Aula13-Construções Geométricas, Notas de aula de Matemática

Baixe Aula13-Construções Geométricas e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity! Aula 13 – Quadriláteros II MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 – Quadriláteros II Objetivos Construir paralelogramos de forma geral e trapézios utilizando suas proprie- dades principais e recursos de construções de triângulos. Na aula passada vimos as principais construções de quadrados, losangos e retângulos que são paralelogramos com propriedades particulares: • Losango: lados iguais e diagonais perpendiculares; • Retângulo: ângulos internos iguais e consequentemente retos; • Quadrado: possui as propriedades do losango e do retângulo. As propriedades dos paralelogramos que utilizaremos nesta aula são: lados opostos iguais, lados opostos paralelos e as diagonais se interceptam no ponto médio. Vejamos, a seguir, as principais construções de parelelogramos. Problema 1: Construir um paralelogramo sendo dados os dois lados distintos e o ângulo entre eles. Sejam A′B′ e C ′D′ os segmentos de medida iguais aos lados distintos do paralelogramo e α o ângulo entre esses lados. A’ a B’ C’ D’ Figura 17 1.1 Sobre uma reta r constrúımos um segmento AB com medida igual a A′B′; 1.2 Sobre o vértice A transferimos o ângulo α; 1.3 Sobre o lado novo do ângulo α constrúıdo tomamos um ponto D tal que AD tenha medida igual a C ′D′; 1.4 Com centros em B e D constrúımos as circunferências de raios AD e AB, respectivamente. Estas circunferências se encontrarão num ponto C, que será o quarto vértice do paralelogramo; 17 CEDERJ Aula 13 – Quadriláteros II 1.5 De modo alternativo, podemos construir as retas que passam por B e D que são paralelas aos segmentos AD e AB, respectivamente. Esta retas se encontrarão no ponto C. a CD B A’ B’ C’ D’ A r Figura 18 Justificativa: O quadrilátero constrúıdo possui lados opostos paralelos e iguais, assim ele é um paralelogramo.(Veja Geometria Básica) Problema 2: Construir um paralelogramo sendo dados um ângulo α interno, o peŕımetro 2p e uma das diagonais D. Como em um paralelogramo os ângulos opostos são iguais e os adja- centes são suplementares, então se conhecemos um ângulo temos os quatro ângulos internos do paralelogramo. Neste caso, podemos supor que o ângulo dado seja oposto à diagonal dada. Supondo que o paralelogramo ABCD, a seguir, seja a solução do pro- blema, façamos as seguintes construções: • Rebatendo o lado AB sobre o prolongamento do lado AD, obtemos um ponto E tal que ED é o semi-peŕımetro; • Traçando a semi-reta de origem em E que passa por B formamos um triângulo isósceles EAB, de base EB, cujo ângulo externo não adja- cente aos ângulos da base é o ângulo interno dado. Portanto, o ângulo da base do triângulo isósceles corresponde à metade do ângulo dado; • Observe também que a diagonal dada é oposta ao ângulo BÊA e que o ponto A é eqüidistante dos pontos E e B. CEDERJ 18 Aula 13 – Quadriláteros II MÓDULO 2 - AULA 13 4. Construir um paralelogramo conhecendo a base, a altura e uma diago- nal. Diagonal Altura Base Figura 24 Sugestão: Construa uma base sobre uma reta, trace uma paralela a esta reta que esteja a uma distância igual a altura e utilize a diagonal para encontrar o terceiro vértice. Problema 3: Construir um paralelogramo conhecendo um lado, a soma do outro lado com uma diagonal e o ângulo entre esta diagonal e o lado dado. Assim como no problema 2, analisemos inicialmente o problema supos- tamente resolvido. Seja ABCD o paralelogramo solução para o problema 3. • Rebatendo o lado CB sobre o prolongamento da diagonal dada, AC, obtemos o ponto E tal que AE seja igual a soma dada; • Observe que o ponto C é eqüidistante dos pontos E e B; • Se AB é o lado dado, então AE forma com AB o ângulo dado. B D C E A a Figura 25 As propriedades, anteriormente relatadas, justificam o seguinte pro- cesso de construção. 21 CEDERJ Aula 13 – Quadriláteros II 3.1 Sobre uma reta suporte r constrói-se um segmento AB com medida igual ao lado dado; 3.2 Transfere-se o ângulo dado para a extremidade A do segmento cons- trúıdo; 3.3 Sobre o novo lado do ângulo constrúıdo constrói-se um segmento AE com medida igual a soma dada; 3.4 Traça-se a mediatriz do segmento BE, interceptando AE no ponto C que é o terceiro vértice do paralelogramo; 3.5 Com centros em A e C constróiem-se as circunferências de raios BC e AB, respectivamente. Tais circunferências se interceptarão no quarto vértice D do paralelogramo ABCD pedido. Lado a D C BA E Soma da diagonal com o lado Figura 26 Exerćıcios: 5. Construir um paralelogramo conhecendo um lado, a diferença entre uma diagonal e o outro lado e o ângulo entre esta diagonal e o lado dado. Diferença Lado a Figura 27 Sugestão: analise o problema resolvido rebatendo o lado para um ponto entre os extremos da diagonal. CEDERJ 22 Aula 13 – Quadriláteros II MÓDULO 2 - AULA 13 Até o momento efetuamos construções de quadriláteros ditos paralelo- gramos. Faremos, a seguir, algumas construções de outros quadriláteros ditos trapézios, que por definição possui somente dois lados paralelos que são ditos bases, e os outros dois lados são chamados de laterais. Quando um trapézio possui as laterais iguais, então o trapézio é chamado de trapézio isósceles. Quando uma lateral é perpendicular as bases, então o trapézio é chamado de trapézio retângulo. Problema 4: Construir um trapézio conhecendo as duas bases e as duas diagonais. Vejamos o problema supostamente resolvido. Seja ABCD o trapézio solução cujas bases são AB e CD. • Pelo ponto C tracemos a reta paralela à diagonal BD. Esta paralela intercepta o prolongamento da base AB em um ponto E; • Como CE//BD e AB//CD então BECD é um paralelogramo, logo DC = BE e CE = BD; • Note então que o triângulo ACE possui os lados iguais às duas diago- nais e a soma das bases. D C A B E Base 2 Base 1 Base 2 Diagonal 1 Diagonal 2 Figura 28 Neste caso, podemos resolver o problema efetuando as seguintes cons- truções: 4.1 Sobre uma reta r constrúımos um segmento AB igual a uma das bases. Considere AB como a maior base; 4.2 Sobre a mesma reta constrúımos um segmento BE igual a segunda base, de tal forma que B fique entre A e E; 4.3 Constrúımos um triângulo utilizando AE como base e os outros lados sendo as duas diagonais do trapézio. Obtendo o terceiro vértice C; 23 CEDERJ Aula 13 – Quadriláteros II • Apoiando a base menor DC sobre a base maior fazendo coincidir C e B, obtemos um ponto F entre A e B tal que FB = DC; • Observe que o quadriláteroDCBF é um paralelogramo, logo DF//CB. D C BFAE 45 O Figura 33 A análise anterior justifica a seguinte solução para o problema: 6.1 Sobre uma reta r constrúımos um segmento EB igual a soma da base maior com a lateral reta; 6.2 Na extremidade E constrói-se um ângulo de 45o considerando EB como um dos lados; 6.3 Na extremidade B constrói-se um segmento FB igual à base menor dada tal que F ∈ EB. E na mesma extremidade constrói-se um ângulo igual ao ângulo agudo dado, considerando EB como um dos lados; 6.4 Pelo ponto F traça-se uma reta paralela ao lado do ângulo agudo, que interceptará o lado do ângulo de 45o em um ponto D; 6.5 Pelo ponto D traça-se uma reta perpendicular a r interceptando-a no ponto A; 6.6 Com centro em D e raio igual à base menor constrói-se um arco de circunferência que interceptará o lado do ângulo agudo num ponto C; 6.7 O quadrilátero ABCD é o trapézio pedido. Base Menor Soma da Base Maior com a Lateral Reta a E A F B D C r Figura 34 CEDERJ 26 Aula 13 – Quadriláteros II MÓDULO 2 - AULA 13 Exerćıcios 8. Construir um trapézio retângulo conhecendo a diagonal menor, um ângulo interno agudo e sabendo que a lateral reta é igual à base menor. Diagonal Menor a Figura 35 Sugestão: Suponha o problema resolvido e observe que a diagonal forma ângulo 45o com as bases. 9. Construir um trapézio retângulo conhecendo a base menor, a diferença entre a base maior e a lateral reta, e a diagonal maior. Diferença Base Menor Diagonal Maior Figura 36 Sugestão: Suponha o problema resolvido e siga os passos do problema 8 rebatendo a lateral reta para a parte interna da base maior, e utilize a diagonal maior no lugar do ângulo interno. Resumo Nesta aula você aprendeu... • A construir paralelogramos de forma geral utilizando suas principais propriedades; • A construir trapézios gerais, trapézios isósceles e trapézios retângulos utilizando as principais propriedades. 27 CEDERJ