Introdução a cosmologia, Notas de estudo de Física

Baixe Introdução a cosmologia e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Cosmologia Básica Laerte Sodré Jr. April 15, 2009 Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica objetivos: I abordagem rápida da cosmologia, focando no modelo cosmológico padrão I uma abordagem mais completa requeriria aulas sobre a Teoria da Relatividade Geral I veremos como interpretar e calcular algumas quantidades importantes Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica O modelo de trabalho atual: ΛCDM I a matéria escura fria (CDM) explica as galáxias e as estruturas em grandes escalas I CDM- principais propriedades: I ela é escura, não interage com os fótons I ela só interage gravitacionalmente I ela é não-bariônica I ela é fria I ela é estável (algumas dessas propriedades podem ser relaxadas...) Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A Teoria da Gravitação I Teoria da Relatividade Geral (TRG) (Einstein, 1915) I Porquê a gravitação ? I em grandes escalas é a gravitação que determina a dinâmica dos objetos no universo I apenas as interações gravitacionais e eletromagnéticas são de longo alcance I como a matéria é em média eletricamente neutra, em grandes distâncias apenas a gravitação é cosmologicamente relevante Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A Teoria da Gravitação I TRG: matéria+energia determinam a geometria do ET I equações de Einstein: Gµν = 8πG c4 Tµν I Gµν : tensor de Einstein- depende da geometria do espaço-tempo através de gµν , o tensor métrico I Tµν : o tensor de energia-momentum- depende da distribuição de matéria+energia I lado esquerdo: depende apenas da geometria I lado direito: distribuição de matéria+energia I a distribuição de matéria e energia pode distorcer a geometria Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica O Prinćıpio Cosmológico I em escalas suficientemente grandes o universo é homogêneo e isotrópico I homogêneo: todos os lugares são equivalentes I isotrópico: todas as direções são equivalentes I evidências: I em escalas muito grandes (centenas de Mpc), a distribuição de galáxias é bastante uniforme (a uniformidade aumenta com a escala) I homogeneidade da radiação cósmica de fundo: as flutuações de temperatura têm uma amplitude muito pequena Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica O Prinćıpio Cosmológico Figure: Mapa com as flutuações de temperatura da radiação cósmica de fundo medida pelo satélite WMAP. Este mapa é notavelmente uniforme; a amplitude média das flutuações é ∼ 10−5. Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A cosmologia newtoniana I modelo cosmológico baseado na gravitação newtoniana I as equações que descrevem a dinâmica do universo são muito parecidas com as da Cosmologia Relativ́ıstica I modelo proposto por Milne e McCrea em 1934 I problema: aparecem algumas dificuldades conceituais que não são comportadas pela f́ısica newtoniana Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A cosmologia newtoniana I Cosmologia Newtoniana: o universo deve ser infinito, caso contrário o PC não seria válido (nos bordos, por exemplo) I mas em um universo infinito e isotrópico, qual é a direção da aceleração gravitacional g? I lei de Gauss: a aceleração da gravidade produzida por uma região esférica homogênea de massa M centrada num ponto O é g = G r 2 ∫ ρdV = GM r 2 I se g = 0 em todos os lugares, então ρ = 0: o único universo que satisfaz o PC é um universo completamente vazio! Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A cosmologia newtoniana I Regra de Birkhoff: a velocidade (radial) v de qualquer galáxia vista por um observador em O a uma distância r depende apenas da atração gravitacional das galáxias dentro da esfera de raio r centrada em O I não tem justificativa na teoria newtoniana, mas permite o desenvolvimento de uma cosmologia newtoniana... Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A cosmologia newtoniana I O fator de escala I galáxias A e B: num certo instante t1 elas estão separadas por uma distância r1 e, num outro instante t, a separação entre elas é r I fator de escala R(t): r = R(t) R(t1) r1 mede as variações nas escalas produzidas pela expansão (ou contração) do universo. Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A cosmologia newtoniana I evolução da densidade de matéria com o tempo: devido à expansão comóvel, uma certa quantidade de matéria, M, que num instante t0 ocupava uma esfera de raio r0, num instante t ocuparia uma esfera de raio r ρ(t0) = 3M/4πr 3 0 ρ(t) = 3M/4πr 3 ou ρ(t) = ρ0[r0/r(t)] 3 ou, em termos do fator de escala: ρ(t) = ρ0 ( R0 R )3 = ρ0 a(t) −3 Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A cosmologia newtoniana A equação de evolução do universo I regra de Birkhoff: a dinâmica de uma galáxia de massa m, observada a uma distância r de um observador comóvel num ponto O, depende apenas da massa dentro da esfera de raio r centrada em O: M(r) = 4 3 πr 3ρ I força de atração gravitacional que essa massa exerce sobre a galáxia: F = mr̈ = −GmM(r) r 2 = −4π 3 Gmρr ou, r̈ = −4πGρr 3 Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A cosmologia newtoniana I Introduzindo o fator de escala r = R(t) R0 r0 = a(t)r0 vem r̈ = ä(t)r0 e temos que ä = −4πG 3 ρa I nessa equação não aparece r : a dinâmica da expansão, descrita pelo fator de escala a(t), é determinada apenas pela densidade de matéria ρ(t) (na cosmologia relativ́ıstica depende também da pressão) Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A cosmologia newtoniana I E = 0: v 2 2 = GM r ou H2r 2 2 = G r ρ0 4 3 πr 3 ou ρ = 3H2 8πG I densidade cŕıtica ρc : a densidade que o universo deveria ter para que E = 0 ρc = 3H20 8πG = 1.88× 10−29h2g cm−3 onde h ≡ H0/(100 km/s/Mpc) I ρ0 > ρc , então E < 0; ρ0 < ρc , então E > 0 Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A cosmologia newtoniana I equação de conservação de energia: E = 1 2 mv 2 − GMm r = constante como v = (ȧ/a)r , M = 4πr 3ρ/3 e r = r0 a, ȧ2 = 8πG 3 ρ(t)a2 − K onde K é uma constante Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A cosmologia newtoniana I resumo: equações básicas da cosmologia newtoniana: ä = −4πG 3 ρa ȧ2 = 8πG 3 ρ(t)a2 − K Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica Métrica e curvatura de superf́ıcies I coordenadas (x1, x2): ds2 = ∑ ij gij(x1, x2)dxidxj I gij : são as componentes do chamado “tensor métrico”, que caracteriza a geometria e depende da curvatura I superf́ıcie esférica de raio R: superf́ıcie de curvatura constante e positiva I coordenadas esféricas: ds2 = R2dθ2 + R2 sin2 θdφ2 Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica Métrica e curvatura de superf́ıcies I superf́ıcie esférica de raio R: superf́ıcie de curvatura constante e positiva I coordenadas esféricas: ds2 = R2dθ2 + R2 sin2 θdφ2 I sistema de coordenadas onde A = R sin θ: ds2 = dA2 1− A2 R2 + A2dφ2 Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica Métrica e curvatura de superf́ıcies I reescrevendo como ds2 = R2 [ dσ2 1− kσ2 + σ2dφ2 ] vale para qualquer superf́ıcie de curvatura constante! I k = 0: plano; I k = +1: superf́ıcie esférica I k = −1 superf́ıcie de curvatura constante negativa não ”cabe” num espaço tri-dimensional, mas podemos projetá-la sobre um plano Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A métrica de Robertson-Walker (MRW) I Teoria da Relatividade Restrita: métrica de Minkowski, ds2 = c2dt2 − (dx2 + dy 2 + dz2) separação entre dois eventos (pontos no espaço-tempo, ET) próximos I TRG: distribuição arbitrária de matéria pode levar a um espaço de curvatura arbitrária I PC: espaços de curvatura constante I métrica de Robertson-Walker: ds2 = c2dt2 − R(t)2 [ dσ2 1− kσ2 + σ2(dθ2 + sin2 θdφ2) ] Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A métrica de Robertson-Walker I MRW: ds2 = c2dt2 − R(t)2 [ dσ2 1− kσ2 + σ2(dθ2 + sin2 θdφ2) ] I t: tempo I R(t): fator de escala I σ, θ, φ: coordenadas comóveis I k: “sinal da curvatura” (-1, 0, +1) I R(t) determina como a distância entre 2 observadores comóveis varia com o tempo I observadores comóveis: em repouso em um sistema de coordenadas comóveis Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A métrica de Robertson-Walker Figure: Coordenadas comóveis. Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica O desvio espectral Figure: Linhas de mundo de fótons emitidos por uma galáxia G. Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica O desvio espectral I como a luz viaja por geodésicas nulas (ds2 = 0): c dt R(t) = dσ√ 1− kσ2 e, portanto, ∫ σG 0 dσ√ 1− kσ2 = c ∫ t0 t dt R(t) I para o segundo fóton emitido em t + ∆t e recebido em t0 + ∆t0: ∫ σG 0 dσ√ 1− kσ2 = c ∫ t0+∆t0 t+∆t dt R(t) . I logo, ∫ t0 t dt R(t) = ∫ t0+∆t0 t+∆t dt R(t) Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica O desvio espectral I vamos supor que ∆t e ∆t0 são muito menores que t e t0: ∆t R(t) ' ∆t0 R(t0) I vamos associar a ∆t e ∆t0 o peŕıodo da radiação emitida e recebida I os comprimentos de onda correspondentes são λe = c∆t e λ0 = c∆t0 I Então, λ0 λe = R(t0) R(t) = R0 R = 1 a(t) Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica Equações de Friedmann - Lemâıtre (EFL) I as equações de evolução do fator de escala que derivamos na cosmologia newtoniana são, na forma, parecidas com a que se obtém das equações de campo da TRG, com a MRW I tensor de energia-momentum: depende da distribuição de matéria e energia (ρ(t) e p(t)) (note que na TRG p contribui para a energia!) I Equações de Friedmann - Lemâıtre:( ȧ a )2 = 8πG 3 ρ− Kc 2 a2 ä a = −4πG 3 ( ρ+ 3p c2 ) Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica Equações de Friedmann - Lemâıtre I Equações de Friedmann - Lemâıtre (EFL):( ȧ a )2 = 8πG 3 ρ− Kc 2 a2 ä a = −4πG 3 ( ρ+ 3p c2 ) K = k/R20 I dessas equações vem que: d dt (ρa3) = − p c2 d dt (a3) EXERĆICIO: MOSTRAR ISSO Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A equação de estado I relação entre a pressão e a densidade: p = p(ρ) I com a relação d dt (ρa3) = − p c2 d dt (a3) temos, por exemplo: I matéria (“poeira”, p = 0): ρm ∝ a−3 I radiação (p = ρr c 2/3): ρr ∝ a−4 I vácuo: p = −ρv c2, ρv = Λ/(4πG ) (pressão negativa) I modelo simples para energia escura: p = wρc2, com w constante I diferentes equações de estado −→ diferentes modelos e comportamentos para a(t) Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A constante cosmológica I mas w pode depender do desvio espectral z! I modelo simples: w == w0 + wa[1− a(z)] = w0 + wa z 1 + z , com w0 e wa constantes I este tipo de modelo deverá ser testado nos surveys dos próximos anos Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica Parâmetros cosmológicos I parâmetro de Hubble: H(t) = ȧ a I parâmetro de densidade: Ω = ρ(t) ρc(t) onde ρc(t) = 3H2 8πG é a densidade cŕıtica Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica Parâmetros cosmológicos I Quando se tem várias espécies simultaneamente, pode-se definir um parâmetro de densidade para cada espécie, Ωi = ρi (t)/ρc(t) Por exemplo, para os bárions: Ωb = ρb(t) ρc(t) Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica Dinâmica dos universos de Friedmann I modelos de Friedmann: dominados pela matéria (ρ = ρm), com constante cosmológica e pressão nulas I nesse caso, q = Ω/2 (EXERĆICIO: MOSTRAR ISSO) I 3 soluções posśıveis: I se q > 12 ou Ω > 1, então k = +1 universo fechado e oscilante I se q = 12 ou Ω = 1, então k = 0 universo aberto em expansão perpétua I se q < 12 ou Ω < 1, então k = −1 universo aberto em expansão perpétua Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica Dinâmica dos universos de Friedmann Figure: Evolução do fator de escala nos modelos de Friedmann: (i) k=-1; (ii) k=0; (iii) k=+1. Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica O modelo de Einstein-de Sitter I modelo cosmológico muito simples: universo “plano”, apenas com matéria: k = 0, Λ = 0, p = 0 ρ = ρm = ρ0a −3 I a primeira das EFL fica:( ȧ a )2 = 8πG 3 ρ = 8πG 3 ρ0a −3 I esta equação é fácil de resolver e dá a(t) = (6πGρ0) 1/3 t2/3 I logo, ρ(t) = 1 6πGt2 H(t) = 2 3t ρc(t) = 3H2 8πG = 1 6πGt2 = ρ(t) −→ Ω = 1 I EXERĆICIO: verifique essas equações Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A inflação I dinâmica do universo inflacionário: I durante um breve intervalo de tempo o universo pode ser considerado dominado pela energia do vácuo de um campo escalar (o inflaton), agindo como uma constante cosmológica ρ ' ρI = cte  ρr I então, ȧ2 ≈ 8πG 3 ρI a 2 e, portanto, a ∝ exp(HI t) onde HI = (8πGρI/3) 1/2 (parâmetro de Hubble) é constante EXERĆICIO: MOSTRAR ISSO Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A inflação I o problema da ”planura” (flatness): I WMAP: o universo tem curvatura nula, Ω = 1 I para se ter Ω entre 0.95 e 1.05 hoje, na época da recombinação (z ∼ 103) se deveria ter Ω entre 0.99995 e 1.000005, a menos que a curvatura seja estritamente nula (k = 0) Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A inflação I a inflação produz um universo localmente plano Figure: Esfera inflada por um fator 3 entre 2 imagens sucessivas Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A inflação I flutuações primordiais de densidade: I a inflação produz flutuações quânticas que são amplificadas: as amplitudes dessas flutuações são aproximadamente independente da escala I a gravidade amplifica estas flutuações , produzindo galáxias, aglomerados, etc. I este cenário ajusta bem as observações Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A era da radiação I logo após o Big-Bang (e a inflação ) o universo é extremamente quente I sua dinâmica é regida pela radiação: p = ρc2/3 I nesse caso, ρ ∝ a−4 No expoente, 3 é devido à variação na densidade de fótons e 1 é devido à variação da energia de cada fóton I considera-se que a radiação está em equiĺıbrio termodinâmico: o espectro da radiação é planckiano e depende apenas da temperatura T Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A era da radiação I densidade de radiação, em erg cm−3: u = aT 4 = 7.566× 10−15T 4 erg cm−3 K−4 I em g cm−3: ρ = 4σSB c3 T 4 = 8.4× 10−36T 4 g cm−3 K−4 I logo, a temperatura varia com o fator de escala como: T ∝ a−1 I fator de escala: ȧ2 ' 8πG 3 ρa2 pois no começo do universo, a densidade é muito grande. Dáı, a ∝ t1/2 Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A nucleosíntese primordial produção do He em estrelas: + atransformação de 4 átomos de H em He libera AE=25MeV = 427x10%erg + a luminosidade do Sol é L,= 4x 10::ergjs e corresponde à criação de Lo 18 = 9,4 x 10%: núcleons de He por segundo ou AMAt= Lo m, JE = 6.3 x 10% gis de He sendo a massa do Sol igual & 1 Mo= 2x 10º tração da massa que é convertida em He é (AMIB) ! Mo= 3.1 x 10 por segundo supondo que esta taxa é típica, a tração da massa. de uma estrela convertida em He durante metade do tempo de Hubble será (AMA E Mo 2 Hj) = 05 * Jogo, anucleosíntese estelar só pode transtormar uns 5% da massa em He, longe dos 25 — 30% observado! oe Th ft tr Ti dita VÊ les OM Rato E Cosmologia Básica A nucleośıntese primordial I depois da aniquilação sobra mais matéria que anti-matéria (porquê?) I p e n que sobram ficam em equiĺıbrio, via interações fracas: p + e− n + ν n + e+ p + ν̄ I a densidade relativa de p e n é dada pelo fator de Boltzmann baseado na diferença de massa ∆m = mn −mp: r = nn/np = exp(−∆mc2/kT ) ' exp(−1.5× 1010K/T ) Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A nucleośıntese primordial I os n livres são instáveis (tempo de decaimento = 890 s): a razão pela qual os n existem é que estas interações fracas desacoplam logo e a nucleośıntese primordial ocorre poucos minutos depois disso, de modo que a maior parte deles termina no núcleo de He e de outros elementos leves I série de reações nucleares: p e n se combinam para formar núcleos atômicos mais pesados que o do 1H I têm o deutério D como intermediário: p + n D + γ D + D 3He + n 3H + p 3H + D 4He + n Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A nucleośıntese primordial I parâmetro η: número de bárions sobre o número de fótons η ≡ np + nn nγ I densidade numérica de fótons para um corpo negro: nγ = 2ζ(3) π2 ( kB ~c )3 T 3 ' 20.2× T 3 cm−3 ζ(x): função zeta de Riemann I dáı, η ' 2.74× 10−8(T/2.73K)−3Ωbh2 Ωb: parâmetro de densidade dos bárions Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A nucleośıntese primordial I a abundância dos elementos leves depende fundamentalmente de η: conhecendo-se η, a temperatura da radiação cósmica de fundo e H0, pode-se determinar Ωb η ' 2.74× 10−8(T/2.73K)−3Ωbh2 I EXERĆICIO: MOSTRE ISSO. Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A nucleośıntese primordial Figure: Abundância dos elementos leves produzidos na nucleośıntese primordial em função da abundância de bárions (e de η). Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A nucleośıntese primordial Figure: Observação de uma linha do D no espectro do quasar 1937-1009. Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A nucleośıntese primordial I ĺıtio I estimativas a partir do ”plateau de Spite” (Li/H vs metalicidade): 7Li/H = (2.6± 0.4)× 10−5 (em número; Ryan et al. 2000) Figure: Abundância do Li (em massa) em função da metalicidade (abundância do Fe). Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A nucleośıntese primordial Figure: Observações de uma linha do Li em 5 estrelas do aglomerado globular NGC6397, com modelos sobrepostos. Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A era da matéria I depois da era radiativa segue-se a era dominada pela matéria I num universo dominado pela matéria: I p ∼ ρv 2 I v é a velocidade t́ıpica das galáxias I v  c −→ p  ρc2 e pode ser desprezado nas EFL I então, ρm ∝ a−3 Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A época da recombinação I voltemos à era radiativa I o universo se expande e a densidade de radiação varia como ρr ∝ a−4 enquanto que a de matéria varia como ρm ∝ a−3 I assim, embora a radiação domine o começo da evolução do universo, depois de um certo tempo a matéria vai dominar I “época da igualdade”: quando ρr = ρm zeq ' 4.02× 104Ωm0h2T−42.73 Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A época da recombinação Figure: Definição da época da igualdade. Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica O modelo padrão: ΛCDM I modêlo “canônico”: ΛCDM um universo dominado por matéria escura fria com uma constante cosmológica I com a equação de Friedmann( ȧ a )2 = 8πG 3 ρ− Kc 2 a2 é fácil verificar que num universo com matéria, radiação e constante cosmológica temos Ωm + Ωr + Ωλ + Ωk = 1 EXERĆICIO: MOSTRE ISSO Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica O modelo padrão: ΛCDM I seja H(z) = H0E (z) E (z) caracteriza a dependência em redshift do parâmetro de Hubble I vamos reescrever o parâmetro de densidade de cada espécie: Ωm = ρm ρc = 8πGρm 3H2 Como ρm = ρm0(R0/R) 3 = ρm0(1 + z) 3 e H = H0E (z), temos: Ωm = 8πGρm0(1 + z) 3 3H20 E 2 = Ωm0(1 + z) 3 E (z)2 Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica O modelo padrão: ΛCDM I Analogamente, Ωr = Ωr0(1 + z) 4 E (z)2 , Ωλ = Ωλ0 E (z)2 , Ωk = Ωk0(1 + z) 2 E (z)2 , de modo que fica fácil ver que E (z) = [Ωm0(1 + z) 3 + Ωr0(1 + z) 4 + Ωλ0 + Ωk0(1 + z) 2]1/2 I observações do WMAP e SNIa mais as considerações teóricas da inflação sugerem que o universo tem curvatura nula (k = 0, Ωk = 0) e é dominado por matéria escura, Ωm0 ' 0.3, e energia escura, Ωλ0 ' 0.7 I Ωr0 é muito pequeno e a radiação pode ser desprezada (exceto na era radiativa, claro!) Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica O modelo padrão: ΛCDM I num universo com k = 0, a densidade da energia escura (Ωλ) domina a da matéria (Ωm) para z < zc , onde zc = (Ωλ0/Ωm0) 1/3 − 1 ' 0.3 Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A idade do universo I relação entre tempo e redshift H = H0E (z) E (z) = [ Ωm0(1 + z) 3 + Ωk0(1 + z) 2 + Ωλ0 ]1/2 (onde desprezamos a radiação) I como H = ȧ/a e a = (1 + z)−1, temos H = − ż 1 + z ou, dt = − dz (1 + z)H Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica A idade do universo I a idade do universo (t0) é então dada por∫ t0 0 dt = ∫ ∞ 0 dz (1 + z)H ou t0 = 1 H0 ∫ ∞ 0 dz (1 + z)E (z) = τH ∫ ∞ 0 dz (1 + z)E (z) onde τH é o tempo de Hubble: τH = H −1 0 = 9.78 h −1 Ganos I Einstein-de Sitter (Ωλ0 = 0, Ωm0 = 1): t0 = 2 3 τH Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica