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luiz roberto rosa

De Eudoxo à Dedekind

“Todas as grandes tentativas tendentes a fundamentar uma teoria do conhecimento derivam da busca da certeza do saber humano. Este último interrogativo, por sua vez, procede do desejo de um conhecimento que apresente foros de certeza absoluta.” [Schlick (1988), p.65]

Por onde se vai

Aqui traçarei alguns pontos históricos da construção do pensamento matemático relacionados com o desenvolvimento de conceitos próprios do cálculo diferencial e integral, do cálculo infinitesimal e da análise matemática. O intuito desta exposição é levantar idéias e formas de pensamentos registradas por algumas leituras de fontes históricas sobre a construção do saber matemático.

Em rápidas linhas

O plano: Iniciar pela matemática grega, ao redor de 300a.C., tendo como referencial os Elementos de Euclides, entre Zenon de Eléia e Arquimedes. Apesar de ser esta a ordem histórica, aqui será invertida a ordem de exposição. Inicio com uma passagem dos Elementos, em seguida os Paradoxos de Zenon e arremato com a quadratura do círculo por Arquimedes. Então, rumarei para os séculos XVI, XVII e XVIII do continente europeu tendo como referenciais os trabalhos e as idéias de: Viète, Fermat, Barrow, Descartes, Cavalieri, Newton, Leibniz, entre outros, passando antes por Thomas Bradwardine e Nicole de Oresme (séculos XIII e XIV), para aportar no século XIX com Bolzano, Cauchy, Weierstrass, Heine e Dedekind e alguns outros.

Estas passagens históricas vão mostrar um panorama de como a comunidade matemática focava os pontos relevantes na construção das ferramentas da rainha das ciências, fundando-os num corpo que se ambicionava único, sem ambigüidades, sem falsos silogismos. Um monólito do pensamento humano. A grande obra. O mesmo ideal que aguçou a Paul Erdös a idealizar O Livro, que acabou sendo escrito por Martins Aigner e

Günter M. Ziegler com o título: Proofs from the Book (que no Brasil foi editado com o título: As provas estão n’O LIVRO).

Elementos de Euclides

Desta obra será realçado alguns pontos, que dizem diretamente respeito, ao desenvolvimento do Cálculo para se traçar um vínculo estreito entre os conceitos deste com a tradição geométrica da Grécia antiga.

Cabe ressaltar uma célebre frase atribuída à escola pitagórica: “Tudo é número”.

Neste tocante os gregos antigos classificavam seus estudos e trabalhos com números em dois grupos: um, a logística, esta dizia respeito a tarefa computacional envolvendo números, mais voltada à aplicação cotidiana dos números; outro, a aritmética, esta se dedicava as relações abstratas envolvendo números, o que poderíamos dizer ser esta aquela que dava um tratamento teórico àquilo que se pode denominar número.

De início depara-se com uma situação que se tornaria, por longo tempo, o que se poderia chamar de calcanhar de Aquiles, no tocante a teoria dos números, os ditos – hoje – números irracionais.

Um dos ícones da matemática é o chamado teorema de Pitágoras – ao que parece já era de conhecimento dos babilônios [Boyer (1987)] que por sua vez possuíam métodos algorítmicos para resolver (o que para nós se denominaria) equações. Outro símbolo matemático instigante é a secção áurea. Estes dois emblemas matemáticos levaram Kepler a fazer a seguinte afirmação:

“A geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de jóia preciosa” [Boyer (1987), p.37]

Mas é justamente na secção áurea que a matemática grega antiga vai se deparar com o então inefável para o seu paradigma numérico: aquele que originou o termo incomensurável.

Construindo a secção áurea. Dado um segmento AB:

Marca-se, entre AB proporcionalidade: 0 1 1 1 0: :: :AB AB AB B B

1B em média e extrema razão, sendo o segmento medida áurea.

E pode-se continuar o processo marcando entre A e B 12221::::ABABABBB; bem como entre A e B

23332::::ABABABBB. No enésimo ponto marcado teremos: Obtendo assim uma seqüencia de segmentos áureos que vai gerar uma seqüência

( )n n NAB ∈ de “medidas áureas”. E indefinidamente pode menos em nossas mentes.

O primeiro segmento: Considerando que 1AB, x. Conseqüentemente

22xrrx=−. E isolando modernas, tem-se revelado a irracionalidade de

Construindo a secção áurea. Dado um segmento AB:

0AB um ponto B1, seja 110ABBB>. Se nesta divisão verificar a

01110::::ABABABBB, diz-se que o segmento AB em média e extrema razão, sendo o segmento 1AB o segmento áureo e a medida AB se continuar o processo marcando entre A e B1 um ponto B ; bem como entre A e B2 um ponto B

. No enésimo ponto marcado teremos: 1::::nnnnnABABABBB − −

Obtendo assim uma seqüencia de segmentos áureos que vai gerar uma seqüência de “medidas áureas”. E indefinidamente pode-se prolongar o processo, pelos

O primeiro segmento: Considerando que 0AB tenha medida r (racional positivo) e

. Conseqüentemente 10BB, rx−. Mas, por construção, tem

, o que conduz a: r x x r x= − , que inexoravelmente nos dá:

. E isolando x, tem-se: 5 1

, com 0x>. E, nestas notações se revelado a irracionalidade de x para r racional. O que se pode

. Se nesta divisão verificar a

0AB fica dividido por o segmento áureo e a medida AB1, a um ponto B2 na condição: um ponto B3 na condição:

Obtendo assim uma seqüencia de segmentos áureos que vai gerar uma seqüência se prolongar o processo, pelos r(racional positivo) e . Mas, por construção, tem-se:

, que inexoravelmente nos dá:

. E, nestas notações racional. O que se pode demonstrar por absurdo: Seja abc=⋅. Se b é irracional e cé racional (não nulo) então a é irracional. Demonstração por absurdo : Seja a racional. Como abc=⋅, então abc = o que nos leva a dizer que b é racional - Absurdo! Logo a é irracional. c.q.d. Claro, que se está aqui considerando resultados conhecidos na Álgebra, como o do corpo racional.

Se chamar 1AB de 1x, 2AB de 2x e de modo geral, nnABx=; obteremos:

2 n nx r

, ainda um número irracional.

A irracionalidade vai se manifestar também ao se aplicar o teorema de Pitágoras para determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado medindo r (racional).

Considerando a diagonal como tendo medida d, obtém: 2dr=, também irracional.

Nas duas situações, de cara, os gregos antigos se depararam com a insuficiência dos números racionais para se medir segmentos de modo geral.

Pode-se conjecturar que todo desenvolvimento geométrico, através das construções com régua e compasso, dos gregos de antanho tenha ganho existência em virtude da impossibilidade de se obter uma medida racional para situações semelhantes as citadas acima. Isso agregado, principalmente, ao fato do rigor no trato matemático que se auto impuseram os matemáticos gregos.

O mais notável é que a civilização Ocidental se fez herdeira da cultura helênica, e, no que diz respeito a matemática, este rigor atravessou os séculos como um grande paradigma, um monolítico referencial na construção do pensamento matemático. Bem é verdade que muitos matemáticos ao longo da história contornaram tal monólito, e, para curiosidade de muitos, obtendo resultado que vieram a se confirmar, em uma estrutura axiomatizada. Outros ainda não demonstrados passaram para o contexto teórico como conjecturas. Talvez a mais famosa seja a de Goldbach (de 1742). E na medida do possível alguns abnegados passam um bom tempo de suas vidas – se não toda ela – na busca de uma resposta satisfatória aos moldes do formalismo vigente.

Estes moldes não advêm de uma mera crença:

“Na maior parte das ciências uma geração põe abaixo o que outra construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura.”(Hermann Hankel – 1839-1873) [Boyer (1987), p.404]

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