Classificação de Meios Elétricos: Dielétricos e Condutores, Notas de estudo de Engenharia de Telecomunicações

Baixe Classificação de Meios Elétricos: Dielétricos e Condutores e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Telecomunicações, somente na Docsity! Caṕıtulo 2 Ondas TEM num Meio Qualquer 2.1 Introdução O estudo de ondas eletromagnéticas realizado no caṕıtulo anterior se deteve, em grande parte tempo, na análise de ondas propagando-se no ar ou vácuo. Neste caṕıtulo serão abordados tópicos referentes às ondas transversais eletromagnéticas propagando-se num meio qualquer. Na Seção 2.2 é apresentada uma classificação dos meios de acordo com as suas caracteŕısticas elétricas, enquanto que nas duas seções seguintes é feita uma generalização da equação de Helmholtz, impedância intŕınseca e velocidade de fase. No restante do caṕıtulo são analisados o fenômeno de propagação dos campos eletromagnéticos em meios dielétricos quaisquer e condutores. 2.2 Meios Dielétricos e Condutores Os meios podem ser classificados de acordo com suas caracteŕısticas elétricas e magnéticas, como permissividade, permeabilidade e condutividade. Eles podem ser dielétricos perfeitos, dielétricos com perdas, quase condutores, condutores ou condutores perfeitos. A classificação também depende da freqüência da onda eletro- magnética que se propaga no meio. Um meio pode ser dielétrico para uma determi- nada faixa de freqüência e condutor para outra. Sabe-se pela lei de Ampère que, para campos variando harmonicamente no tempo, ∇× H =σE + jωE (2.1) onde o primeiro termo do lado direito da equação representa a densidade de corrente de condução do meio e, o segundo, a densidade de corrente de deslocamento. Se 25 CAṔıTULO 2. Ondas TEM num Meio Qualquer 26 σ = 0, então, o meio é dito perfeitamente dielétrico, podendo ser considerado sem perdas quando  e µ são números reais, ou com perdas quando  e/ou µ assume valores complexos. Por outro lado, se σ  ω, então, o meio é dito condutor, pois a corrente de condução é predominante em relação à corrente de deslocamento. Em termos práticos, pode-se classificar os meios como: condutores, σ ω > 100; quase- condutores, 1 100 < σ ω < 100; dielétricos, σ ω < 1 100 . Observe que esta classificação depende diretamente da freqüência da onda. Meios dielétricos podem também ser considerados isotrópicos ou anisotrópicos. Os meios isotrópicos são aqueles onde a permissividade não muda com a direção. Neste caso, as componentes de densidade de fluxo elétrico estão relacionadas com o campo elétrico através de D =   DxDy Dz   =   x 0 00 y 0 0 0 z     ExEy Ez   (2.2) sendo x = y = z. Enquanto os meios anisotrópicos são classificados como: uniaxial, onde as permissividades são idênticas em duas direções e biaxial, onde x = y = z. Se um grupo de ondas com freqüências distintas se propagam num meio qualquer, onde cada onda se desloca com velocidade de fase diferente das outras, então este meio é dito dispersivo. Por outro lado, se cada onda possui a mesma velocidade de fase das outras, o meio é dito não-dispersivo. Sendo assim, pode-se também classificar os meios de acordo com a dispersão das ondas eletromagnéticas que se propagam neles. Como foi visto no caṕıtulo anterior, a velocidade de um grupo de ondas é dado por vg = vf + k dvf dk (2.3) ou vg = vf − λdvf dλ (2.4) uma vez que k = 2π/λ. Se a velocidade de fase vf não varia com o comprimento de onda λ (ou freqüência), então, por (2.4), a velocidade de grupo é igual a velocidade de fase e o meio é dito não-dispersivo. Entretanto, se a velocidade de fase de cada onda do grupo aumenta com o comprimento de onda, então dvf dλ > 0, vg < vf e o meio é dito normalmente dispersivo. Por fim, se dvf dλ < 0, então vg > vf e o meio é considerado dispersivo anômalo. 29 2.5. Meios Dielétricos com Perdas e H = Y n × E (2.17) onde η = 1 Y = jωµ γ (2.18) é a impedância intŕınseca do meio. Se for utilizada a lei de Ampère, obtém-se η = γ σ + jω (2.19) As expressões (2.18) e (2.19), apesar de distintas, fornecem os mesmos valores. A velocidade de fase de um meio qualquer é obtida a partir de vf = ω β = ω Im [√ jωµσ − k2 ] (2.20) Exemplo 2.2 Mostre que, para um meio dielétrico sem perdas, as impedâncias fornecidas pelas equações (2.18) e (2.19) são equivalentes. Solução: Se o meio é dielétrico sem perdas então σ = 0 e γ = jβ. Sendo assim, η = ωµ β = vf µ = µ√ µ = √ µ  Por outro lado, pode-se obter a partir de (2.19) η = β ω = 1 vf  = √ µ  = √ µ  2.5 Meios Dielétricos com Perdas Os meios dielétricos com perdas possuem permissividade complexa, isto é,  = ′ − j′′. Neste caso, é muito comum representar as caracteŕısticas elétricas do material através de duas grandezas: permissividade relativa r e tangente de perdas tgδ. A tangente de perdas é definida como sendo a razão entre o módulo da densidade de corrente de condução e o módulo da densidade de corrente de deslocamento. De uma forma geral, para um meio qualquer com perdas, tem-se CAṔıTULO 2. Ondas TEM num Meio Qualquer 30 ∇× H = Jc+Jd (2.21) sendo Jc = σE (2.22) e Jd = jω ( ′ − j′′)E (2.23) Portanto, (2.21) pode ser reescrita como sendo ∇× H = (σ′ + jω ′)E (2.24) onde σ′ = σ + ω ′′ é chamada de condutividade equivalente do material. Desta forma, a tangente de perda é representada como segue: tgδ = |J ′c| |Jd| = σ′ ω ′ (2.25) No caso de materiais dielétricos com perdas, a condutividade é geralmente de- spreźıvel e a tangente de perdas pode ser expressa como tgδ = ′′  ′ (2.26) 2.6 Propagação em Meios Dielétricos Quando uma onda eletromagnética se propaga num meio dielétrico com perdas, os campos elétrico e magnético obedecem respectivamente as equações (2.13) e (2.14), onde o fator de atenuação, nesta situação, é dado por α = Re [ jω √ µ (′ − j′′) ] (2.27) ou α = Re [ ω √ µ′ (jtgδ − 1) ] (2.28) e a constante de fase por β = Im [ ω √ µ′ (jtgδ − 1) ] (2.29) 31 2.7. Propagação em Meios Condutores Se o valor da tangente de perdas for muito pequeno, a atenuação no meio pode ser desprezada. Neste caso, a onda eletromagnética se propaga com variação de fase proporcional ao número de onda (β = k). Exemplo 2.3 Uma onda eletromagnética de 10GHz, e 1kV/m de campo elétrico máximo, propaga-se num meio dielétrico com permissividade relativa aproximada- mente igual a 4 e permeabildade igual a do vácuo. Qual deve ser a distância percor- rida pela onda para que sua amplitude tenha 90% do seu valor inicial? Qual deve ser a densidade volumétrica de potência média dissipada pelo dielétrico em forma de calor? Considere que o dielétrico tem tangente de perdas igual a 0,002. Solução: A atenuação sofrida pela onda é obtida a partir da equação (2.28), ou seja, α = Re [ ω √ µ (j0, 002 − 1) ] = 0, 42 Np/m Observe que, neste caso,  = ′ − jtgδ ′  ′, pois tgδ 1. Como a amplitude do campo elétrico cai de acordo com E(d) = Eo e −αd, então, E(d) Eo = 0, 9 = e−α z =⇒ d = − 1 α ln(0, 9) = 0, 25 m A densidade volumétrica de potência média, dissipada pelo dielétrico em forma de calor, é fornecida por pm = Jef Eef = σ ′E2ef = 1 2 σ′E2o Como a condutividade equivalente σ′ = ω ′tgδ  ω tgδ, então pm = π × 1010 × 4 × 8, 85 × 10−12 × 0, 002 × 106 = 2224 W/m3 Observe que a condutividade σ foi desprezada por se tratar de um material dielétrico. 2.7 Propagação em Meios Condutores Uma onda eletromagnética propagando-se num meio condutor tem sua amplitude reduzida à medida que esta avança dentro deste meio (vide Figura 2.1). A constante de propagação, neste caso, é obtida de γ  √ jωµσ = (1 + j) √ ωµσ 2 (2.30) CAṔıTULO 2. Ondas TEM num Meio Qualquer 34 ou ainda vf = C λ (2.38) onde C = 4π µσ (2.39) Portanto, o meio condutor é um meio dispersivo anômalo, pois dvf dλo = −C λ2 = −vf λ < 0 (2.40) A velocidade de grupo é então dada por vg = vf + λ vf λ = 2vf (2.41) O comprimento de onda no condutor é obtido de λc = 2π β = 2πδp (2.42) e, finalmente, a impedância é fornecida por ηc = jωµ γ  jωµ√ jωµσ = √ jωµ σ (2.43) ou ηc = (1 + j) √ ωµ 2σ = √ ωµ σ ∠45◦ (2.44) Exemplo 2.4 Responda as perguntas do exemplo anterior considerando que a mesma onda se propaga num meio condutor com condutividade igual a 107S/m e permeabil- idade igual a do vácuo. Solução: A atenuação sofrida pela onda, neste caso, é α = 1/δp, ou seja, α = √ πµσf = 2π × 105 Np/m Sendo assim, E(d) Eo = 0, 9 = e−α z =⇒ d = − 1 α ln(0, 9) = 1, 68 × 10−7 m 35 2.9. Velocidade de Fase e Impedância num Condutor A potência média dissipada por unidade de volume no condutor é fornecida por pm = 1 2 σ E2o ou pm = 5 × 106 × 106 = 5 × 1012W/m3 o que parece ser um valor absurdamente grande. Acontece que a amplitude do campo elétrico dentro do condutor, considerado neste exemplo, é muito grande. Como será visto no próximo caṕıtulo, a amplitude do campo elétrico que consegue penetrar no condutor é muito pequena, pois a maior parte da energia da onda incidente é refletida na superf́ıcie dos materiais condutores. CAṔıTULO 2. Ondas TEM num Meio Qualquer 36