Transformada de Fourier, Notas de estudo de Física

Baixe Transformada de Fourier e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Caṕıtulo 8 Transformada de Fourier 8.1 A Integral de Fourier Se f : R→ R é uma função periódica de peŕıodo 2L, suave por partes, então f(x) = a0 2 + ∞∑ n=1 ( an cos nπx L + bn sen nπx L ) (8.1) nos pontos de continuidade de f , com an = 1 L ∫ L −L f(t) cos nπt L dt, n > 0, bn = 1 L ∫ L −L f(t) sen nπt L dt, n > 1. (8.2) Se f não é uma função periódica, então ela não pode ser representada por uma série de Fourier. Podemos, no entanto, representar f por uma integral de Fourier, se f for pelo menos suave por partes e satisfizer além disso a condição ∫ ∞ −∞ |f(x)| dx < ∞, ou seja, se f for absolutamente integrável. Neste caso, podemos escrever f(x) = ∫ ∞ 0 (A(ω) cos xω + B(ω) sen xω) dω (8.3) para todo x ∈ R que seja um ponto de continuidade de f , com A(ω) = 1 π ∫ ∞ −∞ f(t) cos ωt dt, ω > 0, B(ω) = 1 π ∫ ∞ −∞ f(t) sen ωt dt, ω > 0. (8.4) Mais precisamente, Teorema. Seja f : R → R uma função suave por partes, absolutamente integrável. Então f tem uma representação por integral de Fourier que converge para f(x) nos pontos de continuidade de f e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade de f . 1 2 Transformada de Fourier Esta representação integral para f pode ser motivado da seguinte forma: restrinja f ao intervalo fechado [−L,L] e estenda ela periodicamente fora deste intervalo. Então, no intervalo [−L, L], f tem a representação em série de Fourier dada em (8.1) com os coeficientes dados em (8.2). Fazendo L → ∞, como a função f é integrável em R, segue que necessariamente a0 → 0. Além disso, a integrabilidade de f também implica que a integral de f em R pode ser aproximada pela integral de f no intervalo [−L,L], desde que L seja suficientemente grande. Assim, temos que os coeficientes an e bn podem ser aproximados por an ≈ 1 L ∫ ∞ −∞ f(t) cos nπt L dt = π L A (nπ L ) , bn ≈ 1 L ∫ ∞ −∞ f(t) sen nπt L dt = π L B (nπ L ) . Logo, f(x) ≈ ∞∑ n=1 [ A (nπ L ) cos nπx L + B (nπ L ) sen nπx L ] π L . Mas, se denotarmos ωn = nπ/L e ∆ω = π/L, o que equivale a fazer uma partição do intervalo [0,∞) em subintervalos de comprimento ∆ω, reconhecemos uma soma de Riemann: f(x) ≈ ∞∑ n=1 [A(ωn) cos ωnx + B(ωn) sen ωnx]∆ω. Fazendo L → ∞, o que corresponde a fazer a norma da partição ∆ω → 0, esta soma de Riemann converge para a integral de Fourier de f . Exemplo 1. Obtenha a representação integral de Fourier da função f(x) = { 1 se |x| 6 1, 0 se |x| > 1. Temos A(0) = 1 π ∫ ∞ −∞ f(t) dt = 1 π ∫ 1 −1 dt = 2 π , A(ω) = 1 π ∫ ∞ −∞ f(t) cos ωt dt = 1 π ∫ 1 −1 cos ωt dt = sen ωt πω ∣∣∣∣ 1 −1 = 2 π sen ω ω , B(ω) = 1 π ∫ ∞ −∞ f(t) sen ωt dt = 1 π ∫ 1 −1 senωt dt = cosωt πω ∣∣∣∣ 1 −1 = 0. Observe que lim ω→0 A(ω) = A(0) (ou seja, obtivemos neste caso a função A(ω) cont́ınua) e a função B é a função identicamente nula, o que era de se esperar, porque f é uma função par. Logo f(x) = 2 π ∫ ∞ 0 sen ω ω cos xω dω. Em particular, segue do teorema da integral de Fourier que ∫ ∞ 0 sen ω ω cos xω dω =    π/2 se |x| < 1, π/4 se |x| = 1, 0 se |x| > 1, e, escolhendo x = 0, obtemos o valor da integral de Dirichlet ∫ ∞ 0 senω ω dω = π 2 . Rodney Josué Biezuner 5 Vamos escrever a integral de Fourier na forma complexa. Temos f(x) = ∫ ∞ 0 (A(ω) cos xω + B(ω) sen xω) dω = 1 π ∫ ∞ 0 ∫ ∞ −∞ f(t)(cos ωt cos xω + sen ωt sen xω) dtdω = 1 π ∫ ∞ 0 ∫ ∞ −∞ f(t) cos ω(x− t) dtdω = 1 2π ∫ ∞ 0 ∫ ∞ −∞ f(t)(eiω(x−t) + e−iω(x−t)) dtdω = 1 2π ∫ ∞ 0 ∫ ∞ −∞ f(t)eiω(x−t) dtdω + 1 2π ∫ ∞ 0 ∫ ∞ −∞ f(t)e−iω(x−t) dtdω = 1 2π ∫ ∞ 0 ∫ ∞ −∞ f(t)eiω(x−t) dtdω + 1 2π ∫ 0 −∞ ∫ ∞ −∞ f(t)eiω(x−t) dtdω = 1 2π ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ f(t)eiω(x−t) dtdω. onde no último passo fizemos a mudança de variável −ω. Portanto, a forma complexa da integral de Fourier é f(x) = 1 2π ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ f(t)eiω(x−t) dtdω. (8.5) Por sua vez, a forma complexa da integral de Fourier pode ser escrita como f(x) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ [ 1√ 2π ∫ ∞ −∞ f(t)e−iωt dt ] eiωx dω. Defina a função f̂ : R→ C por f̂(ω) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ f(t)e−iωt dt. (8.6) Observe que apesar da função f ser uma função definida na reta (isto é, uma função de uma variável real) tomando valores reais, em geral a função f̂ é uma função definida na reta tomando valores complexos. De fato, a função f̂ pode ser escrita mais explicitamente, usando a fórmula de Euler, na forma f̂(ω) = 1√ 2π (∫ ∞ −∞ f(t) cos ωt dt− i ∫ ∞ −∞ f(t) sen ωt dt ) . A parte complexa de f̂ será nula e portanto f̂ será uma função real se e somente se a integral ∫ ∞ −∞ f(t) sen ωt = 0. Isso ocorrerá se e somente se a função f for par. Portanto, no estudo da transformada de Fourier é inevitável o aparecimento de funções de R em C, já que a maioria das funções não são pares. Diremos que uma função de R em C é absolutamente integrável se as suas partes real e imaginária (que são funções de de R em R) forem absolutamente integráveis. O espaço de tais funções será denotado por L1(R,C). Na notação acima, temos que f(x) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ f̂(ω)eiωx dω. (8.7) Isso nos leva à seguinte definição. Definimos a transformada de Fourier de f , como sendo a função F que associa a cada função absolutamente integrável f : R → R a função f̂ : R → C definida pela expressão 6 Transformada de Fourier (8.6); a sua inversa, chamada a transformada de Fourier inversa, é a função F−1 que associa a cada função f̂ : R → C que pertença ao conjunto imagem de F a função absolutamente integrável f : R → R definida pela expressão (8.7). Assim, se f é cont́ınua, F−1(F(f)) = f. (8.8) Isso é uma conseqüência imediata das definições acima: F−1(F(f))(x) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ F(f)(ω)eiωx dω = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ [ 1√ 2π ∫ ∞ −∞ f(t)e−iωt dt ] eiωx dω = 1 2π ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ f(t)eiω(x−t) dtdω = f(x). Exemplo 2. A transformada de Fourier de uma função absolutamente integrável, apesar de ser uma função cont́ınua, não é em geral uma função absolutamente integrável. O contra-exemplo clássico é a função pulso f(x) = { 1 se |x| 6 1, 0 se |x| > 1. De fato, calculando a transformada de Fourier de f , obtemos f̂(ω) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ f(t)e−iωt dt = 1√ 2π ∫ 1 −1 e−iωt dt = − 1√ 2πiω e−iωt ∣∣1 −1 = − 1√ 2πiω ( e−iω − eiω) = − 1√ 2πiω (cos ω − i sen ω − cos ω − i sen ω) = 2i sen ω√ 2πiω = 2 sen ω√ 2πω . Segue que a transformada de Fourier de f é a função f̂(ω) = √ 2 π sen ω ω , que não é uma função absolutamente integrável, como pode ser verificado. Observe porém que a descontinuidade da função pulso foi suavizada pela sua transformada de Fourier, já que f̂ é uma função cont́ınua. Com efeito, f̂(0) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ f(t)e−iω0 dt = 1√ 2π ∫ 1 −1 dx = 2√ 2π = √ 2 π e portanto lim ω→0 f̂(ω) = f̂(0). Isso não foi um acidente e é sempre verdade. Teorema. Se f : R → R é uma função absolutamente integrável, então sua transformada de Fourier f̂ : R→ C é uma função cont́ınua e limitada. Se, além disso, f̂ for absolutamente integrável, então f é cont́ınua. A transformada de Fourier da função pulso no Exemplo 2 é uma função real porque ela é uma função par. Em geral, a transformada de Fourier de uma função real é uma função complexa, como no próximo exemplo. Exemplo 3. Encontre a transformada de Fourier da função f(x) = { e−x se x > 0, 0 se x 6 0. Rodney Josué Biezuner 7 Temos f̂(ω) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ f(t)e−iωt dt = 1√ 2π ∫ ∞ 0 e−t−iωt dt = 1√ 2π ∫ ∞ 0 e−(1+iω)t dt = − 1√ 2π(1 + iω) e−(1+iω)t ∣∣∣ ∞ 0 . Como ∣∣e−iωt∣∣ = 1, segue que lim t→∞ ∣∣∣e−(1+iω)t ∣∣∣ = lim x→∞ ∣∣e−t∣∣ ∣∣e−iωt∣∣ = lim t→∞ ∣∣e−t∣∣ = 0, logo f̂(ω) = 1√ 2π(1 + iω) = 1− iω√ 2π(1 + ω2) . 8.2.2 Propriedades Operacionais A transformada de Fourier se comporta muito bem com relação a várias das operações comumente efetua- das em funções: combinações lineares, translação, dilatação, diferenciação, multiplicação por polinômios e convolução. Propriedade 1 (Linearidade). Se f, g : R→ C são funções absolutamente integráveis e a, b ∈ R, então F(af + bg) = aF(f) + bF(g). Prova. Segue direto da definição e da propriedade de linearidade da integral. ¥ Propriedade 2 (Transformadas de Fourier de Derivadas). Se f : R→ C é uma função diferenciável absolutamente integrável tal que f ′ também é uma função absolutamente integrável, então F(f ′)(ω) = iωF(f)(ω). Se f : R→ C é uma função duas vezes diferenciável absolutamente integrável tal que f ′ e f ′′ também são funções absolutamente integráveis, então F(f ′′)(ω) = iωF(f ′)(ω) = −ω2F(f)(ω). Em geral, se f : R → C é uma função k vezes diferenciável absolutamente integrável tal que as suas derivadas até a ordem k também são funções absolutamente integráveis, então F(f (k))(ω) = (iω)kF(f)(ω). Prova. Integrando por partes, temos que F(f ′)(ω) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ f ′(t)e−iωt dx = 1√ 2π [ f(t)e−iωt ∣∣∞ −∞ − (−iω) ∫ ∞ −∞ f(t)e−iωt dt ] = iω ∫ ∞ −∞ f(t)e−iωt dt = iωF(f), porque, como f ′ é absolutamente integrável, necessariamente lim t→±∞ |f ′(t)| = 0, logo lim t→±∞ ∣∣f ′(t)e−iωt∣∣ = 0. As fórmulas para as transformadas de Fourier de derivadas de ordem superior seguem da aplicação iterada desta fórmula. ¥ 10 Transformada de Fourier Prova. Mudando a ordem de integração e usando a Propriedade 4, temos F(f ∗ g)(ω) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ (f ∗ g)(t)e−iωt dt = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ [∫ ∞ −∞ f(t− s)g(s) ds ] e−iωt dt = ∫ ∞ −∞ [ 1√ 2π ∫ ∞ −∞ f(t− s)e−iωt dt ] g(s) ds = ∫ ∞ −∞ [ e−iωsF(f)(ω)] g(s) ds = F(f)(ω) ∫ ∞ −∞ g(s)e−iωs ds = F(f)(ω) √ 2πF(g)(ω). ¥ 8.2.3 Transformada de Fourier da Função Gaussiana A transformada de Fourier da função gaussiana desempenha um papel fundamental na resolução da equação do calor na barra infinita, conforme veremos mais tarde. Aqui vamos calculá-la. Recordamos a integral imprópria ∫ ∞ −∞ e−x 2 dx = √ π. O seu valor pode ser obtido da seguinte forma: (∫ ∞ −∞ e−x 2 dx )2 = (∫ ∞ −∞ e−x 2 dx ) (∫ ∞ −∞ e−y 2 dy ) = ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ e−x 2 e−y 2 dxdy = ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ e−(x 2+y2) dxdy = ∫ 2π 0 ∫ ∞ 0 e−r 2 rdrdθ = ∫ 2π 0 [ −1 2 e−r 2 ]∞ 0 dθ = 1 2 ∫ 2π 0 dθ = π. Teorema. Seja a > 0. Então, F(e− ax 2 2 ) = 1√ a e− ω2 2a . Em particular, F(e− x 2 2 ) = e− ω2 2 , isto é, a transformada de Fourier da função e− x2 2 é ela própria. Prova. Seja f(x) = e− ax2 2 . Então f satisfaz a equação diferencial f ′(x) + axf(x) = 0. Aplicando a transformada de Fourier a ambos os lados desta equação, obtemos (usando as Propriedades 1, 2 e 3) iωf̂(ω) + aif̂ ′(ω) = 0 ou f̂ ′(ω) + ω a f̂(ω) = 0. Resolvendo esta equação através de uma integração simples, obtemos f̂(ω) = Ce− ω2 2a Rodney Josué Biezuner 11 para alguma constante C. [Em uma notação mais usual, a equação diferencial é y′ + ω a y = 0, donde y′ = −ω a y ou y′ y = −ω a ; integrando ambos os lados desta equação obtemos log y = −ω22a + C e dáı o resultado acima.] A constante C pode ser determinada através da integral imprópria relembrada acima: C = f̂(0) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ f(t) dt = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ e− at2 2 dt = 1√ 2π √ 2 a ∫ ∞ −∞ e−s 2 ds = 1√ a . ¥ A função gaussiana e− x2 2 não é a única função cuja transformada de Fourier é ela própria. 12 Transformada de Fourier 8.2.4 Tabela de Transformadas de Fourier f(x) F(f)(ω) 1. { 1 se |x| < a, 0 se |x| > a. √ 2 π sen(aω) ω 2. { 1 se a < x < b, 0 caso contrário. i(e−ibω − e−iaω)√ 2πω 3. { 1− |x| a se |x| < a, 0 se |x| > a, , a > 0. 2 √ 2 π sen2 aω 2 aω2 4. { x se |x| < a, 0 se |x| > a, , a > 0. i √ 2 π aω cos(aω)− sen(aω) ω2 5. { sen x se |x| < π, 0 se |x| > π, i √ 2 π sen(πω) ω2 − 1 6. { sen(ax) se |x| < b, 0 se |x| > b, , a, b > 0. −i√ 2π ( sen[(ω − a)b] ω − a + sen[(ω + a)b] ω + a ) 7. { cos(ax) se |x| < b, 0 se |x| > b, , a, b > 0. 1√ 2π ( sen[(ω − a)b] ω − a + sen[(ω + a)b] ω + a ) 8. 1 x2 + a2 , a > 0. √ π 2 e−a|ω| a 9. √ 2 π a 1 + a2x2 , a > 0. e− |ω| a 10. 4√ 2π sen2 ax 2 ax2 , a > 0. { 1− |ω| a se |ω| < a, 0 se |ω| > a. 11. e−a|x|, a > 0. √ 2 π a a2 + ω2 12. { e−ax se x > 0, 0 se x < 0, , a > 0. 1√ 2π 1 a + iω 13. { 0 se x > 0, eax se x < 0, , a > 0. 1√ 2π 1 a− iω 14. |x|n e−a|x|, a > 0, n > 0. Γ(n + 1)√ 2π ( 1 (a− iω)n+1 + 1 (a + iω)n+1 ) 15. e− a 2 x 2 , a > 0. 1√ a e− ω2 2a Rodney Josué Biezuner 15 8.3 O Método da Transformada de Fourier Suponha que u(x, t) seja uma função das variáveis x ∈ R e t > 0. Se fixarmos a variável temporal t, a u(x, t) torna-se uma função apenas da variável espacial x, definida na reta toda, e podemos tomar a sua transformada de Fourier com relação à variável x. Denotaremos esta transformada por û(ω, t). Em outras palavras, û(ω, t) = F(u(x, t)) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ u(x, t)e−iωx dx. (8.10) Agora, da Propriedade 3 da transformada de Fourier, segue que ûxx(ω, t) = iωû(ω, t), ûxx(ω, t) = (iω)2û(ω, t) = ω2û(ω, t), ou seja, derivadas espaciais são transformadas em expressões que envolvem apenas a função û(ω, t) multi- plicada por um monômio em ω. Por outro lado, derivando dentro do sinal de integração com relação a t, temos que ût(ω, t) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ ut(x, t)e−iωx dx = d dt ( 1√ 2π ∫ ∞ −∞ u(x, t)e−iωx dx ) = ût(ω, t), o que significa que a derivada temporal é preservada pela transformada de Fourier. Assim, vemos que quando aplicamos a transformada de Fourier a uma equação diferencial parcial em duas variáveis, as derivadas parciais espaciais desaparecem e apenas as derivadas temporais permanecem. Em outras palavras, aplicando a transformada de Fourier transformamos a equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária em t. Esta observação é a essência do método da transformada de Fourier para resolver equações diferenciais parciais. Em resumo, o método funciona da seguinte maneira: Passo 1: Obtenha a transformada de Fourier de todas as equações envolvidas (i.e., a equação diferencial parcial e a condição inicial). Passo 2: Resolva a equação diferencial ordinária, obtendo a solução û(ω, t). Passo 3: Aplique a transformada de Fourier inversa a û(ω, t) para obter u(ω, t). À t́ıtulo de exemplo, vamos aplicar este método às equações do calor e da onda. 8.3.1 A Equação do Calor para uma Barra Infinita Vamos resolver o problema de condução de calor em uma barra homogênea, isolada termicamente e infinita. Este é o problema de valor inicial (problema de Cauchy) { ut = kuxx se −∞ < x < ∞ e t > 0, u(x, 0) = f(x) se −∞ < x < ∞. (8.11) Assumimos que a função f é cont́ınua, limitada e absolutamente integrável. Aplicando a transformada de Fourier a este problema, obtemos a equação diferencial ordinária em t { ût(ω, t) = kω2û(ω, t) û(ω, 0) = f̂(ω). A solução geral desta equação é û(ω, t) = C(ω)e−kω 2t. Para obter o valor de C(ω), usamos a condição inicial: f̂(ω) = û(ω, 0) = C(ω). 16 Transformada de Fourier Portanto, û(ω, t) = f̂(ω)e−kω 2t. (8.12) Tomando transformadas de Fourier inversas de ambos os lados da equação, obtemos u(x, t) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ f̂(ω)e−kω 2teixω dω. (8.13) Às vezes, no entanto, esta solução não é conveniente em certas aplicações práticas. Usando a propriedade da transformada de Fourier com relação a uma convolução, podemos obter uma solução em termos da condição inicial f(x). De fato, voltando à equação que dá a solução û(ω, t), observamos que a segunda função do lado direito é uma gaussiana em ω que, conforme vimos anteriormente, a menos de uma constante é a transformada de Fourier dela própria. Mais precisamente, F(e− a2 x2) = 1√ a e− ω2 2a . Dáı, se g(x) = √ 1 2kt e− x2 4kt , então ĝ(ω) = e−kω 2t. [Tome a = 1/(2kt).] Logo, podemos escrever û(ω, t) = f̂(ω)ĝ(ω). Lembrando agora que a transformada de Fourier de uma convolução é o produto das transformadas de Fourier das funções multiplicadas por √ 2π, ou seja f̂(ω)ĝ(ω) = 1√ 2π f̂ ∗ g(ω), segue que û(ω, t) = 1√ 2π f̂ ∗ g(ω). Portanto, aplicando a transformada de Fourier inversa, obtemos u(x, t) = 1√ 2π (f ∗ g)(x) ou u(x, t) = 1 2 √ πkt ∫ ∞ −∞ f(s)e− (x−s)2 4kt ds. (8.14) Esta é a solução da equação do calor em uma barra infinita, e além disso a única solução do problema, se entendermos por solução uma função cont́ınua e limitada em t > 0 (existem outras soluções, mas elas não são limitadas, e do ponto de vista f́ısico esperamos que a solução do problema seja uma distribuição de temperaturas limitada). Exemplo 4. Resolva o problema    ut = 1 4 uxx se −∞ < x < ∞ e t > 0, u(x, 0) = e−x 2 se −∞ < x < ∞. Rodney Josué Biezuner 17 Solução: Denotando f(x) = e−x 2 , segue que û(ω, t) = f̂(ω)e−kω 2t = 1√ 2 e− ω2 4 e− ω2t 4 = 1√ 2 e− (1+t)ω2 4 . Logo, u(x, t) = 1√ 2 F−1(e− (1+t)ω 2 4 ) = 1√ 2 √ 2 1 + t e− x2 1+t = 1√ 1 + t e− x2 1+t . pois fazendo 1+t4 = 1 2a , segue que a = 2 1+t . 8.3.2 A Equação da Onda em uma Corda Infinita Vamos resolver o problema das vibrações transversais de uma corda infinita, homogênea e de peso despreźıvel:    utt = c2uxx se −∞ < x < ∞ e t > 0, u(x, 0) = f(x) se −∞ < x < ∞, ut(x, 0) = g(x) se −∞ < x < ∞. (8.15) Assumimos que as funções f, g são cont́ınuas, limitadas e absolutamente integráveis. Aplicando a transfor- mada de Fourier a este problema, obtemos a equação diferencial ordinária em t    ûtt(ω, t) = c2ω2û(ω, t) û(ω, 0) = f̂(ω), ût(ω, 0) = ĝ(ω). A solução geral desta equação é û(ω, t) = A(ω) cos cωt + B(ω) sen cωt. Para obter os valores de A(ω) e B(ω), usamos a condições iniciais: f̂(ω) = û(ω, 0) = A(ω), ĝ(ω) = ût(ω, 0) = cωB(ω). Portanto, û(ω, t) = f̂(ω) cos cωt + ĝ(ω) cω sen cωt. Aplicando a transformada de Fourier inversa, obtemos a solução do problema: u(x, t) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ [ f̂(ω) cos cωt + ĝ(ω) cω sen cωt ] eiωx dω. (8.16) Em alguns casos espećıficos, esta integral pode ser computada explicitamente. Exemplo 5. Resolva o problema    utt = uxx se −∞ < x < ∞ e t > 0, u(x, 0) = 1 1 + x2 se −∞ < x < ∞, ut(x, 0) = 0. se −∞ < x < ∞. Solução: Denotando f(x) = 1 1 + x2 , segue que û(ω, t) = f̂(ω) cos ωt = √ π 2 e−|ω| cos ωt.