cálculo, conceitos e história

cálculo, conceitos e história

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Cálculo (http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo

O Cálculo Diferencial e Integral ou simplesmente Cálculo é um ramo importante da da Álgebra e da Geometria (como a inclinação de uma recta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exactas. Desenvolvido por Isaac Newton Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, clássica e até a física moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente 3 "operações como o cálculo de limites, o

A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.

Com o advento do Teorema Fundamental do Cálculo os dois ramos do cálculo: o diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Newton em Cambridge, Isaac Barrow estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularm viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá pelo matemático Riemann, pupilo de http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo)

Cálculo Diferencial e Integral, também chamado de cálculo infinitesimal é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir

Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas linação de uma recta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada.

iado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exactas.

Isaac Newton e Gottfried Leibniz, em trabalhos independentes, o

Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em s da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente 3 "operações-base", ou seja, possui áreas iniciais , o cálculo de derivadas de funções e a integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida , estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.

eorema Fundamental do Cálculo estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de

Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularm viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de soma (método descrito , pupilo de Gauss)

O cálculo permite calcular a área da região assinalada

P á g i n a cálculo infinitesimal, desenvolvido a partir , que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas linação de uma recta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada.

iado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exactas. , em trabalhos independentes, o

Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, química, física moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em s da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do base", ou seja, possui áreas iniciais integral de diferenciais.

indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida , estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.

se uma conexão entre

Cálculo Integral. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Isaac blemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais las como limites de soma (método descrito

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História Desenvolvimento

A história do cálculo se encaixa em vários períodos distintos, de forma notável nas eras antiga, medieval e moderna. Na era antiga foram introduzidas algumas idéias do cálculo integral, embora não tenha havido um desenvolvimento dessas idéias de forma rigorosa e sistemática. A função básica do cálculo integral, calcular volumes e áreas, pode ser remontada ao Papiro Egípcio de Moscow (1800 A.C.), no qual um egípcio trabalhou o volume de um frustum piramidal. Eudoxus (408-355 A.C) usou o método da exaustão para calcular áreas e volumes. Arquimedes (287-212 A.C.) levou essa idéia além, inventando a heurística que se aproxima do cálculo integral. O método da exaustão foi redescoberto na China por Liu Hui no terceiro século depois de Cristo, que o usou para

Arquimedes, segundo Gauss o maior matemático da antigüidade, já apresentava idéias relacionadas ao Cálculo dois séculos antes de Cristo.

Índice

• 1 História o 1.1 Desenvolvimento • 2 Princípios o 2.1 Limites e Infinitesimais o 2.2 Derivadas o 2.3 Integrais o 2.4 Teorema Fundamental do Cálculo • 3 Aplicações

• 4 Ver também o 4.1 Listas o 4.2 Tópicos relacionados o 4.3 Referências bibliográficas 4.3.1 Cálculo Básico 4.3.2 Cálculo Avançado o 4.4 Livros on-line o 4.5 Páginas na Internet

P á g i n a encontrar a área do círculo. O método também foi usado por Zu Chongzhi no quinto século depois de Cristo, para achar o volume de uma esfera.

No período medieval, o Matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal em 499 D.C. expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equação diferencial básica. Essa equação levou Bhāskara I no século doze a desenvolver uma derivada prematura representado uma mudança infinitesimal, ele desenvolveu também o que seria uma forma primitiva do “Teorema de Rolle”.

No século XII o matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a derivada de polinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial. No século XIV, Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemáticos-astrônomos da Escola Kerala de Astronomia e Matemática, descreveu casos especiais da Série de Taylor, que no texto são tratadas como Yuktibhasa.

No período moderno, descobertas independentes no cálculo foram feitas no início do século XVII no Japão por matemáticos como Seki Kowa que expandiu o método de exaustão. Na Europa, a segunda metade do século XVII foi uma época de grandes inovações. O Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Muitos matemáticos contribuíram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory proveu um caso especial do segundo teorema fundamental do cálculo em 1668.

Sir Isaac Newton foi um dos mais famosos inventores e contribuidores do cálculo com relação a suas leis de movimento e outros conceitos matemáticosfísicos

Gottfried Wilhelm Leibniz, foi originalmente acusado de plagiar os trabalhos não publicados de Isaac Newton, hoje porém é considerado, juntamente com Newton, o inventor do cálculo

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Coube a Leibniz e Newton recolher essas idéias e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo, a ambos é atribuído a simultânea e independente invenção do cálculo. Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controvérsia de qual matemático (e portanto que país: Inglaterra ou Alemanha) merecia o crédito. Newton derivou seus resultados primeiro, mas Leibniz publicou primeiro. Newton argumentou que Leibniz roubou idéias de seus escritos não publicados, que Newton à época compartilhara com alguns poucos membros da Sociedade Real. Esta controvérsia dividiu os matemáticos ingleses dos matemáticos alemães por muitos anos. Um exame cuidadoso dos escritos de Leibniz e Newton mostra que ambos chegaram a seus resultados independentemente, com Leibniz iniciando com integração e Newton com diferenciação. Nos dias de hoje tem-se que Newton e Leibniz descobriram o cálculo independentemente. Leibniz, porém, foi quem deu o nome cálculo à nova disciplina, Newton a chamara de “A ciência dos fluxos”.

Desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o contínuo desenvolvimento do cálculo. No século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa por matemáticos como Cauchy, Riemann e Weierstrass. Foi também durante este período que idéias do cálculo foram generalizadas ao espaço euclidiano e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou a noção de integral.

Limites e InfinitesimaisVer anexo 1

Princípios

O cálculo é comumente utilizado pela manipulação de quantidades muito pequenas. Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pelas infinitesimais. Estes objetos podem ser tratados como números que são, de alguma forma, "infinitamente pequenos". Na linha numérica, isso seria locais onde não é zero, mas possui "zero" de distância de zero. Nenhum número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zero é positiva. Qualquer múltiplo de um infinitesimal continua sendo um infinitesimal. Em outras palavras, infinitesimais não satisfazem a propriedade Archimediana. Deste ponto de vista, o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular infinitesimais. Tal pensamento foi ignorado no século XIX porque era muito difícil ter a noção precisa de uma infinitesimal. Entretanto, o conceito foi reutilizado no século X com a introdução da análise não padronizada, a qual propiciou fundamentos sólidos para a manipulação de infinitesimais

No século XIX, as infinitesimais foram substituídas pelos limites. Limites descrevem o valor de uma função em um certo ponto em termos dos valores de pontos próximos. Eles capturam o comportamento numérico em baixa escala, como nas infinitesimais, mas utilizando números ordinários. Deste ponto de vista, calculo é uma coleção de técnicas para a manipulação de certos limites. As infinitesimais foram substituídas por

P á g i n a números muito pequenos, e o comportamento infinitamente pequeno da função é encontrado pelo limite de números cada vez menores. Limites são fáceis de serem colocados em fundações rigorosas e, por esse motivo, são a abordagem padrão para o cálculo.

DerivadasVer anexo 2

O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada ou deslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é chamado "diferenciação". Em linguagem técnica, a derivada é um operador linear, o qual forma uma nova função a partir da função original, em que cada ponto da nova função é o deslocamento da função original.

O conceito de derivada é fundamentalmente mais avançado do que os conceitos encontrados em álgebra. Em álgebra, os estudantes aprendem sobre funções em que o número de entrada gera um número de saída. Por exemplo, se no dobro da função é inserido 3, então a saída é 6, enquanto se a função é quadrática, e é inserido 3, então a saída é 9. Mas na derivada, a entrada é uma função e a saída é outra função. Por exemplo, se na derivada é colocada uma função quadrada, então a saída é o dobro de uma função, porque o dobro da função fornece o deslocamento da função quadrática em qualquer ponto dado da função.

Para entender a derivada, os estudantes precisam aprender a notação matemática. Na notação matemática, um símbolo comum para a derivada da função é um sinal de apóstrofo chamado "linha". Então a derivada de f é f ' (f linha). Isso em notação matemática seria escrito assim:

Se a função de entrada é o tempo, então a derivada dessa função é a taxa em que a função é alterada.

Se a função é linear, ou seja, o gráfico da função é uma linha reta, então a função pode ser escrita como y = m x + b, onde:

Reta tangente em (x, f'(x))

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Isto da o valor exato para a variação da linha reta. Se a função não é uma linha reta, então a variação em y é dividida pela variação em x, e nós precisamos do cálculo para encontrar o valor exato em cada ponto da função. (Note que y e f(x) são duas notações diferentes para a mesma coisa: a saída da função. Uma linha entre dois pontos em uma curva é chamado de reta secante. A variação da reta secante pode ser expressada como:

onde as coordenadas do primeiro ponto é (x, f(x)) e h é a distância horizontal entre os dois pontos.

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