Mecânica Clássica, Notas de aula de Física

Baixe Mecânica Clássica e outras Notas de aula em PDF para Física, somente na Docsity! NOTAS DE AULAS Mecânica Clássica Prof.: Salviano A. Leão Goiânia – Goiás Sumário 1 Introdução 1 1.1 PADRÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Referências Bibliográficas 19 2 Mecânica Newtoniana 20 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Dinâmica: massa e força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2 Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.3 Terceira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Prinćıpio da Relatividade de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Transformações galileanas: referenciais inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 Aplicações das leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7 Integração das equações de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.7.1 Análise do movimento unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7.2 Força aplicada constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.7.3 Força aplicada dependente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.7.4 Forças dependentes da velocidade: Forças de retardamento . . . . . . . . 46 2.8 Teoremas de conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.8.1 Conservação do momentum linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.8.2 Conservação do momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.8.3 Conservação da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.8.4 Potência (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.8.5 Dependência Temporal da Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.8.6 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 i Prof. Salviano A. Leão iv 5.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6 Formulação Lagrangeana da Mecânica 187 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.2 Conceitos Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.3 Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.4 Graus de Liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.5 Espaço de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.6 Espaço de Configurações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.7 Vı́nculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.8 Dificuldades Introduzidas Pelos Vı́nculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.8.1 Vı́nculos e as coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.9 Prinćıpios dos Trabalhos Virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.9.1 Deslocamento Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.9.2 Vı́nculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.9.3 Trabalho Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.10 Prinćıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.11 Equações de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.11.1 Vı́nculos nas equações de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.11.2 Exemplos de Sistemas Sujeitos a Vı́nculos . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.12 Aplicações da Formulação Lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 6.13 Energia Cinética em Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.14 Momentum Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 6.15 Potenciais Dependentes da Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 6.16 Forças Aplicadas e de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.17 Função de Dissipação de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 6.18 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.18.1 Deduções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.18.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 7 Prinćıpio de Hamilton: Dinâmicas Lagrangeana e Hamiltoniana 249 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 7.2 Prinćıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 7.3 Prinćıpio de Hamilton a Partir do Prinćıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . 254 7.4 Equações de Lagrange a Partir do Prinćıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 257 7.5 Prinćıpio da Relatividade de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 7.6 A Lagrangeana de Uma Part́ıcula Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 7.7 Lagrangeana de um Sistema de Part́ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 7.8 Prinćıpio de Hamilton: Vı́nculos Não-Holonômicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Prof. Salviano A. Leão v 7.8.1 Método dos Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 7.8.2 Forças de Vı́nculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.9 Vantagens de Uma Formulação Por Um Prinćıpio Variacional . . . . . . . . . . . 276 8 Leis de Conservação e Propriedades de Simetria 280 8.1 Momentum Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 8.2 Coordenadas Ćıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 8.3 Translações e Rotações Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8.3.1 Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.3.2 Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.4 Teoremas de Conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 8.4.1 Homogeneidade Espacial e Conservação do Momentum . . . . . . . . . . 287 8.5 Isotropia Espacial e Conservação do Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . 288 8.6 Uniformidade Temporal e Conservação da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 8.7 Invariância de Escala na Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.8 Teorema do Virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8.9 Equações de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 8.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 9 Dinâmica Hamiltoniana 300 9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 9.2 Equações Canônicas de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 9.3 Equações de Hamilton a Partir do Prinćıpio Variacional . . . . . . . . . . . . . . 303 9.4 Integrais de Movimento das Equações de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 305 9.5 Integrais de Movimento Associados com as Coordenadas Ćıclicas . . . . . . . . . 305 9.6 Transformações Canônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 9.7 Parênteses de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 9.8 Propriedades Fundamentais dos Parênteses de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 314 9.9 Parênteses de Poisson Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 9.10 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 9.11 Parênteses de Poisson e as Integrais de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 9.12 Equação de Movimento na Forma dos Parênteses de Poisson . . . . . . . . . . . 317 Caṕıtulo 1 Introdução Definir o conceito de ciência não é uma tarefa simples, entretanto, considerar-se que a ciência pode ser definida como um con- junto de conhecimentos sistematicamente or- ganizado sobre um determinado objeto, adqui- ridos por meio de observações e experimentos reprodut́ıveis, criticamente testados, sistemati- zados e classificados segundo prinćıpios gerais. Os critérios usados para definir uma área do conhecimento como uma ciência, estabelecem um método cient́ıfico. Neste contexto, a f́ısica pode ser definida como a ciência que inves- tiga os fenômenos naturais, pois ela têm como ponto de partida um conjunto de hipóteses que surgem da observação dos fenômenos naturais, e essas hipóteses, que representam uma idea- lização destes fenômenos, são as bases com que as teorias f́ısicas são constrúıdas. Nessas teo- rias, as leis envolvendo grandezas f́ısicas são expressas em termos de equações matemáticas que descrevem e prevêem seus comportamen- tos sob determinadas condições. As teorias da f́ısica não são completas e nem imutáveis, de fato, elas podem vir a ser modificadas. Com o desenvolvimento tecnológico medidas expe- rimentais de determinadas grandezas podem ser efetuadas com uma maior precisão e novos experimentos podem ser realizados. A com- paração numérica entre os resultados previstos pela teoria e a medida experimental serve como um parâmetro para julgar se a teoria é correta ou não e, se for o caso, em que ponto é ne- cessário introduzir correções ou modificações. Se a concordância numérica for boa, a proba- bilidade da teoria estar correta é grande. Por outro lado, se a concordância for apenas quali- tativa, fica dif́ıcil julgar a teoria. Além disso, se existir mais de uma, a dificuldade de escolher entre as diferentes possibilidades seria grande, entretanto, os f́ısicos, nestes casos tendem a es- colher a teoria mais simples. Fenômenos novos também podem ser observados e quando estes não podem ser explicados pelas teorias vigen- tes, é necessário uma nova teoria que englobe todos os experimentos realizados. As grandezas f́ısicas que aparecem nas equações matemáticas devem expressar quan- tidades, as quais devem possuir significados numéricos precisos. Se uma dada grandeza for definida, especificações de como determiná- la quantitativamente devem estar contidas na sua definição. Uma definição apenas qualita- tiva não é suficiente para ser usada como ali- cerce da construção de uma teoria cient́ıfica. Na prática, apesar de ser muito dif́ıcil cons- truir uma definição idealmente precisa, supõe- se implicitamente que as grandezas envolvidas estão precisamente definidas quando se escreve 1 Prof. Salviano A. Leão 4 Figura 1.1: Limites da mecânica de acordo com a massa e a velocidade do objeto. um objeto de massa m é dada pela região 2 da figura 1.1, à direita da hipérbole v · L = h/m e a esquerda da reta v = αc, onde α ¿ 1 e h é a constante de Planck. A região 1, que fica a esquerda da hipérbole v · L = h/m e a es- querda da reta v = αc, representa o domı́nio de aplicação da mecânica quântica. A região 4, que fica a direita da reta v = αc e abaixo da hipérbole v ·L = h/m, representa o domı́nio de aplicação da mecânica quântica relativ́ıstica. Já a região 3, , que fica a direita da reta v = αc e acima da hipérbole v ·L = h/m, representa o domı́nio de aplicação da mecânica relativ́ıstica, ou Teoria Geral da Relatividade de Einstein. Assim, a mecânica teórica (anaĺıtica) será a mecânica clássica, aplicável tanto para objetos macroscópicos com v ¿ c, quanto para uma molécula, átomo ou part́ıcula elementar desde que mvL¿ h. Costuma-se representar de ma- neira abstrata, os corpos de materiais estuda- dos pela mecânica clássica sob a forma de pon- tos materiais se as dimensões forem pequenas comparadas com as dimensões caracteŕısticas dos sistemas em relação aos quais se registra o movimento.Os corpos sólidos são aqueles que as distâncias relativas entre diferentes pontos do corpo durante o seu movimento permane- cerem inalteradas, isto é, o corpo não é de- formável. Corpos elásticos, ĺıquidos ou gaso- sos, são aqueles que o corpo é deformável e ocupa uma região do espaço maior do que as dimensões caracteŕısticas dos materiais que re- gistram o movimento. 1.1 PADRÕES A f́ısica é baseada em medidas e aprende- remos f́ısica apreendendo a medir as quanti- dades que são envolvidas nas leis da f́ısica. Entre estas quantidades estão o comprimento, tempo, massa, temperatura, corrente elétrica, etc. Para descrevermos uma quantidade f́ısica primeiramente definimos uma unidade, isto é, a medida da quantidade que é definida como exa- tamente 1. Então definimos um padrão, isto é, uma referência para a qual todos os outros exemplos são comparados. Por exemplo, a uni- dade de comprimento é o metro, como veremos mais adiante, ele é definido como a distância que a luz percorre no vácuo durante uma certa fração de segundo. Em prinćıpio somos livres para escolhermos a unidade e o padrão, no en- tanto é importante que os cientistas no mundo concordem que a nossa definição é acesśıvel e prática. Em mecânica inicialmente precisaremos de algumas grandezas tais como: comprimento, tempo e massa. Como estes padrões não são definidos em termos de quaisquer outros, eles devem ser escolhidos de modo a permitir sua reprodução para comparação com grandezas a serem medidas. Os padrões devem ter as se- guintes caracteŕısticas: Prof. Salviano A. Leão 5 1. deve ser imutável, as medidas feitas hoje devem ser as mesmas daqui a um século. 2. deve ser acesśıvel, de modo a poder ser re- produzida em qualquer outro laboratório. 3. deve ser preciso atender a qualquer grau de precisão tecnológica. 4. deve ser universalmente aceito, de modo que os resultados obtidos em diferentes páıses sejam comparáveis. Na escolha de um padrão, por exemplo com- primento, precisamos ter procedimentos para que qualquer medida de comprimento possa ser expresso em termos deste padrão, desde o raio do átomo de hidrogênio até a distância da Terra a uma estrela. Fica claro que muitas de nossas comparações serão indiretas. Não será posśıvel utilizarmos uma régua para medir o raio do átomo de hidrogênio ou a distância até a Lua. Existem muitas grandezas f́ısicas e é um problema organizá-las, felizmente elas não são todas independentes. Por exemplo, a velo- cidade é a razão entre comprimento e tempo. Muitas vezes uma escolha acesśıvel não é prática, não sendo portanto uma boa escolha. Por exemplo, podemos escolher o nosso pole- gar como um padrão de comprimento. Ele é acesśıvel no entanto não é prático porque cada pessoa tem um polegar diferente de forma que qualquer comparação gere resultados diferen- tes. Em 1971, a 14a Conferência Geral de Pesos e Medidas considerou sete quantidades básicas para formar a base do Sistema Internacional de Unidades, abreviado por SI e popularmente conhecido como sistema métrico. Como já dis- semos, na mecânica as quantidades básicas são: tempo, massa e comprimento, cujas unidades são: segundo, quilograma e metro, respectiva- mente. As definições para estas unidades são as seguintes: Tempo um segundo é 9.162.631.770 peŕıodos de uma certa vibração do átomo de Cs133. Comprimento um metro é o comprimento do caminho percorrido pela luz no vácuo du- rante 1 299.792.458 de segundo. Massa um quilograma é a massa de um cilin- dro particular (3, 9 cm de diâmetro × 3, 9 cm de altura) de platina-iŕıdio guardado próximo de Paris. Outras As demais unidades que aparecem na mecânica são derivadas destas três, por exemplo o watt, que é a unidade de potência, 1 watt = 1 W = 1 kg ·m2/s3 1.2 Tempo O tempo é um dos conceitos primitivos ado- tados para construir a teoria da Ciência F́ısica (Mecânica Clássica, em particular). Como tal, não é posśıvel definir precisamente o que é o tempo, mas supõe-se que todos já ”o co- nhecem muito bem”. Como pode-se notar, existe uma total falta de precisão para definir o tempo. Esta situação persiste mesmo que se adote as definições qualitativas dadas nos dicionários. Entretanto, o que realmente im- porta aqui não é definir o que é o tempo com precisão, mas como med́ı-lo, isto é, defińı-lo operacionalmente. Prof. Salviano A. Leão 6 Uma maneira de medir o tempo é utilizar algum fenômeno que se repete com certa regu- laridade dito periódico. A palavra ”relógio” pode ser adotada no sentido amplo, signifi- cando tanto os fenômenos periódicos utiliza- dos para a medida do tempo, como os instru- mentos constrúıdos para a mesma finalidade. O prinćıpio de funcionamento de um ”relógio” como instrumento é baseado nos fenômenos periódicos. Um dos primeiros ”relógios” que se conhece na história da Humanidade é o nas- cer do Sol. Este fenômeno repete-se indefinida- mente e a duração entre dois eventos consecu- tivos do nascer do Sol é denominado dia. Surge uma questão importante neste ponto. Será que a duração dos dias é sempre a mesma? Na re- alidade, esta é uma questão importante para qualquer ”relógio”, não se restringindo apenas ao dia. Tudo que se pode fazer é comparar com outros ”relógios” para tentar responder a esta pergunta. Tais comparações e as análises das leis que governam os fenômenos repetitivos dão subśıdios para se decidir, não só esta questão, como o grau de confiabilidade dos ”relógios”. Observe, no entanto, que não há maneira de provar que a duração dos peŕıodos de qualquer dos fenômenos repetitivos, onde se baseiam es- ses ”relógios”, é realmente constante. Dessa forma, apenas pode-se afirmar que um tipo de regularidade concorda com a de outro, ou não, mediante comparações. Assim, do ponto de vista operacional, a definição do tempo está baseada na repetição de algum tipo de evento que, aparentemente, é periódico. O dia, acima citado, é devido à rotação da Terra. Então, o peŕıodo de rotação da Terra pode ser comparado com, por exemplo, o peŕıodo de revolução da Terra ao redor do Sol, o da Lua em torno da Terra, o do Mercúrio em torno do Sol etc. Observações muito precisas mostraram concordância entre si desses outros fenômenos dentro de uma pequena margem de discrepâncias. A partir destas comparações, detectou-se que o peŕıodo da rotação da Terra tem pequenas irregularidades da ordem de uma parte em 108. Então, o peŕıodo de rotação da Terra, o dia, é um bom ”relógio” para muitos propósitos. Com o passar do tempo, a necessidade de se medir intervalos de tempo de duração menor que a de um dia surgiu. Um dos mais anti- gos relógios, como instrumentos de medida de tempo, são os relógios de sol. Basicamente, a projeção da sombra de uma estaca sobre uma escala graduada é o mecanismo de medida do tempo nesses relógios. Com os relógios sola- res, tornou-se posśıvel medir uma fração do dia com uma certa precisão. Entretanto, eles apresentavam o inconveniente de só funciona- rem durante o dia e, dependendo da época do ano, de marcarem horas que diferem um pouco. Os clepsidras (relógios de água) base- ados no escoamento de água, através de um orif́ıcio muito pequeno no fundo de um reci- piente para um outro com uma escala gra- duada, já eram usados pelos antigos eǵıpcios e babilônios. Eles permitiam medir o tempo correspondente à fração do dia com uma pre- cisão razoável. Havia a vantagem de funcionar mesmo à noite. Com a descoberta do vidro, as ampulhetas (relógios de areia) que se baseiam num prinćıpio análogo foram desenvolvidas. Em 1581, Galileu descobriu o isocronismo das oscilações de um pêndulo, quando compa- rou as oscilações de um candelabro da Cate- dral de Pisa com o ritmo do seu pulso. Ele observou que o peŕıodo das oscilações perma- necia o mesmo independentemente da sua am- Prof. Salviano A. Leão 9 1.4 Cinemática O primeiro passo para estudar o movimento de um corpo é descrevê-lo. A descrição do movimento de um objeto real pode ser ex- cessivamente complexa. Então, é imperativo que se introduza uma idealização para que possa representar uma situação real mediante simplificação de muitos aspectos, tornando as equações matemáticas mais simples e solúveis. Depois de obter uma descrição de um sistema idealizado, correções podem ser introduzidas para que o resultado se aproxime melhor da si- tuação real. Para descrevermos o movimento de um corpo de forma simples introduziremos alguns conceitos básicos. Um dos conceitos fundamentais da mecânica é o conceito de ponto material ou part́ıcula. Um ponto material ou part́ıcula é um objeto cujas dimensões e estruturas internas são des- preźıveis perto de outras dimensões envolvidas no problema. Por exemplo, a Terra pode ser considerada part́ıcula na maioria dos proble- mas de movimento planetário, mas certamente não é posśıvel nos problemas terrestres. Da- qui para frente ponto material e part́ıcula serão utilizados como sinônimos, salvo menção em contrário. O espaço é euclidiano, tridimen- sional, isotrópico e homogêneo, e é represen- tado por três coordenadas cartesianas, x, y e z em relação a um determinado sistema de re- ferência. O sistema de referência está ligado a um objeto real, por exemplo uma estrela imóvel ou um sólido, considerado como um corpo referencial. A posição de uma part́ıcula P pode ser descrita localizando-se um ponto no espaço tridimensional, que por hipótese é euclidiano. Isto pode ser feito fixando-se três eixos mutuamente ortogonais a partir de uma origem O no espaço e especificando-se suas co- ordenadas retangulares x, y e z com relação a estes eixos, como ilustrado na Fig. 1.2. Um sistema como estes três eixos é denominado sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Dadas as coordenadas em relação a um sistema que localiza a posição de uma part́ıcula, o que se deseja em seguida é descrever a trajetória percorrida por esta part́ıcula em movimento. Uma representação paramétrica, onde o tempo é o parâmetro, é uma das maneiras de especi- ficar esta trajetória. Assim, para descrever a trajetória do movimento de uma part́ıcula, as coordenadas cartesianas em função do tempo, x(t), y(t) e z(t) (1.1) devem ser especificadas. As funções x(t), y(t) e z(t) representam as coordenadas da posição da part́ıcula nos eixos cartesianos x, y e z em cada instante t do tempo. Escolhe-se um instante t0 para o ińıcio da medida do tempo, geralmente adotado como zero. A posição de um ponto material no espaço x, y e z (sistema de coor- denadas cartesiano) em um dado instante de tempo t é descrita pelas coordenadas x(t), y(t) e z(t) do ponto material, ou pelo raio vetor r(t) = x(t)̂i + y(t)̂j + z(t)k̂. (1.2) A linha espacial descrita pelas coordenadas do ponto material, ou seja, dada na forma pa- ramétrica x(t); y(t); z(t), chama-se trajetória do ponto. O elemento de comprimento da tra- jetória é: ds = √ dx2 + dy2 + dz2. (1.3) De agora em diante usaremos a seguinte notação para derivadas temporais: a derivada em relação ao tempo será representada por um Prof. Salviano A. Leão 10 Figura 1.2: Coordenadas cartesianas ortogo- nais, especificando a posição de uma part́ıcula P em relação à origem O do sistema. ponto sobre a letra, assim a derivada de x em relação ao tempo pode ser escrita como ẋ = dx dt ; ẍ = dẋ dt = d2x dt2 . Supondo-se que o significado de x(t), y(t) e z(t) estão claros, pode-se então definir as com- ponentes cartesianas vx, vy e vz da velocidade num instante t são    vx = ẋ = dx dt , vy = ẏ = dy dt , vx = ż = dz dt , (1.4) que representam as taxas de variação de cada uma das coordenadas de posição em função do tempo. O módulo da velocidade, é dado por v = ds dt = √ ( dx dt )2 + ( dy dt )2 + ( dz dt )2 (1.5) Dá mesma maneira, pode-se definir as com- ponentes cartesianas da aceleração ax, ay e az num instante t são    ax = v̇x = dvx dt = ẍ = d2x dt2 , ay = v̇y = dvy dt = ÿ = d2y dt2 , ax = v̇x = dvz dt = z̈ = d2z dt2 , (1.6) que representam1 as taxas de variação de cada uma das componentes da velocidade em função do tempo. Dependendo do problema em questão, outros tipos de sistemas de co- ordenadas tais como as coordenadas polares, ciĺındricas e as esféricas são mais convenien- tes do que as cartesianas. Para movimentos em duas e três dimensões torna-se conveni- ente trabalhar com os vetores para represen- tar posições, velocidades e acelerações. Neste caso, o movimento é descrito por um vetor de posição r, onde a cauda (extremidade) é fixa na origem do sistema de referência adotado e a ponta (a outra extremidade) deste vetor lo- caliza a posição da part́ıcula (Fig. 1.2). Se o sistema de coordenadas cartesianas for ado- tado, suas componentes são x, y e z. Assim, as funções (1.1) são resumidas numa única função vetorial r(t) dada por (1.2). A velocidade ve- torial é definida, então como v = ṙ = dr dt = ẋ(t)̂i + ẏ(t)̂j + ż(t)k̂ (1.7) e a aceleração vetorial como a = r̈ = v̇ = d2r dt2 = ẍ(t)̂i+ ÿ(t)̂j+ z̈(t)k̂. (1.8) 1A derivada com relação a t será denotada, também por um ponto em cima de uma variável dependente (notação de Newton), como é mostrada nas equações (1.4). Prof. Salviano A. Leão 11 Figura 1.3: Velocidade vetorial Utilizando-se a definição da derivada de uma função vetorial dada por v = dr dt = lim ∆t→0 r(t+ ∆t)− r(t) ∆t , pode-se ver que v(t) é tangente à trajetória da part́ıcula, como ilustrado na figura 1.3. Uma vez que os vetores são independentes do tipo de sistema de coordenadas adotado para des- crevê-lo, é importante ressaltar também que a velocidade e a aceleração expressas como ve- tores, como em (1.7) e (1.8), respectivamente, são independentes do tipo de sistema de co- ordenadas e a descrição do movimento pode ser expressa de uma maneira compacta. No momento de descrever as componentes em al- gum tipo espećıfico de sistemas de coordena- das, deve-se lembrar que as componentes terão expressões apropriadas para cada tipo de sis- tema de coordenadas. Num sistema cartesiano as componentes de (1.7) e de (1.8) serão dadas pelas expressões (1.4) e (1.6), respectivamente. Exemplo 1 Considere uma part́ıcula movendo-se em um plano. Usando as co- ordenadas polares escreva os vetores posição, velocidade e aceleração da part́ıcula neste sistema de coordenadas. Solução: Em coordenadas polares para, localizarmos uma part́ıcula em um plano, devemos fornecer o módulo r do vetor que vai da origem até a part́ıcula, e o ângulo θ que este vetor forma com o eixo x, conforme a mostramos na figura 1.4 abaixo. Figura 1.4: Vetor posição de uma part́ıcula no plano. Aqui mostramos as coordenadas pola- res. O vetor posição em coordenadas cartesianas é r = r cos θî + r sen θĵ (1.9) Os vetores unitários em coordenadas polares r̂ e θ̂ (ou er e eθ) estão relacionados com os vetores unitários î e ĵ em coordenadas cartesi- anas por{ r̂ = cos θî + sen θĵ θ̂ = − sen θî + cos θĵ (1.10) Prof. Salviano A. Leão 14 1.5 Problemas 1. Não foi explicado, intencionalmente, o que é definição operacional no texto. Tente explicar de maneira mais precisa posśıvel, de forma que não deixe margem às múltiplas interpretações. 2. Imagine as posśıveis conseqüências se o espaço ou o tempo, ou ambos, não forem cont́ınuos. Discuta. 3. Se o comportamento dos instrumentos de medida fosse afetado pelos seus esta- dos de movimento, discuta as posśıveis conseqüências nas medidas das grandezas f́ısicas. 4. Discuta as dificuldades de obter valo- res numéricos arbitrariamente precisos nas medidas das grandezas f́ısicas. Discuta as posśıveis limitações para isso. 5. Discuta a afirmação do texto: ”o que re- almente importa aqui não é definir o que é tempo com precisão, mas como med́ı-lo, isto é, defińı-lo operacionalmente”. 6. Uma técnica (definição) diferente de me- dir o tempo é observar a distância entre dois eventos de um objeto em movimento. Por exemplo, ao se ligar e desligar o farol de um automóvel em movimento, pode- se saber a duração do tempo em que o farol ficou ligado, sabendo-se à distância percorrida durante o evento e a veloci- dade desse movimento. O tempo é dado pela distância percorrida dividida pela ve- locidade. Com esta técnica foi determi- nado o tempo de vida do méson πo como sendo 1016 s. estendendo-se esta técnica, foi posśıvel descobrir uma part́ıcula cujo tempo de vida é 1024 s, tempo de uma luz caminhar a distância da dimensão de um núcleo de hidrogênio. Discuta as pos- sibilidades e as dificuldades de trabalhar com uma duração de tempo ainda menor. Será que faz algum sentido falar em tempo numa escala tão pequena, se nem sequer saber se é posśıvel med́ı-lo, ou se consegui- mos imaginar eventos acontecendo num tempo tão curto? 7. Pesquise e discuta algumas técnicas posśıveis para lidar com tempos longos (algo em torno da idade da Terra e, além disso). 8. Se os Homens que habitam diferentes regiões do globo terrestre tivessem basea- das as medidas do tempo em fenômeno di- ferentes, poderiam existir diversos padrões de medidas do tempo dependendo da região em que foram desenvolvidas. Dis- cuta as posśıveis conseqüências de não se ter um padrão único na medida do tempo. 9. A medida de distância da Terra ao Sol não é simples, devido à dificuldade de focalizar-se num ponto determinado do Sol com precisão. Discuta uma maneira de estender o método da triangulação, ou mesmo uma alternativa de definir a distância para poder med́ı-lo. 10. Discuta as dificuldades do método de tri- angulação quando a distância torna-se muito grande. Discuta as possibilidades de melhorar a medida de distância re- almente grande. Observe que a escala referida nesta questão envolve desde as Prof. Salviano A. Leão 15 distâncias dos planetas do sistema solar até as das galáxias lonǵınquas. 11. Pesquise e discuta as técnicas utiliza- das para medir distâncias muito pequenas (desde a escala do comprimento de onda de luz viśıvel até algo menor que a di- mensão de um núcleo atômico). 12. Quando um automóvel, movendo-se com uma velocidade constante v0, aproxima-se de um um cruzamento, o semáforo torna- se amarelo. o motorista pode parar o automóvel sem avançar pelo cruzamento, ou também pode tentar atravessá-lo antes que o semáforo mude para o vermelho. a) Se ∆t é o intervalo de tempo que o semáforo permanece amarelo antes de mudar para o vermelho, qual é a distância máxima do cruzamento ao automóvel, de maneira que o moto- rista consiga atravessar o cruzamento antes do semáforo tornar-se vermelho, mantendo a velocidade do automóvel constante em v0? b) O tempo de reação do motorista para tomar a decisão e pisar no freio é τ e a máxima desaceleração do au- tomóvel devida à frenagem é a. No momento que o semáforo tornou-se amarelo, qual é a menor distância do cruzamento ao automóvel de maneira que o motorista consiga parar sem avançar pelo cruzamento? c) determine a velocidade cŕıtica vc, em termos de a, ∆t e τ , de maneira que as duas distâncias obtidas no itens 12a e acima coincidem. Este é o li- mite onde o motorista consegue pa- rar o automóvel sem avançar pelo cru- zamento, nem atravessá-lo antes do semáforo mudar para o vermelho. d) Mostre que, se v0 for maior que a velocidade cŕıtica determinada no item anterior, existe uma faixa de distância do cruzamento ao automóvel no qual o motorista não conseguirá pa- rar o automóvel sem avançar pelo cru- zamento, nem atravessá-lo antes do semáforo tornar-se vermelho. 13. Um corpo está movendo-se sobre um linha reta. Sua aceleração é dada por a = −2x, onde x é medido em metros e a em m/s2. Ache a relação entre a velocidade e a distância, dado que em x = 0, v = 4 m/s. 14. A aceleração de um corpo, movendo-se so- bre uma linha reta é dada por a = −kv2, onde k é uma constante positiva. É dado que em t = 0, x(0) = x0 e v(0) = v0. Ache a velocidade e a posição em função do tempo. Ache também v em função de x. 15. a trajetória de uma part́ıcula é dada por x(t) = Ae−ht cos(kt + δ) e y(t) = Ae−ht sen(kt+ δ), onde A > 0, h > 0, k > 0 e δ são constantes no movimento. De- termine as equações da trajetória em co- ordenadas polares e encontre a trajetória da part́ıcula. 16. Uma abelha sáı da colméia em uma tra- jetória espiral, dada em coordenada pola- res por r(t) = bekt e θ(t) = ct, onde b, k e c são constantes positivas. Mostre que o ângulo entre a velocidade e a aceleração permanece constante quando ela se movi- Prof. Salviano A. Leão 16 menta para frente. Sugestão: Determine a razão v·a va . 17. Prove que v ·a = vv̇ e, portanto, que para uma part́ıcula movendo-se com uma ve- locidade v e aceleração a, elas serão per- pendiculares entre si se a velocidade v for constante. Sugestão: Diferencie ambos os lados da equação v · v = v2 com relação a t. Note que v̇ não é o mesmo que |a|. Ela é a magnitude da aceleração da part́ıcula ao longo da sua direção instantânea de movimento. 18. Prove que d dt [r · (v × a)] = r · (v × ȧ). 19. (a) Prove que em coordenadas ciĺındricas (ρ, θ, z) (ver figura 1.6) o vetor posição r = ρρ̂ + zk̂ também pode ser escrito na forma mista r = ρ cos φ̂i + ρ senφĵ + zk̂. (b) Encontre a relação entre os versores unitários em coordenadas ciĺındricas o e os versores unitários em coordenadas car- tesianas. (c) Determine a taxa de variação no tempo dos versores unitários em coor- denadas ciĺındricas. (d) Escreva os vetores deslocamento infinitesimal da posição ds, a velocidade v e a aceleração s de uma part́ıcula em coordenadas ciĺındricas. 20. (a) Prove que em coordenadas esféricas (r, θ, φ) (ver figura 1.7) o vetor posição r = rr̂ também pode ser escrito na forma mista r = r sen θ cos φ̂i + r sen θ senφĵ + r cos θk̂. (b) Encontre a relação en- tre os versores unitários em coordenadas esféricas o e os versores unitários em co- ordenadas cartesianas. (c) Determine a Figura 1.6: Coordenadas ciĺındricas taxa de variação no tempo dos versores unitários em coordenadas esféricas. (d) Escreva os vetores deslocamento infinite- simal da posição ds, a velocidade v e a aceleração s de uma part́ıcula em coorde- nadas esféricas. Figura 1.7: Coordenadas esféricas 21. Mostre que a componente tangencial da Referências Bibliográficas [1] Marcelo Alonso and Edward J. Finn. F́ısica um curso universitário: Mecânica, volume I. Editora Edgard Blücher, 1972. [2] H. Moysés Nussenzveig. F́ısica Básica: Mecânica, volume 1. Editora Edgard Blücher, terceira edition, 1996. [3] Paul A. Tipler. F́ısica Para Cientistas e Engenheiros, volume 1. 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Se alguma previsão discordar do experimento a teoria deve ser modificada. Iniciaremos este caṕıtulo discutindo os con- ceitos de força e massa, e em seguida enunciare- mos as leis fundamentais da mecânica: as Leis de Newton. Posteriormente, discutiremos seus significados e obteremos as implicações destas leis em várias situações f́ısicas. Nos concentra- remos no movimento de uma única part́ıcula, não abordando neste momento o caso de um de sistemas de part́ıculas. 2.2 Dinâmica: massa e força A experiência leva à crença de que os movi- mentos de corpos f́ısicos são controlados pe- las interações existentes entre eles e suas vi- zinhanças. Observando-se o comportamento de projéteis e de objetos que deslizam sobre uma superf́ıcie lisa e bem lubrificada, tem-se a idéia de que as variações de velocidade do corpo são produzidas por sua interação com a vizinhança. A velocidade de um corpo isolado de qualquer interação é constante, logo, na for- mulação das leis da Dinâmica, deve-se focalizar a atenção nas acelerações. Imaginem-se dois corpos interagindo entre si e isolados da vizinhança. Como analogia gros- seira desta situação, imagine duas crianças, não necessariamente do mesmo tamanho, brin- cando de cabo-de-guerra com uma vara ŕıgida sobre gelo liso. Embora nenhum dos dois cor- pos possa ser realmente isolado completamente das interações com os outros corpos, esta é a situação mais simples para se pensar a respeito e elaborar um modelo matemático simples que descreva a mesma. Experiências cuidadosas re- alizadas com corpos reais levam a conclusões idênticas às que seriam obtidas caso se pudesse conseguir o isolamento ideal dos dois corpos. Deve-se observar que dois corpos estão sempre acelerados em direções opostas, e que a razão 20 Prof. Salviano A. Leão 21 de suas acelerações é constante para qualquer par particular de corpos, não importando a força com que eles possam puxar ou empur- rar um ao outro. Medindo-se as coordenadas x1 e x2 dos dois corpos, ao longo da linha de suas acelerações, obtém-se o seguinte resultado ẍ1 ẍ2 = −k12, (2.1) onde k12 é uma constante positiva carac- teŕıstica dos dois corpos em questão. O sinal negativo expressa o fato de que as acelerações são em sentidos opostos. Do resultado acima, temos ẍ2 ẍ1 = −k21, (2.2) logo podemos concluir das eqs. (2.1) e (2.2) que k12 = 1 k21 . (2.3) Em adição ao que foi dito, em geral, quanto maior ou mais pesado ou mais massivo for o corpo, menor será a sua aceleração. Na rea- lidade, a razão k12 é proporcional à razão do peso do corpo 2 pelo peso do corpo 1. A ace- leração de dois corpos que interagem é inver- samente proporcional a seus pesos. Este re- sultado, portanto, sugere a possibilidade de uma definição da Dinâmica, a da massa do corpo, em termos de suas acelerações mútuas. Escolhendo-se um corpo-padrão como unidade de massa, a massa de qualquer outro corpo é definida como a razão entre a aceleração do es- colhido como sendo o padrão da unidade de massa e a aceleração do outro corpo, quando os dois estão interagindo: mi = k1i = − ẍ1 ẍi , (2.4) onde mi, é a massa do corpo i e o corpo 1 é o padrão de unidade de massa. Para que a eq. (2.4) se torne uma de- finição útil, a razão k12 das acelerações dos dois corpos deve satisfazer algumas condições. Considerando-se a massa definida pela eq. (2.4) como sendo a medida daquilo que se chama vagamente de quantidade de matéria em um corpo, então a massa do corpo deve ser a soma das massas de suas partes, e este é o caso dentro de um elevado grau de pre- cisão. Não é essencial, para terem utilidade em teorias cient́ıficas, que os conceitos da F́ısica, para os quais são apresentadas definições pre- cisas, correspondam aproximadamente a qual- quer idéia pré-estabelecida. Entretanto, a mai- oria desses conceitos originou-se mais ou menos de idéias comuns, e massa é um bom exemplo. Ao se estudar a Teoria da Relatividade, ver-se que o conceito de massa é um pouco modifi- cado, e que não é exatamente verdade que a massa de um corpo seja a soma das massas de suas partes. Um requisito certamente essencial é que o conceito de massa seja independente do corpo particular que foi escolhido como tendo massa unitária, o que significa que a razão de duas massas será a mesma, não importando a uni- dade de massa escolhida. Será verdade por causa da seguinte relação, obtida experimen- talmente, entre a razão dos módulos de ace- lerações mútuas definidas pela eq. (2.1) de três corpos quaisquer: k12k23k31 = 1. (2.5) Suponha que o corpo 1 seja a massa unitária. Então, se os corpos 2 e 3 interagirem encontrar- se-á, usando as eqs. (2.1), (2.5) e (2.4): ẍ2 ẍ3 = −k23 = − 1 k12k31 = −k13 k12 = −m3 m2 . (2.6) Prof. Salviano A. Leão 24 e ela pode ser escrita como F = dp dt = d dt (mv) (2.10) Esta equação só tem significado completo com a definição de massa. Se aceitarmos que massa, assim como comprimento e tempo, são concei- tos primitivos, a Segunda Lei de Newton pode ser vista como a definição operacional de força. De acordo com este racioćınio, somente a Ter- ceira Lei de Newton seria de fato uma lei. Um outro ponto de vista diferente considera que as três Leis de Newton são realmente leis no sentido em que seus enunciados implicam em fenômenos f́ısicos que podem e devem ser questionados experimentalmente. Vamos ana- lisar cada uma delas individualmente. 2.3.1 Primeira Lei de Newton Qual o significado da primeira lei de Newton? A essência do seu conteúdo é o prinćıpio da inércia de Galileu. Newton, provavelmente, herdou de Galileu a idéia de que o repouso ou o movimento retiĺıneo uniforme é o estado na- tural de qualquer part́ıcula. A Primeira lei, coloca o estado de repouso e o movimento retiĺıneo uniforme na mesma condição, já que nenhuma força externa é ne- cessária para manter o movimento retiĺıneo uniforme. O estado de movimento irá conti- nuar inalterado devido a uma propriedade da matéria que é chamada de inércia. Newton tornou esta lei precisa ao introdu- zir as definições dos conceitos de momentum e massa. Momentum é o produto da velocidade de um corpo pela quantidade de matéria con- tida pelo corpo. A quantidade de matéria con- tida por um corpo é chamada de massa inercial do corpo, e é a medida de sua inércia. Então a massa inercial, é a medida daquela propriedade de um objeto, que faz com que o objeto resista a uma mudança do seu estado de movimento. Na definição do momentum linear, eq. (2.9), m é a massa inercial do corpo, v é a sua ve- locidade e p é o seu momentum linear. Mate- maticamente a lei da inércia pode ser expressa como Sem força externa ⇒ p = Vetor constante. Deste modo, a lei da inércia, coincide com a lei da conservação do momentum linear para uma part́ıcula. Não é simples a compreensão do conteúdo f́ısico da lei da inércia, pois nas nossas ex- periências cotidianas não lidamos com obje- tos que não estejam submetidos a alguma in- fluência externa. Podeŕıamos imaginar um lo- cal onde pudéssemos colocar um objeto e ele não sentisse nenhuma força externa, este local deveria ser o espaço vazio. Note que esta lei não é obedecida em qual- quer tipo de referencial. Por exemplo, uma part́ıcula que está em repouso para um ob- servador em um referencial, pode estar exe- cutando um movimento circular para um ob- servador em um referencial que está girando com relação ao primeiro. Somente em referen- ciais muito especiais será observada a situação expressa na primeira lei, isto é, o estado de repouso ou de movimento retiĺıneo uniforme para uma part́ıcula isolada. Os referenciais nos quais ela é obedecida são referenciais inerciais. Então, a primeira lei está praticamente defi- nindo referenciais inerciais, onde as proprieda- des do espaço e do tempo e as leis da mecânica são as mesmas. Observe que a força é usada como um conceito primitivo para poder enun- ciar a primeira lei, ou seja, ela não tem sig- nificado algum sem o conceito de força. Con- tudo, a primeira lei fornece somente o signifi- cado preciso para uma força nula. Em outras palavras, num referencial inercial, a ausência de força pode ser detectada observando se uma Prof. Salviano A. Leão 25 part́ıcula isolada permanece em repouso ou em movimento retiĺıneo uniforme. Em relação à força não nula, a primeira lei fornece apenas uma noção qualitativa a seu respeito. 2.3.2 Segunda Lei de Newton É a segunda lei de Newton que fornece um sig- nificado mais f́ısico do que vem a ser a força. A descoberta de Newton não foi de que a força é massa vezes aceleração, pois, isso é mera- mente definição operacional de uma força atu- ando numa part́ıcula. Newton sabia da ob- servação experimental que força, massa e ace- leração estavam intimamente relacionadas. De suas observações ele constatou que a aceleração adquirida por uma part́ıcula era inversamente proporcional à sua massa quando se aplica uma força de intensidade fixa. Por outro lado, se a massa fosse mantida fixa, a aceleração era di- retamente proporcional à intensidade da força aplicada. Assim, era mais simples associar a força à variação da quantidade de movimento. Se a segunda lei de Newton fosse meramente uma definição de força, ela seria desprovida de qualquer conteúdo f́ısico. A segunda lei de Newton pode ser expressa matematicamente pela eq. (2.10), onde F é a força aplicada. Se assumirmos que a massa inercial do corpo é constante, a segunda lei de Newton, pode ser expressa por ma = F, (2.11) onde a ≡ dv/dt ≡ v̇ é a aceleração do corpo. Em um dado sistema de eixos cartesianos (ortogonais), a segunda lei de Newton pode ser escrita em termos de suas componentes como Fx = mẍ, Fy = mÿ, Fz = mz̈. Na forma da eq. (2.11) a segunda lei de New- ton diz que uma força aplicada F causa uma aceleração a a qual é diretamente proporcional aquela força, e a constante de proporcionali- dade |F|/|a| é a massa inercial m do corpo. Todo o conceito de força foi submetido a lon- gos debates desde que ele foi enunciado por Newton. Deve-se salientar que: a segunda lei de Newton na forma das eqs. (2.10) e (2.11) não devem ser consideradas como uma definição para o conceito de força. Uma carac- teŕıstica essencial da segunda lei de Newton é que a força atuando sobre um corpo é fornecida por uma outra lei de força aparte de (2.10) ou (2.11). Como exemplo dessas leis de força te- mos, a lei gravitação universal para part́ıculas massivas, a lei de Coulomb para part́ıculas car- regadas, a lei de Hooke, etc. A equação (2.10) associada a essas leis de forças, torna a segunda lei de Newton uma ferramenta poderosa, ca- paz de descrever e prever o movimento de uma part́ıcula isolada sujeita a uma força resultante F, em relação a um referencial inercial. A equação diferencial de segunda ordem que resulta quando alguma lei de força é forne- cida para a segunda lei de Newton é chamada de equações de movimento para o corpo ou part́ıcula. Uma outra propriedade importante do con- ceito de força atuando sobre um objeto é que a força tem sua origem em um outro corpo ma- terial. Portanto, Newton introduziu o conceito de força mecânica como a causa da aceleração de um corpo. Esta descrição causal do movi- mento de um corpo constitue o que chamamos de dinâmica. Deve-se ressaltar aqui que, ao contrário do que muitos autores afirmam, a segunda lei de Newton não contém a primeira. A primeira lei é necessária para definir um referencial inercial, onde a segunda lei é válida. Ou seja, a segunda lei só vale num referencial inercial definido pela Prof. Salviano A. Leão 26 primeira lei. 2.3.3 Terceira Lei de Newton Esta lei é quase evidente quando consideramos as forças de contato em equiĺıbrio. O fato da lei da ação e reação se manter para a ação a distância é demonstrado por exemplo pela existência das marés: a Terra mantém a Lua em órbita com um campo gravitacional, mas a Lua atua sobre a terra com uma força a qual (entre outras coisas) é a causa do fenômeno das marés alta e baixa nos oceanos. Se a terceira Figura 2.1: Ilustração da terceira lei de New- ton. Sobre um bloco de madeira é fixado um ı́mã e um pedaço de ferro, e este conjunto é colocado sobre uma superf́ıcie de gelo (sem atrito). lei de Newton não fosse mantida, podeŕıamos construir sistemas que iriam perpetuar o au- mento de sua velocidade através da ação das forças internas. Newton testou a lei para uma configuração especial de objetos. Sobre um bloco de madeira é fixado um ı́mã e um pedaço de ferro, e este conjunto é colocado sobre uma superf́ıcie de gelo (sem atrito) conforme mos- tra a Fig. 2.1 acima. O ı́mã atua sobre o ferro com uma força direcionada para a esquerda, enquanto o ferro atua sobre o ı́mã com uma força direcionada para a direita. Como as duas forças são iguais em magnitude o sistema per- manece em repouso. Observe que a ação e a reação são sempre aplicadas a corpos diferentes. Um outro as- pecto importante da Terceira Lei de Newton é que ela não é uma lei de natureza geral. Ela é válida sempre que a força não depen- der da velocidade das part́ıculas, como no caso das forças gravitacional e eletrostática. Estas forças atuam ao longo da linha que une os cor- pos e por isso são chamadas forças centrais (na verdade, quando a velocidade é muito grande mesmo a força gravitacional depende da velo- cidade mas em geral este efeito é pequeno e dif́ıcil de ser detectado). Um caso em que a Terceira Lei de Newton não vale é o das forças entre cargas elétricas em movimento (forças magnéticas). Muitas vezes as forças elásticas entre obje- tos, como a força que uma mola exerce sobre um bloco, são manifestações macroscópicas da força eletrostática (são as forças eletrostáticas entre os átomos da mola que dão origem à força elástica). Por conseguinte, estas forças também obedecem à Terceira Lei de Newton. Como um exemplo de um situação onde a terceira lei de Newton não é válida, considere duas part́ıculas de cargas q1 e q2 se movendo com velocidades v1 e v2 respectivamente. Uma carga em movimento com uma velocidade v, gera um campo magnético B em um ponto r do espaço, de acordo com a expressão abaixo B(r) = 1 c2 v × E(r), onde E(r) é o campo elétrico que a carga gera no ponto r. Na figura 2.1 abaixo ilustramos esta situação. A força magnética F12 da carga q2 sobre a carga q1 é dada por, F12 = q1v1 ×B2(r) Prof. Salviano A. Leão 29 Mecânica Clássica. De acordo com o Prinćıpio da Relatividade de Galileu, a posição de um corpo e a sua velo- cidade só têm significado relativo a algum re- ferencial. Assim, dados dois corpos movendo- se com velocidade relativa constante, é im- posśıvel estabelecer qual dos dois está em re- pouso e qual está em movimento se não for especificado um referencial. A aceleração, no entanto, retém um significado ”absoluto”, pois é posśıvel detectar experimentalmente a ace- leração de um movimento, mesmo que não seja posśıvel medir a sua velocidade. Idealmente, pode-se definir que um referen- cial inercial é aquele em relação ao qual um corpo isolado permanece em repouso ou move- se com velocidade constante. Um corpo isolado está muito afastado de qualquer outro corpo, ou seja, sua interação com um outro corpo qualquer é despreźıvel. Os referenciais acelera- dos em relação a qualquer sistema inercial não são inerciais. Muitas vezes, depara-se com um referencial cuja aparência é o de inercial, mas uma análise mais cuidadosa revela que não o é na realidade. Pode-se citar, como exemplo, o referencial de um astronauta dentro de um satélite. Se o astronauta abandonar um ob- jeto qualquer no ”ar”, ele ficará em ”repouso” ou em ”movimento retiĺıneo uniforme”. Apa- rentemente tem-se um referencial inercial neste caso. Entretanto, após um exame minucioso, conclui-se que a força de atração gravitacio- nal da Terra sobre o referido objeto está sendo apenas compensada pela força centŕıfuga de- vido ao movimento ”circular” do satélite ao redor da Terra. Se fosse posśıvel observar num espaço de dimensão bem maior que o do compartimento do satélite, notar-se-ia que existe um desvio no movimento desse objeto em relação a uma reta. Portanto, não se trata de um referencial inercial. Numa situação real, corpo algum jamais poderá estar completa- mente isolado. Assim, será muito dif́ıcil en- contrar um referencial inercial ”verdadeiro”. Porém, para todos os fins práticos, pode-se adotar um sistema de três eixos com origem no centro de massa do sistema solar e orienta- dos para as estrelas ”fixas”, por exemplo, como sendo um referencial inercial. Mesmo um sis- tema fixo na superf́ıcie da Terra pode, em mui- tas circunstâncias, ser considerado inercial. A hipótese da existência de um referencial iner- cial é essencial na Mecânica Clássica. Todos os referenciais doravante adotados serão inerciais, exceto se o contrário for dito. 2.5 Transformações galile- anas: referenciais iner- ciais As leis de Newton não são válidas em todos os referenciais. Os referenciais em relação aos quais elas são válidas são chamados referenci- ais inerciais. Experimentos f́ısicos podem ser realizados em diferentes referenciais. Estes re- ferenciais podem estar se movimentando um em relação ao outro. A questão aqui é como re- lacionar as medidas realizadas em um referen- cial com o outro referencial. A transformação de Galileu fornece o meio de realizarmos está conversão de medidas de um referencial para o outro. Considere dois referenciais O e O′ com O′ movendo-se como uma velocidade V cons- tante em relação ao referencial O, o qual assu- miremos ser um referencial inercial. Na figura 2.4 abaixo ilustramos está situação. Suponha que a posição de uma part́ıcula em relação a um referencial inercial O seja dada por r. Como a Segunda Lei de Newton é válida Prof. Salviano A. Leão 30 Figura 2.4: Referencial O′ se movendo com uma velocidade V constante em relação ao re- ferencial inercial O. nesse referencial, então F = mr̈. (2.20) onde cada ponto indica uma derivada em relação ao tempo. Se um segundo referencial O′ se move em relação ao primeiro com velo- cidade constante, então a posição da part́ıcula neste referencial é dada por r′ = r−Vt; t = t′ (2.21) onde assumimos que o tempo flui da mesma forma nos dois referenciais. Esta trans- formação é chamada de transformação de Gali- leu. A última relação assegura que o tempo não é afetado pelo movimento relativo, ela expressa a universalidade do tempo absoluto, proposto por Newton. Diferenciando a equação acima com relação ao tempo obtemos ṙ′ = ṙ−V, (2.22) Portanto, se a velocidade ṙ de um corpo P no referencial O for constante, ela também o será no referencial O′, e o corpo obedecerá a lei da inércia. Diferenciando a velocidade (2.22) com relação ao tempo, obtemos que r̈′ = r̈. (2.23) a qual diz que a aceleração do corpo P não muda sobre uma transformação de Galileu, e podemos dizer que ela é galileanamente invari- ante. A massa inercial é invariante sobre uma transformação de Galileu (lei da inércia), dessa forma, podemos escrever F = mr̈ = mr̈′, (2.24) ou seja, a Segunda Lei de Newton também é válida em relação ao referencial O′, e ela é dita ser invariante sobre uma transformação de Ga- lileu. Se a força F é independente da veloci- dade, então a força F′ que atua sobre o corpo P no referencial O′ é a mesma força F no re- ferencial O. Finalmente temos F = mr̈ = mr̈′ = F′. Isto é, se a força for independente da velo- cidade, a segunda lei de Newton, será man- tida no referencial O′. Esta é a chamada in- variância galileana, também conhecida como prinćıpio newtoniano da relatividade. As com- ponentes individuais podem não ser invarian- tes, mas elas se transformam de acordo com este esquema e dizemos que elas são covarian- tes. Por exemplo, dois observadores que estão em movimento uniforme um em relação ao ou- tro observam as mesmas leis da mecânica. Por- tanto dizemos que existe um número infinito de referenciais inerciais, todos conectados por uma transformação de Galileu. Portanto, todos os referenciais que se movem em relação a um referencial inercial com velo- cidade constante também são referenciais iner- ciais. Uma vez que as distâncias entre as es- trelas são geralmente muito grandes, as forças que umas exercem sobre as outras são muito pequenas. A observação das estrelas mostra que elas obedecem a Lei da Inércia (Primeira Lei de Newton). Estas estrelas (chamadas na Prof. Salviano A. Leão 31 literatura de estrelas fixas) definem referenciais inerciais convenientes em muitas situações de interesse mas nenhuma delas é um referencial inercial absoluto; todos os referenciais que se movem com velocidade constante em relação a uma estrela fixa também são referenciais iner- ciais. A inexistência de um referencial inercial absoluto é chamada de invariância galileana ou prinćıpio da relatividade newtoniana. Em ambos na mecânica e na eletrodinâmica onde as velocidades dos corpos são com- paráveis a velocidade da luz, a transformação galileana deve ser trocada por uma trans- formação de Lorentz. As equações de Maxwell, as quais formam as bases da eletrodinâmica, não são invariantes sobre uma transformação de Galileu. Para mostrar isto, é suficiente considerar a conseqüência das equações de Maxwell: a constância da velocidade da luz em todos os referenciais inerciais. Por outro lado, uma transformação galileana prediz que a velocidade da luz deveria ser diferente em dois referenciais movendo-se com uma veloci- dade constante em um em relação ao outro. Os experimento realizados por Michelson-Morley e outros mostraram que a velocidade da luz é a mesma em todas as direções e é indepen- dente da velocidade relativa entre a fonte emis- sora de luz e o observador. Este fato está em conflito com a transformação galileana. Um grande número de tentativas foram feitas para resolver o conflito, entretanto, todas falharam. A solução final, veio somente com a Teoria Especial da Relatividade de Einstein (ou sim- plesmente Teoria da Relatividade) na qual a transformação galileana foi trocada pela trans- formação de Lorentz. A seguir mostramos uma ilustração de uma situação onde as Leis de Newton não são válidas. Uma bola de massa m está pendu- rada no teto de um ônibus que se movimenta para a direita com aceleração constante a. Um observador no ponto de ônibus (ref. inercial P) observa o movimento da bola. Ele não vê nenhum movimento na vertical, fato que ex- plica argumentando que a componente vertical da tensão compensa o peso da bola. Ele vê a bola acelerada na horizontal e diz que esta ace- leração é causada pela componente horizontal da tensão, em pleno acordo com a Segunda Lei de Newton. Ao contrário, para um observador O situado no interior do ônibus parece haver uma contradição. Ele também entende que há uma componente da tensão atuando na hori- zontal mas não vê a bola acelerada: para ele a bola está em repouso. Então ele conclui que a Segunda Lei de Newton não está sendo obe- decida. As Leis de Newton não são válidas no referencial O porque ele é um referencial acelerado e elas só são válidas para referenci- ais inerciais. Em um caṕıtulo posterior iremos apresentar um método que permite descrever o movimento visto de referenciais não inerciais. Figura 2.5: Referenciais inerciais: validade das leis de Newton. 2.6 Aplicações das leis de Newton Até este momento há alguns autores que in- terpretam a segunda lei de Newton de forma simplista e equivocada, o que gera uma con- Prof. Salviano A. Leão 34 Portanto, o módulo da força máxima é F = P tg (θ + α) . Exemplo 5 Qual a aceleração de um bloco que desliza para baixo em um plano inclinado sem atrito com um ângulo θ = 30◦ (Fig. 2.8 abaixo)? Figura 2.8: Bloco de massa m deslizando em um plano inclinado sem atrito. Solução: Existem duas forças atuando sobre o bloco: a força gravitacional, P, e a reação normal do plano sobre o bloco, N. A força total sobre o bloco é F = P + N de forma que a Segunda Lei de Newton pode ser escrita como P + N = mr̈ Como esta é uma equação vetorial, possui duas componentes escalares: uma para a direção x e outra para a direção y. Como o bloco é obri- gado a permanecer sobre o plano não há ace- leração na direção y, de forma que −P cos θ +N = 0 Na direção x temos P sen θ = mẍ o que nos leva a ẍ = P sen θ m = mg sen θ m = g sen θ Supondo g = 9, 8 m/s2 e θ = 30◦, temos ẍ = g sen 30◦ = 4, 9 m/s2 Exemplo 6 Se o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano do exemplo anterior for µs = 0, 4, qual o ângulo para o qual o bloco começa a deslizar? Suponha que ele esteja ini- cialmente em repouso. Figura 2.9: Bloco de massa m deslizando em um plano inclinado com atrito. Solução: Neste caso há uma terceira força atuando sobre o bloco: a força de atrito estática, fs. A força resultante é, portanto, F = P + N + fs As componentes da equação de movimento são: Direção y: − P cos θ +N = 0 Direção x: − fs + P sen θ = mẍ A força de atrito estática fs pode assumir qualquer valor fs ≤ µsN necessário para man- ter o bloco em repouso. Contudo, com o au- mento do ângulo θ do plano, haverá um ângulo θMax. limite em que o bloco começa a deslizar, e nesta situação a força de atrito estático atinge Prof. Salviano A. Leão 35 o seu valor máximo, assim neste ângulo limite temos fs(θ = θMax.) = fMax. = µsN = µsP cos θ e mẍ = 0. Desta forma, a equação de movimento na direção x torna-se mg sen θ − µsmg cos θ = 0 ou sen θ = µs cos θ ⇒ µs = tg θ ou ainda, θ = arctg(µs) Considerando µs = 0, 4 temos θ = 22◦ Exemplo 7 Depois que o bloco do exemplo anterior começa a deslizar o coeficiente de atrito cinético torna-se µk = 0, 3. Obtenha a aceleração do bloco para θ = 30◦. Solução: A equação de movimento na direção x é mẍ = P sen θ − fk onde, a força de atrito cinético é dada por fk = µkN = µkP cos θ Assim, mẍ = mg (sen θ − µk cos θ) ẍ = g (sen θ − µk cos θ) Substituindo g = 9, 8 m/s2, θ = 30◦ e µk = 0, 3, obtemos que ẍ = 2, 4 m/s2 Exemplo 8 A figura 2.10 abaixo mostra uma máquina de Atwood. Ela consiste de uma polia lisa com duas massas suspensas, presas nas ex- tremidades de uma corda leve. Obtenha a ace- leração de cada massa e a tensão na corda (a) quando a polia está em repouso e (b) quando a polia está dentro de um elevador que desce com aceleração constante α. Figura 2.10: Uma máquina de Atwood. Solução: (a) Se desprezarmos a massa da corda e supormos que a polia seja perfeita- mente lisa podemos dizer que os módulos de T1 e T2 são iguais: chamaremos estes módulos de T . As equações de movimento para os dois cor- pos são: { m1ẍ1 = m1g − T m2ẍ2 = m2g − T (2.31) A tensão na corda pode ser eliminada das equações acima. Por exemplo, subtraindo a primeira eq. de (2.31) da segunda, temos m1ẍ1 −m2ẍ2 = (m1 −m2) g (2.32) Se a corda for inextenśıvel, então ẍ1 = −ẍ2 (2.33) Prof. Salviano A. Leão 36 Assim podemos escrever ẍ1 = m1 −m2 m1 +m2 g = −ẍ2 (2.34) Observe que o corpo que possuir massa maior terá aceleração positiva (para baixo) enquanto o outro corpo terá aceleração negativa (para cima)! A tensão na corda pode ser calculada substi- tuindo (2.34) em qualquer uma das eqs. (2.31). A expressão obtida é T = 2m1m2 m1 +m2 g (2.35) Quanto ao ı́tem (b), podemos representar a situação na figura 2.11 abaixo, Figura 2.11: Uma máquina de Atwood, em um elevador. Vamos chamar de x′ a distância entre a polia e um ponto de referência fixo. As posições das massas em relação a este ponto são: x′′1 = x1 + x ′ x′′2 = x2 + x ′ (2.36) As equações de movimento são: m1ẍ ′′ 1 = m1 (ẍ1 + α) = m1g − T (2.37) m2ẍ ′′ 2 = m2 (ẍ2 + α) = m2g − T (2.38) onde, ẍ′ = α. Elas podem ser reescritas como { m1ẍ1 = m1 (g − α)− T m2ẍ2 = m2 (g − α)− T (2.39) As equações (2.39) são iguais as equações (2.31), com g substitúıdo por (g − α). Assim, a aceleração e a tensão na corda são dadas por ẍ1 = m1 −m2 m1 +m2 (g − α) = −ẍ2 (2.40) e T = 2m1m2 m1 +m2 (g − α) (2.41) É como se a aceleração da gravidade tivesse sido reduzida a (g − α)! Exemplo 9 Considere um trem constitúıdo por quatro vagões, cada um deles com uma massa M , conforme mostra a Fig. 2.12 abaixo. A locomotiva aplica um força ĺıquida F sobre os vagões. Determine a força em cada vagão. Figura 2.12: Vagões de um trem. Solução: Para resolvermos este problema, de- vemos isolar cada vagão e fazer um diagrama das forças que atuam sobre o mesmo. Va- mos examinar inicialmente o primeiro e o se- gundo vagão, onde as forças que atuam so- bre os mesmos estão mostrada na figura 2.12. Devido a terceira lei temos que F12 = −F21, Prof. Salviano A. Leão 39 Multiplicando-se as equações (2.46) por (2.47), encontra-se que, (g − ÿ) tg2 θ = ( M M +m ) ÿ (M +m)g tg2 θ = [ M + (M +m) tg2 θ ] ÿ ÿ = (M +m) tg2 θ M + (M +m) tg2 θ g Desta expressão para ÿ, juntamente com a equação (2.48), a aceleração ẍ pode ser escrita como ẍ = M tg θ M + (M +m) tg2 θ g (2.49) e como a aceleração Ẍ está relacionada com a ẍ por Ẍ = −(m/M)ẍ, então temos que Ẍ = − m tg θ M + (M +m) tg2 θ g (2.50) Ao analisar estás expressões, verifica-se que elas estão de acordo com os resultados espe- rados para θ = 0 e para θ = π/2. Para o caso em que θ = 0, esperá-se que todas as ace- lerações sejam nulas, o que é satisfeito já que temos a função tg θ no numerador e um deno- minador diferente de zero. Já para o caso de θ = π/2, esperá-se que ÿ = g, pois o objeto cairá em queda livre, e que Ẍ = ẍ = 0. En- tretanto, como tg (π/2) é infinita, tem-se uma indeterminação tanto no numerador quanto no denominador. Esta indeterminação pode ser removida dividindo tanto o numerado quanto o denominador por tg2 θ no caso de ÿ e por tg θ no caso de Ẍ e ẍ, o que nos fornece o resultado esperado para este limite. 2.7 Integração das equações de movi- mento Nesta seção, estudaremos o movimento de uma part́ıcula de massa m, sob a ação de uma força F. O movimento da part́ıcula é gover- nado, de acordo com a segunda lei de Newton, pela equação F = d dt (mv) = m dv dt = mr̈ (2.51) Antes de considerar a solução da eq. (2.51), recordaremos as definições de alguns concei- tos bastante úteis que surgem no contexto da Mecânica, na discussão de alguns problemas. O momentum linear definido por p = mv, apa- rece na eq. (2.10), usando o fato de m ser constante na eq. (2.10), obtém-se o seguinte resultado: F = dp dt = m dv dt (2.52) Esta equação estabelece que a taxa de variação do momentum linear com o tempo é igual à força aplicada, o que, evidentemente, é a se- gunda lei de Newton. Este teorema pode ser chamado Teorema de Momentum Linear (di- ferencial). Multiplicando-se a eq. (2.52) por dt e integrando-se de t1 a t2, obtém-se a forma integral do Teorema de Momentum Linear : ∆p = p2 − p1 = ∫ t2 t1 Fdt. (2.53) A eq. (2.53) fornece a variação do momentum linear devido à ação da força F entre os tem- pos t1 a t2. A integral da direita é chamada impulso, que é fornecido pela força F durante este tempo; F deve ser conhecida como função de t somente para que se possa calcular a inte- gral. Se F for dada como F (r,v, t), então o im- pulso pode ser calculado para qualquer movi- mento r(t), v(t) particular. Outra grandeza de considerável importância é a energia cinética, definida (em Mecânica Clássica) pela equação T = 1 2 mv2. (2.54) Tomando o produto escalar da eq. (2.52) por v, obtém-se mv · dv dt = F · v (2.55) Prof. Salviano A. Leão 40 ou então: d dt ( 1 2 mv2 ) = dT dt = F · v. (2.56) A eq. (2.56) fornece a taxa de variação da ener- gia cinética, podendo ser chamada Teorema Trabalho Energia (diferencial). Multiplicando- se por dt e integrando de t1 a t2, obtém- se a forma integral do Teorema Trabalho Energia. ∆T = T2 − T1 = ∫ t2 t1 F · vdt. (2.57) A eq. (2.57) fornece a variação de energia de- vido à ação da força F entre os tempos t1 a t2. A integral à direita denomina-se trabalho, que é executado pela força durante este intervalo de tempo. O integrando F ·v à direita é a taxa de execução de trabalho com o tempo, chamada potência, e é fornecida pela força F. Em geral, quando F é conhecida como F (r,v, t), o traba- lho pode ser calculado somente para um movi- mento particular r(t), v(t) especificado. Como v = dr/dt (observe que dr = vdt), pode-se reescrever a integral do trabalho de forma con- veniente, quando F é conhecida em função de r: ∆T = T2 − T1 = ∫ t2 t1 F · dr. (2.58) 2.7.1 Análise do movimento uni- dimensional Quando se conhece a força F, a equação de movimento (2.51) torna-se uma equação dife- rencial ordinária, de segunda ordem, para a função desconhecidas r. A força F pode ser conhecida como função de qualquer uma ou de todas as variáveis t, r e v. Em relação a um dado movimento de um sistema dinâmico, todas as variáveis dinâmicas (r, v, F, p, T , etc.) associadas ao sistema são, evidente- mente, funções do tempo t, isto é, cada uma tem um valor definido para cada instante de tempo em particular. Em muitos casos, en- tretanto, uma variável dinâmica, tal como a força, pode guardar uma certa relação funcio- nal com r, com v, ou com qualquer combinação de r, v e t. Como exemplo, a força gravitaci- onal que age sobre um corpo em queda livre, de uma grande altura acima da Terra, é conhe- cida como função da altura acima da Terra. A força de atrito de arrastamento que atua so- bre um corpo depende de sua velocidade e da densidade do ar, bem como da altura em que se encontra acima da Terra; se as condições atmosféricas mudarem, ela poderá depender ainda de t. Sendo F conhecida como F (r,v, t), então, quando r(t) e v(t) também são conheci- das, estas funções podem ser substitúıdas para que F seja uma função apenas de t, embora, em geral, isto não possa ser realizado até que se re- solva a eq. (2.51). Mesmo assim, a função F(t) pode ser diferente para diferentes movimentos posśıveis da part́ıcula. Em geral, quando F é dada como F (r,v, t) (onde F pode depender de qualquer uma ou de todas essas variáveis), a eq (2.51) torna-se uma equação diferencial definida, que deve ser resolvida: d2r dt2 = 1 m F (r,v, t) (2.59) Esta é a forma mais geral de equação di- ferencial ordinária de segunda ordem, e de agora em diante nos dedicaremos ao estudo de suas soluções e aplicações em problemas de Mecânica. Devemos salientar, que por ser uma equação diferencial de segunda ordem ela terá duas constantes de integração, as quais serão dadas pelas condições iniciais. A eq. (2.59) é aplicável a todos os proble- mas de uma part́ıcula submetida à ação de uma força conhecida. Em geral, existem mui- tos movimentos posśıveis, pois a eq. (2.59) fornece somente a aceleração da part́ıcula, em cada instante, em termos de sua posição e de Prof. Salviano A. Leão 41 sua velocidade naquele instante. Conhecida a posição e a velocidade de uma part́ıcula em certo instante, pode-se determinar sua posição após (ou anteriormente a) um pequeno inter- valo de tempo. Conhecida a aceleração, pode- se determinar sua velocidade após um pequeno intervalo de tempo. A eq. (2.59), então, for- nece a aceleração após esse pequeno intervalo. Desta maneira, é posśıvel seguir as posições e velocidades anteriores como as subseqüentes de uma part́ıcula, caso sua posição r0 e velocidade v0 sejam conhecidas em um instante qualquer t0. O instante inicial t0, embora possa ser um instante qualquer da história da part́ıcula; os valores r0 e v0 em no instante t0 denominam- se condições iniciais. Ao invés de especificar os valores iniciais de r e v, especifica-se o va- lor de quaisquer outras duas grandezas a partir das quais r e v podem ser obtidas; por exem- plo, é posśıvel especificar r0 e o momentum li- near inicial p0 = mv0. Estas condições iniciais, juntamente com a eq. (2.59), representam um problema perfeitamente definido, cuja solução deve ser uma única função r(t) representando o movimento de uma part́ıcula sobre condições especificadas. A teoria matemática das equações diferen- ciais ordinárias de segunda ordem leva a re- sultados que estão de acordo com o que se espera da natureza do problema de F́ısica que deu origem à equação. A teoria asse- gura que, ordinariamente, a solução de uma equação da forma (2.59) é cont́ınua e única, r(t), que assume os valores r0 e v0 de r(t) e ṙ(t), em qualquer valor escolhido t0 de t. Or- dinariamente, aqui, quer dizer até que ponto aqueles que começam a estudar Mecânica de- vem preocupar-se, em todos os casos de inte- resse. As propriedades das equações diferen- ciais, como a (2.59), podem ser estudadas na maioria dos tratados sobre o assunto. Sabe- se que qualquer problema de F́ısica deve ter sempre uma solução única e, portanto, qual- quer força F(r, ṙ, t) que apareça deverá satis- fazer necessariamente à condição imposta para aqueles valores de r, ṙ e t que tenham interesse f́ısico. Logo, em geral não é preciso saber se a solução existe ou não. No entanto, a maioria dos problemas de Mecânica envolve algumas simplificações da situação real, o que leva o aluno a simplificar demais ou mesmo a distor- cer o problema f́ısico de tal maneira que impede o problema matemático resultante de ter ape- nas uma solução. Em geral, os f́ısicos, ao trata- rem de Mecânica ou de outros ramos, tendem a ignorar as questões de rigor matemático. Na- queles casos, raros afortunadamente, em que encontram dificuldades, eles usam a intuição ou verificam a falta de rigor, até descobrirem a solução. Tal procedimento é capaz de cau- sar tremores nos matemáticos, mas é a ma- neira mais conveniente e rápida de aplicar a Matemática à solução de problemas de F́ısica. Os f́ısicos, embora procedendo de maneira não rigorosa, devem estar a par do rigor com que os matemáticos aplicam esses métodos. O teorema que gerou a eq. (2.59) garante que existe uma solução matemática única para todos os casos que aparecerão na prática. Em alguns deles, a solução exata pode ser obtida através de métodos elementares. A maioria dos problemas considerados aqui são desta natu- reza. Afortunadamente, muitos dos mais im- portantes problemas de Mecânica podem ser resolvidos sem dificuldade, por meios f́ısicos. Na realidade, uma das razões por que certos problemas são considerados importantes é sua fácil resolução. Os f́ısicos estão preocupados em descobrir e verificar as leis da F́ısica. Ao ve- rificá-las experimentalmente, eles podem, mui- tas vezes, escolher os casos em que a elaboração da análise matemática não é muito dif́ıcil. Já Prof. Salviano A. Leão 44 Portanto, a equação de movimento do elétron é m dv dt = −eE0 sen (ωt+ δ) (2.72) a qual a ser integrada fornece v(t) = −eE0 mω cos (δ)+ eE0 mω cos (ωt+ δ) (2.73) Multiplicado da equação acima por dt e inte- grando do instante t = 0 ao instante t, obtemos que x(t) =− eE0 mω2 sen (δ)− eE0 mω t cos (δ) (2.74) + eE0 mω2 sen (ωt+ δ) Os dois primeiros termos indicam que o elétron está a deriva, movimentando-se com uma velocidade uniforme e que esta veloci- dade é uma função que depende somente das condições iniciais. Já o último termo, indica que temos um movimento oscilatório super- posto ao movimento de deriva do elétron. A freqüência de oscilação ω do elétron é inde- pendente das condições iniciais e é a mesma freqüência de oscilação do campo elétrico da onda de rádio incidente. A seguir investi- garemos como tais oscilações coerentes dos elétrons livres podem modificar a propagação caracteŕıstica das ondas eletromagnéticas inci- dentes. A parte oscilante do deslocamento x do elétron faz surgir um momento de dipolo elétrico p dado por p = − e 2 mω2 E(t) (2.75) Cada elétron do gás irá experimentar um campo elétrico E externamente aplicado e um campo interno causado pelos momentos de di- polo induzidos dos outros elétrons. Mas desde que a densidade N de elétrons na ionosfera é muito baixa, a segunda contribuição pode ne- gligenciada, e a polarização macroscópica P é dada por: P = Np = −Ne 2 mω2 E(t) (2.76) O ı́ndice de refração n do gás de elétrons nos dirá o que ocorrerá com as ondas de rádio viajando através da ionosfera. O ı́ndice de re- fração n de um meio é n = c v (2.77) onde c e v são a velocidade da luz no vácuo e no meio respectivamente, e elas ainda podem ser expressas como c = 1√ ²0µ0 e v = 1√ ²µ (2.78) onde ²0 e ² são as permissividades elétricas do vácuo e do meio respectivamente enquanto µ0 e µ são as permeabilidades magnéticas do vácuo e do meio respectivamente, e µ0/µ ≈ 1. Por- tanto, podemos escrever n = c v = √ ²µ ²0µ0 ≈ √ ² ²0 = √ k, (2.79) onde a constante k é chamada de permissi- vidade relativa e está relacionada ao campo elétrico E e a polarização P, e ao vetor deslo- camento elétrico D pela relação D = ²0E + P = ²E = k²0E, (2.80) a partir da qual temos k = 1 + 1 ²0 ( P E ) (2.81) a qual usando a eq. (2.76) pode ser reescrita como k = 1− (ωp ω )2 (2.82) onde ωp é a freqüência de plasma definida como ωp = √ Ne2 m²0 (2.83) Prof. Salviano A. Leão 45 Figura 2.16: Refração e reflexão de ondas de rádio pela ionosfera. Portanto, o ı́ndice de refração pode ser escrito como n = √ 1− (ωp ω )2 (2.84) Dá expressão acima vemos que se ω = ωp, k e n tornam-se zeros. Quando ω é menor do que ωp, k é negativa e o ı́ndice de refração n torna-se imaginário puro. Agora estamos prontos para discutir o que irá ocorrer as ondas de rádio viajando pela ionosfera: 1. Para n real e 0 < n < 1, ou equivalen- temente ω > ωp. De acordo com a lei de Snell n1 sen θi = n2 sen θr uma onda de rádio deverá ter sua trajetória refra- tada da normal quando ela atinge a ionos- fera. O ângulo de refração θr torna-se 90 ◦ quando sen θi = n (2.85) Para ângulos de incidência θi maiores do que este a onda é totalmente refletida. De fato, as bordas da ionosfera não é abrupta, mas a reflexão deverá ocorrer para todos os ângulos de incidência dados por sen θi ≥ nmin. (2.86) onde nmin. é o ı́ndice de refração mı́nimo da ionosfera, ocorrendo na altura em que a densidade de elétrons é máxima. Este efeito é ilustrado pela Fig. 2.16. Da Fig. 2.16(a) pode-se ver que as ondas com maiores freqüência, o ı́ndice de re- fração n da ionosfera é aproximadamente da ordem da unidade, e as ondas são re- fratadas suavemente a partir da normal. Pode-se ver ainda da Fig. 2.16(b) que em baixas freqüências n é menor e as ondas são refratadas de volta para a superf́ıcie da Terra. Já a Fig. 2.16(c) mostra que ainda em baixas freqüências, n é menor do que sen θi no fundo da ionosfera, e as ondas são totalmente refletidas. 2. Se n for imaginário (ω ≤ ωp), não haverá um fluxo ĺıquido de energia e não há ab- sorção de energia pela ionosfera. Devido a estes fenômenos podemos concluir que a onda é completamente refletida pela ionos- fera, para qualquer ângulo de incidência. Exemplo 12 Um cabo de guerra é mantido entre dois times, A e B de 10 pessoas cada. A massa média de cada pessoa é de 70 kg e cada uma pode inicialmente, puxar com uma força F0 = 800 N, entretanto, quando as pes- soas ficam cansadas, a força que elas puxam decresce com o tempo de acordo com a relação F (t) = F0e −t/τ , (2.87) na qual τ é o tempo médio de cansaço. Para o time A, τA = 20 s enquanto para o time B τB = 10 s. Descreva o movimento do sistema, isto é, calcule x(t) e v(t). Solução: A força aplicada em cada time em função do tempo é dada por: FA(t) = nAF0e −t/τA FB(t) = nBF0e −t/τB , Prof. Salviano A. Leão 46 com nA = nB = 10. A força resultante sobre o centro de massa é dada por: (nA + nB)m dV dt = F0(nAe −t/τA − nBe−t/τB). (2.88) Definindo, α = nA nA + nB F0 m = nB nA + nB F0 m = F0 2m , (2.89) temos então que, dV dt = α(e−t/τA − e−t/τB) (2.90) ∫ V 0 dV = ∫ t 0 α(e−t ′/τA − e−t′/τB)dt′ V (t) = α [ τA ( 1− e−t/τA)− τB ( 1− e−t/τB)] . Como, X(t) = X0 + ∫ t 0 V (t′)dt′ X(t) = X0 + α (τA − τB) t+ ατ 2A ( e−t/τA − 1)− ατ 2B ( e−t/τB − 1) . Apesar de ser um bom modelo, entretanto, devemos ponderar que uma pessoa não conse- gue manter uma mesma força quando em mo- vimento. Exemplo 13 Um bloco de massa m está inici- almente em repouso sobre uma superf́ıcie sem atrito. No instante t = 0, passa atuar sobre ele a força F (t) = F0e −λt, na qual λ é uma constante tal que: λ > 0 e λ¿ 1. Calcule x(t) e v(t). Solução: Aplicando a segunda lei de Newton ao bloco, obtém-se que m dv dt = F0e −λt assim ∫ v 0 dv = ∫ t 0 F0 m e−λt ′ dt′ v(t) = − F0 mλ ( e−λt − 1) . Como, x(t) = x0 + ∫ t 0 v(t′)dt′ x(t) = x0 + F0 mλ2 ∣∣∣∣ t 0 + F0 mλ t x(t) = x0 + F0 mλ t+ F0 mλ2 ( e−λt − 1) . No ińıcio do movimento, ou seja, para inter- valos pequenos, t¿ 1, a expansão em série de Taylor da exponencial é e−λt = 1−tλ+ 1 2 t2λ2+ O (t3), considerando somente o termo até pri- meira ordem para a velocidade, então a veloci- dade e a posição podem ser escritas como: v(t) ' F0 m t (2.91) x(t) = x0 + F0 2m t2. (2.92) 2.7.4 Forças dependentes da ve- locidade: Forças de retar- damento Em nosso cotidiano, freqüentemente encontra- mos forças que são dependentes da velocidade. Exemplo de tais forças são as forças de re- sistência ao movimento que surgem nos flui- dos, como por exemplo, a força de resistência do ar atuando sobre um objeto em queda é uma função da velocidade do objeto. Estas forças geralmente possuem uma dependência complicada com a velocidade, pois as mesmas Prof. Salviano A. Leão 49 derivada da posição. Observe que no regime inicial, o sistema se comporta com se a força fosse praticamente constante e igual a Fr = −mkv0, e o barco se moveria com uma ace- leração a0 = −kv0. Exemplo 15 Considere uma part́ıcula em queda em um meio onde a força de resistência é proporcional à velocidade. Obtenha a posição e a velocidade da part́ıcula como funções do tempo. Solução: Vamos supor que no instante inicial a part́ıcula encontre-se a uma altura h acima do solo e que sua velocidade inicial seja v0. Va- mos orientar o eixo y na vertical com sentido positivo para cima, como na figura 2.17 abaixo. Figura 2.17: Uma part́ıcula sob a ação da força peso e a resistência do ar. Existem duas forças atuando sobre a part́ıcula: a força peso e a resistência do meio. A equação de movimento pode ser escrita como m dv dt = −mg − kmv O sinal negativo (−) no primeiro termo indica que a força peso aponta para baixo. Por sua vez o sinal negativo (−) no segundo termo in- dica que a força de resistência é contrária à velocidade. As dependências em v e em t da equação acima podem ser separadas se escrevermos dv kv + g = −dt Integrando, obtemos que 1 k ln (kv + g) = −t+ C1 Supondo v(t = 0) = v0 (que pode ser positivo ou negativo), temos C1 = 1 k ln (kv0 + g) Assim, ln ( kv + g kv0 + g ) = −kt v + g/k v0 + g/k = e−kt v(t) = −g k + ( v0 + g k ) e−kt = dy dt (2.98) Integrando a expressão acima, obtemos y = −g k t− 1 k ( v0 + g k ) e−kt + C2 Como, y(t = 0) = h, então, C2 = h+ 1 k ( v0 + g k ) . Assim, y(t) = h− g k t+ 1 k ( v0 + g k ) ( 1− e−kt) (2.99) A eq. (2.98), observamos que para tempos muito longos a velocidade tende a um valor li- mite que chamaremos de vt, e este valor é dado por vt = lim t→∞ v(t) = lim t→∞ [ −g k + ( v0 + g k ) e−kt ] =− g k . Este valor limite da velocidade é chamado ve- locidade terminal dos corpos em queda. A Prof. Salviano A. Leão 50 Figura 2.18: Gráfico de v × t, para vários va- lores da constante k. velocidade terminal de um corpo é definida neste caso como a velocidade do corpo quando a força de resistência é igual ao peso do corpo, pois deste modo, a força ĺıquida que atua sobre o corpo é nula, isto é, −mg −mkvt = 0 ⇒ vt = −g k . De forma geral, a velocidade terminal de um corpo movendo-se em um meio resistivo, cuja a força de resistência é proporcional a velo- cidade, pode ser definida como sendo a veloci- dade atingida pelo corpo na qual a força ĺıquida que atua sobre o corpo é nula. Tendo em vista esta definição, deve-se ressaltar, que na des- crição do movimento de corpos cujas únicas forças sejam a da gravidade e a força de re- sistência do ar, só terá sentido falarmos em ve- locidade terminal no movimento descendente, pois somente neste caso, a força da gravidade é oposta a força de resistência do ar. Como um exemplo a velocidade terminal das gotas de chuva variam tipicamente entre 3 ≤ vt ≤ 7 m/s. Diferentes corpos, iniciando o seu movimento com velocidades diferentes irão aproximar da velocidade terminal em diferen- tes instantes. Existem três diferentes possibili- dades para a velocidade inicial |v0| =    0 |v0| < |vt| |v0| > |vt| A figura 2.18 acima mostra os gráficos do módulo da velocidade em função do tempo para o caso em que a velocidade inicial é negativa (para baixo). Se a velocidade inicial é maior que a velocidade terminal (em módulo), v vai diminuindo até atingir o valor limite g/k. Se a velocidade inicial é menor que a velocidade terminal (em módulo), v vai aumentando até o valor limite g/k. Ao analisarmos a constante k, veremos que ela tem dimensão de freqüência, assim pode- mos definir um tempo τ caracteŕıstico do sis- tema como, τ = 1 k . Desta forma as equações de movimento podem ser reescritas como, y(t) = h+ vtt+ τ (v0 − vt) ( 1− e−t/τ) v(t) = vt + (v0 − vt) e−t/τ No caso especial em que v0 = 0, temos que, v(t) = vt ( 1− e−t/τ) e neste caso quando t = τ , temos que: v(τ) = 0.63vt. Este é o tempo caracteŕıstico para que a part́ıcula atinja 63% de sua velocidade termi- nal. Exemplo 16 A figura 2.19 abaixo mostra uma bala de canhão que é atirada com uma ve- locidade inicial v0 em uma direção que forma um ângulo θ acima da horizontal. Calcule a posição e a velocidade como funções do tempo e o alcance do projétil. Numa primeira apro- ximação despreze a resistência do ar. Solução: A equação de movimento (vetorial) é dada por mr̈ = mg Prof. Salviano A. Leão 51 Figura 2.19: Um canhão, atirando uma bala no plano. Como a força peso só tem componente na ver- tical (para baixo), temos: { Direção x: mẍ = 0 Direção y: mÿ = −mg (2.100) As condições iniciais são: { x(t = 0) = 0 ẋ(t = 0) = v0 cos θ y(t = 0) = 0 ẏ(t = 0) = v0 sen θ (2.101) Integrando duas vezes as equações (2.100), usando as condições iniciais (2.101), obtemos: { x(t) = v0 cos θ t ẋ(t) = v0 cos θ    y(t) = v0 sen θ t− 1 2 gt2 ẏ(t) = v0 sen θ − gt o módulo da velocidade da part́ıcula é dado por: v = √ ẋ2 + ẏ2 = √ v20 + g 2t2 − 2v0gt sen(θ) Por sua vez o módulo do deslocamento é r = √ x2 + y2 = √ v20t 2 + 1 4 g2t2 − v0gt3 sen(θ) O alcance é o valor de x quando a bala cai no chão, ou seja, o valor de x quando y = 0. Se T for o tempo de vôo do projétil, então y(T ) = v0 sen θ T − 1 2 gT 2 = 0 T = 2v0 sen θ g O alcance R é dado por R = x(T ) = v0 cos θ T = v0 cos θ · 2v0 sen θ g = v20 g sen(2θ) Exemplo 17 Calcule o alcance do projétil do exemplo anterior sob a suposição de que uma força de resistência do ar proporcional à velo- cidade atua sobre ele. Solução: As condições iniciais são as mes- mas do exemplo 16 mas as equações de movi- mento tornam-se { Direção x: mẍ = −mkẋ Direção y: mÿ = −mkẏ −mg (2.102) As eqs. (2.102) são as mesmas equações que aparecem no exemplo 14 mas a componente ho- rizontal da velocidade inicial é v0 cos θ e não v0. Assim x = v0 cos θ k ( 1− e−kt) (2.103) Por sua vez, a segunda equação em (2.102) é a mesma equação que aparece no exemplo 15. Fazendo h = 0 e trocando v0 por v0 sen θ em (2.99) temos y(t) = −g k t+ 1 k ( v0 sen θ + g k ) ( 1− e−kt) O tempo de vôo pode ser obtido da relação y(T ) = 0 −g k T + 1 k ( v0 sen θ + g k ) ( 1− e−kT ) = 0 ou seja, T = kv0 sen θ + g kg ( 1− e−kT ) (2.104) Prof. Salviano A. Leão 54 gração deste problema? Quais são os seus sig- nificados? Qual o significado de α? 2.8 Teoremas de con- servação Nesta seção, após uma minuciosa análise da aplicação dos conceitos da mecânica newtoni- ana a uma única part́ıcula, obtém-se a dedução de alguns teoremas importantes sobre quanti- dades f́ısicas que se conservam. Deve-se res- saltar que não será provada a conservação das várias quantidades f́ısicas. Estes teoremas de conservação são deduzidos como meras conseqüências das leis de Newton da dinâmica, e neste sentido estes não são ca- racterizados como novas leis da mecânica. Por- tanto, o resultado do confronto destas quanti- dades f́ısicas que se conservam com os expe- rimentos, e a sua verificação, fornecerá uma validação das leis de Newton. 2.8.1 Conservação do momen- tum linear. Da Segunda Lei de Newton F = dp dt (2.127) Quando a força é zero, temos dp dt = 0 =⇒ p = cte. (2.128) Podemos dizer então que quando a força to- tal que atua sobre uma part́ıcula é zero, o seu momentum linear é conservado. Se o vetor F não for zero, mas se F · S = 0 (2.129) onde S é um vetor constante, então ṗ · S = 0 (2.130) Integrando (lembrando que S é constante) te- mos p · S = cte. (2.131) Se a componente da força ao longo de uma dada direção S for nula, então a componente do momentum ao longo desta direção é conser- vada (S pode ser, por exemplo, î, ĵ ou k̂). 2.8.2 Conservação do momen- tum angular O momentum angular L de uma part́ıcula em relação à origem de um sistema de coordenadas é definido como L ≡ r× p (2.132) Por sua vez, o torque N ou momento da força, sobre a part́ıcula, em relação ao mesmo sistema de referência, é definido como N ≡ r× F (2.133) onde r é o vetor posição, que vai da origem ao ponto onde a força F é aplicada. Desde que F = mv̇ para a part́ıcula, então o torque pode ser escrito como N = r×mv̇ = r× ṗ (2.134) Agora, derivando L em relação ao tempo, te- mos L̇ = d dt (r× p) = (ṙ× p) + (r× ṗ) (2.135) Mas ṙ× p = ṙ×mv = m (ṙ× ṙ) ≡ 0 (2.136) Então L̇ = (r× ṗ) = r× F = N (2.137) Se nenhum torque atua em uma part́ıcula, (isto é, se N = 0), então L̇ = 0 e L é um vetor constante no tempo, ou seja, L̇ = N = 0 =⇒ L = cte. (2.138) Prof. Salviano A. Leão 55 Se o torque total que atua sobre uma part́ıcula for nulo, então seu momentum angular é con- servado. Exemplo 19 Um rato de massa m pula so- bre a extremidade de um ventilador de teto, de momento de inércia I e raio R, que gira li- vremente com velocidade angular ω0. Qual a velocidade angular final do ventilador? Figura 2.21: Rato sobre um ventilador girando com uma velocidade angular ω0. Solução: A força gravitacional que a Terra exerce sobre o rato provoca um torque sobre o sistema ventilador + rato (em relação ao cen- tro do ventilador) mas este torque não possui componente vertical. Desta forma, a compo- nente vertical do momentum angular do sis- tema deve ser conservada. Antes do rato pular, temos L0 = Iω0 (2.139) Depois do rato pular L = ( I +mR2 ) ω (2.140) onde mR2 é o momento de inércia do rato, (considerado pontual) em relação ao eixo do ventilador. Pela conservação do momentum angular L = L0 =⇒ ( I +mR2 ) ω = Iω0 (2.141) ω = Iω0 I +mR2 (2.142) 2.8.3 Conservação da energia Trabalho de Uma Força Constante O trabalho WA→B realizado pela força cons- tante F atuando sobre uma bloco de massa m, quando o mesmo é deslocado do ponto A ao ponto B sobre uma trajetória retiĺınea, cujo vetor deslocamento é d é WA→B = F · d = Fd cos θ. (2.143) Observe que se não houver deslocamento não haverá trabalho realizado. Figura 2.22: Deslocamento de uma part́ıcula de massa m, submetida a ação de uma força constante F. Agora a questão que devemos levantar é e se a força não for constante durante o seu deslo- camento, como ocorre por exemplo com a força exercida sobre um bloco por uma mola. Trabalho de Uma Força Variável Consideremos uma part́ıcula que se move de um ponto P1 a um ponto P2 sobre um arco de curva C qualquer, orientado no sentido de P1 para P2, sob a ação de uma força F que pode variar em magnitude, direção e sentido de ponto a ponto da curva C (ver figura 2.22 abaixo). Agora iremos decompor a curva C em uma sucessão de deslocamentos infinitesimais ∆~̀i, aproximando o arco de curva C por uma li- nha poligonal inscrita cujo o número de lados aumenta indefinidamente. Se os extremos Pi e Prof. Salviano A. Leão 56 Figura 2.23: Trajetória de uma part́ıcula de massa m, submetida a ação de uma força variável. Pi+1 do i-ésimo arco parcial em que C fica sub- dividido forem suficientemente próximos entre- si, F ≈ Fi (constante) sobre este arco, e po- demos aproximá-los pela corda −−−−→ PiPi+1 = ∆~̀i, de modo que podemos definir o trabalho reali- zado sobre uma part́ıcula pela força Fi quando a part́ıcula se move de Pi para Pi+1 por WPi→Pi+1 ≈ F ·∆~̀i (2.144) e o trabalho total de P1 a P2 ao longo de C é obtido somando sobre todos os segmentos da poligonal e fazendo ∆~̀i → 0: W (C) Pi→Pi+1 = lim|∆~̀i|→0 ∑ i Fi ·∆~̀i = ∫ P2 P1 (C) Fi · d~̀i (2.145) O limite na eq. (2.145) define a integral de linha de F · d~̀ de P1 até P2 ao longo da curva C. O deslocamento infinitesimal d~̀ ao longo de C tem por componentes os deslocamentos in- finitesimais correspondentes (projeções) sobre os eixos: dr = d~̀= dx̂ı+ dy̂+ dzk̂, (2.146) conseqüentemente, F · d~̀= Fxdx+ Fydy + Fzdz, (2.147) assim a integral curviĺınea (2.145) se reduz a soma de três integrais ao longo dos eixos: ∫ P2 P1 (C) F · d~̀= ∫ P2 P1 (C) Fxdx+ ∫ P2 P1 (C) Fydy + ∫ P2 P1 (C) Fzdz (2.148) Na primeira dessas integrais, y e z são funções de x definidas pela condição de que o ponto P (x, y, z) pertence a curva C; analogamente, na segunda, x e z podem ser considerados como funções de y, e na terceira x e y são funções de z. Desta forma podemos definir o trabalho re- alizado por uma força F sobre uma part́ıcula que se desloca da posição P1 para a posição P2 ao longo da trajetória C como: W (C) 1→2 ≡ ∫ P2 P1 (C) F · dr = ∫ P2 P1 (C) Fxdx+ ∫ P2 P1 (C) Fydy+ ∫ P2 P1 (C) Fzdz (2.149) Observe que o caminho da integração não é dado pelo deslocamento infinitesimal d~̀, o qual é sempre dado por um deslocamento in- finitesimal positivo no sistema de coordenadas utilizado. O sentido do deslocamento é dado pelos limites de integração. Portanto, de agora em diante usaremos a notação dr em vez de d~̀ para o deslocamento infinitesimal. Exemplo 20 Considere um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k, cuja força obedece a lei de Hooke, ou seja, F = −kx̂i. Determine o trabalho realizado pela mola, ao deslocarmos o bloco do ponto xA para o ponto xB. Solução: O trabalho realizado pela força é dado por, WA→B = ∫ B A F · dr. Prof. Salviano A. Leão 59 Os resultados anteriores mostram que W (a) P→Q = W (b) P→O +W (c) O→Q. (2.158) Portanto, da forma que os resultados foram obtidos podemos concluir que o trabalho re- alizado pela força peso para ir de um ponto a outro do espaço independe da trajetória esco- lhida, mas somente do ponto inicial e do ponto final. Então surge a questão: Será que existe uma classe de forças cujo trabalho realizado pelas mesmas para ir de um ponto a outro do espaço irá independer da trajetória? Se existe então que caracteŕısticas devem ter estas forças? De fato, em muitas situações f́ısicas a força tem a propriedade de que o trabalho realizado por ela sobre a part́ıcula só depende dos pontos inicial e final, e não da trajetória. Chamaremos de forças conservativas as forças cujo trabalho independem da trajetória. Agora iremos exa- minar as propriedades desta classe de forças. Por exemplo, na figura 2.27 abaixo se a força for conservativa o trabalho realizado por ela ao deslocarmos a part́ıcula do ponto P ao ponto Q será o mesmo, independente se a trajetória percorrida pela part́ıcula foi a trajetória (a), (b) ou (c). Suponha que a part́ıcula vá de P a Q pelo caminho (a) e volte pelo caminho (b). Assim W (fechado) P→Q Q→P = W (a) P→Q +W (b) Q→P = W (a) P→Q −W (b)P→Q (2.159) Se o trabalho realizado pela força for indepen- dente do caminho, então W (a) P→Q = W (b) P→Q, logo W (fec) P→Q Q→P = 0. Assim podemos dizer que se o trabalho não depende do caminho, ou seja, o trabalho rea- lizado por uma força for conservativa em um percurso fechado é nulo. Este resultado pode Figura 2.27: Posśıveis trajetórias de uma part́ıcula, para ir do ponto P ao ponto Q, ou vice-versa. ser escrito como ∮ F ·dr = ∫ Q P F ·dr+ ∫ P Q F ·dr = 0. (2.160) Aqui suprimimos a indicação da trajetória, pois o trabalho independe da mesma, só de- pende do ponto inicial e final. O teorema de Stokes, leva a integral de li- nha em uma integral de superf́ıcie da seguinte forma: ∫ F · dr = ∫ ∫ S (∇× F) · dS (2.161) Se a força F for conservativa então temos ao longo de uma trajetória fechada que ∮ F · dr = ∫ ∫ S (∇× F) · dS = 0. (2.162) Portanto, o rotacional da força deve ser nulo, ou seja, ∇× F = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ î ĵ k̂ ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z Fx Fy Fz ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (2.163) Da análise vetorial, sabemos que o rotacional do gradiente de uma função escalar φ(x, y, z) Prof. Salviano A. Leão 60 qualquer é sempre nulo, ou seja, ∇×∇φ = 0. (2.164) já que, ∇φ = ∂φ ∂x î + ∂φ ∂y ĵ + ∂φ ∂z k̂. (2.165) Portanto, podemos concluir que toda força que pude ser expressa pelo gradiente de uma função escalar da posição terá o seu rotacional nulo e portanto será uma força conservativa. Nesse caso, é posśıvel associar à força uma função escalar da posição da part́ıcula, chamada função energia potencial U(r) = U(x, y, z), da seguinte forma, F = −∇U(r) (2.166) = − ( ∂U ∂x î + ∂U ∂y ĵ + ∂U ∂z k̂ ) .(2.167) O sinal negativo foi escolhido, porque as forças que encontramos na natureza estão sem- pre direcionadas para o ponto de equiĺıbrio estável. Porém do cálculo, sabemos que o ponto de equiĺıbrio estável está associado a um ponto de mı́nimo. Portanto, a força deve apon- tar para o ponto de mı́nimo da função energia potencial, entretanto, como o gradiente de uma função escalar está direcionado para o ponto de máximo desta função então a força está direci- onada no sentido oposto, assim F = −∇U(r). Portanto, o sinal negativo quer dizer que a força está direcionada para a região de menor energia potencial. Como o gradiente é uma derivada direcional então de sua definição temos que: dU = [∇U(r)] · dr = −F · dr (2.168) Portanto,, a diferença na energia potencial da part́ıcula calculada nos pontos A e B é definida através da relação ∆U = U(rB)− U(rA) = − ∫ B A (C) F · dr = − ∫ B A (C) F · dr (2.169) Definindo, UB = U(rB) e UA = U(rA), pode- mos escrever UB − UA = − ∫ B A F · dr = −WA→B (2.170) Observe que eliminamos o ı́ndice da trajetória já que o trabalho realizado por esta força inde- pende da trajetória. Deve-se ressaltar que a expressão (2.170) acima define apenas a diferença de energia potencial entre dois pontos. Sendo assim, a função energia potencial é definida a menos de uma constante aditiva, que não tem nenhum significado f́ısico. Também é importante men- cionar que se o trabalho realizado pela força depender do caminho, a definição de energia potencial não faz sentido. Se não, qual seria o caminho usado para calcular a integral da equação (2.170)? Exemplo 22 Determine o a energia potencial de uma part́ıcula de massa m em movimento na vizinhança da superf́ıcie terrestre. Ado- tando um sistema de coordenadas cartesianas com eixo Oy dirigido verticalmente para cima. Discuta a escolha adequada para o valor de re- ferência da energia potencial gravitacional. Solução: As componentes da força peso são: Fx = Fz = 0; Fy = −mg (2.171) A eq. (2.147) fica então: ∫ B A F · dr = −mg ∫ yB yA dy = −mg(yB − yA). (2.172) Prof. Salviano A. Leão 61 Figura 2.28: Trabalho realizado pela força peso sobre uma part́ıcula de massa m, para ir do ponto A ao ponto B. Portanto, temos que a diferença de energia po- tencial entre os pontos yA e yB é dada por: ∆U = U(yB)− U(yA) = mg (yB − yA) . (2.173) Este resultado é mantido independente da nossa escolha para o zero da energia poten- cial. Para ilustrar, fato de que é a diferença de energia potencial ∆U que têm sentido f́ısico e não o valor espećıfico da energia potencial, faremos duas escolhas distintas para o valor de referência da energia potencial. Primeira Escolha: Aqui vamos fazer a esco- lha mais usual que é a escolher U(yA) = 0 para yA = 0, obtemos desta forma que a energia potencial é dada por U(y) = mgy, a qual satisfaz a escolha feita anterior- mente, ou seja, que U(0) = 0. Observe ainda que a diferença de energia potencial entre os pontos yA e yB fornecem o resul- tado da eq. (2.173). Segunda Escolha: Neste caso vamos esco- lher um valor constante qualquer da se- guinte forma, U(yA) = U0 para yA = 0, logo a energia potencial é dada por U(y) = U0 +mgy, a qual satisfaz a escolha feita anterior- mente, ou seja, que U(0) = U0. Observe ainda que a diferença de energia potencial entre os pontos yA e yB fornecem o resul- tado da eq. (2.173). Vimos do resultado acima que a energia poten- cial gravitacional, independente da escolha do referencial só depende da posição, assim, sem a perda de generalidade podemos dizer que a energia potencial para um ponto P de coorde- nadas (x, y, z), é dada por: U(P ) = U(x, y, z) = mgy = U(y) (2.174) Logo, no campo gravitacional uniforme g, o trabalho num deslocamento entre dois pontos quaisquer é independente do caminho que liga esses dois pontos: só depende dos extremos, e representa a diferença de energia potencial entre eles. A energia potencial num ponto P só depende da altura desse ponto (y), e é dada por (2.174). Exemplo 23 Determine o a energia potencial de uma part́ıcula de massa m em movimento na vizinhança da superf́ıcie terrestre. Ado- tando um sistema de coordenadas cartesianas com eixo Oy dirigido verticalmente para baixo. Discuta o que muda com esta escolha de eixo. Solução: A força peso neste sistema de re- ferência é dada por F = mgĵ, portanto, F·dr = Prof. Salviano A. Leão 64 Note ainda que, em ambos os casos que a força sempre está direcionada para a região de menor energia potencial. Dizemos que uma força F é conservativa quando tem a propriedade (2.160), ou seja, quando o trabalho por ela realizado entre dois pontos é independente do caminho. Neste caso, ele depende só dos extremos e representa a di- ferença de energia potencial entre eles. Conservação da Energia Mecânica Considere uma part́ıcula, sobre a qual a resul- tante das forças é F, e além disso, que todas as forças que atuam sobre a part́ıculas são forças conservativas F (c) i , assim, F = ∑ i F (c) i , (2.181) Portanto, do teorema trabalho energia, eq. (2.152), temos que o trabalho realizado pela força resultante F, para deslocar a part́ıcula do ponto A ao ponto B é WA→B = ∫ B A F · dr = TB − TA (2.182) Se F é a resultante das forças conservativas, então podemos associar uma função energia potencial U(r) a esta força, a qual é dada por, U(rB)− U(rA) = −WA→B = − ∫ B A F · dr (2.183) Combinando o teorema trabalho energia eq. (2.182) com a definição de energia potencial (2.184), obtém-se que TA + UA = TB + UB (2.184) a soma da energia cinética T com a energia potencial U é uma constante do movimento. Chamando de energia mecânica E a soma E = T +U , então podemos afirmar que.se as forças que atuam em um sistema forem conservati- vas então a energia mecânica do sistema será conservada. Observe entretanto, a energia po- tencial total é aquela devida a todas as forças conservativas que atuam sobre o sistema, seja ela, gravitacional, da mola, de Coulomb, etc. A conservação da energia mecânica, ∆E = ∆T + ∆U = 0, (2.185) é o que justifica o nome da força conservativa. Como vimos, a energia potencial é definida a menos de uma constante aditiva arbitrária, correspondente à escolha do ńıvel zero de ener- gia. Exemplo 26 Considere, o brinquedo ilus- trado na figura 2.32 abaixo, no qual temos uma mola de constante elástica k e uma bolinha de massa m. Este brinquedo está colocado na ver- tical. Determine de quanto devemos compri- mir a mola para que a bolinha consiga reali- zar a curva sem descolar-se da parede do brin- quedo. Despreze os efeitos do atrito em todo o sistema. Solução: Como não há atrito, então só temos forças conservativas, logo a energia mecânica do sistema é conservada. Considerando o ponto mais baixo da trajetória da part́ıcula como o zero de energia potencial gravitacional, então no ponto mais baixo temos, E0 = 1 2 kx2 −mgx enquanto no ponto mais alto da trajetória, Ef = mg(h+R) + 1 2 mv2. A velocidade mı́nima vmin que a bolinha deve ter ao passar pelo ponto mais alto sem cair, é aquela cuja força normal é nula somente neste Prof. Salviano A. Leão 65 Figura 2.32: Fliperama vertical. ponto, portanto, neste ponto a força resultante sobre a bolinha é somente a força peso, assim ma = m v2min R = mg =⇒ 1 2 mv2min = 1 2 mgR. Portanto, a energia mecânica total neste ponto é Ef = mgh+ 3 2 mgR. Dá conservação da energia temos que E0 = Ef , assim 1 2 kx2 −mgx = mgh+ 3 2 mgR. Chamando ω20 = k/m, então a equação acima pode ser escrita como ω20x 2 − 2gx− g(2h+ 3R) = 0. e tem como solução x = 2g ± √ 4g2 + 4ω20g(2h+ 3R) 2ω20 . ou ainda, x = g ω20  1± √ 1 + ω20 g (2h+ 3R)   . Exemplo 27 De quanto deve ser comprimida a mola de constante elástica k, do sistema mos- trado na figura 2.33 abaixo, para que o bloco de massa m ao ser liberado passe pela rampa e atinja um ponto a uma distância D da extre- midade da rampa de comprimento horizontal d e altura h. Despreze os efeitos do atrito em todo o sistema. Figura 2.33: Lançamento sobre uma rampa. Solução: Vamos começar analisar o movi- mento do bloco a partir do instante em que ele abandona a rampa. Neste instante a sua ve- locidade vr forma com a horizontal o mesmo ângulo θ que a rampa. Decompondo o seu mo- vimento em vertical (eixo y) e horizontal (eixo x), podemos escrever y(t) = h+ vr sen(θ)t− 1 2 gt2 x(t) = vr cos(θ)t Para x(ts) = D, temos que ts = D/vr cos(θ), mas como y(ts) = 0, então temos que, 0 = h+D tg θ − gD 2(1 + tg2 θ) 2v2r Portanto, encontramos que v2r = gD2(1 + tg2 θ) 2(h+D tg θ) . Da Conservação da energia temos que, E0 = Er 1 2 kx2 = mgh+ 1 2 mv2r 1 2 kx2 = mgh+ 1 2 mg D2(1 + tg2 θ) 2(h+D tg θ) Prof. Salviano A. Leão 66 assim, x2 = 2mgh k [ 1 + D2(1 + tg2 θ) 4h(h+D tg θ) ] . Forças não conservativas Um exemplo de forças não - conservativas, são as forças de atrito que tendem a dissipar a energia mecânica (realizar trabalho negativo). Aqui a energia mecânica não é conservada, mas a energia total do sistema se conserva, porque as forças de atrito convertem energia mecânica em calor, que também é uma das varias formas de energia que temos. Neste sentido mais amplo de conservação de energia total, podemos dizer que não se conhece nenhuma força não - conservativa, ou seja, não foi descoberto até hoje nenhum fenômeno em que seja violado o prinćıpio de conservação de energia total de um sistema iso- lado. Esta é uma das razões que fazem este prinćıpio um dos mais importantes da f́ısica. O resultado (2.152) se aplica independen- temente de se as forças que atuam sobre as part́ıculas são ou não conservativas (no sen- tido estritamente de conservação de energia mecânica). Assim se uma part́ıcula está su- jeita à ação de diversas forças conservativas F (c) 1 , F (c) 2 , . . ., e simultaneamente a forças não- conservativas F (nc) 1 , F (nc) 2 , . . ., a eq. (2.152) pode ser reescrita como ∑ i W (c) i + ∑ i W (nc) i = ∆T, (2.186) onde W (c) i é o trabalho realizado pela força conservativa F (c) i , de forma que conforme a eq. (2.173) W (c) i = −∆Ui, (2.187) onde Ui é a energia potencial associada a F (c) i , a energia potencial total associada às forças conservativas é então U = ∑ i Ui, (2.188) e a eq. (2.186) dá ∑ i W (nc) i = ∆T + ∑ i ∆Ui = ∆T + ∆U = ∆(T + U) = ∆E (2.189) ou seja, ∆E = ∑ i W (nc) i (2.190) onde E = T + U é a energia mecânica total. Logo a variação da energia mecânica total da part́ıcula é igual ao trabalho sobre ela realizado pelas forças não-conservativas. Note que na natureza as forças fundamentais são conservativas, portanto, a conservação da energia é uma lei geral e fundamental da f́ısica. Exemplo 28 Uma part́ıcula desliza sobre um trilho que possui extremidades elevadas e uma parte central plana, conforme a figura 2.34. A parte plana possui um comprimento l = 20 m. s partes curvas não têm atrito. O coeficiente de atrito cinético da parte plana é µc = 0.3. Larga-se uma part́ıcula do ponto A a uma al- tura h = 10 m. Em que ponto a direita do ponto B a part́ıcula irá parar? Figura 2.34: Deslizamento sobre um trilho cuja a parte central possui atrito. Solução: Antes de resolvermos o problema, devemos compreender o que está ocorrendo. Note que: i) Entre os pontos A e B a energia é con- servada pois não há atrito neste trecho. Prof. Salviano A. Leão 69 elétrica, que podem ser convertidas em ener- gia mecânica e vice-versa. A conservação da energia total de um sistema isolado é um pos- tulado básico da f́ısica conhecido como lei da conservação da energia. Considere um sistema mecânico sujeito a uma força conservativa com energia potencial U ; por simplicidade, vamos supor que o sis- tema seja unidimensional. A energia mecânica (constante) é dada por E = T + U = 1 2 mv2 + U(x) (2.204) Esta equação pode ser reescrita na forma v = dx dt = ± √ 2 m [E − U(x)], (2.205) a qual pode ser integrada da seguinte forma t− t0 = ± ∫ x x0 dx√ 2 m [E − U(x)] (2.206) onde x = x0 em t = t0. Conhecendo-se U(x) pode-se, em prinćıpio, resolver esta equação para se obter x(t). Muitas vezes é dif́ıcil ob- ter uma solução anaĺıtica para a integral acima mas uma análise qualitativa da curva de ener- gia potencial pode fornecer muitas informações sobre o movimento da part́ıcula. Como exem- plo, considere uma part́ıcula sujeita à energia potencial da figura 2.35 a seguir. Uma primeira observação é que a energia cinética deve ser sempre positiva, o que sig- nifica que a part́ıcula só pode estar nas regiões onde E º U(x). Se a energia da part́ıcula for igual a E1 , ela terá um movimento periódico entre os pontos de retorno xa e xb onde E1 º U(x). Se a part́ıcula tiver energia E2 , ela poderá ter movimentos periódicos entre os pontos de retorno xc e xd ou entre os pontos xe e xf mas não pode passar de uma região para a outra. Figura 2.35: Um perfil de energia potencial ar- bitrário. Uma part́ıcula com energia E0 deve estar em repouso em x0 que é a única posição onde E0 não é menor que U. Uma part́ıcula com energia E3, vem do infi- nito, faz o retorno no ponto xg e volta, inver- tendo o sentido do seu movimento. Finalmente uma part́ıcula com energia E4 pode estar em qualquer posição. Contudo a sua velocidade não é constante: ela dependerá da diferença entre E4 e a energia potencial U(x), de acordo com (2.206). Exemplo 29 Variação da gravidade com a altura: (a) resolva as equações de movi- mento de Newton levando em conta a variação da gravidade com a altura. Considere que a massa da terra é M e que o raio da mesma é R. (b) Calcule a altura máxima e a velocidade de escape. Solução: A força que a terra exerce sobre um corpo de massa m, cuja distância do seu centro de massa ao da terra é r, é dada por: Fr = −GMm r2 e se este corpo estiver sobre a superf́ıcie da terra, então Fr = −GMm R2 = −mg, Prof. Salviano A. Leão 70 e dáı tiramos que a aceleração da gravidade g é dada por: g = GM R2 . Na figura 2.36 abaixo ilustramos uma situação na qual o corpo de massa m se encontra a uma altura x da superf́ıcie da terra, logo, a força que irá atuar sobre o mesmo é dada por: Figura 2.36: Um corpo de massa m a uma al- tura x da superf́ıcie da terra. F (x) = − GMm (R + x)2 = − R 2 (R + x)2 mg = mẍ mas como ẍ = dv dt = dv dx dx dt = v dv dx então podemos escrever, mv dv dx = − R 2 (R + x)2 mg mvdv = −mg R 2 (R + x)2 dx Integrando esta equação obtemos que ∆T = 1 2 mv2 − 1 2 mv20 =−mgR2 ∫ x x0 dx (R + x)2 =mgR2 1 (R + x) ∣∣∣∣ x x0 =mgR2 ( 1 (R + x) − 1 (R + x0) ) . Esta equação expressa a conservação da ener- gia mecânica do sistema onde a energia poten- cial gravitacional é dada por U(x) = − R 2 (R + x) mg. (b) Agora iremos calcular a altura máxima atingida pelo corpo e a sua velocidade de es- cape. Suporemos que o objeto foi lançado da superf́ıcie da terra x0 = 0, com uma veloci- dade inicial v0, assim nossa equação para a conservação da energia toma a forma: v2 − v20 = 2gR2 ( 1 (R + x) − 1 (R + x0) ) v2 = v20 − 2gRx R + x v2 = v20 − 2gx ( 1 + x R )−1 Para ( x R ) ¿ 1, e fazendo uma expansão em série de Taylor da expressão acima, encontra- mos que o termo de ordem zero é o mesmo fornecido ao considerarmos que o campo gra- vitacional é constante, ou seja, v2 = v20 − 2gx. No ponto de retorno, a altura atingida pelo corpo é máxima, fazemos v = 0, e encontramos que: hmax. = xmax. = v20 2g ( 1 + xmax. R ) . Isolando xmax. na equação acima obtemos que: xmax. = v20 2g ( 1− v 2 0 2gR )−1 . Se ( v20 2gR ) ¿ 1, encontramos que o termo de ordem zero é xmax. = v20 2g , que é o mesmo para o caso em que g = cte. Para acharmos a velocidade v0 de escape, de- vemos encontrar uma distância na qual a in- teração gravitacional deste corpo com a terra Prof. Salviano A. Leão 71 é nula. Isto só ocorre para distâncias muito grandes, infinitas, e neste caso basta tomarmos xmax. →∞, na expressão: v20 = lim x→∞ 2gRx R + x = 2gR a qual pode ser reescrita como v0 = √ 2gR ≈ 11 km/s ≈ 7 min./s considerando que, g = 9.8 m/s2 e R = 6.4× 106m. Na atmosfera da terra, a velocidade média das moléculas de ar (O2 e N2) é da ordem de 0.5 km/s, que é consideravelmente menor que a velocidade de escape da superf́ıcie da terra, e é devido a isto que a terra retém sua atmosfera. A lua por sua vez, não tem atmosfera, devido a velocidade de escape da superf́ıcie da lua ser consideravelmente menor do que a velocidade de escape da superf́ıcie da terra, já que a massa da lua é consideravelmente menor do que a da terra. Portanto, na superf́ıcie da lua, qual- quer oxigênio ou nitrogênio, eventualmente de- saparecem. A atmosfera da terra, entretanto, não contém uma quantidade significante de hi- drogênio, embora o hidrogênio seja o elemento mais abundante em todo o universo. Uma at- mosfera de hidrogênio teria escapado da su- perf́ıcie da terra a muito tempo atrás, devido a velocidade molecular do hidrogênio ser grande o suficiente, já que o mesmo possui uma massa pequena, o que significa que em um instante qualquer, um número significante de moléculas de hidrogênio teriam uma velocidade que ex- cedia a velocidade de escape da superf́ıcie da terra. Terra Lua Raio 6.37× 106 m 1.738× 106 m Massa 5.98× 1024 kg 7.35× 1022 kg A razão entre o raio da terra Rt e o raio da lua Rl é Rt Rl ≈ 3.67 já a razão entre suas massas é Mt Ml ≈ 81.36. Portanto, a razão entre as acelerações devido a gravidade em suas superf́ıcie é gt gl = Mt Ml ( Rt Rl )−2 ≈ 6.04 e a razão entre suas velocidades de escape é vt vl = √ gt gl Rt Rl ≈ 4.71 2.8.7 Equiĺıbrio A energia potencial pode ser expandida em série de Taylor em torno de qualquer ponto x0 como U(x) = U(x0) + ( dU dx )∣∣∣∣ x0 (x− x0) 1! + ( d2U dx2 )∣∣∣∣ x0 (x− x0)2 2! + ( d3U dx3 )∣∣∣∣ x0 (x− x0)3 3! + · · · (2.207) Se a força resultante que atua sobre um corpo é nula (e também o torque), diz-se que ele está em equiĺıbrio. Se x0 for uma posição de equiĺıbrio, então F = − ( dU dx )∣∣∣∣ x=x0 = 0. Ponto de equiĺıbrio (2.208) Para pontos muito próximos da posição de equiĺıbrio, x − x0 é muito pequeno, de forma que os termos além de segunda ordem na ex- pansão podem ser desprezados. Como a ener- gia potencial é definida a menos de uma cons- tante, podemos fazer U(x0) = 0 sem perda de generalidade. Assim, Prof. Salviano A. Leão 74 Figura 2.38: No esboço do potencial acima, mostramos os pontos de retorno, assim como os pontos de mı́nima energia. y4 + 8 = 8y2 + 8 y4 = 8y2 y = ±2 √ 2 y = {0,±2 √ 2} Portanto, os pontos de retorno para E = −W/8 são x = 2√2d e x = −2√2d, assim como x = 0, o qual é um ponto de equiĺıbrio instável. 2.9 Movimento de fogue- tes O movimento de um foguete representa uma situação f́ısica interessante onde a Segunda Lei de Newton pode ser aplicada a um sistema de massa variável. Examinaremos inicialmente o caso do foguete sob a influência de uma força externa, e posteriormente estudaremos duas situações particulares distintas: (1) o movi- mento do foguete na ausência de forças exter- nas e (2) o movimento do foguete sob a ação da gravidade. O primeiro caso requer a aplicação da conservação do momentum linear. O se- gundo caso requer uma aplicação mais traba- lhosa da segunda Lei de Newton. 2.9.1 Movimento do foguete: força externa Considere um foguete viajando sob in- fluência de uma força externa Fext., e por sim- plicidade, que o seu movimento seja unidimen- sional. Suponha também que em um dado ins- tante a massa do foguete seja m e a sua velo- cidade v, conforme a figura 2.39 abaixo. Em um intervalo de tempo dt o foguete ejeta uma massa dm′ (positiva) com velocidade −u (para trás) em relação ao foguete; a velocidade da massa ejetada em relação a um referencial fixo (inercial) é v − u. Após a ejeção de dm′, a massa do foguete passa a ser m− dm′ e a sua velocidade v + dv. Figura 2.39: Movimento unidimensional de um foguete sob a ação de uma força externa Fext. Momentum inicial: p(t) = p0 = mv Momentum final: p(t+ dt) = pf onde, pf = (m− dm′)(v + dv)︸ ︷︷ ︸ foguete + dm′(v − u)︸ ︷︷ ︸ Massa ejetada . (2.227) A variação do momentum linear do sistema neste intervalo de tempo é dada por Prof. Salviano A. Leão 75 dp = pf − p0 = (m− dm′)(v + dv) + dm′(v − u)−mv = mdv − dm′dv − dm′u (2.228) O produto das diferenciais dm′dv é muito pequeno e pode ser desprezado. Assim, da Se- gunda Lei de Newton, podemos escrever Fext. = dp dt = m dv dt − dm ′ dt u (2.229) Aqui é interessante fazer uma mudança de notação. Da forma que foi definida, dm′ é uma quantidade positiva. Por outro lado, a taxa de variação da massa do foguete é uma quantidade negativa dada por (o foguete está perdendo massa) dm dt = −dm ′ dt (2.230) Assim podemos escrever Fext. = dp dt = m dv dt + dm dt u (2.231) 2.9.2 Movimento do foguete: sem força externa Como exemplo, considere o caso em que o foguete viaja no espaço livre da ação de forças externas. Nesse caso m dv dt = −udm dt (2.232) e portanto dv = −udm m (2.233) Integrando a equação acima, obtemos v = −u ln(m) + C (2.234) Supondo que no instante inicial v = v0 e m = m0, então a constante de integração C é dada por C = v0 + u ln(m0), (2.235) de forma que a velocidade do foguete pode ser escrita em função da massa como v = v0 + u ln (m0 m ) (2.236) 2.9.3 Foguete em ascensão Considere agora, um foguete subindo sob a influência da força gravitacional, por simplici- dade suposta constante conforme a figura 2.40 abaixo. A equação de movimento pode ser es- crita como Figura 2.40: Movimento de um foguete sob a ação da gravidade. −mg = mdv dt + dm dt u (2.237) −mgdt = mdv + udm (2.238) Vamos supor também que a taxa de perda de massa seja constante, ou seja dm dt = −α =⇒ dt = −dm α (2.239) onde α é uma constante positiva. Assim a equação de movimento pode ser escrita em ter- mos de v e m como g α mdm = mdv + udm (2.240) dv = ( g α − u m ) dm (2.241) Prof. Salviano A. Leão 76 Integrando, temos v = g α m− u ln(m) + C. (2.242) Supondo que no instante inicial v = v0 e m = m0, então a constante de integração C é dada por C = v0 − g α m0 + u ln(m0) (2.243) de forma que a velocidade do foguete pode ser escrita em função da massa como v = v0 + g α (m−m0) + u ln (m0 m ) . (2.244) A massa do foguete pode ser expressa como função do tempo através da integração de (2.239). Assim teremos m = m0 − αt (2.245) de forma que a velocidade pode ser expressa em função do tempo como função do tempo como v(t) = v0 − gt+ u ln ( m0 m0 − αt ) (2.246) 2.10 Limitações da mecânica newtoni- ana Antes de encerrarmos este caṕıtulo gos- taŕıamos de fazer alguns comentários sobre o domı́nio de validade da Mecânica Newtoniana. Ela descreve corretamente os fenômenos em es- cala macroscópica onde os corpos se movem com velocidades pequenas. No entanto, as leis de Newton deixam de ser válidas quando os problemas envolvem dimensões atômicas ou quando as velocidades de interesse são da or- dem da velocidade da luz (c = 3, 0 × 108 m/s); nesses casos as teorias adequadas são a Mecânica Quântica e a Mecânica Relativ́ıstica. Além disso, existe uma outra limitação de ordem prática. Quando o número de part́ıculas é muito grande torna-se imposśıvel (na prática) obter a posição de todas elas como função do tempo; nesse caso as propriedades de interesse são obtidas como médias e a teoria adequada é a Mecânica Estat́ıstica. Não entraremos em detalhes nessas teorias porque são assuntos de outros cursos. 2.11 Problemas 1. Um menino de massa m puxa (horizontal- mente) um trenó de massa M . O coefi- ciente de atrito cinético entre o trenó e a neve é µc. (a) Desenhe um diagrama mostrando to- das as forças que agem sobre o me- nino e sobre o trenó. (b) Determine as componentes horizon- tais e verticais de cada uma das forças no momento em que o menino e o trenó têm uma aceleração a. (c) Se o coeficiente de atrito estático en- tre os pés do garoto e o solo for µe, qual é a aceleração máxima que ele pode fornecer a ele próprio e ao trenó, supondo-se que a traçao é o fator que limita a aceleração? 2. Um escovão de massa m é empurrado com uma força F dirigida ao longo do cabo, que faz um ângulo θ com a vertical. O coeficiente de atrito cinético com o solo é µc e o estático é µe. (a) Desenhe um diagrama mostrando to- das as forças que agem sobre o es- covão. Prof. Salviano A. Leão 79 11. Uma part́ıcula de massa m move-se em um ćırculo vertical de raio R dentro de um trilho. Não há atrito. Quando m está em sua posição mais baixa, sua velocidade é v0. (a) Qual é o valor mı́nimo vm de v0 para o qual m percorrerá todo o trilho sem perder contato com ele? (b) Suponha que v0 = 0.775vm, então a part́ıcula subirá o trilho até um ponot P, no qual ela perderá o contato com o trilho e perrcorerá uma trajetória representada aproximadamente pela linha pontilhada. Ache a posição an- gular θ do ponto P. 12. Uma escada rolante liga um andar de uma loja com outro situado a 7.5 m acima. O comprimento da escada rolante é de 12 m e ela se move a 0.60 m/s. (a) Calcule a potência mı́nima do motor para transpor- tar 100 pessoas por minuto, sendo a massa média das pessoas de 70 kg. (b) Um ho- men de 70 kg sobe a escada em 10 s. Qual o trabalho realizado pelo motor sobre o homem? (c) Se o homen ao chegar no meio da escada, resolver voltar e iniciar a descer ela, mas de modo a permanecer sempre no mesmo ńıvel, o motor realizaria trabalho sobre ele? Em caso afirmativo com que potência? (use g = 9.8 m/s2) Resp: (a) 8.755 kW; (b) 2.573 kJ; (c) Sim, com 275 W. 13. Um bloco de massa m é abandonado so- bre o trilho no ponto A como mostrada a figura abaixo. Considerando que o coefi- ciente de atrito cinético entre o bloco e o trajeto AB do trilho é µc (suponha que o ângulo de inclinação da rampa seja tal que tg θ > µe, onde µe é o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano). (a) Que velocidade o bloco deve ter no ponto B para que ele consiga passar pelo ponto D? (b) Determine o valor da altura mı́nima hA que o bloco deve ser abandonado para que ele consiga passar pelo ponto D? 14. Uma part́ıcula desliza sobre um trilho que possui extremidades elevadas e uma parte central plana. A parte central possui com- primento ` = 20 m. As partes curvas não apresentam atrito. O coeficiente de atrito cinético da parte plana vale µc = 0.15. Larga-se a part́ıcula no ponto A, cuja al- tura h = 10 m. Em que ponto a part́ıcula irá parar? Prof. Salviano A. Leão 80 Resp.: Num ponto situado a 6, 67 m da extremidade esquerda da parte plana. 15. Uma haste, ŕıgida bem leve, cujo com- primento é `, tem presa em uma extre- midade, uma bola de massa m. A outra extremidade é articulada em torno de um eixo, sem atrito, de tal modo que a bola percorre um ćırculo vertical. A bola parte de uma posição horizontal A, com veloci- dade inicial v0, para baixo. A bola chega ao ponto D e em seguida pára. (a) En- contre uma expressão para v0 em função de `, m e g. (b) Qual a tensão na haste quando a bola está em B? (c) Um pouco de areia é colocado sobre o eixo de arti- culação, após o que, a bola chega até C, depois de ter partido de A com a mesma velocidade de antes. Qual o trabalho rea- lizado pelo atrito durante este moviemnto. (d) Qual o trabalho realizado pelo atrito antes da bola parar em B, após oscilar re- petidas vezes? 16. Uma massa puntiforme m parte do re- pouso e desliza sobre a superf́ıcie de um hemisfério esférico de raio R. Determine a altura h que a massa é lançada para fora do hemisfério, (a) sendo a superf́ıcie sem atrito e (b) supondo que exista atrito entre a massa e a superf́ıcie, e que a energia dis- sipada pelo atrito seja igual a um quinto da variação da energia cinética desde o topo até o ponto onde ele abandona a su- perf́ıcie? Resp: (a) h = 2R/3. (b) h = 5R/8. 17. Um garotinho esquimó desastrado escor- rega do alto do seu iglu, um domo he- misférico de gelo de 3 m de altura. (a) De que altura acima do solo ele cai? (b) a que distância da parede o iglu ele cai? Resp.: (a) 2 m (b) 0.37 m. 18. O cabo de um elevador de 3.0× 103 kg se rompe quando ele está parado no primeiro andar, de modo que o piso do elevador se encocntra a uma distância d = 3, 6 m acima do ńıvel superior da mola, de cons- tante elástica k = 1.5 × 106 N/m. Um dispositivo de segurança aperta os trilhos que servem de guia ao elevador, de modo que surge uma força de atrito constante de 4, 5× 103 N que se opõe ao movimento do elevador. (a) Ache a distância em que a mola é comprimida. (b) Calcule a velo- cidade do elevador quando a mola retorna ao seu ponto de equiĺıbrio. (c) Calcule a distância percorrida pelo elevador quando ele sobe sob a ação da mola. (d) Usando o prinćıpio da conservação da energia cal- Prof. Salviano A. Leão 81 cule a distância aproximada que o eleva- dor percorrer até parar? 19. Uma part́ıcula de massa m desliza sobre um trilho (conforme a figura abaixo), o qual entre os trechos AB, possui um coe- ficiente de atrito cinético µc. Determine a velocidade vA mı́nima que a part́ıcula deve ter no ponto A, para que ela consiga che- gar ao ponto D, em função da distância d, da altura h, de g e de µc. 20. Considere um bloco de massa m, preso a uma mola de constante elástica k, que des- liza sobre uma superf́ıcie, cujo coeficiente de atrito é µ (considere que o coeficiente de atrito cinético e estático são iguais). No instante t = 0, o bloco foi deslocado para a posição x0 = A e foi solto. Determine a variação da amplitude ∆A de oscilação do bloco devido ao atrito em um ciclo com- pleto. Sugestão, determine a perda em meio ciclo e oberve que ela é constante. Resp: ∆A = 4µmg k 21. Considere uma rampa que forma um ângulo θ com a horizontal e que sobre ela a uma altura h abandona-se um bloco de massa m. Considerando que o coeficiente de atrito cinético entre a rampa e o bloco é µc e que tg θ > µe em que µe é o coefi- ciente de atrito estático entre o bloco e a rampa. Entre o bloco e o plano horizon- tal o atrito é despreźıvel. Considerando a figura abaixo, determine (a) a máxima compressão da mola. (b) Determine a al- tura máxima atingida pelo bloco a retorna a rampa. 22. Um bloco de massa m é abandonado sobre o trilho no ponto A, conforme a figura an- terior. Considerando que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o trajeto AB do trilho é µc (suponha que o ângulo de in- clinação da rampa seja tal que tg θ > µe, onde µe é o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano). Sabe-se que o módulo da força resultante sobre o bloco no ponto C é √ 26mg. (a) Qual a força que o trilho exerce sobre o bloco no ponto D, e (b) de que altura hA o bloco foi solto? Resp: (a) 2mg; (b) hA = 7R 2(1−µc cotg θ) ; Prof. Salviano A. Leão 84 ar e considerando a velocidade efetiva de ejeção dos gases ve em relação ao foguete, constante, determine o intervalo de tempo necessário para que a massa do foguete re- duza a 50 % do seu valor inicial. 40. Um corpo cai sobre a Terra desde uma al- tura h com velocidade inicial nula. Des- preze a resistência do ar considere que a força da gravidade é inversamente propor- cional ao quadrado da distância entre o corpo e o centro da Terra. Considere que o raio da Terra é R e que a aceleração da força gravitacional na superf́ıcie da Terra é g. (a) Ache o tempo T que o corpo gas- tará para atingir a superf́ıcie da Terra em função de R, h e g. (b) Determine veloci- dade que ele atinge a superf́ıcie da Terra em função de R, h e g. 41. Considere uma part́ıcula de massa m que é repelida a partir do centro do sistema de coordenadas por uma força central pro- porcional à distância (o coeficiente de pro- porcionalidade é mk2). A resistência do meio ambiente é proporcional à velocidade da part́ıcula (o coeficiente de proporcio- nalidade é 2mk1). No instante inicial, a part́ıcula encontrava-se a uma distância a do centro e a sua velocidade era igual a zero. (a) Determine uma expressão para a distância em função do tempo. (b) De- termine uma expressão para a velocidade em função do tempo. 42. A força de resistência ao avanço de um corpo em um meio heterogêneo varia de acordo com a lei FR = − 2kv 2 r + r0 N, onde v é a velocidade do corpo em m/s e r é a distância percorrida em metros, r0 = 3 m e k é uma constante. Determinar a distância percorrida em função do tempo sabendo que a velocidade inicial é v0 = 5 m/s. 43. Uma part́ıcula de massa m move-se em uma linha reta sob a ação de uma força di- recionada para a origem O e proporcional a distância x da origem, de módulo mk2x. A part́ıcula passa pela origem O com uma velocidade u. Se x é a sua posição no ins- tante t e v é a sua velocidade, mostre que u2 = v2 + (kx)2. Prof. Salviano A. Leão 85 2.12 Apêndice A seguir apresntamos algumas relações funda- mentais. 2.12.1 Expansões em séries de Taylor • ex = 1 + x+ 1 2 x2 + 1 6 x3 +O (x4) • ln (1 + x) = x− 1 2 x2 + 1 3 x3 +O (x4) • (1 + x)n = 1 + nx + 1 2! n (n− 1)x2 + 1 3! n (n− 1) (n− 2)x3 +O (x4) • (1 − x)n = 1 − nx + 1 2! n (n− 1) x2 − 1 3! n (n− 1) (n− 2)x3 +O (x4) • senx = x− 1 6 x3 +O (x4) • cosx = 1− 1 2 x2 +O (x4) • tan x = x+ 1 3 x3 +O (x4) 2.12.2 Funções Hiperbólicas As funções hiperbólicas são definidas por: senh(x) = ex − e−x 2 , cosh(x) = ex + e−x 2 , tgh(x) = senh(x) cosh(x) , sech(x) = 1 cosh(x) , cosech(x) = 1 senh(x) , cotgh(x) = cosh(x) senh(x) . Disto segue-se a seguinte relação: cosh2(x)− senh2(x) = 1 sech2(x) + tgh2(x) = 1 cotgh2(x)− cosech2(x) = 1 As derivadas destas funções são: d dx senh(x) = cosh(x) d dx cosh(x) = senh(x) d dx tgh(x) = sech2(x) d dx sech(x) = − sech(x) tgh(x) d dx cosech(x) = − cosech(x) cotgh(x) d dx cotgh(x) = − cosech2(x) Observe ainda que arcsenh(x) = ln |x+ √ x2 + 1| = arctgh ( x√ x2 + 1 ) = arccosh( √ x2 + 1) { > 0, Se x > 0 < 0, Se x < 0 arccosh(x) = ± ln |x+ √ x2 − 1|, x > 1 = arctgh ( x√ x2 − 1 ) , x > 1 = ± arcsenh( √ x2 − 1). arctgh(x) = 1 2 ln ( 1 + x 1− x ) , |x| < 1 arcotgh(x) = 1 2 ln ( x+ 1 x− 1 ) , |x| > 1 Das relações fundamentais acima, pode-se ver facilmente que: cosh(x) + senh(x) =ex cosh(x)− senh(x) =e−x Prof. Salviano A. Leão 86 e usando estas relações pode-se mostrar que: senh(x+ y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y) cosh(x+ y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y) 2.12.3 Funções trigonométricas Fórmulas da adição sen (A±B) = senA · cosB ± senB · cosA cos (A±B) = cosA · cosB ∓ senA · senB tg (A±B) = tgA± tgB 1∓ tgA · tgB Fórmulas da multiplicação sen 2θ = 2 sen θ · cos θ cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ = 2 · cos2 θ − 1 = 1− 2 · sen2 θ tg 2θ = 2 · tg θ 1− tg2 θ Fórmulas da divisão cos θ = cos2 θ 2 − sen2 θ 2 = 2 · cos2 θ 2 − 1 = 1− 2 · sen2 θ 2 sen θ 2 = ± √ 1− cos θ 2 cos θ 2 = ± √ 1 + cos θ 2 tg θ 2 = sen θ 2 cos θ 2 = ± √ 1− cos θ 1 + cos θ Transformação em Produto sen (α+ β) + sen (α− β) = 2 senα · cos β sen (α + β)− sen (α− β) = 2 sen β · cosα cos (α+ β) + cos (α− β) = 2 cosα · cos β cos (α + β)− cos (α− β) = −2 senα · sen β Seja, { α + β = p α− β = q    α = p+ q 2 β = p− q 2 Caṕıtulo 3 Oscilações 3.1 Introdução Qualquer movimento que se repete em in- tervalos de tempo iguais constitui um movi- mento periódico. O movimento periódico de uma part́ıcula sempre poderá ser expresso em função de senos e de cossenos, motivo pelo qual ele também é denominado movimento harmônico. Se uma part́ıcula em movimento periódico se mover para frente e para trás na mesma tra- jetória, o seu movimento é denominado osci- latório ou vibratório. Oscilações são encontradas em todas as áreas da f́ısica. Exemplos de sistemas mecânicos vi- bratórios incluem pêndulos, diapasões, cordas de instrumentos musicais, colunas de ar em ins- trumentos de sopro, etc. A corrente elétrica, que chega as nossas casas é alternada, ou seja, é oscilatória, e as oscilações da corrente em circuitos elétricos tem inúmeras aplicações im- portantes. Um pêndulo desviado da posição de equiĺıbrio e depois solto fornece um exemplo de oscilações livres, em que o sistema, após termos estabelecido sua configuração inicial, não será mais submetido a nenhum tipo de força externa oscilatória, e isto fará com que ele tenha seu próprio peŕıodo de oscilação que é determinado pelos parâmetros que caracte- rizam o pêndulo. Se submetermos o pêndulo a impulsos externos periódicos, teremos uma oscilação forçada, em que é preciso levar em conta também o peŕıodo das forças externas e sua relação com o peŕıodo próprio das os- cilações livres do sistema. As oscilações não são uma exclusividade dos sistemas mecânicos. As ondas de rádio, as microondas e a luz viśıvel resultam de cam- pos elétricos e magnéticos oscilantes. Este é o caso de um circuito sintonizado, em um rádio, ou em uma cavidade metálica fechada, na qual se introduz energia sob a forma de mi- croondas, que podem oscilar eletromagnetica- mente. A analogia é grande, fundamentando- se no fato de que as oscilações mecânicas e as eletromagnéticas são descritas pelas mesmas equações básicas. 3.2 Pequenas Oscilações: Lineares e Não- Lineares Considere uma part́ıcula de massa m, que se move sob a ação de um potencial unidimen- sional conservativo U(x) (mostrado na figura 3.1), com uma energia total E, cuja posição está limitada ao intervalo xa ≤ x ≤ xb. Se nenhuma outra força atuar sobre a part́ıcula, então a força resultante sobre a part́ıcula é con- servativa. Portanto, a part́ıcula oscila sobre 89 Prof. Salviano A. Leão 90 um segmento de reta bem definido, entre os pontos xa e xb. Figura 3.1: Energia potencial U(x) devido a uma força conservativa F (x) qualquer. Considere que esta oscilação entre os pontos xa e xb é pequena. A figura 3.2, mostra uma ampliação da região onde ocorre esta pequena oscilação. Como potencial U(x) é conservativo, a ener- gia total da part́ıcula é conservada e bem defi- nida, sendo expressa por E = U(xa) = U(xb). Para um ponto qualquer x da trajetória da part́ıcula, têm-se que E = 1 2 mv2 + U(x) = cte. = U(xa) = U(xb), pois a energia total é conservada. No gráfico da figura 3.2 têm-se a força resul- tante sobre a part́ıcula em função da posição, para pequenas oscilações em torno da posição de equiĺıbrio. Do gráfico de F (x)× x, pode-se concluir que a força é linear (entre os pontos xa e xb,) no regime de pequenas oscilações, assim pode-se escrever como uma boa aproximação que, F(x) ' −kx x̂, na qual k é uma constante (geralmente, conhe- cida como constante elástica da mola, quando Figura 3.2: Energia potencial U(x) devido a uma força F (x), que entre os pontos xa e xb, pode ser considerada aproximadamente linear. tratamos com sistemas do tipo massa mola). Percebe-se então que para pequenas oscilações o sistema é equivalente ao sistema massa mola (a expressão acima para a força também é co- nhecida como Lei de Hooke). Considere uma part́ıcula movendo-se sob a ação de uma força, cuja função energia poten- cial é aquela da figura 3.1, e que sua energia to- tal é pequena o suficiente, de modo que ela os- cila em torno do ponto de equiĺıbrio estável x0. Expandindo em série de Taylor a função ener- gia potencial em torno do ponto de equiĺıbrio Prof. Salviano A. Leão 91 estálvel x0, obtém-se que U(x) = U(x0) + ( dU dx )∣∣∣∣ x0 (x− x0) 1! + ( d2U dx2 )∣∣∣∣ x0 (x− x0)2 2! + ( d3U dx3 )∣∣∣∣ x0 (x− x0)3 3! + ( d4U dx4 )∣∣∣∣ x0 (x− x0)4 4! + · · · Por simplicidade, será considerado somente o caso de pequenos deslocamentos em torno da posição de equiĺıbrio de potenciais simétricos. O termo U(x0) é um termo constante e pode ser ignorado, o que não irá afetar o resultado fi- nal. Desde que x0 é um ponto de mı́nimo, para o equiĺıbrio estável num potencial simétrico, todos os termos de ordem ı́mpar na expansão acima são identicamente nulos, portanto, ( dU dx )∣∣∣∣ x0 = ( dU dx )∣∣∣∣ x0 = 0, enquanto, ( d2U dx2 )∣∣∣∣ x0 > 0. Definindo, z = x− x0 ( d2U dx2 )∣∣∣∣ x0 = k 1 3! ( d4U dx4 )∣∣∣∣ x0 = +² Então a função energia potencial pode ser escrita como U(z) = 1 2 kz2 + 1 4 ²z4 + · · · (3.1) Considerando que a origem das coordenadas está localizada no ponto do equiĺıbrio estável, de modo que x0 = 0 e z = x, e desprezando os termos de ordens superiores a quarta ordem em x, na eq. (3.1), obtém-se U(x) = 1 2 kx2 + 1 4 ²x4 (3.2) Além disso, como a part́ıcula move-se sob a ação de forças conservativas, pode-se escrever F (x) = −dU dx o que significa que a força resultante sobre a part́ıcula é dada por, F (x) = −kx− ²x3. (3.3) 3.2.1 Oscilações Lineares Como uma primeira aproximação será man- tido somente os termos de segunda ordem em x na expansão da energia potencial, desta forma têm-se que U(x) = 1 2 kx2 (3.4) F (x) = −kx (3.5) na qual, k = ( d2U dx2 )∣∣∣∣ x0 = − ( dF dx )∣∣∣∣ x0 > 0 (3.6) Como, (d2U/dx2)x0 > 0 é sempre positivo, a constante k também será sempre positiva. Por- tanto, a força F = −kx é proporcional ao des- locamento x e está sempre direcionada para o ponto de equiĺıbrio. Uma força com estas ca- racteŕısticas é chamada de força restauradora linear. O potencial correspondente a esta força é parabólico sendo expresso pela eq. (3.4), cujo comportamento é mostrado nas linhas ponti- lhadas das figuras 3.2 e 3.3. Sistemas f́ısicos envolvendo molas, pêndulos, e deformações elásticas são descritos pelas equações (3.4) e (3.5) e eles obedecem a lei de Hooke. Isto é verdade somente para peque- nos deslocamentos, pois permanece no limite