωk [ kµ ak e −ik.x − kµ a†k eik.x ] . (3.28) De modo similar obtemos para o lado esquerdo de (3.27) [Pµ, ϕ(x)] = ∫ d3k 1 √ (2π)32ωk { − [P µ, ak] e−ik.x − [ Pµ, a†k ] eik.x } . (3.29) Igualando (3.28) a (3.29), deduzimos as seguintes relações de co- mutação : [Pµ , ak] = − kµak , (3.30) [ Pµ , a†k ] = + kµa†k . (3.31) Consideramos um estado |Φ〉 do operador de campo ϕ, que é um auto-estado do operador momento-energia P µ, com auto-valores pµ, Pµ|Φ〉 = pµ|Φ〉. (3.32) Consideremos também um outro estado, construído a partir de |Φ〉 via a†k |Φ〉 . Utilizando as equações (3.31) e (3.32), o momento e a energia asso- ciados a este estado serão Pµ ( a†k |Φ〉 ) = ( a†kP µ + kµa†k ) |Φ〉 = (pµ + kµ) a†k |Φ〉 . Portanto, o estado a†k |Φ〉 possui momento e energia pµ + kµ. De forma similar utilizando (3.30) e (3.32) se obtém para o estado ak |Φ〉: Pµ (ak |Φ〉) = (akPµ − kµak) |Φ〉 = (pµ − kµ) ak |Φ〉 . Desta forma o operador a†k acresce o momento e energia do estado |Φ〉 de um valor kµ e o operador ak decresce o momento e energia do estado |Φ〉 de um valor kµ. Em função destas propriedades, os operadores a†k e ak são de- nominados operadores de criação e aniquilação respectivamente. 36 Como devemos sempre ter o operador Hamiltoniano positivo definido afim de evitar os fantasmas (norma negativa) da teoria de forma a preservar a interpretação probabilística, os estados do campo associados à partícula livre possuem sempre energia posi- tiva. Assim, a aplicação sucessiva do operador aniquilação a um certo estado deve conduzir a um limite, ou seja, a um estado com energia e momento mínimos. Este estado, denominado de vácuo, é representado por |0〉(I−), onde este é o vácuo da região plana do infinito passado, e definido tal que ak|0〉(I−) = 0 , (3.33) e o seu correspondente dual (I−)〈0|a†k = 0 . (3.34) Prosseguindo com a interpretação de partícula da TQC, partire- mos para a construção do espaço de Fock. Consideremos o ope- rador N definido por N (I−) k . = a†kak . (3.35) Utilizando a equação (3.26), por simplicidade para um espaço dis- creto, podemos verificar as seguintes relações de comutação [ N (I−) k , a † k ] = N (I−) k a † k − a † kN (I−) (K) = a † kaka † k − a † ka † kak = a†k [ ak , a † k ] = a†k . (3.36) Similarmente pode-se obter [ N (I−) k , ak ] = − ak . (3.37) Podemos então formar uma base com os auto-estados |nk〉 dos o- peradores N (I −) k : N (I−) k |nk〉 = nk |nk〉 . (3.38) 37 Usando (3.38) e (3.36) e criando um estado a†k |nk〉 obtemos N (I−) k ( a†k |nk〉 ) = ( a†kN (I−) k + a † k ) |nk〉 = (nk + 1) a † k |nk〉 . (3.39) De modo similar pode-se obter N (I−) k (ak |nk〉) = ( akN (I−) k − ak ) |nk〉 = (nk − 1) ak |nk〉 . (3.40) Assim interpretamos o operador N (I −) k como o operador densidade de número de partículas visto que, se o estado |nk〉 possui auto-valor nk, os estados a † k |nk〉 e ak |nk〉 são auto-estados de N (I−) k com auto- valores nk + 1 e nk − 1, respectivamente. Logo N (I −) k é o operador número de partículas com momento ~k e energia k0 = ωk. Como os estados do espaço de Hilbert não devem possuir norma negativa (interpretação probabilística), então em particular o estado ak |nk〉 não deve ter norma negativa (ak |nk〉)† (ak |nk〉) = nk 〈nk|nk〉 > 0 (3.41) Portanto, se |nk〉 não possui norma negativa, então nk deve ser pos- itivo ou zero. Por outro lado, da equação (3.40) temos que ak reduz nk de uma unidade e repetidas aplicações de ak irão continuar re- duzindo nk. A única forma de evitar que nk torne-se negativo é impor um limite, ou seja, a existência de um estado de energia e momento mínimos ou estado fundamental (vácuo) designado, como já definimos, |0〉(I−) tal que ak |0〉(I−) = 0 , (3.42) N (I−) k |0〉(I−) = 0 . (3.43) Este estado é suposto único (a menos de uma fase). Um resul- tado fundamental na teoria dos espaços de Hilbert é o lemma de 40 O operador bk obedece às mesmas regras de comutação que ak [ bk , b † k′ ] = δ3(~k − ~k′) , [bk , bk′ ] = [ b†k , b † k′ ] = 0 . (3.57) De forma análoga ao caso das funções do infinito passado, nós con- struimos um espaço de Fock e definimos o nosso operador densi- dade número de partícula como N (I+) k . = b†kbk . (3.58) Que satisfaz todas as propriedades já vistas anteriormente : bk |0〉(I+) = 0 , (3.59) N (I+) k |0〉(I+) = 0 . (3.60) Sendo |0〉(I+) o vácuo da região plana no infinito futuro, b†k e bk são os operadores de criação e aniquilação, respectivamente, desta região. 3.3 Transformação de Bogoliubov Veremos agora como conectar as informações do raio que vem da região plana do infinito passado e que passa por uma região curva e segue para a região plana do infinito futuro. Podemos expandir o nosso operador de campo ϕ(x) tanto nas bases antigas como nas novas ϕ(x) = ∫ d3k [ fk(x)ak + f ∗ k (x) a † k ] = ∫ d3k′ [ Fk′(x)bk′ + F ∗ k′(x) b † k′ ] . (3.61) Usando (3.24) e o fato de que o produto interno independe da es- colha da hipersuperficie, tem-se ak = (ϕ(x) , fk(x)) = i ∫ ( f∗k (x) ↔ ∂µ ϕ(x) ) dΣµ . (3.62) 41 Usando a equação (3.61), temos ak = i ∫ ∫ f∗k (x) ↔ ∂µ ( Fk′(x)bk′ + F ∗ k′(x) b † k′ ) dk′ dΣµ , = i ∫ ∫ [( f∗k (x) ↔ ∂µ Fk′(x) ) bk′ + ( f∗k (x) ↔ ∂µ F ∗ k′(x) ) b†k′ ] dk′ dΣµ , = ∫ [ (Fk′(x) , fk(x)) bk′ + (F ∗ k′(x) , fk(x)) b † k′ ] dk′ . Definindo αk′k . = (Fk′(x) , fk(x)) , (3.63) β∗k′k . = (F ∗k′(x) , fk(x)) , (3.64) chegamos ao resultado ak = ∫ ( αk′k bk′ + β ∗ k′k b † k′ ) dk′ . (3.65) Usando agora a equação (3.25), de forma similar ao caso anterior, temos a†k = − (ϕ(x) , f∗k (x)) = −i ∫ ( fk(x) ↔ ∂µ ϕ(x) ) dΣµ , = − i ∫ ∫ [( fk(x) ↔ ∂µ Fk′(x) ) bk′ + ( fk(x) ↔ ∂µ F ∗ k′(x) ) b†k′ ] dk′ dΣµ . Obtemos assim, a†k = ∫ ( βk′k bk′ + α ∗ k′k b † k′ ) dk′ . (3.66) Desta forma α∗k′k = − (F ∗k′(x) , f∗k (x)) , (3.67) βk′k = − (Fk′(x) , f∗k (x)) . (3.68) Logo, de forma análoga, obtemos bk′ = (ϕ(x) , Fk′(x)) = i ∫ ( F ∗k′(x) ↔ ∂µ ϕ(x) ) dΣµ = i ∫ ∫ F ∗k′(x) ↔ ∂µ ( fk(x)ak + f ∗ k (x) a † k ) dk dΣµ = ∫ ( α∗k′k ak − β∗k′k a†k ) dk , (3.69) 42 e b†k′ = ∫ ( αk′k a † k − βk′k ak ) dk . (3.70) É permitido agora avaliar a expressão (3.58) aplicando-a no vácuo do infinito passado, (I−)〈0|N (I +) k |0〉(I−) = (I−)〈0|b † kbk|0〉(I−) . Usando as equações (3.69) e (3.70), e as propriedades (3.34) e (3.33) dos operadores de criação e aniquilação respectivamente, escreve- mos (I−)〈0|N (I +) k |0〉(I−) = (I−)〈0| ∫ ∫ [ ( αkk′ a † k′ − βkk′ ak′ ) × × ( α∗kk′ ak′ − β∗kk′ a†k′ ) ] dk′ dk′|0〉(I−) , = (I−)〈0| ∫ ∫ βkk′β ∗ kk′ ak′a † k′ dk ′ dk′|0〉(I−) . Usando a regra de comutação [ ak′ , a † k′ ] = δ(k′ − k′), obtemos (I−)〈0|N (I +) k |0〉(I−) = (I−)〈0| ∫ ∫ |βkk′ |2 ( a†k′ak′ + δ(k ′ − k′) ) dk′ dk′|0〉(I−) , = (I−)〈0| ∫ ∫ |βkk′ |2δ(k′ − k′) dk′ dk′|0〉(I−) , = (I−)〈0| ∫ |βkk′ |2 dk′|0〉(I−) , N (I+) k = ∫ |βkk′ |2 dk′ (3.71) ou N (I+) k = ∫ ∫ βkk′ β ∗ k′′k′ dk ′ dk′′ . (3.72) Vemos que embora o vácuo do infinito passado seja vazio de partícu- las, em geral ele vai conter partículas que podem ser criadas quando o raio estiver indo para o infinito futuro porque estes estados de partículas são definidos com respeito a diferentes coordenadas de tempo. 45 tendo assim um espaço de norma positiva, definindo um estado de mais baixa energia (estado fundamental), o estado de vácuo. De- pois construímos um segundo espaço o de Fock onde definimos um espaço com n partículas Fn sendo o espaço de Hilbert dos estados de partícula livre definido como o fecho da soma direta destes esta- dos com n partículas. O vácuo é um estado invariante de Poincaré localmente (regiões planas). Vimos também que as partículas da equação de KG obedecem à estatística de Bose-Einstein. Este é um caso particular do teorema spin-estatística que enuncia que as partículas de spin inteiro obe- decem à estatística de Bose-Einstein (funções de onda simétricas que obedecem regras de comutação), enquanto as de spin semi- inteiro obedecem à estatística de Fermi-Dirac (funções de onda an- tisimétricas que obedecem regras de anticomutação) que no caso são partículas da equação de Dirac. Resolvemos a equação de KG nas regiões planas assintóticas. Conectamos estas informações através de um raio que vai de uma região plana a outra passando por uma região curva empregando as transformações de Bogoliubov. Pela equação (3.79) vimos a condição de normalização que os coeficientes de Bogoliubov devem satisfazer, condição esta que será importante para o resto deste tra- balho como veremos no próximo capitulo. A definição de partícula depende de cada observador. Pois cada observador pode especificar o seu estado de sistema com sua re- spectiva base do espaço de Hilbert. A escolha de diferentes bases inclui uma escolha de diferentes coordenadas de tempo, o que leva a diferentes definições de partículas. Assim o problema fundamental do espaço-tempo curvo é a ausência de um grupo de simetria de Poincaré global (ou qual- quer outra), não existindo uma única noção de partícula, geral, no 46 espaço-tempo curvo. Isto significa que os aspectos globais da TQC, como a noção de vácuo e a condição espectral (a positividade da en- ergia), que não devem depender de estruturas locais, não têm uma generalização direta para um espaço curvo. Vemos assim que deve- mos nos desprender de vários conceitos de teoria de campos usual para termos um entendimento mais claro da TQCETC. A idéia mais aceita para preservar a condição espectral no es- paço genérico, é formular a condição espectral em termos do tensor momento-energia. No caso de campos livres esta idéia nos leva ao conceito de estados de Hadamard. O estado de Hadamard está associado a uma função a dois pon- tos, onde esta função é simétrica (caso este que é muito bom, pois lembramos que o tensor momento-energia também é simétrico) ao contrário da função de Pauli-Jordan usada na TQC no espaço plano que é antisimétrica, solução da equação de KG de campo livre e que é uma estrutura de singularidade local que é preservada glo- balmente. O espaço curvo é assumido ser globalmente hiperbólico para se evitar a presença de curvas de tempo fechadas, o que pode- ria violar a causalidade. Mas o objetivo deste trabalho não é estudar estas funções. Mais informações sobre este assunto podem ser en- contradas nas referências [11] e [12]. Capítulo 4 Radiação Hawking 4.1 Introdução A possibilidade de um buraco negro irradiar com um espectro planckiano foi aventada pela primeira vez no artigo citado anterior- mente de Hawking [6]. Um modelo discutindo a formação do buraco negro foi considerado: um colapso de distribuição de massa esférica sob a ação da gravidade, conduzindo a um estado final onde toda a massa é escondida atrás de um horizonte de evento. O estado final é o espaço-tempo de Schwarzschild que é assintoticamente plano. Campos quânticos foram considerados nesta configuração dinâmica. O ponto principal é que o número de partículas do vácuo inicial não coincide com o número de partículas do vácuo final. Este fato permite atribuir ao buraco negro uma temperatura. Para o bu- raco negro de Schwarzschild, a temperatura é T = 1/(8πM), onde M é a massa do buraco negro. A análise de radiação Hawking para casos mais gerais, como o buraco negro de Reissner-Nordström, também conduz à noção de temperatura devido à forma planckiana do espectro das partículas 47 50 − 2 r ( 1 − M r ) Y nl (θ, φ)∂r ( F (t, r) r ) − F (t, r) r3 × × ( ∂θ 2 Y nl (θ, φ) + cos θ sin θ ∂θ Y n l (θ, φ) + 1 sin2 θ ∂φ 2 Y nl (θ, φ) ) = 0 ( 1 − 2M r + Q2 r2 )−1 ∂t 2 F (t, r) − ( 1 − 2M r + Q2 r2 ) ∂r 2 F (t, r) + + 2 r ( Q2 r2 − M r ) ∂r F (t, r) + [ l(l + 1) + 2 r ( M − Q 2 r )] F (t, r) r2 = 0 . Usamos o fato que ∇ 2Y nl (θ, φ) = ∂θ 2 Y nl (θ, φ) + cos θ sin θ ∂θ Y n l (θ, φ) + 1 sin2 θ ∂φ 2 Y nl (θ, φ) = −l(l + 1)Y nl (θ, φ) é a equação diferencial do harmônicos esféricos. Fazendo outra separação de variáveis F (t, r) = f(r) e−iωt temos − ( 1 − 2M r + Q2 r2 )−1 ω2 f(r) − ( 1 − 2M r + Q2 r2 ) d 2 f(r) dr2 + + 2 r ( Q2 r2 − M r ) d f(r) dr + [ l(l + 1) + 2 r ( M − Q 2 r )] f(r) r2 = 0 . Usando dr∗ = ( 1 − 2M r + Q2 r2 )−1 dr podemos escrever d 2 f(r) dr2 = d dr ( d f(r) dr ) = d dr   ( 1 − 2M r + Q2 r2 )−1 d f(r) dr∗   = ( 1 − 2M r + Q2 r2 )−2 d 2f(r) dr∗ 2 + + 2 r ( 1 − 2M r + Q2 r2 )−2( Q2 r2 − M r ) d f(r) dr∗ . 51 Logo d 2 f(r) dr∗2 + ( ω2 − Veff ) f(r) = 0 (4.6) onde Veff = ( 1 − 2M r + Q2 r2 )[ l(l + 1) r2 + 2 r2 ( M r − Q 2 r2 )] (4.7) é o potencial efetivo. Notemos que assintoticamente (r → ∞) (4.6) se reduz a d 2 f(r) dr∗2 + ω2 f(r) = 0 (4.8) que tem como solução f(r) = A eiωr ∗ + B e− iωr ∗ . Logo temos que a equação (4.5) se torna ϕ(t, r, θ, φ) = Y nl (θ, φ) r ( A e− iω(t− r ∗) + B e− iω(t + r ∗) ) = Y nl (θ, φ) r (gω + fω) , onde fω = B e − iωv , (4.9) gω = A e − iωu . (4.10) Se fizermos um gráfico de t em relação a r∗, a linha a v constante é uma reta com inclinação de − 45◦, e a u constante obtemos uma reta com inclinação de 45◦ como mostra a figura (4.1). Feita a aproximação da ótica geométrica (ω 1Hz), podemos ver que os raios a v constante são os raios vindo do infinito passado I− com frequência positiva, enquanto u constante representa raios indo para o infinito futuro I+ com frequência positiva como mostra a figura (4.2). 52 Figura 4.1: Gráfico para v constante e u constante. 55 Figura 4.3: Uma onda esférica vem de I− com frente de onda satis- fazendo v = constante, e depois de espalhada pela estrela, dirige-se a I+ com u = constante . Fazendo a primeira colagem da métrica, onde o raio vindo do infinito passado incide na borda da casca como mostra a figura (4.3), temos que ds 2r < R(t) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ r = R(t) = ds 2r > R(t) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ r = R(t) dT 2 − dR2 − R2dΩ2 = (R − r+)(R − r−) R2 dt2 + − R 2 (R − r+)(R − r−) dR2 − R2dΩ2 1 − ( dR dT )2 = (R − r+)(R − r−) R2 ( dt dT )2 + − R 2 (R − r+)(R − r−) ( dR dT )2 . 56 Sendo R r+ , r−, temos pela equação (2.42) que R ∗ = R [ 1 + r2+ R (r+ − r−) ln(R − r+) − r2− R (r+ − r−) ln(R − r−) ] R ∗ ≈ R ≈ constante . Logo dR dT ≈ 0 que nos diz que o inicio do colapso é muito lento. A "história" da casca será dada por R(t). Dado R(t) podemos integrar a equação no início do colapso, que no caso é ( dt dT )2 = R2 (R − r+)(R − r−) dt dT = ± R [(R − r+)(R − r−)]1/2 t1 = C1T1 + C2 ou T1 = C3t1 + C4 onde os C ’s são constantes. Assim o raio que vem de I− com v = constante, ao entrar na casca tem V1 = T1 + R1 = C3t1 + C4 + R1 ≈ a v1 + b . Mas dentro da casca V = constante, e como fora da casca v = v1, então dentro da casca V = a v + b . Ao chegar dentro da casca, devemos considerar a transição de V constante para U constante : Ucentro = T − r ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ rcentro=0 = T + r ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ rcentro=0 = Vcentro 57 logo U(V (v)) = a v + b . Falta relacionar U com u em R(t) = R2 onde o raio abandona a casca rumo a I+. Assumimos aqui que a saída se dá próxima á formação do horizonte R2(T ) = r+ + A(T0 − T ) (4.11) onde A é uma constante, T é o tempo medido por um observador dentro da casca, T0 é o instante que o horizonte se forma, sendo (T − T0) 1. Podemos então fazer a segunda colagem da métrica ds 2r < R2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ r = R(t) = ds 2r > R2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ r = R(t) 1 − ( dR dT )2 = (R − r+)(R − r−) R2 ( dt dT )2 + − R 2 (R − r+)(R − r−) ( dR dT )2 (R − r+)(R − r−) R2 ( dt dT )2 = 1 + [ R(r+ + r−) − r+r− (R − r+)(R − r−) ]( dR dT )2 . Usando (4.11) (R − r+)(R − r−) R2 ( dt dT )2 = 1 + { [r+ + A(T0 + T )](r+ + r−) − r+r− (T0 − T )(r+ − r−) + O((T0 − T )2) } A (R − r+)(R − r−) R2 ( dt dT )2 ≈ 1 + { r2+ + A(T0 + T )(r+ + r−) (T0 − T )(r+ − r−) } A ( dt dT )2 ≈ r 2 + A(T0 − T )(r+ − r−) + r4+ (T0 − T )2(r+ − r−)2 onde o termo dominante é r4+ (T0 − T )2(r+ − r−)2 . 60 = 1 4π √ ωω′ ei(ω ′v0 − 2σω ln E − 2σω ln ω′) × × {∫ ∞ 0 e− iy y2iσω dy + 2σω ∫ ∞ 0 e− iy y2iσω − 1 dy } . Usando a definição da função Γ(s) Γ(s) = ∫ ∞ 0 e− z zs− 1 dz (4.18) e a relação Γ(s + 1) = s Γ(s), podemos resolver as integrais acima. Fazendo a mudança de variável iy = z e 2iσω = s − 1 na primeira integral, temos ∫ ∞ 0 e− iy y2iσω dy = (−i)2iσω + 1 ∫ i∞ 0 e− z zs− 1 dz usando o contorno no plano =X< (Imaginário X Real) podemos ver que ∫ i∞ 0 e− z zs− 1 dz = ∫ ∞ 0 e− z zs− 1 dz . Assim ∫ ∞ 0 e− iy y2iσω dy = (−i)2iσω + 1 Γ(s) = (−i)2iσω + 1 Γ(2iσω + 1) = (−i)2iσω + 1 2iσωΓ(2iσω) . Fazendo a mesma mudança de variável na segunda integral, onde agora 2iσω = s, temos que ∫ ∞ 0 e− iy y2iσω − 1 dy = (−i)2iσω ∫ i∞ 0 e− z zs− 1 dz usando o mesmo contorno, encontramos que ∫ ∞ 0 e− iy y2iσω − 1 dy = (−i)2iσω Γ(2iσω) . Portanto ∫ ∞ 0 e− iy y2iσω dy + 2σω ∫ ∞ 0 e− iy y2iσω − 1 dy = ( − i2 + 1 ) (−i)2iσω 2σωΓ(2iσω) = (−i)2iσω 4σωΓ(2iσω) . 61 Lembrando que e−iθ = cos θ − i sin θ temos −i = e−i π2 . Logo ∫ ∞ 0 e− iy y2iσω dy + 2σω ∫ ∞ 0 e− iy y2iσω − 1 dy = eσωπ 4σωΓ(2iσω) . Assim o coeficiente αωω′ se escreve αωω′ = σω π √ ωω′ Γ(2iσω) eσωπ ei(ω ′v0 − 2σω ln E − 2σω ln ω′) (4.19) Fazendo o cálculo do coeficiente βωω′, onde βωω′ = −i ∫ v0 −∞ fω′ ↔ ∂v gω dv = 1 4π √ ωω′ ∫ v0 −∞ ( ω′ − 2ωσ v0 − v ) e−i ( ω′v − 2σω ln ( v0 − v E )) dv , de forma similar ao cálculo feito para αωω′, encontramos βωω′, βωω′ = − σω π √ ωω′ Γ(2iσω) e−σωπ e−i(ω ′v0 + 2σω ln E + 2σω ln ω′) (4.20) De posse dos resultados dos coeficientes de Bogoliubov podemos verificar a condição (3.79). Resolvendo o primeiro termo da equação (3.79), resulta que, ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 dω′dω′′ αωω′α ∗ ω′′ω′ = σ2 π2 ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 dω′ ω′ dω′′ √ ωω′′ × × Γ(2iσω)Γ(2iσω′′)∗ eπσ(ω + ω′′) × × e−2iσ(ω −ω′′)(ln E + ln ω′) . Fazendo a mudança de variável y = ln E + ln ω′, temos que ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 dω′dω′′ αωω′α ∗ ω′′ω′ = σ2 π2 ∫ ∞ 0 dω′′ √ ωω′′ Γ(2iσω)Γ(−2iσω′′) eπσ(ω + ω′′) × × ∫ +∞ −∞ dy e−2iσ(ω −ω ′′)y = 2σ2 π ∫ ∞ 0 dω′′ √ ωω′′ Γ(2iσω)Γ(−2iσω′′) eπσ(ω + ω′′) × × δ[2σ(ω − ω′′)] = σω π Γ(2iσω)Γ(−2iσω) e2πσω , 62 onde usamos aqui a seguinte propriedade da função delta, δ(at) = δ(t)/|a|. Usando a relação Γ(ia)Γ(−ia) = π a sinh(aπ) , (4.21) encontramos que ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 dω′dω′′ αωω′α ∗ ω′′ω′ = 1 2 e2πσω sinh(2πσω) (4.22) De forma similar encontramos para o segundo termo da equação (3.79), ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 dω′dω′′ βωω′β ∗ ω′′ω′ = 1 2 e−2πσω sinh(2πσω) (4.23) Logo ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 dω′dω′′ αωω′α ∗ ω′′ω′ − ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 dω′dω′′ βωω′β ∗ ω′′ω′ = 1 2 e2πσω sinh(2πσω) − 1 2 e−2πσω sinh(2πσω) = 1 , (4.24) ou seja a equação (3.79) é identicamente satsfeita. Podemos obter a temperatura de Hawking computando o oper- ador número da partícula com frequência ω no futuro infinito pela fórmula (3.72), onde obtemos que Nω = 1 e4πσω − 1 . (4.25) Isto é característico de um espectro planckiano com temperatura T = 1/4πσ. Para o caso de RN , tem-se T = r+ − r− 4πr2+ = 1 8πM ( 1 − 16π 2Q4 A2 ) , (4.26) onde A = 4πr2+, é a área do horizonte de eventos. 65 peratura para o caso RN não extremo e impormos o limite Q → M , a temperatura se torna zero. Porém, esta definição da temperatura do buraco negro extremo como o limite da temperatura do buraco negro não extremo quando Q → M pode esconder alguns pontos sutis sobre a termodinâmica do buraco negro extremo. Houve muitas discussões na real existência de um buraco negro extremo. Considerações de análise perturbativa baseada na expan- são do tensor momento-energia de campos quânticos acoplados as equações de Einstein conduzem a dúvidas sobre a possibilidade de se ter soluções de buracos negros extremos [21]. Além disso, foi discutido que a existência de um buraco negro de temperatura zero violaria a terceira lei da termodinâmica a menos que a condição de energia fraca não seja satisfeita [22]. Mas, uma análise do colapso de uma casca fina carregada indica que, classicamente, um buraco negro extremo pode ser formado [13]. Nos baseamos aqui nos re- sultados da referência [13] que um buraco negro extremo pode ser formado por colapso gravitacional. Isto mostra que existem pontos delicados na análise do buraco negro RN extremo. Vejamos o que acontece impondo o caso RN extremo desde o início. 5.2 Radiação Hawking para Reissner- Nordström Extremo A solução da equação de KG é obtida de maneira idêntica ao caso RN não extremo : d 2 f(r) dr∗2 + ( ω2 − Veff ) f(r) = 0 , (5.1) 66 onde agora Veff = (r − M)2 r6 [ l(l + 1)r2 + 2M(r − M) ] , (5.2) é o potencial efetivo do caso extremo. Feita a aproximação da ótica geométrica, através de um cálculo idêntico ao caso RN não extremo, obtemos u(v) = E v0 − v (5.3) onde v0 = t − M e E = 2M2(1 + A)/A . Assim podemos fazer os cálculos para os coeficientes de Bogoli- ubov. Façamos primeiro para o coefciente αωω′, αωω′ = i ∫ v0 −∞ f∗ω′ ↔ ∂v gω dv = 1 4π √ ωω′ ∫ v0 −∞ ( ωE (v0 − v)2 + ω′ ) e i ( ω′v − ωE v0 − v ) dv . Fazendo a mudança de variável, temos v0 − v = y/ω′, αωω′ = eiω ′v0 4π √ ωω′ {∫ ∞ 0 e −i ( y + b y ) dy + b ∫ ∞ 0 e −i ( y + b y ) dy y2 } (5.4) onde b = ωω′E . Fazendo outra mudança de variável na primeira integral, b/y = y′, resulta em αωω′ = eiω ′v0 b 4π √ ωω′ { ∫ ∞ 0 e −i ( y′ + b y′ ) dy y′2 + ∫ ∞ 0 e −i ( y + b y ) dy y2 } = eiω ′v0 b 2π √ ωω′ ∫ ∞ 0 e −i ( y + b y ) dy y2 . (5.5) Mudando, y = −it e b = − z2/4 temos que αωω′ = eiω ′v0 bi 2π √ ωω′ ∫ i∞ 0 e−t− z2 4t dt t2 . 67 Usando novamente o contorno no plano =X< podemos ver que ∫ i∞ 0 e−t− z2 4t dt t2 = ∫ ∞ 0 e−t− z2 4t dt t2 . Usando a representação integral da função de Bessel modificada de segunda ordem, Kν(z) = 1 2 ( z 2 )ν ∫ ∞ 0 e−t− z2 4t tν +1 dt , (5.6) tem-se αωω′ = ± eiω ′v0 π √ E K1(± 2i √ Eωω′) . (5.7) Usando a relação Kν(z) = π 2 iν +1 H(1)ν (i z) , obtemos αωω′ = ∓ eiω ′v0 2 √ E H (1) 1 (∓ 2 √ Eωω′) (5.8) onde H(1)1 (x) é a função de Hankel de primeira espécie. Note que a representação integral da equação (5.6) é válida para |z| < π/2 como é visto na referência [20]. A solução de αωω′ implica |z| = π/2. Porém, este caso do limite está bem definido, como pode ser visto no apêndice A . Desenvolvendo o cálculo para βωω′, temos βωω′ = −i ∫ v0 −∞ fω′ ↔ ∂v gω dv = 1 4π √ ωω′ ∫ v0 −∞ ( ω′ − ωE (v0 − v)2 ) e −i ( ω′v + ωE v0 − v ) dv . Fazendo a mudança de variável, obtemos v0 − v = y/ω′ βωω′ = e−iω ′v0 4π √ ωω′ {∫ ∞ 0 e i ( y − b y ) dy − b ∫ ∞ 0 e i ( y − b y ) dy y2 } (5.9) onde b = ωω′E . 70 Fazendo a mudança de variáveis, x = 2 √ Eω′ω′′ e y = 2 √ Eωω′, temos ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 dω′ dω′′ αωω′α ∗ ω′′ω′ = 1 4 ∫ ∞ 0 H (2) 1 (x) x dx ∫ ∞ 0 H (1) 1 (y) dy y . (5.14) Onde nós usamos o fato que, para valores reais do argumento ( H (1) 1 (x) )∗ = H (2) 1 (x), H (2) 1 (x) sendo a função de Hankel de segunda espécie. A segunda integral da direita da equação (5.14) é um termo di- vergente; porém, a primeira integral não é convergente, como indica uma análise assintótica. Na realidade, a análise assintótica é válida para grandes valores do argumento, x → ∞ H (1,2) 1 (x) → √ 2 πx exp [ ± ( x − π 2 − π 4 )] . Como estamos no limite da ótica geométrica, ou seja, frequências muito alta, então esta análise é válida e o integrando oscila com amplitude crescente. A ordem que as integrações são executadas não muda o resultado. Com os resultados obtidos acima, é fácil ver que a condição de normalização não é satisfeita. O segundo termo da equação (3.79) é infinito. Porém, o primeiro termo contém integrais não conver- gentes; conseqüentemente, seu valor não está definido. A conclusão é que a transformação de Bogoliubov entre modos do vácuo do in- finito passado e do infinito futuro, está definido de uma tal maneira para o buraco negro extremo que nenhuma termodinâmica pode ser construída com um anúncio de colapso. Existem várias possibilidades para se entender a falha da apli- cação da análise semiclássica para o buraco negro extremo. Tais possibilidades podem ser vistas através das situações discutidas a seguir. 71 5.3 Colapso da casca esférica Podemos pensar na questão do colapso : poderíamos imaginar, por um argumento clássico, que como Q → M a repulsão da carga Q se contraponha ao colapso gravitacional pela massa M , não ocorrendo assim o colapso ou não havendo um colapso acelerado já perto da formação do buraco negro. Para isso basta expressar o colapso da casca perto do horizonte. Mas a refêrencia [13] mostra que o colapso ocorre. Para expressar o colapso perto do horizonte usamos a equação : [(R − R+)(R − R−)]1/2 + (R+ + R−) cosh −1(2R − R+ − R−) 2(R+ − R−) = [ ( M M )2 − 1 ]1/2 |τ − τ0| , (5.15) onde R± ≡ − (M2 − Q2) 2(M ∓ M) e R > R+ . Sendo M a massa própia total da casca num sistema comóvel e R o raio da casca. Como estamos tratando do caso extremo, ou seja, Q = M temos que R+ = (M + M) 2 , R− = (M − M) 2 . Logo a equação (5.15) se torna [ R2 − M R + 1 4 ( M2 − M2 ) ]1/2 + + 1 2 M M cosh −1(2R − M) = [ ( M M )2 − 1 ]1/2 |τ − τ0| . 72 Perturbando R até segunda ordem perto da formação do horizonte R = M + ε δR1 + ε 2 δR2 , sendo ε 1 um parâmetro muito pequeno. Assim, ε2 ε 1. Levaremos em consideração os termos até a segunda ordem em ε. Logo 1 2 ( √ M2 − M2 + MM cosh −1 M ) + ε ( M√ M2 − M2 + M M √ m2 − 1 ) δR1 + − ε2 ( 2M2 (M2 − M2)3/2 + M2 M (M2 − 1)3/2 ) (δR1) 2 + + ε2 ( M√ M2 − M2 + M M √ M2 − 1 ) δR2 = √ M2 − M2 M |τ − τ0| . Comparando as correspondentes ordens dos termos na equação acima, temos ( M√ M2 − M2 + M M √ M2 − 1 ) δR1 = √ M2 − M2 M |τ − τ0| δR1 = A |τ − τ0| e ( M√ M2 − M2 + M M √ m2 − 1 ) δR2 = ( 2M2 (M2 − M2)3/2 + M2 M (M2 − 1)3/2 ) A2|τ − τ0|2 δR2 = B |τ − τ0| . Temos que R = M + ε A |τ − τ0| + ε2 B |τ − τ0|2 . (5.16) Logo Ṙ = dR dτ = ε A + 2ε2 B τ . (5.17) 75 Assim o resultado é igual quando impomos o limite. Isto significa que a gravidade superficial é contínua neste limite. Consideramos agora a euclideanização da métrica quando temos uma singularidade cônica ao passar ao tempo imaginário. A métrica ds 2 = dr2 + r2dθ2 (5.21) é a métrica euclideana em coordenadas polares; ela descreve dis- tâncias na superfície de um cone. O cone tem uma singularidade em r = 0, menos no caso quando se dobra o cone feito um funil. Nesta situação se tem uma periodicidade 2π, assim pode-se evitar a singularidade cônica fazendo para θ uma variável angular com este período. Passaremos o tempo da métrica para um tempo imaginário e escrevemos a métrica para uma superfície com θ e φ constantes. Assim temos ds 2 = (r − r+)(r − r−) r2 dt2 + r2 (r − r+)(r − r−) dr2. (5.22) Transformamos a métrica para uma métrica conforme, tal que ds 2 = (r − r+)(r − r−) r2 dt2 + r2 (r − r+)(r − r−) dr2 = Ω(ρ) ( dρ2 + ρ2dτ2 ) , onde τ = αt, sendo α uma constante, e Ω(ρ) é um fator conforme finito, não nulo, no horizonte. Portanto, comparando os termos, obtemos Ω(ρ)ρ2dτ2 = (r − r+)(r − r−) r2 dt2 Ω(ρ)ρ2α2dt2 = (r − r+)(r − r−) r2 dt2. Disto resulta que Ω(ρ) = (r − r+)(r − r−) r2ρ2α2 (5.23) 76 Comparando os termos Ω(ρ)dρ2 = r2 (r − r+)(r − r−) dr2 dρ2 ρ2α2 = [ r2 (r − r+)(r − r−) ]2 dr2 dρ ρα = r2 (r − r+)(r − r−) dr = dr∗ . Assim ρ = eαr ∗ . (5.24) Como o raio sai perto do horizonte e o termo dominante de r∗ é o termo da equação (4.14), temos que ρ ≈ (r − r+)αr 2 +/(r+ − r−) . (5.25) Substituindo (5.25) em (5.23), obtemos Ω(ρ) = (r − r+)(r − r−) r2α2(r − r+)2αr 2 +/(r+ − r−) . (5.26) Como Ω(ρ) é um fator finito no horizonte, a única maneira de evitar a singularidade em r = r+ é α = r+ − r− 2r2+ . Agora, para a singularidade cônica ser evitada, temos que ter uma periodicidade de 2π para τ , isto é , uma periodicidade para t dado por 2π/α. Isto corresponde a uma temperatura T = α 2π = r+ − r− 4πr2+ . (5.27) Assim, para um buraco negro não-extremo, o que pode ser chamado de temperatura cônica concorda com a temperatura de Unruh. 77 Mas o caso extremo é muito diferente, pois o termo dominante em r∗ é r∗ ≈ − M 2 (r − M) . (5.28) Refazendo os cálculos acima encontramos que Ω(ρ) = (r − M)2 e 2 αM2/(r−M) α2 r2 . (5.29) Para evitar uma singularidade de Ω(ρ) no horizonte temos que α = r − M , o que nos leva a uma má definição de temperatura, com uma periodicidade no tempo euclidiano completamente arbitrária dependente de r T = r − M 2π (5.30) Mas uma vez podemos ver que levar em consideração um termo de segunda ordem no colapso não altera esta situação, pois isto é a mesma coisa que levar em consideração o termo logarítimico, onde temos que r∗ ≈ 2M ln(r − M) − M 2 r − M o que nos dá Ω(ρ) = (r − M)2 e 2 αM2/(r−M) α2 r2(r − M)4Mα . (5.31) onde a singularidade não pode ser evitada. Isso já pode dar uma idéia que o caso extremo não é o limite do caso não extremo, pois no caso não extremo a temperatura assim obtida concorda com os resultados que se têm usando a gravidade superficial e usando o coeficientes do Bogoliubov, onde se perde todo o sentido de singularidade cônica no caso extremo. Conse- quentemente, há uma quebra no conceito de temperaturas cônicas. 80 Com a separação de variáveis ϕ(t, r, θ, φ) = eiωt Y nl (θ, φ) ϕ(ρ) e levando em consideração apenas os termos dominantes, tem-se − ω 2 ϕ ρ′ 2 − ρ′ 2 ∂ρ′ 2 ϕ − 2 ρ′∂ρ′ ϕ + l(l + 1)ϕ = 0 . Fazendo a mudança de variável, x = ρ′ −P , temos que ∂x 2 ϕ + ( P 2 − P ) P 2 ∂x ϕ ρ′ −P + [ ω2 P 2ρ′ 2− 2P − l(l + 1) P 2ρ′ −2P ] ϕ = 0 , sendo P = 1 ∂x 2 ϕ + [ ω2 − l(l + 1) x2 ] ϕ = 0 . Fazendo outra substituição de variável, ϕ = xq Λ, obtemos ∂x 2 Λ + 2 q ∂x Λ x + [ ω2 − l(l + 1) x2 + q(q − 1) x2 ] Λ = 0 , sendo q = 1/2. Logo, a equação toma a forma ∂x 2 Λ + ∂x Λ x + [ ω2 − 1 x2 ( l + 1 2 )2 ] Λ = 0 . Redefinindo x como x → x/ω, x2 ∂x 2 Λ + x ∂x Λ + [ x2 − ( l + 1 2 )2 ] Λ = 0 . (5.40) A equação acima representa a equação diferencial de Bessel. Temos como solução ϕ = 1√ ρ′ [ c1 Jl + 1/2 ( ω ρ′ ) + c2 J− l− 1/2 ( ω ρ′ )] eiωt . (5.41) Agora, se nós analisarmos a norma destes modos, no sentido de usarmos o produto interno de Klein-Gordon , nós obtemos (ϕ , ϕ) = i ∫ √ | g(Σ) | ( ϕ∗ ↔ ∂µ ϕ ) dΣµ = 2 ω |c1,2|2 ∫ ∞ 0 [ J± (l +1/2) ( ω ρ′ )]2 dρ′ ρ′ 3 . 81 Substituindo a variável ρ′ por 1/x, obtemos (ϕ , ϕ) = 2 ω |c1,2|2 ∫ ∞ 0 x [ J± (l + 1/2) (ωx) ]2 dx . (5.42) É fácil verificar que a norma destes modos para o caso extremo perto do horizonte é divergente. Em princípio, este problema poderia ser evitado. Soluções de onda planas no espaço-tempo de Minkowski também são diver- gentes quando integradas em todo o espaço. Porém, esta dificul- dade é resolvida definindo os modos de ondas planas em um vo- lume finito; ao fim, quando as quantidades físicas são avaliadas, o limite de um volume infinito pode ser aplicado. Aqui, tal "pro- cedimento de normalização" já não pode ser implementado devido a uma particularidade do espaço-tempo mostrado: a distância de espaço de qualquer ponto em r > rH para o horizonte de evento é infinita como mostra a equação (2.63); conseqüentemente, qual- quer volume ao redor do horizonte é infinito. Logo não é possível normalizar os modos achados acima. Isto se dá devido ao fato de que a geometria perto do horizonote, descrita pela equação (5.38), corresponde a um espaço-tempo de anti-deSitter (AdS). Mais precisamente, uma parte do espaço-tempo de anti-deSitter. É bem conhecido que o espaço-tempo de AdS tem problemas especiais relativo à propagação de dados iniciais definidos em uma determinada hipersuperficie. Na realidade, só podem ser obtidos os valores de uma determinada confluência de campos em uma determinada hipersuperficie dos dados iniciais destes campos em uma outra hipersuperficie que possa cobrir por inteiro este espaço- tempo. Isto acontece devido ao fato que o espaço-tempo de anti- deSitter no infinito ser do tipo tempo, ou seja, este espaço-tempo não é globalmente hiperbólico. Para uma revisão das propriedades 82 do espaço-tempo de anti-deSitter, veja as referências [2,27,30]. A formulação de uma teoria quântica de campos para um espaço-tempo de anti-deSitter foi estudada na referência [24]. Neste trabalho, foi mostrado que nenhum espaço de Hilbert pode ser im- plementado em tal espaço-tempo a menos que condições de con- torno específicas sejam fixadas num espaço finito. Para fazer isto, é necessário usar uma cobertura total do espaço-tempo de anti- deSitter. Porém, a geometria descrita pela métrica (5.39) não corre- sponde a esta cobertura total. A conclusão é que não é possível definir uma base completa de modos quânticos ortonormais perto do horizonte para o buraco negro de RN extremo. Neste sentido, nós podemos entender o resul- tado negativo da não normalização, precedente: a propagação global de campos quânticos do infinito passado para infinito futuro está mal definido devido ao procedimento anômalo destes campos quân- ticos perto do horizonte. Os modos cruzam a casca num instante infinitesimal antes da formação do horizonte e se propagam na geometria descrita perto do horizonte (descrita pelo espaço-tempo de anti-deSitter). Eles são, nesta situação, modos não normais. Conseqüentemente, a base no infinito futuro não é mais uma base completa de modos normais. É instrutivo comparar esta situação com o que acontece com buracos negros AdS [28,29] que desempenham um papel crucial na correspondência AdS/CFT (teoria de cordas). Neste caso, os objetos descritos pela métrica (5.38) a uma dis- tância infinitesimalmente pequena do horizonte, correspondem a ρ → ∞ e, não a ρ → 0 como no caso não extremo. Novamente, a solução da equação de Klein-Gordon é da forma da equação (5.41). Agora, um dos modos é divergente no sentido do produto interno de KG, enquanto o outro é finito, desde que as soluções sejam vá- 85 exemplo da violação da terceira lei de termodinâmica, que fornece a entropia como sendo S = ABH/4. Teriamos um objeto em temperatura zero, mas com entropia finita como comenta o autor da referência [16]. Capítulo 6 Buracos Negros com Gravidade Superficial igual a Zero 6.1 Introdução Pode-se obter a temperatura de um buraco negro de difrentes mo- dos como vimos no capítulo anterior. Geralmente afirma-se que esta temperatura é proporcional à gravidade superficial do buraco negro. Quando a gravidade superficial não é zero, esta afirmação é consistente com a temperatura obtida por outros métodos, como a euclideanização da métrica ou o cômputo dos coeficientes de Bogoli- ubov como nas referências [6,7,17–19]. Porém, estas considerações parecem ser mais delicadas para os buracos negros cuja a gravidade superficial é zero. Neste trabalho, nós empregaremos o termo "buracos negros "ex- tremos para denotar objetos que são, em princípio, o caso limite de uma classe mais geral de buracos negros, como na solução de Reissner-Nordström. Há buracos negros que têm gravidade super- 86 87 fícial igual a zero mas não se encaixam nesta classificação, como é o caso dos buracos negros da teoria escalar-tensorial (teoria de Brans-Dicke) [31, 32]: neste caso, todas possíveis soluções de bu- raco negro têm gravidade superfícial igual a zero sem ser o caso limite de qualquer outra solução. Por isso são chamados de bura- cos negros frios. Objetos com gravidade superficial igual a zero são realmente muito particulares. No caso da solução de Reissner-Nordström, ex- iste o caso extremo quando aplicamos o limite M → Q. Porém, na referência [16] o autor afirma que o buraco negro RN extremo deve ser visto como um objeto qualitativamente diferente com respeito ao não extremo, e não simplesmente como o caso limite: um buraco negro extremo não pode ser o resultado da evaporação de um não extremo, nem eles podem originar um buraco negro não extremo absorvendo energia. Neste sentido, a termodinâmica dos buracos negros extremos tem muitas características especiais. Por exem- plo, é discutido que buracos negros extremos têm entropia zero, até mesmo se a área do horizonte de evento não for zero [16, 33]. Conseqüentemente a lei S = ABH/4 não seria válida para estes bu- racos negros. Porém, o cômputo da entropia contando o número de estado no contexto da teoria de cordas conduz para o resultado oposto [34]. Trataremos aqui de dois exemplos de buracos negros com gravi- dade superficial igual a zero. São eles, os buracos negros da teoria escalar-tensorial [31,32] e o outro é o caso extremo do buraco negro em um sistema de multidimensional com acoplamento conforme da gravidade a um campo maxwelliano [35]. Faremos uma análise semelhante a que foi feita anteriormente. Considerando o colapso de uma casca esférica e computando os coeficientes de Bogoliubov, onde veremos que estes buracos negros 90 condição de espaço-tempo estático é violada pelo teorema de Birk- hoff. Mas isto ocorre quando todo espaço-tempo é praticamente Minkowski. Porém, no segundo cruzamento da métrica quando o buraco negro já está quase formado, ou seja, o espaço já é quase estático, tal problema não compromete os passos principais do cál- culo. Conseqüentemente, nós podemos proceder como foi determi- nado no capítulo anterior a partir do segundo cruzamento da métrica. Passamos então à segunda colagem da métrica, onde ds 2r < R2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ r = R(t) = ds 2r > R2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ r = R(t) 1 − ( dR dT )2 − R2 ( dΩ dT )2 = ( 1 − 2k R ) n+2 m−n ( dt dT )2 + − ( 1 − 2k R ) n−2m m−n ( dR dT )2 − R2 ( 1 − 2k R ) −m m−n ( dΩ dT )2 , como estamos num espaço-tempo sem rotação, dΩ/dT = 0. Portanto 1 − ( dR dT )2 = ( 1 − 2k R ) n+2 m−n ( dt dT )2 + − ( 1 − 2k R ) n−2m m−n ( dR dT )2 . Como estamos assumindo que o ponto de saída do raio que vai para o infinito futuro se dá próximo ao horizonte, R = 2k + A(T0 − T ), temos que dt dT ≈ ±A [ A(T0 − T ) 2k ]− (m + 1) m − n t ≈ ± (2k) m + 1 m − n ( m − n n + 1 ) [A(T0 − T )]− (n + 1) m − n Temos da equação (6.4) que, dr∗ = ( 1 − 2k r )− (m + 1) m − n dr 91 onde esta equação integral so pode ser resolvida perto do horizonte, r = 2k + y sendo y 1. Portanto r∗ = ∫ ( 1 + 2k y ) m + 1 m − n dy ≈ ∫ ( 2k y ) m + 1 m − n dy ≈ −2k ( m − n n + 1 )( y 2k )− (n + 1) m − n , sendo y = A(T0 − T ). Podemos achar agora o nosso modo u, de maneira idêntica ao caso RN, como sendo u = ( D v0 − v ) n + 1 m − n , (6.10) onde D n + 1 m − n = 2 ( 1 + A A ) n + 1 m − n ( m − n n + 1 ) (2k) m + 1 m − n . (6.11) Agora podemos calcular os coeficientes de Bogoliubov pelas equações (3.63) e (3.68). Temos, αωω′ = i ∫ v0 −∞ f∗ω′ ↔ ∂v gω dv = 1 4π √ ωω′ ∫ v0 −∞ [ ω D n + 1 m − n ( n + 1 m − n ) (v0 − v)− (m + 1) m − n + ω′ ] × × exp { i [ ω′v − ω ( D v0 − v ) n + 1 m − n ]} dv . Fazendo a mudança de variável v0 − v = x/ω′, temos αωω′ = eiω ′v0 4π √ ωω′ ∫ ∞ 0 [ ω (D ω′) n + 1 m − n ( n + 1 m − n ) x− (m + 1) m − n + 1 ] × ×exp    − i  x + ω ( Dω′ x ) n + 1 m − n      dx . (6.12) 92 De forma análoga encontramos βωω′ = e− iω ′v0 4π √ ωω′ ∫ ∞ 0 [ 1 − ω (D ω′) n + 1 m − n ( n + 1 m − n ) x− (m + 1) m − n ] × ×exp    i  x − ω ( Dω′ x ) n + 1 m − n      dx . (6.13) Podemos observar que se (n + 1)/(m − n) = 1, isto é m = 2n + 1, a relação u = u(v) é a mesma que a do caso RN extremo. Para este caso, quando n for par, o diagrama de espaço-tempo é igual ao do caso Reissner-Nodström extremo. Quando n for ímpar, a estru- tura do espaço-tempo é mais complexa, e pode admitir geodésicas fechadas. De qualquer maneira, os problemas apresentados antes são iguais a do RN caso extremo, e nenhuma noção de temperatura pode ser obtida: a análise semiclássica simplesmente não é válida. Para os outros casos onde (n + 1)/(m − n) 6= 1, os coeficientes de Bogoliubov dependem dos valores particulares que esta relação pode levar. Em geral, eles são expressos em termos das funções de Meijer. Mas, o coeficiente βωω′ nunca é zero, e os mesmos problemas que existem no caso RN extremo continuam acontecendo. Nos resta agora analisar o comportamento dos modos quânticos perto do horizonte (r/rH ≈ 1). Perto do horizonte a métrica (6.2) torna-se ds 2 ≈ ρn + 2 dt2 − 4k2 (m − n)2 ρ−(n + 2) dρ2 − 4k2 ρ−m dΩ2 . (6.14) Resolvendo a equação de KG para a métrica (6.14) 2 Φ = 0 ϕ′′ − (m − n − 2)ϕ ′ ρ − (m − n)2 l(l + 1) ρm−n− 2 ϕ + + 4k2(m − n)2ω2 ρ− 2(n + 2) ϕ = 0 , (6.15) onde Φ = ϕ(ρ) eiωt e (′) denota a derivada em relação a ρ.