Baixe exercicios resolvidos de oscilaçao eletromagnetica halliday resnick e outras Exercícios em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, às 4:25 a.m. Exercı́cios Resolvidos de Teoria Eletromagnética Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica, Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fı́sica Matéria para a QUARTA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro “Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conteúdo 35 Oscilações Eletromagnéticas 2 35.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 35.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . . 2 35.2.1 Oscilações : Estudo Quali- tativo – (1/6) . . . . . . . . . . 2 35.2.2 Analogia com o MHS – (7/8) . . 3 35.2.3 Oscilações : Estudo Quanti- tativo – (9/30) . . . . . . . . . . 3 35.2.4 Oscilações Amortecidas num RLC – (31/36) . . . . . . . . . 6 Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (lista4.tex) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 1 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, às 4:25 a.m. 35 Oscilações Eletromagnéticas 35.1 Questões Q 35-1. Por que o circuito da Fig. 35-1 não pára simplesmente de oscilar no instante em que o capacitor fica completamente descarregado? É que apesar de termos , temos simultaneamen- te . A situação, portanto, é análoga a de um pêndulo que passa por um extremo ou da energia po- tencial [quando ou max mas ] ou da energia cinética [quando ou max mas !" ]. As situações não correspondem a equilı́brios estáveis. Note a enfase na palavra extremo e que tal palavra im- plica mais coisas do que as acima rapidamente mencio- nadas... 35.2 Problemas e Exercı́cios 35.2.1 Oscilações : Estudo Qualitativo – (1/6) E 35-1. Qual é a capacitância de um circuito LC, sabendo-se que a carga máxima do capacitor é #$ % '& C e a energia total é #)( *& J? Use a fórmula +, -/.0 2143 /5 para obter - .3 + 16#$ % 879#: 2;=< 5 .3216#:( >79#: ;< 5 ?2$@#)(7A#0 ;B F $ E 35-2. Num circuito LC, um indutor de #$DC mH ar- mazena uma energia máxima de #: E& J. Qual é o pico de corrente? Use + F . 3 para obterF G 3 +H G 3216#0 2$ >7A#0 ;=< 5#$ C 879#: ;=I J K$L##0C A $ E 35-3. Num circuito LC oscilante M#$@#: mH e (K$ N& F. A carga máxima do capacitor vale O2$ N& C. Determine a corrente máxima. Das igualdades +PRQ. F . RQ. - . temosF -S O2$ >7A#0 ;=<T 16#$L#0 >7A#0 ;=I 5 1U(V$ 79#: ;=< 5 (V$ C387A#0 ; . A $ E 35-4. Um circuito consiste num indutor de WC mH e num capacitor de O2$ %8& F. Sabendo-se que a car- ga máxima do capacitor é de 3 $ ?!& C, (a) qual a energia total no circuito e (b) qual é a corrente máxima? (a)+, - .3 3 $ ? >7A#0 ;<3K1XO2$ %>7A#0 ;< 5 ,#$L#WY7A#0 ;=< J Z (b)F G 3 + G 3216#$L#WY7A#0 ;=< 5WC>79#: ;I C2$ C?879#: ;=I A $ E 35-5. Para um certo circuito LC a energia total é transformada de energia elétrica no capacitor em energia magnética no indutor em #$DC& s. (a) Qual é o perı́odo de oscilação? (b) Qual a freqüência de oscilação? (c) Num certo instante, a energia magnética é máxima. Quanto tempo depois será máxima novamente? (a) [J\(]79#$DC N& s %2$ *& s. (b) ^_J[/; Q `1X%K$ 79#: 2;=< 5 ; Q a#$ % WY7A#0 b Hz. (c) Após meio perı́odo, ou seja OK$ c& s. P 35-6. A freqüência de oscilação de um certo circuito LC é 3 $ kHz (corrija o erro na tradução do livro-texto: em vez de 3 deve ser 32$ kHz). No instante d , a placa A do capacitor tem carga positiva máxima. Em quais instantes ef (a) a placa A terá novamente carga positiva máxima, (b) a outra placa do capacitor terá car- ga positiva máxima e (c) o indutor terá campo magnético máximo? Considerando-se a dinâmica mostrada na Fig. 35-1 e usando [" 3>7A#0 I J3 Hz encontramos: (a) A carga será máxima e positiva na placa A parahg/"ij[" i^ i3 "i14C *& s 5lk onde im# k 3 k O k $:$)$ . (b) Primeiramente, observe que é preciso esperar-se meio perı́odo para que a a carga atinja seu valor máximo positivo na outra placa pela primeira vez. Depois de http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 2 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, às 4:25 a.m. (b) Se o capacitor está totalmente carregado para , então sua carga é data por 1X 5 ®-`¯)°±01 w 5 onde w é a freqüência da oscilação. A condição AR 2$DCWW«- é satisfeita quando ¯²° ±)1 w 5 ³ 2$DCWW , ou seja, paraw 2$ ?CC radianos. Como w 3| [ , onde [ é o perı́odo de oscilação, « 2$ ?CC[N 143| 5 J 2$@#0C3[ . P 35-24. (a) Como sabemos que ^_a#s 2143| S /5 , quanto me- nor , maior será ^ . Portanto, ^ max #s 2143| S min 5 , e^ min ,#s 2143| S max 5 , fornecendo^ max^ min S maxS min S O% CS #0 "%2$ 3(/ %2$ (b) Queremos escolher a capacitância adicional de modo que a razão das freqüencias seja´ #$ % MHz 2$DC( MHz P3 $ ?%8$ Como a capacitância adicional é colocada em parale- lo ao capacitor variável, sua capacitância soma-se à da capacitância de sintonia, ou sejaS p O%CS p #: 3 $ ?% k cuja solução é O%C'µ\1432$ ?% 5 . 16#0 51432$ ?% 5 . µf# JO% pF $ Para termos a menor freqüência devemos usar O% C p O%/J( K# pF e ^rJ K$ C( MHz. Portanto #143| 5 . ^ . P3 $D3Y79#: ;V H $ P 35-25. (a)+ + ¨ p + .3 p . 3 1XOK$ v79#: ;=< 5 .321uW $ v>79#: ;=< 5 p 1X?K$ 3>79#: ;=I 5 .1u3C>79#: ;I 53 #$ ?v>7A#0 ;< J $ (b) A carga - máxima pode ser obtida do valor total da energia, assim:-, S 3 + T 321¶W}$ v>7A#0 ;=< 5 16#$ ?v7A#0 ;< 5 C $DC%>7A#0 ;< Coulombs $ (c) Analogamente, a corrente máxima F tanbém é obtida do valor total da energia:F G 3+ G 321h#$ ?v87A#0 ;=< 53C879#: ;I #$ 3%879#: ; . Ampères $ (d) Chamando-se de )· a carga no capacitor em ' , temos · -¯)°±2¸ e¸ ¯²° ± ; Q ²·- ¯²°± ; Q OK$ v 879#: ;=<C2$ C%879#: ;=< ¹'(%2$ ?º0$ Para ¸" p ( %2$ ? º a carga no capacitor está decrescen-do, enquanto que para ¸£µ*(%2$ ? º ela está crescen- do. Verifica-se isto calculando-se a derivada de em relação ao tempo e computando-a para « . Obtem-seµ w - sen ¸ . Queremos que esta quantidade seja positi- va o que nos leva a escolher ¸,»µ*( %2$ ? º , pois então sen 16µ*(%K$ ? º 5E¼ . (e) Neste caso a derivada deve ser negativa. Portanto devemos tomar ¸_ p (%K$ ? º . P 35-26. (a) A carga é dada por 1U 5 ®- sen 1 w 5 , onde - é a carga máxima no capacitor e w é a freqüência da oscilação. Escolheu-se a função seno para que tenha- mos no instante ' . Assim sendo, a corrente é ½1X 5 w -¯²°±:1 w 5 e para r¡ temos F w - . Como w ª#s S , encontramos- F S 3 T 14O7A#0 ;=I 5 1432$DW879#: ;=< 5 #$ v >7A#0 ;= Coulombs $ (b) A energia armazenada no capacitor é+ ¨ .3 - . sen . 1 w 53 e sua taxa de variação é + ¨ - . w sen 1 w 5 ¯²°±01 w 5 $ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 5 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, às 4:25 a.m. Usando a identidade ¯²°±:1X¾ 5 sen 14¾ 5 Q. sen 143¾ 5 obte-mos +«¨ w - .3 sen 143 w 5 $ A maior variação ocorre quando sen 143 w 5 # , ou seja, para 3 w «"| 3 radianos, resultado que nos fornece |( w |j[(=143| 5~ [ v k onde [ é o perı́odo da oscilação, e usamos o fato quew 3| s[ . (c) Substitua w 3| [ e sen 143 w 5 ¿# na expressão de }+oÀ) obtendo assim: }+¨ max 3|§- .3[ |§- .[ $ Como ["P3| S C $ %CC879#: 2;V s, encontramos }+¨ max J%%2$W Watts k um valor positivo, indicando que a energia no capacitor está realmente aumentando para «"[* v . P 35-30 Á . A energia originalmente no capacitor de ? *& F é#3 B ·Â· ¢ . #3 1X? >7A#0 ;< 5 1h#: 5 . J(K$DC J $ A energia necessária para se carregar o capacitor de#: N& F a O V é#3 Q ·Â· ¢ . #3 16#0 >7A#0 ;< 5 14O 5 . J(K$DC J $ Portanto, vemos que a energia originalmente no capaci- tor de ? >& F deve ser transferida para o capacitor de#: /& F, o que se pode fazer facilmente armazenando-a temporariamente no indutor. Para tanto, deixe a chave Q aberta e feche a chave . , esperando até que o capacitor de ? *& F esteja comple- tamente descarregado, com a corrente na malha à direita sendo então máxima. Tal máximo ocorre num quarto do perı́odo de oscilação. Como[ B ·Â·' 3| T B ·Â·'J K$ C?% s k precisamos poratnto esperar 1X K$ C?% 5 s(] K$L#:(? segun- dos. Neste instante, feche Q e abra . de modo que a corrente esteja agora na malha à esquerda. Espere ago- ra um quarto do perı́odo de oscilação do circuito à esquerda e abra a chave Q . Tal perı́odo é[ Q ·Â· 3| T Q ·Â· J K$L#0?? s k indicando ser preciso manter-se Q fechada durante14 2$@#:?? 5 (Pª 2$ ( ? W segundos antes de abri-la nova- mente. 35.2.4 Oscilações Amortecidas num RLC – (31/36) E 35-31. O tempo necessário para C ciclos é C !["PC 3|w PC /3| S 2$DC #0 ( s $ A carga máxima no capacitor decai de acordo com max -Ã ; ÄXÅ)Æ . KÇ k onde - é a carga em e é a resistência do circui- to. Portanto µ 3 ln max- µ 3K1433 >7A#0 ;=I 5 2$DC #: ( ln 14 2$ ?? 5 v2$ %%>7A#0 ;IÈ $ P 35-33. Como a energia máxima no capacitor em cada ciclo é dada por .max 2143 /5 , onde max é a carga máxima carga a é a capacitância, deseja-se o instante de tempo para o qual .max3 #3 - .3 k o que significa que max -Y S 3 . Como temos que max -Ã ; ÄXÅ)Æ . KÇ k onde é a resistência e a indutância do circuito. Resolvendo-se para obtemosÉ µ 3 ln max- µ 3 ln #S 3 ln 3 k http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 6 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, às 4:25 a.m. onde usamos o fato que ln 16# S 3 5 µ ln S 3®µ Q. ln 3 . P 35-36 Á . Num circuito amortecido, mostre que a fração da energia perdida por ciclo de oscilação, Ê]+N + , é da- da com boa aproximação por 3|Ë/ 21 w 5 . A grandezaw é freqüentemente denominada de fator de quali- dade “Q” do circuito ( - , por ser a letra inicial da palavra ‘qualidade’). Um circuito de “alto - ” possui resistência baixa e uma perda relativa também baixa de energia por ciclo ( P3| - ). Seja um instante de tempo no qual o capacitor este- ja carregado completamente num ciclo qualquer e seja max 1 a carga então no capacitor. A energia no capacitor neste mesmo instante é+]1U 5 .max 13 H - .3 rÃ ; ÄXÅ k onde usamos o fato que max 1 -Ã; ÄXÅ)Æ . 2Ç , sendo - a carga para J . Um ciclo mais tarde a carga máxima é max 2 P-PÃ ; ÌÆÍÄUÎËÏ Ç Å)Æ . 2Ç e a energia é+]1U p [ 5 .max 23 -/.3 Ã ; ÌÆLÄUÎËÏ Ç Å k onde [ é o perı́odo da oscilação. A perda fracional da energia por ciclo é, portanto,Ê]++ +1U p [ 5 µq+1X 5+1U 5 Ã ; ÄXÅ µÃ ; ÌÆÍÄUÎËÏ Ç Å Ã ; ÄXÅ #*µ9Ã ; jÏVÅ $ Supondo ser ![* Ð # (a resistência é pequena) e usando o teorema binomial [“expansão da exponencial”, apêndice G, pag. 334] encontramos facilmente queÃ ; jÏKÅ #*µ ![ $ Substituindo-se [ por 3| w , onde w é a freqüência an- gular da oscilação, temosÊ]++ Ñ #*µ #*µ '[ ![ 3|Ëw $ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 7 de 7