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Resumão Matemática Financeira

RESUMO

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Conteúdo

  1. Noções Básicas pag. 02

  2. Juros Simples , Ordinário e Comercial pag. 04

Taxa Percentual e Unitária pag. 04

Taxas Equivalentes pag. 05

Capital, Taxas e Prazos Médios pag. 05

Montante pag. 06

Desconto Simples e Comercial pag. 06

Valor Atual e Desconto Racional pag. 07

Equivalência de Capitais pag. 08

  1. Juros Compostos pag. 10

Montante pag. 10

Valor Atual pag. 11

Interpolação Linear pag. 11

Taxas Proporcionais pag. 12

Taxas Equivalentes pag. 13

Taxas Nominais e Efetivas pag. 14

Capitalização pag. 15

Convenção Linear pag. 15

Convenção Exponencial pag. 16

Desconto Racional pag. 17

Equivalência de Capitais pag. 18

Rendas Certas pag. 18

CD CONCURSOS 2006

RESUMÃO - MATEMÁTICA FINANCEIRA

1. NOÇÕES BÁSICAS

Conceito: a Matemática Financeira tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros.

Capital é qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal.

Juros é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo período de tempo.

Taxa de Juros é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado.

Ex.:

Capital Inicial : $ 100

Juros : $ 150 - $ 100 = $ 50

Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período

  • a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.

Taxa de Juros unitária: a taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária ( 0.05 ) a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a taxa percentual por 100:

5 % / 100 = 0.05

Montante denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).

Capital Inicial = $ 100

+ Juros = $ 50

= Montante = $ 150

Regimes de Capitalização quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros:

  • capitalização simples;

  • capitalização composta;

Regime de Capitalização Simples somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros

Regime de Capitalização Composta os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente.

  • comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto;

  • salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros.

  • No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente.

Fluxo de Caixa o fluxo de caixa de uma empresa, de uma aplicação financeira ou de um empréstimo consiste no conjunto de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos) de dinheiro ao longo de um determinado período.

2. JUROS SIMPLES

Conceito: é aquele pago unicamente sobre o capital inicial ou principal

J = C x i x n

Onde:

J = juros

C = capital inicial

i = taxa unitária de juros

n = número de períodos que o capital ficou aplicado

Observações:

  • a taxa i e o número de períodos n devem referir-se à mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em anos; se for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses, e assim sucessivamente;

  • em todas as fórmulas matemáticas utiliza-se a taxa de juros na forma unitária (taxa percentual ou centesimal, dividida por 100)

Juro Comercial para operações envolvendo valores elevados e períodos pequenos (1 dia ou alguns dias) pode haver diferença na escolha do tipo de juros a ser utilizado. O juro Comercial considera o ano comercial com 360 dias e o mês comercial com 30 dias.

Juro Exato no cálculo do juro exato, utiliza-se o ano civil, com 365 dias (ou 366 dias se o ano for bissexto) e os meses com o número real de dias.

  • sempre que nada for especificado, considera-se a taxa de juros sob o conceito comercial

Taxa Nominal é a taxa usada na linguagem normal, expressa nos contratos ou informada nos exercícios; a taxa nominal é uma taxa de juros simples e se refere a um determinado período de capitalização.

Taxa Proporcional duas taxas são denominadas proporcionais quando existe entre elas a mesma relação verificada para os períodos de tempo a que se referem.

i1 =t1

i2 t2

Taxa Equivalente duas taxas são equivalentes se fizerem com que um mesmo capital produza o mesmo montante no fim do mesmo prazo de aplicação.

  • no regime de juros simples, duas taxas equivalentes também são proporcionais;

Capital, Taxa e Prazo Médios

 em alguns casos podemos ter situações em que diversos capitais são aplicados, em épocas diferentes, a uma mesma taxa de juros, desejando-se determinar os rendimentos produzidos ao fim de um certo período. Em outras situações, podemos ter o mesmo capital aplicado a diferentes taxas de juros, ou ainda, diversos capitais aplicados a diversas taxas por períodos distintos de tempo.

Capital Médio (juros de diversos Capitais) é o mesmo valor de diversos capitais aplicados a taxas diferentespor prazos diferentes que produzem a mesma quantia de juros.

Cmd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn

i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 + ... + in nn

Taxa Média é a taxa à qual a soma de diversos capitais deve ser aplicada, durante um certo período de tempo, para produzir juros iguais à soma dos juros que seriam produzidos por diversos capitais.

Taxamd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn

C1n1 + C2 n2+ C3 n3+ ... + Cn nn

Prazo Médio é o período de tempo que a soma de diversos capitais deve ser aplicado, a uma certa taxa de juros, para produzir juros iguais aos que seriam obtidos pelos diversos capitais.

Prazomd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn

C1i1 + C2 i2+ C3 i3+ ... + Cn in

Montante é o CAPITAL acrescido dos seus JUROS.

M = C ( 1 + i x n )

  • a fórmula requer que a taxa i seja expressa na forma unitária;

  • a taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de tempo;

Desconto Simples quando um título de crédito (letra de cambio, promissória, duplicata) ou uma aplicação financeira é resgatada antes de seu vencimento, o título sofre um ABATIMENTO, que é chamado de Desconto.

Valor Nominal: valor que corresponde ao seu valor no dia do seu vencimento. Antes do vencimento, o título pode ser resgatado por um valor menor que o nominal, valor este denominado de valor Atual ou valor de Resgate.

Desconto Comercial  também conhecido como Desconto Bancário ou “por fora”, é quando o desconto é calculadosobre o valor nominal de um título.
  • pode ser entendido como sendo o juro simples calculado sobre o valor nominal do título;

Dc = N x i x n

Onde:

Dc = Desconto Comercial

N = Valor Nominal

i = Taxa de juros

n = Período considerado

Ex.: Uma promissória de valor nominal de $ 500 foi resgatada 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de 8 % a.a.. Qual o valor do Desconto ?

N = $ 500

i = 8 % a.a. = 0.08 Dc = N . i . n

n = 4 meses = 4/12 Dc = 500 . 0.08 . 4/12

Dc = ? Dc = $ 13,33

Valor Atual o Valor Atual (ou presente) de um título é aquele efetivamente pago (recebido) por este título, na data de seu resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. O Valor Atual é obtido pela diferença entre seu valor nominal e o desconto comercial aplicado.

Vc = N - Dc

Ex.: Um título de crédito no valor de $ 2000, com vencimento para 65 dias, é descontado à taxa de 130 % a.a. de desconto simples comercial. Determine o valor de resgate (valor atual) do título.

N = $ 2000 Dc = N . i . n = $ 2000 . 1.30 . 65/360

n = 65 dias = 65/360 Dc = $ 469,44

i = 130 a.a. = 1.30

Dc = ? Vc = N – Dc = $ 2000 - $ 469,44

Vc = ? Vc = $ 1.530,56

Desconto Racional o desconto racional ou “por dentro” corresponde ao juro simples calculado sobre o valor atual (ou presente) do título. Note-se que no caso do desconto comercial, o desconto correspondia aos juros simples calculado sobre o valor nominal do título.

Dr = N x i x n

( 1 + i x n )

Ex.: Qual o desconto racional de um título com valor de face de $ 270, quitado 2 meses antes de seu vencimento a 3 % a.m. ?

N = $ 270 Dr = N . i . n / (1 + i . n)

n = 2 meses Dr = $ 270 . 0.03 . 2 / (1 + 0.03 . 2)

i = 3 a.m. = 0.03 a.m. Dr = $ 16,20 / 1.06

Dr = ? Dr = $ 15,28

Valor Atual Racional é determinado pela diferença entre o valor nominal N e o desconto racional Dr

Vr = N - Dr

Equivalência de Capitais

Capitais Diferidos quando 2 ou mais capitais (ou títulos de crédito, certificados de empréstimos,etc), forem exigíveis em datas diferentes, estes capitais são denominados DIFERIDOS.

Capitais Equivalentes por sua vez, 2 ou mais capitais diferidos serão equivalentes, em uma certa data se, nesta data, seus valores atuais forem iguais.

Equivalência de Capitais p/ Desconto Comercial

  • Chamando-se de Vc o valor atual do desconto comercial de um título num instante n’ e de V’c o de outro título no instante n’, o valor atual destes títulos pode ser expresso como segue:

Vc = N ( 1 – i.n ) e V’c = N’ ( 1 – i . n’ )

Para que os títulos sejam equivalentes, Vc deve ser igual a V’c, então:

N’ = N ( 1 – i x n)

1 – i x n’

onde:

N’ = Capital Equivalente

N = Valor Nominal

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