Baixe cálculo, conceitos e história e outras Notas de estudo em PDF para Automação, somente na Docsity! P á g in a 0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA W I K I P É D I A Cálculo (http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo O Cálculo Diferencial e Integral ou simplesmente Cálculo é um ramo importante da da Álgebra e da Geometria (como a inclinação de uma recta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada. O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exactas. Desenvolvido por Isaac Newton Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, clássica e até a física moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente 3 "operações como o cálculo de limites, o A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida. Com o advento do Teorema Fundamental do Cálculo os dois ramos do cálculo: o diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Newton em Cambridge, Isaac Barrow estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularm viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá pelo matemático Riemann, pupilo de ) , também chamado de cálculo infinitesimal matemática, desenvolvido a partir , que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas e Gottfried Leibniz, em trabalhos independentes, o -base", ou seja, possui áreas iniciais cálculo de derivadas de funções e a integral estabeleceu-se uma conexão entre Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral , descobriu que esses dois problemas estão de fato Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para -las como limites de soma (método descrito Gauss) O cálculo permite calcular a área da região assinalada P á g in a 1 , química, física de diferenciais. . O cálculo Isaac ente ambos P á g in a 4 Coube a Leibniz e Newton recolher essas idéias e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo, a ambos é atribuído a simultânea e independente invenção do cálculo. Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo. Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controvérsia de qual matemático (e portanto que país: Inglaterra ou Alemanha) merecia o crédito. Newton derivou seus resultados primeiro, mas Leibniz publicou primeiro. Newton argumentou que Leibniz roubou idéias de seus escritos não publicados, que Newton à época compartilhara com alguns poucos membros da Sociedade Real. Esta controvérsia dividiu os matemáticos ingleses dos matemáticos alemães por muitos anos. Um exame cuidadoso dos escritos de Leibniz e Newton mostra que ambos chegaram a seus resultados independentemente, com Leibniz iniciando com integração e Newton com diferenciação. Nos dias de hoje tem-se que Newton e Leibniz descobriram o cálculo independentemente. Leibniz, porém, foi quem deu o nome cálculo à nova disciplina, Newton a chamara de “A ciência dos fluxos”. Desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o contínuo desenvolvimento do cálculo. No século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa por matemáticos como Cauchy, Riemann e Weierstrass. Foi também durante este período que idéias do cálculo foram generalizadas ao espaço euclidiano e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou a noção de integral. Princípios Limites e Infinitesimais Ver anexo 1 O cálculo é comumente utilizado pela manipulação de quantidades muito pequenas. Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pelas infinitesimais. Estes objetos podem ser tratados como números que são, de alguma forma, "infinitamente pequenos". Na linha numérica, isso seria locais onde não é zero, mas possui "zero" de distância de zero. Nenhum número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zero é positiva. Qualquer múltiplo de um infinitesimal continua sendo um infinitesimal. Em outras palavras, infinitesimais não satisfazem a propriedade Archimediana. Deste ponto de vista, o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular infinitesimais. Tal pensamento foi ignorado no século XIX porque era muito difícil ter a noção precisa de uma infinitesimal. Entretanto, o conceito foi reutilizado no século XX com a introdução da análise não padronizada, a qual propiciou fundamentos sólidos para a manipulação de infinitesimais No século XIX, as infinitesimais foram substituídas pelos limites. Limites descrevem o valor de uma função em um certo ponto em termos dos valores de pontos próximos. Eles capturam o comportamento numérico em baixa escala, como nas infinitesimais, mas utilizando números ordinários. Deste ponto de vista, calculo é uma coleção de técnicas para a manipulação de certos limites. As infinitesimais foram substituídas por P á g in a 5 números muito pequenos, e o comportamento infinitamente pequeno da função é encontrado pelo limite de números cada vez menores. Limites são fáceis de serem colocados em fundações rigorosas e, por esse motivo, são a abordagem padrão para o cálculo. Derivadas Ver anexo 2 O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada ou deslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é chamado "diferenciação". Em linguagem técnica, a derivada é um operador linear, o qual forma uma nova função a partir da função original, em que cada ponto da nova função é o deslocamento da função original. O conceito de derivada é fundamentalmente mais avançado do que os conceitos encontrados em álgebra. Em álgebra, os estudantes aprendem sobre funções em que o número de entrada gera um número de saída. Por exemplo, se no dobro da função é inserido 3, então a saída é 6, enquanto se a função é quadrática, e é inserido 3, então a saída é 9. Mas na derivada, a entrada é uma função e a saída é outra função. Por exemplo, se na derivada é colocada uma função quadrada, então a saída é o dobro de uma função, porque o dobro da função fornece o deslocamento da função quadrática em qualquer ponto dado da função. Para entender a derivada, os estudantes precisam aprender a notação matemática. Na notação matemática, um símbolo comum para a derivada da função é um sinal de apóstrofo chamado "linha". Então a derivada de f é f ' (f linha). Isso em notação matemática seria escrito assim: . Se a função de entrada é o tempo, então a derivada dessa função é a taxa em que a função é alterada. Se a função é linear, ou seja, o gráfico da função é uma linha reta, então a função pode ser escrita como y = m x + b, onde: Reta tangente em (x, f'(x)) P á g in a 6 . Isto da o valor exato para a variação da linha reta. Se a função não é uma linha reta, então a variação em y é dividida pela variação em x, e nós precisamos do cálculo para encontrar o valor exato em cada ponto da função. (Note que y e f(x) são duas notações diferentes para a mesma coisa: a saída da função. Uma linha entre dois pontos em uma curva é chamado de reta secante. A variação da reta secante pode ser expressada como: onde as coordenadas do primeiro ponto é (x, f(x)) e h é a distância horizontal entre os dois pontos. Para determinar o deslocamento da curva, nós usamos os limites: Em um caso particular, nós encontramos o deslocamento da função quadrática no ponto em que a entrada é 3 e a saída é 9 (Ex.: f(x) = x2, então f(3) = 9). O deslocamento da função quadrática no ponto (3, 9) é 6, isto é, ele cresce seis vezes mais rapido e está indo para a direita. Integrais Ver anexo 3 O Cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de E, seu Corolário pode ser transcrito da seguinte forma: Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [ b]. Se F é uma função tal que para todo então e Essa descoberta, realizada por trabalho anterior de Isaac Barrow resultados analíticos que se seguiram após seus tra Teorema fundamental do cálculo provê um método algébrico de computar muitas integrais definidas—sem executar processos limite fórmula para antiderivadas. Aplicações O cálculo é usado em todos os ramos das estatística, engenharia, economia possa ser modelado matematicamente A Física faz uso intensivo do cálculo. Todos os conceitos na interrelacionados pelo cálculo. A momento de inércia dos objetos, assim como a energia total de um objeto dentro de um sistema fechado podem ser encontrados usando o cálculo. Nos sub eletricidade e magnetismo campos eletromagnéticos. Um exemplo mais histórico do uso do cálculo na física é a segunda lei de Newton que usa a expressão "taxa de variação" que se refere à derivada: A taxa de variação do momento de um corpo é igual à força resultante que age sobre o corpo e na mesma direção. x em [a, b] . Newton e Leibniz, que basearam-se nos resultados de um , exerceu um papel chave na massiva proliferação de balhos ficarem conhecidos. O —simplesmente por encontrar ciências físicas, na ciência da computação , medicina e em outras áreas sempre que um problema e uma solução ótima é desejada. mecânica clássica massa de um objeto de densidade , o cálculo pode ser usado para encontrar o Até a expressão comum da segunda lei de Newton como A espiral logarítmica da concha do Nautilus é uma imagem clássica usada para representar o crescimento e a mudança relacionados ao cálculo P á g in a 9 a, , são conhecida, o -campos da fluxo total de P á g in a 1 0 Força = Massa × Aceleração envolve o cálculo diferencial porque a aceleração pode ser expressada como a derivada da velocidade. A teoria do eletromagnetismo de Maxwell e a teoria da relatividade geral de Einstein também são expressas na linguagem do cálculo diferencial. A química também usa o cálculo para determinar as variações na velocidade das reações e no decaimento radioativo. O cálculo pode ser usado em conjunto com outras disciplinas matemáticas. Por exemplo, ele pode ser usado com a álgebra linear para encontrar a reta que melhor representa um conjunto de pontos em um domínio. Na esfera da medicina, o cálculo pode ser usado para encontrar o ângulo ótimo na ramificação dos vasos sanguíneos para maximizar a circulação. Na geometria analítica, o estudo dos gráficos de funções, o cálculo é usado para encontrar pontos máximos e mínimos, a inclinação, concavidade e pontos de inflexão. Na economia o cálculo permite a determinação do lucro máximo fornecendo uma fórmula para calcular facilmente tanto o custo marginal quanto a renda marginal. O cálculo pode ser usado para encontrar soluções aproximadas de equações, em métodos como o método de Newton, iteração de ponto fixo e aproximação linear. Por exemplo, naves espaciais usam uma variação do método de Euler para aproximar trajetórias curvas em ambientes de gravidade zero. Ver também Listas • Lista de tópicos básicos em cálculo • Tabela de derivadas • Tábua de integrais • Lista de tópicos em cálculo • Publicações sobre cálculo Tópicos relacionados • Régua de cálculos • Série • Cálculo polinomial • Geometria diferencial • Cálculo com múltiplas variáveis • Análise non-standard • Pré-cálculo (Educação matemática) • Integral-produto • Cálculo estocástico Referências bibliográficas Cálculo Básico • Medeiros, Valeria Zuma (2005). Thomsom Pioneira, 1ª edição. Pré-Cálculo ISBN 8522104506 • Coelho, Flavio Ulhoa (2005). Saraiva, 1ª edição. Curso Básico de Cálculo ISBN 8502051202 P á g in a 1 1 • Mendelson, Elliot (2007). Bookman Companhia Editora, 2ª edição. Introdução ao Cálculo ISBN 8560031537 • Guidorizzi, Hamilton; LTC; 5ª edição, 2001; 4 vols. ISBN 8521612591 • Piskounov, Nikolai Semenovich; Edições Lopes da Silva; 12ª edição, 2002; 2 vols. • Goldstein, Larry J./Schneider, David I. (2007); Hemus; 1ª edição, volume único. Cálculo e suas Aplicações ISBN 9781891389245 • Stewart, James (2002). Thomsom Pioneira, 5ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8522104794 • Thomas, George B. (2002). Addison Wesley Brasil, 10ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8588639114 • Anton, Howard A. (2007). Bookman Companhia Editora, 8ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8560031804 • Barboni, Ayrton/Paulette, Walter (2007). LTC, 1ª edição. Fundamentos da Matemática: Cálculo e Análise ISBN 8521615469 • Ayres Jr., Frank/Mendelson, Elliot (2006), Bookman Companhia Editora, 4ª edição. Cálculo, col. Schaum ISBN 856003109X • Bradley, Gerald L./Hoffman, Laurence D. (2008). LTC, 9ª edição. Cálculo:Um Curso Moderno e suas Aplicações ISBN 8521616023 • Lopes, Hélio/Malta, Iaci/Pesco, Sinesio (2002). Loyola, 1ª edição, 2 vols. Cálculo a uma Variável ISBN 8515024403 • Hughes-Hallett, Deborah (2005). LTC, 2ª edição. Cálculo Aplicado ISBN 8521613970 • Larson, Ron/Edwards, Brruce (2005). LTC, 6ª edição Cálculo com Aplicações ISBN 8521614330 • Avila, Geraldo (2003). LTC, 7ª edição, 3 vols. Cálculo das Funções de uma Variável ISBN 8521613709 • Hallett, Hughes (2004). LTC, 7ª edição. Cálculo de uma Variável ISBN 8521613903 • Salas/Hille/Etgen (2005). LTC, 9ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8521614594 Cálculo Avançado • Wrede, Robert C./Spiegel, Murray R. (2003). Bookman Companhia Editora, 2ª edição Cálculo Avançado ISBN 8536303476 • Hellmeister, Ana Catarina Pontone, organizadora. EDUSP, 2ª edição (2006) Cálculo Integral Avançado ISBN 8531403707 • Bortolossi, Humberto Jose (2002). Loyola, 1ª edição Cálculo a Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização ISBN 851502442X • Spivak, Michael (2003). Ciência Moderna, 1ª edição Cálculo em Variedades ISBN 8573932252 Livros on-line • MATHEMATICA NO ENSINO DE CÁLCULO: Uma Abordagem Computacional pelo prof. Inder Jeet Taneja da UFSC • Cálculo Diferencial a Várias Variáveis:Uma Introdução à Teoria de Otimização • CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA RETA - Notas de Aula pelo prof. Plácido Z. Táboas do ICMC-USP de São Carlos • Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral de Funções Definidas em Rn Páginas na Internet • Curso de cálculo on-line da USP • "Kit de sobrevivência em Cálculo" do departamento de Matemática da UEM • Materiais de aula do IMECC-UNICAMP • [http://www.mtm.ufsc.br/~taneja/MATREDE/Math4/Math4.html Cálculo com o Mathematica • Cálculo Infinitesimal: o que é isso? • Material para Cálculo I pelos professores Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja da UFSC Ora x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o limite de f(x) é 2. Definição formal O conceito de limite é formalmente definido da seguinte forma: Seja definida num intervalo aberto contendo número real. A expressão significa que qualquer que seja satisfazendo simbólica: Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéia originalmente formulada por um limite A dado pela fórmula: onde A é o valor do qual difere o valor de f(x) a menos de um valor que zero se o valor de x diferir de a por um valor menor que o valor zero e função de ε (δ = f(ε)) Aproximação intuitiva A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser apreendido a (excepto possivelmente a existe um tal que para todo , vale . OU, usando a Cauchy: ε (epsilon) maior δ (delta) maior que de forma intuitiva, pelo menos parcialmente. A definição ε-δ de limite P á g in a 1 4 f uma função ) e seja A um x, notação P á g in a 1 5 Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também. Por exemplo, imaginemos a função: f(x) = 2x + 1 e imaginando f:R - > R (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: f(0) = 2.0 + 1 que nos dá: f(0) = 0 + 1 = 1, ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo: Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96 Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996 Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996 Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998 Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo: Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: f(x) = 2x + 1 nos Reais, calcular o limite da função f quando x - > 1. Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos: Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja: Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função f(x) descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222 Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta. Limites em funções de duas ou mais variáveis A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se limite exista ou não. Esse é o caso de funções de duas ou mais variáveis. Uma função do tipo: pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental. Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais). Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem graus de liberdade. Consequentemente, pode o que na verdade influencia no valor do limite. Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele independa do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados é verdade no caso unidimensional, quando os dois contrário, o limite não existe. De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como: o limite pode ser testado através de vários caminhos. Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta funçao: Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades: • o limite se fazendo através da abcissa, da direita para a esquerda, ou seja, grau de liberdade, ou seja, só se pode ir -se ter infinitos caminhos entre dois pontos, limites laterais coincidem. Em caso P á g in a 1 6 afirmar que o -se dois . Isso P á g in a 1 9 Se diz-se que L é um limite desta seqüência e escreve-se se e somente se para toda a vizinhança S de L existe um número natural N tal que para todo Se uma seqüência tem limite, diz-se que a seqüência é convergente, e que a seqüência converge ao limite. Caso contrário, a seqüência é divergente. Comentários A definição significa que eventualmente todos os elementos da seqüência aproximam-se tanto como queiramos ao valor limite. (A condição que impõe que os elementos encontrem-se arbitrariamente próximos aos elementos subseqüentes não, implica em geral, que a seqüência tenha um limite. Veja sucessão de Cauchy). É possível também que uma seqüência em um espaço topológico geral, possa ter vários limites diferentes, mas uma seqüência convergente possui um único limite se T é um espaço de Hausdorff, por exemplo, a reta real (estendida), o plano complexo, seus subconjuntos (R, Q, Z...) e produtos cartesianos (Rn...). Exemplos • A seqüência 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... de números reais converge ao limite 0. • A seqüência 1, -1, 1, -1, 1, ... é divergente. • A seqüência 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge ao limite 1. Este é um exemplo de uma série infinita. • Se a é um número real com valor absoluto |a| < 1, então a seqüência an possui limite 0. Se 0 < a ≤ 1, então a seqüência a1/n possui limite 1. • Também: ANEXO 2 Derivada (http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada Em Matemática, diz-se que uma cada ponto a do seu domínio uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma recta. O declive de uma tal recta é a derivada ou por Assim, por exemplo, se se considerar a função f(x) = x2 + x − 1, esta é difere das restrições daquela função aos intervalos [ enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, linear), o segundo é praticame De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0, este de ser linear. Em contrapartida, a função se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura ao lado. ) função f é derivável (ou diferenciável , a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como da função f no ponto a e representa-se por . f de R em R nciável em 0. Podem-se ver na imagem abaixo os gráficos −1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, f(x) − f(0) está aí longe de ser nte indistinguível de um segmento de recta (de declive f(0)) mais perto estará módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que Gráfico de uma função derivável. Gráfico da função módulo, que não é derivável em P á g in a 2 0 ) se, próximo de definida por 1). 0. Definições formais Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto uma função de I em R. Se a Se for esse o caso, aquele limite designa representa-se por f′(a). Note continuaria a ser verdade se um ponto não isolado de I. Índice • 1 Definições formais • 2 Exemplos • 3 Propriedades das funções deriváveis o 3.1 Derivabilidade num ponto o 3.2 Derivabilidade em todo o domínio • 4 Funções continuamente deriváveis • 5 Derivadas de ordem superior • 6 Pontos críticos ou estacionários • 7 Derivadas notáveis o 7.1 Exponencial e logaritmo o 7.2 Funções trigonométricas o 7.3 Funções trigonométricas inversas • 8 Funções com valores em R • 9 Funções de uma variável complexa • 10 Física • 11 Usando derivadas para desenhar gráficos de funções • 12 Derivadas parciais • 13 Referências • 14 Ligações externas R dos números reais e seja ∈ I, diz-se que f é derivável em a se existir o . -se por derivada da função f no ponto a -se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto I fosse um conjunto qualquer de números reais e se n Inclinação da secante ao gráfico de f P á g in a 2 1 f limite e a fosse o o Em particular, se c ∈ R, então derivação é uma aplicação linear • Sejam I e J intervalos de I em J derivável em a é derivável em a e Esta propriedade é conhecida por • Seja I um intervalo de contínua de I em R derivável em derivável em f(a) e Outra maneira de formular este resultado é: s em f − 1(a) com derivada não nula, então Derivabilidade em todo o domínio • Uma função derivável todos os pontos. Isto é uma consequência do • Uma função derivável 0 em todos os pontos. Isto também é uma consequência do Uma função cuja derivada seja sempre maio observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor 0 em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de em R definida por f(x) = x decrescentes. • Se f for uma função derivável de um ponto, então f'(I) resultado é: se f for uma função derivável de situado entre f'(a) e f c ∈ [a,b] tal que f'(c) = (c.f)' = c.f'. Resulta daqui e de se ter (f + g . R com mais do que um ponto, seja a ∈ I, seja e seja seja g uma função de J em R derivável em . regra da cadeia. R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja a com derivada não nula. Então a função inversa e a está na imagem de f e se f de I em R é constante se e só se a derivada for igual a teorema da média. f de I em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a teorema da média r que 0 é estritamente crescente. Uma 3. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções I em R, sendo I um intervalo de R também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este [a,b] em R e se y for um número real '(b) (isto é, f'(a) ≤ y ≤ f'(b) ou f'(a) ≥ y ≥ f'(b)), então existe algum y. Este resultado é conhecido por teorema de Darboux P á g in a 2 4 )' = f' + g' que a f uma função de f(a). Então g o f f uma função f − 1 é f for derivável 0 em . R com mais do que . Funções continuamente deriváveis Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto e seja se que f é continuamente derivável derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é pois o limite não existe; em particular, Derivadas de ordem superior Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de como tal também pode ser diferenciada. Calculando então a segunda derivada derivada é chamada de terceira derivada derivadas subsequentes de f e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregue é: ou alternativamente, ou ainda Se, para algum k ∈ N, f for diz-se que f é de classe Ck. Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz ou indefinidamente derivável f uma função de ou de classe C1 se f for derivável e, além disso, a sua f' não é contínua em -se a derivada novamente obtemos da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda e assim por diante. Podemos por: k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma função contínua, -se que f é infinitamente derivável ou ainda de classe C∞. P á g in a 2 5 I em R. Diz- 0. x e -nos referir às P á g in a 2 6 Pontos críticos ou estacionários Pontos onde a derivada da função é igual a 0 chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a inclinação da reta tangente é paralela ao eixo dos x. Estes pontos podem acontecer: 1. onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função 2. onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função 3. em pontos de inflexão da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função f(x) = x3: no ponto x = 0 a função tem um ponto de inflexão. 4. em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função 5. em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0. Obviamente, a função pode ter um comportamento para valores menores que o ponto crítico e outro comportamento para valores maiores que o ponto crítico. Para identificar o tipo de ponto estacionário, torna-se necessário analisar também a segunda derivada de f(x): • Se a segunda derivada de f é positiva no ponto onde a primeira derivada é nula, então o ponto é um mínimo local. • Se a segunda derivada for negativa, o ponto em questão é um máximo local. Se a derivada segunda também for nula, nada se pode concluir. No entanto, se a for o ponto em questão e se existir algum número n ∈ N tal que 1. f(k)(a) = 0 se k ∈ {1,2,…n − 1}; 2. f(n)(a) ≠ 0, então: 1. f tem um máximo local em a se n for par e f(n)(a) < 0; 2. f tem um máximo local em a se n for par e f(n)(a) > 0; 3. f tem um ponto de inflexão em a se n for ímpar. Derivadas notáveis Exponencial e logaritmo • A derivada da função exponencial é ela própria, ou seja, exp' = exp. • Para cada x > 0, log'(x) = 1 / x, onde log é o logaritmo natural. P á g in a 2 9 Usando derivadas para desenhar gráficos de funções As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo local terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os "pontos críticos" são extremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma de avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é um mínimo local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente). Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será crescente ou decrescente de forma uniforme excepto nos pontos críticos, e logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada lado. Derivadas parciais Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função quando todas menos uma variável são mantidas constantes temporariamente. Derivadas parciais relativamente à variável x são representadas como ∂/∂x. Referências • Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994 • Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981 P á g in a 3 0 ANEXO 3 Integral (http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral ) No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração. Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. No entanto todas estas definições dão a mesma resposta para o resultado final de uma integração. A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é: se e somente se ATENÇÃO: Este artigo ou secção não cita as suas fontes ou referências, em desacordo com a política de verificabilidade. Ajude a melhorar este artigo providenciando fontes fiáveis e independentes, inserindo-as no corpo do texto ou em notas de rodapé. Índice • 1 Definição conceitual • 2 Teorema fundamental do Cálculo • 3 Passo-a-Passo • 4 Teorema fundamental do Cálculo • 5 Exemplos de integração • 6 Definições de integral • 7 Ver também Definição conceitual Para se descrever a integral de uma função f de uma variável x entre o intervalo [a, b] utiliza-se a notação: A idéia desta notação utilizando um porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produ soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, pode soma: onde: é o comprimento dos pequenos valor da função em algum ponto deste intervalo. O que se espera é que quando N for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de f(x) no intervalo. Ou seja, que o limite S comprido é generalizar a noção de to f(x) dx é a área deste retângulo. A -se dizer que a integral acima é o valor limite da intervalos nos quais se divide o intervalo (b Integrando a área de uma função abaixo de uma curva P á g in a 3 1 somatório. Isto -a), f(xi) é o Exemplos de integração Estas são as integrais de algumas das funções mais comuns: Por definição a barra Definições de integral Para definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo • Integral de Riemann • Integral de Lebesgue • Integral de Riemann-Stieltjes • Integral de Gauge Ver também • Tábua de integrais • Primitiva • Integração numérica • Métodos de Integração • Integral Múltipla (Integral da função constante) (Integral da função f(x) = x ) é utilizada com o significado da diferença P á g in a 3 4 f(b) - f(a) P á g in a 3 5 ANEXO 4 Teorema fundamental do Cálculo (http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_Fundamental_do_C%C3%A1lculo) O Teorema fundamental do Cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são considerados como inversos um do outro. Isto significa que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada, volta-se na função original. Este teorema é de importância central no cálculo tanto que recebe o nome teorema fundamental para todo o campo de estudo. Uma consequencia importante disto, às vezes chamada de segundo teorema fundamental do cálculo, permite computar integrais utilizando a antiderivada da função a ser integrada. Em seu livro de 2003 (pág.394), James Stewart credita a idéia que conduziu ao teorema fundamental ao matemático inglês Isaac Barrow apesar da primeira prova conhecida deste teorema ser reconhecida ao matemático escocês James Gregory. O teorema fundamental do cálculo estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana. Aparentemente, mas apenas aparentemente, entre os dois problemas parece não existir nenhuma relação. Barrow, professor de Newton em Cambridge, descobriu que os dois problemas estão intimamente relacionados, percebendo que os processos de diferenciação e integração são processos inversos. Entretanto, foram Newton e Leibniz, independentemente, que exploraram essa conexão e desenvolveram o Cálculo. Em particular, eles perceberam que o Teorema Fundamental permitia encontrar a área de uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular a soma de áreas de um número indefinidamente grande de retângulos, mas sim usando a primitiva da função envolvida. O teorema afirma que se I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for uma função contínua de I em R, então, para cada a ∈ I a função F de I em R definida por é derivável e a sua derivada é precisamente a função f. Por outras palavras, F é uma primitiva de f. Intuição Intuitivamente, o teorema simplesmente diz que a soma de variações uma quantidade ao longo do tempo (ou ao longo de outra quantidade) adiciona a variação líquida naquela quantidade. Para explicar esta afirmação, começaremos com um exemplo. Suponha que uma partícula viaja em uma linha reta com sua posição dada por derivada desta função é igual a variação infinitesimal em do tempo (é claro, a própria derivada é dependente do tempo). Vamos definir esta variação na distância com o tempo como a velocidade Leibnitz: Rearranjando a equação, fica claro que: Pela lógica acima, uma variação em infinitesimais dx. Que também se iguala à e do tempo. Esta soma infinita é a integração; a operação de integração permite recuperar a função original a partir de sua derivada. Claramente, este operação funciona como inversa já que podemos diferenciar o função velocidade. Formalização Formalmente, o teorema diz o seguinte: Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [ b]. Se F for a função definida para Índice • 1 Intuição • 2 Formalização o 2.1 Corolário • 3 Prova o 3.1 Parte I o 3.2 Parte II • 4 Exemplos • 5 Generalizações • 6 Referências infinitesimais x(t) onde x pela variação infinitesimal v da partícula. Na x, chamada ∆x, é a soma das variações soma dos infinitesimais produtos da derivada resultado de nossa integral para recuperar a x em [a, b] por então para todo P á g in a 3 6 em t é o tempo. A Notação de a, x em [a, b]. Para encontrar o outro limite, usaremos o intervalo [x1, x1 + ∆x], então Também, Assim, de acordo com o teorema do sanduíche . Substituindo em (3), temos A função f é contínua em c, então o limite pode ser inserido na função. Assim, temos Parte II Esta é uma prova limite por Considere f contínua no intervalo [ quantidade . Considere os números Que leva a Agora, somamos cada F( quantidade resultante é igual: A quantidade acima pode ser escriva como a seguinte soma: teorema do sanduíche. O número x1 ≤ c ≤ x1 + ∆x. e . , . ; que completa a prova. (Leithold et al, 1996) Soma de Riemann. a, b], e F a antiderivada de f. Comece com a x1 a xn . . xi) juntamente com sua inversa aditiva, de forma que a P á g in a 3 9 c está no tal que Aqui, aplicamos o teorema do valor médio Considere f contínua no intervalo fechado [ b). Então existe um c em (a Segue que A função F é diferenciável no intervalo [ intervalo xi-1. Logo, de acordo com o teorema do valor médio (acima), Substituindo a equação acima em (1), temos Esta consideração implica que como ∆x de partição i. Note que estamos descrevendo a área de um retângulo, como o produto de sua largura pelo comprimento, e somando as áreas obtidas. Cada retângulo, por virtude do do Valor Médio, descreve uma aproximação da seção da curva traçada. Note também que ∆xi não precisa ser o mesmo para qualquer valor de larguras dos retângulos podem diferir. O que temos de fazer é aproximar a largura da . Como anteriormente, é o seguinte: a, b] e diferenciável no intervalo aberto ( , b) tal que . . a, b]; logo, ela é também diferenciável em cada . . F'(ci) = f(ci). Também, xi − xi − 1 pode ser expressado i, ou em outras palavras que as Uma sequência convergente de somas de Riemann. Os números na parte superior direita são as áreas dos retângulos cinzentos. Convergem para o integral da função P á g in a 4 0 a, Teorema curva com n retângulos. Agora, com o tamanho das divisões cada vez menor e aumentando, resultando em maior número de partições para cobrir o espaço, chegaremos mais e mais perto da real áre Tomando-se o limite da expressão com a norma das partições tentendo a zero, chegamos na Integral de Riemann das partições aproxima-se de zero em tamanho , então temos que todas as outras partições são menores e o número de partições se aproxima do infinito. Então, tomamos o limite em ambos lados de (3). Que resulta Nem F(b) nem F(a) são dependentes de || F(a). A expressão do lado direito da equação define a integral ao longo de obtemos que completa a prova. Exemplos Como um exemplo, suponha que precisamos calcul Aqui, f(x) = x2 e podemos usar Generalizações Não precisamos assumir a continuidade de do teorema diz que: se f é uma número em [a,b] tal que f é contínuo em a da curva. . Que quando, tomamos o limite quando a mais larg ∆||, então o limite do lado esquerdo fica f de ar F(x) = (1 / 3)x3 como a antiderivada. Logo: f em toda a extensão do intervalo. A Parte I função integral de Lebesgue qualquer em x0, então P á g in a 4 1 n a F(b) - a até b. Logo, [a,b] e x0 é um A ideia básica de integral Riemann é muito simples de usar e não deixa ambiguidade para a área de S. Para se ter "no limite" iremos obter exatamente a área de Note que onde f pode ser positivo e negativo, a integral corresponde a "área com sinal"; isto é, a área acima do eixo Definição da integral de Riemann Partições de um intervalo Uma partição de um intervalo sub-intervalo da partição. A mais longo sub-intervalo . Isto também é conhecido como Uma partição de um intervalo etiquetado com uma sequência finita de números . Em outras palavras, isto é uma partição juntamente com um ponto distinto para cada sub intervalo. A malha de uma etiqueta é definida da mesma forma que para uma partição ordinária. Suponha que de [a,b], e que etiquetada de [a,b]. Nos poderemos dizer que são um refinamento da i com , exista um inteiro com de uma partição de etiqueta pega uma partição inicial e adiciona mais etiquetas, mas isto não chega a lugar algum. Nos podemos definir uma partição significando que uma etiqueta de partição é maior do que outra se a maior é um refinamento da menor. uma aproximação cada vez melhor, nos podemos dizer que S sob a curva. x é positiva e a área abaixo do eixo x negativa. [a,b] é uma sequência finita . Cada [xi,xi + 1] é denominado como um malha de uma partição é definida como o comprimento do [xi,xi + 1], isto é, aquele em que max(xi norma de partição. é uma partição de um intervalo juntamente sujeito a condição que para cada juntamente com são uma partição etiquetada juntamente com seja uma outra partição e juntamente com se para cada int r(i) tal que xi = yr(i) e tal que ti = . Falando de uma maneira mais simples, um refinamento ordem parcial um subconjunto de todas as etiquetas de Uma soma de Riemann. Os números no canto superior direito são as áreas dos retângulos cinza. Eles convergem para a integral da função P á g in a 4 4 + 1 − xi) onde i, juntas eiro sj para algum j Soma de Riemann Escolha uma função válida para números reais [a,b]. A Soma de Riemann é: Cada termo na soma é o produto do valor da função em um ponto dado e o comprimento do intervalo. Consequentemente, cada termo representa área de um retângulo com a altura f(ti) sinalizada de todos os retângulos. A integral de Riemann Grosseiramente falando, a integral de Riemann é o limite da soma de Riemann com uma função de partição que se afine cada vez mais. Contudo, o que significa "cada vez mais fino" é o mais importante. Um fato importante é que a malha de partição deve ser tornar menor e menor, até que seu limite atinja zero. Se isto não for assim, então não poderemos ter uma boa aproximação para esta função em certos intervalos. De fato, isto é suficientemente bom para definir uma integral. Para ser especifico, nos dizemos que a integral Riemann de se igualara a S se as seguintes condições foram consideradas: Para todo ε > 0, onde exi e Contudo, existe um problema desagradável com esta definição: ela é muito difícil para se trabalhar. Então faremos uma definição alternativa para a integral seja mais fácil para se trabalhar, então se prova que esta é a mesma definição que a original. Nossa nova definição diz que a integral de Riemann de seguintes condições foram consideradas: Para todo ε > 0, existe uma p que para qualquer refinamento , nos teremos f a qual se encontra definida no intervalo de f com respeito a partição denominada e o comprimento xi + 1 − xi. A soma de Riemann é a área significado preciso a cerca do sta δ > 0 tal que para qualquer partição etiquetada onde a malha seja menor que δ, nos temos: de Riemann a qual f é igual a artição etiquetada e e de P á g in a 4 5 com f s se as tal e Ambos eventualmente significam, a soma de Riemann de partição que seja selecionada que leve a se aproximar de não importa a proximidade que necessitamos que esta soma ira assumir, nos diremos que a soma Riemann convergira para conceito mais geral, uma rede Como nos estabelecemos antes, estas duas definições são equivalentes. Em outras palavras, s funciona na sua primeira definição se e somente se segunda definição. Para mostras que a primeira definição implica na segunda, iniciamos com um ε, e escolhemos um etiquetada onde a malha é menor que qualquer refinamento desta partição ira também ter uma grade menor que soma de Riemann dos refinamentos ira também estar em segunda definição implica na primeira, isto é facilitado com uso da Primeiro mostraremos que a segunda é equivalente a definição da para isto veja a integral. Agora nos iremos mostras que a função de integração de Darboux satisfaz a primeira definição. Escolha a partição inferior e superior da soma de Darboux com respeito a esta partição esteja em dentro do valor s da integral de Darboux. Seja o supremum e infimum, respectivamente, de . Então não é difícil de mostrar que a soma de Riemann de respeito de qualquer partição etiquetada da grade menor que da maior ou menor soma de Darboux, então isto estará em dentro de f com respeito para qualquer s. Desde que isto seja verdade, s. Esta definição é sempre um caso especial de um . s funciona na sua δ que satisfaça a condição. Escolha qualquer partição δ. Esta soma Riemann é em dentro ε de s. Para mostrar que a integral Darboux integral Darboux r igual , onde f em [xi,xi + 1], e sendo δ menor que δ ira estar em dentro de ε de P á g in a 4 6 ε de s, e δ, então a . , tal que o limite Mi e mi são e f com s. É fácil ver que se é mensurável, então ambas negativas e que A função é dita Lebesgue integrável em forem finitas e sua integral é definida como: • Observe que é integrável se e somente se Propriedades Se e são funções integráveis em um conjunto mensurável • • quase sempre, então • • mensurável, • Se são subconjuntos mensuráveis e disjuntos dois a dois e então: • e são mensuráveis não . se ambas as integrais é integrável. é integrável em e, ainda: define uma medida nos subconjuntos mensuráveis de P á g in a 4 9 e , então: . P á g in a 5 0 Comparação com a integral de Riemann • A integral de Riemann no sentido próprio só está definida em intervalos finitos ou na união finita destes. Se uma função é integrável a Riemann em um intervalo então a integral de Lebesgue também está definida e possui o mesmo valor. • Enquanto toda função integrável a Riemann é limitada, existem funções integráveis a Lebesgue que não são limitadas nem mesmo essencialmente limitadas em nenhum aberto do domínio. • O domínio de integração da integral de Lebesgue pode ser qualquer conjunto mensurável, inclusive não limitado. Ver também • Integral de Riemann • Medida de Lebesgue • Espaço Lp * Este texto foi obtido na Wikipédia, conforme endereços indicados, em 20/ago/2008, por Luiz Roberto Rosa.