Baixe conservação da energia e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Versão preliminar 10 de setembro de 2002 Notas de Aula de Física 08. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA .................................................................................. 2 FORÇAS CONSERVATIVAS E NÃO-CONSERVATIVAS ................................................................. 3 TRABALHO E ENERGIA POTENCIAL ........................................................................................ 4 FORÇAS CONSERVATIVAS - ENERGIA MECÂNICA .................................................................... 4 Energia potencial elástica ............................................................................................. 5 Energia potencial gravitacional ..................................................................................... 5 CÁLCULO DA TRAJETÓRIA A PARTIR DO POTENCIAL ................................................................ 6 USANDO A CURVA DA ENERGIA POTENCIAL ............................................................................ 6 FORÇAS NÃO CONSERVATIVAS ............................................................................................. 9 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ..................................................................................... 10 7 .................................................................................................................................. 10 10 ................................................................................................................................ 11 13 ................................................................................................................................ 11 17 ................................................................................................................................ 12 23 ................................................................................................................................ 13 32 ................................................................................................................................ 13 25 ................................................................................................................................ 14 28 ................................................................................................................................ 14 30 ................................................................................................................................ 15 35 ................................................................................................................................ 16 37 ................................................................................................................................ 17 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 08 romero@fisica.ufpb.br 2 08. Conservação da energia Quando exigimos das pessoas que moram em nossa casa que apaguem a luz ao sair de um aposento, não deixem a televisão ligada à noite enquanto dormem, fechem bem a torneira para que não fique pingando, ou, ainda, abaixem a chama do gás quando a água ferveu, estamos demonstrando preocupação com o desperdício! Desperdício si- gnifica que algo útil foi jogado fora sem ter sido aproveitado - foi desperdiçado. A água da torneira que pinga vai embora pelo ralo e a gente nem percebe. E uma água nova entra na caixa d’água, em substituição àquela que foi desperdiçada! Agora pare e pense em quantas vezes você já ouviu alguém dizendo esta frase, bastante co- nhecida: “Nada se perde, tudo se transforma.” Essa frase é de Lavoisier, um famoso cien- tista francês do século 18. Podemos entender esta frase, por exemplo, quando colocamos água numa panela e a aquecemos, podemos ver que a água vai evaporando e o seu nível na panela vai diminuindo. Isso não significa que a água é perdida mas que está se trans- formando em vapor d’água! E a água que escorre pelo ralo, também se transforma? Podemos pensar em ter- mos de utilidade, isto é, a água que estava na caixa-d’água era útil, mas, depois que se foi pelo ralo, perdeu sua utilidade. Se quisermos utilizar novamente a água que se foi, te- remos que pagar à companhia de água e esgoto, para que trate mais água e que esta seja enviada pelo encanamento até a nossa caixa-d’água! Ou seja, haverá um custo na reutilização da água que já foi utilizada. No nosso dia-a-dia, usamos muito a expressão “desperdício de energia”, que se refere ao desperdício dos vários tipos de energia, como, por exemplo: - Energia térmica: quando deixamos uma geladeira aberta, haverá um custo para que seu interior se esfrie novamente. - Energia elétrica: banhos de chuveiro elétrico demorados geram enorme consumo de eletricidade, que também terá um custo. - Energia química: carros mal regulados consomem mais do que o normal, aumentando assim o gasto de combustível. Todas essas transformações, cuja energia não pode ser reaproveitada, são cha- madas de transformações. Ou seja, é impossível pegar o frio que sai da geladeira en- quanto a porta está aberta e colocá-lo de volta dentro da geladeira. É impossível pegar a eletricidade que foi usada no chuveiro elétrico e colocá-la de volta no fio. É impossível usar o gás que saiu do escapamento de um automóvel, para encher novamente o tanque de gasolina! A maioria das transformações de energia são do tipo irreversível. Isso significa que a energia útil se transformou num outro tipo de energia e não pode ser reutilizada. Uma pequena parte das transformações são do tipo reversível, ou seja, a energia pode ser transformada em outra forma de energia e depois voltar a ser o que era. Um sistema que tem essa propriedade é chamado de sistema conservativo . Telecurso de Física - 2º grau do Telecurso 2000- Aula 16 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 08 romero@fisica.ufpb.br 5 Energia potencial elástica ( ) ( ) rdrkrdFURU R R !!!!! ! ! ⋅−−=⋅−= ∫ ∫ 0 0 0)( Como o deslocamento se dá no eixo x , te- mos que:    =⋅∴ = = dxxrdr dxird xir !! ! ! ˆ ˆ F ! x = 0 logo, o trabalho realizado pela mola será: ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 1 2 00 LkxkUdxxkULU L L =+=+= ∫ onde estamos considerando o referencial de energia potencial U( x = 0 ) =0 Considerando o resultado anterior, dizemos que a energia potencial elástica de um sistema massa - mola tem a forma: 2 2 1)( xkxU = Outro exemplo interessante é a energia potencial associada à força gravitacional. É um caso de energia potencial associada a uma força constante. Energia potencial gravitacional ∫ ⋅−= R rdFURU ! !!! 0 )0()( onde    = −= dyjrd mgjF ˆ ˆ ! ! ( ) ( ) ( )∫ ∫=⋅−−= h h dymgdyjjmgUhU 0 0 ˆˆ0 U( h ) = m g h onde estamos considerando o referencial de energia potenci- al U( x = 0 ) =0 . Considerando o resultado anterior, dizemos que a energia potencial gravitacional tem a forma: U( y ) = m g y h rd ! gm ! y = 0 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 08 romero@fisica.ufpb.br 6 Cálculo da trajetória a partir do potencial Podemos conhecer a trajetória de uma partícula a partir do conhecimento do po- tencial ao qual ela está submetida. Quando temos a forma do potencial, como foi mencio- nado, ele obedece à equação: ( ) teconsxUvmE tan 2 1 2 =+= ou seja: ( ) ( )[ ] ( )[ ]xUE m dxdtxUE mdt dxvxUEvm − =∴−==⇒−= 2 2 2 1 2 ( )[ ] ∫ ∫ − =−= t t x x xUE m dxttdt 0 0 2 0 ou seja: [ ] ∫ − += x x xUE m dxtt 0 )(2 0 À partir da forma da energia potencial U(x) poderemos calcular a trajetória da par- tícula ao fazer o cálculo da integral indicada. Usando a curva da energia potencial Em diversas situações não é possível fazer o cálculo da integral de movimento. Mas mesmo nesse caso, a equação da conservação da energia ( ) teconsxUvmE tan 2 1 2 =+= ou a equação que se origina nela ( )[ ] ∫ − += x x xUE m dxtt 0 2 0 nos dará informações úteis sobra a solução ou sobre o comportamento da partícula. Como a energia mecânica E é igual à soma das energias potencial U(x) mais ci- nética K , o maior valor da energia potencial será quando toda a energia mecânica for potencial, ou seja: E ≥ U(x) Prof. Romero Tavares da Silva Cap 08 romero@fisica.ufpb.br 7 O gráfico da energia potencial elástica é um exemplo simples da utilidade da análi- se do movimento de uma partícula a partir da forma funcional da energia potencial. Vamos considerar que a energia mecânica deste sistema tem valor E0 . i. Quando x = ± L toda a energia me- cânica está sob a forma de energia potencial. Esses pontos x = ± L são chamados pontos de inversão pois ao chegar neles a velocidade da par- tícula se anula e inverte o sentido. ii. Quando x = 0 toda a energia mecâ- nica é cinética. iii. O movimento da partícula está confi- nado à região - L ≥ x ≥ + L . U(x) E0 x - L + L A seguir mostramos um gráfico da energia potencial de uma partícula, que tem um comportamento rico em detalhes. De modo geral o gráfico da energia potencial de uma partícula apresenta várias si- tuações físicas. Mostra o problema para vários valores de energia mecânica. Para cada valor de energia mecânica a partícula se comporta de um modo diferente. U(x) E4 E3 E2 E1 E0 x3 x1 x0 x2 x4 x5 x a. E = E0 Para esse valor de energia mecânica, toda a energia é potencial e portanto a energia cinética será sempre zero. A partícula vai estar permanentemente localizada na posição x = x0 e com velocidade nula. Como um exemplo dessa situação podemos lembrar uma mola que está em sua posi- ção de equilíbrio com velocidade nula. Ele vai permanecer indefinidamente nessa situa- ção. Prof. Romero Tavares da Silva Cap 08 romero@fisica.ufpb.br 10 Solução de alguns problemas Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 7 Um carrinho de montanha russa sem atrito chega ao alto da primeira rampa da figura a seguir com velocidade 0v ! . y 0v ! A D B h H h/2 C x a) Qual a sua velocidade no ponto A ? Considerando o ponto mais baixo da trajetória do carrinho como a origem do re- ferencial da energia potencial, temos que U(y=0) = 0 e U(y=h) = mgh Desse modo, a energia mecânica inicial é dada por: mgh vm E += 2 2 0 0 Como só estão atuando forças conservativas EA = E0 e como a altura do ponto A é a mesma altura da posição inicial as velocidades serão as mesmas: vA = v0 b) Qual a sua velocidade no ponto B ? ghvvhmgvmmgh vm EE BBB +=⇒    +=+∴= 20 22 0 0 222 c) Qual a sua velocidade no ponto C ? ghvv vm mgh vm EE C C C 222 2 0 22 0 0 +=⇒=+∴= d) A que altura chegará à última rampa, que é alta demais para ser ultrapassada? g v hHmgHmgh vm EE D 22 2 0 2 0 0 +=⇒=+∴= Prof. Romero Tavares da Silva Cap 08 romero@fisica.ufpb.br 11 Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 10 Um projétil de massa 2,40kg é disparado para cima, do alto de uma colina de 125m de altura, com uma velocidade de 150m/s e numa direção que faz 410 com a hori- zontal. a) Qual a energia cinética do projétil no momento em que é disparado? m = 2,40kg h = 125m v0 = 150m/s θ0 = 410 2 2 0 0 vm K = = 27.000J b) Qual a energia potencial do projétil no mesmo momento? Suponha que a energia potencial gravitacional é nula na base da colina ( y=0 ) . U0 = m g h = 2.940J c) Determine a velocidade do projétil no momento em que atinge o solo. Supondo que a resistência do ar possa ser ignorada, as respostas acima dependem da massa do projétil? ghvvmgh vmvm EE F F F 222 2 0 2 0 2 0 +=⇒+=∴= As respostas dos itens a e b dependem da massa do projétil, como pode ser constatado nas equações. A velocidade ao atingir o solo não depende da massa do projétil, como pode ser notado na equação anterior. Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 13 Uma bola de massa m está presa à extremidade de uma barra de comprimento L e massa desprezível. A outra extremidade da barra é articulada, de modo que a bola pode descrever um círculo no plano vertical. A barra é mantida na posição horizontal, como mostra a figura a seguir, até receber um impulso para baixo suficiente para chegar ao ponto mais alto do círculo com velocidade nula. a) Qual a variação da energia potencial da bola? Considerando o ponto mais baixo da trajetória da bola como a origem do referencial da energia potencial, temos que U(y=0) = 0. Des- se modo, a energia potencial gravitacional é dada por U (y) = m g y A diferença de altura entre as posições inicial e final é L , logo: ∆U = m g ∆y = m g L y L x Prof. Romero Tavares da Silva Cap 08 romero@fisica.ufpb.br 12 b) Qual a velocidade inicial da bola? Vamos considerar como origem da energia potencial o ponto mais baixo da tra- jetória da bola. Ei = Ef ( )LmgmvmgLmvmgymvmgy iffii 22 1 2 1 2 1 222 =+⇒+=+ gLv i 2= Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 17 Uma mola pode ser comprimida 2cm por uma força de 270N . Um bloco de 12kg de massa é liberado a partir do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito cuja inclinação é de 300 . O bloco comprime a mola de 5,5cm antes de parar a) Qual a distância percorrida pelo bloco até parar? L0 = 2cm = 0,020m F0 = 270N θ = 300 m = 12kg L = 5,5cm = 0,055m Inicialmente vamos calcular a constante elástica da mola: F0 = k L0 ∴ k = 13.500N/m D h´ h θ Seja D a distância que o bloco irá percorrer antes de parar. Parte dessa distân- cia ( D - L ) o bloco percorre livre e a outra parte ( L ) ele percorre comprimindo a mola. Inicialmente ele estava em repouso e tinha energia potencial gravitacional, e após o movimento de descida ele volta ao repouso e agora a sua energia e potencial elástica. Aconteceu uma transformação de energia: de potencial gravi- tacional para potencial elástica. temos portanto que: 2 2 1 kLmgh = Mas h = D senθ então θ θ sen22 1sen 2 2 mg kLDkLmgD =∴= = 0,347m = 34,7cm b) Qual a velocidade do bloco no instante em que se choca com a mola? Quando o bloco percorreu livre a distância D - L , ele diminuiu a sua altura de h´, Prof. Romero Tavares da Silva Cap 08 romero@fisica.ufpb.br 15 Como    =−−= −= dxidxird xFirF ˆ))(ˆ( )(ˆ)( ! !! temos: ( ) ( ) ∫ ∫∫ +=+=⋅−−= 1 0 1 0 1 0 2210001 )()()(ˆ)(ˆ)()( x x x x x x x dxmGmxUdxxFxUdxixFixUxU     −−= 01 2101 11)()( xx mGmxUxU Usando as condições indicadas no enunciado, encontramos que: 1 21 1 )( x mm GxU −= b) Qual o trabalho necessário para aumentar a distância entre as partículas de xa=x1 para xb=x1 + d ? abab WxUxUU −=−=∆ )()( ( )dxx dmGmW xx xx mGm x mm G x mm GW ab ab ab ab ab + −=∴ − =+−=− 11 2121 2121 Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 30 Um pequeno bloco de massa m desliza sem atrito na pista da figura a seguir. a) O bloco é liberado em repouso no ponto P . Qual a força resultante que age so- bre ele no ponto Q ? No ponto Q existem duas forças atu- ando no bloco: o seu peso e a força que a pista exerce nele (normal). A normal é a força radial que está atuando, ou seja é a força centrípeta. Para calcular a força centrípeta vamos usar a conser- vação da energia mecânica, ou seja: a energia mecânica no ponto P é igual a energia mecânica no ponto Q . EP = EQ 2 2 1 QQP mvmghmgh += ( ) ( ) gRRRghhgv QPQ 85222 =−=−= P 5R Q R N ! P ! Prof. Romero Tavares da Silva Cap 08 romero@fisica.ufpb.br 16 mgN R gRm R v mFN QC 8 82 =∴=== A força resultante será NPR !!! += . Como esses vetores são perpendiculares, a resultante é a hipotenusa de um triângulo retângulo, e portanto: ( ) ( ) mgRmgmgNPR 658 2222 =⇒+=+= b) De que altura em relação ao ponto mais baixo da pista o bloco deve ser liberado para que esteja na iminência de perder o contato com a pista no ponto mais alto do semi-círculo? Quando o bloco perde o contato com a pista , a normal se anula (e vice-versa). Nessa situação, a única força que esta- rá atuando no corpo será o seu peso e portanto a força centrípeta será igual ao peso: mgRmvmg R v m F F 2 1 2 1 22 =∴= P ! Na posição inicial, quando o bloco é solto ele tem apenas energia potencial gra- vitacional, logo: 2 5 2 52 2 1)2( 2 1 2 RhmgRmgRmgRRmgmvmghEE FFI =∴=+=+=⇒= Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 35 Uma corrente é mantida sobre uma mesa sem atrito com um quarto do seu compri- mento pendurado para fora da mesa, como mostra a figura. Se a corrente tem com- primento L e uma massa m , qual o trabalho necessário para puxá-la totalmente para cima da mesa? A força necessária para puxar com velo- cidade constante a corrente para cima da mesa é uma força variável. Ela depende da quantidade de corrente que está pen- durada. Num pedaço de corrente de ta- manho y temos uma massa m(y) e no tamanho total M temos a massa total M, logo: F ! y=0 y=L/4 y L Mym L M y ym LM yym =∴=⇒    → → )()( )( A força necessária, terá a forma: y L MgyF     =)( Prof. Romero Tavares da Silva Cap 08 romero@fisica.ufpb.br 17 ∫ ⋅= f i if rdFW !! [ ]∫ −=⇒−=⋅∴    =−= −= 0 4/ )()(ˆˆ )(ˆ L dyyFWdyyFrdF dyjdrjrd yFjF !! ! ! 3242 1 20 4/ MgLWL L Mgydy L MgW L =∴             =−= ∫ Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 37 Um menino está sentado no alto de um monte hemisférico de gelo. Ele recebe um pequeníssimo empurrão e começa a escorregar para baixo. Mostre que, se o atrito com o gelo puder ser desprezado, ele perde o contato com o gelo num ponto cuja altura é 2R/3 . O menino vai descer do monte acelerado. Podemos separar as acelerações em aceleração radial e aceleração tangencial (aceleração centrípeta) : amNP !!! =+    = =− T R amP amNP θ θ sen cos N ! θ P ! R θ0 h N = P cosθ - m aR ∴ N = m ( g cosθ - aR ) O corpo do menino perde o contato com o hemisfério quando a normal se anular, logo para θ = θ0 : N = 0 ⇒ aR = g cosθ0 = R v 20 Como este sistema é conservativo, a energia mecânica do menino no topo do he- misfério será igual àquela no ângulo θ = θ0 : 0 2 0 cos;2 1 θRhmvmghmgR =+= ( ) ( )0 2 0 0 2 0 cos12cos12 θθ −==∴−= gR v agRv R Mas quando a normal for nula aR = g cosθ0 = 2 g ( 1 - cosθ0 ) ⇒ 3 2cos 0 =θ 3 2cos 0 RhRh =⇒= θ