Baixe Resistência dos materiais (treliças, cisalhamento, torção e flambagem) e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Alimentos, somente na Docsity! Universidade Federal de Sergipe Centro de Ciências Exatas e Tecnologia – CCET Departamento de Engenharia Civil – DEC Erika Dorathy Avelino Santos Resistência dos Materiais São Cristóvão 30/07/2010 Universidade Federal de Sergipe Centro de Ciências Exatas e Tecnologia – CCET Departamento de Engenharia Civil – DEC Erika Dorathy Avelino Santos Resistência dos Materiais Relatório apresentado à disciplina Resistência dos Materiais – 101201 na turma B0, para a obtenção da 2ª nota, orientado pelo professor Josafá de Oliveira Filho. São Cristóvão 30/07/2010 1. Treliças 1.1. Introdução 1.3. Treliça Plana Podemos facilmente demonstrar que as barras de uma treliça por terem suas extremidades rotuladas (rótulas não absorvem momento), desenvolvem apenas esforços normais constantes ao longo de suas barras. Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma treliça. Sabe-se que uma rótula não transmite momento, apenas esforços na direção do eixo e perpendiculares a ele. Por outro lado, as cargas externas só estão aplicadas nos nós. A análise do equilíbrio nos mostra que nas extremidades das barras de uma treliça só existem esforços na direção do eixo longitudinal da mesma e que são de mesmo módulo, porém sentidos contrários. A existência de esforços perpendiculares ao eixo da barra (esforço cortante) é descartada, pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades momentos nulos. Logo a única solicitação interna desenvolvida é um Esforço Normal constante ao longo da mesma. Como o esforço normal é constante ao longo da barra podemos calcular o seu valor em uma seção qualquer, da barra que se deseja. 1.4. Estaticidade da estrutura 1.1. Estaticidade no interior O sistema rígido mais simples é constituído por três barras articuladas entre si. Se cada nó for agregado ao sistema por intermédio de apenas duas barras obtém-se um sistema rígido, por isso invariante (não varia a sua configuração geométrica) e estaticamente determinado. Uma treliça formada deste modo é designada por treliça simples e é isostática. Sendo b o número de barras e n o número de nós então o número total de barras é dado por b = 2n – 3. Esta relação é uma condição necessária para a estabilidade da treliça, porém não é condição suficiente, porque uma ou mais das barras podem estar dispostas de tal modo que não contribuem para uma configuração estável da treliça simples. Onde: b → é o número de barras da treliça n → é o número de nós da treliça, incluindo os vínculos externos Se b > 2n – 3 existem mais barras que as necessárias para evitar o colapso o que sugere que a treliça seja interiormente hiperestática e por isso estaticamente indeterminada. No entanto é necessário analisar se a disposição das barras lhe permite manter uma configuração estável. Assim sendo, as barras que não são necessárias para manter a posição de equilíbrio da treliça designam-se por redundantes e o seu número traduz o grau de hiperestaticidade interior, hi = b – (2n - 3). Onde: hi → é o grau de hiperestaticidade interior Se b < 2n – 3 há uma deficiência de barras, por isso a treliça é designada hipoestática interiormente. O equilíbrio apenas é possível mediante certas condições que não sendo verificadas levará o sistema ao colapso. 1.2. Estaticidade no exterior A estaticidade exterior é calculada a partir das condições de apoio do sistema. Os apoios restringem os graus de liberdade e por isso o número de incógnitas que surgem, a, são calculadas a partir das equações de equilíbrio da estática, três no plano. Se os apoios estiverem colocados por forma a impedir qualquer movimento do sistema como corpo rígido o grau de hiperestaticidade exterior é então he = a - 3. ▲ Sistema hipoestático → a < 3 ▲ Sistema isostático → a = 3 ▲ Sistema hiperestático → a > 3 Onde: a → número de incógnitas he → grau de hiperestaticidade no exterior 1.5. Classificação quanto a lei de formação 1.3. Treliça simples As treliças são formadas a partir de um triângulo base e por forma que cada novo nó seja agregado através de duas barras. Estas são interiormente isostáticas, verificando-se a condição b= 2n -3. 1.4. Treliças Compostas Resultam da associação de duas treliças simples por meio ou de três barras não paralelas nem concorrentes num ponto (esquema 1), ou de um nó e uma barra que não concorra nesse nó (esquema 2). cálculos, somente as barras da treliça que forem cortadas, as forças ativas e reativas da parte adotada para a verificação de equilíbrio c. Repetir o procedimento, até que todas as barras da treliça estejam calculadas. Neste método, pode-se considerar inicialmente todas as barras tracionadas, ou seja, barras que “puxam” os nós, as barras que apresentarem sinal negativo nos cálculos, estarão comprimidas. 1.7. Exemplo Resolvido pelo método de Ritter Determinar as forças normais nas barras da treliça dada: Solução Se a altura h é determinada através da tangente de 53º: h = tang 53º → h ≈ 1,33m a. Cálculo das reações de apoio: Devido à simetria da estrutura e do carregamento, VA = VB = P/2 b. Cálculo dos esforços na barra Para determinar a carga axial nas barras 1 e 2, aplica-se o corte AA na treliça e adota-se a parte à esquerda do corte para verificar o equilíbrio. Através do corte BB, determina-se os cortes nas barras 3 e 4. Como a treliça é simétrica podemos concluir que: F7 = F1 = -0,625P F6 = F2 = +0,375P F5 = F3 = +0,625P 2. Cisalhamento simples 1.8. Introdução O cisalhamento está mais presente em nossas vidas do que se imaginamos: ao cortar uma folha, um pedaço de queijo ou aparas do papel com guilhotina, entre muitos outros exemplos. No caso de metais, podemos praticar o cisalhamento com tesouras, prensas de corte, dispositivos especiais ou simplesmente aplicando esforços que resultem em forças cortantes. Ao ocorrer o corte, as partes se movimentam paralelamente, por escorregamento, uma sobre a outra, separando-se. A esse fenômeno damos o nome de cisalhamento. Ao fazer o teste de cisalhamento, podemos ver como os materiais reagem ao esforço de tração, quais os limites de tração que suportam e a partir de que momento de rompem, isso é muito importante, principalmente na estamparia que envolve corte de chapas, ou nas uniões de chapas por solda, por rebites ou por parafusos, onde a força cortante é o principal esforço que as uniões vão ter de suportar. 1.9. Definições Ao passarmos uma seção transversal pelo ponto C, entre os pontos de aplicação das forças (Fig. 7a), podemos desenhar o diagrama da parte AC (Fig. 7b), e concluir que devem existir forças internas na seção transversal, e que sua resultante deve igualar a P. Essa resultante, de intensidade P, é chamada força cortante na seção. Ao dividirmos a força constante P pela área da seção transversal A, obtemos a tensão média de cisalhamento na seção. A tensão de cisalhamento é indicada com a letra grega (tau). Podemos escrever então: Onde: P → força cortante na seção entre as partes (chapas de reservatórios cilíndricos, almas e mesas de perfis para vigas, abas de cantoneiras, etc.). As ligações nas estruturas podem ser: ▲ Parafuso comum; ▲ Parafuso de alta resistência ▲ Rebitada ▲ Solda 1.8. Parafuso comum São dispositivos que trabalham ao cisalhamento. Os parafusos são compostos pela cabeça, corpo, arruela e porca e algumas vezes, contra-porca (Fig. 11). A arruela tem a finalidade de distribuir as tensões de aperto, mas principalmente permitir a rotação da porca quando se está dando-se o aperto. A porca é de aço tratado termicamente e vai sempre do lado da porca. Em estruturas metálicas não se usa arruela do lado da cabeça. A resistência do parafuso é dada pela resistência das superfícies que devem ser rompidas na ação de corte – cisalhamento. Quanto maior o número de superfície de corte maior é a resistência do parafuso (Fig. 12). Resistência de uma superfície de Cisalhamento: Onde: → tensão de cisalhamento d→ diâmetro do parafuso F→ força na superfície E quando temos duas superfícies temos: E quando temos 4 superfícies temos: Devemos cuidar para que as chapas e os parafusos não sejam esmagados pela tensão de contato bem como que a chapa não venha a rasgar-se. A ação do parafuso pressupõe que haja um pequeno movimento entre as partes para manifestar-se o cisalhamento e as ações de esmagamento e rasgamento (Fig. 13) . Devemos, numa ligação parafusada, evitar: ▲ O cisalhamento do parafuso ▲ O esmagamento ▲ O rasgamento do chapa Mas raramente se usam pinos parecidos com parafusos só que não tem rosca e são usados quando necessitamos de diâmetros maiores como é o caso dos pinos. Alguns pinos têm rosca no seu corpo para fixar a rosca. 1.9. Parafusos de alta resistência Historicamente o parafuso de alta resistência surgiu quando se estudavam ligações rebitadas com colocação de rebites a quente. Quando o aço, depois de aquecido retraia desenvolve forte aperto entre as chapas de maneira que, pela presença da força de atrito, as chapas não se deslocavam, gerando uma ligação rígida, como acontece com a ligação soldada. Assim surgiu o parafuso de alta resistência. É um parafuso que, devido ao aperto da porca, gera uma força de compressão tão alta, que pelo atrito as chapas não se movimentam entre si. Os parafusos de alta resistência têm um comportamento como da solda, ou seja, eles ligam as partes de maneira que não há movimento relativo. 1.10. Rebites O rebite é normalmente conformado de maneira a fazer a união entre as chapas, ficando tracionado pelas cabeças e comprimindo as chapas entre si (o mesmo ocorre nas uniões através de parafusos que, após o aperto das porcas, Ao se fazerem furos para colocação dos rebites, a área resistente à tração fica reduzida. Logo, para que não ocorra ruptura por tração, a tensão de tração deve ser inferior à tensão admissível à tração (). A tensão de tração nas chapas será dada por: A→ representa a área da seção transversal da chapa descontada as áreas dos furos. 1.11. Exercício Calcular o valor admissível para a força P aplicada à chapa rebitada, de 8 mm de espessura, considerando as seguintes tensões limites, tanto para a chapa, como para os rebites: F0 73 tração = F0 20 F0 73compressão = 120 MPa; F 0 7 4 = 70 MPa Solução: Admitindo a uniformidade na distribuição das forças pelos rebites (compatível com a hipótese de que, sendo a chapa indeformável, os deslocamentos e as deformações dos rebites serão iguais) concluímos que a força em cada rebite vale P/8. Na seção (1), a força de tração na chapa será igual a P e (σT)1 = P/ [8x(100 – 2x10)x10-6] = 120x106 . Portanto (Padm)1 = 76,80 kN. Na seção (2), a força de tração na chapa será igual a (6/8)P e (σT)2 = [(6/8)P] / [8x(100 – 3x10)x10-6] = 120x106 . Portanto (Padm)2 = 89.60 kN. Na seção (3) a tração na chapa será menor que em (2) e sendo a área a mesma, a tensão será menor, não necessitando calcular (Padm)3. A tensão de compressão nos furos nos permite escrever: (σc) = (P/8) / 10x8x10-6 = 120x106 e (Padm)4 = 76,80 kN. A tensão de corte nos rebites nos dá: ( = (P/8) / (π/4)102 x 10-6 = 70 x 106 e (Padm)5 = 43,98 kN. Portanto, (Padmissivel) = 44 kN (evidentemente, o menor valor). 3. Torção 1.12. Introdução Nesta seção serão analisadas as tensões de deformações produzidas em peças de seção transversal circular, sujeitas à ação de conjugados que tendem a torcer essas peças. Tais conjugados são chamados momentos de torção, momentos torcionais ou torque, T e T’ (Fig. 17). Esses conjugados têm a mesma intensidade T e sentidos opostos. São então grandezas vetoriais e podem ser representadas de duas maneiras: setas curvas, como na Fig. 17a ou vetores conjugados, como na Fig. 17b. Peças submetidas a torção são encontradas em muitas aplicações da engenharia. O caso mais comum de aplicação é o de eixo de transmissão, utilizados para transmitir potência de um ponto a outro, como no caso de uma turbina a vapor ligada a um grande gerador de eletricidade, ou de motores acoplados a máquinas e ferramentas, bem como no caso de transmissão de potência do motor de um carro ao eixo traseiro. 1.13. Definições Consideremos o eixo AB sujeito à ação dos momentos de torção T e T’, iguais e de sentidos opostos, nos pontos A e B. cortamos o eixo por uma seção perpendicular ao eixo longitudinal em um ponto qualquer C (Fig 18). O diagrama de corpo livre da parte BC deve incluir as forças elementares de cisalhamento DF, perpendiculares ao raio do eixo, que a parte AC exerce sobre a parte BC quando o eixo é torcido (Fig. 19a). Para ocorrer o equilíbrio da parte BC, o conjunto de forças elementares deve produzir um momento torção interno T, igual e contrário a T’ (Fig. 19b). Vamos denominar de ρ a distância de cada força elementar DF ao centro da seção circular. Para expressar que a delgadas, e submetidas à torção, as tensões tangenciais, nos pontos de uma mesma espessura, são paralelas e de valor constante. Esta hipótese conduz a uma distribuição uniforme de tensões tangenciais ao longo de uma espessura.” 1.14. Deformações de tensão de uma barra circular Considere uma barra prismática de seção transversal circular girada por torques T agindo nas extremidades como na Figura 22. Torção Pura: Toda a seção transversal está submetida ao mesmo torque interno T. Considerações: Das condições de simetria, as seções transversais da barra não variam na forma enquanto rotacionam sobre o eixo longitudinal. Em outras palavras, todas as seções transversais permanecem planas e circulares e todos os raios permanecem retos. Caso o ângulo de rotação entre uma extremidade da barra e outra é pequeno, nem o comprimento da barra e nem seu raio irão variar. Variáveis f, φ - Ângulo de torção. O ângulo de torção varia ao longo do eixo da barra: 0 ≤φ (x)≤φ Se toda a seção transversal da barra tem o mesmo raio e está submetida ao mesmo torque (torção pura) , o ângulo φ (x) irá variar linearmente. Considere a figura 23. Os ângulos no canto do elemento, na Figura 23.b não são mais iguais a 90º. O elemento está em um estado de cisalhamento puro e a magnitude da deformação de cisalhamento γmax é igual à diminuição no ângulo no ponto a, isto é, a diminuição no ângulo bad. Da figura, vemos que a diminuição nesse ângulo é: Onde γmax é medido em radianos, bb’ é a distância através da qual o ponto b se move e ab é o comprimento do elemento (igual a dx). Com r denotando o raio da barra, podemos expressar a distância bb’ como rdφ , em que dφ também é medido em radianos. Dessa forma a equação anterior fica: Essa equação relaciona a deformação de cisalhamento na superfície externa da barra com o ângulo de torção. A relação dφ dx é a razão da variação do ângulo de torção φ em relação à distância x medida ao longo do eixo da barra. Vamos denotar dφ dx pelo ângulo θ e nos referimos a ele como razão de torção ou ângulo de torção por unidade de comprimento. 1.11. Equação para deformação de cisalhamento da superfície externa As equações (3) e (4) são válidas quando a razão de torção θ não é constante, mas varia com a distância x ao longo do eixo da barra. Torção pura Razão de torção: Deformação de cisalhamento: As deformações por cisalhamento no interior da barra podem ser encontradas pelo método usado para encontrar a deformação de cisalhamento γmax na superfície externa. Como os raios nas seções transversais permanecem retos e não distorcidos durante o giro, vemos que a discussão anterior para um elemento abcd na superfície externa (Figura 23.b) também se aplica para um elemento similar situado na superfície de um cilindro interno de raio ρ , como na Figura 23.c. Dessa forma, elementos internos também estão em cisalhamento puro com as deformações de cisalhamento correspondentes dadas pela equação: A deformação de cisalhamento no centro da seção é zero, analise a eq. (7). As equações de (4) a (7) aplicam-se a tubos circulares, bem como para barras circulares sólidas. A Figura 24 apresenta a variação linear na deformação de cisalhamento entre a deformação máxima na superfície externa e a deformação mínima na superfície interna. As equações para essas deformações são as seguintes: Em que r1 e r2 são raios interno e externo, respectivamente, do tubo. Essas equações são válidas para qualquer material, tanto para comportamento elástico ou inelástico, linear ou não-linear. As equações são limitadas para barras tendo pequenos ângulos de rotação e pequenas deformações. Em que G é o módulo de elasticidade de cisalhamento e γ é a deformação de cisalhamento em radianos. Combinando a eq. (9) com as eqs. (4) (5) e (6) obtemos: Em que τmax é a tensão de cisalhamento na superfície externa da barra (raio r), τ é a tensão de cisalhamento em um ponto interior (raio ρ ) e θ é a razão de torção. Nessas equações, θ, tem unidades de radianos por unidade de comprimento. A eq. 9 mostra que as tensões de cisalhamento variam linearmente com a distância com centro da barra, como ilustrado pelo diagrama de tensão triangular na Figura 25.c. Essa variação linear de tensão é uma conseqüência da Lei de Hooke. As tensões de cisalhamento agindo num plano transversal são acompanhadas pelas tensões de cisalhamentos de mesma magnitude agindo em planos longitudinais como na Figura 26. O estado de cisalhamento puro na superfície de uma barra é equivalente a tensões iguais de compressão e tração agindo num elemento orientado num ângulo de 45º. Verifique a Figura 27. Se uma barra é feita de um material que é mais frágil em tração do que em cisalhamento, a falha irá ocorrer em tração ao longo de uma hélice a 45º do eixo. 1.15. Exercício Um eixo maciço de raio c é sujeito à um torque T. Determine a fração de T que é resistida pelo material contido na região externa do eixo, de raio interno c/2 e raio externo c. Solução A fração T que é resistida pela parte externa do eixo, T’, pode ser calculada da forma: E a expressão de torque total da área é: Logo, a relação entre os torques é: Aproximadamente 94% é resistida pela parte externa do eixo. 4. Flambagem 1.16. Introdução Flambagem ou encurvadura é um fenômeno que ocorre em peças esbeltas (peças onde a área de secção transversal é pequena em relação ao seu comprimento), quando submetidas a um esforço de compressão axial. A flambagem acontece quando a peça sofre flexão tranversalmente devido à compressão axial. A flambagem é considerada uma instabilidade elástica, assim, a peça pode perder sua estabilidade sem que o material já tenha atingido a sua tensão de escoamento. Este colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de menor momento de inércia de sua seção transversal. A tensão crítica para ocorrer a flambagem não depende da tensão de escoamento do material, mas da seu módulo de Young. 1.17. Definições Os sistemas mecânicos e estruturas em geral quando estão submetidos a carregamentos, podem falhar de várias formas, o que vai depender do material usado, do tipo de estrutura, das condições de apoio, entre outras considerações. Quando se projeta um elemento, é necessário que ele satisfaça requisitos específicos de tensão, deflexão e estabilidade. Definição: Elementos compridos e esbeltos sujeitos a uma força axial de compressão são chamados de colunas e a deflexão lateral que sofrem é chamada de flambagem. Em geral a flambagem leva a uma falha repentina e dramática da estrutura.