Baixe Calculo III - Aula 1 e outras Notas de aula em PDF para Meteorologia, somente na Docsity! CÁLCULO III FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA DE LORENA PROF OSWALDO COBRA INTRODUÇÃO Este material é destinado ao Curso de Cálculo III da Faculdade de Engenharia Química de Lorena, ministrado pelo professor Oswaldo Luiz Cobra Guimarães. Este material traz recursos adicionais ao bom andamento do curso através da utilização de recursos de softwares Matlab e WinPlot, encorajando os alunos a pensarem numéricamente e graficamente, além do desejado desenvolvimento analítico. Fornece também uma aplicação do Cálculo III à Engenharia e Ciências Exatas, fortalecendo a formação do aluno. Curso Cálculo III – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 2 CAPÍTULO I INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA 1.1 INTRODUÇÃO Em muitas situações estaremos interessados em processos de integração nos quais estaremos integrando funções de duas ou três variáveis. 1.2.1 INTEGRAIS DUPLAS Estaremos interessados, no momento, em integrar uma função contínua f(x,y) sobre uma região no plano xy, região esta, com fronteiras definidas. Podemos executar os cálculos necessários em função de nossos conhecimentos de integração de funções de uma variável. A integral dupla pode ser calculada em etapas, utilizando-se os métodos já estudados em Cálculo I, com funções de uma variável. Analisemos a região retangular figura 1 e seja uma função f(x,y) definida nesta região retangular, aqui denominada R: dxc , ≤≤≤≤ bxa . Observando a figura vemos que R pode ser vista como uma região dividida em pequenos retângulos, uma malha de retângulos, onde cada rettângulo possui área yxA ∆∆=∆ . Podemos numerar estes retângulos e formamos a soma dada por: Curso Cálculo III – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 5 RESOLUÇÃO y = 2*X^2 y = 1+X^2 Determinado os pontos de intersecção: Sejam y1=2x2 e y2=1+x2 e igualando as expressões chegamos a 2x2=1+x2 que possui como solução x=-1 e x=1. ∫ ∫∫∫ − + +=+ 1 1 1 2 2 2 )2()2( x xR dydxxydAxy = [ ] 15 321 1 1 2 2 2 2 =+∫ − + dxxyy x x Exemplo 4: Seja a região formada pela parábola y2=2x+6 e pela reta x=y+1. Determine o valor de ∫∫ R xydA . RESOLUÇÃO Inicialmente traçamos um gráfico da região R e após este procedimento devemos definir os pontos de intersecção da região limítrofe. y = x-1 y = sqrt(2x+6) y = -sqrt(2x+6) Curso Cálculo III – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 6 A equação da reta fornece y=x-1, que substituída na expressão definidora da parábola fornece: 6212 62)1( 2 2 +=+− −=− xxx xx 0542 =−− xx Esta equação possui raízes iguais a x1=-1 e x2=5, que substituídas na equação da reta conduzem aos pares ordenados (-1,-2) e (5,4). Devemos, agora, definir a ordem de integração e as duas figuras a seguir mostrar estes caminhos de integração. y = x-1 y = sqrt(2x+6) y = -sqrt(2x+6) y = x-1 y = sqrt(2x+6) y = -sqrt(2x+6) Analisando a primeira figura, verificamos que escolhida dydx, seria necessária a soma de duas regiões de integração e este procedimento é proposto como exercício aos alunos. O procedimento algébrico a seguir, equivale à integração proposta na ordem de integração da segunda figura: ( ) 363 2 1 2 1 2 4 2 22 2 1 3 2 4 2 24 2 1 2 3 2 2 =             −−+=       == ∫ ∫∫ ∫∫∫ − + −−− + − dy y y dy x xydxdyxydA y y y R y Curso Cálculo III – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 7 Exemplo 5: Determine o valor de ∫ ∫ dAx senx R , onde R é formado pela reta y=x, pelo eixo dos x e pela reta x=1. RESOLUÇÃO Integrando primeiro em relação a x e depois em relação a y obtemos dxdy x senx y ∫ ∫ 1 0 1 , expressão que não pode ser efetuada analiticamente, não podendo ser expressa em termos de funções elementares. A inversão da ordem de integração nos leva a: [ ] 11cos 1 0 1 00 1 0 1 0 0 +−==    == ∫∫∫∫ ∫ senxdxxdxx senx dxy x senx dydx x senx xx 1.2.2- CÁLCULO DE VOLUMES POR INTEGRAÇÃO DUPLA Quando f(x,y) é positiva, podemos interpretar a integral dupla de uma função f(x,y) em uma região retangular R como sendo o volume do prisma sólido limitado inferiromente por R e superiormente pela superfície z=f(x,y). Vamos supor que desejamos calcular o volume sob o plano z=4-x-y sobre a região retangular R formada por 10,20 ≤≤≤≤ yx , no plano xy. Curso Cálculo III – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 10 RESOLUÇÃO ( ) 3 4 244 1 0 22 0 =−−= ∫ ∫ − dydxyxV x unidades de volume. Exemplo 3) Determine o volume do sólido limitado pelo cilndro 422 =+ yx e os planos y+z=4 e z=0. x y z V= π16)4( 2 2 4 4 2 2 =−∫ ∫ − − −− x x dydxy Curso Cálculo III – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 11 Exemplo 4) Encontre o volume da região limitada por z= 22 3yx + e z= 228 yx −− . RESOLUÇÃO ( ) ( )[ ] 2838),( 2 2 2 4 2 4 2222 2 2 π=+−−−== ∫ ∫∫ ∫ − − − − x x yxyxdydxyxfV 1.2.3- EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e escreva a integral dupla de acordo com a mudança da ordem de integração. Após este procedimento, utilize um software para plotagem da figura e confirme seu esboço. ∫ ∫ ∫ ∫ − − −− 2 3 0 49 0 1 0 1 1 2 2 2 ) ) x y y xdxdyb ydxdya 2) Esboce a região de integração e calcule a integral: Curso Cálculo III – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 12 ∫ ∫ ∫ ∫ + π 0 0 8ln 1 ln 0 ) ) x y yx xsenydydxb dxdyea 3) Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e determine o valor da integral ∫ ∫ 16 1 0 2 1 5 4 1 )16cos() y dxdyxa π b) dydx y xex y ∫ ∫ − − 2 0 4 0 22 4 4) Determine o valor da integral imprópria ∫ ∫ ∞ −1 1 3 1 xe dydx yx 5) Encontre o volume da região limitada pelo parabolóide 22 yxz += e inferiormente pelo triângulo delimitado pelas retas y=x, x=0 e x+y=2 no plano xy. 6) Encontre o volume do sólido que é limitado superiormente pelo cilindro z=x2 e inferiormente pela região delimitada pela parábola y=2-x2 e pela reta y=x no plano xy. 7) Prove que 2 0 22222 4lim     == ∫∫ ∫∫ ∫ ∞ − − − −− ∞→ ∞ ∞− ∞ ∞− −− dxedxdyedxdye x b b b b yx b yx 1.2.4- INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Tog gleB utton Em algumas situações, o processo de integração torna-se mais simples pela mudança de coordenadas do sistema, geralmente, quando a geometria do problema adequa-se a tal sistema de coordenadas. Curso Cálculo III – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 15 RESOLUÇÃO ∫ ∫∫ ∫ ==       == 4 0 2cos4 0 4 0 24 0 2cos4 0 4)2cos(24 2 44 π θππ θ θθ θθ d d r rdrdA Exemplo 2) Determine a área compreendida pela rosácea de três pétalas r=sen θ3 . RESOLUÇÃO ∫∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫ =−===== 3 0 3 0 2 3 0 3 0 4 )6cos1( 2 3 3 2 3 333 πππ θ πθθθθθθ ddsenrdrdrdrddAA R R sen Curso Cálculo III – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 16 1.2.6- EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume dentro da superfície 9222 =++ zyx e fora de 122 =+ yx . Resp: π 3 264 2) A integral iterada representa o volume de um sólido. Faça um esboço do sólido: dydxyx∫ ∫ −− 3 0 4 1 2225 . 3) A integral iterada representa o volume de um sólido. Faça um esboço do sólido: dxdyyx∫ ∫ − − + 2 2 2 2 22 )( . ATIVIDADES 1) Calcule as integrais nos exercícios abaixo: Curso Cálculo III – Prof Oswaldo Luiz Cobra Guimarães - FAENQUIL 17 1:Re 1 )2 1:Re )()1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 222 sp dxdydz xyz sp dzdydxzyx e e e ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ++ 3) Seja a integral dada por: ∫ ∫ ∫ − −1 1 1 1 02x y dzdydx a) Faça um esboço da região espacial a ser trabalhada b) Reescreva a integral iterada equivalente na ordem • dydzdx • dydxdz • dzdxdy • dzdydx • dxdzdy 4) Determine o volume e faça um esboço das regiões a) z=y2 e o plano xy limitado também pelos planos x=0, x=1,y=-1,y=1 b) A região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelos planos x+z=1, y+2z=2 c) A região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelo plano y+z=2 e pelo cilindro x=4-y2 d) A cunha cortada do cilindro de raio 1 paralelo a z e limitado pelos planos z=-y e z=0. e) A região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pela superfície z=4-x2-y2 f) A região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelo plano x+y=4 e pelo cilindro y2+4z2=16 g) A região cortada do cilindro de raio 2 e paralelo a z, pelo plano z=0 e pelo plano x+z=3 5) Calcule dxdydz y ysene b dxdydz z x a x y ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 22 4 0 1 0 2 2 2 )( ) 2 )cos(4 ) ππ Respa) 2sen4 Respb) 4 1) Calcule em coordenadas cilíndricas