plasmas na astrofísica, Notas de estudo de Física

Baixe plasmas na astrofísica e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! - CAPÍTULO 1 - PLASMA EM ASTROFÍSICA Introdução Plasma é um gás que contém suficiente número de part́ıculas livres carregadas para que seu comportamento dinâmico seja dominado por forças eletromagnéticas. Mesmo baixos graus de ionização são suficientes para um gás exibir propriedades eletromagnéticas. Com cerca de um por cento de ionização, a condutividade elétrica é próxima à de um gás completamente ionizado. Grande parte da matéria no universo acha-se sob a forma de plasma. Precisamos portanto, de f́ısica de plasmas para compreender adequadamente a atividade solar e estelar, formação de estrelas, pulsares, NAG’s, jatos supersônicos, f́isica do meio interestelar, etc. Neste curso, estudaremos os conceitos de f́ısica de plasma úteis na compreensão desses fenômenos. CONGELAMENTO DO CAMPO MAGNÉTICO Esse conceito, introduzido por Alfvén, estabelece que as linhas de força movem-se com o plasma. Campos magnéticos armazenam energia que pode ser usada para acelerar part́ıculas e também exercem forças que afetam o movimento da matéria no espaço. O congelamento do campo magnético permite predizer a configuração magnética futura a partir do valor no presente e é, portanto, fundamental na compreensão de fenômenos dinâmicos. Do fato de que o congelamento não parece permitir a criação de um novo fluxo, poder-se-ia inferir que campos magnéticos cósmicos são primordiais. A opinião geral é que os campos não são primordiais, mas são criados por processos que violam o congelamento de um modo especial. Portanto, o conceito de congelamento das linhas do campo deve ser usado com cuidado e critério. 1 1.1 O movimento de part́ıculas carregadas Vamos nos concentrar primeiro no movimento de uma part́ıcula carregada de massa m e carga q. Na ausência de outras interações, a part́ıcula obedee a eq. de força de Lorentz: m d~v dt = q( ~E + ~v c × ~B) (1.1) Onde q = Ze para os ı́ons e “-e” para os elétrons. a) Consideremos ~E = 0, ~B = cte. A solução de (1.1) é: ~v = ~v// + ~v⊥ (1.2) Onde v// é uma constante e v⊥ corresponde à velocidade de giração (ou circulação) em torno do campo ~B com uma frequência: ωB = | q | B mc (1.3) E o raio de circulação rB = v⊥ ωB (1.4) Para valores de B e v⊥ encontrados em Astronomia, ωB é grande comparado ao inverso das escalas de tempo t́ıpicas, e rB é pequeno comparado a escalas de distâncias t́ıpicas. Portanto, assumir que ~B é constante e é em geral razoável. Além disso, parece ser razoável que se uma linha de força move-se, part́ıculas carregadas movem-se com ela, isso é o “congelamento”! b) Consideremos agora ~E ⊥ ~B. Vamos definir 2 neme d~ve dt = −~∇pe + neme~g − nee( ~E + ~ve c × ~B) + ~Pei (1.12) Onde ~Pei é a taxa de transferência de momento dos ı́ons para os elétrons por colisões elásticas e ~g é a aceleração gravitacional. Na ausência de ~Pei, ~g e pe, a eq. (1.12) reduz-se a (1.1). Desejamos simplificar essa equação. O primeiro passo é usar o fato de que os elétrons são leves (me << mi) e desprezar o termo nemed~ve/dt, o que implica, por sua vez, em assumir que em qualquer instante todas as forças no lado direito da eq. estão em equiĺıbrio. Isso claramente não pode ser verdadeiro para os ı́ons, do contrário o plasma nunca poderia ser acelerado como um todo; é por isso que nossa hipótese só é válida se me << mi, como de fato ocorre. Se dividirmos a equação resultante por nee, (1.12) pode ser reescrita na forma ~E = −~ve c × ~B + me e ~g − 1 nee ~∇pe + ~Pei nee (1.13) Agora precisamos de uma expressão para ~Pei. Após uma colisão com um ı́on, um elétron fica em repouso (em média) no centro de massa do sistema movendo-se com a velocidade v = me~ve + mi~vi me + mi (1.14) Onde ~vi é a velocidade média dos ı́ons. Assim, a variação no momento do elétron é me(v − ~ve) = memi me + mi (~vi − ~ve) ' me(~vi − ~ve) (1.15) Como cada elétron colide νc = nivthσei vezes por segundo, onde σei é a secção de choque da colisão elástica, então a força/volume de fricção devido às colisões e-́ıon, Pei ≡ ne∆P/∆t será: 5 ~Pei = me(~vi − ~ve)vcne = nenivthσeime(~vi − ~ve) (1.16) Essa equação está relacionada à densidade de corrente: ~J = Zeni~vi − ene~ve = Zeni(~vi − ~ve) (1.17) se fazemos a hipótese, a ser justificada mais tarde, de que em todo os instantes ocorre a NEUTRALIDADE DA CARGA: Zeni = ene (1.18) Combinando (1.16) e (1.17), verificamos que ~Pei = nevthσeime Ze ~J (1.19) E substituindo em (1.13) ~E = −~ve c × ~B + me e ~g − 1 nee ~∇pe + η ~J (1.20) Onde introduzimos a resistividade elétrica η = mevthσei Ze2 (1.21) Uma vez que vth ∼ T 1/2 e σei ∼ Z2T−2, η ∼ ZT−3/2, ou seja (ver e.g, Boyd & Sanderson): 6 η = 8π nin−1e m 1/2 e e 2(kT )−3/2Z2lnΛ A fórmula exata para o gás de hidrogênio puro (onde Zni = ne, e Z = 1) é: η = 7× 10−9 T 3/2 lnΛ s (1.22) Onde lnΛ é 1 fator tabelado por Spitzer (p. 128) que leva em conta a razão entre os efeitos de várias deflexões pequenas e os efeitos das deflexões de 90o. Em astronomia, lnΛ está usualmente na faixa de 20 a 30. A eq. (1.20) é a Lei de Ohm. 1.2.1 Neutralidade da Carga Ao derivar a lei de Ohm, nós desprezamos as acelerações dos elétrons e desvios da neutralidade da carga. Para ver se isso é válido, vamos considerar os efeitos causados ao se violar ambas as condições, mas ignorando os outros efeitos (pe, ~g e ~Pei). O fenômeno resultante é denominado oscilação eletrônica do plasma. Consideremos movimentos dos elétrons paralelos a ~B os quais resultam em uma concentração local de carga de uma quantidade δne (é razoável assumir que os ı́ons permaneçam fixos porque a frequência que iremos encontrar é alta e a mobilidade dos ı́ons comparada à dos elétrons é muito menor, veja abaixo). A densidade de carga ĺıquida será então δρ = −eδne (1.23) Da lei de Coulomb temos: ~∇. ~E = ∂E// ∂x = 4πδρ = −4πeδne (1.24) Onde x é a coordenada ao longo de ~B. Seja ξ o deslocamento médio dos elétrons, então δne satisfará à equação de continuidade (ver eq. 2.6, Cap. 2; ou eq. 3.2, Cap. 3) válida 7 O qual decai muito mais rápido que o potencial Coulombiano de uma carga no vácuo. Nessa eq., n1 denota a densidade de cargas dentro da esfera de Debye. Vemos que o comprimento de Debye (λD) dá uma medida da extensão do campo de uma carga no plasma. Para distâncias << que λD o potencial efetivo é essencialmente o Coulombiano, já para distâncias >> que λD, o potencial efetivo decai exponencialmente. 1.3 Uma equação de evolução para ~B A lei de Ohm leva ao congelamento do fluxo de ~B. Na teoria eletromagnética a evolução de ~B é governada pela lei de Faraday de indução, a qual, sob a luz da eq. (1.20) pode ser escrita como ∂ ~B ∂t = −c~∇× ~E = ~∇× (ve × ~B)− mec e ~∇× ~g− − c ne 2e ~∇ne × ~∇pe − cη~∇× ~J (1.29) Agora, ~∇× ~g = 0 (e essa é a razão pela qual mantivemos esse termo até agora, apesar de o mesmo ser proporcional a me) e ~J pode ser eliminado utilizando-se a lei de Ampère: ~J = c 4π ~∇× ~B (1.30) e a lei de Gauss ~∇. ~B = 0 (1.31) para escrevermos (1.29) como: ∂ ~B ∂t = ~∇× (~ve × ~B) + ηc 2 4π ~∇2 ~B − c n2ee ~∇ne × ~∇pe (1.32) O último termo, denominado bateria (ou “pilha”) de Biermann, é normalmente negligenciado em discussões elementares. Nós vamos deixá-lo de lado por ora e retornar a 10 ele mais tarde no curso. (Note-se que esse termo se anula se pe depende apenas de ne). Os outros termos de (1.32) indicam que ~B pode ser evolúıdo conhecendo-se apenas seu valor no presente e a velocidade ~ve. Vamos dar uma olhada no segundo termo do lado direito da eq. (1.32), o qual representa a difusão do vetor campo magnético. Esse termo tem várias propriedades fascinantes, mas aqui devemos enfatizar que na maior parte do tempo ele é pequeno quase em toda parte. Há uma analogia da eq. (1.32) (sem o termo de Biermann) com a equação de vorticidade em mecânica dos fluidos ~ω = ~∇× ~v: ∂~ω ∂t = ~∇× (~v × ~ω) + ν∇2~ω (1.33) Onde v (unidades cm2 s−1) é o coeficiente de difusão denominado viscosidade cinemática. Notamos que ηc2/4π também possui unidades de cm2 s−1 e, a partir de (1.32), ele também pode ser interpretado como um coeficiente de difusão. A ele dá-se o nome de viscosidade magnética vM : νM = ηc2 4π (1.34) Portanto (1.32) pode ser escrita como ∂ ~B ∂t = ~∇× (~ve × ~B) + νM ~∇2 ~B (1.35) Em mecânica dos fluidos, a razão entre o 1o e o 2o termos do lado direito de (1.33): | ~∇× (~v × ~ω) | v | ~∇2~ω | ∼ Lv ν = Re (1.36) Onde L é uma escala de comprimento que define as variações em ω no sistema e Re é denominado o número de Reynolds. Em muitos casos (inclusive na maior parte dos casos astronômicos) Re >> 1, significando que a difusão pode ser desprezada exceto em “boundary layers” bem finas onde L é pequeno. Em f́ısica de plasmas a razão 11 | ~∇× (~ve × ~B) | νM | ~∇2 ~B | ∼ Lve νM = ReM (1.37) é denominada número de Reynolds magnético. Em vários dos casos astronômicos ReM >> 1, o que significa que a difusão pode ser desprezada exceto em regiões de reconexão estreitas onde L é pequeno. Nós vamos retornar a essa situação em um caṕıtulo posterior. Por ora, nós simplesmente vamos desprezar o termo de difusão e examinar as consequências. Essa é a situação denominada de “MHD ideal”. 1.4 Congelamento do Fluxo de ~B Da eq. (1.35) com η = 0 obtemos: ∂ ~B ∂t = ~∇× (~ve × ~B) (1.38) que pode ser chamada de eq. de indução modificada. “Modificada” porque em muitos dos tratamentos, a velocidade média do plasma ~v substitui ~ve na eq. (1.38) e isso leva a uma importante diferença, conforme veremos. Integrando (1.38) sobre uma superf́ıcie A aberta cercada por um contorno fechado ∂S e usando o teorema de Stokes, obtém-se: ∂ ∂t ∫ A ~B.d ~A = ∫ A ~∇× (~ve × ~B).d ~A = ∮ ∂S (~ve × ~B).d~s = − ∮ ∂S (~ve × d~s). ~B (1.39) De modo que: ∂ ∂t ∫ A ~B.d ~A + ∮ ∂S (~ve × d~s). ~B = 0 (1.40) O 1o termo é a taxa de variação do fluxo de ~B: 12 Podemos também pensar em termos da conservação do fluxo seguindo os elétrons e usar (1.40) e (1.41) para escrever d dt φ = 0 (1.49) Onde d/dt é dado por (1.46). Ou seja, o fluxo através de um contorno fechado movendo- se com os elétrons é conservado. Essa conservação não ocorre em regiões de reconexão e também não é verdadeira no caso de d́ınamo (que são sistemas geradores de campo magnético). No caso do Universo primordial, se admitirmos que, por ex., na época da nucleosśıntese primordial, quando t ' 100s, ~B era nulo, então a eq. (1.49) implicaria φ nulo (e portanto também ~B nulo) através de todos os contornos e em todas as épocas, o que contraria as observações. Isso implica que, ou ~B é de fato primordial (ou seja ~B 6= 0 desde o Big Bang, por ex.) ou que o congelamento do fluxo do campo é violado de algum modo em determinadas circunstâncias, como nos casos acima citados. Essa questão tornará a ser discutida posteriormente no curso. Vemos no entanto que, num caso mais geral em que o fluido não é perfeitamente condutor (e portanto η 6= 0) a eq. que descreve a evolução de ~B não é mais (1.38) e sim (1.35) e portanto (1.49) não é mais válida. Nesse caso, devemos esperar que, embora as linhas de força de ~B ainda sejam transportadas pelo fluido em movimento, elas não estarão mais “congeladas” ao fluido, mas poderão difundir (ou “escorrer”) através dele. A convicção das linhas de força dominará a difusão sempre que Lv >> η. 1.5 Mais sobre campos elétricos De acordo com as eqs. de Maxwell, a evolução de ~E é descrita por ∂ ~E ∂t = c~∇× ~B − 4π ~J (1.50) Mas em nosso tratamento até o momento, implicitamente assumimos que ∂ ~E/∂t ' 0 (como na eq. 1.30). Vejamos se tal hipótese é consistente. Considerando a componente de ~E 15 perpendicular ao campo ~B, ~E⊥, podemos estimar E⊥ a partir do termo dominante de (1.20): | ∂ ~E⊥ ∂t |' veB c∆t (1.51) Logo, a razão desse termo com | c~∇× ~B | em (1.50) é: ∂E⊥ ∂t c | ~∇× ~B | ' veB c∆t cBL = veL c2∆t ∼ ( ve c )2 (1.52) Onde fizemos a hipótese de que L/∆t ∼ ve. Logo, ∂E⊥/∂t é de fato despreźıvel em situações não-relativ́ısticas onde ve << c. Vejamos agora a componente paralela, ~E//. Vimos anteriormente que as oscilações do plasma não favorecem a manutenção de um grande valor para E//. Mas, podemos estimar seu valor a partir de (1.20): | ~E// |' η | ~J// |' ηc 4π | (~∇× ~B)// |∼ ηcB 4πL cosα (1.53) Onde utilizamos apenas o termo dominante de (1.50) para avaliar J// e onde α é o ângulo entre ~J e ~B. (1.53) pode ser comparada a | ~E⊥ |∼ veB c (1.54) De modo que a razão entre ambas | ~E// | | ~E⊥ | ∼ ηc 2 4πveL cosα = vM veL cosα ∼ cosα ReM (1.55) Nós hav́ıamos visto anteriormente que ReM >> 1 em astronomia, em geral. Logo, conclúımos que | E// | é em geral <<| E⊥ |. E, portanto, ∂E///∂t é ainda menor que 16 ∂E⊥/∂t por um fator ∼ R−1eM . Assim, ficamos justificados ao assumir (em situações não relativ́ısticas) a eq. (1.50) na forma ~∇× ~B = 4π c ~J (1.56) como fizemos em (1.30). Note-se que em regiões estreitas de reconexão onde ReM não precisa ser muito grande, porque L é pequeno, E// pode ser grande e as part́ıculas podem ser aceleradas ao longo de ~B, como é o caso das manchas solares! Vamos agora examinar o que ocorre com ~∇. ~E. Vou deixar como exerćıcio para o leitor demonstrar que ρ nee ∼ | ~vi − ~ve | ve ' v 2 c2 (1.57) Onde ρ é a densidade de carga ĺıquida ρ = Zeni − ene. A eq. (1.57) nos mostra que a densidade de carga ĺıquida é bem pequena o que é consistente com a hipótese da quase neutralidade do plasma (ρ ' 0). Sumarizando, considerando apenas os termos dominantes de (1.20), ~E é dado por ~E = −~ve × ~B c + η ~J = −~ve × ~B c + ηc 4π ~∇× ~B (1.58) A eq. acima expressa o balanceamento de forças sobre os elétrons e leva a uma aproximação consistente com as caracteŕısticas de um plasma. O 1o termo gera um campo elétrico perpendicular a ~B, a partir de ~B. Já o 2o termo gera uma componente perpendicular e uma paralela a ~B. 17