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Notas de aula para o curso de F sica 3

Fernando T. Brandt (professor),

Alessandro M. Marques, Bertha M. Cuadros-Melgar, Edgar R. R. Sanabria, Luciano B. de Lemos e Manuel A. Espinoza (monitores)

27 de setembro de 2000

1 Primeira aula

1.1 Intera c~oes fundamentais da natureza

As intera c~oes entre os constituintes mais elementares da mat eria, conhecidos at e o presente, podem ser classi cadas em 4 tipos (em ordem crescente da intensidade da intera c~ao)

• Gravitacional

Nuclear fraca Eletromagn etica Nuclear forte

As intera c~oes nucleares operam somente na escala microsc opica (nuclear e sub-nuclear), decaindo muito rapidamente para grandes distancias. Fenomenos macrosc opicos no dom nio da f sica cl assica, podem ser estudados levando-se em conta somente as intera c~oes gravitacional e eletromagn etica. Embora estas duas intera c~oes possuam certas semelhan cas qualitativas formais, do ponto de vista quantitativo elas diferem em v arias ordens de grandeza. De fato, considerando a intera c~ao entre, por exemplo, dois el etrons,

Atra c~ao gravitacional

Repuls~ao el etrica = 1

-Figura 1: Tipos de cargas

Apesar desta gigantesca diferen ca, os efeitos da intera c~ao gravitacional nos parecem mais percept veis do que a intera c~ao eletromagn etica. Isto ocorre porque a for ca el etrica pode ser tanto atrativa como repulsiva. J a a gravita c~ao atua em todos os corpos materiais (na verdade, em qualquer forma de energia) sempre de maneira atrativa. Entretanto, este mascaramento da intera c~ao eletromagn etica, relativamente a gravitacional, desaparece totalmente (na verdade ele se inverte) quando consideramos efeitos n~ao est aticos, como a intera c~ao da mat eria com ondas eletromagn eticas.

1.2 Carga el etrica

A existencia de atra c~ao e repuls~ao foi descrita pela primeira vez em termos de cargas el etricas por Charles Fran cois de Cisternay du Fay em 1773. Investigando-se a eletriza c~ao por atrito concluiu-se que existem dois tipos de carga: carga positiva e carga negativa, como mostra a gura 1.

1.2.1 Conserva c~ao da carga

Normalmente um corpo e neutro por ter quantidades iguais de cargas positivas e negativas. Quando o objeto I transfere carga de um dado sinal para o objeto I, o objeto I ca carregado com carga de mesmo valor absoluto, mas de sinal contr ario. Esta hip otese, formulada pela primeira vez por Benjamin Franklin, e considerada a primeira formula c~ao da lei de conserva c~ao de carga el etrica.

1.2.2 Quantiza c~ao da carga

Em diversos problemas que ser~ao abordados neste curso, assumiremos a existencia de cargas distribu das continuamente no espa co, do mesmo modo como ocorre com a massa de um corpo. Isto pode ser considerado somente uma boa aproxima c~ao para diversos problemas macrosc opicos. De fato, sabemos que todos os objetos diretamente observados na natureza possuem cargas que s~ao m ultiplos inteiros da carga do el etron onde a unidade de carga C, o coulomb, ser a de nida mais adiante. Este fato experimental foi observado pela primeira vez por Millikan em 1909.

1.3 A Lei de Coulomb

A primeira constata c~ao de que a intera c~ao entre cargas el etricas obedece a lei de for ca

onde r e a distancia entre as cargas e F e o m odulo da for ca, foi feita por Priestley em 1766. Priestley observou que um recipiente met alico carregado, n~ao possui cargas na superf cie interna, 1, n~ao exercendo for cas sobre uma carga colocada dentro dele. A partir deste fato experimental, pode-se deduzir matematicamente a validade de (1) O mesmo tipo de dedu c~ao pode ser feita na gravita c~ao, para mostrar que dentro de uma cavidade n~ao h a for ca gravitacional.

Medidas diretas da lei (1) foram realizadas em 1785 por Coulomb, utilizando um aparato denominado balan ca de tor c~ao. Medidas modernas mostram que supondo uma lei dada por

ent~ao j j < 3 10 16 [6]. O resultado completo obtido por Coulomb pode ser expresso como

Figura 2: For ca entre duas cargas onde a nota c~ao est a explicada na gura 2. Um outro fato experimental e a validade da terceira lei de Newton,

1.3.1 Sistema de unidades

No sistema MKSA a carga el etrica e medida em unidades de coulomb (C) e a constante de Coulomb k e dada por

E conveniente de nir tamb em a constante de permissividade do v acuo, 0 dada por

A unidade de carga C e de nida em termos da unidade de corrente, o amp ere, A; em um segundo, a quantidade de carga que atravessa uma se c~ao transversal de um o, por onde ui uma corrente de 1A e 1C.

Em situa c~oes mais gerais, quanto existem mais de duas cargas no v acuo, a experiencia mostra que vale o princ pio de superposi c~ao, ou seja, a for ca sobre cada carga e a soma vetorial das suas intera c~oes com cada uma das outras cargas. Portanto,

1E por esta raz~ao que as pessoas dentro de um avi~ao que atravessa uma tempestade, n~ao morrem eletrocutadas!

1.5 O Campo

Consideremos a equa c~ao (4) aplicada a for ca sentida por uma carga q0, devida a N cargas q1 · qN

onde rj e a distancia desde a carga qj at e o ponto do espa co onde se encontra a carga q0 e rj e o vetor unit ario apontando na dire c~ao da linha que une as cargas qj e q0, no sentido de qj para q0. Esta equa c~ao pode ser escrita formalmente como

onde

A grandeza ~E e denominada campo el etrico e est a de nida em todos os pontos do espa co. Para que possamos observar, ou seja, medir, o campo el etrico ~E, e preciso posicionar uma carga em um determinado ponto do espa co, medir a for ca sentida por esta carga e calcular a raz~ao

Estamos supondo uma situa c~ao idealizada, onde a carga q0 n~ao altera o campo produzido pelas outras cargas.

A id eia de se introduzir campos na f sica constitui um passo importante para uma descri c~ao onde as intera c~oes s~ao entendidas sem a introdu c~ao de a c~ao a distancia. Na presente descri c~ao, a intera c~ao entre duas cargas se d a em duas etapas. Primeiro a carga q1 cria o campo ~E, e em seguida, a carga q2 interage com o campo ~E. Este detalhamento, que por enquanto parece um luxo desnecess ario, e de fundamental importancia em problemas dependentes do tempo, tendo em vista que os sinais eletromagn eticos propagam-se, no v acuo, com a velocidade da luz

θ θ x

Figura 3: Dipolo el etrico

1.6 Campo de um dipolo

Um dos exemplos mais simples do campo el etrico de mais de uma carga e o caso do chamado dipolo el etrico, mostrado na gura 3.

Um dipolo el etrico nada mais e do que duas cargas de sinais opostos separadas por uma certa distancia, que aqui vale 2a. Supondo que as duas cargas se encontram sobre o eixo x, ambas a uma distancia a da origem, vamos calcular o campo el etrico devido a elas em um ponto que se encontra sobre o eixo y. Supondo tamb em que as duas cargas tenham m odulos iguais,

Note que, devido a geometria do problema e a condi c~ao acima, as componen- tes y de ~E1 e ~E2 s~ao iguais em m odulo mas com sentidos opostos e portanto a componente y da resultante ~E1 + ~E2 e nula. A componente x e dada por

r2 a r

Uma situa c~ao de especial interesse e quando a separa c~ao entre as cargas e

Figura 4: Distribuic~ao continua de carga muito menor que a distancia at e o ponto de observa c~ao P y a:

Neste caso, podemos desprezar a no denominador da equa c~ao anterior, obtendo

e o chamado momento de dipolo.

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