Baixe FAQ sobre fasores e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! 1 / 22 y t ' Y M cos ω t%φ (1.1) e jβ ' cos β % j sin β (1.2) Fig. 1.1 Charles Proteus Steinmetz. F.A.Q. sobre fasores Clovis Goldemberg (com a colaboração da Prof. Denise Consonni) V0.8-Março/2007 1. Porque usar fasores? A notação fasorial simplifica a resolução de problemas envolvendo funções senoidais no tempo. 2. O que é um fasor? Um fasor é um número complexo que representa a magnitude e a fase de uma senóide. 3. Quem inventou fasores? O uso de números complexos para resolver problemas em circuitos de corrente alternada foi apresentado pela primeira vez por Charles Proteus Steinmetz em um artigo de 1893. Ele nasceu em Breslau, na Alemanha, filho de um ferroviário. Tornou-se um gênio da ciência apesar de ser um deficiente físico de nascença e ter perdido a mãe com apenas 1 ano de idade. Assim com seu trabalho sobre as leis da histerese atraíram a atenção da comunidade científica, suas atividades políticas na Universidade de Breslau atraíram a polícia política. Foi forçado a fugir da Alemanha sem conseguir concluir seu trabalho de doutorado. Trabalhou em inúmeras pesquisas nos Estados Unidos, principalmente na General Electric Company. A GE havia sido fundada por Thomas Edison que a dirigiu entre 1876 a 1892. O período de 1892 a 1923 ficou conhecido como sendo a Era Steinmetz, por razões óbvias. Seu “paper” sobre números complexos revolucionou a análise de circuitos AC apesar de terem dito (naquela época) que ninguém, exceto Steinmetz, entendia o método. 4. Como se escreve um fasor? Esta pergunta deve ser decomposta em várias etapas... a. Escreva no domínio do tempo como sendo uma função cossenoidal com uma fasey t determinada. Por exemplo: Onde: é a amplitude da onda cossenoidal (sempre $0)Y M é a fase da onda cossenoidal [rd]φ é a frequência angular da onda cossenoidal [rd/s]ω b. A fórmula de Euler estabelece que: e consequentemente temos: 2 / 22 cos β ' Re e jβ (1.3) y t ' Y M cos ω t%φ ' Re Y M e j ω t%φ ' Re Y M e jω t e jφ (1.4) Ŷ ' Y M e jφ ' Y M pφ (1.5) Ŷ ' Y M cosφ % jsinφ (1.6) i t ' 5 sin 100 t % 2π /3 (1.7) i t ' 5 cos 100 t % π /6 (1.8) Fig. 1.2 Representação gráfica do fasor .Ŷ c. Aplicando a Eq. (1.3) em (1.1) resulta: d. O fasor é dado por:Ŷ e. Fasores não giram! Isto porque o termo da Eq. 1.4 é considerado à parte.e jω t f. A representação do fasor adotada na Eq. (1.5) é denominada polar. Entretanto seriaŶ perfeitamente aceitável uma representação usando números complexos: 5. Representação gráfica de um fasor A representação gráfica do fasor indicado na Eq. (1.5) está dada na Fig. 1.2Ŷ 6. Qual a fase de um fasor? Não existe uma única resposta a esta pergunta. Como o tempo é relativo (mais que isto, “tudo é relativo...” e o “big-bang” ocorreu há muito tempo atrás...) é necessário arbitrar um instante inicial para definir a fase do fasor . Esta origem dos tempos deve ser a mesma para todosŶ os fasores de um mesmo problema. Como regra prática adota-se um dos fasores como referência. Ou seja, este fasor específico tem fase nula. Os outros fasores podem estar “adiantados”, “atrasados” ou “em fase” em relação à referência de fase estabelecida. 7. Um exemplo de fasor? Considere uma corrente: Reescreva esta mesma corrente como sendo uma função cossenoidal. 5 / 22 v t ' L d i t d t (1.26) v t ' V M cos ω t % φ (1.27) v t ' Re V M e jω t e jφ (1.28) i t ' I M cos ω t % β (1.29) i t ' Re I M e jω t e jβ (1.30) Re V M e jω t e jφ ' L d Re I M e jω t e jβ dt ' jωL Re I M e jω t e jβ (1.31) V M e jω t e jφ ' jωL I M e jω t e jβ (1.32) V M e jφ ' jωL I M e jβ (1.33) V̂ ' jωL Î (1.34) V M e jφ ' jωL I M e jβ ' ωL I M e j90E e jβ ' ωL I M e j β%90E (1.35) V M e jφ ' ωL I M e j β%90E (1.36) φ ' β%90E (1.37) 11. Indutores A equação diferencial básica para um indutor ideal é: Considere que a tensão é dada por:v t que pode ser reescrito como: A corrente também será dada por uma função cossenoidal que possui uma fase . Portanto:β e também: Agrupando as Eqs. (1.26), (1.28) e (1.30) teremos: que pode ser simplificada eliminando-se a função “real” dos dois lados: Os dois lados podem ser divididos por resultando:e jω t Em termos fasoriais temos: onde: V̂ ' V M p φ Î ' I M p β A partir da Eq. 1.33 podemos escrever: e portanto: Conclui-se da Eq. 1.36 que: Neste caso as fases da tensão e corrente são diferentes! A tensão está adiantada de em90E relação à corrente. Observe a Fig. 1.5 abaixo e o diagrama fasorial correspondente na Fig. 1.6. 6 / 22 i t ' C d v t d t (1.38) v t ' V M cos ω t % φ (1.39) v t ' Re V M e jω t e jφ (1.40) i t ' I M cos ω t % β (1.41) i t ' Re I M e jω t e jβ (1.42) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ωt [deg] v(t) i(t) Fig. 1.5 Relação temporal entre corrente e tensão em indutor ideal. Fig. 1.6 Diagrama fasorial para um elemento indutivo. 12. Capacitores A equação diferencial básica para um capacitor ideal é: Considere que a tensão é dada por:v t que pode ser reescrito como: A corrente também será dada por uma função cossenoidal que possui uma fase . Portanto:β e também: 7 / 22 Re I M e jω t e jβ ' C d Re V M e jω t e jφ dt ' jωC Re V M e jω t e jφ (1.43) I M e jω t e jβ ' jωC V M e jω t e jφ (1.44) I M e jβ ' jωC V M e jφ (1.45) Î ' jωC V̂ (1.46) V̂ ' 1 jωC Î (1.47) I M e jβ ' jωC V M e jφ ' ωC V M e j90E e jφ ' ωC V M e j φ%90E (1.48) I M e jβ ' ωC V M e j φ%90E (1.49) V M e j φ%90E ' 1 ωC I M e jβ (1.50) φ%90E ' β (1.51) Agrupando as Eqs. (1.38), (1.40) e (1.42) teremos: que pode ser simplificada eliminando-se a função “real” dos dois lados: Os dois lados podem ser divididos por resultando:e jω t Em termos fasoriais temos: e também: onde: V̂ ' V M p φ Î ' I M p β A partir da Eq. 1.46 podemos escrever: e portanto: e finalmente: Conclui-se da Eq. 1.50 que: Neste caso as fases da tensão e corrente são diferentes! A tensão está atrasada de em90E relação à corrente. Observe a Fig. 1.7 abaixo e o diagrama fasorial correspondente na Fig. 1.8. 10 / 22 V̂1 ' VM1 cosφ1 % jsinφ1 (1.62) V̂2 ' VM2 cosφ2 % jsinφ2 (1.63) V̂ Total ' V M1 cosφ1%VM2 cosφ2 % j VM1 sinφ1%VM2 sinφ2 (1.64) Fig. 1.10 Sistema de tensões trifásico, com ligação estrela. A soma de fasores também pode ser realizada usando coordenadas retangulares. Temos: Observando-se a Fig. 1.9 nota-se que a soma de um fasor também é um fasor! Uma generalização imediata é que um número qualquer de fasores podem ser somados, sempre resultando um fasor. Lembrar também que só é possível somar fasores de mesma freqüência! 17. Sistema trifásico Fasores podem ser usados para representar um sistema de tensões trifásico. No caso da Fig. 1.10 temos: ! um sistema trifásico (três tensões), denominadas de tensões de fase; ! equilibrado (as tensões possuem a mesma magnitude); ! a defasagem entre as tensões é de 120 graus; ! a sequência de fases é RST; Na Fig. 1.10 o tipo de ligação indicado é estrela, onde os três fasores possuem um ponto comum, denominado neutro (N). 11 / 22 V̂ RS ' V̂ R & V̂ S V̂ ST ' V̂ S & V̂ T V̂ TR ' V̂ T & V̂ R (1.65) V̂ RS ' 220 2 p%30E' 311.1p%30E V̂ ST ' 220 2 p&90E' 311.1p&90E V̂ TR ' 220 2 p&210E' 311.1p&210E (1.66) V̂ R ' 179.6p0E V̂ S ' 179.6p&120E V̂ T ' 179.6p&240E (1.67) V Fase ' V Linha 3 (1.68) V Fase ' 220 3 ' 127 VRMS (1.69) Fig. 1.11 Sistema de tensões trifásico, com ligação delta. Na Fig. 1.11 o tipo de ligação também temos 3 tensões, denominadas de tensões de linha, defasadas de 120 graus: No Brasil, os módulos das tensões de linha normalmente valem 220 VRMS. Isto significa que os fasores correspondentes serão: Um cálculo simples é capaz de mostrar que as tensões de fase correspondentes são: correspondendo a tensões de fase de 127 VRMS. Este cálculo está baseado na seguinte relação: Numericamente resulta: 12 / 22 BC ' 3 2 2 % 3 2 2 ' 9 4 % 3 4 ' 12 4 ' 3 (1.70) Fig. 1.12 Figura derivada da Fig. 1.11 para deduzir o “coeficiente mágico” 3 (Etapa 1). Fig. 1.13 Figura derivada da Fig. 1.12 utilizada para deduzir o “coeficiente mágico” (Etapa 2).3 18. Como aparece o “coeficiente mágico” 3 A dedução mais simples para o coeficiente pode ser dada através de uma análise3 geométrica, tomando-se como base a Fig. 1.12. Tal figura deriva da Fig. 1.11 apresentada anteriormente Considerando-se que os fasores e possuem amplitude unitária resulta a Fig. 1.13:V̂ R V̂ S O segmento AN possui amplitude: cos 60E '1 2 O segmento AB possui amplitude: sin 60E ' 3 2 O segmento AC possui amplitude: AN%NC ' 3 2 Por Pitágoras conclui-se que: 19. Potência ativa para um resistor ideal Apesar do tema original desta apostila ser fasores iremos aproveitar a ocasião para discutir alguns conceitos relacionados à potência ativa, repetindo-se a condição de carga resistiva que havia sido apresentada na Fig. 1.3. 15 / 22 0 50 100 150 200 250 300 350 400 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ωt [deg] v(t) i(t) Fig. 1.16 Relação temporal entre corrente e tensão em indutor ideal. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 ωt [deg] P o te n c ia [ W ] Fig. 1.17 Potência instantânea em um indutor ideal tomando-se como base a Fig. 1.16. O valor médio da potência é nulo. Nota-se na Fig. 1.17 que: ! a potência instantânea é pulsante; ! a pulsação de potência ocorre com periodicidade de 180E ( );2ω ! a potência possui um valor médio nulo. 16 / 22 0 50 100 150 200 250 300 350 400 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ωt [deg] v(t) i(t) Fig. 1.18 Relação temporal entre corrente e tensão em capacitor ideal. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 ωt [deg] P o te n c ia [ W ] Fig. 1.19 Potência instantânea em um capacitor ideal tomando-se como base a Fig. 1.18. O valor médio da potência é nulo. 21. Potência ativa para um capacitor ideal E se a carga fosse um capacitor ideal ? A tensão e corrente neste caso estão apresentadas na Fig. 1.18 e a potência ativa instantânea é dada na Fig. 1.19. 17 / 22 v t ' V M cos ω t i t ' I M cos ω t & n (1.76) p t ' V M cos ω t × I M cos ω t & n (1.77) p t ' V M I M 2 cos n 1 % cos 2ω t % V M I M 2 sin n sen 2ω t (1.78) p t ' P 1 % cos 2ω t % Q sen 2ω t (1.79) P ' V M I M 2 cos n (1.80) Q ' V M I M 2 sin n (1.81) S ' P 2 % Q 2 ' V M I M 2 (1.82) P ' S cos n (1.83) Q ' S sin n (1.84) Nota-se na Fig. 1.19 que: ! a potência instantânea é pulsante; ! a pulsação de potência ocorre com periodicidade de 180E ( );2ω ! a potência possui um valor médio nulo. 22. Como é que a potência média pode ter valor nulo se existe corrente e tensão? Vamos retornar à pergunta: “como é que se calcula o valor médio da potência?” Temos, no caso geral (para qualquer tipo de carga): Neste caso existe uma defasagem entre a tensão e a corrente. Esta defasagem pode ser, non caso geral, tanto positiva quanto negativa. Calculamos: da qual se deduz: podemos escrever também: onde os valores de P (Potência ativa) e Q (Potência reativa) são dados por: A potência ativa instantânea possui portanto 3 termos (ver Eq. 1.79): ! um valor médio não nulo P dado pela Eq. (1.80), que é a potência média; ! um valor pulsante, com valor médio nulo e periodicidade , com amplitude P ;2ω ! um valor pulsante, com valor médio nulo e periodicidade , com amplitude Q.2ω No caso do capacitor ideal temos = -90E, resultando em P=0.n No caso do indutor ideal temos = +90E, resultando em P=0.n O termo é denominado de “fator de potência”.cos n 23. Mais definições (isto não vai terminar nunca???) A partir das Eqs. 1.80 e 1.81 é usual definirmos uma potência aparente S: e consequentemente: 20 / 22 i t ' I M cos ω t ' V M 1 [Ω] cos ω t (1.92) p t ' V M I M 2 1 % cos 2ω t (1.93) p t ' V 2 M 2 1 % cos 2ω t (1.94) P Média ' V 2 M 2 ' 1[W] (1.95) V M ' 2 [V] . 1.41 [V] (1.96) Circula portanto uma corrente: A potência média dissipada deverá ser 1 [W] para que seja mantida a "equivalência energética". A potência instantânea dissipada num circuito puramente resistivo já havia sido deduzida na Eq. 1.75, reproduzida abaixo. Substituindo a corrente calculada, a Eq. 1.93 se transformará em:I M cujo valor médio neste exemplo será: Resulta da Eq. 1.95 que: Ou seja, a tensão com amplitude será capaz de produzir a mesma dissipação deV M ' 2[V] potência de uma fonte DC de 1 [V]. Tal raciocínio dá origem ao conceito de valor eficaz. Portanto, quando dizemos que uma tensão senoidal possui valor eficaz istoV RMS '1[VRMS] significa que sua amplitude é .V M ' 2[V] 28. Pode-se usar fasores em formas de onda não senoidais? Não! Entretanto, se a forma de onda original puder ser decomposta em várias componentes espectrais poderemos utilizar fasores para representar cada uma destas raias. 29. Fasores com freqüências distintas? Sim, podem existir fasores com freqüências distintas (ver pergunta 28 acima). Só que estes fasores tem que ser tratados obrigatoriamente como entidades independentes! 30. Escalas gráficas para representação de fasores. Nas Figs. 1.10 e 1.11 representamos um sistema trifásico de tensões, sendo implícito o uso de uma escala gráfica [cm]/[V] para todos os fasores. Entretanto, quando se tem fasores de tensões e correntes no mesmo gráfico (tal como ocorre nas Figs. 1.4, 1.6 e 1.8) teremos duas escalas gráficas (uma para tensões e outra para correntes). 31. Pode-se usar valores RMS na representação gráfica de um fasor? Na definição de fasores (ver Eq. 1.5) está presente a amplitude! Quando fazemos uma representação gráfica de um fasor somos obrigados a escolher uma escala gráfica qualquer do tipo [cm]/[V] ou [cm]/[A]. Na escolha desta escala gráfica podemos eventualmente incluir o termo fazendo com que a escala gráfica seja [cm]/[VRMS] ou [cm]/[ARMS].2 21 / 22 Ŷ ' Y M e jφ ' Y M pφ (1.97) Y M ' Y RMS 2 (1.98) Ŷ ' Y RMS e jφ ' Y RMS pφ [VRMS] (1.99) y t ' Re Y M e jω t e jφ (1.100) y t ' Re 2 Y RMS e jω t e jφ (1.101) Û ' 5p30E V̂ ' 5p30E [VRMS] (1.102) u(t) ' 5 cos(ω t % 30E) v(t) ' 2×5 cos(ω t % 30E) ' 7.07 cos(ω t % 30E) (1.103) 32. Pode-se usar valores RMS para representar fasores? Burlando as próprias regras? Na definição de fasores (Eq. 1.5, reproduzida abaixo) está presente a amplitude! Ocorre que a amplitude de uma grandeza senoidal está relacionada com seu valor eficaz através de (ver Eq. 1.96): Agrupando-se estas duas idéias, tornou-se relativamente freqüente a utilização de valores eficazes para fasores. Desta forma, escrevemos: Na Eq. (1.99) tomou-se o cuidado de indicar que o valor expresso é o valor eficaz da tensão! A Eq. (1.97), que é a definição rigorosa de fasores, permite o cálculo da tensão emy(t) qualquer instante através da expressão (ver Eq. 1.22): Quando admitimos o uso de valores eficazes para expressar fasores, tal como foi feito na Eq. (1.99), cálculo da tensão será feito a partir de:y(t) Para tornar mais clara a questão iremos apresentar um exemplo numérico. Considere os fasores abaixo (na freqüência angular ):ω Estes fasores correspondem às senóides: que são claramente distintas! Em resumo: “ao burlar nossa própria definição de fasores, admitindo sua expressão através de valores eficazes, será importante incluir o fator ao recalcular a senóide no domínio do2 tempo”. 33. Quantos fasores podem ser usados simultaneamente? Infinitos! Se podem existir infinitas senóides de mesma freqüência também podem existir infinitos fasores! 34. Quem mexeu no meu fasor? Fasores não giram, não rodam e não podem ser mexidos. Como se trata da representação de uma ou mais senóides de mesma freqüência em regime permanente, não há a menor possibilidade de alguém mexer no seu fasor... 22 / 22 X̂ ' Ŷ ' 5 p30E (1.104) Ẑ ' X̂ & Ŷ ' 5 p30E & 5 p30E ' 0 p0E (1.105) 35. Existem fasores com amplitude nula? E com amplitude negativa? Fasores são representados por números complexos, que possuem módulo e fase. Não existe nenhuma razão pela qual a amplitude de um fasor não possa ser nula. Considere a subtração dos dois fasores (iguais) abaixo: Resulta: O fasor resultante é definido da mesma forma que todos os outros fasores (ver Eq. 1.5). Só queẐ neste caso específico tanto o módulo quanto fase são nulos. Entretanto, não faz sentido um fasor possuir amplitude negativa. Isto porque a amplitude de um número complexo sempre será maior ou igual a zero! 36. Quem inventou impedâncias? Arthur Edwin Kennelly, nasceu em 1861 em Bombaim/India, filho de um oficial naval irlandês. Após frequentar diversas escolas básicas, Kennelly começou a trabalhar como office-boy na London Society of Telegraph Engineers (predecessora da IEE inglesa) onde permaneceu durante dois anos. Após deixar a Inglaterra procurou aprimorar seus conhecimentos técnicos trabalhando em diversos cargos técnicos em diferentes países. Em 1887 chegou aos Estados Unidos onde começou a trabalhar como principal engenheiro-assistente de Thomas A. Edison. As contribuições de Kennelly para a engenharia elétrica foram numerosas. Em 1893 apresentou o artigo "Impedance" para a AIEE-American Institute of Electrical Engineers no qual discutia o uso de números complexos para que a Lei de Ohm pudesse ser aplicada em circuitos de corrente alternada. Assim como Oliver Heaviside, Kennelly propôs a existência de uma camada de ar ionizado na atmosfera superior (atualmente conhecida como camada de Kennelly-Heaviside) que poderia atuar como superfície refletora tornando a comunicação transoceânica sem fios possível. 37. Impedâncias podem ser negativas? Impedâncias são números complexos que podem ser representados tanto na forma cartesiana quanto polar. Adotando-se a representação cartesiana ( ) não existe muito sentido em dizera%jb que a impedância é negativa pois tanto a parte real quanto imaginária podem assumir qualquer sinal. Adotando-se a representação polar, a amplitude será necessariamente maior ou igual a zero.