Apostila de métodos (cálculo) numérico

Apostila de métodos (cálculo) numérico

(Parte 1 de 22)

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática

Prof. Ionildo José Sanches Prof. Ionildo José SanchesProf. Ionildo José Sanches Prof. Ionildo José Sanches

Prof. Diógenes Cogo Furlan Prof. Diógenes Cogo FurlanProf. Diógenes Cogo Furlan Prof. Diógenes Cogo Furlan

E-Mail: ionildo @ionildo. cjb. net

URL: http://www.ionildo.cjb.net/metodos/

CURITIBA 2007

1 INTR ODUÇÃO1
2 CONCEIT O DE ERR O2
2. 1 INTRODUÇÃO2
2. 2 ERROS NA FASE DE MODELAGE M2
2. 3 ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO2
2. 4 ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS2
2. 5 ERRO DE ARREDONDA MENT O3
2. 6 ERRO DE TRUNCA MENTO4
3 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS6
3. 1 INTRODUÇÃO6
3. 2 SISTE MA DE NU MER AÇÃO7
3. 2. 1 Siste ma de Nu meração Decimal7
3. 2. 2 Siste ma de Nu meração Binário7
3. 3 ARIT MÉTICA DE PONTO FLUTUANTE10
3. 4 PROPAGAÇÃO DE ERROS12
4 ZEROS DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS14
4. 1 INTRODUÇÃO14
4. 1. 1 Derivada de u ma função nu m ponto14
4. 1. 2 Tipos de Métodos14
4. 1. 3 Isola mento de Raízes16
4. 1. 4 Classificação dos métodos16
4. 2 MÉT ODO DA BISSEÇÃO17
4. 2. 1 Estimativa do Número de Iterações17
4. 2. 2 Considerações Finais18
4. 2. 3 Exe mplos18
4. 3 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO19
4. 3. 1 Casos especiais20
4. 3. 2 Considerações finais21
4. 3. 3 Exe mplos21
4. 4 MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR2
4. 4. 1 Casos de convergência23
4. 4. 2 Considerações finais24
4. 4. 3 Exe mplos24
4.5 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON OU MÉTODO DAS TANGENTES25
4. 5. 1 Considerações finais26
4. 5. 2 Exe mplos26
4. 5. 3 Condições de Ne wton- Raphson- Fourier27
4. 6 MÉT ODO DA SECANTE29
4. 6. 1 Exe mplos30
4. 7 MÉT ODO MIST O31
4. 7. 1 Exe mplos31
4. 8 MÉTODO PARA EQUAÇÕES POLINÔMIAIS32
4. 8. 1 Introdução32
4. 8. 2 Localização de Raízes32
4. 8. 3 Deter minação das Raízes Reais34
4.8.4 Método de Newton para Zeros de Polinômios35
5 SISTE MAS LINEARES38
5. 1 INTRODUÇÃO38
5. 1. 1 Classificação Quanto ao Número de Soluções38

SUMÁRIO i

5. 2 MÉTODOS DIRETOS (ALGORIT MOS DIRETOS)39
5. 2. 1 Regra de Cra mer39
5. 2. 2 Método da Eliminação de Gauss40
5. 2. 3 Método de Jordan42
5. 2. 4 Exe mplos42
5. 3 FATORAÇÃO LU43
5. 3. 1 Cálculo dos Fatores L e U4
5. 4 MÉTODOS ITERATIVOS (ALGORIT MOS ITERATIVOS)46
5. 4. 1 Método de Gauss- Jacobi ( Algébrico )46
5. 4. 2 Método de Gauss- Jacobi ( Matricial )48
5. 4. 3 Método de Gauss- Seidel ( Algébrico )50
5. 4. 4 Método de Gauss- Seidel ( Matricial )52
6 INTERP OLAÇÃO54
6. 1 INTRODUÇÃO54
6. 1. 1 Conceito de Interpolação54
6. 2 INTERPOLAÇÃO LINEAR5
6. 2. 1 Obtenção da Fór mula5
6. 2. 2 Exe mplos56
6. 3 INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA57
6. 3. 1 Obtenção da Fór mula57
6. 3. 2 Exe mplos57
6. 4 INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE59
6. 4. 1 Obtenção da Fór mula60
6. 4. 2 Exe mplos:61
6. 5 INTERPOLAÇÃO PARABÓLICA PROGRESSIVA62
6.6 INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS63
6. 6. 1 Diferenças Divididas63
6. 6. 2 Propriedade do Operador Diferenças Divididas64
6. 6. 3 Exe mplos64
6. 7 INTERPOLAÇÃO DE GREGORY- NE WTON6
6. 7. 1 Diferenças Ordinárias ou Finitas67
6.7.2 Relação entre diferenças divididas e diferenças ordinárias67
6. 7. 3 Gregory- Ne wton usando Diferenças Ordinárias67
6. 7. 4 Exe mplos67
7 AJUSTE DE CURVAS69
7. 1 MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNI MOS70
7. 1. 1 Ajuste Linear Simples71
7. 1. 2 Ajuste Polino mial73
8 INTEGRAÇÃO NU MÉRICA7
8. 1 INTRODUÇÃO7
8. 1. 1 Fór mulas de Ne wton- Cotes78
8. 2 REGRA DOS RET ÂNGULOS79
8. 2. 1 Exe mplos80
8. 3 REGRA DOS TRAPÉZIOS81
8. 3. 1 Regra do Trapézio Repetida82
8. 3. 2 Exe mplos82
8. 4 REGRA DE SI MPSON83
8. 4. 1 Regra de Simpson Repetida84

1 Introdução

Cálculo Numérico é a obtenção da solução de um problema pela aplicação de método numérico; a solução do problema será caracterizada, então, por um conjunto de números, exatos ou aproximados.

Método Numérico é um algoritmo composto por um número finito de operações envolvendo apenas números (operações aritméticas elementares, cálculo de funções, consulta a uma tabela de valores, consulta a um gráfico, arbitramento de um valor, etc.).

Proble ma Físico

Modelo

Mate mático Solução

Modelage m Resolução

Modelagem é a fase de obtenção do modelo matemático que descreve o comportamento do sistema físico.

Resolução é a fase de obtenção da solução através da aplicação de métodos numéricos (este é o objetivo de estudo do Cálculo Numérico).

2 2 Conceito de Erro

2.1 Introdução

A noção de erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico. De um lado, os dados, em si, nem sempre são exatos e, de outro lado, as operações sobre valores não exatos propagam esses erros a seus resultados. Finalmente, os próprios métodos numéricos, freqüentemente métodos aproximados, buscam a minimização dos erros, procurando resultados o mais próximo possível do que seriam valores exatos.

Erro é a diferença entre o valor exato e o valor apresentado.

No próximo capítulo, sobre representação de números reais, iremos analisar várias situações em que ocorrem erros, quando utilizamos o computador para realizar os cálculos. A seguir, analisaremos os erros que ocorrem durante as fases de modelagem e resolução e também sobre erros de arredondamento e erros de truncamento.

2.2 Erros na Fase de Modelagem

Ao se tentar representar um fenômeno do mundo físico por meio de um método matemático, raramente se tem uma descrição correta deste fenômeno. Normalmente, são necessárias várias simplificações do mundo físico para que se tenha um modelo.

Exemplo: Estudo do movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante. Tem-se a seguinte equação:

onde: d : distância percorrida do : distância inicial vo : velocidade inicial t : tempo α : aceleração

Determinar a altura de um edifício com uma bolinha de metal e um cronômetro: 3s

Este resultado é confiável? 1. Fatores não considerados:

• resistência do ar

• velocidade do vento, etc. 2. Precisão dos dados de entrada:

• Variação de 16,7% no cronômetro → 36% na altura.

2.3 Erros na Fase de Resolução

Para a resolução de modelos matemáticos muitas vezes torna-se necessária a utilização de instrumentos de cálculo que necessitam, para o seu funcionamento, que sejam feitas certas aproximações. Tais aproximações podem gerar erros, tais como: conversão de bases, erros de arredondamento e erros de truncamento.

2.4 Erros Absolutos e Relativos

Erro absoluto (EA) é a diferença entre o valor exato de um número N e o seu valor aproximado N’:

EAN = N − N’ Erro absoluto

Por exemplo, sabendo-se que pi ∈ (3.14, 3.15) tomaremos para pi um valor dentro deste intervalo e

Erro Relativo é definido como o erro absoluto dividido pelo valor aproximado:

== Erro Relativo

É claro que EAN só poderá ser determinado se N for exatamente conhecido; como isso é raro, em cálculos numéricos costuma-se trabalhar com uma limitação máxima para o erro, ao invés do próprio

(indicando-se, então, | E | < ε, onde ε é o limite).

Por exemplo, se α = 3876.373 e só desejamos a parte inteira α’, o erro absoluto será:

Se fizermos o mesmo com o número β = 1.373, teremos:

Obviamente, o efeito de aproximação de β é muito maior do que em α, mas o erro absoluto é o mesmo nos dois casos. O erro relativo, entretanto, pode traduzir perfeitamente este fato, pois:

2.5 Erro de Arredondamento

Ao se aplicar um método numérico, os erros devidos aos valores iniciais, intermediários e finais conduzem a um erro global (diferença entre o exato e o obtido) também chamado de arredondamento.

Erros iniciais são os cometidos no arredondamento dos dados iniciais. Os erros intermediários são decorrentes dos erros cometidos durante a aplicação do método numérico e os erros finais decorrentes da apresentação final do resultado.

Os tipos de arredondamentos mais conhecidos são: • Arredondamento para baixo ou por falta;

• Arredondamento para cima ou por excesso;

• Arredondamento para o numero de maquina mais próximo.

Critério de Arredondamento: no cálculo manual, ao registrar um valor aproximado, costuma-se usar a seguinte regra:

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