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Prof. Rivelino – Matemática Básica

Nosso curso de Análise Combinatória tratará de problemas que envolvam a contagem de certos tipos de subconjuntos de um conjunto finito, sem que seja necessário enumerar seus elementos: são os arranjos, as permutações e as combinações.

O princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar uma decisão 1De, tomada a decisão 1D, há y modos de tomar a decisão 2D, então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões 12D e Dé x.y.

1. Com 5 homens e 4 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?

2D: escolha da mulher – 4 possibilidades Há 5 x 4 = 20 modos de formar um casal

2. Uma bandeira é formada por 4 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e branca. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?

1D: escolher a cor da 1ª listra – 3 modos 2D: escolher a cor da 2ª listra – 2 modos 3D: escolher a cor da 3ª listra – 2 modos

4D: escolher a cor da 4ª listra – 2 modos Há 3 2 = 24×modos de colorir a bandeira.

3. Quantos são os números de três dígitos distintos?

Há 9 x 9 x 8 = 648 números de três dígitos distintos.

a) Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões vamos tomar; b) Devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples.

c) Se uma das decisões a serem tomadas for mais restrita que as demais, essa é a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar.

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1) Oito caminhos conduzem ao cume de uma montanha. Quantos modos uma pessoa dispõe para subir e descer usando caminhos diferentes? a) 15 b) 16 c) 56 d) 64

2) Oito cavalos disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares? a) 28 b) 56 c) 336 d) 512

3) Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos 3, 4, 5, 7, 8 e 9? a) 15 b) 30 c) 180 d) 360

4) Em uma prova de atletismo, há 10 competidores. De quantos modos distintos podem ser conquistadas as medalhas de ouro, prata e bronze? a) 90 b) 180 c) 360 d) 720

5) As atuais placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos, sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos. Quantas são as placas distintas formadas? a) 175.760.0 b) 158.184.0 c) 121.670.0 d) 8.583.040

a) 5040c) 2.520
b) 4536d) 2.268

6) Quantos inteiros há entre 1000 e 9 cujos algarismos são distintos?

7) (ESAF) A quantidade de números ímpares entre 100 e 9, com todos os algarismos distintos é: a) 320 b) 360 c) 405 d) 450 e) 500

8) (ESAF) Uma placa de automóvel é composta por três letras e quatro algarismos, nessa ordem. O número de placas que podem ser formadas com as letras K, Q ou L e cujos dois últimos algarismos são 2 e 6, nessa ordem, é: a) 540 b) 600 c) 2430 d) 2700 e) 3000

9) Quantos números múltiplos de 5 existem entre 100 e 1000, de modo que o algarismo das centenas seja múltiplo de quatro e o das dezenas seja um número par? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

d)7.488
e)2.120

10) (ESAF) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: a) 681.384 b) 382.426 c) 43.262

a) 10c) 18 e) 32

1) (VUNESP) Há 4 caminhos para se ir de X a Y, e 6 caminhos para se ir de Y a Z. O número de caminhos de X a Z que passam por Y é: b) 12 d) 24

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12) (ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por zero. Os três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se que, em todas as farmácias, os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias é igual a: a) 540 b) 720 c) 684 d) 648 e) 842

13) (ESAF) A senha para um programa de computador consiste em uma sequência LN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por: a) 26102. 3

14) (ESAF) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma sequência de 5 símbolos distintos, formados de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da seqüência em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer para acessar o arquivo é: a) 115 b) 120 c) 150 d) 200 e) 249

15) (CESPE) Uma prova de Matemática é formada por 15 questões de múltipla escolha, com cinco alternativas por questão. De quantos modos diferentes um candidato pode responder às questões desta prova? a) 20 b) 75

16) (Desafio) O código Morse usa duas letras, ponto e traço, e as palavras têm de 1 a 4 letras. Quantas são as palavras do código Morse? a) 8 b) 16 c) 30 d) 32

01 02 03 04 05 06 07 08 C C D D A B A D 09 10 1 12 13 14 15 16 D A D D B B E C

“Sem saber que era impossível, ele foi lá e fez.” (Jean Cocteau)

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