Analise na Reta

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Parte 1

Conjuntos finitos, enumeraveis e nao-enumeraveis GeorgFerdinandLudwig Philipp Cantor

Para saber mais sobre os numeros cardinais, consulte:

Halmos, Paul R., Teoria Ingenua dos Conjuntos, Editora Polıgono, Sao Paulo, 1970.

Giuseppe Peano (1858-1932) Italia.

Julius Wihelm

Richard Dedekind (1831-1916) Braunschweig, hoje Alemanha.

A descoberta de que ha diversos tipos de infinito deve-se a Georg

Cantor. Mas, para os objetivos do nosso curso, sera necessario distinguir os conjuntos, quanto ao numero de elementos, apenas em tres categorias: os conjuntos finitos; os conjuntos enumeraveis e os conjuntos nao-enumeraveis.

A nocao de conjunto enumeravel, como veremos, esta estritamente ligada ao conjunto N dos numeros naturais. Por isso iniciamos o curso com uma breve apresentacao da teoria dos numeros naturais a partir dos axiomas de Peano, que exibem os numeros naturais como numeros ordinais, isto e, objetos que ocupam lugares determinados numa sequencia ordenada. Depois, empregaremos os numeros naturais para a contagem dos conjuntos finitos, mostrando que eles podem ser considerados como numeros cardinais.

Dedekind definiu o conjunto N dos numeros naturais a partir da teoria dos conjuntos e demonstrou os axiomas de Peano (ver [Halmos]).

Do ponto de vista de Peano, os numeros naturais nao sao definidos.

E apresentada uma lista de propriedades (axiomas) que eles satisfazem e tudo o mais decorre daı. Nao interessa o que os numeros sao, mas apenas as suas propriedades.

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Os numeros naturais 1. Os numeros naturais

Toda a teoria dos numeros naturais pode ser deduzida dos tres axiomas abaixo, conhecidos como axiomas de Peano.

Sao dados, como objetos nao-definidos, um conjunto, que se designa pela letra N, cujos elementos sao chamados numeros naturais, e uma funcao s : N −→ N. Para cada n ∈ N, o numero natural s(n) e chamado o sucessor de n.

(I) N − s(N) consiste de um unico elemento, ou seja, existe um unico numero natural que nao e sucessor de outro numero natural. Este numero, chamado um, e representado pelo sımbolo 1.

oma (I) e empregado, chama-se uma demonstrac ao por induc ao. Ver exemplo 1.1.

Nao menos importante do que demonstrar proposicoes usando o princıpio de induc ao e saber definir objetos por induc ao.

As definic oes por induc ao baseiam-se na possibilidade de se iterar uma funcao f : X −→ X um numero arbitrario, n, de vezes.

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Usando as iteradas da funcao s : N −→ N vamos definir por inducao a adic ao de numeros naturais.

Numa exposicao sistematica da teoria dos numeros naturais, a

um teorema, chamado Teorema da Definic ao por Induc ao.

A operacao de adic ao de numeros naturais e uma funcao que a cada par de numeros naturais (m,n) ∈ N × N faz corresponder o numero natural sn(m) designado m + n e chamado a soma de m e n.

Isto e,

Proposic ao 1.1 A adicao de numeros naturais possui as seguintes propriedades:

(c) Tricotomia: dados m,n ∈ N, exatamente uma das seguintes tres alternativas ocorre: ou m = n, ou existe p ∈ N tal que m = n + p, ou existe q ∈ N tal que n = m+q.

Os numeros naturais

(c) Seja m ∈ N e seja X = {n ∈ N|n e m satisfazem a propriedade de tricotomia}.

Exercıcio 1: Para provar que vale exatamente uma das tres alterna-

tivas ao lado, verifique antes que n + p 6= n quaisquer que sejam n,p ∈ N.

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Pela propriedade de tricotomia, temos que ou p = n ou existe q ∈ N tal que n = p + q, ou existe ∈ N tal que p = n + .

A relac ao de ordem no conjunto dos numeros naturais e definida em termos da adic ao.

Definic ao 1.2 Dados m,n ∈ N, dizemos que m e menor do que n (ou que n e maior do que m) e escrevemos m < n (ou n > m) se existir p ∈ N tal que n = m+p.

A notacao m ≤ n significa que m e menor do que ou igual a n.

(b) Tricotomia: dados m,n ∈ N, ocorre exatamente uma das alternativas seguintes: m = n, ou m < n, ou n < m.

Prova.

(b) Sejam m,n ∈ N. Entao, ocorre exatamente uma das seguintes alternativas:

Os numeros naturais

A operac ao de multiplicac ao e a funcao que a cada par de numeros naturais associa o seu

produto:

Multiplicar dois numeros naturais significa calcular o produto entre eles.

O produto de m e n e designado por m · n ou por mn. Assim, multiplicar um numero m por 1 nao o altera, e multiplicar m por um numero maior que 1, ou seja, por um numero da forma n + 1, e iterar n−vezes a operacao de somar m, comecando com m.

Por exemplo:

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