Representações de Grupos em Espaços Vetoriais e suas Propriedades, Notas de estudo de Física

Baixe Representações de Grupos em Espaços Vetoriais e suas Propriedades e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Caṕıtulo 20 Uma Breve Introdução à Teoria das Representações de Grupos Conteúdo 20.1 Representações de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986 20.2 Representações Irredut́ıveis de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991 20.3 A Medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995 20.4 Representações de Grupos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996 20.5 O Teorema de Peter-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997 G rupos desempenham um papel importante na F́ısica em geral devido a sua relação com transformações desimetria. Na F́ısica Quântica (na Mecânica Quântica ou na Teoria Quântica de Campos), onde o conjunto deestados puros de um sistema f́ısico é descrito por um espaço linear, torna-se particulamente relevante estudara ação de grupos de simetria em espaços vetoriais. Essa é a motivação básica do estudo de representações de grupos. 20.1 Representações de Grupos Uma representação de um grupo G em um espaço vetorial V é uma aplicação que a cada g ∈ G associa um operador linear inverśıvel Π(g) : V → V de modo que as seguintes condições sejam satisfeitas: 1. Π(e) = 1. 2. Π(g)Π(h) = Π(gh), ∀g, h ∈ G. 3. Π(g−1) = Π(g)−1, ∀g ∈ G. Acima e é a unidade de G e 1 o operador identidade em V . Há outras formas equivalentes de caracterizar ou definir o conceito de representação de um grupo. Podemos dizer que uma representação de um grupo em um espaço vetorial V é um homomorfismo de G no grupo dos operadores lineares inverśıveis de V em V , ou ainda, que é uma ação à esquerda de G em V através de operadores lineares inverśıveis. • A representação trivial A representação que associa todo g ∈ G ao operador identidade em V , ou seja, tal que π(g) = 1, ∀g ∈ G, é denominada representação trivial. • Intertwiners Seja G um grupo e V1, V2 dois espaços vetoriais (sobre o mesmo corpo) onde atuem duas representações de G: Π1 e Π2, respectivamente em V1 e V2. Um operador U : V1 → V2 tal que UΠ1(g) = Π2(g)U, para todo g ∈ G, é dito ser um operador de entrelaçamento de Π1 e Π2. Operadores de entrelaçamento são mais freqüentemente designados intertwiners. Voltaremos a falar sobre intertwiners quando tratarmos do importante Lema de Schur adiante. 986 JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 20 987/1730 • Representações equivalentes As duas representações são ditas ser representações equivalentes se existir um operador inverśıvel U : V1 → V2 tal que UΠ1(g) = Π2(g)U para todo g ∈ G, ou seja, se Π1 e Π2 possúırem um intertwiner inverśıvel. É muito fácil mostrar que a equivalência de duas representações é uma relação de equivalência (no sentido usual) e que, portanto, a classe de todas as representações de um grupo pode ser quebrada em classes de representações equivalentes. Um grupo pode ter várias representações distintas (e inequivalentes) em um mesmo espaço vetorial. E. 20.1 Exerćıcio. Seja G = (R, +) e V = R2. Mostre que T1(x) :=     1 x 0 1     , T2(x) :=     1 0 x 1     e R(x) :=     cosx − senx senx cosx     , x ∈ R, são três representações de G. Mostre que T1 e T2 são equivalentes (sugestão: tome U = ( 0 11 0 )). Mostre que R e T1 (ou T2) não são equivalentes (sugestão: se o fossem, veja o que ocorreria para x = 2π). 6 • subespaços invariantes Seja G um grupo, V um espaço vetorial e Π uma representação de G em V . Seja V ′ um subespaço de V . V ′ é dito ser um subespaço invariante por Π se Π(g)v′ ∈ V ′ para todo v′ ∈ V ′ e todo g ∈ G, ou seja, se Π(G)V ′ ⊂ V ′. Qualquer representação possui sempre pelo menos dois subespaços invariantes: aquele formado apenas pelo vetor nulo V ′ = {0} e aquele formado pelo espaço todo V ′ = V . Esses subespaços invariantes são ditos triviais. E. 20.2 Exerćıcio. 1. Mostre que a representação T1, definida acima, tem um subespaço invariante de dimensão 1, a saber, o subespaço formado pelos vetores da forma ( a0 ), a ∈ R. Mostre que nenhum outro subespaço de dimensão 1 de R 2 é invariante por T1. 2. Mostre que a representação T2, definida acima, tem um subespaço invariante de dimensão 1, a saber, o subespaço formado pelos vetores da forma ( 0b ), b ∈ R. Mostre que nenhum outro subespaço de dimensão 1 de R 2 é invariante por T2. 3. Mostre que a representação R, definida acima, não tem nenhum subespaço invariante não-trivial. 6 E. 20.3 Exerćıcio. Verifique que as expressões abaixo definem representações de G = (R, +) em V = R4 e identifique seus subespaços invariantes. Π1(x) = 0 B B B B B B B B B B @ 1 x 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 0 0 0 1 1 C C C C C C C C C C A , Π2(x) = 0 B B B B B B B B B B @ 1 x 0 0 0 1 0 0 0 0 cos x − senx 0 0 senx cos x 1 C C C C C C C C C C A , Π3(x) = 0 B B B B B B B B B B @ cos x − sen x 0 0 sen x cos x 0 0 0 0 cos x − sen x 0 0 sen x cos x 1 C C C C C C C C C C A . 6 • Representações irredut́ıveis De grande importância é o conceito de representação irredut́ıvel de um grupo G em um espaço vetorial V . Uma representação Π de um grupo G em um espaço vetorial V é dita ser irredut́ıvel se os seus únicos subespaços invariantes forem os triviais. Uma representação que não é irredut́ıvel é dita ser redut́ıvel. E. 20.4 Exerćıcio. Mostre que as representações T1 e T2, definidas à página 987, são redut́ıveis. Mostre que a representação R é irredut́ıvel. 6 JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 20 990/1730 Lema 20.2 (Lema de Schur) Se Π1 e Π2 são duas representações irredut́ıveis de um grupo G em espaços vetoriais V1 e V2, respectivamente, e A : V1 → V2 é um intertwiner de Π1 e Π2, ou seja, AΠ1(g) = Π2(g)A para todo g ∈ G, então ou A é inverśıvel ou A = 0. Caso A seja inverśıvel e V1 e V2 sejam espaços vetoriais complexos de dimensão finita, então A e único, a menos de multiplicação por escalar. 2 Prova. Sejam M1 := Ker(A) ⊂ V1 M2 := Ran(A) ⊂ V2 o núcleo e a imagem de A, respectivamente2. É fácil ver que M1 e M2 são subespaços invariantes de Π1 e Π2, respec- tivamente. De fato, se x ∈ M1 tem-se Ax = 0. Logo, AΠ1(g)x = Π2(g)Ax = 0, provando que Π1(g)x ∈ M1 para todo g ∈ G, ou seja, M1 é invariante por Π1. Analogamente, se y ∈ M2 temos que y = Ax para algum x ∈ V1. Assim, Π2(g)y = Π2(g)Ax = AΠ1(g)x ∈ Ran(A), mostrando, assim, que M2 é invariante por Π2. Pelas hipóteses do lema, Π1 e Π2 são irredut́ıveis e só possuem subespaços invariantes triviais. Valem, portanto, os seguintes quatro casos apenas: 1. M1 = V1 e M2 = V2. 2. M1 = {0} e M2 = V2. 3. M1 = V1 e M2 = {0}. 4. M1 = {0} e M2 = {0}. Os casos 1 e 4 são imposśıveis: se Ker(A) = V1 não se pode ter Ran(A) = V2; se Ker(A) = {0} não se pode ter Ran(A) = {0}. Assim, valem apenas os casos 2 e 3. No caso 2 tem-se que A é inverśıvel. No caso 3, tem-se que A = 0. Resta-nos provar que, caso A seja inverśıvel e V1 e V2 sejam espaços vetoriais complexos de dimensão finita, então A é único, a menos de multiplicação por escalar. Se A é inverśıvel, então a dimensão de V1 é igual à de V2 e A pode ser visto como uma matriz quadrada. Seja B um outro intertwiner de Π1 e Π2. Então, para qualquer λ ∈ C tem-se (A − λB)Π1(g) = Π2(g)(A − λB). Portanto, ou (A − λB) = 0 ou é inverśıvel. Podemos, porém, escolher λ de modo que det(A − λB) = 0. Isso é sempre posśıvel, pois det(A − λB) é um polinômio em λ e polinômios sempre têm ráızes complexas. Para uma tal escolha de λ, a matriz A− λB não é inverśıvel e, portanto, é nula e A = λB. O Lema de Schur tem várias conseqüências importantes. A primeira é o seguinte: Corolário 20.1 Se Π é uma representação irredut́ıvel complexa de dimensão finita de um grupo G então Π é irredut́ıvel para operadores. 2 Prova. Seja A tal que AΠ(g) = Π(g)A para todo g ∈ G. Sabemos também que 1Π(g) = Π(g)1, trivialmente. Pela unicidade afirmada no Lema de Schur, A = λ1. Outro corolário importante é o seguinte: Corolário 20.2 As representações irredut́ıveis complexas de dimensão finita de um grupo Abeliano são unidimensionais. 2 Prova. Se G é Abeliano e Π uma representação de G, vale Π(h)Π(g) = Π(g)Π(h) para quaisquer g, h ∈ G. Assim, se Π é irredut́ıvel complexa e de dimensão finita, segue do corolário anterior que Π(h) = λ(h)1, ou seja, Π(h) é uma matriz diagonal com λ(h) na diagonal. Como Π é irredut́ıvel, a dimensão do espaço só pode ser igual a 1. • Exemplos 2Para os esquecidos, Ker(A) := {x ∈ V1|Ax = 0}. Ran(A) := {y ∈ V2| y = Ax para algum x ∈ V1}. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 20 991/1730 E. 20.9 Exerćıcio. Mostre que as representações irredut́ıveis complexas de dimensão finita do grupo ZN , N ≥ 2, são Πk(a) = exp ( 2πik N a ) , a ∈ ZN , k = 0, , . . . N − 1. 6 E. 20.10 Exerćıcio. Mostre que as representações irredut́ıveis complexas de dimensão finita do grupo SO(2) são Πp(φ) = exp (ipφ) , φ ∈ [0, 2π), p ∈ Z. 6 Note que o grupo SO(2) tem representações irredut́ıveis reais que não são unidimensionais. Por exemplo, aquela que define o próprio grupo SO(2): R(φ) =     cos(φ) − sen (φ) sen (φ) cos(φ)     , φ ∈ [0, 2π). E. 20.11 Exerćıcio. Mostre que as representações irredut́ıveis complexas de dimensão finita do grupo (R, +) são Πz(x) = exp (zx) , x ∈ R, z ∈ C. 6 E. 20.12 Exerćıcio. Mostre que as representações irredut́ıveis unitárias de dimensão finita do grupo (R, +) são Πk(x) = exp (ikx) , x ∈ R, k ∈ R. 6 E. 20.13 Exerćıcio. Mostre que as representações irredut́ıveis complexas de dimensão finita do grupo (R+, ·) são Πz(x) = exp (z ln(x)) =: x z , x ∈ R+, z ∈ C. 6 E. 20.14 Exerćıcio. Mostre que as representações irredut́ıveis unitárias de dimensão finita do grupo (R+, ·) são Πk(x) = exp (ik ln(x)) = x ik, x ∈ R+, k ∈ R. 6 20.2 Representações Irredut́ıveis de SO(3) Um caṕıtulo importante das aplicações da teoria de grupos à F́ısica envolve a classificação das representações irredut́ıveis de dimensão finita (unitárias ou ortogonais) do grupo de rotações SO(3). Como já vimos, o grupo SO(3) é formado por matrizes da forma R(θ, ~η) = exp(θ~η · ~J), onde θ ∈ [0, 2π), ~η ∈ R3 é um vetor unitário e J1, J2, J3 são matrizes 3 × 3 tais que [Ja, Jb] = ǫabcJc. As matrizes Ja são geradores de subgrupos uniparamétricos R1, R2 e R3 de SO(3), representando rotações em torno dos eixos 1, 2 e 3, respectivamente. É fácil concluir que se Π é uma representação de dimensão finita de SO(3), Π é da forma Π(R(θ, ~η)) = exp(θ~η · ~Π(J)), JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 20 992/1730 onde Π(J1), Π(J2), Π(J3) são matrizes tais que [Π(Ja), Π(Jb)] = ǫabcΠ(Jc) e que são os geradores da representação por Π dos subgrupos uniparamétricos R1, R2 e R3. Vamos definir La = iΠ(Ja). Ficamos com Π(R(θ, ~η)) = exp(−iθ~η · ~L), (20.1) com [La, Lb] = iǫabcLc. É importante notar que se Π(g) é unitária para todo g ∈ SO(3), então cada La é auto-adjunta: L ∗ a = La. E. 20.15 Exerćıcio. Prove isso. 6 • Operador de Casimir Um fato muito importante, válido para qualquer representação de SO(3) como acima, é que a matriz denotada por L2 e definida por L2 = L21 + L 2 2 + L 2 3 comuta com todos os três geradores La: [L 2, La] = 0, para todo a = 1, 2, 3. E. 20.16 Exerćıcio muito importante. Verifique essa afirmação. Sugestão: prove (e use) a identidade [A2, B] = A[A, B] + [A, B]A, válida para quaisquer matrizes n× n A e B. 6 Um operador com essa propriedade, a de comutar com todos os geradores de uma álgebra de Lie, é dito ser um operador de Casimir3. Por um teorema devido a Racah, L2 é o único operador de Casimir de SO(3) (os demais são combinações lineares de potências de L2). A importância dos operadores de Casimir é a seguinte. Como L2 comuta com cada La, segue facilmente de (20.1) que L 2Π(g) = Π(g)L2 para todo g ∈ SO(3). Assim, pelo Lema de Schur, se Π é uma representação irredut́ıvel, L2 deve ser um múltiplo da identidade. Isso abre o caminho para classificar as representações irredut́ıveis de SO(3): estudando os posśıveis autovalores de L2. Em cada subespaço formado por autovetores com um dado autovalor fixo, teremos uma representação irredut́ıvel. • Autovalores de L2 Sejam La, a = 1, 2, 3, matrizes complexas auto-adjuntas agindo em um espaço vetorial de dimensão finita, satisfa- zendo [La, Lb] = iǫabcLc e L 2 definida como acima. Vamos estudar os posśıveis autovalores de L2. Comecemos mostrando que os autovalores de L2 são números reais não-negativos. Seja Ψ um autovetor de L2 com autovalor λ: L2Ψ = λΨ. Então, λ〈Ψ, Ψ〉 = 〈Ψ, L2Ψ〉 = 〈Ψ, L21Ψ〉 + 〈Ψ, L 2 2Ψ〉 + 〈Ψ, L 2 3Ψ〉 = 〈L1Ψ, L1Ψ〉 + 〈L2Ψ, L2Ψ〉 + 〈L3Ψ, L3Ψ〉. Na última igualdade usamos o fato que L∗a = La. Como 〈LaΨ, LaΨ〉 ≥ 0, conclúımos que λ ≥ 0, como queŕıamos. Todo número λ ≥ 0 pode ser escrito na forma λ = l(l+1) com l ≥ 0. Por futura conveniência, escreveremos doravante os autovalores de L2 na forma l(l + 1) com l ≥ 0. Recordemos agora o fato que, como [L2, L3] = 0, podemos escolher uma base ortogonal formada por vetores que são simultaneamente autovetores de L2 e L3. Denotaremos esses vetores por Ψl,m, tendo-se L 2Ψl,m = l(l + 1)Ψl,m e L3Ψl,m = mΨl,m. Iremos em breve fazer uso dessa base. É conveniente definir L± = L1 ± iL2. Tem-se que L ∗ ± = L∓. Como L1 = (L+ + L−)/2 e L2 = (L+ − L−)/(2i), podemos reescrever as relações algébricas [La, Lb] = iǫabcLc em termos de L± e L3. Obtemos [L3, L±] = ±L± , (20.2) [L+, L−] = 2L3 . (20.3) Fora isso, L2 = L+L− + L3(L3 − 1) , (20.4) L2 = L−L+ + L3(L3 + 1) . (20.5) 3Hendrik Brugt Gerhard Casimir (1909–2000). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 20 995/1730 20.3 A Medida de Haar Seja G um grupo finito e seja f : G→ C uma função que a cada elemento g do grupo associa um número complexo f(g). Podemos definir a média de f em G por µ(f) := 1 #G ∑ g∈G f(g), onde #G é o número de elementos de G. Essa noção de média de uma função em um grupo finito possui algumas propriedades importantes. Seja h um elemento fixo mas arbitrário de G e definamos as funções feh(g) := f(hg), f d h(g) := f(gh) e f i(g) = f(g−1). Então vale que para qualquer h ∈ G µ(feh) = µ(f d h) = µ(f i) = µ(f), ou seja, a média é invariante por multiplicação à direita ou à esquerda por elementos de G ou pela inversão do argumento de f . E. 20.19 Exerćıcio. Mostre isso. 6 Note-se também que a média acima foi normalizada de modo que se f(g) = 1 para todo g ∈ G, então µ(f) = 1. Por fim, note-se também que a média acima é positiva: se f ≥ 0 então µ(f) ≥ 0. Fora isso, se f ≥ 0 e µ(f) = 0, então f(g) = 0 para todo g ∈ G. Grupos finitos não são os únicos a possuir médias invariantes positivas. Vamos a alguns exemplos. Para o grupo SO(2) podemos definir µ(f) = 1 2π ∫ 2π 0 f(θ)dθ, caso a integral seja finita. É fácil ver que as propriedades de invariância observadas no caso de grupos finitos são válidas aqui também, inclusive a normalização e a positividade. Para o grupo (R, +) podemos definir µ(f) = ∫ ∞ −∞ f(x)dx, caso a integral seja finita. Como se vê essa média é positiva, invariante por translações f(x) → f(x+ y) e pela troca do argumento da f por seu inverso: f(x) → f(−x), em analogia ao caso de grupos finitos. Note-se, porém, que essa média não pode ser normalizada, pois o grupo não é compacto. Outro exemplo é o grupo (R+, ·). Aqui a média invariante é µ(f) = ∫ ∞ 0 f(x) 1 x dx, caso a integral seja finita. E. 20.20 Exerćıcio. Mostre que essa média é invariante por f(x) → f(xy), y ∈ R+, e por f(x) → f(1/x). 6 Novamente, note-se que essa média não é normalizada, pois R+ não é compacto. Podemos nos perguntar, quais grupos possuem médias invariantes positivas como nos exemplos acima? Uma resposta parcial foi dada por Haar4. O teorema de Haar afirma que se G é um grupo compacto então existe uma medida de integração dµ(g) em G, denominada medida de Haar, tal que se a média µ(f) = ∫ G f(g)dµ(g) é bem definida, então tem-se ∫ G f(g)dµ(g) = ∫ G f(hg)dµ(g) = ∫ G f(gh)dµ(g) = ∫ G f(g−1)dµ(g) 4Alfréd Haar (1885–1933). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 20 996/1730 para todo h ∈ G. Fora isso, a média é normalizada: ∫ G dµ(g) = 1 e positiva: se f ≥ 0 então ∫ G fdµ ≥ 0 sendo que se f ≥ 0 e ∫ G fdµ = 0, então f(g) = 0 para quase todo g ∈ G. O teorema de Haar pode ser parcialmente extendido para grupos localmente compactos (como (R, +) e (R+, ·)): Se G é localmente compacto existem medidas positivas de integração dµe(g) e dµd(g) em G tais que ∫ G f(g)dµe(g) = ∫ G f(hg)dµe(g) = ∫ G f(g−1)dµe(g) e ∫ G f(g)dµd(g) = ∫ G f(gh)dµd(g) = ∫ G f(g−1)dµd(g), para quaisquer h ∈ G. Ou seja, existem uma medida invariante à esquerda e uma outra invariante à direita. Em alguns casos essas medidas coincidem (por exemplo, para grupos Abelianos), mas tal nem sempre é o caso para grupos não-Abelianos. Note que no caso de grupos compactos a medida invariante à esquerda e a medida invariante à direita também coincidem. No caso de grupos localmente compactos nem sempre se pode normalizar as medidas invariantes. Na presente versão destas notas não iremos nos estender mais no estudo da medida de Haar. O estudante é convidado aqui a procurar os clássicos do assunto (p.e. “The Haar Measure”, de Leopoldo Nachbin5). Como veremos, a medida de Haar de grupos compactos desempenha um papel muito importante no estudo das representações desses grupos. 20.4 Representações de Grupos Compactos Seja G um grupo compacto e seja dµ sua medida invariante. Vamos supor que Π seja uma representação de G em um espaço vetorial complexo V no qual esteja definido um produto escalar 〈·, ·〉. Com o uso de Π e dµ podemos definir em V um outro produto escalar 〈·, ·〉G por 〈x, y〉G := ∫ G 〈Π(g)x, Π(g)y〉 dµ(g), x, y ∈ V . O fato importante sobre esse produto escalar é o seguinte: para todo h ∈ G e todo x, y ∈ V 〈Π(h)x, Π(h)y〉G = 〈x, y〉G. E. 20.21 Exerćıcio. Mostre isso. 6 No caso de V ser um espaço vetorial complexo de dimensão finita, essa última igualdade afirma que cada Π(h) é um operador unitário em relação ao produto escalar 〈·, ·〉G. Como conseqüência, temos a seguinte Proposição 20.4 Toda representação de um grupo compacto em um espaço vetorial complexo de dimensão finita é equivalente a uma representação unitária e, conseqüentemente, é ou irredut́ıvel ou maximalmente redut́ıvel. 2 Mais forte é o seguinte teorema, que não provaremos aqui: Teorema 20.1 Toda representação de um grupo compacto é equivalente a uma soma direta de representações irredut́ıveis de dimensão finita. Esse teorema diz-nos que no caso de grupos compactos as representações irredut́ıveis de dimensão finita são os tijolos com os quais se constroem todas as representações. Note-se que o teorema acima afirma que toda representação de um grupo compacto Abeliano é equivalente a uma soma direta de representações de dimensão 1. 5Leopoldo Nachbin (1922–1993). Vide http://www.dmm.im.ufrj.br/doc/nachbin.htm JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 20 997/1730 20.5 O Teorema de Peter-Weyl Um dos resultados mais profundos da teoria de representações de grupos compactos é um teorema sobre a ortogonalidade das representações irredut́ıveis unitárias que em vários aspectos generaliza o célebre teorema de Fourier6 da Análise Harmônica. Como veremos, esse teorema é também um corolário do Lema de Schur. • O Teorema de Peter-Weyl. Relações de ortogonalidade Dentro da coleção de todas as representações unitárias de dimensão finita de um grupo compacto (ou finito) G podemos estabelecer uma relação de equivalência, como já observamos, dizendo que duas representações são equivalentes se possúırem um intertwiner inverśıvel. Podemos tomar em cada classe um representante Πα e formar assim uma coleção {Πα, α ∈ Λ}, de todas as representações unitárias de dimensão finita não-equivalentes entre si do grupo compacto (ou finito) G. Acima Λ designa o conjunto de ı́ndices que rotulam as representações. Cada Πα age em um espaço vetorial complexo Vα. No que segue designaremos por dα a dimensão de Vα. O importante teorema de Peter7 e Weyl8 afirma que os elementos de matriz Πα(g)ij , i, j = 1, . . . , dα são ortogonais entre si em relação ao produto escalar definido pela medida de Haar do grupo compacto (ou finito) G. Mais que isso, elas formam uma base ortogonal completa no espaço de Hilbert L2(G, dµ). Teorema 20.2 Seja {Πα, α ∈ Λ} a coleção de todas as representações unitárias irredut́ıveis de dimensão finita não- equivalentes entre si de um grupo compacto (ou finito) G. Sejam Πα(g)ij, i, j = 1, . . . , dα seus elementos de matriz. Seja dµ a medida de Haar de G. Então ∫ G Πα(g)ij Π β(g)kl dµ(g) = 1 dα δαβδikδjl. (20.15) Por fim, as funções Πα(g)ij , i, j = 1, . . . , dα formam uma base ortogonal completa no espaço de Hilbert L 2(G, dµ). Com isso, toda função f ∈ L2(G, dµ) pode ser escrita na forma f(g) = ∑ α∈Λ dα ∑ i, j=1 aαij Π α(g)ij , onde aαij = dα ∫ G Πα(g)ij f(g) dµ(g). Finalmente, para f ∈ L2(G, dµ) vale a identidade de Parseval9: ∫ G |f(g)|2 dµ(g) = ∑ α∈Λ 1 dα dα ∑ i, j=1 ∣ ∣aαij ∣ ∣ 2 . 2 As relações acima afirmam que as funções Πα(g)ij , i, j = 1, . . . , dα são ortogonais em relação ao produto escalar definido pela medida de Haar. No caso de G ser um grupo finito devemos substituir ∫ G dµ → 1#G ∑ g∈G, de modo que, por exemplo, as relações de ortogonalidade ficam 1 #G ∑ g∈G Πα(g)ij Π β(g)kl = 1 dα δαβδikδjl. Prova. Demonstraremos aqui as relações de ortogonalidade. Como veremos a prova das mesmas faz belo uso do Lema de Schur. 6Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830). 7F. Peter (?). 8Hermann Klaus Hugo Weyl (1885–1955). 9Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755–1836). Parseval deduziu esta identidade no contexto das séries e de Fourier (que correspondem aqui ao caso do grupo SO(2)) e transformadas de Fourier em 1805. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 20 1000/1730 As classes de equivalência de G por essa relação são denominadas classe de conjugação, ou classes de elementos conjugados. E. 20.25 Exerćıcio. Verifique que a identidade é o único elemento de sua classe de equivalência. 6 O fato importante sobre funções centrais e classes conjugadas é a seguinte afirmação: toda função central de um grupo G é constante nas classes conjugadas de G. A prova é elementar: se x, y pertencem à mesma classe então existe h tal que x = hyh−1. Logo, f(x) = f(hyh−1) = f(y). Assim, para determinar uma função central, como um caráter de uma representação, por exemplo, basta determinar seus valores nas classes de conjugação. Essa observação desempenhará um papel abaixo. • Caráteres de grupos finitos Caráteres desempenham um papel especial no caso de grupos finitos. Se G é finito, as relações de ortogonalidade acima ficam 1 #G ∑ g∈G χα(g)χβ(g) = δαβ . (20.16) No caso e grupos finitos os caráteres possuem uma propriedade de ortogonalidade adicional que é muito útil no estudo de propriedades desses grupos. Vamos apresentá-la. Se f é uma função central de um grupo finito, então f é automaticamente de quadrado integrável (pois o grupo é finito) e, pelo teorema de Peter-Weyl, podemos escrevê-la como f(h) = ∑ α∈Λ cαχ α(h), onde cα = 1 #G ∑ g∈G χα(g)f(g). Como tanto χα quanto f são constantes nas classes de equivalência Ck, k = 1, . . . ,K, de G, podemos escrever essa última expressão como cα = 1 #G K ∑ k=1 (#Ck)χα(Ck)f(Ck), onde #Ck é o número de elementos do grupo que pertencem à classe Ck e f(Ck) é o valor de f em Ck. Assim, f(h) = ∑ α∈Λ 1 #G K ∑ k=1 (#Ck)χα(Ck)f(Ck)χ α(h) = K ∑ k=1 f(Ck) [ #Ck #G ∑ α∈Λ χα(Ck)χ α(h) ] Tomando h ∈ Cj , teremos f(Cj) = K ∑ k=1 f(Ck) [ #Ck #G ∑ α∈Λ χα(Ck)χ α(Cj) ] . Como f é arbitrária, segue que ( #Ck #G ) ∑ α∈Λ χα(Ck)χ α(Cj) = δjk. (20.17) Essa relação de ortogonalidade especial tem várias conseqüências relevantes para o estudo de representações irre- dut́ıveis unitárias de grupos finitos. Uma delas é a seguinte: JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 20 1001/1730 Proposição 20.5 Se G é um grupo finito, o número de representações irredut́ıveis unitárias de G é igual ao número de de classes de conjugação de G. 2 Prova. Seja G um grupo finito e Ck, k = 1, . . . , K suas classes de conjugação. Sabemos que as funções centrais são constantes nas classes de conjugação e, portanto, vale para toda função central f a seguinte identidade f(g) = K ∑ k=1 fk δCk(g), onde fk é o valor que f assume em Ck e δCk(g) :=        1, se g ∈ Ck 0, se g 6∈ Ck . Isso significa que o espaço vetorial C(G) das funções centrais de G tem uma base formada pelas funções δCk , k = 1, . . . , K, e, portanto, tem dimensão K. Por (20.16) as funções χα, α ∈ Λ, formam uma base ortogonal no espaço C(G). Portanto, o número #Λ de representações irredut́ıveis de G é menor ou igual à dimensão de C(G), que é K, como acabamos de ver: #Λ ≤ K. Por outro lado, (20.17) diz-nos que o espaço vetorial de todas as funções Λ → C, o qual tem dimensão #Λ (por que?), possui um conjunto de K funções ortogonais, a saber, as funções hk(α) = χ α(Ck), α ∈ Λ. Logo, K ≤ #Λ. Isso completa a prova que K = #Λ À luz desta proposição podemos rescrever (20.17) como ( #Ck #G ) K ∑ a=1 χa(Ck)χ a(Cj) = δjk. (20.18) j, k = 1, . . . , K. Outra conseqüência de (20.18) é a seguinte. Tomando-se Cj = Ck = C1, onde C1 é a classe de conjugação da identidade, a qual só possui um elemento, conclúımos que K ∑ a=1 d2a = #G, (20.19) pois χa(C1) = Tr(Π a(e)) = da. Essa curiosa expressão nos mostra uma relação entre as dimensões das representações irredut́ıveis de G e a ordem de G. Em muitos casos é posśıvel extrair informações sobre as representações irredut́ıveis do grupo a partir da mesma. Isso pois (20.19) não pode ser satisfeita por quaisquer números inteiros K, da e #G. Por exemplo, um grupo que possua 6 elementos e 3 classes de conjugação só pode ter duas representações irredut́ıveis unidimensionais e uma bidimensional, pois 6 = 12+12+22 e não há outra forma de escrever o número 6 como soma de três quadrados. Esse, aliás, é precisamente o caso do grupo de permutações de 3 elementos, S3, o qual possui 6 elementos e 3 classes de conjugação (identifique-as!). Parte VI Topologia Geral, Teoria da Medida e Integração 1002