imca MATEMATICA, Notas de estudo de Física

Baixe imca MATEMATICA e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Instituto de Matemática y Ciencias Afines Integrabilidade de Equações Diferenciais no Plano Complexo Jorge Vitório Pereira Lima – Peru 2001 Prefácio Nesta monografia apresentamos ao leitor alguns aspectos da teo- ria de integração expĺıcita de equações diferenciais. Tratamos o caso de equações polinomiais no plano complexo. Não buscamos a ori- ginalidade, de fato todos os resultados apresentados podem ser en- contrados na literatura, mas sim expor de forma elementar alguns métodos clássicos de integração e baseados em resultados recentes discutir a sua surpreendente eficácia. No primeiro caṕıtulo são expostas as noções básicas a serem uti- lizadas ao longo do texto. Além de apresentar os conceitos de inte- grais primeiras, fatores de integração e curvas algébricas invariantes, é posta em evidência a dualidade entre 1–formas diferenciais e cam- pos de vetores no plano complexo. No segundo caṕıtulo apresentamos a estratégia utilizada por Dar- boux para obter integrais primeiras para 1–formas polinomiais em C2. Destaca-se nesse caṕıtulo o critério de Darboux-Jouanolou que pode ser sucintamente enunciado da seguinte forma: uma 1–forma diferencial polinomial admite integral primeira racional se, e somente se, admite uma infinidade de curvas algébricas invariantes. No terceiro caṕıtulo voltamos a nossa atenção para o paradigma introduzido por Lie para resolver equações diferenciais. Este baseia- se no uso de simetrias infinitesimais para obter integrais primeiras. Como resultado principal do caṕıtulo mostramos que um campo de vetores polinomial admite um fator de integração racional se, e somente se, admite uma simetria infinitesimal. Após uma breve digressão para caracterizar as 1–formas racionais fechadas em C2 explicitamos a forma das integrais primeiras obtidas por este paradigma. 1 CAṔıTULO 1 Noções Básicas Considere um sistema de equações diferenciais da forma (1) dx dt = P (x, y) dy dt = Q(x, y) onde P e Q são polinômios complexos em duas variáveis. Dizemos que uma função holomorfa φ : U ⊂ C→ C2 é uma solução de (1) se para qualquer t ∈ U vale que φ′(t) = (P ◦ φ(t), Q ◦ φ(t)) . A existência de soluções para o sistema (1) é garantida pelo con- hecido teorema de existência e unicidade. Para a comodidade do leitor o enunciamos abaixo. Teorema 1 (Existência e unicidade). Considere um sistema de equações diferenciais na forma (1). Então valem as seguintes afirmações: a. Para qualquer p ∈ C2 existe um número real positivo rp e uma função holomorfa φp : D(0, rp) → C2 tal que φp(0) = p e φ′p(t) = (P ◦ φp(t), Q ◦ φp(t)), ou seja, φp é uma solução de (1) passando por p. b. Seja U ⊂ C um aberto contendo a origem. Se ψ : U → C2 é uma solução de (1) tal que ψ(0) = p então ψ|V = φp|V onde V = U ∩ D(0, rp). 4 1. INTEGRAIS PRIMEIRAS E FATORES DE INTEGRAÇÃO 5 Comentário 1. O Teorema acima vale sob hipóteses bem mais fracas. Por exemplo podemos supor que P e Q são apenas funções holomorfas definidas em algum aberto de C2. 1. Integrais primeiras e fatores de integração Apesar do teorema 1 nos garantir a existência de soluções locais para o sistema (1) passando por qualquer ponto p ∈ C2, na maioria das vezes muito pouco de sabe sobre a natureza das soluções. Entre- tanto em algumas situações é posśıvel encontrar integrais primeiras para (1) e estas, de certa forma, permitem entender o comporta- mento qualitativo das soluções da equação diferencial em questão. Definição 1 (Integral primeira). Seja U ⊂ C2 um aberto e F : U → C uma função holomorfa não-constante. Dizemos que F é uma integral primeira em U para o sistema de equações diferen- ciais (1) se F é constante ao longo das soluções de (1) contidas em U . Exemplo 1 (Equação de Lotka-Volterra). Considere o sistema de equações diferenciais de Lotka-Volterra 1 (2) dx dt = ax− bxy dy dt = −cy + dxy onde a, b, c e d são números complexos. Afirmamos que em qualquer aberto simplesmente conexo U contido em C2 \ {x · y = 0} vale que qualquer determinação da função F (x, y) = dx + by − c log x− a log y é uma integral primeira para (2). De fato se φ = (φ1, φ2) : V → C2 é uma solução do sistema (2) temos que φ′(t) = (aφ1(t)− bφ1(t)φ2(t),−cφ2(t) + dφ1(t)φ2(t)) 1Quando a, b, c e d são reais e positivos o sistema acima modela a competição entre espécies. 1. INTEGRAIS PRIMEIRAS E FATORES DE INTEGRAÇÃO 6 e portanto ddt(F ◦ φ)(t) = dF (φ(t)) · φ′(t) é igual a( d− c φ1 ) (aφ1 − bφ1φ2) + ( b− a φ2 ) (−cφ2 + dφ1φ2) = 0 . Conseqüentemente qualquer determinação de F é constante ao longo das soluções de (2), ou seja qualquer determinação de F é uma inte- gral primeira do sistema (2). De posse da integral primeira podemos efetuar de maneira relati- vamente simples o estudo qualitativo das soluções da equação difer- encial em questão. Para exemplificar este fato vamos supor que a, b, c e d são reais positivos e interpretar (2) como uma equação diferen- cial real. As curvas de ńıvel de F passando por qualquer ponto do conjunto U = {(x, y)|x > 0 e y > 0} são fechadas(exerćıcio para o leitor). Com isso podemos concluir que toda solução com condição inicial pertencente ao aberto U é periódica. ¤ Podemos associar ao sistema (1) a 1-forma diferencial holomorfa ω = Pdy −Qdx . Convidamos o leitor a verificar que F é uma integral primeira para o sistema (1) se, e somente se, ω ∧ dF = 0 . O simples fato de associar a 1-forma ω ao sistema (1) algumas vezes torna a obtenção de uma integral primeira uma tarefa trivial. Exemplo 2 (Sistemas exatos). Suponha que o sistema de equações diferenciais (1) é tal que ∂P ∂x = −∂Q ∂y . Vê-se então que a 1-forma diferencial ω = Pdy−Qdx é fechada, i.e., dω = 0. Portanto a função F (x, y) = ∫ (x,y) (x0,y0) ω obtida integrando ω ao longo de qualquer caminho ligando um ponto inicial arbitrário (x0, y0) ao ponto (x, y) está bem definida(pois ω é 3. CAMPOS DE VETORES E DERIVAÇÕES 9 para todo t ∈ V . Portanto (ω ∧ df)|C = 0 e pelo teorema dos zeros de Hilbert 2 f divide ω ∧ df . ¤ Pode-se interpretar geometricamente a proposição anterior da seguinte forma. O polinômio f , através de suas curvas de ńıvel {f = c, c ∈ C}, define uma decomposição de C2 em curvas algébricas. O espaço tangente da curva que passa pelo ponto p ∈ C2 coincidindo com o núcleo de df(p). Vê-se então que o lugar de zeros de ω ∧ df coincide com as tangências entre as soluções de (1) e as curvas de ńıvel de f . Nesses termos a proposição nos diz que a curva algébrica C = {f = 0} é invariante por (1) se, e somente se, C está contida no lugar de tangências entre as soluções de (1) e a decomposição de C2 induzida por f . Exerćıcio 1. Seja f ∈ C[x, y] um polinômio(não necessaria- mente reduzido) e ω uma 1–forma polinomial. Prove que: a. Se a decomposição de f em polinômios irredut́ıveis é dada por f = f1n1f2n2 · · · fknk então ω ∧ df f = k∑ i=1 ni ( ω ∧ dfi fi ) . b. A curva algébrica definida implicitamente por {f = 0} é invariante por ω se, e somente se, ω ∧ dff é uma 2–forma polinomial. 3. Campos de Vetores e Derivações Podemos associar ao sistema de equações diferenciais (1) o campo de vetores X = P (x, y) ∂ ∂x + Q(x, y) ∂ ∂y . 2Utilizamos o teorema dos zeros de Hilbert apenas para garantir que se h ∈ C[x, y] é tal que h|C = 0 então existe g ∈ C[x, y] tal que h = fg. 3. CAMPOS DE VETORES E DERIVAÇÕES 10 Se denotamos por C(x, y) o corpo das funções racionais em duas variáveis vemos que o campo X atua sobre C(x, y) da seguinte forma X : C(x, y) → C(x, y) f 7→ X(f) := P ∂f ∂x + Q ∂f ∂y . A aplicação X : C(x, y) → C(x, y) é C-linear e satisfaz a regra de Leibnitz, i.e., X(λf + µg) = λX(f) + µX(g) X(f · g) = fX(g) + gX(f) , onde f e g são funções holomorfas e λ e µ números complexos. Definição 5 (Derivações). Uma derivação de C(x, y) é uma aplicação D : C(x, y) → C(x, y) C–linear e que satisfaz a regra de Leibniz. Portanto qualquer campo polinomial X pode ser visto como uma derivação. Reciprocamente dada uma derivação D : C(x, y) → C(x, y) podemos interpretar D como um campo de vetores racional da forma D(x) ∂ ∂x + D(y) ∂ ∂y . Vê-se facilmente que o campo de vetores D é polinomial se, e somente se, D(C[x, y]) ⊂ C[x, y]. Se X = P ∂∂x +Q ∂ ∂y e ω = Pdy−Qdx então verifica-se facilmente que para qualquer função racional f ∈ C(x, y) ω ∧ df = −X(f)dx ∧ dy , dω = div(X) . Motivados pelas relações de dualidade acima dizemos que F é uma integral primeira para X se, e somente se, X(F ) = 0. Dizemos também que µ é um fator de integração para X se, e somente se, div(µX) = 0. Podemos ainda reformular a proposição 1 do seguinte modo. Proposição 2. Seja f ∈ C[x, y] um polinômio reduzido. A curva algébrica C = {f = 0} é invariante por (1) se, e somente se, existe 3. CAMPOS DE VETORES E DERIVAÇÕES 11 um polinômio Lf tal que X(f) = Lf · f . 2. CRITÉRIO DE DARBOUX-JOUANOLOU 14 vetorial das 2-formas diferenciais de grau menor ou igual a d − 1 possui dimensão igual a d(d+1)2 temos que os cofatores associados às curvas fi, i = 1 . . . n são linearmente dependentes. Portanto existem números complexos α1, α2, . . . , αn tais que (6) α1Θf1 + α2Θf2 + . . . + αnΘfn = 0 . Pela proposição 3 temos o corolário. ¤ Exemplo 4. Suponha que ω = αxdy + βydx, onde α e β são números complexos não nulos. Vê-se facilmente que as curvas algébricas descritas implicitamente por {x = 0} e {y = 0} são invari- antes. Calculemos portanto os seus cofatores. O cofator associado a x é dado por Θx = ω ∧ dx x = −αdx ∧ dy , enquanto o cofator associado a y é Θy = ω ∧ dy y = βdx ∧ dy . Portanto βΘx + αΘy = 0 . Conseqüentemente F = β log x+α log y é uma integral primeira para ω. 2. Critério de Darboux-Jouanolou Jouanolou, em [6], obteve como corolário das idéias de Darboux expostas no ińıcio desta seção o belo teorema 1 a seguir. Teorema 2. Seja ω uma 1-forma diferencial polinomial de grau d em C2. Se ω admite d(d+1)2 +2 curvas algébricas invariantes então ω admite uma integral primeira racional. 1De fato o resultado que aqui apresentamos é uma versão simplificada de um teorema de Jouanolou. O resultado original de Jouanolou é enunciado em um contexto bem mais geral: folheações holomorfas de codimensão um em espaços projetivos. 2. CRITÉRIO DE DARBOUX-JOUANOLOU 15 demonstração: Sejam f1, f2, . . . , fk as d(d+1) 2 +2 curvas algébricas in- variantes por ω. Utilizando os cofatores associados a f1, f2, . . . , fk−1 podemos construir uma 1-forma racional η1 da forma η1 = α1 df1 f1 + α2 df2 f2 + . . . + αk−1 dfk−1 fk−1 , tal que ω ∧ η1 = 0. De forma análoga podemos utilizar os cofatores associados a f2, f3, . . . , fk para construir uma 1-forma racional η2 da forma η2 = β2 df2 f2 + β3 df3 f3 + . . . + βk dfk fk , tal que ω ∧ η2 = 0 e βk 6= 0. Como estamos tomando βk 6= 0 temos que o conjunto de pólos de η1 e η2 são distintos. Dessa forma temos que existe uma função racional não constante F tal que η1 = Fη2. Tomando a diferencial exterior desta última expressão vemos que dη1 = Fdη2 + dF ∧ η2 . Como η1 e η2 são fechadas conclúımos que dF ∧ η2 = 0. Conseqüen- temente sendo ω ∧ η2 = 0 temos que ω ∧ dF = 0. Portanto F é uma integral primeira racional para ω. ¤ Corolário 2. Seja ω uma 1-forma diferencial polinomial em C2. Existe uma integral primeira racional para ω se, e somente se, ω admite uma infinidade de curvas algébricas invariantes. demonstração: Se ω admite uma integral primeira racional então existem f, g ∈ C[x, y], tal que ω ∧ d ( f g ) = 0 , e em particular (7) ω ∧ (fdg − gdf) = 0 . Façamos então fλ = f − λg, λ ∈ C. Segue que ω ∧ dfλ = ω ∧ df − λω ∧ dg . 3. ENCONTRANDO FATORES DE INTEGRAÇÃO 16 De (7) vemos que ω ∧ df f = ω ∧ dg g . Conseqüentemente ω ∧ dfλ = (f − λg)ω ∧ df f = (f − λg)ω ∧ dg g . Logo ω∧ dfλfλ é uma 2–forma polinomial, ou seja, os fatores irredut́ıveis de fλ são curvas algébricas invariantes. Como λ é uma número com- plexo arbitrário temos uma infinidade de curvas algébricas invari- antes. Reciprocamente, se ω admite uma infinidade de curvas algébricas invariantes o teorema 2 nos garante que ω admite uma integral primeira racional. ¤ Corolário 3. Seja ω uma 1-forma diferencial polinomial em C2. Então existe uma cota para o grau das curvas álgebricas irredut́ıveis invariantes por ω. demonstração: Segue facilmente do teorema 2. ¤ 3. Encontrando Fatores de Integração Proposição 4. Seja ω uma 1–forma polinomial em C2. Se ω admite curvas algébricas invariantes f1, f2, . . . , fn e números com- plexos α1, α2, . . . , αn tais que α1Θf1 + α2Θf2 + . . . + αnΘfn = dω então ω admite um fator de integração da forma F = n∏ i=1 fαii . demonstração: Caso existam números complexos α1, α2, . . . , αn tais que α1Θf1 + α2Θf2 + . . . + αnΘfn = dω então a 1–forma racional fechada η, dada por η = α1 df1 f1 + α2 df2 f2 + . . . + αn dfn fn , 3. ENCONTRANDO FATORES DE INTEGRAÇÃO 19 Logo vemos que (xy)−1 é um fator de integração para ω e temos como integral primeira a função multivaluada F dada pela integral de (xy)−1ω, ou seja, F = ∫ ω xy = ∫ (γ − δx)dx x + (α− βy)dy y = −δx− βy + γ log x + α log y . Proposição 5. Seja ω uma 1–forma polinomial. Se existem duas formas racionais fechadas η1 e η2 tais que dω = ηi ∧ ω i ∈ {1, 2} então ω admite um fator de integração racional. Em particular se ω admite dois fatores de integração da forma k∏ i=1 fαii então ω admite um fator de integração racional. demonstração: Considere a 1–forma η0 = η1 − η2. Segue das hipóteses que ω ∧ η0 = 0. Portanto existe uma função racional h tal que h · ω = η0. Como η0 é fechada temos que h é um fator de integração racional para ω. ¤ Resumimos na tabela a seguir os tipos integrais primeiras obtidas ao longo do caṕıtulo através de relações lineares entre os cofatores associados a curvas algébricas invariantes e a diferencial exterior da 1–forma a ser integrada. Relações Tipo de Integral primeira ∑ αiΘfi = dω , αi ∈ C ∫ fα11 · · · fαkk ω ∑ αiΘfi = 0 , αi ∈ C ∑ αi log fi∑ αiΘfi = 0 , αi ∈ Q F/G com F, G ∈ C[x, y] Tabela 1: Relações entre cofatores e integrais primeiras CAṔıTULO 3 Integrabilidade na presença de simetrias The earliest researches in the subject of differential equa- tions were devoted to the problem of integration in the crude sense, that is to say to finding devices by which par- ticular equations or classes of equations could be forced to yeld up their solutions directly, or be reduced to a more tractable form.(. . . ) Thus on the one hand, there exists a number of apparently disconnected methods of integration, each adapted only to one particular class of equations(. . . ) This heterogeneous mass of knowledge was co- ordinated in a very striking way by means of the theory of continuous groups. The older methods of integration were shown to depend upon one general principle, which in its turn proved to be a powerful instrument for breaking newground.(. . . ) E. L. Ince [5] Neste caṕıtulo vamos investigar a correlação entre simetrias e in- tegrabilidade. Buscamos uma abordagem elementar e baseada em propriedades básicas do colchete de Lie entre campos de vetores. Apesar das idéias terem forte apelo geométrico escolhemos uma abor- dagem que depende apenas de álgebra linear e de algumas das pro- priedades de campos de vetores e derivações expostas no caṕıtulo 1. Na última seção apresentamos a caracterização de 1–formas racionais fechadas em C2. Com isso podemos precisar explicita- mente a forma das integrais primeiras de equações polinomiais que admitem simetrias infinitesimais. Esta caracterização também terá importância no próximo caṕıtulo. 20 1. COLCHETE DE LIE E SIMETRIAS INFINITESIMAIS 21 1. Colchete de Lie e simetrias infinitesimais Definição 7. Sejam X e Y campos de vetores holomorfos em C2. O colchete de Lie de X e Y , denotado por [X, Y ], é o campo de vetor holomorfo dado pela expressão (X(Y (x))− Y (X(x))) ∂ ∂x + (X(Y (y))− Y (X(y))) ∂ ∂y . Exemplo 6. Sejam X e Y são campos lineares em C2 dados por X = a ∂∂x + b ∂ ∂y , Y = cx ∂∂x + dy ∂ ∂y , com a, b, c e d números complexos, então o colchete entre X e Y é [X,Y ] = ac ∂ ∂x + bd ∂ ∂y . Definição 8. Seja X um campo de vetores racional em C2. Dize- mos que um campo de vetores racional Y é uma simetria infinitesimal de X se existe uma função racional µ ∈ C(x, y) tal que [X, Y ] = µ·X. Exemplo 7. Considere X e Y como no exemplo 6 e suponha que ac 6= 0 e bd 6= 0. Neste caso, se existe λ ∈ C(x, y) tal que [X,Y ] = λX , verifica-se que λ é de fato um função racional constante, ou seja, λ ∈ C. Explicitando a, b, c e d verifica-se que Y é uma simetria infinitesimal de X se, e somente se, Y é um múltiplo do campo radial, i.e., Y = λ ( x ∂ ∂x + y ∂ ∂y ) . Proposição 6. Sejam X e Y campos de vetores racionais em C2 e T = det(X,Y )1. Se T 6= 0 então [X,Y ] = ( div(Y )− Y (T ) T ) X + ( X(T ) T − div(X) ) Y . 1Aqui det(X, Y ) denota o determinante da matriz cujas colunas são dadas por X e Y . 3. FORMAS RACIONAIS FECHADAS 24 3. Formas racionais fechadas Uma consequência interessante do teorema que acabamos de demonstrar é que para obter uma descrição expĺıcita das integrais primeiras que podem ser obtidas utilizando simetrias infinitesimais basta descrever os campos de vetores racionais de divergente nulo ou, equivalentemente, descrever as 1-formas racionais fechadas. Teorema 4. Seja η uma 1-forma racional fechada η em C2. Então η pode ser escrita na seguinte forma: η = p∑ j=1 λj dfj fj + d ( g fn11 · · · fnpp ) , onde ni ∈ N, λi ∈ C∗, g, fj ∈ C[x, y] e os fj são polinômios irre- dut́ıveis. As curvas álgebricas fj = 0 são os pólos de η e os λj’s são os reśıduos de η em torno de fj = 0: λj = 1 2πi ∫ γj η onde γj são pequenos ćırculos em torno de fj = 0. demonstração: Sejam f1, f2, . . . , fp e λ1, λ2, . . . , λp como no enunci- ado. Então a 1–forma meromorfa Ω = η − p∑ j=1 λj dfj fj é fechada e satisfaz (13) ∫ γj Ω = 0 , para qualquer j = 1, . . . , p. De fato ∫ γk Ω = λk · 2πi− p∑ j=1 λj ∫ γk dfj fj . Via a fórmula de mudança de variáveis vemos que ∫ γk dfj fj = ∫ fj◦γk dz z = { 2πi se k = j, 0 se k 6= j 3. FORMAS RACIONAIS FECHADAS 25 pois estamos supondo os fj irredut́ıveis. Provamos assim (13). Utilizaremos agora o fato não trivial de que o primeiro grupo de homologia de C2\{f1 ·f2 · · · fp = 0} com coeficientes complexos é ger- ado pelos γj , ver [1] e referências lá citadas. Em termos mais concre- tos para toda 1-forma Ω definida no aberto U = C2\{f1·f2 · · · fp = 0} satisfazendo (13) temos que existe uma função holomorfa H : U → C tal que (14) Ω = dH . Resta mostrar que a função holomorfa H definida no aberto U é de fato uma função racional, i.e., H ∈ C(x, y). Para tanto iremos utilizar a seguinte propriedade das funções holomorfas definidas em abertos do plano complexo2: se para todos x0 e y0 fixados as funções z 7→ H(x0, z) e z 7→ H(z, y0) são racionais então H é uma função racional. Suponha, sem perda de generalidade, que o conjunto de pólos de Ω não contém retas da forma x − c = 0 e y − c = 0, onde c ∈ C. Considere então a função fc(z) = H(c, z), para algum c ∈ C. Se ic : C→ C2 denota a aplicação de inclusão dada por z 7→ (c, z) então fc = i∗cH e segue de (14) que dfc = di∗cH = i ∗ cΩ = p(z) q(z) dz , com p, q ∈ C[z] . Claramente podemos tomar q ∈ C[z] mônico e ao denotarmos por a1, a2, . . . , ap ∈ C as suas ráızes podemos escrever q(z) = (z − a1)n1(z − a2)n2 · · · (z − ap)np onde ni, i = 1 . . . r, são inteiros positivos. Considere então a decom- posição em frações parciais de p(z)q(z) , i.e., p(z) q(z) = r(z) + p∑ i=1 ni∑ j=1 αij (z − ai)j , onde r ∈ C[z] e αij ∈ C . Pela definição de Ω pode-se verificar que αi1 = 0 para qualquer i = 1 . . . p. Com isso podemos garantir que a primitiva de p(z)q(z)dz, 2Veja exerćıcio 10 na página 72 de [2]. 3. FORMAS RACIONAIS FECHADAS 26 e portanto fc, é uma função racional para todo c ∈ C. Argumen- tando da mesma forma podemos garantir que as funções z 7→ H(z, c) também são racionais para todo c ∈ C. Conclúımos que H é de fato uma função racional e temos assim a prova do teorema. ¤ O leitor pode encontrar uma versão do teorema 4 para 1–formas meromorfas fechadas em [1]. Exerćıcio 2. Seja X um campo de vetores polinomial em C2. Prove que X admite uma simetria infinitesimal se, e somente se, X admite uma integral primeira da forma p∑ j=1 λj log fj + ( g fn11 · · · fnpp ) , onde ni ∈ N, λi ∈ C∗, g, fj ∈ C[x, y] e os fj são polinômios irre- dut́ıveis. 2. CRITÉRIO DE SINGER 29 6.c. 1 ti ∂ti ∂x , 1 ti ∂ti ∂y ∈ Ki−1. Comentário 2. Se f é um elemento de K, por construção f pode ser visto como uma função anaĺıtica em um certo aberto Uf de C2. A condição 4.b nos permite adicionar a primitiva de uma forma diferencial fechada com coeficientes em Ki−1; e 4.c permite que adi- cionemos a exponencial de um elemento de Ki−1. Se K é uma extensão liouvilliana de C(x, y) então para todo elemento f ∈ K podemos considerar a sua diferencial exterior como df = ∂f ∂x dx + ∂f ∂y dy , e portanto df é uma 1-forma com coeficientes em K. Denotaremos o K-módulo de 1-formas com coeficientes em K por Ω1K , i.e., α per- tence a Ω1K se, e somente se, α se escreve como α = adx + bdy, onde a, b ∈ K. Utilizando as formas diferenciais podemos reformular as condições 4.b e 4.c na definição de extensão liouvilliana como 4.b. dti ∈ Ω1Ki−1 . 4.c. dtiti ∈ Ω1Ki−1 . Definição 11. Seja ω uma 1-forma racional em C2. Dizemos que ω possui uma integral primeira liouvilliana se existe uma ex- tensão liouvilliana (K, ( ∂∂x , ∂ ∂y )) de C(x, y) e um elemento f ∈ K tal que df 6= 0 e ω ∧ df = 0 . 2. Critério de Singer O próximo resultado, devido a Singer[9], caracteriza as 1–forma racionais C2 que admitem integral primeira liouvilliana. Teorema 5. Se ω é uma 1-forma racional em C2 então ω admite uma integral primeira liouvilliana se, e somente se, existe uma 1- forma racional fechada η tal que dω = η ∧ ω. 2. CRITÉRIO DE SINGER 30 Como veremos a seguir a essência da prova do teorema está no seguinte lema. Lema 1. Seja K um extensão de (C(x, y), ( ∂∂x , ∂ ∂y )) e K(t) uma extensão de K tal que ou (a) t é algébrico, ou (b) dtt ∈ Ω1K ou (c) dt ∈ Ω1K . Se ω ∈ Ω1K então dω = η ∧ ω dη = 0 admite solução em Ω1K se, e somente se, admite solução em Ω 1 K(t). prova: É claro que qualquer solução em Ω1K também é solução em Ω1K(t). Suponha então que temos um solução η em Ω 1 K(t). Vamos analisar cada possibilidade para t separadamente. (a) t é algébrico. Seja σ uma automorfismo de Galois da ex- tensão K(t) : K. Se η é fechada então σ∗η também é , e portanto dw =   1 [K(t) : K] ∑ σ∈Gal(K(t):K) σ∗η   ∧ ω . Temos portanto uma solução em Ω1K . (b) dtt ∈ Ω1K . Uma solução η ∈ Ω1K(t) pode ser escrita como η = a(t)dx + b(t)dy , onde a, b ∈ K(t). Considerando a série de Laurent de a e b podemos escrever η na forma η = ∞∑ i=−k tiηi com ηi ∈ Ω1K . Como t é transcendente vemos que dω = η ∧ ω implica que ηi ∧ ω = { dω para i = 0, 0 para i 6= 0. Sendo η fechada temos que (15) 0 = ∞∑ i=−k ti ( dηi + i dt t ∧ ηi ) . 2. CRITÉRIO DE SINGER 31 Observando que para todo inteiro i maior ou igual a −k dηi + i dt t ∧ ηi ∈ Ω1K segue de (15) que dη0 = 0. Conseqüentemente η0 ∈ Ω1K é uma solução. (c) dt ∈ Ω1K . Escreva η como η = ∑k i=0 t iηi p(t) onde ηi ∈ Ω1K e p(t) é um polinômio mônico em K[t] de grau l. Diferenciando obtemos 0 = p(t) ( k∑ i=0 tidηi + iti−1dt ∧ ηi ) − ( k∑ i=0 tiηi ) ∧ dp(t) . Lembrando que p(t) é mônico, vê-se que o coeficiente de tl+k na expressão acima é dηk, e portanto dηk = 0. Como dω = η ∧ ω temos que p(t)dω = ( k∑ i=0 tiηi ) ∧ ω , e portanto k é maior ou igual a l. Se k = l então dω = ηk∧ω e temos uma solução em Ω1K . Caso k > l então ηk∧ω = 0 e conseqüentemente existe h ∈ K tal que ηk = hω. Logo temos uma solução em Ω1K dada por dω = −dh h ∧ ω . ¤ Prova do teorema 5: Suponha que exista η fechada tal que dω = η ∧ ω. Então existe uma extensão liouvilliana K de C(x, y) onde podemos definir F = exp (∫ η ) . Claramente, F satisfaz dF = F · η. Assim d ( ω F ) = Fdω − dF ∧ ω F 2 = 0 . 3. O MÉTODO DE DARBOUX REVISITADO 34 Proposição 8. Seja ω uma 1-forma polinomial em C2. Se ω admite p curvas algébricas invariantes distintas fi, for i = 1, . . . , p, e q fatores exponenciais independentes ej, for j = 1, . . . , q, então valem as seguintes afirmações . (a) Se existem λi, ρj ∈ C não todos zero tais que p∑ i=1 λiΘfi + q∑ j=1 ρjΘej = dω , então a função (multi-valuada) ∫ fλ11 · · · fλkk eρ11 · · · e ρq q ω é uma integral primeira para ω. (b) Se existem λi, ρj ∈ C tais que p∑ i=1 λiΘfi + q∑ j=1 ρjΘej = 0 , então a função(multivaluada) F = ∑ λi log fi + ∑ ρj log ej é uma integral primeira de ω. Quando todos os λi são in- teiros ω admite uma integral primeira monovaluada dada por exp(F ) = f1λ1 · · · fpλke1ρ1 · · · eqρq . (c) Se existem λi ∈ Z tais que ∑ λiΘfi = dω então existem αj ∈ C, ni ∈ N e g ∈ C[x, y] tais que a função fα11 · fα22 · · · fαpp exp ( g fn11 · · · fnpp ) é uma integral primeira para ω. 3. O MÉTODO DE DARBOUX REVISITADO 35 Resumimos na tabela a seguir os tipos integrais primeiras obtidas ao longo do texto. Segue do Teorema de Singer que qualquer 1–forma polinomial que possua integral primeira liouvilliana enquadra-se em ao menos um dos casos da tabela. Relações Tipo de Integral primeira ∑ αiΘfi + ∑ βjΘej = dω ∫ fα11 · · · fαkk eβ11 · · · eβll ω ∑ αiΘfi + ∑ βjΘej = 0 ∑ αi log fi + ∑ βj log ej ∑ αiΘfi = dω , αi ∈ Z fλ11 · fλ22 · · · fλkk exp ( g fn11 · · · fnkk ) ∑ αiΘfi = 0 , αi ∈ Q F G com F, G ∈ C[x, y] Tabela 2: Relações entre cofatores e integrais primeiras Para que todo o processo de integração via o método de Darboux possa ser considerado um algoritmo para decidir se uma equação diferencial admite, ou não, uma integral primeira liouvilliana basta que possamos resolver algoritmicamente dois problemas. (1) Dada uma 1–forma polinomial ω limitar o grau das curvas algébricas invariantes. (2) Dada uma 1–forma polinomial ω e uma curva algébrica in- variante {f = 0} limitar o grau dos polinômios g ∈ C[x, y] tal que exp(g/fk), k ∈ N, é um fator exponencial para ω. De fato se resolvemos (1) e (2) podemos, em prinćıpio, determi- nar todas as curvas invariantes e todos os fatores exponenciais que ω admite. De posse dessa informação o método de Darboux(revisitado) reduz o problema de integração a um simples problema de álgebra linear. CAṔıTULO 5 Leituras Suplementares 1. Integrabilidade 1.1. Integrais elementares e o método de Darboux. Uma variante do conceito de função liouvilliana é o conceito de função elementar. Uma função é dita elementar se pode ser obtida a par- tir das funções racionais utilizando um número finito das seguintes operações: soma e produto; diferenciação; tomar o logaritmo de uma função; exponenciação ; e solução de equações algébricas. A analo- gia com as funções liouvillianas é clara. Apenas substitúımos a in- tegração 1-formas fechadas por calcular o logaritmo de uma função. Em particular toda função elementar é liouvilliana. As 1–formas polinomiais que possuem integral primeira elemen- tar foram caracterizadas por Prelle e Singer. Listamos a seguir, além do artigo original de Prelle-Singer [PS], artigos do tipo survey que de- screvem tanto o método de Darboux(em alguns casos apresentando interessantes aplicações) quanto a caracterização de Singer. A única exceção é o artigo [MM] onde são discutidas questões relacionadas a implementação do método de Darboux em sistemas de computação algébrica . [CL] C. Christopher e J. Llibre, Algebraic aspects of integrability for polynomial systems, Qual. Theory Dyn. Syst. 1 (1999), no. 1, 71–95. [MM] Y.-K. Man e M. MacCallum, A rational approach to the Prelle-Singer algorithm, J. Symbolic Comput. 24 (1997), no. 1, 31–43. [PS] M. J. Prelle e M. F. Singer, Elementary first integrals of differential equations, Trans. Amer. Math. Soc. 279 (1983), no. 1, 215–229. 36 3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SEM SOLUÇÕES ALGÉBRICAS 39 [LN] A. Lins Neto , Some Examples for Poincaré and Painlevé Prob- lems, Preprint, IMPA, 2000. [P2] J.V. Pereira, On the Poincaré problem for foliations of general type, www.preprint.impa.br, 2001. [W1] S. Walcher, On the Poincaré problem, J. Differential Equations 166 (2000), no. 1, 51–78. [W2] S. Walcher, Plane polynomial vector fields with prescribed in- variant curves., Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 130 (2000), no. 3, 633–649. [Za1] A. G. Zamora, Foliations in Algebraic Surfaces having a ratio- nal first integral, Publicacions Matemàtiques 41 (1997), 357–373. 2.1. Generalizações do problema de Poincaré. O leitor in- teressado no problema mais geral de limitar o grau de subvariedades invariantes por folheações holomorfas, generalização natural do prob- lema de Poincaré, pode consultar os seguintes artigos. [BM] M. Brunella and L.G. Mendes, Bounding the degree of solu- tions to Pfaff equations, Publ. Mat. 44(2) (2000), 593-604. [E] E. Esteves, The Castelnuovo-Mumford regularity of a va- riety left invariant by a vector field on projective space, www.preprint.impa.br , 2001. [S1] M. Soares, The Poincaré problem for hypersurfaces invariant by one–dimensional foliations, Invent. Math. 128 (1997), 495–500. [S2] M. Soares, Projective varieties invariant by one–dimensional foliations, Ann. of Math. (2) 152 (2000), no. 2, 369–382 [Za2] A. G. Zamora, Sheaves associated to holomorphic first integrals, Ann. Inst. Fourier 50, 3 (2000), 909–919 3. Equações diferenciais sem soluções algébricas Jouanolou em [6] construiu folheações de P2C que não possuem nenhuma curva algébrica invariante . Uma consequência interessante é que as folheações sem curva algébrica invariante acabam sendo genéricas. Com isso pode-se demonstrar que genericamente uma equação diferencial polinomial não admite integral primeira liouvil- liana. Apresentamos a seguir alguns artigos que discutem o próprio exemplo de Jouanolou além de fornecer novos exemplos de equações diferenciais que não admitem curva algébrica invariante. 3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SEM SOLUÇÕES ALGÉBRICAS 40 [CR] S. C. Coutinho and B. F. M. F. Ribeiro, On the Computa- tion of Algebraic Solutions of Holomorphic Foliations, Preprint, UFRJ, 1999. [MMNS] A. J. Maciejewski, J. Moulin Ollagnier, A. Nowicki and J.-M. Strelcyn, Around Jouanolou non-integrability theorem, Indagationes Mathematicae 11 (2), 239–254, 2000. [MNS] J. Moulin Ollagnier, A. Nowicki and J.-M. Strelcyn, On the non–existence of constants of derivations: the proof of a theorem of Jouanolou and its development, Bull. Sci. math. 119, 195–233, 1995. [Z2] H. Zoladek, On algebraic solutions of algebraic Pfaff equations, Studia Mathematica 114, 117–126, 1995. [Z3] H. Zoladek, New examples of holomorphic foliations without algebraic leaves, Studia Mathematica 131(2), 137–142, 1998. Bibliografia [1] D. Cerveau and J-F. Mattei , Formes intégrables holomorphes singulières, Astérique 97, SMF, 1982. [2] B. Chabat, Introduction à l’analyse complexe Tome 2: Fonctions de plusieurs variables, Éditions Mir Moscou, 1990. [3] G. Darboux, Mémoire sur les équations différentielles algébriques du pre- mier ordre et du premier degré (Mélanges), Bulletin Sciences Mathématiques 2ème série 2 (1878), 60–96; 123–144; 151–200. [4] E. Hille, Ordinary differential equations in the complex domain, John Wiley & Sons, 1976. [5] E. L. Ince, Ordinary differential equations, Dover, 1956. [6] J. P. Joaunolou , Equations de Pfaff Algébriques , Lecture Notes in Math. 708, Springer, 1979 [7] H. Poincaré, Sur l’integration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré I and II, Rendiconti del Circolo Matem- atico di Palermo 5 (1891), 161–191; 11 (1897), 193–239. [8] J. F. Ritt, Integration in finite terms: Liouville’s Theory of Elementary Methods, Columbia University Press, 1948. [9] M. F. Singer, Liouvillian first integrals of differential equations, Transac- tions of the American Mathematical Society 333 (1992), 673–688. 41