Lista I - Álgebra III

Lista I - Álgebra III

MAT0313 Algebra I

1. Sejam L uma extensao de K e sejam S e T subconjuntos de L. Mostre que K(S)(T) = K(S ∪ T).

2. Encontre o polinomio minimal sobre Q de cada um dos seguintes numeros algebricos:

3. Mostre que cada um dos seguintes numeros complexos e algebrico sobre Q:

4. Encontre o grau das seguintes extensoes:

6. Mostre que se L/K e uma extensao finita de corpos tal que [L : K] seja um numero primo, entao L = K(α), para qualquer α ∈ L \ K.

7. Seja L/K uma extensao finita de corpos. Seja u ∈ L e seja n = grau(Irr(u,K)). Mostre que n divide [L : K].

9. Sejam L/F e F/K extensoes de corpos e seja α um elemento de L. Mostre que se α e algebrico sobre K, entao α e algebrico sobre F e [K(α) : K] ≥ [F(α) : F].

10. Sejam K,F,L corpos tais que F seja uma extensao de K e L seja uma extensao de F. Mostre que se L/F e F/K sao algebricas, entao L/K e tambem algebrica.

1. Seja L/K uma extensao de corpos finita e seja f ∈ K[x] um polinomio irredutıvel sobre K. Mostre que se mdc([L : K],grau(f)) = 1, entao f e irredutıvel sobre L.

12. Seja L/K uma extensao algebrica. Mostre que todo subanel de L que contem K e um subcorpo de L.

13. Seja L = K(α), α transcendente sobre K, e seja F 6= K um subcorpo intermediario de L/K. Mostre que α e algebrico sobre F.

15. (Mais um exemplo de uma extensao algebrica que nao e finita) Considere o corpo

3,, √

os numeros primos positivos.

2,√3) ⊂e uma cadeia ascendente propria de subcor-

(a) Mostre que Q ⊂ Q(√2) ⊂ Q(√ pos de R e, portanto, E/Q nao e extensao finita.

p1,, √

(b) Mostre que E/Q e uma extensao algebrica.

(a) Mostre que se mdc(n,m) = 1 entao Irr(v,K) e irredutıvel sobre K(u). (Sugestao: Considere a extensao K(u,v)/K.)

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